Tài liệu Luận văn: TÌM HIỂU PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN ĐỐI VỚI SÓNG RAYLEIGH TRONG MÔI TRƯỜNG PHÂN LỚP docx

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC
————oOo————
Trần Ngọc Trung
TÌM HIỂU
PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN
ĐỐI VỚI SÓNG RAYLEIGH TRONG
MÔI TRƯỜNG PHÂN LỚP
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHÍNH QUY
Ngành: Toán - Cơ
Cán bộ hướng dẫn: TS. Trần Thanh Tuấn
Hà Nội - 2012
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên của khóa luận này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy
giáo hướng dẫn TS. Trần Thanh Tuấn. Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng
dẫn em trong quá trình hoàn thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới nhóm Seminar tại bộ môn
Cơ học do PGS. TS Phạm Chí Vĩnh chủ trì, cùng toàn thể các thầy cô giáo trong
khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà
Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học
tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Hà Nội, ngày 20 tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Trần Ngọc Trung
Mục lục
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. Phương trình tán sắc của sóng mặt trong môi trường đa lớp .
6

1.1. Dạng ma trận của bài toán cho sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Một số tính chất tổng quát của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3. Tỉ số H/V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Chương 2. Dạng tiệm cận của phương trình t án sắc theo bước sóng. 17
2.1. Dạng tiệm cận của bước sóng dài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Dạng tiệm cận cho bước sóng ngắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Chương 3. Tính toán số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2
Lời mở đầu
Sóng Rayleigh [1] đã được Rayleigh phát hiện vào năm 1885. Từ đó đến
nay đã có rất nhiều nghiên cứu về sóng này vì các ứng dụng rộng rãi của nó
trong các lĩnh vực khác nhau. Một trong những lĩnh vực quan trọng sử dụng
sóng Rayleigh đó là sự truyền sóng động đất, trong đó sóng mặt Rayleigh trong
rất nhiều trường hợp là thành phần chính sóng động đất bên cạnh sóng Love và
sóng khối, đặc biệt là trong các trường hợp khi tâm chấn (động đất) là khá xa
so với địa điểm được khảo sát. Bề mặt trái đất ban đầu có thể được coi như là
một bán không gian, nhưng mô hình chính xác của nó phải là môt hình phân
lớp trong đó có một số lớp với các tính chất vật liệu khác nhau đặt trên một bán
không gian. Hai tính chất cơ bản quan trọng nhất của sóng Rayleigh là vận tốc
sóng và tỷ số H/V, là tỷ số của chuyển dịch ngang (horizontal) và chuyển dịch
theo phương thẳng đứng (vertical).
Sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng là sóng
không tán sắc và chỉ có duy nhất một mặt sóng. Trong mô hình đơn giản này
hai tính chất cơ bản trên của sóng Rayleigh đã được nghiên cứu kỹ lưỡng (xem
bài báo của Malischewsky (2004) [6]). Đối với mô hình phức tạp hơn, một lớp
đặt trên bán không gian, trong trường hợp vật liệu là đàn hồi đẳng hướng, thì
hai tính chất cơ bản trên cũng đã được nghiên cứu kỹ một cách giải tích trong

nhiều công trình, ví dụ như trong bài báo của Trần Thanh Tuấn (2011) [11].
Nói chung phương pháp được dùng trong các mô hình đơn giản này là biểu diễn
các đại lượng ứng suất và biến dạng của lớp và bán không gian phụ thuộc vào
các tham số vật liệu và số sóng, sau đó sử dụng các điều kiện biên để nhận
được một hệ phương trình thuần nhất. Phương trình tán sắc của sóng Rayleigh
sau đó nhận được bằng cách cho định thức của hệ phương tr ình thuần nhất này
bằng không để nhận được nghiệm không tầm thường. Phương pháp này có thể
MỤC LỤC
cho ta phương trình tán sắc của sóng Rayleigh dưới dạng hiển, thuận tiện cho
việc nghiên cứu giải tích cũng như là các tính toán số. Tuy nhiên, phương pháp
sẽ trở nên rất cồng kềnh khi được dùng để nghiên cứu mô hình phân lớp, khi
số lớp là nhiều hơn hai. Một phương pháp thay thế để khảo sát mô hình phân
lớp chính là phương pháp ma trận chuyển. Phương pháp này được đề xuất bởi
Thomson (1950) [
9]. Haskell (1953) [4] đã phát tr iển phương pháp này đối với
môi trường đàn hồi đẳng hướng và Stuart Crampin (1970) [2] đã phát triển
phương pháp này cho môi trường đàn hồi bất đẳng hướng. Phương pháp này sẽ
cho ta phương trình tán sắc của sóng Rayleigh dưới dạng ẩn. Mặc dù khó có thể
sử dụng phương trình tán sắc dạng ẩn này để nghiên cứu một cách giải tích các
tính chất của sóng Rayleigh, nhưng nó được dùng một cách rộng rãi trong việc
lập các chương trình tính toán số để khảo sát số các tính chất của sóng Rayleigh
trong mô hình phân lớp này. Một trong các chương tr ình sử dụng phương pháp
ma trận chuyển này là chương trình của Herrmann (1994) [5]. Chương trình này
được viết bởi ngôn ngữ lập trình FORTRAN dưới dạng các gói lệnh và có thể sử
dụng các ngôn ngữ khác, ví dụ như Matlab, để chạy chúng. Ưu điểm của chương
trình là chạy ổn định và nhanh chóng. Tuy nhiên nhược điểm của nó là người
sử dụng không thể can thiệp trực tiếp vào các code lệnh để thay đổi chương
trình để phục vụ mục đích của mình. Một ví dụ là chương trình của Herrman
tính toán vận tốc sóng và tỷ số H/V trên một miền tần số cho trước và nó chia
miền tần số này thành một số khoảng rời rạc bằng nhau (nói chung là 2

9
hoặc
2
10
khoảng). Trong các tính toán thông thường thì số lượng chia rất lớn này nói
chung là đủ để đáp ứng các yêu cầu của người dùng. Tuy nhiên với một số mục
đích riêng biệt khác, như tính toán xung quanh điểm osculation point, là điểm
hai mode của đường cong tán sắc gặp nhau, thì việc chia số khoảng lớn như trên
vẫn chưa đủ. Hoặc như khi cần vẽ đường cong tán sắc và đường cong tỷ số H/V
một cách rất mịn thì chúng ta cần phải can thiệp vào code của chương trình, và
việc mà người dùng khó có thể làm khi sử dụng chương trình của Herrmann.
Hoặc quan trọng nhất là giải số tìm các tần số của điểm không (điểm có H/V
bằng không) và điểm singularity (là điểm có tỷ số H/V bằng vô cùng).
Với lý do trên, việc thành lập code chương trình cho phương pháp ma trận
chuyển là cần thiết. Vì vậy, mục tiêu của khóa luận tốt nghiệp này là đi tìm hiểu
phương pháp ma trận chuyển và sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để viết code
cho phương pháp này. Nội dung chính của khóa luận là trình bày lại các kết quả
4
MỤC LỤC
đã được đăng trong bài báo của Thomson (1950) [9] và của Haskell (1953) [4].
Thông qua các kết quả trong hai bài báo trên, công thức của tỷ số H/V đối với
môi trường phân lớp cũng được dễ dàng tìm ra. Dựa trên các kết quả và công
thức này, tác giả đã sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để viết chương trình tính
toán vận tốc sóng Rayleigh và tỷ số H/V đối với mô hình phân lớp có số lớp tùy
ý. Cuối cùng, một số kết quả tính toán số sử dụng chương trình này cũng được
trình bày.
Khóa luận bao gồm ba chương :
• Chương 1: Tìm phương trình tán sắc tổng quát và tỉ số H/V.
• Chương 2: Tìm dạng tiệm cận của phương trình tán sắc theo bước sóng
ngắn và bước sóng dài.

• Chương 3: Áp dụng tính toán số.
Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên
khi làm khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Em mong nhận
được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc.
Xin chân thành cảm ơn!
5
Chương 1
Phương trình tán sắc của sóng mặt
trong môi trường đa lớp
1.1. Dạng ma trận của bài toán cho sóng Rayleigh
Ta xét sóng mặt có tần số góc p và vận tốc theo phương ngang c lan
truyền theo phương ngang trong không gian với n lớp song song đồng nhất,
đẳng hướng.
+x
+z
(0)
(1)
(2)
Phương truyền sóng
1
2
3
n-1
n
(n-1)
Hình 1 : Chiều của các trục tọa độ và cách đánh số của các lớp và các mặt phân cách.
Tất cả các lớp giả sử đều là môi trường chất rắn. Trục x song song với
các lớp và có chiều dương hướng theo chiều của phương truyền sóng. Trục z có
chiều dương hướng vào trong môi trường. Các lớp khác nhau và các mặt phân
cách được đánh số bắt đầu từ mặt tự do như hình 1. Ta chú ý dạng của sóng

Rayleigh, tức là ở đây không có chuyển dịch theo phương y và biên độ giảm
theo hàm mũ trong phương +z trong lớp bán không gian.
6
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG MẶT TRONG MÔI TRƯỜNG ĐA LỚP
Xét lớp thứ m, ta đặt
u,v,w = thành phần chuyển dịch theo chiều x,y và z
˙u, ˙v, ˙w = thành phần vận tốc theo chiều x,y và z
∆
m
= giãn nở khối
ω
m
= sự quay
α
m
= [(
λ
m
+ 2
µ
m
)/
ρ
m
]
1/2
= vận tốc của sóng dọc
β
m
= [

µ
m
/
ρ
m
]
1/2
= vận tốc của sóng ngang
λ
m
=
ν
E
(1 +
ν
)(1 −2
ν
)
E = môđun đàn hồi Young
ν
= hệ số Poisson
λ
m
,
µ
m
= hệ số đàn hồi Lame
ρ
m
= mật độ khối lượng

d
m
= độ dày lớp thứ m
p = tần số góc
k = p/c = 2
π
/bước sóng (theo phương ngang)
r
α
m
=

+[(c/
α
m
)
2
− 1]
1/2
,nếu c >
α
m
−i[1 −(c/
α
m
)
2
]
1/2
,nếu c <

α
m
r
β
m
=

+[(c/
β
m
)
2
− 1]
1/2
,nếu c >
β
m
−i[1 −(c/
β
m
)
2
]
1/2
,nếu c <
β
m
γ
m
= 2(

β
m
/c)
2
σ
= ứng suất pháp
τ
= ứng suất tiếp.
Giãn nở khối và sự quay được xác định qua phương trình sau
∆
m
=
∂
u
∂
x
+
∂
v
∂
y
+
∂
w
∂
z
,
ω
mx
=

1
2

∂
w
∂
y
−
∂
v
∂
z

,
ω
my
=
1
2

∂
u
∂
z
−
∂
w
∂
x


,
ω
mz
=
1
2

∂
v
∂
x
−
∂
u
∂
y

.
7
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG MẶT TRONG MÔI TRƯỜNG ĐA LỚP
Đạo hàm ∆
m
theo x,y và z ta được ba phương trình
∇
2
u =
∂
∆
m
∂

x
− 2
∂ ω
mz
∂
y
+ 2
∂ ω
my
∂
z
,
∇
2
v =
∂
∆
m
∂
y
− 2
∂ ω
mx
∂
z
+ 2
∂ ω
mz
∂
x

,
(1.1)
∇
2
w =
∂
∆
m
∂
z
− 2
∂ ω
my
∂
x
+ 2
∂ ω
mx
∂
y
.
Nghiệm tổng quát cho chuyển dịch theo ∆
m
và
ω
m
trong đó chúng thỏa
mãn phương trình sóng cho giãn nở khối và sự quay có dạng hàm điều hòa phụ
thuộc thời gian là
u

=
−

α
m
p

2
∂
∆
m
∂
x
+ 2

β
m
p

2
∂ ω
mz
∂
y
− 2

β
m
p


2
∂ ω
my
∂
z
,
v = −

α
m
p

2
∂
∆
m
∂
y
+ 2

β
m
p

2
∂ ω
mx
∂
z
− 2


β
m
p

2
∂ ω
mz
∂
x
, (1.2)
w = −

α
m
p

2
∂
∆
m
∂
z
+ 2

β
m
p

2

∂ ω
my
∂
x
− 2

β
m
p

2
∂ ω
mx
∂
y
.
Ví dụ như, từ phương trình thứ nhất của hệ (1.2) trên ta có
∇
2
u = −

α
m
p

2
∂
∂
x


∇
2
∆
m

+ 2

β
m
p

2
∂
∂
y

∇
2
ω
mz

− 2

β
m
p

2
∂
∂

z

∇
2
ω
my

,
mà khi so sánh với phương trình thứ nhất của (1.1) cho ta phương tr ình chuyển
động của sóng

∇
2
+

p
α
m

2

∆
m
= 0,

∇
2
+

p

β
m

2

ω
mz
= 0,

∇
2
+

p
β
m

2

ω
my
= 0.
Chọn hệ tọa độ đề Đề Các như hình 1,
ω
mx
,
ω
mz
sẽ bằng không. Xét lớp thứ m
8

CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG MẶT TRONG MÔI TRƯỜNG ĐA LỚP
thì giãn nở khối và sự quay mà thỏa mãn phương trình sóng là
∆
m
= (
∂
u/
∂
x) +(
∂
w/
∂
z)
= exp[i(pt − kx)][∆
′
m
exp(−ikr
α
m
z) +∆
′′
m
exp(ikr
α
m
z)], (1.3)
ω
m
= (1/2)[(
∂

u/
∂
z) −(
∂
w/
∂
x)]
= exp[i(pt − kx)][
ω
′
m
exp(−ikr
β
m
z) +
ω
′′
m
exp(ikr
β
m
z)], (1.4)
trong đó ∆
′
m
,∆
′′
m
,
ω

′
m
và
ω
′′
m
là các hằng số. Với quy ước về ký hiệu như trên, số
hạng trong biểu diễn ∆
′
m
biểu thị cho một sóng mặt mà hướng chuyển động của
nó hợp với trục +z một góc cot
−1
r
α
m
với r
α
m
là thực, và một sóng lan truyền
theo phương +x với biên độ giảm dần theo hàm mũ theo chiều của +z khi r
α
m
là
số ảo. Tương tự, số hạng trong ∆
′′
m
biểu thị cho một sóng mặt mà hướng chuyển
động của nó hợp với trục −z một góc như trên khi r
α

m
là số thực và một sóng
lan truyền trong +x với biên độ giảm dần theo hàm mũ theo chiều của trục z khi
r
α
m
là số ảo. Áp dụng cách đánh dấu tương tự như trên, ta có được dạng
ω
′
m
và
ω
′′
m
với r
β
m
thay thế cho r
α
m
.
Thành phần tương ứng của ứng suất và chuyển vị tương ứng với hàm giãn
nở khối và sự quay được biểu diễn bởi (1.3) và (1.4) là,
u = −(
α
m
/p)
2
(
∂

∆
m
/
∂
x) −2(
β
m
/p)
2
(
∂ ω
m
/
∂
z), (1.5)
w = −(
α
m
/p)
2
(
∂
∆
m
/
∂
z) +2(
β
m
/p)

2
(
∂ ω
m
/
∂
x), (1.6)
σ
=
λ
m
∆
m
+ 2
µ
m
(
∂
u/
∂
x)
=
ρ
m
[
α
2
m
∆
m

+ 2
β
2
m
{(
α
m
/p)
2
(
∂
2
∆
m
/
∂
x
2
) +2(
β
m
/p)(
∂
2
ω
m
/
∂
x
∂

z)}], (1.7)
τ
=
µ
m
(
∂
u/
∂
z +
∂
w/
∂
x)
= 2
ρ
m
β
2
m
[ −(
α
m
/p)
2
(
∂
2
∆
m

/
∂
x
∂
z) +(
β
m
/p)
2
{(
∂
2
ω
m
/
∂
x
2
) −(
∂
2
ω
m
/
∂
z
2
)}].
(1.8)
Các điều kiện biên thỏa mãn tại mặt phân cách giữa hai lớp là bốn đại

lượng thỏa mãn điều kiện liên tục. Chuyển vị chắc chắn là liên tục nếu các thành
phần vận tốc tương ứng ˙u và ˙w là liên tục, và vì c là như nhau trong tất cả các
lớp nên chúng ta có thể xét các đại lượng không thứ nguyên ˙u/c và ˙w/c là liên
tục. Thay các biểu diễn của (1.3) và (1.4) vào phương trình (1.5) đến (1.8), ta
9
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG MẶT TRONG MÔI TRƯỜNG ĐA LỚP
có
u =ik(
α
m
/p)
2
exp[i(pt − kx)][∆
′
m
exp(−ikr
α
m
z) +∆
′′
m
exp(ikr
α
m
z)]
+ 2ikr
β
m
(
β

m
/p)
2
exp[i(pt − kx)][
ω
′
m
exp(−ikr
β
m
z) −
ω
′′
m
exp(ikr
β
m
z)],
(1.9)
w =ikr
α
m
(
α
m
/p)
2
exp[i(pt − kx)][∆
′
m

exp(−ikr
α
m
z) −∆
′′
m
exp(ikr
α
m
z)]
+ 2ik(
β
m
/p)
2
exp[i(pt − kx)][
ω
′
m
exp(−ikr
β
m
z) +
ω
′′
m
exp(ikr
β
m
z)].

(1.10)
Thành phần vận tốc tương ứng được biểu diễn như sau
˙u = −

α
2
m
/c

exp[i(pt − kx)][∆
′
m
exp(−ikr
α
m
z) +∆
′′
m
exp(ikr
α
m
z)]
− 2r
β
m

β
2
m
/c


exp[i(pt − kx)][
ω
′
m
exp(−ikr
β
m
z) −
ω
′′
m
exp(ikr
β
m
z)],
(1.11)
˙w = − r
α
m

α
2
m
/c

exp[i(pt − kx)][∆
′
m
exp(−ikr

α
m
z) −∆
′′
m
exp(ikr
α
m
z)]
− 2

β
2
m
/c

exp[i(pt − kx)][
ω
′
m
exp(−ikr
β
m
z) +
ω
′′
m
exp(ikr
β
m

z)].
(1.12)
Biểu diễn các hàm mũ của ikrz theo dạng lượng giác, ta tìm được
˙u/c = − (
α
m
/c)
2
[(∆
′
m
+ ∆
′′
m
)coskr
α
m
z −i(∆
′
m
− ∆
′′
m
)sinkr
α
m
z]
−
γ
m

r
β
m
[(
ω
′
m
−
ω
′′
m
)coskr
β
m
z −i(
ω
′
m
+
ω
′′
m
)sinkr
β
m
z],
(1.13)
˙w/c = − (
α
m

/c)
2
r
α
m
[−i(∆
′
m
+ ∆
′′
m
)sinkr
α
m
z +(∆
′
m
− ∆
′′
m
)coskr
α
m
z]
+
γ
m
[−i(
ω
′

m
−
ω
′′
m
)sinkr
β
m
z +(
ω
′
m
+
ω
′′
m
)coskr
β
m
z], (1.14)
σ
= −
ρ
m
α
2
m
(
γ
m

− 1)[(∆
′
m
+ ∆
′′
m
)coskr
α
m
z −i(∆
′
m
− ∆
′′
m
)sinkr
α
m
z]
−
ρ
m
c
2
γ
2
m
r
β
m

[(
ω
′
m
−
ω
′′
m
)coskr
β
m
z −i(
ω
′
m
+
ω
′′
m
)sinkr
β
m
z], (1.15)
τ
=
ρ
m
α
2
m

γ
m
r
β
m
[−i(∆
′
m
+ ∆
′′
m
)sinkr
α
m
z +(∆
′
m
− ∆
′′
m
)coskr
α
m
z]
−
ρ
m
c
2
γ

m
(
γ
m
− 1)[−i(
ω
′
m
−
ω
′′
m
)sinkr
β
m
z +(
ω
′
m
+
ω
′′
m
)coskr
β
m
z].
(1.16)
Khi bất kỳ các giá trị r
α

m
,r
β
m
là ảo thì hàm lượng giác tương ứng sẽ được hiểu
là hàm lượng giác hyperbolic.
Đặt gốc tọa độ của z tại mặt phân cách thứ (m − 1) mối quan hệ tuyến
tính giữa các giá trị của ˙u/c, ˙w/c,
σ
và
τ
tại mặt phân cách thứ (m − 1) và các
hằng số (∆
′
m
+ ∆
′′
m
),(∆
′
m
− ∆
′′
m
) và (
ω
′
m
+
ω

′′
m
) có thể được biểu diễn bởi phép
10
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG MẶT TRONG MÔI TRƯỜNG ĐA LỚP
biến đổi sau
( ˙u
m−1
/c, ˙w
m−1
/c,
σ
m−1
,
τ
m−1
) = E
m
(∆
′
m
+ ∆
′′
m
,∆
′
m
− ∆
′′
m

,
ω
′
m
−
ω
′′
m
,
ω
′
m
+
ω
′′
m
),
(1.17)
trong đó E
m
là ma trận
E
m
=




−(
α

m
/c)
2
0 −
γ
m
r
β
m
0
0 −(
α
m
/c)
2
r
α
m
0
γ
m
−
ρ
m
α
2
m
(
γ
m

− 1) 0 −
ρ
m
c
2
γ
m
r
β
m
0
0
ρ
m
α
2
m
γ
m
r
α
m
0 −
ρ
m
c
2
γ
m
(

γ
m
− 1)




.
(1.18)
Đặt z = d
m
trong phương trình (1.13) đến (1.16) ta thu được giá trị của ˙u/c,
v.v tại mặt phân cách m theo (∆
′
m
+ ∆
′′
m
) v.v
( ˙u
m
/c, ˙w
m
/c,
σ
m
,
τ
m
) = D

m
(∆
′
m
+ ∆
′′
m
,∆
′
m
− ∆
′′
m
,
ω
′
m
−
ω
′′
m
,
ω
′
m
+
ω
′′
m
), (1.19)

trong đó D
m
là ma trận
D
m
=




−(
γ
m
/c)
2
cosP
m
i(
α
m
/c)
2
sinP
m
−
γ
m
r
β
m

cosQ
m
i
γ
m
r
β
m
sinQ
m
i(
α
m
/c)
2
r
α
m
sinP
m
−(
α
m
/c)
2
r
α
m
cosP
m

−i
γ
m
sinQ
m
γ
m
cosQ
m
−
ρ
m
α
2
m
(
γ
m
− 1) cos P
m
i
ρ
m
α
2
m
(
γ
m
− 1) sin P

m
−
ρ
m
c
2
γ
2
m
r
β
m
cosQ
m
i
ρ
m
c
2
γ
2
m
r
β
m
sinQ
m
−i
ρ
m

α
2
m
γ
m
r
α
m
sinP
m
ρ
m
α
2
m
γ
m
r
α
m
cosP
m
i
ρ
m
c
2
γ
m
(

γ
m
− 1) sin Q
m
−
ρ
m
c
2
γ
m
(
γ
m
− 1) cos Q
m




,
(1.20)
với P
m
= kr
α
m
d
m
và Q

m
= kr
β
m
d
m
.
Các hằng số ∆
′
m
+ ∆
′′
m
, v.v có thể được khử giữa hai phương trình (1.17)
và (1.19), cho ta một mối quan hệ tuyến tính giữa các giá trị của ˙u/c, ˙w/c,
σ
và
τ
tại đỉnh và đáy của lớp thứ m mà có thể được biểu diễn một cách hình thức
bởi phương trình,
( ˙u
m
/c, ˙w
m
/c,
σ
m
,
τ
m

) = D
m
E
−1
m
( ˙u
m−1
/c, ˙w
m−1
/c,
σ
m−1
,
τ
m−1
). (1.21)
trong đó E
−1
m
là ma trận nghịch đảo của E
m
và có dạng
E
−1
m
=







−2(
β
m
/
α
m
)
2
0

ρ
m
α
2
m

−1
0
0 c
2
(
γ
m
− 1)/
α
2
m
r

α
m
0

ρ
m
α
2
m
r
α
m

−1
(
γ
m
− 1)/
γ
m
r
β
m
0 −

ρ
m
c
2
γ

m
r
β
m

−1
0
0 1 0

ρ
m
c
2
γ
m

−1






.
(1.22)
Từ các phương trình (1.20) và (1.22), các phần tử của ma trận tích a
m
= D
m
E

−1
m
11
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG MẶT TRONG MÔI TRƯỜNG ĐA LỚP
có thể được tính như sau
(a
m
)
11
=
γ
m
cosP
m
− (
γ
m
− 1)cosQ
m
(a
m
)
12
= i

(
γ
m
− 1)r
−1

α
m
sinP
m
+
γ
m
r
β
m
sinQ
m

(a
m
)
13
= −

ρ
m
c
2

−1
(cosP
m
− cosQ
m
)

(a
m
)
14
= i

ρ
m
c
2

−1

r
−1
α
m
sinP
m
+ r
β
m
sinQ
m

(a
m
)
21
= −i


γ
m
r
α
m
sinP
m
+ (
γ
m
− 1)r
−1
β
m
sinQ
m

(a
m
)
22
= −(
γ
m
− 1)cosP
m
+
γ
m

cosQ
m
(a
m
)
23
= i

ρ
m
c
2

−1

r
α
m
sinP
m
+ r
−1
β
m
sinQ
m

(a
m
)

24
= (a
m
)
13
(a
m
)
31
=
ρ
m
c
2
γ
m
(
γ
m
− 1)(cosP
m
− cosQ
m
)
(a
m
)
32
= i
ρ

m
c
2

(
γ
m
− 1)
2
r
−1
α
m
sinP
m
+
γ
2
m
r
β
m
sinQ
m

(a
m
)
33
= (a

m
)
22
(a
m
)
34
= (a
m
)
12
(a
m
)
41
= i
ρ
m
c
2

γ
2
m
r
α
m
sinP
m
+ (

γ
m
− 1)
2
r
−1
β
m
sinQ
m

(a
m
)
42
= (a
m
)
31
(a
m
)
43
= (a
m
)
21
(a
m
)

44
= (a
m
)
11
.
Bây giờ xét điều kiện biên với yêu cầu là các giá trị của ˙u/c, ˙w/c,
σ
và
τ
được tính tại đỉnh của lớp thứ m phải bằng các giá trị tương ứng được tính tại
đáy của lớp thứ (m − 1). Điều đó có nghĩa là ta có thể viết
( ˙u
m
/c, ˙w
m
/c,
σ
m
,
τ
m
) = a
m
a
m−1
( ˙u
m−2
/c, ˙w
m−2

/c,
σ
m−2
,
τ
m−2
). (1.23)
Trong bài báo của Thomson (1950) [9], đại lượng
τ
/2
µ
được thay cho
τ
như biến thứ tư của ma trận a
m
. Đây chỉ là sự thay đổi trong ký hiệu với bất kỳ
lớp nào có liên quan nhưng
µ
nói chung sẽ khác nhau trong các lớp, và đó là
ứng suất trượt
τ
, không phải là biến dạng trượt
τ
/
µ
, là đại lượng liên tục qua
các mặt phân cách. Quá trình lặp được chỉ ra bởi phương trình (
1.23) do đó yêu
cầu
τ

, hoặc một hằng số nhân với
τ
, không phải là
τ
/2
µ
, được coi như biến thứ
tư. Dạng ma trận a của Thomson khi đó sẽ được hiệu chỉnh lại bằng việc nhân
hàng thứ tư với 2
µ
(= 2G trong kí hiệu của Thomson) và cột thứ tư được nhân
với (2
µ
)
−1
.
12
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG MẶT TRONG MÔI TRƯỜNG ĐA LỚP
Bằng việc lặp lại phương trình (1.23) ta có,
( ˙u
n−1
/c, ˙w
n−1
/c,
σ
n−1
,
τ
n−1
) = a

n−1
a
n−2
a
1
( ˙u
0
/c, ˙w
0
/c,
σ
0
,
τ
0
), (1.24)
và sử dụng phương trình nghịch đảo (1.17) cho lớp thứ n, ta có
(∆
′
n
+ ∆
′′
m
,∆
′
n
− ∆
′′
n
,

ω
′
n
−
ω
′′
n
,
ω
′
n
+
ω
′′
n
) = E
−1
n
a
n−1
a
n−2
a
1
( ˙u
0
/c, ˙w
0
/c,
σ

0
,
τ
0
).
(1.25)
Đến bước này mọi bước thực hiện đều là tổng quát, và phương trình (1.25)
có thể được áp dụng đối với sóng mặt hoặc sóng truyền qua môi trường nhiều
lớp. Trường hợp cụ thể mà chúng ta quan tâm trong đó không có ứng suất trên
mặt tự do nên
σ
0
=
τ
0
= 0 và không có nguồn kích động nào ở vô cùng nên
∆
′′
n
=
ω
′′
n
= 0. Kí hiệu J là ma trận tích E
−1
n
a
n−1
a
n−2

a
1
, phương trình (
1.25)
trở thành,

∆
′
n
,∆
′
n
,
ω
′
n
,
ω
′
n

= J ( ˙u/c, ˙w/c,0,0),
hoặc, cụ thể là
∆
′
n
= J
11
˙u
0

/c +J
12
˙w
0
/c,
∆
′
n
= J
21
˙u
0
/c +J
22
˙w
0
/c,
ω
′
n
= J
31
˙u
0
/c +J
32
˙w
0
/c,
ω

′
n
= J
41
˙u
0
/c +J
42
˙w
0
/c.
(1.26)
Khử ∆
′
n
và
ω
′
n
ta có,
˙u
0
˙w
0
=
J
22
− J
12
J

11
− J
21
=
J
42
− J
32
J
31
− J
41
. (1.27)
Bởi vì những phần tử của ma trận J là các hàm của các tham số c và k, phương
trình (1.27) cho ta mối liên hệ ẩn giữa c và k, đó chính là phương trình tán sắc
của vận tốc.
1.2. Một số tính chất tổng quát của nghiệm
Đặt A = a
n−1
a
n−2
a
1
và sử dụng phương trình (1.22) đối với E
−1
n
, phương
trình (1.27) có thể viết dưới dạng
−
(

˙
u
0
/
˙
w
0
) =
K
/
L
=
M
/
N
,
(1.28)
13
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG MẶT TRONG MÔI TRƯỜNG ĐA LỚP
trong đó
K =
γ
n
r
α
n
A
12
+ (
γ

n
− 1)A
22
− r
α
n
A
32
/
ρ
n
c
2
+ A
42
/
ρ
n
c
2
,
L =
γ
n
r
α
n
A
11
+ (

γ
n
− 1)A
21
− r
α
n
A
31
/
ρ
n
c
2
+ A
41
/
ρ
n
c
2
,
M = −(
γ
n
− 1)A
12
+
γ
n

r
β
n
A
22
+ A
32
/
ρ
n
c
2
+ r
β
n
A
42
/
ρ
n
c
2
,
N = −(
γ
n
− 1)A
11
+
γ

n
r
β
n
A
21
+ A
31
/
ρ
n
c
2
+ r
β
n
A
41
/
ρ
n
c
2
.
(1.29)
Trong trường hợp hai lớp, phương trình (1.28) và (1.29) có thể được biểu
diễn dưới dạng tương đương với biểu diễn trước đó của Sazawa, Lee (1938) [7]
và các tác giả khác.
Trong các biểu diễn cho các phần tử của ma trận a
m

, chúng ta thấy rằng
các đại lượng sin P
m
,sinQ
m
, r
α
m
và r
β
m
có thể là thực hoặc ảo phụ thuộc vào giá
trị của c, chỉ xảy ra trong tích r
±1
α
m
sinP
m
và r
±1
β
m
sinQ
m
. Vì sinP
m
là thực hoặc
ảo khi r
α
m

là thực hoặc ảo, và sin Q
m
là tương tự đối với r
β
m
, nên các tích trên
luôn là thực đối với giá trị thực của c. Với các tính chất thực hoặc ảo của phần
tử thuộc mà trận a
m
trên thì a
m
có dạng
a
m
=




R I R I
I R I R
R I R I
I R I R




.
trong đó R biểu thị cho các đại lượng thực và I biểu thị cho các đại lượng ảo.
Tích của hai ma trận bất kỳ của dạng này cũng là một ma trận cùng dạng. Vì

thế các phần tử của A trong phương trình (1.29) có dạng:
A
11
,A
22
,A
31
,và A
42
là thực;
A
12
,A
21
,A
32
,và A
41
là ảo.
Với việc định nghĩa sóng "mặt" là sóng có biên độ giảm khi giá trị của
z tăng lên, nghĩa là r
α
n
và r
β
n
trong trường hợp này là ảo. Nghĩa là ta chỉ xét
trường hợp giá trị của c <
β
n

. Khi đó đối với phương tr ình (1.29), tất cả các số
hạng của K và N là thực và tất cả các số hạng của L và M là ảo. Do đó tỉ số
˙u
0
/ ˙w
0
sẽ luôn là số ảo, nghĩa là có sự lệch pha 90
0
giữa các thành phần theo trục
ngang và trục dọc tại mặt tự do. Do đó chuyển động của các phần tử có dạng
hình ellipse với các trục có phương ngang và phương thẳng đứng. Tuy nhiên độ
lệch pha có thể có dấu bất kỳ và do đó chuyển động ellipse của phần tử không
nhất thiết là ngược chiều kim đồng hồ đối với phương truyền sóng, là chuyển
động của phần tử đối với sóng Rayleigh trong mô hình bán không gian.
14
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG MẶT TRONG MÔI TRƯỜNG ĐA LỚP
Nếu môi trường chúng ta đang xét là tán sắc, thì sẽ cần thiết phải xét giá
trị phức của c và k. Trong trường hợp này, tỉ số ˙u
0
/ ˙w
0
sẽ không nhất thiết là
thuần ảo, nghĩa là độ lệch pha có thể khác ±90
0
thường xảy ra và các trục của
ellipse có thể nghiêng một góc với trục. Do đó môi trường đàn hồi không hoàn
hảo có thể dẫn đến độ nghiêng của trục, là trường hợp hay được quan sát trong
trường hợp các vụ nổ được kích hoạt để tạo ra sóng mặt trên lớp không chặt.
Rõ ràng là nếu hai lớp liền kề có tính chất vật lý giống nhau, chúng phải
được coi là tương đương với một lớp có bề dày bằng tổng bề dày của hai lớp.

Do đó, nếu ta gọi a
m
(d) là ma trận a
m
được tính cho lớp có độ dày d ta phải có
a
m
(d
1
)a
m
(d
2
) = a
m
(d
1
+ d
2
) (1.30)
Mối liên hệ này có thể dễ dàng kiểm tra bởi việc nhân trực tiếp các ma trận. Và
bởi vì k chỉ xuất hiện trong a
m
dưới dạng kd
m
, phương trình (1.30) cho ta,
a
m
(k
1

)a
m
(k
2
) = a
m
(k
1
+ k
2
), (1.31)
trong đó k
1
và k
2
là giá trị bất kỳ của k và a
m
được tính đối với c và d
m
cố định.
1.3. Tỉ số H/V
Tỷ số H/V là tỷ số của thành phần chuyển vị theo phương ngang và
phương thẳng đứng của chất điểm trên bề mặt của lớp trên cùng. Nghĩa là :
χ
=
u(0)
w(0)
.
Ta có, u và w được xác định như sau
u =ik(

α
m
/p)
2
exp[i(pt − kx)][∆
′
m
exp(−ikr
α
m
z) +∆
′′
m
exp(ikr
α
m
z)]
+ 2ikr
β
m
(
β
m
/p)
2
exp[i(pt − kx)][
ω
′
m
exp(−ikr

β
m
z) −
ω
′′
m
exp(ikr
β
m
z)],
w =ikr
α
m
(
α
m
/p)
2
exp[i(pt − kx)][∆
′
m
exp(−ikr
α
m
z) −∆
′′
m
exp(ikr
α
m

z)]
+ 2ik(
β
m
/p)
2
exp[i(pt − kx)][
ω
′
m
exp(−ikr
β
m
z) +
ω
′′
m
exp(ikr
β
m
z)].
Dễ dàng thấy được u và w chỉ phụ thuộc vào thời gian t qua nhân tử
exp[i(pt − kx)], do đó
u
w
=
˙u
˙w
,
với ˙u, ˙w được biểu diễn theo công thức (1.11) và (1.12)

15
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SÓNG MẶT TRONG MÔI TRƯỜNG ĐA LỚP
Ta lại có
˙u
0
˙w
0
= −
K
L
= −
M
N
.
trong đó K, L, M, N được biểu diễn như trong (1.29).
Do đó công thức xác định tỉ số H/V là
χ
=
u(0)
w(0)
= −
K
L
= −
M
N
.
16
Chương 2
Dạng tiệm cận của phương trình tán

sắc theo bước sóng
2.1. Dạng tiệm cận của bước sóng dài
Khi bước sóng rất lớn thì kd
m
→ 0 và tất cả các ma trận a
m
sẽ tiến về ma
trận đơn vị. Do đó, J
m
→ E
−1
m
và phương trình (1.27) trở thành
˙u
0
/ ˙w
0
= −(
γ
n
− 1)/
γ
n
r
α
n
=
γ
n
r

β
n
/(
γ
n
− 1), (2.1)
hoặc
(
γ
n
− 1)
2
+
γ
2
n
r
α
n
r
β
n
= 0. (2.2)
Đây chính là phương trình vận tốc sóng cho sóng Rayleigh của bán không gian.
Nếu ta khai triển dạng của ma trận a
m
theo lũy thừa của k và bỏ qua lũy
thừa cao hơn bậc một thì ma trận A có dạng
A →







1 ik
n−1
∑
1
d
m
0 ik
n−1
∑
1
d
m
/
ρ
m
β
2
m
ik
n−1
∑
1
d
m


1 −2(
β
m
/
α
m
)
2

1 ik
n−1
∑
1
d
m
/
ρ
m
α
2
m
0
0 ikc
2
n−1
∑
1
d
m
ρ

m
1 ik
n−1
∑
1
d
m
ikc
2
n−1
∑
1
d
m
ρ
m

1 −2
γ
m
+ 2
γ
m
(
β
m
/
α
m
)

2

0 ik
n−1
∑
1
d
m

1 −2(
β
m
/
α
m
)
2

1






.
(2.3)
Do đó, đối với bước sóng rất dài thì k
2


n−1
∑
1
d
m

2
có thể được bỏ qua.
Đối với xấp xỉ ở bậc này thì các đại lượng K,L,M và N là các hàm tuyến tính
của k. Do đó, đối với một giá trị của c thì phương trình (1.28) là một phương
trình bậc hai của k và có thể giải một cách tường minh.
17
CHƯƠNG 2. DẠNG TIỆM CẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC THEO BƯỚC SÓNG
2.2. Dạng tiệm cận cho bước sóng ngắn
Sezawa và Kanai (1938) [7] đã chỉ ra rằng trong trường hợp hai lớp, dạng
tiệm cận đối với tần số sóng lớn của phương trình vận tốc có thể được nhóm
dưới dạng tích của các thừa số. Một trong những thừa số này có một nghiệm
tương ứng với vận tốc sóng Rayleigh trên mặt tự do của lớp đầu tiên; Nghiệm
còn lại là biểu diễn của Stoneley (1924) [8] cho vận tốc sóng truyền trên các mặt
phân cách giữa hai lớp. Nghiệm thứ hai có thể có hoặc có thể không có nghiệm
thực, phụ thuộc vào mối liên hệ giữa
ρ
,
α
,
β
trong hai lớp. Theo lý thuyết vật lý
thì trong trường hợp đa lớp, phương trình tán sắc luôn có thể được nhóm dưới
dạng tích các thừa số khi tần số là đủ lớn. Những thừa số này tương ứng với
sóng Rayleigh trên mặt tự do và sóng Stoneley ở mỗi mặt phân cách. Để minh

họa điều này, sẽ thuận lợi hơn khi ta viết ma trận J dạng
J = b
n−1
b
n−2
b
1
E
−1
1
, (2.4)
trong đó
b
m
= E
−1
m+1
D
m
. (2.5)
Nghĩa là thay vì nhóm các số hạng của ma trận J theo từng lớp, chúng ta sẽ nhóm
chúng theo các mặt phân cách. Bây giờ giả sử rằng c <
β
n−1
, sao cho P
n−1
và
Q
n−1
là các số ảo và các hàm sin,cos được hiểu là các hàm hyperbolic. Khi đó,

đối với giá trị của kd
n−1
lớn, sinP
n−1
→ −i cos P
n−1
và sinQ
n−1
→ −i cos Q
n−1
.
Trong giới hạn này, phần tử của b
n−1
tiến tới các giá trị sau :
(b
n−1
)
11
= −(b
n−1
)
12
= (
α
n−1
/
α
n
)
2

{
γ
n
− (
γ
n−1
− 1)(
ρ
n−1
/
ρ
n
)cosP
n−1
,
(b
n−1
)
13
= −(b
n−1
)
14
= (c/
α
n
)
2
γ
n−1

r
β
(n−1)
{
γ
n
−
γ
n−1
(
ρ
n−1
/
ρ
n
)}cosQ
n−1
,
(b
n−1
)
21
= −(b
n−1
)
22
= (
α
n−1
/

α
n
)
2

r
α
(n−1)
/r
α
n

{
(
γ
n
− 1)−
γ
n−1
(
ρ
n−1
/
ρ
n
)
}
cosP
n−1
,

(b
n−1
)
23
= −(b
n−1
)
24
= −(c/
α
n
)
2
(
γ
n−1
/r
α
n
)
{
(
γ
n
− 1)− (
γ
n−1
− 1)(
ρ
n−1

/
ρ
n
)
}
cosQ
n−1
,
18
CHƯƠNG 2. DẠNG TIỆM CẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC THEO BƯỚC SÓNG
(b
n−1
)
31
= −(b
n−1
)
32
= −(
α
n−1
/c)
2

γ
n
r
β
n


−1
{
(
γ
n
− 1)− (
γ
n−1
− 1)(
ρ
n−1
/
ρ
n
)
}
cosP
n−1
,
(b
n−1
)
33
= −(b
n−1
)
34
=

γ

n−1
r
β
(n−1)
/
γ
n
r
β
n

{
(
γ
n
− 1)−
γ
n−1
(
ρ
n−1
/
ρ
n
)
}
cosQ
n−1
,
(b

n−1
)
41
= −(b
n−1
)
42
= (
α
n−1
/c)
2

r
α
(n−1)
/
γ
n

{
γ
n
−
γ
n−1
(
ρ
n−1
/

ρ
n
)
}
cosP
n−1
,
(b
n−1
)
43
= −(b
n−1
)
44
= (
γ
n−1
/
γ
n
)
{
γ
n
− (
γ
n−1
− 1)(
ρ

n−1
/
ρ
n
)
}
cosQ
n−1
,
Nếu chúng ta đặt J
n−1
= b
n−2
b
n−3
b
1
E
−1
1
, thì bởi vì (b
n−1
)
j1
= −(b
n−1
)
j2
và (b
n−1

)
j 3
= −(b
n−1
)
j4
đối với tần số cao, ta có thể viết
J
22
− J
12
= [(b
n−1
)
11
− (b
n−1
)
21
][(J
n−1
)
22
− (J
n−1
)
12
]
+[(b
n−1

)
21
− (b
n−1
)
23
][(J
n−1
)
42
− (J
n−1
)
32
],
J
11
− J
21
= [(b
n−1
)
11
− (b
n−1
)
21
][(J
n−1
)

11
− (J
n−1
)
21
]
+[(b
n−1
)
21
− (b
n−1
)
23
][(J
n−1
)
31
− (J
n−1
)
41
],
J
42
− J
32
= [(b
n−1
)

31
− (b
n−1
)
41
][(J
n−1
)
22
− (J
n−1
)
12
]
+[(b
n−1
)
33
− (b
n−1
)
43
][(J
n−1
)
42
− (J
n−1
)
32

],
J
31
− J
41
= [(b
n−1
)
31
− (b
n−1
)
41
][(J
n−1
)
11
− (J
n−1
)
21
]
+[(b
n−1
)
33
− (b
n−1
)
43

][(J
n−1
)
31
− (J
n−1
)
41
].
Bằng cách đặt











K
′
= (J
n−1
)
22
− (J
n−1
)

12
,
L
′
= (J
n−1
)
11
− (J
n−1
)
21
,
M
′
= (J
n−1
)
42
− (J
n−1
)
32
,
N
′
= (J
n−1
)
31

− (J
n−1
)
41
,
(2.6)











R = (b
n−1
)
11
− (b
n−1
)
21
,
S = (b
n−1
)
13

− (b
n−1
)
23
,
T = (b
n−1
)
31
− (b
n−1
)
41
,
U = (b
n−1
)
33
− (b
n−1
)
43
.
(2.7)
thì mối liên hệ (1.27) giữa các phần tử của J có thể viết dưới dạng
RK
′
+ SM
′
RL

′
+ SN
′
=
T K
′
+UM
′
T L
′
+UN
′
.
19
CHƯƠNG 2. DẠNG TIỆM CẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC THEO BƯỚC SÓNG
Nhân chéo và rút gọn phương trình trên dẫn về dạng tích như sau
(RU − ST )

K
′
N
′
− L
′
M
′

= 0. (2.8)
Cho thừa số đầu tiên bằng không và sử dụng giá trị của các phần tử của
b

n−1
cho ở trên, thừa số chung cosP
n−1
cosQ
n−1
có thể được bỏ đi và biểu thức
nhận được có thể được biểu diễn như sau
ρ
2
n

(
γ
n
− 1)
2
+
γ
2
n
r
α
n
r
β
n


1 +r
α

(n−1)
r
β
(n−1)

− 2
ρ
n
ρ
n−1

(
γ
n
− 1)+
γ
n
r
α
n
r
β
n

[(
γ
n−1
− 1)+
γ
n−1

r
α
(n−1)
r
β
(n−1)
]+
ρ
n
ρ
n−1
[r
α
(n−1)
r
β
n
+r
α
n
r
β
(n−1)
]
+
ρ
2
n−1
[(
γ

n−1
− 1)
2
+
γ
2
n−1
r
α
(n−1)
r
β
(n−1)
][1 +r
α
n
r
β
n
] = 0,
(2.9)
là phương trình tương đương với phương trình Stoneley đối với mặt phân cách
thứ (n −1).
Thừa số thứ hai của phương trình (2.8), khi được cho bằng không, thì
tương đương với biểu thức gốc ban đầu của phương trình tán sắc, ngoại trừ việc
nó là phương trình cho (n −1) lớp thay vì là cho n lớp. Lặp lại quá trình dẫn đến
kết quả cho mỗi phần tử tương đương với sóng Rayleigh trên một trong những
mặt phân cách và thừa số cuối cùng dạng phương trình (
2.2) cho lớp đầu tiên,
do đó biểu diễn được sóng Rayleigh trên mặt tự do của lớp này.

Cũng phải chú ý rằng việc phân tách thành nhân tử của phương trình tán
sắc đối với tần số lớn theo quá trình trên chỉ có thể được thực hiện khi c là nhỏ
hơn giá trị nhỏ nhất của
β
m
. Đối với những giá trị của c lớn hơn giá trị nhỏ nhất
của
β
m
thì sẽ có ít nhất một lớp mà có Q
m
là đại lượng thực. Trong trường hợp
này, các tỉ số K/L và M/N sẽ không tiến đến một giá trị tiệm cận khi k lớn,
nhưng sẽ là một hàm dao động đối với k. Do đó, đối với một giá trị đã cho của
c mà lớn hơn giá trị nhỏ nhất của
β
m
và nhỏ hơn
β
n
thì nói chung sẽ có vô số
các giá trị của k sao cho KN − ML = 0. Những nghiệm này biểu diễn dãy các
nghiệm của mode trực giao. Bởi vì chỉ có duy nhất một nghiệm tại tần số rất
thấp, nên mỗi một mode trực giao này sẽ có một tần số giới hạn dưới.
20
Chương 3
Tính toán số
Việc tính toán số hàm c(k) từ phương trình (1.28) sẽ được lập trình tính
toán bởi ngôn ngữ lập trình Matlab. Nói chung thì chương trình tính toán sẽ tiện
lợi hơn khi ta lấy độ dày của lớp đầu tiên là chiều dài đơn vị,

ρ
1
là mật độ khối
lượng đơn vị, và
β
1
là vận tốc đơn vị. Khi đó kết quả tính toán của chúng ta sẽ
là mối liên hệ giữa hai đại lượng không thứ nguyên
c
β
1
và kd
1
. Với lưu ý trên,
code của chương trình Matlab này được cho trong phần phụ lục của khóa luận.
Để kiểm tra chương trình tính toán số này, chúng ta sẽ tính toán lại một
số kết quả đã trình bày trong bài báo của Haskell (1953) [4]. Mô hình ta chọn
để tính toán số là mô hình thứ I trong bài báo của Haskell, là một mô hình xấp
xỉ của mô hình bề mặt trái đất có hai lớp đặt trên một bán không gian. Mô hình
I này được Haskell sử dụng tính toán chỉ minh họa sự tán sắc của sóng Rayleigh
cho miền vận tốc nhỏ được đưa ra bởi Guttenberg (1950) [3]. Các tham số cụ
thể là
Bảng I
Lớp
α
(km/s)
β
(km/s)
ρ
(gm/cm

3
) d(km)
1 6.14 3.39 2.70 13.60
2 5.50 3.18 2.70 11.85
3 8.26 4.65 3.00 ∞
Hình 2 biểu diễn vận tốc sóng Rayleigh của mô hình trên cho khoảng hơn
mười mode đầu tiên. Trong bài báo của Haskell, ông đã vẽ mode cơ bản (mode
0), và các kết quả của ông được quan sát bằng mắt rất giống kết quả trong hình
vẽ.
21
CHƯƠNG 3. TÍNH TOÁN SỐ
k(d
1
+d
2
)
c/β
1
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
mode 0
mode 1
mode 2
Hình 2 : Một số mode đầu tiên của sóng Rayleigh. Trục tung là tỷ số của vận tốc sóng chia cho vận tốc sóng
dài của lớp đầu tiên. Trục hoành là kd.

Hình 3 vẽ một số mode đầu tiên của vận tốc sóng Rayleigh cho mô hình
trên theo đại lượng vô hướng là tỷ số của độ dày của lớp đầu tiên và bước sóng
của sóng ngang trong lớp đầu tiên này, tính theo chương trình của Herrmann
và chương trình Matlab của khóa luận. Chúng ta có thể thấy rõ ràng rằng, do
việc chia miền tính toán của tần số thành các đoạn rời rạc, nên chương trình
Herrmann cho kết quả không mịn, mặc dù trong hình vẽ trên ta đã chia khoảng
tần số thành 1024 khoảng con. Hình vẽ cũng minh họa được độ tin cậy của
chương trình Matlab của chúng ta khi cho kết quả phù hợp với các kết quả tính
toán của chương trình Herrmann.
22
CHƯƠNG 3. TÍNH TOÁN SỐ
0 0.5 1 1.5 2
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
d.f/β
1
c/β
1


Hình 3 : Một số mode của đường cong tán sắc của sóng Rayleigh cho mô hình ở trên. Các đường nét liền được
vẽ bằng chương trình Matlab của khóa luận. Các được nét đứt được vẽ bởi chương trình Herrmann. Trục tung
là tỷ số của vận tốc sóng chia cho vận tốc sóng dài của lớp đầu tiên. Trục hoành là kd.
23
Kết luận
Khóa luận đã tìm hiểu và tr ình bày một cách có hệ thống các kết quả

trong hai bài báo của Thomson (1950) [9] và của Haskell (1953) [4]. Các ý
tưởng và các phương trình cơ bản của phương pháp ma trận chuyển đã được
trình bày rõ ràng trong khóa luận. Dựa vào các kết quả trong hai bài báo trên,
tác giả cũng đã đưa ra công thức tính toán tỷ số H/V đối với môi trường phân
lớp. Công thức này khá đơn giản và có thể suy ra một cách trực tiếp từ một
số công thức trong hai bài báo. Kết quả quan trọng nhất của khóa luận là code
chương trình tính toán vận tốc sóng và tỷ số H/V, là hai đại lượng cơ bản quan
trọng nhất của sóng Rayleigh, đối với môi trường phân lớp có số lớp bất kỳ
được viết bằng ngôn ngữ lập trình Matlab. Chương trình này chạy nhanh và có
độ chính xác tương đương với chương trình của Herrman. Mặc dù nó chỉ có thể
tính toán được hai đại lượng cơ bản trên, trong khi chương trình Herrman có thể
tính toán được rất nhiều đại lượng khác của sóng Rayleigh như là chuyển dịch,
ứng suất, hàm năng lượng, v.v nhưng ưu điểm của nó là người sử dụng có thể
thay đổi trực tiếp để phục vụ các tính toán đặc biệt của mình, ví dụ như tính
toán xung quanh tần số điểm osculation point khi độ mịn của tần số yêu cầu là
rất lớn. Hoặc là khi cần lập các bản đồ tổng thể của tính chất của sóng Rayleigh.
Các bản đồ này khi dùng chương trình của Herrman có độ mịn kém và do đó
cho một bản đồ trông không được liên tục, nhất là xung quanh các điểm đặc
biệt. Khóa luận cũng trình bày một số các kết quả tính toán số sử dụng chương
trình tính toán trên để so sánh với các chương trình tính toán khác.
24