CHUYÊN đề ôn thi hsg lớp 6

CHUYÊN ĐỀ 1. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN.
I. Kiến thức cần nhớ:
II.
Bài tập:
DẠNG 1. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC.
Ví dụ 1. a) Tính a = 234. 99…9 (có 50 chữ số 9);
chữ số 1)
c) Chứng minh rằng

111...122...2
123 {
100

100

b) Tính b = 11…1 . 3456 (có 100

là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.

Giải.
a, Ta có a = 234 . 99…9 = 234 (100…0 - 1) = 234000…0 – 234
Đặt phép trừ
23399…9766
Vậy a =
b. Ta có b = = =
giải tương tự câu a, ta có b =
Ví dụ 2.
1) Biết a = 1.2 + 2.3 +3.4 + …+ 98.99 ; b = 12 + 22 + … + 982
a) Tính hiệu a – b.
b) Chứng minh rằng

k  k  1  k  2    k  1 k  k  1  3k  k  1

và tính a.

2)
a) Tính S = 2 + 22 +23 +…+ 230 ;

b) Tính S = 5 + 52 +…+520.

Giải.
1) a) Ta có a = 1(1 + 1) + 2(2 + 1) + 3 (3 + 1) + …+ 98 (98 + 1)
= 12 + 22 + … + 982 + 1 + 2 + 3 + …+ 98
=b+

=

b + 99.49

Suy ra a – b = 49.99.
b) Ta có 3a  1.2.3  3.2.3  3.3.4  3.98.99
  3  0  .1.2   4  1 2.3   5  2  .3.4  ...  100  97  .98.99

 1.2.3  0.1.2  2.3.4  1.2.3  3.4.5  2.3.4  ...  98.99.100  97.98.99  98.99.100
�a 

98.99.100
3
.

Ví dụ 3. Tính nhanh giá trị của các biểu thức sau

1


a. 215.62 + 42 – 52.215;
(199199.198 – 198198.199)

b. 14.29 +14.71 + (1 + 2 + 3 + … + 99)

c) A  21.7  11.7  90.7  49.125.16 ;
2

2

2

d)

B

12.194  6.437.2  3.369.4
1  5  9  13  .....  57  61  65.2  26

Giải:
a) 215.62 + 42 – 52.215 = 215(62 - 52) + 42 = 215.10 + 42 = 2150 +42 = 2192
b) Chú ý 199199 = 199.101 và 198198 = 198.101. tính được câu b kết quả là 1400.
2
2
2
c) A  21.7  11.7  90.7  49.125.16

= 21.49 - 11.49 + 90.49 +49.2000
= 49.(21-11 + 90 + 2000)
= 49. 2100 = 102900. Vậy A = 102900.
d)

B

12.194  6.437.2  3.369.4
1  5  9  13  .....  57  61  65.2  26

Ta có:
+) 12.194 + 6.437.2 + 3.369.4 = 12.194 + 12.437 + 12.369
= 12. (194 + 437 + 369) = 12. 1000 = 12000.
61  1
 1  16
+) 1 + 5 + 9 + 13 + ... + 57 + 61 ( Có 4
số hạng)
(1  61).16
 62.8  496
2
=

Do đó: 1 + 5 + 9 + 13 + ... + 57 + 61+ 65.2 - 26 = 496 +130 - 26 = 600
B

Suy ra:

12000
 20

600
. Vậy B = 20.

Ví dụ 4. Tính:
a)
c)
d)

A  33...3.99...9
{
{
50số3

1

50số9

b)

;

B  33...3.33...3
{
{
50soá3

50soá3

;

1
1
1
1
1 2   1 2  3   1 2  3 4  ...   1 2  3 ...  20

2
3
4
20
;



;

A  1500  5 .2  11. �
7  5.2  8.  11  121 �
�
�
3

3

 3.4.2 

2

3

2

5.415.99  4.320.89
9 19
29
6
e) 5.2 .6  7.2 .27

16 2

13 11
9
f) 11.2 .4  16 ;

2
g) 1.2.3...9  1.2.3...8  1.2.3...7.8 ;

2


h)

2�
 62  24  : 4.3�
�
� 2020

.

Giải:

a)

A  33...3.99...9
{
{  33...3.(100...0
{
{  1)  33...300...0
{ {  33...3
{
50soá3

50soá9

50

50

50

50

50

= 33…3266…67 (49 chữ số 3,

49 chữ số 6).
b) Tương tự câu a, ta có B = 11…1088…89 (49 chữ số 1, 49 chữ số 8)
c) …= 115
d) A = 599;

e) = 2.

DẠNG 2. TÌM SỐ CHƯA BIẾT
Ví dụ 5. a) Tìm các số tự nhiên x và y (x < y) sao cho : 2x + 2y = 20.
b) Tìm x, y

�

N, biết 2x + 624 = 5y .

Giải. Xét các lũy thừa của 2 nhỏ hơn 20, ta có : 20 = 1 ; 21 = 2 ; 22 = 4 ; 23 = 8 ; 24 =
16.
Chỉ có hai số có tổng bằng 20 là 4 + 16, tức là 22 + 24 = 20. Vậy x = 2 và y = 4.
b) Nếu x = 0 thì 20 + 624 = 5y



625 = 5y



5y = 54



y=4

Nếu x � 0 thì 2x là số chẵn  2x + 624 là số chẵn
Mà 5 là số lẻ  5y là số lẻ  Với x, y  N, x � 0 thì 2x + 624 � 5y
Ví dụ 6. a. Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng gấp ba lần hiệu của chúng

và bằng nửa tích của chúng.
b. Tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số, biết rằng khi chia nó cho 69 thì thương và số
dư bằng nhau.
c. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng khi chia số này cho 29 thì dư 5, cịn khi chia số
này cho 31 thì dư 28.
Giải.
a. Gọi hiệu của số phải tìm là a thì tổng của chúng là 3a và tích của chúng là 6a.
Số lớn là (3a+a) :2 = 2a, số bé là a.
Do tích của chúng là 6a nên ta có số nhỏ là 6a :2a = 3, số lớn là 2.3 = 6.
b. Gọi số phải tìm là a, do khi chia a cho 69 được thương và số dư bằng nhau, nên
ta có
a = 69k + k = 70k. Do a ≤ 999 nên 70k ≤ 999 k ≤ 14. Do a lớn nhất nên k lớn
nhất do đó chọn k = 14. Suy ra a = 70.14 = 980.
c. Gọi số tự nhiên cần tìm là a và gọi q, q1 theo thứ tự là thương của phép chia số
đó cho 29 và 31. Ta có: a = 29q + 5 = 31q1 + 28 => 29(q – q1) = 2q1 + 23. Vì
2q + 23 là số lẻ nên 29(q – q ) lẻ nên q – q là số lẻ và q  q1 �1. Để a nhỏ nhất
1

1

1

thì q1 nhỏ nhất, hay 29(q – q1) nhỏ nhất => q – q1 = 1. Vì thế

3


29(q – q1) = 29 => 2q1 + 23 = 29 => q1 = 3 => a = 121.
Ví dụ 7. Tìm số tự nhiên x, biết :
a) (x + 1) + (x + 2) + …+ (x + 30) = 795;

32x + 4

2 x1
2
3
99
100
d) 2  2  2  2  2  ...  2  2

c) 52x - 3 - 2.52 = 52.3;
e)

b) 2(3 + 32 + 33 + …+ 331) + 3 =

30  x  2   6  x  5   22 x  100

f) 2  2
x

.

x 1

 2 x 2  2 x 3  480.

Hướng dẫn:
c) 52x - 3 - 2.52 = 52.3

52x - 3

= 52.3+ 2.52

52x - 3

= 52. (3 + 2) = 53

2x - 3
2x

=3
=0

x

= 0.

Vậy x = 0

2
3
4
101
d) 2P = 2  2  2  ...  2
2
3
4
101
2
3
100

2P - P = ( 2  2  2  ...  2 ) - ( 2  2  2  ...  2 ) = 2101 - 2

Do đó: 22x-1 - 2 = 2101 - 2
22x-1 = 2101
2x-1 = 101
x = 51 . Vậy: x = 51.
e) x =
Ví dụ 8. a) Tìm 5 số tự nhiên lẻ liên tiếp có tổng bằng 9925;
b) Có 5 số tự nhiên nào có tích bằng 2019 và tổng bằng 20018 hay khơng?
Ví dụ 9. Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn
a)

 2 x  1  y  4   11 ;

b) xy  x  2 y  3 ;

c) 2 xy  5 x  2 y  148 .

Ví dụ 10. Tìm các số tự nhiên x, biết:
x
a) 2  15  17.

 7 x  11
b)

3

 25.52  200

10

d) x  x .

 2 x  15
e)

5

  2 x  15 

10

. c) x

 1x.

3

.

DẠNG 3. GIẢI BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN THÀNH PHẦN CỦA PHÉP TÍNH.
Ví dụ 11. Trong một phép chia có dư, số bị chia bằng 24, thương bằng 3. Tìm số chia
và số dư.
Giải.

4


Gọi số chia là b và số dư là r, ta có 24 = 3b + r với 0 < r < b.
Từ 24 = 3b + r suy ra r = 24 – 3b và r > 0 suy ra 3b < 24 nên b < 8. (1)
Từ r = 24 – 3b và r < b suy ra 24 – 3b < b suy ra 4b > 24 nên b > 6 (2). Do b là số tự

nhiên nên từ (1) và (2) suy ra b = 7. Suy ra r = 3.
Vậy số chia là 7 và số dư là 3.
Ví dụ 12. Tìm số dư của phép chia số
Giải. Ta thấy 111111 :1001 = 111.
a = = . Vì chia hết cho 1001 cịn 1111 chia cho 1001 dư 110 nên a chia cho 1001 dư
110.
Ví dụ 13. Chia số tự nhiên a cho 72 thì dư 69. Chia số a cho 18 thì dư bằng thương.
Tìm số a.
Giải
Chia a cho 72 dư 69 nên ta có a = 72k + 69 = 18.4k + 54+ 15 = 18( 4k + 3) + 15. Do
đó a chia cho 18 dư 15. Vì khi chia a cho 18 được thương bằng số dư nên ta có 4k + 3
= 15 => 4k = 12 => k = 3 => a = 285.
DẠNG 4. ĐIỀN CHỮ SỐ.
Ví dụ 14. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 4 vào trước
chữ số hàng chục thì được số A, nếu viết thêm chữ số 8 vào sau chữ số hàng đơn vị thì
được số B, trong đó B gấp đơi A.
Giải.
Gọi số phải tìm là , ta có . Đặt = x ta được 10x + 8 = (400 + x).2
 10x + 8 = 800 + 2x => x = 99.
Ví dụ 13 : Khi chia một số tự nhiên gồm ba chữ số như nhau cho một số tự nhiên gồm
ba chữ số như nhau, ta được thương là 2 và cịn dư. Nếu xóa một chữ số ở số bị chia và
một chữ số ở số chia thì thương của phép chia vẫn bằng 2 nhưng số dư giảm hơn trước
100 đơn vị. Tìm số bị chia và số chia lúc đầu.
Hướng dẫn :
Gọi số bị chia lúc đầu là aaa , số chia lúc đầu là bbb , số dư lúc đầu là r. Ta có :

aaa  2.bbb  r

(1)

aa  2.bb  r  100

(2) . Từ (1) và (2), suy ra: aaa  aa  2. bbb  bb  100





� a00  2.b00 100 � a  2b 1=> (a; b) = (3; 1); (5; 2); (7; 3); (9; 4)

Thử từng trường hợp, ta có ba đáp số là: 555 và 222; 777 và 333; 999 và 444.
Ví dụ 15: Trong một phép chia có dư, số bị chia gồm bốn chữ số như nhau, số chia
gồm ba chữ số như nhau, thương bằng 13 và cịn dư. Nếu xóa một chữ số ở số bị chia,
một chữ số ở số chia thì thương khơng đổi, còn số dư giảm hơn trước 100 đơn vị. Tìm
số bị chia và số chia lúc đầu.
Hướng dẫn: Giải tương tự ví dụ 9. Đáp số: 4444 và 333.

5


DẠNG 5. SO SÁNH HAI LŨY THỪA. TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LŨY THỪA
Chú ý : - Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 nâng lên lũy thừa n ( khác 0) vẫn giữ
nguyên chữ số tận cùng.
-

(…0)n = …0 ; (…1)n = …1 ; (…5)n =…5 ; (…6)n = …6.

-

Các số có tận cùng là 00, 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa n (khác 0) vẫn giữ nguyên

hai chữ số tận cùng

-

Các số có tận cùng là 000, 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa n (khác 0) vẫn giữ
nguyên ba chữ số tận cùng.

-

Số có tận cùng bằng 0625 nâng lên lũy thừa nào khác 0 cũng tận cùng bằng
0625.

-

Các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lũy thừa 4n đều có chữ số
tận cùng là 1.

-

Các số tự nhiên có chữ số tận cùng bởi những chữ số 2, 4, 8 nâng lên lũy thừa 4n
có tận cùng là 6.

Ví dụ 16. a) Tìm chữ số tận cùng của 32017 và 62016 ; 735 – 431 ; 21930.91945
67

75

5
6
b) Tìm chữ số tận cùng của 234 ; 579 .

c) Tìm chữ số tận cùng của : S = 1 + 3 + 32 + 33 +…+ 330.
Hướng dẫn : 32017 tận cùng là 3 ; 62016 tận cùng là 6 ;
735 tận cùng là 3 ; 431 tận cùng là 4 => 735 – 431 tận cùng là 9.
21930 tận cùng là 4, 91975 tận cùng bằng 9 => tích tận cùng bằng 6.
Ví dụ 17. Tìm hai chữ số tận cùng của 62011 ; 3512011 ; 218218.
Hướng dẫn :
65 tận cùng bằng 76, số tận cùng bằng 76 nâng lên lũy thừa n (khác 0) vẫn tận cùng
bằng 76. Ta có :
62011 = (65)42.6 = (…76)42.6 = …76.6 = …56. Vậy hai chữ số tận cùng của 62011 là 56.
* 3512 = …01. Số tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa n (khác 0) thì vẫn tận cùng là
01. Do đó, ta có :
3512011 = (3512)1005.351 = (…01).351 = 51. Vậy hai chữ số tận cùng của số 3512011 là
51.
Số có tận cùng bằng 18 nâng lên lũy thừa 4 thì có tận cùng là 76. Số tận cùng bằng 76
nâng lên lũy thừa n với n khác 0 thì vẫn tận cùng bằng 76. Do đó 218218 có tận cùng
bằng 24.
Ví dụ 18 : Chứng minh :
512019  47102
10
a)
là một số tự nhiên;
nhiên ?

b)

A

2010
94

1
.(7 2008  392 )
10
là một số tự

c) 405n + 2405 + m2 (m, n là các số tự nhiên; n khác 0) không chia hết cho 10.

6


Giải:
2010
94
b) Vì 2008 ; 92 đều là bội của 4 nên 2008
và 92 cũng là bội của 4 �

20082010  4.m  m �N *  ;9296  4.n  n �N * 

Khi đó

7 2008

2008
tức là 7

Dễ thấy 7

2010

2010

 392  7 4 m  34 n   7 4    34    ...1   ...1  ...0
94

m

94

2008
có tận cùng bằng 0 hay 7

 392

2008 2010

9294

3

n

2010

> 0 mà 7

20082010

9294

3

94

 392 M
10

A

M
10 suy ra

2010
94
1
.(7 2008  392 )
10
là một số tự nhiên.

Ví dụ 19: So sánh các số sau:
a) 2711 và 818;

b) 6255 và 1257;

c) 536 và 1124;

d) 32n và 23n (n là số tự nhiên lớn hơn 1);

e) 523 và 6.522.

Ví dụ 20: So sánh các số sau:

a) 7.213 và 216;

b) 2115 và 275.498;

c) 19920 và 200315;

d) 339 và 1121 ;

45
44
44
43
e) 72  72 và 72  72

Ví dụ 21: Hãy so sánh S = 1 + 2 + 22 + …+ 29 với 5.28.

7


CHUYÊN ĐỀ 2 : SỐ CHÍNH PHƯƠNG :
I. Kiến thức cần nhớ:
1. Số chính phương là những số có dạng bình phương của một số tự nhiên.
2. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 khơng có chữ số
tận cùng là 2, 3, 7, 8.
3. Số chính phương chia 3, 4 chỉ dư 0 hoặc 1; chia 5 chỉ dư 0, 1, 4.
4. Nếu một số chính phương mà chia hết cho 2, 3, 5, 7, 11, 13…, p (p là số ngun
tố) thì nó chia hết cho 4, 9, 25, 49, 121, 169,…,p2.
5. Nếu số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
6. Khi phân tích một số chính phương ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ
chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa các thừa số nguyên tố

với số mũ lẻ.
7. Số lượng các ước của một số chính phương là số lẻ và nếu một số có số lượng
các ước là số lẻ thì số đó là số chính phương.
Thật vậy, Nếu A = 1 thì A là số chính phương có một ước. Ta giả sử A > 1 có
dạng phân tích ra thừa số ngun tố là A = axbycz…, nên số lượng các ước của A
là: (x + 1)(y + 1)(z + 1)…
a) Nếu A là số chính phương thì x, y, z,… là số chẵn suy ra (x + 1)(y + 1)(z + 1)
là số lẻ.
b) Nếu số lượng các ước của A là số lẻ thì (x + 1)(y + 1)(z + 1) … lẻ do đó các
thừa số x + 1, y + 1, z + 1 ,…đều là các số lẻ => x, y, z,… là số chẵn => A là
số chính phương.
II.

Bài tập

Ví dụ 1 : Xét xem các số sau có là số chính phương hay khơng ?
a) 1234567897 ;

b) 5554 – 11 ;

c) 32015 + 3144.

Ví dụ 2 : Các tổng sau có là số chính phương hay không ?
a) A = 3 + 32 + …+ 320 ;
+ 7;
e) 1010 + 5;

b) B = 11 + 112 + 113 ; c) 1010 + 7;

d) 100!

f) 10100 + 1050 + 1.

Ví dụ 3: Chứng minh rằng các số sau khơng là số chính phương:
a) abab ;

b) abcabc ;

c) ababab ;

d)

abc  bca  cab

Ví dụ 4: Tìm số chính phương có bốn chữ số gồm cả bốn chữ số sau:
a) 0, 2, 3, 4;
3, 6, 8, 8

b) 7, 4, 2, 0;

c) 0, 2, 3, 5;

Hướng dẫn: a) Số cần tìm là: 2304; b) 2704 ;

c) 3025 ;

d)
d) 8836.

Ví dụ 5 : a) Cho một số tự nhiên gồm 15 chữ số 2. Có cách viết thêm số 0 vào vị trí

tùy ý để số mới tạo thành là một số chính phương khơng ?
b) Một số tự nhiên gồm có một chữ số 1, hai chữ số 2, ba chữ số 3, bốn chữ số 4 có
thể là một số chính phương khơng ?
c) Một số tự nhiên gồm một số chữ số 0 và 6 chữ số 6 có thể là số chính phương
khơng?

8


Hướng dẫn :
a) Số chính phương là số chia hết cho 3 thì chia hết cho 9. Số gồm 15 chữ số hai
viết thêm chữ số 0 vào vị trí bất kỳ đều có tổng các chữ số là 30 chia hết cho 3
nhưng không chia hết cho 9. Vậy khơng có cách viết nào để có số chính phương.
b) Tổng các chữ số của số này là : 1 + 2.2 + 3.3 + 4.4 = 24 chia hết cho 3 nhưng
khơng chia hết cho 9. Vì thế số đã cho khơng là số chính phương.
c) Giả sử n2 là số chính phương gồm một chữ số 0 và 6 chữ số 6. Nếu n2 tận cùng là
0 thì phải tận cùng bằng một số chẵn chữ số 0. Ta bỏ tất cả các chữ số 0 này đi
thì số còn lại tận cùng bằng 6 và cũng là số chính phương. Xét hai trường hợp :
Số cịn lại tận cùng là 06 hoặc 66. Các số này không là số chính phương vì chia
hết cho 2 nhưng khơng chia hết cho 4. Nếu n2 tận cùng bằng 6 thì ta cũng chỉ ra
được điều vơ lí. Suy ra số có tính chất như trên khơng thể là số chính phương.
Ví dụ 6 : a) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu nhân nó với 135 thì ta được
một số chính phương.
b) Viết liên tiếp từ 1 đến 12 được số A = 1234…1112. Số A có thể có 81 ước được
khơng ?
c) Tìm số chính phương có 4 chữ số sao cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số
cuối giống nhau.
Hướng dẫn :
a) Gọi số phải tìm là n, ta có k2 = 135n (k là số tự nhiên). Hay k2 = 33.5.n. Số chính
phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên n = 3.5.k2.

Với k = 1 thì n = 15, với k = 2 thì n = 60, với k > 2 thì n > 134, có nhiều hơn hai
chữ số, loại.
Vậy số phải tìm là 15 hoặc 60.
b) Do A có 81 ước là số lẻ nên A là số chính phương. Tổng các chữ số của A là 51
chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên A không là số chính phương (vơ
lí).
c) Gọi số chính phương phải tìm là n2 = aabb. Ta có n2 = aabb = 1100a + 11b =
11(100a + b) = 11(99a + a + b) (1). Do đó 99a + a + b chia hết cho 11 nên a +
b chia hết cho 11, vậy a + b = 11. Thay a + b = 11 vào (1) ta có: n2 = 11(99a +
11) = 112 (9a + 1). Do đó 9a + 1 là số chính phương.
Thử với a = 1,2,…9 ta có a = 7 và b = 4. Do đó số cần tìm là 7744 = 882.
Ví dụ 7 : Tìm số nguyên tố có hai chữ số ab(a > b > 0) sao cho ab – ba là số chính
phương.
Hướng dẫn :
Ta có : ab – ba = 9a – 9b = 9(a - b) = 32 (a - b). Do ab – ba là số chính phương nên a
– b là số chính phương. Ta thấy 0 < a – b < 9 nên a – b = 1; 4.
Với a – b =1 thì ab = 21; 32; 43; 54; 65; 76; 87; 98. Loại các số là hợp số, ta có ab
= 43.
Với a – b = 4 thì ab = 51 ; 62 ; 73 ; 84 ; 95. Loại các hợp số, ta có ab = 73.

9


Vậy hai số cần tìm là 43 hoặc 73.
Ví dụ 8: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì
phương.

n ! 2018 khơng là số chính

Hướng dẫn:

Nếu n = 0, 1, 2 thì 2018; 2019; 2020 khơng là số chính phương.
Nếu n > 2 thì n! + 2018 chia 3 dư 2. Suy ra khơng chính phương.
Ví dụ 9: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 3n + 4 là số chính phương.
Hướng dẫn:
Nếu n chẵn thì 3n chia 8 dư 1. Do đó 3n + 4 chia 8 dư 5. Một số chính phương chia 8
chỉ dư 0; 1; 4 => số này không là số chính phương.
Nếu n lẻ, thì 3n chia 4 dư 3 => 3n + 4 chia 4 dư 3. Một số chính phương chia 4 chỉ
dư 0 hoặc 1 => Số này khơng là số chính phương.
Vậy khơng tồn tại n để 3n + 4 là số chính phương.
Ví dụ 10: Tìm tất cả các số chính phương có tổng các chữ số bằng 2013.
Hướng dẫn:
Do 2013 chia hết cho 3 nên nếu số chính phương có tổng các chữ số là 2013 thì số
này phải chia hết cho 3. Do một số chính phương chia hết cho 3 thì cũng chia hết
cho 9 nên số này chia hết cho 9. Mà 2013
khơng chia hết cho 9 nên khơng có số chính phương nào có tổng các chữ số bằng
2013.
--------------------------BÀI TẬP SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1. a) Tìm số tự nhiên n có hai chữ số, biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số
chính phương.
a) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu nhân nó với 45 thì được số chính
phương.
b) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, sao cho nếu cộng nó với số gồm hai chữ số ấy viết
theo thứ tự ngược lại thì ta được một số chính phương.
c) Tìm số chính phương có bốn chữ số, biết rằng chữ số hàng trăm, hàng nghìn,
hàng chục, hàng đơn vị theo thứ tự đó làm thành bốn số tự nhiên liên tiếp tăng
dần.
Bài 2: Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2. Chứng
minh rằng A – B là số chính phương.
Bài 3: Tìm số tự nhiên n (n > 0) sao cho 1! + 2! + 3! + …+ n! là số chính phương.
Bài 4 : Chứng minh rằng là số chính phương, với n là số tự nhiên khác 0.

Bài 5 : Cho S = 1 + 31 + 32 + …+ 330. Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S
khơng phải là số chính phương.
Bài 6 : Có số chính phương nào mà có tổng các chữ số của nó bằng 2009 hay không ?

10


Bài 7 : Các số sau có là số chính phương không ?
a) 2 + 22 + 23 + …+ 220 ;

b) 1015 + 8 ;

c) 35678901234567.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Tính : a) (2 .16 + 2 . 34) :2 ;

b) (3 . 57 – 9 .21) :3 . d)

e) (10 + 112 + 122) : (132 + 142)

f) 9 ! – 8 ! – 7 !.82

9

9

10

4

2

5

33...3.66...6
{ {
100

100

.

g)

Bài 2. a) Cho biết 13+23+33+…+93 = 2025. Hãy tính 23 + 43 + 63 + …+ 183.

b) Tính

A

310.11  310.5
210.13  210.65
B

39.2 4
28.104
;
.

Bài 3. a) Cho a = 2 + 22 + 23 + 24 + …210. Chứng tỏ rằng a + 2 = 211.
2
3
20
b) Chứng minh rằng A  4 2  2  ...  2 là một lũy thừa của 2.

Bài 4. Tìm số tự nhiên x biết rằng: (2x+1)2 = 625.
Bài 5. Tìm các số tự nhiên x, y sao cho:
a. (2x + 1)(y - 5) = 12;

b. 2xy + y = 5.

Bài 6. Tìm số tự nhiên x, biết:
a)

697 :

15 x  364
 17.
x

b)

 x  1   x  2  ...   x  100   5750 .
c)
e) 2

Bài 7.

x 3

92.4  27 

 x  5
d)

4

x  350
 315
x
.

  x  5

6

.

 2 x 1  2 x  2  76 .
2
3
100
n
Cho A  3  3  3  ...  3 . Tìm số tự nhiên n biết 2 A  3  3 .

Bài 8. Chứng minh rằng

k  k  1  k  2   k  3   k  1 k  k  1  k  2   4k  k  1  k  2 

,

k �N * .
Từ đó tính S  1.2.3  2.3.4  ...  99.100.101 .
Bài 9. Tính tổng

S  1.4  2.5  3.6  ...  n  n  3 

, với n = 1, 2, 3…

Bài 7. Điền chữ số thích hợp để:.
Bài 8. a. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số, trong đó có ít nhất hai chữ số giống
nhau.
b. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số
hàng đơn vị.
Bài 9. Trong các số tự nhiên từ 1 đến 500, có bao nhiêu số có ít nhất một chữ số 5.
Bài 10. Tìm số tự nhiên n biết rằng có đúng 100 số lẻ nằm giữa n và 2n.

11


12


Bài 11. a. Chứng minh rằng .
b. Chứng tỏ rằng tổng hiệu sau, không chia hết cho 10:
B = 98.96.94.92 – 91.93.95.97;

C = 405n + 2405 + m2 (m, n ).

.
Bài 12. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 7430; 4931; 8732; 5833; 2335.
Bài 13. Tìm hai chữ số tận cùng của:
d) 5n ( n > 1);

b) 71991;

c) A = 2 + 22 + 23 +… + 220;

Bài 14. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a. ;

d) 16101.

b. .

Bài 15. a. Tích các số lẻ liên tiếp có tận cùng là 7. Hỏi tích đó có bao nhiêu thừa số?
b. Tích A = 2.22.23…210.52.54…514 có tận cùng là bao nhiêu chữ số 0.
Bài 16. Tìm x, biết: a. (19x + 2.52) : 14 = (13 - 8)2 – 42;

b. 2.3x = 10.312 + 8.274.

Bài 17. Trong một năm có nhiều nhất bao nhiêu ngày chủ nhật, có ít nhất bao nhiêu
ngày chủ nhật?

13


CHUYÊN ĐỀ 3. TÍNH CHẤT CHIA HẾT. DẤU HIỆU CHIA HẾT.
I.
Kiến thức cần nhớ:

1. Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b khác 0. Ta nói a chia hết cho
b nếu tồn tại số tự nhiên q sao cho a = bq. Khi đó ta cịn nói a là bội của b, b là
ước của a, q gọi là thương.
2. Các tính chất chung:
 Bất cứ số khác 0 nào cũng chia hết cho chính nó.
 Tính chất bắc cầu: Nếu a chia hết cho b, b chia hết cho c thì a chia hết cho c.
 Số 0 chia hết cho mọi số khác 0.
 Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1.
3. Tính chất chia hết của một tổng:
4. Tính chất chia hết của một tích:
 Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích đó chia hết cho m.
 Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì ab chia hết cho mn.
 Nếu a chia hết cho b thì an chia hết cho bn.
 Nếu a.b chia hết cho số nguyên tố p thì a hoặc b chia hết cho p.
 Nếu an chia hết cho số nguyên tố p thì a chia hết cho p.
 Nếu a chia hết cho m, a chia hết cho n thì a chia hết cho BCNN(m,n).
 Nếu a chia hết cho m, a chia hết cho n và (m, n) = 1 thì a chia hết cho mn.
 Nếu ab chia hết cho m và (a, m) = 1 thì b chia hết cho m.
5. Các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 25, 125.
II.
Các dạng toán thường gặp.
DẠNG 1. CHỨNG MINH TÍNH CHIA HẾT.
Ví dụ 1. a. Chứng minh rằng tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 2.
b. Chứng minh rằng tích của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3 và chia hết cho
6.
c. Chứng minh rằng tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4.
Giải:
a. Trong hai số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có một số chẵn, số chẵn đó chia hết
cho hai cho nên tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 2.
b. Trong ba số tự nhiên liên tiếp ln có một số chia hết cho 3 chính vì thế tích của

ba số này chia hết cho 3. Kết hợp phần (a), ta có tích của ba số tự nhiên liên tiếp
chia hết cho 2 và chia hết cho 3 mà (2,3) = 1 nên tích này chia hết cho 6.
c. Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp đó là n, n + 1, n + 2, n + 3 (n là số tự nhiên). Tổng
của 4 số này là 4n + 6 không chia hết cho 4.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
a) ab  ba M11 ;

b) ab  ba M9, a  b.

27 thì bca M27 .
c) Nếu abc M

27 � abc0 M27 � 1000a  bc0M27 � 999 a  bca M27 . Từ đây ta có
Hướng dẫn: c) ta có abc M
đpcm.
Ví dụ 3 : Chứng minh rằng :

14


67 .
a) Nếu ab  2cd thì abcd M

b) abc deg chia hết cho 23 và 29, biết rằng

abc  2deg .
11 . d) Nếu abc  deg M
37 thì abc deg M
37.
11 thì abc deg M

c) Nếu ab  cd  eg M
Ví dụ 4: Hãy chứng minh rằng: Nếu trong ba số tự nhiên trong đó khơng có số nào
chia hết cho 3 thì bao giờ ta cũng có hoặc là tổng của cả ba số đó hoặc tổng của hai
số nào đó trong ba số phải chia hết cho 3.
Hướng dẫn: Do trong ba số khơng có số nào chia hết cho 3 nên cả ba số chia ba đều
có dư. Một số chia ba chỉ có thể dư 1 hoặc 2. Nếu cả ba số có cùng số dư khi chia cho
3 thì tổng của chúng chia hết cho 3. Nếu hai số chia cho 3 khác số dư thì tổng của
chúng chia hết cho 3. Từ đây ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 5: Chứng minh rằng:
2
3
100
6;
a) A  5  5  5  ...  5 M

b)

B  2  22  ...  2100 M31; M62 ; c) 165  215 M31 .

28
72 ;
d) 10  8 M

e)

88  220 M17 ;

9
8
Ví dụ 6: a) Cho A  11  11  ...  11  1 . Chứng minh rằng A chia hết cho 5.

2
3
60
b) Cho B  2  2  2  ...  2 . Chứng minh rằng B chia hết cho 3, 7 và 15.
2
3
1991
c) Cho C  3  3  3  ...  3 . Chứng minh rằng B chia hết cho 13 và 41.

Ví dụ 7: Chứng minh rằng:

�
�
*
2n  111...1
�
1 2 3 �M3, n �N
n
�
a) �
;
c)

b)

10n  18n  1 M27, n �N ;

10n  72n  1 M81, n �N

d) Số gồm 81 chữ số 1 thì chia hết cho 81.

Hướng dẫn:
a) 111…1 – n + 3n chia hết cho 3;
9(111…1 – n) + 27n chia cho 27.

b) 10n + 18n – 1 = 10n – 1 – 9n + 27n =

c) 10n – 1 – 9n + 81n = 9(11…1 – n) + 81n chia hết cho 81.
d) Xét số A = 111…1 (81 chữ số 1); B = 11…1 (9 chữ số 1). Ta có C = A : B = 10…
010…01…0001 (gồm 9 chữ số 1 và 64 chữ số 0) số này chia hết cho 9. Ta có A =
B.C mà B và C cùng chia hết cho 9 nên suy ra A chia hết cho 81.
Ví dụ 8: Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng:
a) (n + 8)(n + 15) chia hết cho 2.

b) n(n + 2)(n + 7) chia hết cho 3.

c) 5n – 1 chia hết cho 4.

d) n2 + n + 2 không chia hết cho 5.

15


Hướng dẫn:
a)
b)
c)
d)

Xét các trường hợp n chẵn và n lẻ.
Xét các trường hợp của n khi chia cho 3.

Xét n = 0; n = 1; n > 1.
Chú ý tích của hai số tự nhiên liên tiếp có chữ số tận cùng là 0, 2, 6. Từ đây có
đpcm.

Ví dụ 9: a) Số tự nhiên a và 6a có tổng các chữ số như nhau. Chứng minh rằng a chia
hết cho 9.
b) Gọi n là số tạo bởi các số tự nhiên liên tiếp viết từ 16 đến 89. Tìm số tự nhiên k
lớn nhất để n chia hết cho 3k.
Hướng dẫn:
a) Do a và 6a có tổng các chữ số giống nhau cho nên khi chia a và 6a cho 9 có
cùng số dư. Do đó 6a – a = 5a chia hết cho 9. Vì (5; 9) = 1 nên a chia hết cho 9.
b) Xét dãy các số từ 16 đến 89 là: 16171819…8889.
Tổng các chữ số ở hàng chục là: 1.4 + (2 + 3 +…+ 8).10 + = 354.
Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là: 6 + 7+ 8 + 9 + (1 + 2 +…+ 9).7 = 345
Vậy tổng các chữ số của n là 699.
Ta có 699 chia hết cho 3 nhưng khơng chia hết cho 9. Do đó n chia hết cho 3 nhưng
không chia hết cho 9. Vậy số tự nhiên k lớn nhất để n chia hết cho 3k là k = 1.
DẠNG 2. TÌM ĐẠI LƯỢNG CHƯA BIẾT.
Ví dụ 1. Nếu ta chia 3698 và 736 cho cùng một số tự nhiên thì các số dư tương ứng là
26 và 56. Hỏi số chia phải bằng bao nhiêu?
Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên n sao cho:
a) n + 2 chia hết cho n – 1;
chia hết cho 6 –n

b) 2n + 7 chia hết cho n + 1;

d) 3n chia hết cho 5 – 2n;

e) 4n + 3 chia hết cho 2n + 6.

c) 2n + 1

Ví dụ 3: a) Tìm số tự nhiên n lớn nhất có ba chữ số sao cho n2 – n chia hết cho 5.
b) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó chia hết cho tích các chữ số của
nó.
c) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, chia hết cho 45, biết rằng hiệu giữ số đó và số
gồm chính ba chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại bằng 297.
Hướng dẫn:
a) Ta có n2 – n = n(n -1) chia hết cho 5 nên n tận cùng là 0, 5, 1, 6. Để n lớn nhất có
ba chữ số thì ta chọn n = 996.
b) Gọi số cần tìm là ab , ta có 10a + b chia hết cho ab (1). Suy ra b chia hết cho a.
Đặt b = ka thì k < 10 (k là số tự nhiên). Thay b = ka vào (1), ta có 10a + ka chia
hết cho aka => 10a chia hết cho ka => 10 chia hết cho k => k = 1; 2; 5.

16


Nếu k = 1 thì b = a suy ra 11a chia hết cho a2 => 11 chia hết cho a => a = 1
=> được số 11.
Nếu k = 2 thì b = 2a, suy ra 12 chia hết cho 2a => a = 1; 2; 3. Từ đây được các
số 12; 24; 36.
Nếu k = 5 thì tương tự, ta có số 15.
Vậy ta được 5 số thỏa mãn yêu cầu của đề bài là 11; 12; 24; 36; 15.
c) Gọi số cần tìm là abc , vì abc chia hết cho 45 = 5.9 mà (5,9) = 1 nên abc chia hết
cho cả 5 và 9. Do abc chia hết cho 5 nên c = 0; 5.

Ta có abc  cba  297 hay 100a  10b  c  100c  10b  a  297

� 99a  99c  297 � a  c  3 .

Nếu c = 0 thì a = 3 => b = 6 .Ta được số 360
Nếu c = 5 thì a = 8 => b = 6. Ta được số 865.

Ví dụ 4 : Bạn Tùng viết mười số tự nhiên liên tiếp rồi xóa đi một số thì tổng của chín
số cịn lại là 490. Tìm số bị xóa.
Hướng dẫn :
Ví dụ 5 : Tìm hai số tự nhiên chia hết cho 9, biết rằng :
a) Tổng của chúng bằng *657 và hiệu của chúng bằng 5*91 .
b) Tổng của chúng bằng 513* và số lớn gấp đôi số nhỏ.
Hướng dẫn :
Ví dụ 6 : Tìm các chữ số x, y để A  x372 y là một số tự nhiên có 5 chữ số, sao cho A
chia hết cho cả 8 và 5 và chia cho 3 có số dư là 1.

17


CHUYÊN ĐỀ 4: SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ
I.
II.

Kiến thức cần nhớ
Một số dạng bài tập cơ bản

Bài 1: a) Một số nguyên tố khi chia cho 42 có số dư là r là hợp số. Tìm r.
b) Một số nguyên tố khi chia cho 30 có số dư là r. Biết r khơng là số ngun tố. Tìm
r.
c) Cho p và 8p – 1 là các số nguyên tố. Chứng minh rằng 8p + 1 là hợp số.
d) Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 8 là hợp số.
Bài 2: a) Tìm ba số lẻ liên tiếp đồng thời là các số nguyên tố.
b) Tìm các số tự nhiên x sao cho (x - 2)(x + 2) là số nguyên tố.

c) Tìm các số tự nhiên x và y sao cho (7 - x)(5 - y) là số nguyên tố.
Bài 3: Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3, trong đó số sau lớn hơn số trước là m đơn vị.
Chứng minh rằng m chia hết cho 6.

p1  p2
2
Bài 4: Cho p1 > p2 là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng
là hợp
số.
Bài 5: Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Khi đó n2 + 2021 là số nguyên tố hay là
hợp số?
Bài 6: a) Tìm các số nguyên tố n sao cho 2n + n2 là số nguyên tố.
n

2020
 17 , trong đó n là một số tự nhiên.
b) Tìm tất cả các số ngun tố có dạng 2
n

2
c) Tìm tất cả các số nguyên tố có dạng 2  5 , trong đó n là một số tự nhiên.

Bài 7: Chứng minh rằng
a) Số tự nhiên

11...1211...1
{
{
50

50

là hợp số.

b)

18

88...8
{ 9 n
n

*
, n �� là hợp số.


CHUYÊN ĐỀ 5: CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN Z.
I.
II.

KIẾN THỨC CẦN NHỚ
BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1 : Tìm số nguyên x, biết :
a) 12 + (4 - x) = 5 – 2x .
( x2 - 36) = 0.

b) (2x - 6)(4 – 2x)(|2x| - 8) = 0.

c) (x2 - 3)

d) (x2 - 3)(x2 - 36) < 0.
2)10 = (x - 2)6.

e) (x - 1)2 = 4 ;

f) (x -

g) 24 – {-x – [ -x + (x + 4) – 3]} = 20.
Bài 2 : Cho A = -1 + 3 – 5 + 7 - … - 101 + 103.
a) Tính giá trị của biểu thức A.
b) Hãy viết số hạng tổng quát thứ n của biểu thức A.
Bài 3 : Tính giá trị các biểu thức sau :
a) 1 – 2 + 3 – 4 +…+ 99 – 100.
– 99 + 100 + 101.

b) 1 – 2 – 3 + 4 + 5 – 6 – 7 + 8 - …+ 97 – 98

100
99
98
2
c) 1 + 3 – 5 – 7 + 9 + 11 - … - 397 – 399. d) 2  2  2  ...  2  2  1 .

Bài 4 : Tìm các số nguyên n sao cho
a) 3n + 2 chia hết cho n – 1.

b) n2 + 2n – 7 chia hết cho n + 2.

c) n2 + 3 chia hết cho n – 1.

c) n2 + 3n – 13 chi hết cho n + 3.

Bài 5: Tìm số nguyên x, biết: 11 + 12 + 10 +… + x = 12, trong đó vế trái là tổng
các số nguyên liên tiếp viết theo thứ tự giảm dần.
Bài 6: Tìm các số nguyên x, y biết:
a) (x - 3)(y - 5) = 7.

b) (x - 1)(xy - 5) = 5.

c) xy – 3x + 2y = 11.

d) 2xy + 10x – 3y = 25.
Bài 7: a) Chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
b) Chứng minh rằng (n - 1)(n + 2) + 12 không chia hết cho 9 với mọi số nguyên n.
c) Chứng minh rằng (n + 2)(n + 9) + 21 không chia hết cho 49.
Bài 8: Cho x, y là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu 6x + 11y chia hết cho 31
thì x + 7y cũng chia hết cho 31. Điều ngược lại có đúng khơng?
Bài 9 : Cho tổng 1 + 2 + 3 + …+ 10. Xóa hai số bất kì và thay bằng hiệu của
chúng. Cứ tiếp tục làm như vậy nhiều lần. Có khi nào kết quả nhận được là -1; -2; 0
được không?
Bài 10: Cho a1, a2,…,an là các số nguyên, b1, b2,…,bn là một hoán vị (một cách sắp
xếp theo thứ tự khác) của a1, a2,…,an. Chứng minh rằng nếu n là số lẻ thì (a1 – b1)(a2
– b2)…(an - bn) là số chẵn.

19


Bài 11: Cho 25 số ngun trong đó tích của ba số bất kì là một số dương. Chứng
minh rằng cả 25 số đó đều là số nguyên dương.

Bài 12: Cho 100 số nguyên. Biết rằng tổng của 11 số bất kì trong các số đó là một
số âm. Chứng minh rằng tổng của 100 số nguyên đó là số âm.
Bài 13: Trong ba số nguyên a, b, c có một số nguyên dương, một số nguyên âm và
một số bằng 0 thỏa mãn điều kiện sau:
là số âm, số nào bằng 0?

a  b2  b  c 

. Hỏi số nào là số dương, số nào

Bài 14: Cho bảy số nguyên a1 , a2 ,..., a7 mỗi số bằng 1 hoặc -1. Hỏi

S  a1a2  a2 a3  a3a4  a4 a5  a5a6  a6 a7  a7 a1 có thể bằng 0 được khơng?
Bài 15: Cho các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn: a + b = c + d và ab + 1 = cd.
Chứng minh rằng c = d.
Bài 16: Tìm 5 số nguyên sao cho mỗi số trong các số đó đều bằng bình phương của
tổng 4 số cịn lại.
-------------------CHUN ĐỀ 6: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT, BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
I.
LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất
Nếu (a, b) = d thì a = dk; b = dh, với (k, h) = 1.
2.
3.



Quan hệ giữa ước chung lớn nhất và bcnn: Ta có (a, b). [a, b] = a.b.
Thuật tốn euclid tìm ước chung lớn nhất của hai số:
Nếu a chia hết cho b thì (a, b) = b và [a, b] = a.

Nếu a không chia hết cho b, giả sử a > b và số dư là r thì (a, b) = (b, r).
Ví dụ: 72 = 56.1 + 16 nên (72, 56) = (56, 16). Lại có 56 = 3.16 + 8 nên (56, 16)
= (16, 8) = 8.
Vậy (72, 56) = 8.
II.
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN.
Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên n sao cho: a) 18n + 3 chia hết cho 7.
chia hết cho 11.

b) 15n + 7

Hướng dẫn: a) Ta có 18n + 3 = 14n + 4n + 3 = 14n + 4(n - 1) + 7 chia hết cho 7
nên 4(n - 1) chia hết cho 7
Vì (4, 7) = 1 nên n – 1 chia hết cho 7 hay n = 7k + 1 (k là số tự nhiên)
Cách 2: ta có 18n + 3 = 18n – 18 + 21 = 18(n -1) + 21 chia hết cho 7 => 18(n - 1)
chia hết cho 7 => n – 1 chia hết cho 7 (vì (18, 7) = 1).
b) Ta có 15n + 7 = 15n – 15 + 22 chia hết cho 11 => n = 11k + 1 (k là số tự nhiên)
Ví dụ 2: a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 5 thì dư 1, chia cho 7 thì dư 5.
b) Tìm số tự nhiên n có bốn chữ số sao cho chia n cho 131 thì dư 112, chia n cho
132 thì dư 98.

20


c) Tìm số tụ nhiên có ba chữ số như nhau, biết rằng số đó có thể viết được dưới
dạng tổng của các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1.
d) Tìm các số tự nhiên, biết rằng tích của nó với số tự nhiên liền sau nó có tận cùng
là 00.
e) Ba số tự nhiên liên tiếp a, a + 1, a + 2 tương ứng chia hết cho 5; 7 và 9. Tính giá
trị nhỏ nhất có thể có của tổng ba số nói trên.

f) Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho khi chia cho 3, cho 5, cho 7 được số dư tương
ứng là 2, 3, 4.
Hướng dẫn:
Ví dụ 3:
a) Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 84 và ước chung lớn nhất của
chúng là 6.
b) Tìm hai số biết rằng BCNN của chúng và ƯCLN của chúng có tổng bằng 19.
Hướng dẫn:
Ví dụ 4: Tìm Ước chung lớn nhất của hai số A và B, biết rằng A là số gồm 1991 chữ
số 2 và B là số gồm 8 chữ số 2.
Hướng dẫn: Dùng thuật toán euclid để tìm ước chung lớn nhất của A và B.
Ví dụ 5: Cho a, b là các ố nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng các số sau cũng
là các số nguyên tố cùng nhau:
a) a và a + b;

b) a2 và a + b;

c) ab và a + b.

Ví dụ 6: Tìm các sơ tự nhiên n để các sơ 9n + 24 và 3n + 4 là các số ngun tố
cùng nhau.
Hướng dẫn:
Ví dụ 7: Tìm ước chung lớn nhất của 2n – 1 và 9n + 4 với n là số tự nhiên khác 0.
Hướng dẫn:
Ví dụ 8: Tìm ước chung lớn nhất của n(n + 1) : 2 và 2n + 1 (n là số nguyên dương).
Hướng dẫn:
Ví dụ 9: Tìm hai số ngun dương sao cho tổng của chúng và tích của chúng là hai
số đối nhau.

-----------------CHUYÊN ĐỀ 7: DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT

I.
Kiến thức cần nhớ.
1. Dãy số cộng (dãy số cách đều).

21


a) Dãy số cách đều là dãy số mà kể từ số hạng thứ hai của dãy trở đi, mỗi số hạng
đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d (un+1 = un +
d), d gọi là khoảng cách (hay cịn gọi là cơng sai).

an  a1
1
d
b) Số số hạng của dãy số tính bằng công thức
.
an  a1   n  1 .d
d

c) Số hạng thứ n của dãy số cách đều là

.

S

 a1  an  n

2
d) Tổng của n số hạng đầu tiên của dãy cách đều là
.

2. Dãy số nhân.
a) Dãy số nhân là dãy số trong đó kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều là
tích của số hạng liền trước nó với một số q không đổi (q gọi là công bội):
an 1  an .q .
b) Số hạng thứ n của dãy số được tính bằng cơng thức
c) Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là
3. Một số dãy khác.
II.
Một số dạng bài tập cơ bản.

an  a1.q n1 .

S n  a1  a1q  a1q 2  ...a1.q n 1  a1.

--------------CHUYÊN ĐỀ 8: ĐỒNG DƯ THỨC
-----------------CHUYÊN ĐỀ 9: NGUYÊN LÍ DIRICHLET
----------------------

22

qn 1
q 1 .


CHUYÊN ĐỀ 10: CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÂN SỐ.
I.

Rút gọn phân số.

Bài 1: Rút gọn các phân số sau:

199...9
a) 99...95 (10 chữ số 9 ở tử, 10 chữ số 9 ở mẫu)
cs
62020
78
2666...6
666...65
123

c)

2020 cs

3.7.13.37.39  10101
505050  70707 ;
b)

cs
62015
78
3  33  333  ...  333...3
333...3  3.2016
d)
.

.

2.6.10  4.12.20  6.18.30  ...  20.60.10
1.2.3  2.4.6  3.6.9  ...  10.20.30

e)
.
Bài 2: Rút gọn các phân số sau:

1.2.4  2.3.5  3.4.6  ...  100.101.103
1.22  2.32  3.42  ...  100.1012 .
a)

13  23  33  ...  1003
b) 1.5  2.8  3.11  ...  100.302 .

x y z
; ;
Bài 3: Cho ba phân số a b c bằng nhau. Rút gọn phân số sau:
xyz  b  c   c  a   a  b 
abc  y  z   z  x   x  y 
.
Bài tập về nhà:
1. Rút gọn các phân số sau:

a 2b 4c

 .
b
c
a Rút gọn phân số
a) Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn
ab  bc  ca
T 2
a  b2  c2 .

bz  cy cx  az ay  bx


a
b
c .
b) Cho a, b, c, x, y, z là các số nguyên thỏa mãn
x y z
  .
Chứng minh rằng a b c
2. Tìm số tự nhiên n để phân số

A

21n  3
6n  4 rút gọn được.

23


II.

Thực hiện phép tính

Bài 1: Tính

5.415.99  4.320.89
9 19
29
6

a) 5.2 .6  7.2 .27 .

7 7 5 21 49 8
.  .  .
13
15 12 39 91 15 .
b)

16 16 16
5 3
 
 1
5
7 9
12 4

23
34 �
�12
�1 1 1 �
5 2 17 17 17

 
� 
�
�   � 3 
199 200 201 �
�2 3 6 �
6 3
5 7 9 .

c) �
. d)

1 1 1
1
 2  3  ...  20
3
3 .
e) 3 3
Bài 2: Cho

A

4
6
9
7
7
5
3
11



B



7.31 7.41 10.41 10.57 ;
19.31 19.43 23.43 23.57 .

Tính tỉ số A:B.

Bài 3: Tính tổng

HD:

A

A

A

1
1
1
1


 ... 
1.2.3 2.3.4 3.4.5
37.38.39

185
741 . Tổng quát, ta có

�1
�
1
1

1
1
1


 ... 
� 
:2
�
1.2.3 2.3.4 3.4.5
n. n  1 . n  2  �2  n  1  n  2  �

Bài 4: Tính giá trị các biểu thức sau:

1 1
1
1
1    ... 

3 5
97 99
A
1
1
1
1
1


 ... 


1.99 3.97 5.95
97.3 99.1 .
a)
1 1 1
1
   ... 
100
B 2 3 4
99 98 97
1
 
 ... 
1
2
3
99
b)
Hướng dẫn:
a) Ghép các phân số ở số bị chia thành từng cặp để MC giống mẫu của các phân số
tương ứng ở số chia. Ta được tử gấp 50 lần mẫu. Nên A = 50.

24


b) Biến đổi mẫu số

100  1 100  2 100  3
100  99 �
100 100

100 � �
1 2
99 �


 ... 
� 
 ... 
� �   ...  �
1
2
3
99
2
99 � �
1 2
99 �
�1
1 �
�1
1
 100 �  ... 
B
.
�
100 �. Suy ra
�2
100


B

Bài 5: Tính giá trị biểu thức sau:

2a 5b 6c 7d
 

5b 6c 7 d 2a , biết

2a 5b 6c 7d



, a, b, c, d �0
5b 6c 7d 2a
.
III.

Tìm đại lượng chưa biết.

Bài 1: Tìm x, biết

5 � 2
�3
1 �
5  x7 �
:16  0
8
24
3

�
�
a)
.
2
c)

e)

3 x
2   2 x  3,5
4 2
b)
.

2 2 2
2
1989
   ... 
1
.
3 6 12
x  x  1
1991

d)

1 1 1
1
1991

1     ... 
1
3 6 10
x  x  1 : 2 1993

1
1
1
1
101


 ... 

5.8 8.11 11.13
x  x  3 1540

.

.

Bài 2: Tìm các số tự nhiên n để phân số sau có giá trị là số nguyên

12
a) 3n  1 .

n3
b) 2n  2 .

8n  193

c) 4n  3 .

Bài 3: Tìm các số tự nhiên n để các phân số sau là phân số tối giản

2n  3
a) 4n  1 .

3n  2
b) 7 n  1 .

Hướng dẫn:
a) Gọi d là ước nguyên tố của (2n + 3) và (4n + 1). Suy ra 4n + 1 – 2(2n + 3) = -5
chia hết cho d. Do đó 5 chia hết cho d. Mà d nguyên tố nên d = 5.
Ta thấy 2n + 3 chia hết cho 5 thì 4n + 1 = 2(2n + 3) – 5 cũng chia hết cho 5. Suy ra
2n phải tận cùng bằng 2 hoặc 7, mà 2n chẵn nên 2n tận cùng bằng 2 hay n tận
cùng bằng 1 hoặc 6.
Vậy n tận cùng khác 1 và 6 thì phân số đã cho tối giản.
b) Gọi d là ước nguyên tố của 3n + 2 và 7n + 1. Ta tìm được d = 11. Ta thấy 3n + 2
chia hết cho 11 thì

25