Tài liệu Một số bài toán biên của phương trình vật lý toán pdf

1

MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ TOÁN
Phương pháp tách biến giải các bài toán biên cho phương trình dao ñộng
§1. Bài toán dao ñộng của dây với hai mút
0
x
=
và
x
ℓ
=
cột chặt
1. Dao ñộng tự do của dây với hai mút
0x
=
và
x
ℓ
=
cột chặt
Phương trình dao ñộng :
2
(0 , 0)
tt xx
u a u x t
ℓ
= < < >
(1)
ðiều kiện biên :

(0, ) ( , ) 0u t u t
ℓ
= =
(2)
ðiều kiện ñầu :
( ,0) ( ) , ( ,0) ( )
t
u x x u x x= ϕ = ψ
(3)
Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng :
( , ) ( ) ( )u x t X x T t
=
. Thay biểu thức này vào
phương trình (1) ta ñược phương trình :
2 2
2
''( ) ''( )
( ) ''( ) ''( ) ( )
( ) ( )
X x T t
X x T t a X x T t
X x a T t
= ⇒ = = −λ
. Từ ñó ta
tìm ñược các phương trình cho các hàm
( )
X x
và
( )
T t

như sau :
2 2
2
''( ) ( ) 0 (4)
''( ) ( ) 0 (5)
T t a T t
X x X x

+ λ =


+ λ =



Từ ñiều kiện biên (2) ta có :
(0, ) (0) ( ) 0 (0) 0u t X T t X
= = ⇒ =


( , ) ( ) ( ) 0 ( ) 0u t X T t X
ℓ ℓ ℓ
= = ⇒ =

Nghiệm tổng quát của phương trình (5) có dạng :
1 2
( ) cos sinX x C x C x= λ + λ

Từ ñiều kiện
1

(0) 0 0X C= ⇒ =
;
Từ ñiều kiện
2
( ) 0 sin 0 ( 1,2, )X C n n
ℓ ℓ ℓ
= ⇒ λ λ = ⇒ λ = π =
.
Từ ñó ta nhận ñược :
n
n
ℓ
π
λ = λ =
(6) ; chọn
2
1
C
=
, ta ñược :
( ) sin
n
n x
X x
ℓ
π
=
(7)
Khi
n

λ = λ
, phương trình (4) trở thành :
2 2
''( ) ( ) 0
n
T t a T t+ λ =
; Nghiệm tổng quát của phương trình
này có dạng :
( ) cos sin cos sin
n n n n n n n
n at n at
T t a a t b a t a b
ℓ ℓ
π π
= λ + λ = +
(8).
Như vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) có dạng :
1
( , ) cos sin sin
n n
n
n at n at n x
u x t a b
ℓ ℓ ℓ
∞
=
π π π
 
= +
 

 
∑
(9)
Từ ñiều kiện ñầu (3) và biểu thức (9) cho
( , )u x t
ta có :
1
( ,0) sin ( )
n
n
n x
u x a x
∞
=
π
= = ϕ
∑
ℓ
(10)
0
( ,0) sin ( )
t n
n
n a n x
u x b x
∞
=
π π
= = ψ
∑

ℓ ℓ
(11)
Từ (10) và (11) ta tìm ñược :
0
2
( )sin
n
n x
a x dx
π
= ϕ
∫
ℓ
ℓ ℓ


0
2
( )sin
n
n x
b x dx
n a
π
= ψ
π
∫
ℓ
ℓ

Thay các biểu thức tìm ñược của
,
n n
a b
vào (9) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm .
Các bài tập áp dụng :
1. Tìm các dao ñộng ngang của dây gắn chặt tại hai mút
0,
x x
= =
ℓ
, nếu vận tốc ban ñầu bằng
không và dạng ban ñầu của dây là một cung parabol ñối xứng với ñường vuông góc qua trung
ñiểm của dây.
ðS :
3 3
0
32 1 (2 1) (2 1)
( , ) cos sin
(2 1)
k
h k at k x
u x t
k
∞
=
+ π + π
=
π +
∑

ℓ ℓ

2. Một dây chiều dài
ℓ
ñược gắn chặt tại các mút
0,
x x
= =
ℓ
. ðiểm
x c
=
xủa nó ñược kéo lên

2

khỏi vị trí cân bằng một ñoạn
h
nhỏ và lúc
0
t
=
dây ñược thả ra không vận tốc ñầu. Tìm dao
ñộng của dây ở thời ñiểm
0
t
>
.
ðS :
2

2 2
1
2 1
( , ) sin cos sin
( )
n
h n c n at n x
u x t
c c n
∞
=
π π π
=
π −
∑
ℓ
ℓ ℓ ℓ ℓ

3. Tìm các dao ñộng bé của dây chiều dài l (
0
x
ℓ
≤ ≤
) với các mút gắn chặt nếu ở thời ñiểm ñầu
tiên dây ở trạng thái yên nghỉ và một ñoạn (a,b) của nó (
0
a b
< < <
ℓ
) ñược truyền cho một vận

tốc ban ñầu không ñổi bằng v
0
4. Tìm các dao ñộng bé của dây chiều dài l (
0
x
ℓ
≤ ≤
) với các mút gắn chặt nếu ñộ lệch ban ñầu
của các ñiểm trên dây bằng không và ở thời ñiểm ñầu tiên dây ñược truyền cho một xung lực tập
trung với cường ñộ I tại x
0
(
0
0 x
< <
ℓ
).
ðS :
0
1
2 1
( , ) sin sin sin
n
n x
I n at n x
u x t
a n l l l
∞
=
π

π π
=
π ρ
∑

5. Một sợi dây ñàn hồi chiều dài
ℓ
(
0
x
ℓ
≤ ≤
) với các mút gắn chặt. Trước lúc t = 0 dây ở trạng
thái cân bằng dưới tác dụng của lực F
0
ñặt tại x
0
trên dây và vuông góc với vị trí cân bằng của
dây.Lúc t = 0, tác dụng của lực F
0
triệt tiêu. Tìm dao ñộng của dây lúc t >0
6. Một sợi dây ñàn hồi chiều dài
(0 )x
ℓ ℓ
≤ ≤
với các mút gắn chặt ñược kích thích dao ñộng bằng
cách truyền cho nó một vận tốc ban ñầu có dạng :
0
0
0 0 0

0
0 0
( )
( ,0) cos
2
0
t
khi x x
x x
u x v khi x x x
khi x x

≤ ≤ −δ




 
π −


 
= −δ ≤ ≤ +δ


 
δ
 




−δ ≤ ≤



ℓ

Tìm dao ñộng của dây lúc
0
t
>
nếu ñộ lệch ban ñầu của dây bằng 0
7. Xác ñịnh dao ñộng của dây hữu hạn gắn chặt tại các mút
0,
x x
= =
ℓ
biết rằng ñộ lệch ban
ñầu của dây bằng 0 còn vận tốc ban ñầu của dây cho bởi :
0
cos( ) khi | |
2
( ,0)
0 khi | - |
2
t
v x c x c
u x
x c


π


− − <



=


π

>





ðS :
0
2 2
1
sin cos
4
2
( , ) sin sin
1
n
n c n
v

n at n x
l l
u x t
a l l
n
n
l
∞
=
π π
π π
=
π
 
π
−
 
 
∑

8. Xác ñịnh dao ñộng của dây gắn chặt tại mút
0
x
=
còn mút
x
=
ℓ
chuyển ñộng theo quy luật
sin

A t
ω
. Biết rằng ñộ lệch ban ñầu và vận tốc ban ñầu của dây bằng 0.
ðS :
1
2
1
2
sin sin
2 ( 1)
( , ) sin sin
sin
n
n
x
A t
A a n at n x
a
u x t
l
l l l
n a
a
l
+
∞
=
ω
ω
ω − π π

= +
ω
π
 
ω −
 
 
∑

9. Giải phương trình :
2
+ ( ) (0 , 0)
tt xx
u a u f x x t
ℓ
= < < >

(0, ) , ( , ) ; ( ,0) 0 , ( ,0) 0
t
u t u t u x u x
ℓ
= α = β = =

Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng
( , ) ( , ) ( )u x t v x t W x
= +
, trong ñó :
( )W x
thoả mãn phương
trình

2
''( ) ( ) 0a W x f x+ =
với ñiều kiện :
(0) , ( )W W
ℓ
= α = β
. Khi ñó , hàm
( , )v x t
sẽ là nghiệm của
bài toán biên sau :
2
(0 , 0)
tt xx
v a v x t
ℓ
= < < >


(0, ) ( , ) 0;v t v t
ℓ
= =


( ,0) ( ), ( ,0) 0
t
v x W x v x
= − =


3

ðS :
( , ) ( , ) ( )u x t v x t W x
= +
, trong ñó :
1
( , ) cos sin
n
n
n at n x
v x t a
l
ℓ
∞
=
π π
=
∑
với :
0
2
( )sin
n
n x
a W x dx
ℓ
ℓ ℓ
π
= −
∫

và
2 2
0 0 0 0
1
( ) ( ) ( )
y y
x
x
W x x f d dy f d dy
a a
ℓ
ℓ ℓ
   
β − α
= + α − ξ ξ + ξ ξ
   
   
∫ ∫ ∫ ∫

2. Dao ñộng cưỡng bức của dây với mút
0x
=
và mút
x
ℓ
=
cột chặt
Phương trình dao ñộng :
2
( , ) (0 , 0)

tt xx
u a u f x t x t
ℓ
= + < < >
(1)
ðiều kiện biên :
(0, ) ( , ) 0u t u t
ℓ
= =
(2)
ðiều kiện ñầu :
( ,0) ( ,0) 0
t
u x u x= =
(3)
Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) dưới dạng :
1
( , ) ( )sin
n
n
n x
u x t u t
ℓ
∞
=
π
=
∑
(4).
Thay biểu thức này vào phương trình (1) ta tìm ñược phương trình cho

( )
n
u t
dưới dạng :

2
''
( ) ( ) ( )
n n n
n a
u t u t f t
ℓ
π
 
+ =
 
 
(5)
Trong ñó :
0
2
( ) ( , )sin
n n
f t f x t xdx
ℓ
ℓ
= λ
∫
. Từ ñiều kiện ñầu (3), ta tìm ñược ñiều kiện cho hàm
( )

n
u t

như sau :
'
(0) (0) 0
n n
u u= =
(6) . Nghiệm của (5) thoả mãn ñiều kiện ñầu (6) có dạng :
0
( ) ( )sin ( )
t
n n
n a
u t f t t d
n a
ℓ
ℓ
π
 
= − τ τ
 
π
 
∫
(7)
Thay (7) và0 (4) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm.
Chú ý : Nghiệm của (5) có thể ñược tìm bằng phương pháp hệ số bất ñịnh như sau :
+ Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với (5) có dạng :
(0)

( ) cos sin
n n n
n at n at
u t a b
ℓ ℓ
π π
= +

+ Giả sử
( )
n
u t
là một nghiệm riêng của (5), thì nghiệm tổng quát của (5) có dạng :
(0)
( ) ( ) ( ) cos sin ( )
n n n n n n
n at n at
u t u t u t a b u t
ℓ ℓ
π π
= + = + +

+ Từ các ñiều kiện ñầu (6), ta có thể xác ñịnh các hệ số
,
n n
a b
.
Các bài tập áp dụng :
1. Giải phương trình :
2

+ sin (0 , 0)
t
tt xx
x
u a u Ae x tℓ
ℓ
−
π
= < < >

(0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) 0 , ( ,0) 0
t
u t u t u x u x
ℓ
= = = =

ðS :
2
( , ) cos sin sin
1
t
A a t a t x
u x t e
a
a
ℓ
ℓ ℓ ℓ
ℓ
−
π π π

 
= − +
 
π
 
π
 
+
 
 

2. Giải phương trình :
2
+ (0 , 0)
t
tt xx
u a u Axe x t
ℓ
−
= < < >

(0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) 0 , ( ,0) 0
t
u t u t u x u x
ℓ
= = = =

ðS :
1
2

1
2 ( 1)
( , ) cos sin sin
1
n
t
n
A n at n at n x
u x t e
n a
n a
ℓ ℓ
ℓ ℓ ℓ
ℓ
+
∞
−
=
− π π π
 
= − +
 
π π
 
π
 
+
 
 
∑

3. Giải phương trình : sin sin2 (0 1, 0)
tt xx
u u t x x t
= + π < < >

(0, ) (1, ) 0; ( ,0) ( ,0) 0
t
u t u t u x u x
= = = =

4. Giải phương trình : 1 (0 1, 0)
tt xx
u u x t
= + < < >

(0, ) (1, ) 0; ( ,0) ( ,0) 0
t
u t u t u x u x
= = = =


4

5. Giải phương trình :
2
sh (0 , 0)
tt xx
u a u b x x t
= + < < >

ℓ

(0, ) ( , ) 0; ( ,0) ( ,0) 0
t
u t u t u x u x
= = = =
ℓ

6. Giải phương trình :
( ) (0 , 0)
tt xx
u u bx x x t
= + − < < >
ℓ ℓ

(0, ) ( , ) 0; ( ,0) ( ,0) 0
t
u t u t u x u x
= = = =
ℓ

7. Giải phương trình :
(0 , 0)
tt xx
u u x t= < < π >


2 3
(0, ) , ( , ) ; ( ,0) sin , ( ,0) 0
t

u t t u t t u x x u x= π = = =

Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng :
( , ) ( , ) ( , )u x t v x t W x t
= +
, trong ñó
( , )W x t
chọn dưới dạng
2 3 2 2 3
( , ) ( ) 1
x x x
W x t t t t t t
 
= + − = − +
 
π π π
 
. Khi ñó
( , )v x t
là nghiệm của bài toán biên sau :
2
( , ) (0 , 0)
tt xx
v a v f x t x t= + < < π >

(0, ) ( , ) 0
v t v t
= π =

( ,0) sin , ( ,0) 0

t
v x x v x= =
với
6
( , ) 2 1
tt
x xt
f x t W
 
= − = − − −
 
π π
 

ðS :
2 3
3
1
4 1 ( 1) 3
( , ) 1 cos sin ( 1) 3 1 cos sin sin
n
n
n
x x
u x t t t t x t nt nt nx
n n
∞
=
 
−

 
= − + + + − − + −
 
 
π π π
 
 
∑

8. Giải phương trình :
(0 , 0)
tt xx
u u x t= < < π >


(0, ) , ( , ) ; ( ,0) sin cos , ( ,0) 1
t
t
u t e u t t u x x x u x
−
= π = = =

Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng :
( , ) ( , ) ( , )u x t v x t W x t
= +
, trong ñó
( , )W x t
chọn dưới dạng
( , ) ( ) 1
t t t

x x xt
W x t e t e e
− − −
 
= + − = − +
 
π π π
 
. Khi ñó
( , )v x t
là nghiệm của bài toán biên sau :
2
( , ) (0 , 0)
tt xx
v a v f x t x t= + < < π >

(0, ) ( , ) 0v t v t
= π =

( ,0) sin , ( ,0) 0
t
v x x v x= =
với
( , ) 1
t
tt
x
f x t W e
−
 

= − = − −
 
π
 

ðS :
2
2
1
1 2 1 1
( , ) 1 cos 2 sin 2 cos 2 sin sin
2 ( 1)
t t
n
x xt
u x t e t x e n nt n nt nx
n n n
∞
− −
=
 
   
= − + + − + − +
   
 
π π π +
   
 
∑

9. Xác ñịnh dao ñộng của dây gắn chặt tại hai mút
0,
x x
= =
ℓ
trong môi trường có lực cản tỷ lệ
với vận tốc, biết các ñiều kiện ñầu ( ,0) ( ) , ( ,0) ( )
t
u x x u x x
= ϕ = ψ
.
§2. Bài toán dao ñộng của dây với mút
0x
=
cột chặt còn mút
x l
=
ñể tự do
1. Dao ñộng tự do của dây với mút
0x
=
cột chặt còn mút
x l
=
ñể tự do.
Phương trình dao ñộng :
2
(0 , 0)
tt xx
u a u x l t= < < >

(1)
ðiều kiện biên :
(0, ) ( , ) 0
x
u t u l t= =
(2)
ðiều kiện ñầu :
( ,0) ( ) , ( ,0) ( )
t
u x x u x x= ϕ = ψ
(3)
Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng :
( , ) ( ) ( )u x t X x T t
=
. Thay biểu thức này vào
phương trình (1) ta ñược phương trình :
2 2
2
''( ) ''( )
( ) ''( ) ''( ) ( )
( ) ( )
X x T t
X x T t a X x T t
X x a T t
= ⇒ = = −λ
. Từ ñó ta
tìm ñược các phương trình cho các hàm
( )X x
và
( )T t

như sau :
2 2
2
''( ) ( ) 0 (4)
''( ) ( ) 0 (5)
T t a T t
X x X x

+ λ =


+ λ =



Từ ñiều kiện biên (2) ta có :
(0, ) (0) ( ) 0 (0) 0u t X T t X
= = ⇒ =


( , ) '( ) ( ) 0 '( ) 0
x
u l t X l T t X l= = ⇒ =


5

Nghiệm tổng quát của phương trình (5) có dạng :
1 2
( ) cos sinX x C x C x= λ + λ

. Từ ñiều kiện
1
(0) 0 0X C= ⇒ =
; Từ ñiều kiện
2
(2 1)
'( ) 0 cos 0 ( 0,1, )
2
n
X l C l l n
+ π
= ⇒ λ λ = ⇒ λ = =
.
Từ ñó ta nhận ñược :
(2 1)
2
n
n
l
+ π
λ = λ =
(6) ; chọn
2
1C =
, ta ñược :
(2 1)
( ) sin
2
n
n x

X x
l
+ π
=
(7)
Khi
n
λ = λ
, phương trình (4) trở thành :
2 2
''( ) ( ) 0
n
T t a T t+ λ =
; Nghiệm tổng quát của phương trình
này có dạng :
(2 1) (2 1)
( ) cos sin cos sin
2 2
n n n n n n n
n at n at
T t a a t b a t a b
l l
+ π + π
= λ + λ = +
(8).
Như vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) có dạng :
0
(2 1) (2 1) (2 1)
( , ) cos sin sin
2 2 2

n n
n
n at n at n x
u x t a b
l l l
∞
=
+ π + π + π
 
= +
 
 
∑
(9)
Từ ñiều kiện ñầu (3) và biểu thức (9) cho
( , )
u x t
ta có :
0
(2 1)
( ,0) sin ( )
2
n
n
n x
u x a x
l
∞
=
+ π

= = ϕ
∑
(10)
0
(2 1) (2 1)
( ,0) sin ( )
2 2
t n
n
n a n x
u x b x
l l
∞
=
+ π + π
= = ψ
∑
(11)
Từ (10) và (11) ta tìm ñược :
0
2 (2 1)
( )sin
2
l
n
n x
a x dx
l l
+ π
= ϕ

∫


0
4 (2 1)
( )sin
(2 1) 2
l
n
n x
b x dx
n a l
+ π
= ψ
+ π
∫

Thay các biểu thức tìm ñược của
,
n n
a b
vào (9) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm .
Các bài tập áp dụng :
1. Giải phương trình :
2
(0 , 0)
tt xx
u a u x l t= < < >

3
(0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) , ( ,0) sin sin
2 2
x t
x x
u t u l t u x x u x
l l
π π
= = = = +

ðS :
2 2 3 3
( , ) sin sin sin sin
2 2 3 2 2
l a t x l a t x
u x t
a l l a l l
π π π π
= +
π π

2. Giải phương trình :
(0 , 0)
tt xx
u u x t= < < π >


(0, ) , ( , ) 1 ; ( ,0) sin , ( ,0) 1
2
x t

x
u t t u t u x u x= π = = =

Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng :
( , ) ( , ) ( , )u x t v x t W x t
= +
, trong ñó
( , )W x t
chọn sao cho :
(0, ) , ( , ) 1
x
W t t W t= π =
. Ta có thể chọn :
( , )W x t x t
= +
. Khi ñó
( , )v x t
là nghiệm của bài toán biên
sau :
2
(0 , 0)
tt xx
v a v x t= < < π >


(0, ) ( , ) 0
x
v t v l t= =

( ,0) ( ,0) ( ,0) sin
2
x
v x u x W x x
= − = −
,
( ,0) ( ,0) ( ,0) 0
t t t
v x u x W x
= − =

ðS :
2
0
8 ( 1) (2 1) (2 1)
( , ) cos sin cos sin
2 2 (2 1) 2 2
k
k
t x k t k x
u x t x t
k
∞
=
− + +
= + + −
π +
∑

3. Một dây ñồng chất chiều dài

ℓ
ñược gắn chặt tại mút
0
x
=
, mút
x
=
ℓ
ñược nối với một vòng
không khối lượng, vòng này có thể trượt theo một thanh nhẵn thẳng ñứng và nó lệch khỏi vị trí
cân bằng một ñoạn
h
, vào lúc
0
t
=
nó ñược thả ra. Tìm dao ñộng của dây lúc
0
t
>
.
2. Dao ñộng cưỡng bức của dây với mút
0x
=
cột chặt còn mút
x l
=
ñể tự do.
Phương trình dao ñộng :

2
( , ) (0 , 0)
tt xx
u a u f x t x l t= + < < >
(1)
ðiều kiện biên :
(0, ) ( , ) 0
x
u t u l t
= =
(2)

6

ðiều kiện ñầu :
( ,0) ( ,0) 0
t
u x u x= =
(3)
Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) dưới dạng :
0
( , ) ( )sin
n n
n
u x t u t x
∞
=
= λ
∑
(4) với

(2 1)
2
n
n
l
+ π
λ =
.
Thay biểu thức này vào phương trình (1) ta tìm ñược phương trình cho
( )
n
u t
dưới dạng :

'' 2 2
( ) ( ) ( )
n n n n
u t a u t f t+ λ =
(5)
Trong ñó :
0
2
( ) ( , )sin
l
n n
f t f x t xdx
l
= λ
∫
. Từ ñiều kiện ñầu (3), ta tìm ñược ñiều kiện cho hàm

( )
n
u t

như sau :
'
(0) (0) 0
n n
u u= =
(6) . Nghiệm của (5) thoả mãn ñiều kiện ñầu (6) có dạng :
[ ]
0
1
( ) ( )sin ( )
t
n n n
n
u t f t a t d
a
= λ − τ τ
λ
∫
(7)
Thay (7) và0 (4) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm.
Chú ý : Nghiệm của (5) có thể ñược tìm bằng phương pháp hệ số bất ñịnh như sau :
+ Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với (5) có dạng :
(0)
( ) cos( ) sin( )
n n n n n
u t a a t b a t= λ + λ

+ Giả sử
( )
n
u t
là một nghiệm riêng của (5), thì nghiệm tổng quát của (5) có dạng :
(0)
( ) ( ) ( ) cos( ) sin( ) ( )
n n n n n n n n
u t u t u t a a t b a t u t= + = λ + λ +

+ Từ các ñiều kiện ñầu (6), ta có thể xác ñịnh các hệ số
,
n n
a b
.
Bài tập áp dụng :
1. Giải phương trình :
2
+ sin (0 , 0)
tt xx
u a u A t x l t= < < >

(0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) 0 , ( ,0) 0
x t
u t u l t u x u x= = = =

ðS :
2
0

4 1 2 (2 1) (2 1)
( , ) sin sin sin
(2 1) 2 2
(2 1)
(2 1) 1
2
k
A l k at k x
u x t t
k a l l
k a
k
l
∞
=
 
+ π + π
= −
 
π + π
 
+ π
 
 
 
+ −
 
 
 
 

 
∑

§3. Bài toán dao ñộng của dây với mút
x l
=
cột chặt còn mút
0x
=
ñể tự do
1. Dao ñộng tự do của dây với mút
x l
=
cột chặt còn mút
0x
=
ñể tự do.
Phương trình dao ñộng :
2
(0 , 0)
tt xx
u a u x l t
= < < >
(1)
ðiều kiện biên :
(0, ) ( , ) 0
x
u t u l t= =
(2)
ðiều kiện ñầu :

( ,0) ( ) , ( ,0) ( )
t
u x x u x x= ϕ = ψ
(3)
Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng :
( , ) ( ) ( )u x t X x T t
=
. Thay biểu thức này vào
phương trình (1) ta ñược phương trình :
2 2
2
''( ) ''( )
( ) ''( ) ''( ) ( )
( ) ( )
X x T t
X x T t a X x T t
X x a T t
= ⇒ = = −λ
. Từ ñó ta
tìm ñược các phương trình cho các hàm
( )X x
và
( )T t
như sau :
2 2
2
''( ) ( ) 0 (4)
''( ) ( ) 0 (5)
T t a T t
X x X x


+ λ =


+ λ =



Từ ñiều kiện biên (2) ta có :
(0, ) '(0) ( ) 0 '(0) 0
x
u t X T t X= = ⇒ =


( , ) ( ) ( ) 0 ( ) 0u l t X l T t X l
= = ⇒ =

Nghiệm tổng quát của phương trình (5) có dạng :
1 2
( ) cos sinX x C x C x= λ + λ
. Từ ñiều kiện
2
'(0) 0 0X C= ⇒ =
; Từ ñiều kiện
1
(2 1)
( ) 0 cos 0 ( 0,1, )
2
n
X l C l l n

+ π
= ⇒ λ = ⇒ λ = =
.
Từ ñó ta nhận ñược :
(2 1)
2
n
n
l
+ π
λ = λ =
(6) ; chọn
1
1C =
, ta ñược :
(2 1)
( ) cos
2
n
n x
X x
l
+ π
=
(7)

7

Khi
n

λ = λ
, phương trình (4) trở thành :
2 2
''( ) ( ) 0
n
T t a T t+ λ =
; Nghiệm tổng quát của phương trình
này có dạng :
(2 1) (2 1)
( ) cos sin cos sin
2 2
n n n n n n n
n at n at
T t a a t b a t a b
l l
+ π + π
= λ + λ = +
(8).
Như vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) có dạng :
0
(2 1) (2 1) (2 1)
( , ) cos sin cos
2 2 2
n n
n
n at n at n x
u x t a b
l l l
∞
=

+ π + π + π
 
= +
 
 
∑
(9)
Từ ñiều kiện ñầu (3) và biểu thức (9) cho
( , )u x t
ta có :
0
(2 1)
( ,0) cos ( )
2
n
n
n x
u x a x
l
∞
=
+ π
= = ϕ
∑
(10)
0
(2 1) (2 1)
( ,0) cos ( )
2 2
t n

n
n a n x
u x b x
l l
∞
=
+ π + π
= = ψ
∑
(11)
Từ (10) và (11) ta tìm ñược :
0
2 (2 1)
( )cos
2
l
n
n x
a x dx
l l
+ π
= ϕ
∫


0
4 (2 1)
( )cos
(2 1) 2
l

n
n x
b x dx
k a l
+ π
= ψ
+ π
∫

Thay các biểu thức tìm ñược của
,
n n
a b
vào (9) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm .
Bài tập áp dụng
1. Giải phương trình :
2
(0 , 0)
tt xx
u a u x l t= < < >

3 5
(0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) cos , ( ,0) cos cos
2 2 2
x t
x x x
u t u l t u x u x
l l l
π π π
= = = = +

ðS :
2 3 3 2 5 5
( , ) cos cos sin cos sin cos
2 2 3 2 2 5 2 2
at x l at x l at x
u x t
l l a l l a l l
π π π π π π
= + +
π π

2. Dao ñộng cưỡng bức của dây với mút
x l
=
cột chặt còn mút
0x
=
ñể tự do.
Phương trình dao ñộng :
2
( , ) (0 , 0)
tt xx
u a u f x t x l t= + < < >
(1)
ðiều kiện biên :
(0, ) ( , ) 0
x
u t u l t= =
(2)

ðiều kiện ñầu :
( ,0) ( ,0) 0
t
u x u x= =
(3)
Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) dưới dạng :
0
( , ) ( )cos
n n
n
u x t u t x
∞
=
= λ
∑
(4) với
(2 1)
2
n
n
l
+ π
λ =
.
Thay biểu thức này vào phương trình (1) ta tìm ñược phương trình cho
( )
n
u t
dưới dạng :

'' 2 2
( ) ( ) ( )
n n n n
u t a u t f t+ λ =
(5)
Trong ñó :
0
2
( ) ( , )cos
l
n n
f t f x t xdx
l
= λ
∫
. Từ ñiều kiện ñầu (3), ta tìm ñược ñiều kiện cho hàm
( )
n
u t

như sau :
'
(0) (0) 0
n n
u u= =
(6)
Nghiệm của (5) thoả mãn ñiều kiện ñầu (6) có dạng :
[ ]
0
1

( ) ( )sin ( )
t
n n n
n
u t f t a t d
a
= λ − τ τ
λ
∫
(7)
Thay (7) và0 (4) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm.
Chú ý : Nghiệm của (5) có thể ñược tìm bằng phương pháp hệ số bất ñịnh như sau :
+ Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với (5) có dạng :
(0)
( ) cos( ) sin( )
n n n n n
u t a a t b a t= λ + λ

+ Giả sử
( )
n
u t
là một nghiệm riêng của (5), thì nghiệm tổng quát của (5) có dạng :
(0)
( ) ( ) ( ) cos( ) sin( ) ( )
n n n n n n n n
u t u t u t a a t b a t u t= + = λ + λ +

+ Từ các ñiều kiện ñầu (6), ta có thể xác ñịnh các hệ số
,

n n
a b
.

8

Bài tập áp dụng
1. Giải phương trình :
2
+ cos (0 , 0)
2
t
tt xx
x
u a u Ae x l t
l
−
π
= < < >


(0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) 0 , ( ,0) 0
x t
u t u l t u x u x= = = =

ðS :
2
2
( , ) cos sin cos
2 2 2

1
2
t
A a t l a t x
u x t e
l a l l
a
l
−
π π π
 
= − +
 
π
 
π
 
+
 
 

§4. Bài toán dao ñộng của dây với các mút
0x
=
và
x l
=
ñể tự do
1. Dao ñộng tự do của dây với các mút
0x

=
và
x l
=
ñể tự do.
Phương trình dao ñộng :
2
(0 , 0)
tt xx
u a u x l t= < < >
(1)
ðiều kiện biên :
(0, ) ( , ) 0
x x
u t u l t= =
(2)
ðiều kiện ñầu :
( ,0) ( ) , ( ,0) ( )
t
u x x u x x= ϕ = ψ
(3)
Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng :
( , ) ( ) ( )u x t X x T t
=
. Thay biểu thức này vào
phương trình (1) ta ñược phương trình :
2 2
2
''( ) ''( )
( ) ''( ) ''( ) ( )

( ) ( )
X x T t
X x T t a X x T t
X x a T t
= ⇒ = = −λ
. Từ ñó ta
tìm ñược các phương trình cho các hàm
( )X x
và
( )T t
như sau :
2 2
2
''( ) ( ) 0 (4)
''( ) ( ) 0 (5)
T t a T t
X x X x

+ λ =


+ λ =



Từ ñiều kiện biên (2) ta có :
(0, ) '(0) ( ) 0 '(0) 0
x
u t X T t X
= = ⇒ =

( , ) '( ) ( ) 0 '( ) 0
x
u l t X l T t X l= = ⇒ =

+ Khi
0
λ =
, phương trình (5) trở thành :
''( ) 0 ( )X x X x Ax B
= ⇒ = +
. Từ ñiều kiện
'(0) '( ) 0X X l
= =
ta tìm ñược :
0 , 0A B
= ≠
. Ta có thể chọn
1
B
=
. Như vậy khi
0
0λ = λ =
,
phương trình (5) có nghiệm :
0
( ) 1X x =
.

Lúc này phương trình (4) trở thành
0 0 0
''( ) 0 ( )T t T t a b t= ⇒ = +

+ Khi
0
λ ≠
, nghiệm tổng quát của phương trình (5) có dạng :
1 2
( ) cos sinX x C x C x= λ + λ

Từ ñiều kiện
2
'(0) 0 0X C= ⇒ =
; Từ ñiều kiện
1
'( ) 0 sin 0 ( )
n
X l C l l n
l
π
= ⇒ λ λ = ⇒ λ = ∈ℕ
.
Từ ñó ta nhận ñược :
n
n
l
π
λ = λ =
; chọn

2
1C =
, ta ñược :
( ) cos
n
n x
X x
l
π
=

Khi
n
λ = λ
, phương trình (4) trở thành :
2 2
''( ) ( ) 0
n
T t a T t+ λ =
; Nghiệm tổng quát của phương trình
này có dạng :
( ) cos sin cos sin
n n n n n n n
n at n at
T t a a t b a t a b
l l
π π
= λ + λ = +

Như vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) có dạng :

0 0
0 1
( , ) ( ) ( ) cos sin cos
n n n n
n n
n at n at n x
u x t X x T t a b t a b
l l l
∞ ∞
= =
π π π
 
= = + + +
 
 
∑ ∑
(6)
Từ ñiều kiện ñầu (3) và biểu thức (6) cho
( , )
u x t
ta có :
0
1
( ,0) cos ( )
n
n
n x
u x a a x
l
∞

=
π
= + = ϕ
∑
(7)
0
0
( ,0) cos ( )
t n
n
n a n x
u x b b x
l l
∞
=
π π
= + = ψ
∑
(8)
Từ (7) và (8) ta tìm ñược :
0
0 0
1 2
( ) , ( )cos ( 1)
l l
n
n x
a x dx a x dx n
l l l
π

= ϕ = ϕ >
∫ ∫


0
0 0
1 2
( ) , ( )cos ( 1)
l l
n
n x
b x dx b x dx n
l n a l
π
= ψ = ψ >
π
∫ ∫


9

Thay các biểu thức tìm ñược của
,
n n
a b
vào (6) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm .
Bài tập áp dụng.
1. Giải phương trình :
2

(0 , 0)
tt xx
u a u x l t
= < < >

(0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) , ( ,0) 1
x x t
u t u l t u x x u x= = = =

ðS :
2 2
0
4 1 (2 1) (2 1)
( , ) cos cos
2 (2 1)
k
l l k at k x
u x t t
k l l
∞
=
+ π + π
= + −
π +
∑


2. Giải phương trình :
2
(0 , 0)

tt xx
u a u x l t= < < >


ch ch
(0, ) 0, ( , ) ; ( ,0) , ( ,0)
sh sh
t
x x t
x x
Aa Aa
a a
u t u l t Ae u x u x
l l
a a
−
= = = = −

Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng
( , ) ( , ) ( )
t
u x t v x t e f x
−
= +
. Trong ñó
( )f x
chọn sao cho thoả
mãn ñiều kiện sau :
2
''( ) ( ) 0 , '(0) 0, '( )a f x f x f f l A− = = =

. Khi ñó,
( , )v x t
là nghiệm của bài toán
biên sau :
2
(0 , 0)
tt xx
v a v x l t= < < >

(0, ) ( , ) 0 , ( ,0) ( ,0) ( ) , ( ,0) ( ,0) ( )
t t
v t v l t v x u x f x v x u x f x= = = − = +

ðS :
( , )
t
Aa x
u x t e ch
l
a
sh
a
−
=
.
2. Dao ñộng cưỡng bức của dây với các mút
0
x
=
và

x l
=
ñể tự do.
Phương trình dao ñộng :
2
( , ) (0 , 0)
tt xx
u a u f x t x l t= + < < >
(1)
ðiều kiện biên :
(0, ) ( , ) 0
x x
u t u l t= =
(2)
ðiều kiện ñầu :
( ,0) ( ,0) 0
t
u x u x= =
(3)
Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) dưới dạng :
0
( , ) ( )cos
n n
n
u x t u t x
∞
=
= λ
∑
(4) với

n
n
l
π
λ =
.
Thay biểu thức này vào phương trình (1) ta tìm ñược phương trình cho
( )
n
u t
dưới dạng :

'' 2 2
( ) ( ) ( )
n n n n
u t a u t f t
+ λ =
(5)
Trong ñó :
0
2
( ) ( , )cos
l
n n
f t f x t xdx
l
= λ
∫
. Từ ñiều kiện ñầu (3), ta tìm ñược ñiều kiện cho hàm
( )

n
u t

như sau :
'
(0) (0) 0
n n
u u= =
(6)
+ Khi
0n
=
, phương trình (5) trở thành :
''
0 0
( ) ( )u t f t=
(7)
với ñiều kiện ñầu (6) trở thành :
'
0 0
(0) (0) 0u u= =
(8)
Nghiệm của (7) thoả mãn ñiều kiện (8) có dạng :
0
0 0
( ) ( )
t
n
u t d f d
τ

 
= τ ξ ξ
 
 
∫ ∫
(9)
+ Khi
0n
>
, nghiệm của (5) thoả mãn ñiều kiện ñầu (6) có dạng :
[ ]
0
1
( ) ( )sin ( )
t
n n n
n
u t f t a t d
a
= λ − τ τ
λ
∫
(10)
Thay (9) và (10) vào (4) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm dưới dạng :
0
1
( , ) ( ) ( )cos
n n
n
u x t u t u t x

∞
=
= + λ
∑

Chú ý
: Nghiệm của (5) khi
0n
>
có thể ñược tìm bằng phương pháp hệ số bất ñịnh như sau :
+ Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với (5) có dạng :
(0)
( ) cos( ) sin( )
n n n n n
u t a a t b a t
= λ + λ


10

+ Giả sử
( )
n
u t
là một nghiệm riêng của (5), thì nghiệm tổng quát của (5) có dạng :
(0)
( ) ( ) ( ) cos( ) sin( ) ( )
n n n n n n n n
u t u t u t a a t b a t u t= + = λ + λ +

+ Từ các ñiều kiện ñầu (6), ta có thể xác ñịnh các hệ số
,
n n
a b
.
Bài tập áp dụng
1. Giải phương trình :
2
+ ( ) (0 , 0)
tt xx
u a u f x x l t= < < >

(0, ) , ( , ) ; ( ,0) ( ) , ( ,0) ( )
x x t
u t u l t u x x u x x= α = β = ϕ = ψ

Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng :
( , ) ( , ) ( )u x t v x t W x
= +

với :
2 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( )W x a x b x a x b x= + α + + β
, các hệ số
1 2 1 2
, , ,a a b b
ñược chọn sao cho hàm
( )W x
thoả

mãn ñiều kiện biên
'(0) , '( )W W l
= α = β
.
ðS :
2 2
0
0 0
( , )
2 2
f
u x t x x t t
l
β − α
= + α + ϕ + ψ + +


2 2
1
1
cos sin cos
n n n n
n
l n at l n at n x
f f
n a n a l n a l l
∞
=
 
 

π π π
 
   
+ + ϕ − + ϕ
 
 
   
π π π
   
 
 
 
 
∑

Trong ñó :
2
0
( )
( ) cos
l
n
n
a n x
f f x dx
l l l
 
δ
β − α π
= +

 
 
∫
,
2
0
( )
( ) cos
2
l
n
n
x n x
x x dx
l l l
 
δ
β − α π
ϕ = ϕ − − α
 
 
∫

0
0
( )cos , 1, 2 ( 1,2, )
l
n
n k
n x

x dx k
l l
δ
π
ψ = ψ δ = δ = =
∫

2. Giải phương trình :
2
sin 2 (0 , 0)
tt xx
u a u t x l t
= + < < >


2 2 2
(0, ) 0, ( , ) sin sin 2 ; ( ,0) 0 , ( ,0) 2cos
x x t
l x
u t u l t t u x u x
a a a
= = = = −

Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng
( , ) ( , ) ( )sin 2u x t v x t f x t
= +
. Trong ñó
( )f x
ñược chọn sao
cho thoả mãn ñiều kiện sau :

2
2 2
''( ) 4 ( ) 1, '(0) 0, '( ) sin
l
a f x f x f f l
a a
+ = − = =
. Khi ñó
( , )v x t
là
nghiệm của bài toán biên sau :
2
(0 , 0)
tt xx
v a v x l t= < < >


(0, ) ( , ) 0 , ( ,0) 0 , ( ,0) ( ,0) 2 ( )
x x t t
v t v l t v x v x u x f x= = = = −

ðS :
1 2
( , ) cos sin 2
2 4
t x
u x t t
a
 
= − +

 
 
.



















11

Phương pháp tách biến giải các bài toán biên cho phương trình truyền nhiệt
§1. Bài toán truyền nhiệt trên thanh với hai mút
0x
=
và mút
x l

=
ñược giữ ở nhiệt ñộ
không ñổi bằng 0
1. Truyền nhiệt tự do trên thanh với hai mút
0x
=
và mút
x l
=
ñược giữ ở nhiệt ñộ không
ñổi bằng 0
Phương trình truyền nhiệt :
2
(0 , 0)
t xx
u a u x l t= < < >
(1)
ðiều kiện biên :
(0, ) ( , ) 0u t u l t
= =
(2)
ðiều kiện ñầu :
( ,0) ( ) u x x
= ϕ
(3)
Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng :
( , ) ( ) ( )u x t X x T t
=
. Thay biểu thức này vào
phương trình (1) ta ñược phương trình :

2 2
2
''( ) '( )
( ) '( ) ''( ) ( )
( ) ( )
X x T t
X x T t a X x T t
X x a T t
= ⇒ = = −λ
. Từ ñó ta
tìm ñược các phương trình cho các hàm
( )X x
và
( )T t
như sau :
2 2
2
'( ) ( ) 0 (4)
''( ) ( ) 0 (5)
T t a T t
X x X x

+ λ =


+ λ =



Từ ñiều kiện biên (2) ta có :

(0, ) (0) ( ) 0 (0) 0u t X T t X
= = ⇒ =


( , ) ( ) ( ) 0 ( ) 0u l t X l T t X l
= = ⇒ =

Nghiệm tổng quát của phương trình (5) có dạng :
1 2
( ) cos sinX x C x C x= λ + λ
. Từ ñiều kiện
1
(0) 0 0X C= ⇒ =
; Từ ñiều kiện
2
( ) 0 sin 0 ( 1,2, )
n
X l C l l n
l
π
= ⇒ λ λ = ⇒ λ = =
.
Từ ñó ta nhận ñược :
n
n
l
π
λ = λ =
(6) ; chọn
2

1C =
, ta ñược :
( ) sin
n
n x
X x
l
π
=
(7)
Khi
n
λ = λ
, phương trình (4) trở thành :
2 2
'( ) ( ) 0
n
T t a T t+ λ =
; Nghiệm tổng quát của phương trình
này có dạng :
2 2
2
( ) exp
n
a t
n n n
n a
T t C e C t
l
− λ

 
π
 
 
= = −
 
 
 
 
 
(8).
Như vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) có dạng :
2
1
( , ) exp sin
n
n
n a n x
u x t C t
l l
∞
=
 
π π
 
 
= −
 
 
 

 
 
∑
(9)
Từ ñiều kiện ñầu (3) và biểu thức (9) cho
( , )u x t
ta có :
1
( ,0) sin ( )
n
n
n x
u x C x
l
∞
=
π
= = ϕ
∑
(10)
Từ (10) ta tìm ñược :
0
2
( )sin
l
n
n x
C x dx
l l
π

= ϕ
∫

Thay biểu thức tìm ñược của
n
C
vào (9) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm .
Bài tập áp dụng
1. Giải phương trình :
2
(0 , 0)
t xx
u a u x t
ℓ
= < < >


(0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) u t u t u x Ax
ℓ
= = =

ðS :
2
1
1
2 ( 1)
( , ) exp sin
n
n
A n a n x

u x t t
n
ℓ
ℓ ℓ
+
∞
=
 
− π π
 
= −
 
 
π
 
 
 
∑

2. Giải phương trình :
2
(0 , 0)
t xx
u a u x t
ℓ
= < < >


khi 0
2

(0, ) ( , ) 0 ; ( ,0)
khi
2
x x
u t u t u x
x x
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ ℓ

< ≤


= = =


− ≤ <





12


3. Giải phương trình :
2
(0 , 0)
t xx

u a u x t
ℓ
= < < >


(0, ) , ( , ) ; ( ,0) 0

u t T u t U u x
ℓ
= = =

Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng
( , ) ( , ) ( , )u x t v x t W x t
= +
, trong ñó
( , )W x t
ñược chọn dưới
dạng :
( )
( , )
x
W x t T U T
ℓ
= + −
. Khi ñó
( , )v x t
là nghiệm của bài toán biên sau :
2
(0 , 0)
t xx

v a v x t
ℓ
= < < >

(0, ) ( , ) 0 , ( ,0) ( ,0)v t v t v x W x
ℓ
= = = −

ðS :
2
1
2 1
( , ) ( 1) sin
n a
t
n
n
U T n x
u x t x T U T e
n
ℓ
ℓ ℓ
π
 
∞
−
 
 
=
− π

 
= + + − −
 
π
∑

4. Giải phương trình :
2

(0 , 0)
t xx
u a u u x t
ℓ
= −β < < >


(0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) ( ) u t u t u x x
ℓ
= = = ϕ

Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng :
( , ) ( , )
ht
u x t e v x t
−
=
. Khi ñó
( , )v x t
là nghiệm của bài toán
biên sau :

2
(0 , 0)
t xx
v a v x t
ℓ
= < < >


(0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) ( ) v t v t v x x
ℓ
= = = ϕ

ðS :
2
1
( , ) sin
n a
t
t
n
n
n x
u x t e C e
ℓ
ℓ
π
 
∞
−
 

−β
 
=
π
=
∑
với
0
2
( )sin
n
n x
C x dx
ℓ
ℓ ℓ
π
= ϕ
∫

5. Một thanh ñồng chất chiều dài
ℓ
có hai mút
0,
x x
ℓ
= =
ñược giữ ở nhiệt ñộ không ñổi bằng 0;
nhiệt ñộ ban ñầu của thanh cho bởi
2
( )

( ,0)
cx x
u x
ℓ
ℓ
−
= . Tìm nhiệt ñộ của thanh lúc
0
t
>

ðS :
2
3 3
0
8 1 (2 1) (2 1)
( , ) exp sin
(2 1)
k
c k a k x
u x t t
k ℓ ℓ
∞
=
 
+ π + π
 
 
= −
 

 
π +
 
 
 
∑

6. Tìm phân bố nhiệt trong thanh ñồng chất chiều dài
ℓ
, biết rằng nhiệt ñộ tại mút
x
ℓ
=
bằng 0
còn nhiệt ñộ tại mút
0
x
=
cho bởi
( , ) ( : )u x t At A const
=

ðS :
3 2 2
2 2
2 3 2 2
1
2 1
( , ) 1 3 2 exp sin
6

n
x A x x x A n a n x
u x t At t
a a n
∞
=
   
       
π π
   
   
   
= − − − + + −
   
   
   
   
   
       
π
   
   
∑
ℓ ℓ
ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ

7. Tìm phân bố nhiệt trong thanh ñồng chất chiều dài
ℓ
, biết rằng nhiệt ñộ tại mút
x

ℓ
=
bằng 0
còn nhiệt ñộ tại mút
0
x
=
cho bởi
( , ) sin ( : )u x t A t A const
= ω

ðS :
2
1
2
( , ) 1 sin exp sin
n
n
c
x A n a n x
u x t A t t
n
∞
=
 
   
ω π π
 
 
 

= − ω − −
 
 
 
 
 
   
π
 
 
∑
ℓ ℓ ℓ
với
2
cos
0
t n a
n
c e d
 
π


τ ωτ







 
= τ
∫
ℓ

8. Một thanh thẳng ñồng chất chiều dài
ℓ
có nhiệt ñộ ban ñầu bằng
Ax
l
. Mút
0
x
=
ñược giữ ở
nhiệt ñộ bằng 0, còn nhiệt ñộ của mút
x
=
ℓ
thay ñổi theo quy luật ( , )
t
u t Ae
−
=
ℓ
. Tìm phân bố
nhiệt trong thanh lúc
0
t
>

.
ðS :
(
)
2
2
2 2 2
1
2 ( 1)
( , ) exp sin
n
t t
n
Ax A n a n x
u x t e t e
n n l
∞
− −
=
 
 
 
 
− π π
 
 
 


= + − +

  

 


 
 
π
π −
 
 
 
 
 
∑
ℓ
ℓ ℓ ℓ

9. Cho một thanh thẳng ñồng chất
AB
có chiều dài
1
m
=
ℓ
với các mặt bên cách nhiệt. Ở thời
ñiểm
0
t
=

nhiệt ñộ tại ñiểm cách ñầu
A
một ñoạn
(0 )x
≤ ≤
ℓ
cho bởi biểu thức
4 20
x
+
. Giả
sử rằng lúc
0
t
=
nhiệt ñộ của ñầu
A
của thanh ñược thay ñổi ñột ngột và ñược giữ ở
0
56
, còn
nhiệt ñộ của ñầu
B
cũng thay ñổi ñột ngột và ñược giữ ở
0
200
; hãy tìm phân bố nhiệt ñộ trên
thanh lúc
0
t

>
.

13

10. Cho một thanh mỏng, ñồng chất chiều dài
ℓ
với các mặt bên cách nhiệt; ñầu
0
x
=
của thanh
ñược giữ ở nhiệt ñộ không ñổi bằng
1
u , ñầu
x
=
ℓ
ñược giữ ở nhiệt ñộ không ñổi bằng
2
u . Tìm
phân bố nhiệt trên thanh lúc
0
t
>
. Biết rằng nhiệt ñộ ban ñầu của thanh là
0
u
không ñổi.
11. Cho một thanh mỏng, ñồng chất chiều dài

ℓ
với các mặt bên cách nhiệt; các mút
0
x
=
và
x
=
ℓ
ñược giữ ở nhiệt ñộ không ñổi bằng 0. Tìm phân bố nhiệt trên thanh lúc
0
t
>
. Biết rằng
nhiệt ñộ ban ñầu của thanh có dạng :
0 0
0
0 0
0
khi 0
( ,0)
khi
x
T x x
x
u x
l x
T x x l
l x




< <



=


−

< <


−



12. Một thanh ñồng chất chiều dài
ℓ
với các mặt bên có trao ñổi nhiệt với môi trường xung
quanh, nhiệt ñộ môi trường bằng 0, còn các mút
0,
x x
= =
ℓ
ñược giữ ở nhiệt ñộ không ñổi bằng
0. Tìm phân bố nhiệt trên thanh lúc
0
t

>
. Biết rằng nhiệt ñộ ban ñầu của thanh có dạng :
( ,0) ( : )u x Ax A const
=

2. Truyền nhiệt trên thanh với hai mút
0x
=
và mút
x l
=
ñược giữ ở nhiệt ñộ không ñổi
bằng 0, khi có nguồn nhiệt
Phương trình dao ñộng :
2
( , ) (0 , 0)
t xx
u a u f x t x l t= + < < >
(1)
ðiều kiện biên :
(0, ) ( , ) 0u t u l t
= =
(2)
ðiều kiện ñầu :
( ,0) 0u x
=
(3)
Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) dưới dạng :
0
( , ) ( )sin

n n
n
u x t u t x
∞
=
= λ
∑
(4) với
n
n
l
π
λ =
.
Khi ñó
( )
n
u t
là nghiệm của bài toán sau :

' 2 2
( ) ( ) ( )
n n n n
u t a u t f t+ λ =
(5)

(0) 0
n
u =
(6)

Trong ñó :
0
2
( ) ( , )sin
l
n n
f t f x t xdx
l
= λ
∫
. Nghiệm của (5) thoả mãn ñiều kiện ñầu (6) có dạng :
2 2
0
( ) ( )exp ( )
t
n n n
u t f a t d
 
= τ − λ − τ τ
 
∫
(7)
Thay (7) và0 (4) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm.
Chú ý : Nghiệm của (5) có thể ñược tìm bằng phương pháp hệ số bất ñịnh như sau :
+ Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với (5) có dạng :
(0) 2 2
( ) exp( )
n n n
u t C a t= − λ

+ Giả sử
( )
n
u t
là một nghiệm riêng của (5), thì nghiệm tổng quát của (5) có dạng :
(0) 2 2
( ) ( ) ( ) exp( ) ( )
n n n n n n
u t u t u t C a t u t= + = − λ +

+ Từ ñiều kiện ñầu (6), ta có thể xác ñịnh hệ số
n
C
.
Bài tập áp dụng
1. Giải phương trình :
2
sin (0 , 0)
t xx
x
u a u u x t
l
ℓ
π
= −β + < < >


(0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) 0u t u t u x
ℓ
= = =

ðS :
2
2
1
( , ) 1 exp sin
a x
u x t t
a
ℓ ℓ
ℓ
 
 
 
π π
 
 
= − − β+
 
 
 
 
 
 
π
 
 
 
 
 

 
β +
 
 

§2. Bài toán truyền nhiệt trên thanh với mút
0
x
=
có nhiệt ñộ bằng 0, mút
x l
=
cách nhiệt

14

1. Truyền nhiệt tự do trên thanh với mút
0x
=
có nhiệt ñộ bằng 0, mút
x l
=
cách nhiệt
Phương trình truyền nhiệt :
2
(0 , 0)
t xx
u a u x l t= < < >
(1)
ðiều kiện biên :

(0, ) ( , ) 0
x
u t u l t
= =
(2)
ðiều kiện ñầu :
( ,0) ( ) u x x
= ϕ
(3)
Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng :
( , ) ( ) ( )u x t X x T t
=
. Thay biểu thức này vào
phương trình (1) ta ñược phương trình :
2 2
2
''( ) '( )
( ) '( ) ''( ) ( )
( ) ( )
X x T t
X x T t a X x T t
X x a T t
= ⇒ = = −λ
. Từ ñó ta
tìm ñược các phương trình cho các hàm
( )X x
và
( )T t
như sau :
2 2

2
'( ) ( ) 0 (4)
''( ) ( ) 0 (5)
T t a T t
X x X x

+ λ =


+ λ =



Từ ñiều kiện biên (2) ta có :
(0, ) (0) ( ) 0 (0) 0
u t X T t X
= = ⇒ =


( , ) '( ) ( ) 0 '( ) 0
x
u l t X l T t X l= = ⇒ =

Nghiệm tổng quát của phương trình (5) có dạng :
1 2
( ) cos sinX x C x C x= λ + λ
. Từ ñiều kiện
1
(0) 0 0X C= ⇒ =
; Từ ñiều kiện

2
(2 1)
'( ) 0 cos 0 ( 0,1, )
2
n
X l C l l n
+ π
= ⇒ λ λ = ⇒ λ = =
.
Từ ñó ta nhận ñược :
(2 1)
2
n
n
l
+ π
λ = λ =
(6) ; chọn
2
1C =
, ta ñược :
(2 1)
( ) sin
2
n
n x
X x
l
+ π
=

(7)
Khi
n
λ = λ
, phương trình (4) trở thành :
2 2
'( ) ( ) 0
n
T t a T t+ λ =
; Nghiệm tổng quát của phương trình
này có dạng :
2 2
2
(2 1)
( ) exp
2
n
a t
n n n
n a
T t C e C t
l
− λ
 
+ π
 
 
= = −
 
 

 
 
 
(8).
Như vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) có dạng :
2
0
(2 1) (2 1)
( , ) exp sin
2 2
n
n
n a n x
u x t C t
l l
∞
=
 
+ π + π
 
 
= −
 
 
 
 
 
∑
(9)
Từ ñiều kiện ñầu (3) và biểu thức (9) cho

( , )u x t
ta có :
0
(2 1)
( ,0) sin ( )
2
n
n
n x
u x C x
l
∞
=
+ π
= = ϕ
∑
(10)
Từ (10) ta tìm ñược :
0
2 (2 1)
( )sin
2
l
n
n x
C x dx
l l
+ π
= ϕ
∫

Thay biểu thức tìm ñược của
n
C
vào (9) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm .
Bài tập áp dụng
1. Giải phương trình :
2
(0 , 0)
t xx
u a u u x l t= −β < < >


(0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) sin
2
x
x
u t u l t u x
l
π
= = =

ðS :
2
( , ) exp sin
2 2
a x
u x t t
l l
 

 
π π
 
 
= − β +
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Một thanh ñồng chất chiều dài
ℓ
với các mặt bên có trao ñổi nhiệt với môi trường xung quanh,
nhiệt ñộ của môi trường bằng 0, các mút
0,
x x
= =
ℓ
ñược giữ ở nhiệt ñộ không ñổi bằng 0. Tìm
phân bố nhiêt trên thanh lúc
0
t
>
. Biết rằng nhiệt ñộ ban ñầu của thanh có dạng :
( ,0) sin
2

x
u x
l
π
=
2. Giải phương trình :
2
( ) (0 , 0)
t xx
u a u f x x l t= + < < >


(0, ) 0, ( , ) ; ( ,0) ( )
x
u t u l t q u x x= = = ϕ


15

Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng :
( , ) ( , ) ( )u x t v x t w x
= +
, trong ñó
( )w x
là nghiệm của bài toán
sau :
2
''( ) ( ) 0 , (0) 0, ( )
x
a w x f x w w l q+ = = =

. Khi ñó
( , )v x t
là nghiệm của bài toán biên sau :

2

(0 , 0)
t xx
v a v x l t
= < < >


(0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) ( ) ( )
x
v t v l t v x x w x= = = ϕ −

ðS :
2 2 2
2
0
(2 1) (2 1)
( , ) ( ) exp sin
4 2
k
k
k a k x
u x t w x C t
l l
∞
=

 
+ π + π
= + −
 
 
∑
, trong ñó :
2 2
0 0 0
1
( ) ( ) ( )
y
x l
x
w x f d dy f d qx
a a
 
= − ξ ξ + ξ ξ +
 
 
∫ ∫ ∫
và
[ ]
0
2 (2 1)
( ) ( ) sin
2
l
k
k x

C x w x dx
l l
+ π
= ϕ −
∫

3. Giải phương trình :
2
(0 , 0)
t xx
u a u x l t= < < >


(0, ) 0, ( , ) ; ( ,0)

t
x
u t u l t Ae u x T
−
= = =

Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng
( , ) ( , ) ( )
t
u x t v x t f x e
−
= +
, trong ñó hàm
( )f x
là nghiệm của

bài toán sau :
2
''( ) ( ) 0 , (0) 0 , '( )a f x f x f f l A+ = = =
. Khi ñó
( , )v x t
là nghiệm của bài toán biên sau

2
(0 , 0)
t xx
v a v x l t= < < >


(0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) ( )
x
v t v l t v x T f x= = = −

ðS :
2 2
2
2 2
0
2 ( 1)
( , ) sin sin
1
cos
k
k
a t
t

k
k
k k
aA x T Aa
u x t e e x
l
a l a
a
∞
− ω
−
=
 
−
= + + ω
 
ω − ω
 
∑
, trong ñó
(2 1) 1
,
2
k k
k
l a
+
ω = ω ≠

2. Truyền nhiệt trên thanh với mút

0
x
=
có nhiệt ñộ bằng 0, mút
x l
=
cách nhiệt khi có
nguồn nhiệt
Phương trình dao ñộng :
2
( , ) (0 , 0)
t xx
u a u f x t x l t= + < < >
(1)
ðiều kiện biên :
(0, ) ( , ) 0
x
u t u l t= =
(2)
ðiều kiện ñầu :
( ,0) 0u x
=
(3)
Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) dưới dạng :
0
( , ) ( )sin
n n
n
u x t u t x
∞

=
= λ
∑
(4) với
(2 1)
2
n
n
l
+ π
λ =
.
Thay biểu thức này vào phương trình (1) ta tìm ñược phương trình cho
( )
n
u t
dưới dạng :

' 2 2
( ) ( ) ( )
n n n n
u t a u t f t+ λ =
(5)
Trong ñó :
0
2
( ) ( , )sin
l
n n
f t f x t xdx

l
= λ
∫
. Từ ñiều kiện ñầu (3), ta tìm ñược ñiều kiện cho hàm
( )
n
u t

như sau :
(0) 0
n
u =
(6)
Nghiệm của (5) thoả mãn ñiều kiện ñầu (6) có dạng :
2 2
0
( ) ( )exp ( )
t
n n n
u t f a t d
 
= τ − λ − τ τ
 
∫
(7)
Thay (7) và0 (4) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm.
Chú ý : Nghiệm của (5) có thể ñược tìm bằng phương pháp hệ số bất ñịnh như sau :
+ Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với (5) có dạng :
(0) 2 2
( ) exp( )

n n n
u t C a t= − λ

+ Giả sử
( )
n
u t
là một nghiệm riêng của (5), thì nghiệm tổng quát của (5) có dạng :
(0) 2 2
( ) ( ) ( ) exp( ) ( )
n n n n n n
u t u t u t C a t u t= + = − λ +

+ Từ ñiều kiện ñầu (6), ta có thể xác ñịnh hệ số
n
C
.
§3. Bài toán truyền nhiệt trên thanh với mút
x l
=
có nhiệt ñộ bằng 0, mút
0x
=
cách nhiệt
1. Truyền nhiệt tự do trên thanh với mút
x l
=
có nhiệt ñộ bằng 0, mút
0x
=

cách nhiệt
Phương trình truyền nhiệt :
2
(0 , 0)
t xx
u a u x l t
= < < >
(1)

16

ðiều kiện biên :
(0, ) ( , ) 0
x
u t u l t= =
(2)
ðiều kiện ñầu :
( ,0) ( ) u x x
= ϕ
(3)
Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng :
( , ) ( ) ( )
u x t X x T t
=
. Thay biểu thức này vào
phương trình (1) ta ñược phương trình :
2 2
2
''( ) ''( )
( ) ''( ) ''( ) ( )

( ) ( )
X x T t
X x T t a X x T t
X x a T t
= ⇒ = = −λ
. Từ ñó ta
tìm ñược các phương trình cho các hàm
( )X x
và
( )T t
như sau :
2 2
2
'( ) ( ) 0 (4)
''( ) ( ) 0 (5)
T t a T t
X x X x

+ λ =


+ λ =



Từ ñiều kiện biên (2) ta có :
(0, ) '(0) ( ) 0 '(0) 0
x
u t X T t X= = ⇒ =

( , ) ( ) ( ) 0 ( ) 0u l t X l T t X l
= = ⇒ =

Nghiệm tổng quát của phương trình (5) có dạng :
1 2
( ) cos sin
X x C x C x
= λ + λ
. Từ ñiều kiện
2
'(0) 0 0X C= ⇒ =
; Từ ñiều kiện
1
(2 1)
( ) 0 cos 0 ( 0,1, )
2
n
X l C l l n
+ π
= ⇒ λ = ⇒ λ = =
.
Từ ñó ta nhận ñược :
(2 1)
2
n
n
l
+ π
λ = λ =

(6) ; chọn
1
1C =
, ta ñược :
(2 1)
( ) cos
2
n
n x
X x
l
+ π
=
(7)
Khi
n
λ = λ
, phương trình (4) trở thành :
2 2
'( ) ( ) 0
n
T t a T t+ λ =
; Nghiệm tổng quát của phương trình
này có dạng :
2
2 2
(2 1)
( ) exp exp
2
n n n n

n a
T t C a t C t
l
 
+ π
 
 
 
= − λ = −
 
 
 
 
 
 
(8).
Như vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) có dạng :
2
0
(2 1) (2 1)
( , ) exp cos
2 2
n
n
n a n x
u x t C t
l l
∞
=
 

+ π + π
 
 
= −
 
 
 
 
 
∑
(9)
Từ ñiều kiện ñầu (3) và biểu thức (9) cho
( , )u x t
ta có :
0
(2 1)
( ,0) cos ( )
2
n
n
n x
u x C x
l
∞
=
+ π
= = ϕ
∑
(10)
Từ (10) ta tìm ñược :

0
2 (2 1)
( )cos
2
l
n
n x
C x dx
l l
+ π
= ϕ
∫

Thay các biểu thức tìm ñược của
n
C
vào (9) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm .
Bài tập áp dụng.
1. Giải phương trình :
2
(0 , 0)
t xx
u a u x t
ℓ
= < < >


(0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) ( )
x
u t u t u x A x

ℓ ℓ
= = = −

ðS :
2
2 2
0
8 1 (2 1) (2 1)
( , ) exp cos
(2 1) 2 2
k
A k a k x
u x t t
k
ℓ
ℓ ℓ
∞
=
 
+ π + π
 
= −
 
 
π +
 
 
 
∑

2. Truyền nhiệt trên thanh với mút
x l
=
có nhiệt ñộ bằng 0, mút
0x
=
cách nhiệt khi có
nguồn nhiệt
Phương trình truyền nhiệt :
2
( , ) (0 , 0)
t xx
u a u f x t x l t
= + < < >
(1)
ðiều kiện biên :
(0, ) ( , ) 0
x
u t u l t= =
(2)
ðiều kiện ñầu :
( ,0) 0u x
=
(3)
Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) dưới dạng :
0
( , ) ( )cos
n n
n
u x t u t x

∞
=
= λ
∑
(4) với
(2 1)
2
n
n
l
+ π
λ =
.
Thay biểu thức này vào phương trình (1) ta tìm ñược phương trình cho
( )
n
u t
dưới dạng :

' 2 2
( ) ( ) ( )
n n n n
u t a u t f t+ λ =
(5)

17

Trong ñó :
0
2

( ) ( , )cos
l
n n
f t f x t xdx
l
= λ
∫
. Từ ñiều kiện ñầu (3), ta tìm ñược ñiều kiện cho hàm
( )
n
u t

như sau :
(0) 0
n
u
=
(6) . Nghiệm của (5) thoả mãn ñiều kiện ñầu (6) có dạng :
2 2
0
( ) ( )exp ( )
t
n n n
u t f a t d
 
= τ − λ − τ τ
 
∫
(7)
Thay (7) và0 (4) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm.

Chú ý : Nghiệm của (5) có thể ñược tìm bằng phương pháp hệ số bất ñịnh như sau :
+ Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với (5) có dạng :
(0) 2 2
( ) exp( )
n n n
u t C a t= − λ

+ Giả sử
( )
n
u t
là một nghiệm riêng của (5), thì nghiệm tổng quát của (5) có dạng :
(0) 2 2
( ) ( ) ( ) exp( ) ( )
n n n n n n
u t u t u t C a t u t
= + = − λ +

+ Từ ñiều kiện ñầu (6), ta có thể xác ñịnh hệ số
n
C
.
§4. Bài toán truyền nhiệt trên thanh với các mút
0x
=
và
x l
=
cách nhiệt
1. Truyền nhiệt tự do trên thanh với các mút

0x
=
và
x l
=
cách nhiệt .
Phương trình truyền nhiệt :
2
(0 , 0)
t xx
u a u x l t= < < >
(1)
ðiều kiện biên :
(0, ) ( , ) 0
x x
u t u l t= =
(2)
ðiều kiện ñầu :
( ,0) ( ) u x x
= ϕ
(3)
Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng :
( , ) ( ) ( )u x t X x T t
=
. Thay biểu thức này vào
phương trình (1) ta ñược phương trình :
2 2
2
''( ) ''( )
( ) ''( ) ''( ) ( )

( ) ( )
X x T t
X x T t a X x T t
X x a T t
= ⇒ = = −λ
. Từ ñó ta
tìm ñược các phương trình cho các hàm
( )X x
và
( )T t
như sau :
2 2
2
''( ) ( ) 0 (4)
''( ) ( ) 0 (5)
T t a T t
X x X x

+ λ =


+ λ =



Từ ñiều kiện biên (2) ta có :
(0, ) '(0) ( ) 0 '(0) 0
x
u t X T t X= = ⇒ =

( , ) '( ) ( ) 0 '( ) 0
x
u l t X l T t X l= = ⇒ =

+ Khi
0
λ =
, phương trình (5) trở thành :
''( ) 0 ( )X x X x Ax B
= ⇒ = +
. Từ ñiều kiện
'(0) '( ) 0
X X l
= =
ta tìm ñược :
0 , 0
A B
= ≠
. Ta có thể chọn
1
B
=
. Như vậy khi
0
0
λ = λ =
,
phương trình (5) có nghiệm :
0

( ) 1X x =
. Lúc này phương trình (4) trở thành
0 0
'( ) 0 ( )T t T t c= ⇒ =

+ Khi
0
λ ≠
, nghiệm tổng quát của phương trình (5) có dạng :
1 2
( ) cos sinX x C x C x= λ + λ
. Từ ñiều
kiện
2
'(0) 0 0X C= ⇒ =
; Từ ñiều kiện
1
'( ) 0 sin 0 ( )
n
X l C l l n
l
π
= ⇒ λ λ = ⇒ λ = ∈ℕ
. Từ ñó ta nhận
ñược :
n
n
l
π
λ = λ =

; chọn
2
1C =
, ta ñược :
( ) cos
n
n x
X x
l
π
=
.
Khi
n
λ = λ
, phương trình (4) trở thành :
2 2
'( ) ( ) 0
n
T t a T t+ λ =
; Nghiệm tổng quát của phương trình
này có dạng :
2 2
2
( ) exp
n
a t
n n n
n a
T t c e c t

l
− λ
 
π
 
 
= = −
 
 
 
 
 
.
Như vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) có dạng :
2
0
0 1
( , ) ( ) ( ) exp cos
n n n
n n
n a n x
u x t X x T t c c t
l l
∞ ∞
= =
 
π π
 
 
= = + −

 
 
 
 
 
∑ ∑
(6)
Từ ñiều kiện ñầu (3) và biểu thức (6) cho
( , )u x t
ta có :
0
1
( ,0) cos ( )
n
n
n x
u x c c x
l
∞
=
π
= + = ϕ
∑
(7)
Từ (7) ta tìm ñược :
0
0 0
1 2
( ) , ( )cos ( 0)
l l

n
n x
c x dx c x dx n
l l l
π
= ϕ = ϕ >
∫ ∫


18

Thay biểu thức tìm ñược của
n
c
vào (6) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm .
Bài tập áp dụng
1. Giải phương trình :
2

(0 , 0)
t xx
u a u x t
ℓ
= < < >


(0, ) ( , ) 0 ; ( ,0)
x x
u t u t u x U
ℓ

= = =

ðS :
( , )u x t U
=

2. Giải phương trình :
2
(0 , 0)
t xx
u a u x t
ℓ
= < < >


(0, ) 0, ( , ) ; ( ,0)
x x
u t u t q u x Ax
ℓ
= = =

Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng :
( , ) ( , ) ( )u x t v x t w x
= +
, trong ñó
( )w x
là nghiệm của bài toán
sau :
2
''( ) 0 , '(0) 0, '( )a w x w w l q= = =

. Khi ñó
( , )v x t
là nghiệm của bài toán biên sau :

2
(0 , 0)
t xx
v a v x l t= < < >


(0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) ( )

x x
v t v l t v x Ax w x
= = = −

ðS :
2 2
2 2 2
0
( ) 4 ( ) 1 (2 1) (2 1)
( , ) exp cos
2 (2 1)
k
A q l l A q k a k x
u x t qx t
k l l
∞
=
 

− − + π + π
= + − −
 
π +
 
∑

3. Giải phương trình :
2
(0 , 0)
t xx
u a u x t
ℓ
= < < >


(0, ) , ( , ) ; ( ,0) 0
x x
u t At u t T u x
ℓ
= = =

4. Tìm phân bố nhiệt của thanh chiều dài
(0 )x
< <
ℓ ℓ
vơi các mặt bên cách nhiệt. Biết rằng mút
0
x
=

cách nhiệt, còn mút
x
=
ℓ
có dòng nhiệt không ñổi
q
ñi vào, nhiệt ñộ ban ñầu của thanh
bằng 0.
ðS :
2
2 1
2 2
2 2
1
2 ( 1)
( , ) (3 ) exp cos
2 6
n
n
a q q n a n x
u x t t x t
n
+
∞
=
 
 
− π π
 



= + − + −


 


 
π
 
 
∑
ℓ
ℓ
ℓ ℓ ℓ ℓ

5. Một thanh ñồng chất chiều dài
ℓ
với các mặt bên và mút
0,
x x
= =
ℓ
cách nhiệt. Tìm phân bố
nhiệt trên thanh lúc
0
t
>
. Biết rằng nhiệt ñộ ban ñầu của thanh có dạng :
0

khi 0 / 2
( ,0)
0 khi /2
T x
u x
x

< <


=


< <


ℓ
ℓ ℓ

2. Truyền nhiệt trên thanh với hai mút
0x
=
và
x l
=
cách nhiệt khi có nguồn nhiệt .
Phương trình truyền nhiệt :
2
( , ) (0 , 0)
t xx

u a u f x t x l t
= + < < >
(1)
ðiều kiện biên :
(0, ) ( , ) 0
x x
u t u l t= =
(2)
ðiều kiện ñầu :
( ,0)u x
=
(3)
Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) dưới dạng :
0
( , ) ( )cos
n n
n
u x t u t x
∞
=
= λ
∑
(4) với
n
n
l
π
λ =
.
Thay biểu thức này vào phương trình (1) ta tìm ñược phương trình cho

( )
n
u t
dưới dạng :

' 2 2
( ) ( ) ( )
n n n n
u t a u t f t+ λ =
(5)
Trong ñó :
0
2
( ) ( , )cos
l
n n
f t f x t xdx
l
= λ
∫
. Từ ñiều kiện ñầu (3), ta tìm ñược ñiều kiện cho hàm
( )
n
u t

như sau :
(0) 0
n
u =
(6)

+ Khi
0n
=
, phương trình (5) trở thành :
'
0 0
( ) ( )u t f t=
(7)
với ñiều kiện ñầu (6) trở thành :
0
(0) 0u =
(8)
Nghiệm của (7) thoả mãn ñiều kiện (8) có dạng :
0 0
0
( ) ( )
t
u t f d= τ τ
∫
(9)
+ Khi
0n
>
, nghiệm của (5) thoả mãn ñiều kiện ñầu (6) có dạng :

19

2 2
0
( ) ( )exp ( )

t
n n n
u t f a t d
 
= τ − λ − τ τ
 
∫
(10)
Thay (9) và (10) vào (4) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm dưới dạng :
0
1
( , ) ( ) ( )cos
n n
n
u x t u t u t x
∞
=
= + λ
∑

Chú ý : Nghiệm của (5) khi
0n
>
có thể ñược tìm bằng phương pháp hệ số bất ñịnh như sau :
+ Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với (5) có dạng :
(0) 2 2
( ) exp( )
n n n
u t c a t= − λ

+ Giả sử
( )
n
u t
là một nghiệm riêng của (5), thì nghiệm tổng quát của (5) có dạng :
(0) 2 2
( ) ( ) ( ) exp( ) ( )
n n n n n n
u t u t u t c a t u t= + = − λ +

+ Từ ñiều kiện ñầu (6), ta có thể xác ñịnh hệ số
n
c
.
Bài tập áp dụng
1. Giải phương trình :
2
(0 , 0)
t xx
u a u u x t
ℓ
= −β < < >


(0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) ( )
x x
u t u t u x x
ℓ
= = = ϕ

ðS :
2
0
( , ) cos
n a
t
t
n
n
n x
u x t e C e
ℓ
ℓ
π
 
∞
−
 
−β
 
=
π
=
∑
với
0
0 0
1 2
( ) ; ( ) cos ( 1)
l

n
n x
C x dx C x dx n
l
ℓ
ℓ ℓ
π
= ϕ = ϕ ≥
∫ ∫

2. Giải phương trình :
sin 3 (0 1, 0)
t xx
u u x x t= + π < < >


(0, ) (1, ) 0 ; ( ,0) 0
x x
u t u t u x= = =

ðS :
{ }
2
3
3 2
0
2 12 1
( , ) 1 exp [(2 1) ] cos
3
(2 1) 9 (2 1)

k
u x t t k t n x
k k
∞
=
 
= + − − + π π
 
π π
 
+ − +
 
∑

20


Phương pháp tách biến giải các bài toán biên cho phương trình Laplace trong
miền hình chữ nhật
{
}
( , ) :0 ,0
D x y x p y q
= ≤ ≤ ≤ ≤


§1. Dạng thứ nhất :
( , ) 0 ( , ) u x y x y D
∆ = ∈
(1)

(0, ) ( , ) 0u y u p y
= =
(2)
( ,0) ( ) , ( , ) ( )u x x u x q x
= ϕ = ψ

(3)
Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng :
( , ) ( ) ( )u x y X x Y y
=
. Thay biểu thức này
vào phương trình (1) ta ñược phương trình :
2
''( ) ''( )
"( ) ( ) ( ) ''( ) 0
( ) ( )
X x Y y
X x Y y X x Y y
X x Y y
+ = ⇒ = − = −λ
.
Từ ñó ta tìm ñược các phương trình cho các hàm
( )X x
và
( )Y y
như sau :
2
2
''( ) ( ) 0 (4)
''( ) ( ) 0 (5)
Y y Y y
X x X x

− λ =



+ λ =



Từ ñiều kiện biên (2) ta tìm ñược :
(0) ( ) 0X X p
= =
(6)
Nghiệm tổng quát của phương trình (5) có dạng :
1 2
( ) cos sinX x C x C x= λ + λ

Từ ñiều kiện (6) ta có :
1
(0) 0 0X C= ⇒ =
;
2
( ) 0 sin 0 ( 1, 2, )X p C p p n n= ⇒ λ = ⇒ λ = π =
.
Từ ñó ta nhận ñược :
n
n
p
π
λ = λ =
(6) ; chọn
2
1C =
, ta ñược :
( ) sin

n
n x
X x
p
π
=
(7)
Khi
n
λ = λ
, phương trình (4) trở thành :
2
''( ) ( ) 0
n
Y y Y y− λ =
; Nghiệm tổng quát của phương trình
này có dạng :
n
( ) ch( ) sh( )
n n n n
Y y a y b y= λ + λ
(8) với
n
λ
cho bởi (6).
Như vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) có dạng :
[ ]
0
( , ) ch( ) sh( ) sin
n n n n

n
n x
u x y a y b y
p
∞
=
π
= λ + λ
∑
(9)
Từ ñiều kiện biên (3) và biểu thức (9) cho
( , )u x y
ta có :
1
( ,0) sin ( )
n
n
n x
u x a x
p
∞
=
π
= = ϕ
∑
(10)
[ ]
1
( , ) ch( ) sh( ) sin ( )
n n n n

n
n x
u x q a q b q x
p
∞
=
π
= λ + λ = ψ
∑
(11)
Từ (10) và (11) ta tìm ñược :
0
2
( )sin
p
n
n x
a x dx
p p
π
= ϕ
∫
(12)

0
2
ch( ) sh( ) ( )sin
p
n n n n
n x

a q b q x dx
p p
π
λ + λ = ψ
∫
(13)
Giải hệ (12), (13) ta tìm ñược
,
n n
a b
; thay vào (9) ta ñược nghiệm của phương trình cho.
Chú ý : Nếu ñiều kiện biên ñược cho theo
y
thì trong các công thức ở trên ta chỉ cần thực hiện
việc ñổi lẫn vai trò của các ñại lượng như sau :
; ; x y X Y p q
↔ ↔ ↔
, ta sẽ nhận ñược
nghiệm của bài toán tương ứng.
Bài tập áp dụng
Bài 1. Giải phương trình :
0 (0 ,0 )u x a y
∆ = < < < < ∞


(0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) 1 , ( , ) 0
x
u y u a y u x A u x
a
 

= = = − ∞ =
 
 

ðS :
1
2 1
( , ) exp sin
k
A n y n x
u x y
n a a
∞
=
π π
 
= −
 
π
 
∑
với
0
2 (2 1)
( )sin
2
l
k
k y
a f y dy

l l
+ π
=
∫


21

Bài 2. Tìm nghiệm của phương trình Laplace trong miền hình chữ nhật
{
}
0 ,0D x a y b≤ ≤ ≤ ≤
,
thoả mãn ñiều kiện biên sau :
(0, ) ( ), ( , ) 0 (0 )u y Ay b y u a y y b
= − = ≤ ≤
;
( ,0) sin , ( , ) 0 (0 )
x
u x B u x b x a
a
π
= = ≤ ≤

Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng
1 2
( , ) ( , ) ( , )u x y u x y u x y= +
, trong ñó :
-
1

( , )u x y
là hàm ñiều hoà trong
D
và thoả mãn ñiều kiện biên :
1 1 1 1
(0, ) ( ), ( , ) 0 ; ( ,0) ( , ) 0u y Ay b y u a y u x u x b= − = = =

-
2
( , )u x y
là hàm ñiều hoà trong
D
và thoả mãn ñiều kiện biên :
2 2 2 2
(0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) sin , ( , ) 0
x
u y u a y u x B u x b
a
π
= = = =

ðS :
2
3 3
0
( ) (2 1) ( ) (2 1)
sh sh sin
8
( , ) sin
(2 1)

(2 1)
sh sin
k
b y k a x k y
x Ab
a b b
u x y B
b k a
a k
a b
∞
=
π − + π − + π
π
= +
π + π
π +
∑

§2. Dạng thứ hai :
( , ) 0 ( , ) u x y x y D
∆ = ∈
(1)

(0, ) ( , ) 0
x
u y u p y= =
(2)
( ,0) ( ) , ( , ) ( )u x x u x q x
= ϕ = ψ

(3)
Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng :
( , ) ( ) ( )u x y X x Y y
=
. Thay biểu thức này
vào phương trình (1) ta ñược phương trình :
2
''( ) ''( )
"( ) ( ) ( ) ''( ) 0
( ) ( )
X x Y y
X x Y y X x Y y
X x Y y
+ = ⇒ = − = −λ
.
Từ ñó ta tìm ñược các phương trình cho các hàm
( )X x
và
( )Y y
như sau :
2
2
''( ) ( ) 0 (4)
''( ) ( ) 0 (5)
Y y Y y
X x X x

− λ =



+ λ =



Từ ñiều kiện biên (2) ta tìm ñược :
'(0) ( ) 0X X p
= =
(6)
Nghiệm tổng quát của phương trình (5) có dạng :
1 2
( ) cos sinX x C x C x= λ + λ

Từ ñiều kiện (6) ta có :
2
'(0) 0 0
X C
= ⇒ =
;
2
(2 1)
( ) 0 cos 0 ( 0,1, )
2
k
X p C p p k
+ π
= ⇒ λ = ⇒ λ = =
.
Từ ñó ta nhận ñược :
(2 1)
2

k
k
p
+ π
λ = λ =
(6) ; chọn
2
1C =
, ta ñược :
(2 1)
( ) cos
2
k
k x
X x
p
+ π
=
(7)
Khi
k
λ = λ
, phương trình (4) trở thành :
2
''( ) ( ) 0
k
Y y Y y−λ =
; Nghiệm tổng quát của phương trình
này có dạng :
k

( ) ch( ) sh( )
k k k k
Y y a y b y= λ + λ
(8) với
k
λ
cho bởi (6).
Như vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) có dạng :
[ ]
0
(2 1)
( , ) ch( ) sh( ) cos
2
k k k k
k
k x
u x y a y b y
p
∞
=
+ π
= λ + λ
∑
(9)
Từ ñiều kiện biên (3) và biểu thức (9) cho
( , )
u x y
ta có :
0
(2 1)

( ,0) cos ( )
2
k
k
k x
u x a x
p
∞
=
+ π
= = ϕ
∑
(10)
[ ]
0
(2 1)
( , ) ch( ) sh( ) cos ( )
2
k k k k
k
k x
u x q a b b b x
p
∞
=
+ π
= λ + λ = ψ
∑
(11)
Từ (10) và (11) ta tìm ñược :

0
2 (2 1)
( )cos
2
p
k
k x
a x dx
p p
+ π
= ϕ
∫
(12)

0
2 (2 1)
ch( ) sh( ) ( )cos
2
p
k k k k
k x
a q b q x dx
p p
+ π
λ + λ = ψ
∫
(13)

22

Giải hệ (12), (13) ta tìm ñược
,
k k
a b
; thay vào (9) ta ñược nghiệm của phương trình cho .
Chú ý : Nếu ñiều kiện biên ñược cho theo
y
thì trong các công thức ở trên ta chỉ cần thực hiện
việc ñổi lẫn vai trò của các ñại lượng như sau :

; ;

x y X Y p q
↔ ↔ ↔
, ta sẽ nhận ñược
nghiệm của bài toán tương ứng.
§3. Dạng thứ ba :
( , ) 0 ( , ) u x y x y D
∆ = ∈
(1)

(0, ) ( , ) 0
x
u y u p y= =
(2)
( ,0) ( ) , ( , ) ( )u x x u x q x
= ϕ = ψ
(3)
Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng :
( , ) ( ) ( )u x y X x Y y

=
. Thay biểu thức này
vào phương trình (1) ta ñược phương trình :
2
''( ) ''( )
"( ) ( ) ( ) ''( ) 0
( ) ( )
X x Y y
X x Y y X x Y y
X x Y y
+ = ⇒ = − = −λ
.
Từ ñó ta tìm ñược các phương trình cho các hàm
( )X x
và
( )Y y
như sau :
2
2
''( ) ( ) 0 (4)
''( ) ( ) 0 (5)
Y y Y y
X x X x

− λ =


+ λ =



Từ ñiều kiện biên (2) ta tìm ñược :
(0) '( ) 0X X p
= =
(6)
Nghiệm tổng quát của phương trình (5) có dạng :
1 2
( ) cos sinX x C x C x= λ + λ

Từ ñiều kiện (6) ta có :
1
(0) 0 0X C= ⇒ =
;
2
(2 1)
'( ) 0 cos 0 ( 0,1, )
2
k
X p C p p k
+ π
= ⇒ λ λ = ⇒ λ = =
.
Từ ñó ta nhận ñược :
(2 1)
2
k
k
p
+ π
λ = λ =

(6) ; chọn
2
1
C
=
, ta ñược :
(2 1)
( ) sin
2
k
k x
X x
p
+ π
=
(7)
Khi
k
λ = λ
, phương trình (4) trở thành :
2
''( ) ( ) 0
k
Y y Y y−λ =
; Nghiệm tổng quát của phương trình
này có dạng :
( ) ch( ) sh( )
k k k k k
Y y a y b y= λ + λ
(8) với

k
λ
cho bởi (6).
Như vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) có dạng :
[ ]
0
(2 1)
( , ) ch( ) sh( ) sin
2
k k k k
k
k x
u x y a y b y
p
∞
=
+ π
= λ + λ
∑
(9)
Từ ñiều kiện biên (3) và biểu thức (9) cho
( , )u x y
ta có :
0
(2 1)
( ,0) cos ( )
2
k
k
k x

u x a x
p
∞
=
+ π
= = ϕ
∑
(10)
[ ]
1
(2 1)
( , ) ch( ) sh( ) cos ( )
2
n n n n
n
k x
u x q a q b q x
p
∞
=
+ π
= λ + λ = ψ
∑
(11)
Từ (10) và (11) ta tìm ñược :
0
2 (2 1)
( )cos
2
p

k
k x
a x dx
p p
+ π
= ϕ
∫
(12)

0
2 (2 1)
ch( ) sh( ) ( )sin
2
p
k k k k
k x
a q b q x dx
p p
+ π
λ + λ = ψ
∫
(13)
Giải hệ (12), (13) ta tìm ñược
,
k k
a b
; thay vào (9) ta ñược nghiệm của phương trình cho
Chú ý : Nếu ñiều kiện biên ñược cho theo
y
thì trong các công thức ở trên ta chỉ cần thực hiện

việc ñổi lẫn vai trò của các ñại lượng như sau :
; ; x y X Y p q
↔ ↔ ↔
, ta sẽ nhận ñược
nghiệm của bài toán tương ứng.
Bài tập áp dụng
Bài 1. Giải phương trình :
0 (0 ,0 )u x p y s
∆ = < < < <


(0, ) 0, ( , ) 0 ; ( ,0) 0, ( , ) ( )
x
u y u p y u x u x s f x= = = =

ðS :
0
(2 1) (2 1)
( , ) sin sh
2 2
k
k
k x k y
u x y a
p p
∞
=
+ π + π
=
∑

với
0
2 (2 1)
( )sin
(2 1)
2
sh
2
p
k
k x
a f x dx
k s
p
p
p
+ π
=
+ π
∫


23

Bài 2. Giải phương trình :
0 (0 ,0 )u x y l
∆ = < < ∞ < <


( ,0) ( , ) 0 ; (0, ) ( ), ( , ) 0

y
u x u x l u y f y u y= = = ∞ =

ðS :
0
(2 1) (2 1)
( , ) exp sin
2 2
k
k
k x k y
u x y a
l l
∞
=
+ π + π
 
= −
 
 
∑
với
0
2 (2 1)
( )sin
2
l
k
k y
a f y dy

l l
+ π
=
∫

§4. Dạng thứ tư :
( , ) 0 ( , ) u x y x y D
∆ = ∈
(1)

(0, ) ( , ) 0
x x
u y u p y= =
(2)
( ,0) ( ) , ( , ) ( )u x x u x q x
= ϕ = ψ
(3)
Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng :
( , ) ( ) ( )u x y X x Y y
=
. Thay biểu thức này
vào phương trình (1) ta ñược phương trình :
2
''( ) ''( )
"( ) ( ) ( ) ''( ) 0
( ) ( )
X x Y y
X x Y y X x Y y
X x Y y
+ = ⇒ = − = −λ

.
Từ ñó ta tìm ñược các phương trình cho các hàm
( )X x
và
( )Y y
như sau :
2
2
''( ) ( ) 0 (4)
''( ) ( ) 0 (5)
Y y Y y
X x X x

− λ =


+ λ =



Từ ñiều kiện biên (2) ta tìm ñược :
'(0) '( ) 0X X p
= =
(6)
Nghiệm tổng quát của phương trình (5) có dạng :
1 2
( ) cos sinX x C x C x= λ + λ

Từ ñiều kiện (6) ta có :
2

'(0) 0 0X C= ⇒ =
;
1
'( ) 0 sin 0 ( 0,1, )X p C p p k k= ⇒ λ λ = ⇒ λ = π =
.
Từ ñó ta nhận ñược :
k
k
p
π
λ = λ =
(6) ; chọn
1
1
C
=
, ta ñược :
( ) cos
k
k x
X x
p
π
=
(7)
+ Khi
0
0λ = λ =
, phương trình (4) trở thành
''( ) 0Y y

=
. Nghiệm tổng quát của phương trình này
có dạng :
0 0 0
( )Y y a y b= +

+ Khi
k
λ = λ ( 0)k
>
, phương trình (4) trở thành :
2
''( ) ( ) 0
k
Y y Y y−λ =
; Nghiệm tổng quát của
phương trình này có dạng :
( ) ch( ) sh( )
k k k k k
Y y a y b y= λ + λ
(8) với
k
λ
cho bởi (6).
Như vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) có dạng :
[ ]
0 0
1
( , ) ch( ) sh( ) cos
k k k k

k
k x
u x y a y b a y b y
p
∞
=
π
= + + λ + λ
∑
(9)
Từ ñiều kiện biên (3) và biểu thức (9) cho
( , )
u x y
ta có :
0
1
( ,0) cos ( )
k
k
k x
u x b a x
p
∞
=
π
= + = ϕ
∑
(10)
[ ]
0 0

1
( , ) ch( ) sh( ) cos ( )
k k k k
k
k x
u x q a q b a q b q x
p
∞
=
π
= + + λ + λ = ψ
∑
(11)
Từ (10) và (11) ta tìm ñược :
0
0
1
( )
p
b x dx
p
= ϕ
∫
(12)
0 0
0
1
( )
p
a q b x dx

p
+ = ψ
∫
(13)
0
2
( )cos
p
k
k x
a x dx
p p
π
= ϕ
∫
(14)
0
2
ch( ) sh( ) ( )cos
p
k k k k
k x
a q b q x dx
p p
π
λ + λ = ψ
∫
(15)
Giải hệ (12) - (15) ta tìm ñược
,

k k
a b
; thay vào (9) ta ñược nghiệm của phương trình cho.
Bài tập áp dụng
Bài 1. Giải phương trình :
0 (0 ,0 )u x p y s
∆ = < < < <


(0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) , ( , )
x x
u y u p y u x A u x s Bx= = = =

ðS :
2
2
0
( 2 ) 4 1 (2 1) (2 1)
(, ) cos sh
(2 1)
2
(2 1) sh
k
pB A y pB k x k y
u y A
k s
s p p
k
p
∞

=
− + π + π
= + −
+ π
π
+
∑



24

Phương pháp tách biến giải các bài toán biên trong cho phương trình Laplace
trong miền hình tròn
{
}
2 2 2
( , ) :D x y x y R= + <
Bài toán : Tìm hàm
( , )
u x y
xác ñịnh và liên tục trong miền hình tròn
D
với biên là ñường tròn
( )C
tâm
O
bán kính
R
, thoả mãn phương trình :

( , ) 0 ; ( , )u x y x y D
∆ = ∈
(1)
với ñiều kiện biên :
( ) ( , ) ( )
C
u f P P x y C= ∈
(2)
Sử dụng hệ toạ ñộ cực
( , )r
ϕ
:
cos , sin (0 ,0 2 )x r y r r R
= ϕ = ϕ ≤ < ≤ ϕ ≤ π
. Khi ñó phương trình
(1) và ñiều kiện (2) trở thành :
2
2 2
1 1
0
u u
r
r r r r
∂ ∂ ∂
 
+ =
 
∂ ∂ ∂ϕ
 
(3)

( , ) ( )u R f
ϕ = ϕ
(4)
Ta tìm nghiệm của (4) dưới dạng :
( , ) ( ) ( )
u r F r
ϕ = Φ ϕ
. Thay vào phương trình (3), sau khi tách
biến ta nhận ñược các phương trình cho
( )F r
và
( )
Φ ϕ
dưới dạng :
2 2
''( ) '( ) ( ) 0r F r rF r F r+ − λ =
(5)
2
( ) ( ) 0Φ ϕ + λ Φ ϕ =
(6)
ðể ñảm bảo tính ñơn trị của nghiệm của (3) ta ñòi hỏi hàm
( )
Φ ϕ
phải thoả mãn ñiều kiện sau :
( ) ( 2 )
Φ ϕ = Φ ϕ + π
(7)
Nghiệm tổng quát của (6) có dạng :
( ) cos sina b

λ λ λ
Φ ϕ = λϕ + λϕ
(8) .
Thay (8) vào (7) ta nhận ñược :
(
)
sin sin 2λϕ = λϕ + λπ
và
(
)
cos cos 2λϕ = λϕ+ λπ
. Từ ñó ta tìm
ñược :
( 0,1, )
n
n nλ = λ = =
(9)
và
( ) cos sin
n n n
a n b nΦ ϕ = ϕ+ ϕ
(10)
Khi
n
nλ = λ =
, pt (5) trở thành :
2 2
''( ) '( ) ( ) 0r F r rF r n F r+ − =
(11). Nghiệm của (11) ñược
tìm dưới dạng :

( ) ( )
k
F r r k const= =
. Thay biểu thức này vào phương trình (11) ta nhận ñược
phương trình :
2 2
1,2
( ) 0
k
k n r k n− = ⇒ = ±
. Từ ñó ta tìm ñược nghiệm tổng quát của (11) dưới dạng
:
1 2
( )
n n
F r C r C r
−
= +
. ðể nghiệm của (1) hữu hạn khi
0r
→
thì
2
0C =
. Chọn
1
1C =
, ta nhận ñược :
( )
n

n
F r r
=
. Như vậy, khi
n
n
λ = λ =
, phương trình (3) có nghiệm riêng là
( , ) ( ) ( )
n n n
u r F r
ϕ = Φ ϕ
. Do
ñó nghiệm tổng quát của (3) có dạng :
( )
0
0 1
( , ) ( , ) cos sin
n
n n n
n n
u r u r a r a n b n
∞ ∞
= =
ϕ = ϕ = + ϕ + ϕ
∑ ∑
(12)
Thay(12) vào ñiều kiện biên (4) ta ñược :
( )
0

1
( , ) cos sin ( )
n
n n
n
u R a R a n b n f
∞
=
ϕ = + ϕ + ϕ = ϕ
∑
(13)
Khi
( )f
ϕ
xác ñịnh và liên tục trên
[
]
0,2π
, ta có thể khai triển nó thành chuỗi Fourier dưới dạng
( )
0
1
( ) cos sin
2
n n
n
f n n
∞
=
α

ϕ = + α ϕ +β ϕ
∑
(14),với :
2 2
0 0
1 1
( )cos ; ( )sin
n n
f n d f n d
π π
α = ϕ ϕ ϕ β = ϕ ϕ ϕ
π π
∫ ∫
(15)
Từ (13) và (14), ta tìm ñược :
0
0
; ;
2
n n
n n
n n
a a b
R R
α α β
= = =
(16). Thay (16) vào (12) ta nhận ñược
nghiệm của bài toán Dirichlet trong cho phương trình Laplace trong miền hình tròn dưới dạng :
( )
0

1
( , ) cos sin
2
n
n n
n
r
u r n n
R
∞
=
α
 
ϕ = + α ϕ+β ϕ
 
 
∑
trong ñó
,
n n
α β
cho bởi (15).
Chú ý
: Nếu ñiều kiện biên không có dạng (4), thì các hệ số
,
n n
a b
của (12) có thể nhận ñược
bằng cách thay (12) vào ñiều kiện biên tương ứng.
Bài tập áp dụng

Bài 1. Trong hình tròn
0 r R
≤ <
tìm hàm ñiều hòa thỏa mãn các ñiều kiện biên sau :
a.
( , ) (2 )
u R
ϕ = ϕ π − ϕ
b.
( , ) sin
u R
ϕ = ϕ ϕ


25

c.
( , ) ( , ) sin cos3
r
u R hu R T Q Uϕ + ϕ = + ϕ + ϕ

ðS : a.
2
2
1
2 1
( , ) 4 cos
3
k
k

r
u r k
k R
∞
=
π
 
ϕ = − ϕ
 
 
∑
,
b.
2
2
1
( , ) 1 cos sin 2 cos
2 1
k
k
r r r
u r k
R R k R
∞
=
π
 
ϕ = − − ϕ+ ϕ + ϕ
 
−

 
∑

c.
3
3
( , ) sin cos3
1 (3 )
T Qr Ur
u r
h hR hR R
ϕ = + ϕ + ϕ
+ +

Bài 2. Tìm hàm ñiều hoà trong hình quạt
0 , 0r R
< < < ϕ < α
thoả mãn các ñiều kiện biên sau :
a.
( ,0) ( , ) 0 , ( , )u r u r u R A
= α = ϕ = ϕ
b.
( ,0) ( , ) 0 ; ( , ) ( )u r u r u R f
ϕ
= α = ϕ = ϕ

c.
( ,0) ( , ) 0, ( , )u r u r u R U
ϕ ϕ
= α = ϕ = ϕ

d.
( ,0) ( , ) 0 , ( , )
r
u r u r u R Q= α = ϕ =

ðS : a.
1
1
2 ( 1)
( , ) sin
k
k
k
A r k
u r
k R
π
+
∞
α
=
α − πϕ
 
ϕ =
 
π α
 
∑
c.
2 2

1
4 1
( , ) cos
2
k
k
U U r k
u r
k R
π
∞
α
=
α α πϕ
 
ϕ = −
 
π α
 
∑

d.
2 2
1
4 1
( , ) sin
k
k
QR r k
u r

k R
π
∞
α
=
α πϕ
 
ϕ =
 
π α
 
∑
b.
(2 1)
0
(2 1)
( , ) cos
k
k
k
k
u r a r
+ π
∞
α
=
+ πϕ
ϕ =
α
∑

, trong ñó :

(2 1)
0
2 (2 1)
( )cos
2
k
k
k
a R f d
α
+ π
−
α
+ πϕ
= ϕ ϕ
α α
∫

Bài 3. Tìm phân bố nhiệt dừng trong một tấm mỏng hình bán nguyệt bán kính
R
nếu nhiệt ñộ
trên biên cong bằng
0
U
và nhiệt ñộ trên biên thẳng bằng 0.
ðS :
2 1
0

0
4
1
( , ) sin(2 1)
2 1
k
k
U
r
u r k
k R
+
∞
=
 
ϕ = + ϕ
 
π +
 
∑



Phương pháp tách biến giải các bài toán biên ngoài cho phương trình Laplace
trong miền hình tròn
{
}
2 2 2
( , ) :D x y x y R= + >
Bài toán : Tìm hàm

( , )u x y
xác ñịnh và liên tục trong miền
D
với biên là ñường tròn
( )C
tâm
O

bán kính
R
, thoả mãn phương trình :
( , ) 0 ; ( , )u x y x y D
∆ = ∈
(1)
với ñiều kiện biên :
( ) ( , ) ( )
C
u f P P x y C= ∈
(2)
Sử dụng hệ toạ ñộ cực
( , )r
ϕ
:
cos , sin ( ,0 2 )x r y r R r
= ϕ = ϕ ≤ < +∞ ≤ ϕ ≤ π
. Khi ñó phương trình
(1) và ñiều kiện (2) trở thành :
2
2 2
1 1

0
u u
r
r r r r
∂ ∂ ∂
 
+ =
 
∂ ∂ ∂ϕ
 
(3)

( , ) ( )u R f
ϕ = ϕ
(4)
Ta tìm nghiệm của (4) dưới dạng :
( , ) ( ) ( )u r F r
ϕ = Φ ϕ
. Thay vào phương trình (3), sau khi tách
biến ta nhận ñược các phương trình cho
( )
F r
và
( )
Φ ϕ
dưới dạng :
2 2
''( ) '( ) ( ) 0r F r rF r F r+ − λ =
(5)
2

( ) ( ) 0Φ ϕ + λ Φ ϕ =
(6)
ðể ñảm bảo tính ñơn trị của nghiệm của (3) ta ñòi hỏi hàm
( )
Φ ϕ
phải thoả mãn ñiều kiện sau :
( ) ( 2 )
Φ ϕ = Φ ϕ + π
(7)
Nghiệm tổng quát của (6) có dạng :
( ) cos sina b
λ λ λ
Φ ϕ = λϕ + λϕ
(8) .
Thay (8) vào (7) ta nhận ñược :
(
)
sin sin 2λϕ = λϕ + λπ
và
(
)
cos cos 2λϕ = λϕ+ λπ
. Từ ñó ta tìm
ñược :
( 0,1, )
n
n nλ = λ = =
(9)
và
( ) cos sin

n n n
a n b n
Φ ϕ = ϕ+ ϕ
(10)