(LUẬN văn THẠC sĩ) nghiên cứu ứng dụng thuật toán chặt cân bằng cho bài toán điều khiển cân bằng xe hai bánh

N

C

C N

N

P

................  ...................

N

ỄN VĂN

N
N CỨ ỨN DỤN
O N C Ặ CÂN BẰN C O BÀ O N
Ề
ỂN CÂN BẰN XE A B N
N ÀN :

L

Ề

ỂN VÀ Ự ỘN

N VĂN
Ề

C SĨ
OA
C
ỂN VÀ Ự ỘN

ƯỜ

DẪ K OA

ƯỚ

:

TS. Vũ Ngọc iên

Thái Nguyên – năm 2020

download by :

ÓA

ÓA


i

LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả, số liệu
nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ cơng trình

nào khác.
Thái ngun, ngày 20/7/2020
Tác giả luận văn

Nguyễn Văn Đô

download by :


ii

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, lời cảm ơn sâu sắc tới
thầy giáo TS. Vũ Ngọc Kiên, người đã trực tiếp chỉ bảo và hướng dẫn em trong
suốt thời gian qua.
Em xin bày tỏ lịng cảm ơn đối với các thầy cơ giáo trong Khoa, bộ môn
cùng đông đảo bạn bè, đồng nghiệp đã cổ vũ rất nhiều cho việc thực hiện luận văn
này.
Mặc dù được sự chỉ bảo sát sao của thầy hướng dẫn, sự nỗ lực cố gắng của
bản thân. Song vì kiến thức cịn hạn chế, nên chắc chắn luận văn này khơng tránh
khỏi những thiếu sót nhất định. Em rất mong được sự chỉ bảo của các thầy cơ giáo
và sự góp ý chân thành của các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn!

download by :


iii

MỞ ĐẦU
Tăng tốc độ xử lý và tính tốn hiện nay là một hướng ưu tiên nghiên cứu
trong lĩnh vực kỹ thuật. Để tăng tính tốn, có một số hướng tiếp cận sau:
1. Sử dụng tối ưu thông lượng bộ nhớ cho các vi xử lý song song.
2. Phân rã các bài tốn và lập trình song song theo nghĩa tính tốn hiệu năng
cao.
3. Quay về dùng các chip tương tự như mạng nơ ron tế bào (CNN)
4. Tìm cách giảm độ phức tạp của thuật toán mà vẫn đảm bảo sai số theo yêu
cầu.
Giảm độ phức tạp của thuật tốn chính là giảm bậc mơ hình mà luận văn sẽ tập
trung nghiên cứu.
Trong những năm gần đây, nghiên cứu về giảm bậc mơ hình xe hai bánh tự
cân bằng đã được nhiều nhà khoa học trên thế giới quan tâm. Một trong những khó
khăn nhất của vấn đề nghiên cứu xe hai bánh là khả năng duy trì cân bằng ổn định
trong những địa hình khác nhau. Trong đó, một vấn đề khó khăn là nghiên cứu điều
khiển cân bằng xe hai bánh. Để giải quyết vấn đề cân bằng xe hai bánh, có ba
phương pháp cơ bản như sau:
(i) điều khiển cân bằng bằng bánh đà,
(ii) điều khiển cân bằng sử dụng lực ly tâm
(iii) điều khiển cân bằng cách thay đổi tâm của trọng lực
Trong số ba phương pháp đó, cân bằng nhờ sử dụng bánh đà có ưu điểm là đáp ứng
nhanh và có thể cân bằng ngay cả khi xe không di chuyển.
Do xe hai bánh thường phải làm việc trong các điều kiện khác nhau, tải trọng
mang theo có thể thay đổi, ngoại lực tác động vào xe có thể thay đổi nên việc mơ
hình hóa xe hai bánh tự cân bằng gặp nhiều khó khăn và có thể coi xe hai bánh là
đối tượng bất định. Do tính chất bất định của mơ hình xe hai bánh nên thuật tốn
điều khiển bền vững như trong nghiên cứu là thích hợp nhất.
Lý thuyết điều khiển H∞ là một lý thuyết điều khiển hiện đại cho việc thiết kế
các bộ điều khiển tối ưu và bền vững cho các đối tượng điều khiển có thơng số thay

download by :


iv

đổi hoặc chịu tác động của nhiễu bên ngoài. Tuy nhiên, thiết kế bộ điều khiển theo
lý thuyết điều khiển H∞, bộ điều khiển thu được thường có bậc cao (bậc của bộ điều
khiển được xác định là bậc của đa thức mẫu). Bậc của bộ điều khiển cao có nhiều
bất lợi khi chúng ta đem thực hiện điều khiển trên xe hai bánh, vì mã chương trình
phức tạp. Vì vậy, việc giảm bậc bộ điều khiển mà vẫn đảm bảo chất lượng có một ý
nghĩa thực tiễn.
Mục tiêu nghiên cứu
- Nghiên cứu và đánh giá ưu nhược điểm của các phương pháp giảm bậc mơ
hình.
- Nghiên cứu xây dựng mơ hình xe hai bánh tự cân bằng và thiết kế hệ thống
điều khiển cân bằng mơ hình xe hai bánh.
- Ứng dụng thuật toán chặt cân bằng trong hệ thống điều khiển cân bằng xe
hai bánh.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng: Các thuật toán giảm bậc mơ hình, xe hai bánh tự cân bằng.
- Phạm vi nghiên cứu: Thuật toán chặt cân bằng cho hệ tuyến tính ổn định và
khơng ổn định; bài tốn điều khiển cân bằng xe hai bánh.
Phương pháp nghiên cứu
- Thu thập nội dung các phương pháp giảm bậc mơ hình, các thuật tốn điều
khiển cân bằng xe hai bánh thơng qua sách, các tạp chí chuyên ngành và qua mạng
internet.
- Lựa chọn thuật tốn thuật tốn giảm bậc mơ hình có khả năng giảm bậc cả
hệ ổn định và không ổn định.
- Lựa chọn thuật toán điều khiển cân bằng xe dựa trên khả năng hoạt động ổn
định của xe hai bánh.

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Áp dụng thuật toán chặt cân bằng để giảm bậc bộ điều khiển bậc cao sẽ giúp
giảm độ phức tạp của thuật tốn điều khiển, giảm thơng tin thừa, tăng tốc độ xử lý.
Mơ hình giảm bậc được sử dụng sẽ giúp xử lý tín hiệu một cách đơn giản, tăng tốc

download by :


v

độ tính tốn, thiết kế hệ thống điều khiển đơn giản hơn đồng thời vẫn đảm bảo độ
chính xác yêu cầu.
Nội dung cơ bản của luận văn gồm các chương sau:
Chương 1: Tổng quan về giảm bậc mơ hình.
Chương 2: Thuật tốn giảm bậc mơ hình.
Chương 3: Ứng dụng giảm bậc mơ hình cho bài tốn điều khiển cân bằng xe hai
bánh.
Sau thời gian tìm hiểu và nghiên cứu và đặc biệt dưới sự hướng dẫn của
Thầy TS. Vũ Ngọc Kiên luận văn của em đã được hoàn thành.
Trong quá trình thực hiện luận văn, chắc chắn khơng tránh khỏi những thiếu
sót. Em rất mong được sự chỉ bảo của các thầy giáo, cơ giáo và sự góp ý chân thành
của các bạn.

download by :


vi

MỤC LỤC
Nội dung

Trang

LỜI CAM ĐOAN .....................................................................................................i
LỜI CẢM ƠN .........................................................................................................ii
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. iii
MỤC LỤC ............................................................................................................. vi
Danh mục các bảng ..............................................................................................viii
Danh mục các hình vẽ, đồ thị.................................................................................. ix
Danh mục các ký hiệu viết tắt ................................................................................xii
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ GIẢM BẬC MÔ HÌNH ....................................... 1
1.1. Giới thiệu về giảm bậc mơ hình .................................................................... 1
1.2 Bài tốn giảm mơ hình................................................................................... 2
1.3 Các phương pháp giảm bậc mơ hình .............................................................. 3
1.3.1 Các nghiên cứu giảm bậc mơ hình trên thế giới ...................................... 3
1.3.2 Các nghiên cứu trong nước về giảm bậc ................................................. 5
1.4 Kết luận chương 1 ......................................................................................... 6
CHƯƠNG 2. THUẬT TOÁN GIẢM BẬC MƠ HÌNH............................................ 7
2.1. Một số phép tính tốn sử dụng trong giảm bậc mơ hình .................................... 7
2.1.1 Một số phép phân tích ma trận ................................................................ 7
2.1.2 Gramian điều khiển và quan sát của hệ tuyến tính .................................. 7
2.2 Thuật tốn chặt cân bằng cho hệ ổn định ....................................................... 9
2.3 Thuật tốn chặt cân bằng cho hệ khơng ổn định........................................... 11
2.3.1 Gramian điều khiển và Gramian quan sát của hệ không ổn định ........... 13
2.3.2 Thuật toán chặt cân bằng gián tiếp cho hệ khơng ổn định ..................... 16
2.3.3 Thuật tốn chặt cân bằng trực tiếp của Zhou ......................................... 17
2.4 Kết luận chương 2 ....................................................................................... 18
CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG GIẢM BẬC MƠ HÌNH CHO BÀI TỐN ĐIỀU
KHIỂN CÂN BẰNG XE HAI BÁNH ................................................................... 20
3.1 Mơ hình xe hai bánh tự cân bằng ................................................................. 20

download by :


vii

3.2. Mơ hình hóa xe hai bánh tự cân bằng ......................................................... 21
3.3.Thiết kế bộ điều khiển bền vững RH∞.......................................................... 28
3.3.1. Khái niệm cơ bản về lý thuyết điều khiển RH∞ .................................... 28
3.3.2. Mô tả không gian H∞ và RH∞ .............................................................. 29
3.3.3. Xác định tập R( s ) các bộ điều khiển làm hệ SISO ổn định.................. 31

3.3.4 Tìm R( s ) trong R ( s ) để hệ có độ nhạy nhỏ nhất .................................. 33
3.3.5. Thiết kế tối ưu RH ∞ cho bài toán cân bằng xe hai bánh ...................... 34

3.4 Ứng dụng giảm bậc mơ hình cho bài tốn điều khiển cân bằng xe hai bánh . 42
3.4.1. Giảm bậc bộ điều khiển cân bằng xe hai bánh ..................................... 42
3.4.2. Sử dụng bộ điều khiển giảm bậc để điều khiển cân bằng xe hai bánh .. 47
3.5 Kết luận chương 3 ....................................................................................... 61
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ............................................................................... 62
A. KẾT LUẬN .................................................................................................. 62
B. KIẾN NGHỊ ................................................................................................. 63
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 64

download by :


viii

Danh mục các bảng

Tên bảng

Trang

Bảng 3.1. Các thông số của mơ hình xe hai bánh tự cân bằng

21

Bảng 3.2 Kết quả giảm bậc phân hệ ổn định của bộ điều khiển bậc cao

43

Bảng 3.3 Kết quả giảm bậc bộ điều khiển bậc cao

43

Bảng 3.4 Kết quả giảm bậc bộ điều khiển bậc cao

45

download by :


ix

Danh mục các hình vẽ, đồ thị

Tên hình

Trang

Hình 3.1. Mơ hình xe hai bánh tự cân bằng

20

Hình 3.2. Mơ hình xe hai bánh từ cân bằng

21

Hình 3.3. Mơ hình điều khiển bền vững

28

Hình 3.4. Sơ đồ cấu trúc hệ thống điều khiển bền vững RH ∞

30

Hình 3.5. Mơ hình Simulink xe hai bánh tự cân bằng

38

Hình 3.6. Sơ đồ Simulink hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh tự cân

38

bằng
Hình 3.7. Đáp ứng góc lệch θ của xe khi tham số mơ hình danh định

39

Hình 3.8. Đáp ứng góc lệch θ của xe khi tham số mơ hình thay đổi

40

Hình 3.9. Đáp ứng góc lệch θ của xe khi tham số mơ hình thay đổi

41

Hình 3.10. Đáp ứng bước nhảy của bộ điều khiển gốc và các bộ điều khiển

44

giảm bậc theo thuật tốn chặt cân bằng gián tiếp
Hình 3.11. Đáp ứng tần số của bộ điều khiển gốc và các bộ điều khiển giảm

44

bậc theo thuật toán chặt cân bằng gián tiếp
Hình 3.12. Đáp ứng bước nhảy của bộ điều khiển gốc và các bộ điều khiển

46

giảm bậc theo thuật tốn chặt cân bằng trực tiếp
Hình 3.13. Đáp ứng tần số của bộ điều khiển gốc và các bộ điều khiển giảm

46

bậc theo thuật toán chặt cân bằng trực tiếp
Hình 3.14 Mơ hình Simulink hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh

47

Hình 3. 15 Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh sử

48

dụng bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển bậc 5 theo thuật toán chặt cân bằng
gián tiếp

download by :


x

Hình 3. 16 Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh sử

49

dụng bộ điều khiển bậc 4 theo thuật toán chặt cân bằng gián tiếp
Hình 3. 17 Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh sử

50

dụng bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển bậc 5 khi thông của mơ hình xe hai
bánh thay đổi
Hình 3. 18. Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh sử

51

dụng bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển bậc 5 khi thơng của mơ hình xe hai
bánh thay đổi
Hình 3.19 Mơ hình Simulink hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh

52

Hình 3. 20. Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh sử

53

dụng bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển bậc 5 theo thuật tốn chặt cân bằng
trực tiếp
Hình 3. 21. Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh sử

54

dụng bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển bậc 4, bậc 3, bậc 2 theo thuật tốn
chặt cân bằng trực tiếp
Hình 3. 22. Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh sử

55

dụng bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển bậc 5 theo thuật toán chặt cân bằng
trực tiếp
Hình 3. 23. Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh sử

56

dụng bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển bậc 4, bậc 3 theo thuật tốn chặt
cân bằng trực tiếp

Hình 3. 24. Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh sử

57

dụng bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển bậc 2 theo thuật toán chặt cân
bằng trực tiếp
Hình 3. 25. Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh sử
dụng bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển bậc 5 theo thuật toán chặt cân bằng

download by :

58


xi

trực tiếp
Hình 3. 26. Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh sử

59

dụng bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển bậc 4, bậc 3 theo thuật tốn chặt
cân bằng trực tiếp
Hình 3. 27. Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh sử
dụng bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển bậc 4, bậc 3 theo thuật toán chặt
cân bằng trực tiếp

download by :

60

xii

Danh mục các ký hiệu viết tắt
LQG

Linear Quadratic Regulator

MPC

Model Predictive Control

MOR

Model Order Reduction

ODEs

Ordinary Differential Equations

SVD

Singular Value Decomposition

download by :


1

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ GIẢM BẬC MƠ HÌNH
1.1. Giới thiệu về giảm bậc mơ hình
Vì sao có bài tốn giảm bậc mơ hình ?
Trong rất nhiều lĩnh vực kỹ thuật (như kỹ thuật hàng không, kỹ thuật điều
khiển, kỹ thuật ơ tơ, động lực, …), mơ hình tốn học được sử dụng để mơ hình hóa,
điều khiển và phân tích cho các hệ thống lớn và các hiện tượng vật lý. Do sự phát
triển của các phần mềm thiết kế mơ hình chun dụng và tính tốn chính xác trên
máy tính nên mơ phỏng số ngày càng được sử dụng để mô phỏng các hệ thống phức
tạp hoặc hiện tượng vật lý và rút ngắn thời gian phát triển sản phẩm và giảm giá
thành. Tuy nhiên, do yêu cầu tăng cường tính chính xác của các mơ hình đã dẫn đến
việc tăng cường số lượng các biến (biến trạng thái) và khối lượng tính tốn cần
được xử lý làm tăng chi phí tính tốn mơ phỏng. Hơn nữa, theo quan điểm của điều
khiển học, khi mơ hình đối tượng bậc cao hoặc bộ điều khiển bậc cao sẽ dẫn đến :
+ Sự gia tăng thời gian mô phỏng và khó khăn trong việc phân tích tính chất
của mơ hình như tính chất bất định, thay đổi thơng số, tính phi tuyến ...
+ Khó khăn khi tổng hợp bộ điều khiển hiện đại (như điều khiển LQG, điều
khiển bền vững H∞, H∞,/H2, MPC ...) cũng như hệ thống điều khiển sẽ khó có khả
năng đáp ứng yêu cầu điều khiển thời gian thực.
Vì vậy nếu có một mơ hình tốn học có bậc nhỏ hơn mà có thể mơ tả một
cách tương đối chính xác đối tượng hoặc bộ điều khiển bậc cao thì :
- Mơ hình giảm bậc tạo điều kiện để tìm hiểu về hệ thống hoặc để có sự hiểu
biết ban đầu về hệ thống dễ dàng hơn: Mơ hình giảm giúp hiểu về hệ thống đơn
giản hơn.
- Mơ hình bậc thấp sẽ giảm thời gian tính tốn: Mơ hình bậc thấp giúp q
trình tính tốn nhanh hơn.
- Mơ hình bậc thấp chỉ ra được các đặc điểm (hành vi) bền vững của mơ hình
gốc: Mơ hình giảm bậc là mơ hình đáng tín cậy hơn.

download by :

2

- Mơ hình giảm bậc làm cho việc thiết kế điều khiển được thuận lợi hoặc dễ
dàng hơn: Bộ điều khiển thu được có cấu trúc đơn giản và dễ dàng hơn để hiểu và
thiết kế cũng như đáp ứng được yêu cầu điều khiển thời gian thực.
Từ thực tế đó, u cầu xác định mơ hình bậc thấp từ mơ hình gốc bậc cao
đáp ứng một số u cầu nhất định là một yêu cầu cấp thiết. Các thuật tốn để xác
định mơ hình bậc thấp từ mơ hình bậc cao đáp ứng một số yêu cầu cơ bản (như bảo
tồn tính ổn định, sai số giảm bậc nhỏ, ..) hình thành nên lĩnh vực được gọi là “giảm
bậc mơ hình” (MOR: Model Order Reduction).
1.2 Bài tốn giảm mơ hình
Mơ hình giảm hay giảm bậc mơ hình là một thuật tốn để tìm một hệ bậc
thấp hơn so với hệ gốc dạng hệ phương trình vi phân thường (ODEs – ordinary
differential equations). Ý tưởng chính của thuật tốn là chuyển véctơ trạng thái bậc
cao thành một véctơ trạng thái bậc thấp trong không gian trạng thái, cụ thể như sau:
Cho một hệ tuyến tính, liên tục, tham số bất biến theo thời gian, có nhiều đầu
vào, nhiều đầu ra, mô tả trong không gian trạng thái bởi hệ phương trình sau:

x = Ax + Bu
y = Cx

(1.1)

trong đó, x ∈ R n , u ∈ R p , y ∈ R q , A ∈ R nxn , B ∈ R nxp , C ∈ R qxn . Mục tiêu của bài tốn

giảm bậc đối với mơ hình mơ tả bởi hệ phương trình đã cho trong (1.1) là tìm mơ
hình mơ tả bởi hệ các phương trình:
xr = Ar xr + Br u
yr = Cr xr

(1.2)

trong đó, x ∈ R r , u ∈ R p , y ∈ R q , A ∈ R rxr , B ∈ R rxp , C ∈ R qxr , với r ≤ n
Sao cho mơ hình mơ tả bởi phương trình (1.2) có thể thay thế mơ hình mơ tả bởi
phương trình trong (1.1), đồng thời đáp ứng được một số yêu cầu sau:
1. Sai số giảm bậc nhỏ và tồn tại một giới hạn lỗi toàn cục;

download by :


3

2. Thuật tốn giảm bậc cần tính tốn hiệu quả, ổn định;
3. Thuật tốn giảm bậc có thể thực hiện tự động dựa trên giới hạn sai số;
4. Các tính chất quan trọng của hệ thống gốc cần được bảo tồn trong hệ
giảm bậc như tính ổn định và thụ động, …

1.3 Các phương pháp giảm bậc mơ hình
1.3.1 Các nghiên cứu giảm bậc mơ hình trên thế giới
Trong nhiều năm qua, đã có hàng trăm cơng trình nghiên cứu để giải quyết
bài tốn giảm bậc mơ hình bậc cao được cơng bố và đề xuất, trong đó hầu hết các
cơng trình tập trung giải quyết bài tốn giảm bậc cho hệ tuyến tính. Tuy nhiên theo
[1, 32], đối với một hệ bậc cao cho trước, các phương pháp đã đề xuất có thể được
phân loại như sau

Nhóm phương pháp bảo tồn những giá trị riêng quan trọng của mơ hình
gốc bậc cao để xác định bậc của mơ hình bậc thấp. Và các tham số của mơ hình bậc
thấp được xác định sao cho trước tác động của tín hiệu tại đầu vào, đáp ứng của mơ
hình bậc thấp gần đúng với đáp ứng của mơ hình gốc. Đề xuất được quan tâm nhiều

nhất của nhóm là phương pháp điểm cực trội của Rommes [22, 23, 24], trong những
nghiên cứu này, tác giả đã đưa ra được khái niệm hay tiêu chuẩn đánh giá tính quan
trọng của điểm cực dựa trên cở sở đóng góp của điểm cực vào đáp ứng xung đầu ra
từ đó làm cơ sở phân loại các điểm cực và bảo lưu các điểm cực trong hệ giảm bậc.
Nhóm phương pháp dựa trên thuật tốn phân tích giá trị suy biến SVD:
Đề xuất đầu tiên của nhóm phương pháp này là phương pháp chặt cân bằng (cân
bằng nội) do Moore đề xuất [18]. Phương pháp chặt cân bằng được thực hiện bằng
cách áp dụng điều kiện tương đương lên q trình đường chéo hóa đồng thời hai ma
trận gramian điều khiển và quan sát động học của hệ trong tư duy hệ hở. Việc tương
đương hóa hai ma trận đường chéo như thế cho phép chuyển mơ hình gốc biểu diễn
trong hệ cơ sở bất kỳ thành hệ tương đương biểu diễn theo hệ tọa độ trong không
gian cân bằng nội. Từ không gian cân bằng đó, mơ hình bậc thấp có thể tìm được

download by :


4

bằng cách loại bỏ các giá trị riêng ít đóng góp cho sự tạo dựng mối quan hệ giữa
đầu vào và đầu ra của hệ. Những nghiên cứu gần đây [10] tập trung vào hồn thiện
thuật tốn cho từng ứng dụng cụ thể của thuật toán cắt ngăn cân bằng. Ngồi
phương pháp cân bằng nội thì cịn có một số phương pháp cân bằng khác như
phương pháp cân bằng ngẫu nhiên [17, 31], cân bằng giới hạn thực, cân bằng thực
dương [26], cân bằng LQG [9], cân bằng trọng tần số [35], phương pháp xấp xỉ
chuẩn Hankel (Hankel-Norm Approximation) [2], …
Nhóm phương pháp Singular Perturbation Approximation được đề xuất
đầu tiên bởi Y. Liu và B. D. O. Anderson [34] và được hồn thiện thêm thuật tốn
và ứng dụng trong các nghiên cứu [1, 28, 29].
Nhóm phương pháp dựa trên khơng gian con Krylov (moment matching
methods): Cơ sở của nhóm phương pháp này là chọn trùng khớp đặc tính đáp ứng

của hệ giảm bậc và hệ gốc. Sự hấp dẫn chủ yếu của nhóm phương pháp này nằm ở
chỗ tính tốn đơn giản hơn so với các phương pháp khác. Nhóm phương pháp này
được phát triển từ phương pháp lấy xấp xỉ khi tích phân gần đúng hàm theo chuỗi
của Pade [21]. Một hạn chế lớn của phương pháp gần đúng Pade là đơi khi các mơ
hình bậc thấp tìm được có thể khơng ổn định dù rằng mơ hình gốc bậc cao ổn định.
Để khắc phục nhược điểm trên đã có nhiều phương pháp được đề xuất trong đó
quan trọng nhất là phương pháp giảm bậc ổn định sử dụng phương pháp gần đúng
theo chuỗi Chebyshev Pade do Bistritz và Lanholz đề xuất [5] và phương pháp thời
điểm phù hợp (Pade approximants - moment matching) dựa trên không gian Krylov
[13, 16, 32] và được chia làm 3 nhóm nhỏ hơn là 1) thực hiện theo quy trình
Arnoldi [33] 2) thực hiện theo quy trình Lanholz [13], 3) thực hiện theo tỷ số năng
lượng [16]. Các kỹ thuật thuật toán này đảm bảo cho việc lựa chọn điểm trùng khớp
phù hợp, cung cấp giới hạn lỗi, đảm bảo được sự ổn định của mơ hình, có thể áp
dụng cho hệ nhiều vào nhiều ra, hệ tính tốn song song,…
Nhóm phương pháp dựa trên Gramian và hàm dấu ma trận (Low-rank
Gramian approximants and matrix sign function method): Nhóm phương pháp này

download by :


5

là sự kết hợp của phương pháp dựa trên SVD và phương pháp thời điểm phù hợp
(moment matching) dựa trên khơng gian con Krylov: Nhóm phương pháp này tìm
cách kết hợp ưu điểm của các thuật toán dựa trên SVD và các thuật toán dựa trên
phương pháp thời điểm phù hợp. Đề xuất đầu tiên của nhóm phương pháp này là
của Li [25] đề xuất cách giải 2 phương trình Lyapunov bằng phép chiếu không gian
con Krylov. Tiếp theo hiện có rất nhiều tác giả tiếp tục nghiên cứu và đưa ra nhiều
phương pháp khác nhau để kết hợp 2 nhóm phương pháp trên [4, 5, 8, 11, 12].
Nhóm các phương pháp khác: Đánh quan tâm nhất là nhiễu loạn được

Sannuti và Kokovic đề xuất [27], phương pháp này đặc biệt tiện lợi khi hệ thống
gốc có đặc tính biến đổi theo hai mức thời gian. Các trạng thái động học của hệ
được phân chia thành các nhóm thuộc mode “chậm” và mode “nhanh” và việc giảm
bậc được thực hiện bằng cách cho các đạo hàm theo thời gian của các trạng thái
thuộc mode “nhanh” bằng không để các trạng thái thuộc thuộc mode “nhanh” được
loại bỏ.
Ngồi ra con có các phương pháp như phương pháp kết hợp phép chiếu trực
giao thích hợp (POD) với phương pháp cắt ngắn cân bằng (POD-BT), hay phương
pháp dùng các thuật toán PSO hoặc GA tìm thơng số của mơ hình giảm bậc cố định
cho hệ SISO, ...
1.3.2 Các nghiên cứu trong nước về giảm bậc
Theo tìm hiểu của tác giả thì ở trong nước hiện nay chưa có nhiều cơng trình
nghiên cứu về giảm bậc mơ hình, xin nêu ra ở đây một số cơng trình mà tác giả đã
tìm hiểu được.
Luận văn tiến sĩ của Đào Huy Du [20] đề xuất phương pháp giảm bậc kết
hợp giữa phương pháp dựa trên SVD với bảo toàn giá trị riêng quan trọng và áp
dụng thuật tốn giảm bậc cho bài tốn viễn thơng.
Các nghiên cứu của Nguyễn Ngọc San [7] đề xuất phương pháp giảm bậc tối
ưu đầu ra, đảm bảo bảo lưu các trạng thái các trạng thái của mơ hình gốc bậc cao

download by :


6

trong mơ hình giảm bậc và áp dụng thuật tốn giảm bậc cho các bài tốn trong
mạng viễn thơng.
Luận văn tiến sĩ của Vũ Ngọc Kiên [32] để xuất thuật tốn giảm bậc bảo tồn
các điểm cực trội theo chuẩn H2, H∞ trong quá trình giảm bậc hệ ổn định và khơng
ổn định và áp dụng thuật tốn vào bài tốn điều khiển.

1.4 Kết luận chương 1
Qua q trình tìm hiểu các phương pháp giảm bậc mơ hình, cho thấy phương
pháp "tốt nhất" hiện nay, tức là một phương pháp giảm bậc đáp ứng mọi yêu cầu,
chưa tồn tại. Mỗi phương pháp giảm bậc đều có những ưu nhược điểm riêng và cần
sử dụng theo một nhu cầu thích hợp.
Với mục tiêu của luận văn là nghiên cứu giảm bậc ứng dụng cho bài toán
điều khiển, cụ thể là ứng dụng cho bài toán điều khiển xe hai bánh tự cân bằng thì
phương pháp giảm bậc cần phải đảm bảo sai số giảm bậc nhỏ, hiệu quả tính tốn
cao, đồng thời do bộ điều khiển bậc cao thu được theo các phương pháp điều khiển
bền vững H∞ có thể là khơng ổn định nên các thuật tốn giảm bậc cần phải giảm bậc
được cho cả đối tượng ổn định và không ổn định.

download by :


7

CHƯƠNG 2. THUẬT TỐN GIẢM BẬC MƠ HÌNH
2.1. Một số phép tính tốn sử dụng trong giảm bậc mơ hình
2.1.1 Một số phép phân tích ma trận
2.1.1.1 Phân tích SVD (Singular Value Decompositon)
Cho ma trận A ∈ C nxn , với n ≤ m. Khi đó tồn tại hai ma trận unita U ∈ C nxn ,

UU * = I , và V ∈ C nxn , VV * = I , sao cho:

A = U ΣV T ,
trong đó Σ = diag (σ 1 , σ 2 ,...σ n ) là ma trận đường chéo, với σ 1 > σ 2 > ... > σ n là căn
bậc hai của giá trị riêng AA* . Phép phân tích A = U ΣV * được gọi là phép phân tích
giá trị suy biến của ma trận A [1].
2.1.1.2 Phân tích Schur

Cho ma trận vuông A ∈ C nxn . Khi đó tồn tại ma trận unita U ∈ C nxn sao cho
A = U ∆U * ,
trong đó: ∆ là ma trận tam giác trên với các giá trị riêng của ma trận A nằm trên

đường chéo chính của ma trận ∆ .
2.1.1.3 Phân tích Cholesky
Cho ma trận A ∈ C nxn là ma trận xác định dương. Khi đó tồn tại một ma trận
tam giác trên R ∈ C nxn sao cho

A = R * R,
Ma trận R còn được gọi là thừa số cholesky của A.

2.1.2 Gramian điều khiển và quan sát của hệ tuyến tính
Xét một hệ tuyến tính, liên tục, tham số bất biến theo thời gian, ổn định tiệm
cận như mô tả trong (1.1).

download by :


8

Do A là ma trận ổn định (tất cả các giá trị riêng của A đều có phần thực âm)
và hệ mơ tả bởi phương trình trong (1.1) có khả năng điều khiển và quan sát hồn
tồn. Khi đó Gramian đặc trưng cho khả năng điều khiển P và cho khả năng quan
sát Q của hệ (2.1) được định nghĩa như sau:
∞

P = ∫ e At BB T e A t dt ,
T

(2.1)

0
∞

Q = ∫ e At C.C T e A t dt.
T

(2.2)

0

Gramian điều khiển P và Gramian quan sát Q thỏa mãn hai phương trình
Lyapunov sau đây:
AP + PAT = − BBT

(2.3)

AT Q + QA = −C T C

(2.4)

Gramian là đại lượng dùng để đo năng lượng điều khiển và năng lượng quan sát của
hệ. Ý nghĩa vật lý của các Gramian được cho trong bổ đề [2]:
Bổ đề 2.1.2. Giả sử P, Q là hai Gramian điều khiển và quan sát của hệ (1.1). Khi
đó
(i) Năng lượng nhỏ nhất để điều khiển hệ từ trạng thái 0 tại thời điểm t = 0 tới
trạng thái xr tại thời điểm t = ∞ là xr* P −1x r .
(ii) Năng lượng lớn nhất để quan sát trạng thái ban đầu x0 của hệ là x0*Qx 0

Nhận xét: Tính chất (i) và (ii) của Gramian điều khiển và quan sát cho chúng ta biết

biến trạng thái nào là khó điều khiển hoặc dễ điều khiển (cũng như khó quan sát hay
dễ quan sát). Cụ thể, những biến trạng thái nằm trong vùng các vector riêng của P
tương ứng với giá trị riêng lớn nhất sẽ là dễ điều khiển nhất vì chỉ cần năng lượng
nhỏ để điều khiển những biến này. Tương tự, những biến trạng thái nằm trong

download by :


9

vùng các vector riêng của Q tương ứng với giá trị riêng lớn nhất sẽ dễ quan sát nhất
vì chỉ cần năng lượng nhỏ để quan sát những biến này.
Tính chất (ii) cho chúng ta ý tưởng về khái niệm cân bằng, tức là dùng một phép đổi
biến để sắp xếp lại các biến trạng thái từ theo thứ tự dễ điều khiển/dễ quan sát đến
khó điều khiển/khó quan sát. Nếu ta sử dụng một phép biến đổi T để đưa hệ

( A, B, C , D )

trong (1.1) về dạng tương đương ( T −1 AT , T −1B, CT , D ) thì các Gramian

sẽ được biến đổi như sau:

Pˆ = TPT T
Qˆ = T −T QT −1
ˆ ˆ = T ( PQ ) T −1 . Điều này đồng nghĩa
Khi này tích của hai Gramian mới Pˆ , Qˆ là PQ
với việc mắc dù phép đổi biến T đã làm thay đổi các Gramian của hệ nhưng lại

khơng làm thay đổi các giá trị riêng của tích các Gramian P và Q . Do đó, ta có
mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.1.2. Các giá trị riêng của tích các Gramian P và Q là dương và bất

biến đối với các phép biến đổi không suy biến.
Ký hiệu

{σ 1 ,σ 1 ,...,σ n }

là các giá trị riêng của tích PQ , với giả thiết

σ 1 ≥ σ 1 ≥ ... ≥ σ n thì ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.1.2. Tập các giá trị {σ 1 , σ 1 ,..., σ n } được gọi là các giá trị suy biến

Hankel của hệ.
Giá trị suy biến Hankel σi được coi là “năng lượng” của mỗi trạng thái của hệ.
2.2 Thuật toán chặt cân bằng cho hệ ổn định
Thuật toán chặt cân bằng (balanced truncation) là phương pháp giảm bậc
được giới thiệu đầu tiên bởi Moore [18], sau đó đã được nhiều tác giả phát triển và
hồn thiện thuật toán [3, 6, 14, 15, 30].

download by :


10

Ý tưởng của thuật tốn chặt cân bằng là tìm một phép biến đổi khơng suy
biến T để chéo hóa đồng thời hai ma trận Gramian điều khiển P và ma trận
Gramian quan sát Q như đã thảo luận trong Mục 2.1.2, sau đó áp dụng kỹ thuật
chặt (tức là bỏ đi những biến không quan trọng), để thu được hệ giảm bậc. Nội dung

cụ thể của thuật toán như sau:
Xét hệ ( A, B, C , D ) ổn định tiệm cận và biểu diễn ở dạng tối thiểu như được
mơ tả trong (1.1)
Thuật tốn 2.2: Thuật tốn chặt cân bằng
Đầu vào: Hệ gốc ( A, B, C ) được mơ tả trong (1.1)
Bước 1: Tính hai ma trận Grammian quan sát Q và Grammian điều khiển P của hệ
bằng cách giải hai phương trình Lyapunov (2.3) và (2.4).
Bước 2: Phân tích Cholesky cho ma trận P , tức là tìm ma trận tam giác trên R sao
cho: P = RRT .
Bước 3: Phân tích SVD cho ma trận RQRT như sau: RQRT = U T Σ 2U , trong đó U
là ma trận trực giao, (tức là U TU = UU T = I ), và Σ là ma trận đường chéo,

Σ = diag (σ 1 ,σ 2 ,...,σ n ) , với σ 1 ≥ σ 1 ≥ ... ≥ σ n ≥ 0 . Các giá trị σ 1 ,σ 2 ,...,σ n chính là
các giá trị Hankel suy biến của hệ.
Bước 4: Tính ma trận T không suy biến như sau:

T −1 = RTU Σ −1/ 2
Bước 5: Tính ( Abal , Bbal , Cbal ) = (T −1 AT , T −1 A, CT )
Bước 6: Chọn số bậc cần rút gọn r sao cho r < n và σ r > σ r +1 .
Bước 7: Biểu diễn ( Abal , Bbal , Cbal ) ở dạng khối như sau

A
Abal =  11
 A21

A12 
B 
; Bbal =  1  ; Cbal = [C1 C2 ]

A22 

 B2 

download by :


11

trong đó A11 ∈ R rxr , B1 ∈ R rxp , C1 ∈ R qxr .
Đầu ra: Hệ rút gọn ( A11 , B1 , C1 ) .

Hệ rút gọn ( A11 , B1 , C1 ) thu được từ Thuật tốn 2.2 có các tính chất sau:
(i) Ma trận A11 là ma trận ổn định (nguồn)
(ii) Gramian điều khiển P1 và Gramian quan sát Q1 của hệ rút gọn

( A11 , B1 , C1 )

có dạng sau:

P1 = Q1 = Σ1 := diag (σ 1 ,σ 2 ,..., σ r ).
Nhận xét: Tính chất (ii) cho thấy hệ rút gọn ( A11 , B1 , C1 ) giữ lại r giá trị suy biến

Hankel quan trọng nhất của hệ ban đầu là (σ 1 ,σ 2 ,..., σ r ) .
(iii) Hệ rút gọn ( A11 , B1 , C1 ) thu được từ Thuật tốn 2.2 có đánh giá sai số
như sau:

G ( s ) − Gr ( s ) ∞ ≤ 2 (σ r +1 + σ r + 2 + ... + σ n ) , [1]
−1

−1

trong đó G ( s ) = C ( sI − A) B, Gr ( s ) = C1 ( sI − A11 ) B1 là biểu diễn dạng hàm
truyền của hệ gốc (1.1) và hệ rút gọn, (σ r +1 , σ r + 2 ,..., σ n ) là các giá trị suy biến
Hankel bị lược bỏ.
2.3 Thuật tốn chặt cân bằng cho hệ khơng ổn định
Từ định nghĩa về Gramian điều khiển và Gramian quan sát xác định trong
(2.1) và (2.2) thì thuật tốn chặt cân bằng không thể áp dụng cho hệ không ổn định
do tích phân trên sẽ bằng vơ cùng (unbounded) khi hệ khơng ổn định.
Tuy nhiên bài tốn giảm bậc trong thực tế, đặc biệt là bài toán giảm đối
tượng điều khiển và giảm bậc bộ điều khiển thì đối tượng gốc bậc cao hoặc bộ điều
khiển gốc bậc cao có thể khơng ổn định vì thế rất cần mở rộng thuật toán chặt cân

download by :


12

bằng cho cả hệ khơng ổn định để có thể áp dụng thuật toán chặt cân bằng cho mọi
đối tượng của bài toán giảm bậc (đối tượng ổn định hoặc khơng ổn định).
Thực tế, hệ phương trình Lyapunov (2.3), (2.4) vẫn có thể được giải ngay cả
khi A là khơng ổn định. Chúng ta có một cách giải duy nhất khi và chỉ khi

λ ( A) + λ ( A) ≠ 0 . Vì vậy, Gramian điều khiển và quan sát của một hệ thống có thể
−1

khơng ổn định G ( s ) = C ( sI − A ) B có thể được định nghĩa như là nghiệm (nếu nó

tồn tại) của hệ phương trình Lyapunov sau:

AP + PAT + BBT = 0

(2.5)

AT Q + QA + C T C = 0

(2.6)

Kết quả này đã được chứng minh trong các nghiên cứu [3, 6, 13, 14].
Phép biến đổi cân bằng cho hệ không bền vững được định nghĩa [3, 6, 13,
14] là một chuyển đổi sao cho P = Q = Σ , trong đó Σ là ma trận đường chéo (và
khơng xác định) nếu chuyển đổi đó tồn tại. Ta có thể thu được một giới hạn lỗi giảm
bậc nếu thực hiện cắt ngắn mơ hình theo phép biến đổi không suy biến trên.
Nhưng không may là, phép biến đổi cân bằng trên không tồn tại cho tất cả
các hệ không bền vững [3]. Thực tế, hệ phương trình Lyapunov (2.6), (2.7) có thể
khơng giải được cho mọi trường hợp.
−1

Ví dụ: Cho hệ G ( s ) = C ( sI − A ) B , với

 −1 0 
0.1
A=
, B =   , C = [ 0.1 1]

 0 2
0
Hệ phương trình (2.5), (2.6) sẽ khơng có lời giải. Do đó phép biến đổi cân
bằng được định nghĩa ở trên không thể xác định được và do đó thuật tốn chặt cân
bằng khơng thể áp dụng được nên không thể thu được một hệ giảm bậc.
Một giới hạn khác của phép biến đổi cân bằng trên là, ngay cả khi (2.5), (2.6)
có thể giải được thì có thể khơng tồn tại một phép biến đổi cân bằng.

download by :