Điều khiển cân bằng xe hai bánh tự cân bằng sử dụng thuật toán giảm bậc mô hình

Hội nghị toàn quốc lần thứ 3 về Điều khiển và Tự động hóa VCCA 2015

DOI: 10.15625/vap.2015.00011

Điều khiển cân bằng xe hai bánh tự cân bằng sử dụng thuật toán giảm bậc
mô hình
Balancing control of self-balancing two – wheeled bicycle applying model
order reduction algorithm
PGS.TS. Nguyễn Hữu Công
Đại học Thái Nguyên
e-Mail:
Ths. Vũ Ngọc Kiên
Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học Thái Nguyên
e-Mail:
Tóm tắt
Những năm gần đây, điều khiển cân bằng xe hai bánh
nhận đƣợc nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học.
Một khó khăn của bài toán điều khiển này là đối
tƣợng điều khiển là khâu không ổn định và luôn bị
nhiễu tác động. Để giải quyết bài toán này, các tác giả
thƣờng sử dụng thuật toán điều khiển bền vững H .
Tuy nhiên, bộ điều khiển bền vững xe hai bánh tự cân
bằng thƣờng phức tạp và có bậc cao nên ảnh hƣởng
tới chất lƣợng trong quá trình điều khiển thực. Bài
báo giới thiệu việc ứng dụng thuật toán giảm bậc mô
hình để giảm bậc bộ điều khiển bền vững bậc cao
trong bài toán điều khiển cân bằng xe hai bánh. Các
kết quả mô phỏng thể hiện tính đúng đắn của thuật
toán đƣợc giới thiệu và mở ra khả năng ứng dụng vào
thực tiễn.
Từ khóa: Giảm bậc mô hình, điều khiển bền vững, xe

hai bánh tự cân bằng.

Abstract: In recent years, balance control twowheeled bicycle has received more attention of
scientists. One difficulty of this problem is the control
object is unstable and constantly impacted by noise.
To solve this problem, the authors often use robust
control algorithms. However, robust controller of selfbalancing two-wheeled bicycle are often complex and
higher order so affect to quality during real
controlling. The article introduces the application
model order reduction algorithms to reduce order
higher order robust controller in control balancing
two-wheeled bicycle problem. The simulation results
show the correctness of the algorithm is introduced
and gives the possibility to practical applications.
Keywords: Model order reduction, robust control,
the self balancing two-wheeled bicycle

Ký hiệu
Ký hiệu

Đơn
vị

A, B, C
G(s)
R


rad/s

VCCA 2015

Ý nghĩa
Ma trận của mô hình
Hàm truyền đạt
Điện trở động cơ DC
Vận tốc góc động cơ DC

I1

Kg.m

I2

Kg.m
2

Mô men quán tính của bánh đà

h1
h2
m1
m2
Ke

m

Chiều cao của trọng tâm của xe

m

Chiều cao của trọng tâm bánh đà

Kg

Khối lƣợng của xe

Kg

Khối lƣợng bánh đà
Hằng số sức điện động của
động cơ

Km




Tm
U
a
g

2

V.s/R
ad
Nm/
A
Rad

Rad
Kg.m
2

V
m/s2

Mô men quán tính của xe

Hằng số mômen của động cơ
Góc nghiêng của xe so với
phƣơng thẳng đứng
Góc quay của bánh đà
Mô men xoắn của trục động cơ
Điện áp đặt vào động cơ DC
Tỷ số truyền của động cơ
Gia tốc rơi tự do

Chữ viết tắt
DC

Direct current

1. Đặt vấn đề
Trong những năm gần đây, nghiên cứu về xe hai bánh
tự cân bằng đã đƣợc nhiều nhà khoa học trên thế giới
quan tâm. Trong đó, một vấn đề khó khăn là nghiên
cứu điều khiển cân bằng xe hai bánh. Để giải quyết
vấn đề cân bằng xe hai bánh, có ba phƣơng pháp cơ
bản nhƣ sau:

(i) điều khiển cân bằng sử dụng lực ly tâm nhƣ trong
nghiên cứu của Tanaka và Murakami [10].
(ii) điều khiển cân bằng cách thay đổi tâm của trọng
lực nhƣ nghiên cứu của Lee và Ham [4]
(iii) điều khiển cân bằng bằng bánh đà, nhƣ trong các
nghiên cứu của Beznos [1], Gallaspy [3], và Suprapto [9];
Trong số ba phƣơng pháp đó, cân bằng nhờ sử dụng
bánh đà có ƣu điểm là đáp ứng nhanh và có thể cân
bằng ngay cả khi xe không di chuyển.
61


Hội nghị toàn quốc lần thứ 3 về Điều khiển và Tự động hóa VCCA 2015
Trong các mô hình xe hai bánh điều khiển cân bằng
bằng bánh đà, mô hình xe hai bánh sử dụng bánh đà
theo nguyên lý con quay hồi chuyển [3] để tạo ra
mômen cân bằng cho xe thì bánh đà thƣờng phải quay
với tốc độ lớn, do vậy bánh đà tiêu tán một lƣợng
năng lƣợng lớn, điều này sẽ gây khó khăn về mặt
năng lƣợng hoạt động của xe khi xe chỉ đƣợc cấp
nguồn bởi một ácquy có dung lƣợng giới hạn.
Ngƣợc lại mô hình xe hai bánh sử dụng bánh đà theo
nguyên lý con lắc ngƣợc [2], để tạo ra mômen cân
bằng cho xe thì bánh đà thƣờng chỉ quay với vận tốc
rất nhỏ nên năng lƣơng tiêu tán của bánh đà thấp vì
vậy mô hình này phù hợp về mặt tiết kiệm năng lƣợng
cho xe. Do đó, trong bài báo này, nhóm tác giả lựa
chọn xây dựng mô hình xe hai bánh tự cân bằng sử
dụng bánh đà theo nguyên lý con lắc ngƣợc.
Do xe hai bánh thƣờng phải làm việc trong các điều

kiện khác nhau, tải trọng mang theo có thể thay đổi,
ngoại lực tác động vào xe có thể thay đổi nên việc mô
hình hóa xe hai bánh tự cân bằng gặp nhiều khó khăn
và có thể coi xe hai bánh là đối tƣợng bất định (chi
tiết trong [3]). Do tính chất bất định của mô hình xe
hai bánh nên trong các thuật toán điều khiển xe hai
bánh đã đƣợc đề xuất nhƣ điều khiển phi tuyến của
Beznol [1], Lee và Ham [4], thiết kế bù bằng cách sử
dụng phƣơng pháp tiếp cận quỹ đạo gốc của Gallaspy
[3], điều khiển PD của Surpato [9], thì điều khiển bền
vững nhƣ trong nghiên cứu [11] là thích hợp nhất.
Tuy nhiên, phƣơng pháp thiết kế điều khiển bền vững
H∞ mà McFarlane và Glover lần đầu tiên đƣa ra vào
năm 1992 [5] và kể cả các nghiên cứu sau này về lý
thuyết điều khiển H∞ [7] bộ điều khiển thu đƣợc
thƣờng có bậc cao (bậc của bộ điều khiển đƣợc xác
định là bậc của đa thức mẫu). Bậc của bộ điều khiển
cao có nhiều bất lợi khi chúng ta đem thực hiện điều
khiển trên xe, vì mã chƣơng trình phức tạp, thời gian
tính toán lâu nên đáp ứng của hệ thống sẽ bị chậm. Vì
vậy, việc giảm bậc bộ điều khiển mà vẫn đảm bảo
chất lƣợng có một ý nghĩa thực tiễn. Để thu đƣợc bộ
điều khiển bậc thấp thì ta có thể thực hiện theo 2
phƣơng pháp khác nhau nhƣ sau:
Phương pháp thứ nhất:
này lựa chọn
một
giảm bậc sau
đó áp dụng các thuật toán tối ƣu để
giảm bậc

của điều khiển bền vững.
Phương pháp thứ hai: Thiết kế bộ điều khiển bền
vững cho đối tƣợng bất định sẽ thu đƣợc bộ điều
khiển bậc cao, sau đó thực hiện giảm bậc bộ điều
khiển bậc cao theo các thuật toán giảm bậc để thu
đƣợc bộ điều khiển bậc thấp.
Theo quan điểm của tác giả thì phƣơng pháp thứ nhất,
bộ điều khiển có thể thu đƣợc bậc thấp nhƣ trong [11]
nhƣng gặp phải vấn đề là do phải cùng lúc giải hai bài
toán tối ƣu (bài toán điều khiển bền vững và bài toán
tìm thông số của bộ điều khiển bậc thấp) nên tính
phức tạp của phƣơng pháp là rất cao và nếu lựa chọn
cấu trúc của bộ điều khiển bậc thấp không thích hợp
thì có thể không xác định đƣợc tham số của bộ điều
VCCA 2015

DOI: 10.15625/vap.2015.00011

khiển bậc thấp (bài toán tối ƣu không có nghiệm). Với
phƣơng pháp thứ hai thì bài toán giảm bậc là một bài
toán độc lập nên luôn cho kết quả giảm bậc nhƣ trong
[8] vì vậy để luôn tìm đƣợc bộ điều khiển bậc thấp
trong mọi trƣờng hợp thì phƣơng pháp thứ hai có ƣu
thế hơn.
Trong bài báo này, nhóm tác giả lựa chọn phƣơng
pháp điều khiển cân bằng cho xe hai bánh có ứng
dụng thuật toán giảm bậc mô hình theo theo hai bƣớc
nhƣ sau:
a, Thiết kế bộ điều khiển H để điều khiển cân bằng
cho xe hai bánh, bộ điều khiển tìm đƣợc gọi là bộ điều

khiển đủ bậc.
b, Đề xuất thuật toán giảm bậc bộ điều khiển H đủ
bậc về bộ điều khiển có bậc thấp hơn mà vẫn đảm bảo
chất lƣợng. Việc giảm bậc này có ý nghĩa là giảm thời
gian đáp ứng của hệ.

2. Mô hình động lực học và mô hình toán
học của xe hai bánh tự cân bằng
2.1 Mô hình động lực học xe hai bánh
Mô hình xe hai bánh đƣợc xây dựng dựa trên nguyên
tắc cân bằng sử dụng bánh đà theo nguyên lý con lắc
ngƣợc [2]. Có thể mô tả ngắn gọn nguyên lý cân bằng
của xe nhƣ sau: Nếu không có một mô men xoắn (mô
men lực) bên ngoài nào tác động lên một đối tƣợng hay
hệ thống (hoặc tổng mô men xoắn - mô men lực tác
động vào một đối tƣợng bằng không) thì tổng mômen
động lƣợng của đối tƣợng đó sẽ đƣợc bảo toàn.
Xe chuyển động bằng 2 bánh, khi lệch khỏi vị trí cân
bằng (tƣơng ứng một góc nghiêng  theo phƣơng
thẳng đứng) thì trọng lực của xe tạo ra một mômen
làm cho xe có xu hƣớng đổ xuống. Để duy trì ở trạng
thái cân bằng chung tôi đặt trên xe một bánh đà hoạt
động dựa trên nguyên lý “con lắc ngƣợc”. Bánh đà
này sẽ quay tròn xung quanh trục (với gia tốc góc là
) và tạo ra một mômen để cân bằng với mômen do
trọng lực của xe tạo ra. Để điều khiển gia tốc của
bành đà, chúng tôi sử dụng một động cơ một chiều
DC với điện áp đặt lên động cơ là U, khi này ta đƣa
bài toán điều khiển cân bằng xe về bài toán điều khiển
góc nghiêng  (đầu ra) bằng cách điều khiển điện áp

U (đầu vào) đặt lên động cơ DC. Nhiệm vụ đặt ra là
phải thiết kế một bộ điều khiển để giữ cho xe cân
bằng tức là giữ cho góc  (đầu ra) luôn tiến tới
không. Xe hai bánh tự cân bằng mà nhóm nghiên cứu
tự chế tạo đƣợc mô tả chi tiết nhƣ hình 1.

H1 Mô hình chi tiết xe hai bánh tự cân bằng

Thông số chi tiết phần cơ khí của xe nhƣ sau: Xe dài
1,19m, cao 0,5m, rộng 0,4m, bánh đà có trọng lƣợng
3,976 Kg với đƣờng kính là 0,26 m, để quay bánh đà
sử dụng động cơ một chiều DC 100W – 15V – 3400
62


Hội nghị toàn quốc lần thứ 3 về Điều khiển và Tự động hóa VCCA 2015
vòng/phút + mạch cầu H, đo tốc độ bánh đà sử dụng
Encoder Sharp 100 xung, đo góc nghiêng sử dụng
cảm biến góc nghiêng GY-521 MPU-6050, hệ thống
tiến lùi xe gồm một động cơ DC + mạch cầu H và bộ
điều khiển từ xa. Toàn bộ hệ thống phần cứng đƣợc
kết nối với vi mạch Adruno theo sơ đồ khối sau:

DOI: 10.15625/vap.2015.00011

1
1
1
2
2

m1 v A  m2 vB  I1 2
2
2
2
1 2 1

 I 2   I 2 2  I 2
2
2
1
T  m1h12  m2 h22  I1  I 2   2
2
1

 I 2 2  I 2
2
Tổng thế năng của hệ là:
V  g.cos .m1h1  m2 h2 
T

(2)

(3)

(4)

Với qi   , sử dụng công thức (1) – (4), ta thu đƣợc
công thức sau:
H2 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển xe hai bánh

2.2 Mô hình hóa xe hai bánh tự cân bằng
Mô hình động học của xe hai bánh đƣợc thể hiện
trong hình 3.

m h

2
1 1

 m2 h22  I1  I 2   I 2

 g.sin .m1h1  m2 h2   0

(5)

Với qi   , sử dụng công thức (1) – (4), ta thu đƣợc
công thức sau:
  I 2  Tm .
(6)
I 2
Với Tm là mô men xoắn của trục động cơ.
Xét một động cơ điện một chiều DC có tỷ số truyền là
a:1, thì mô mem xoắn của động cơ DC truyền động
cho bánh đà nhƣ sau:
 U  Ke 
,
(7)
Tm  aK m i  aK m 



R

H3 Mô hình động học của xe hai bánh tự cân bằng

Với: m1 là trọng lƣợng của xe (bao gồm cả động cơ),
m2 là trọng lƣợng của bánh đà, h1 là chiều cao của
tâm trọng lực của xe (không kể bánh đà), h2 là chiều
cao của tâm trọng lực của bánh đà, I1 là mô men
quán tính của xe, I 2 là mô men quán tính của bánh
đà,  là góc nghiêng của xe so với phƣơng thẳng
đứng,  là góc quay của bánh đà
Ta có:
Vận tốc tuyệt đối của điểm A là v A  h1
Vận tốc tuyệt đối của điểm B là vB  h2 
Để xây dựng mô hình động học của hệ, trong nghiên
cứu [3], tác giả sử dụng phƣơng trình Lagrange.
 T 
 T V
d


(1)

 Qi



dt 

q

 i
 qi qi


Trong đó T tổng động năng của hệ, V là tổng thế
năng của hệ, Qi là lực ngoài, qi hệ tọa độ tổng quát.
Tổng động năng của hệ đƣợc xác định là: T  T1 T2
Với T1 là động năng của xe hai bánh và đƣợc xác định

1
1
2
m2 vB  I1 2 ; T2 là
2
2
động năng của bánh đà và đƣợc xác định bởi công
1
1
2
thức sau: T2  m2 vB  I 2    
2
2
Từ đây ta có:
VCCA 2015
bởi công thức sau: T1 

Với Km là hằng số mômen của động cơ,
Ke là hằng số sức điện động của động cơ;
R là điện trở của động cơ.
Thay (7) vào (6) ta có:

 U  Ke 
.
(8)
I 2  I 2   Tm  aK m 


R
Phƣơng trình (5) và (8) chính là hệ phƣơng trình động
học của hệ. Rõ ràng với các phƣơng trình động lực
học trên thì hệ là phi tuyến.
Tuyến tính hóa mô hình và chuyển về dạng mô
hình không gian trạng thái
Giả thiết rằng khi xe hoạt động thì góc nghiêng của xe
rất nhỏ (   100 ), ta tuyến tính hóa phƣơng trình (5)
quanh điểm cân bằng (     0 , sin    ) thu
đƣợc hệ phƣơng trình sau:
m1h12  m2 h22  I1  I 2   I 2
(9)
g..m1h1  m2 h2   0

 U  Ke 

I 2  I 2   Tm  aK m 


R

(10)

Đặt A1  m1h12  m2 h22  I1  I 2  ; B1  m1h1  m2 h2 

   x1 


Đặt x     x2  , là biến trạng thái, y  , u  U
  x 
3

Từ đây ta có hệ phƣơng trình trạng thái mô tả hệ nhƣ sau:
63


Hội nghị toàn quốc lần thứ 3 về Điều khiển và Tự động hóa VCCA 2015

x  Ax  Bu
y  Cx  Du
Với thông số của hệ nhƣ sau:






0
1
0





aK
K
B
g
m e
1
;
A  
0

(
A

I
)
R
(
A

I
)
 1 2

1
2


B1 g
A1




0

aK
K


m e
(
A

I
)
I
R
(
A

I
)
1
2
2
1
2 


(11)







0




aK m

 C 1 0 0 ; D 0
B 


 

R
A

I
 1 2 





A1

 aK m


I 2 R( A1  I 2 ) 

Các thông số danh định của xe hai bánh đƣợc thể hiện
trong bảng 1 nhƣ sau:
Bảng 1. Các thông số của mô hình xe hai bánh
tự cân bằng
Thông số
Giá trị
Đơn vị
0,1105
Kg.m2
I1

h1

0,105

m

I2

0,03289

Kg.m2

h2

0,205

m

m1

10,024

Kg

m2

3,976

Kg

Ke

0,045

V.s/Rad

0,045
Nm/A
Km
0,52
R
a
1:1
g

9,81
m/s2
Thay số vào hệ phƣơng trình (11) ta thu đƣợc các
thông số nhƣ sau:

 0 
0
1
0 




A   47.2048 0 0.0100  , B  -0.2230 ,
 -47.2048 0 -0.1248
 2.8541 





C  1 0 0 .
Chuyển mô hình xe sang dạng hàm truyền đạt ta có
kết quả
θ( s )
0.223s
S s 
 3
(12)
U( s ) s  0.1284s 2  47.2s  5.589

Nhận xét về mô hình xe hai bánh
Mô hình hóa xe hai bánh tự cân bằng cho thấy có một
số tham số của xe hai bánh tự cân bằng là bất định
nhƣ: khối lƣợng tải thay đổi dẫn tới chiều cao trọng
tâm xe thay đổi, mô men quán tính của xe của biến
đổi, ... đồng thời khi hoạt động xe hai bánh có thể
chịu ảnh hƣởng của các yếu tố bất định từ bên ngoài
nhƣ: ngoại lực, nhiễu bất định do sự thay đổi của địa
VCCA 2015

DOI: 10.15625/vap.2015.00011

hình chuyển động, ... do đó mô hình xe hai bánh thực
chất là một đối tƣợng bất định. Trong đó, nhóm tác
giả quan tâm nhiều nhất đến tính bất định do sự biến
đổi của khối lƣợng tải. Cụ thể, nhóm tác giả xét 4
trƣờng hợp xe hai bánh mang tải khác nhau thể hiện
trong bảng sau:
Bảng 2. Các thông số biến đổi của mô hình xe hai bánh
khi tải của xe thay đổi
Trƣờng Khối
Chiều cao
Mômen quán
hợp
lƣợng tải
trọng tâm
tính của xe
xe h1 (m)
mt (kg)
I1 ( Kg.m2)

1
5
0.205
0.6314
2
5
0.155
0.3609
3
7
0.055
0.0515
4
7
0.155
0.409
Các yếu tố bất định có thể làm giảm tính chính xác
của mô hình toán học của xe hai bánh từ đó dẫn tới
giảm chất lƣợng điều khiển, thậm chí có thể làm hệ
thống trở nên mất ổn định. Do tính chất bất định của
mô hình xe hai bánh nên trong các thuật toán điều
khiển xe hai bánh đã đƣợc đề xuất nhƣ điều khiển phi
tuyến của Beznol [1], Lee và Ham [4], thiết kế bù
bằng cách sử dụng phƣơng pháp tiếp cận quỹ đạo gốc
của Gallaspy [3], điều khiển PD của Surpato [8], thì
điều khiển bền vững nhƣ trong nghiên cứu [10] là
thích hợp nhất để điều khiển đối tƣợng bất định.

3. Thiết kế tối ưu RH cho bài toán cân
bằng xe hai bánh

Để thiết kế hệ thống điều khiển bền vững cho xe hai
bánh tự cân bằng, tác giả thực hiện theo sơ đồ cấu trúc
điều khiển thể hiện trong hình 5 nhƣ sau:

H4 Sơ đồ cấu trúc hệ thống điều khiển bền vững xe hai
bánh tự cân bằng

(*) Xây dựng mô hình xe hai bánh Sm (s)
Giả thiết rằng khi xe hoạt động thì góc nghiêng của xe
rất nhỏ, ta tuyến tính hóa phƣơng trình (5) quanh điểm
cân bằng (     0 , sin    ) thu đƣợc hệ phƣơng
trình sau:
m1h12  m2 h22  I1  I 2   I 2
(13)
g..m1h1  m2 h2   0
I   I   T
2

2

m

 U *  ( K  K )  K  
e
1
2 
 aK m 

R




(14)

Đặt A1  m1h12  m2 h22  I1  I 2  ; B1  m1h1  m2 h2 

   x1 


Đặt x     x2  , là biến trạng thái, y  , u  U *
  x 
3

64


Hội nghị toàn quốc lần thứ 3 về Điều khiển và Tự động hóa VCCA 2015
Từ đây ta có hệ phƣơng trình trạng thái mô tả hệ nhƣ sau:
x  Ax  Bu
(15)
y  Cx  Du
Với thông số của hệ nhƣ sau:



0


B1 g
A  

 ( A1  I 2 )


B1 g

 ( A1  I 2 )


1
aK m K 2
R  A1  I 2 
aK m K 2

A1
I 2 R( A1  I 2 )







0



,
aK m



B 

R  A1  I 2  





A1
 aK m



I
R
(
A

I
)
2
1
2 




,
0



aK m  K e  K1 


R( A1  I 2 )



A1

aK m  K e  K1 
I 2 R( A1  I 2 ) 

DOI: 10.15625/vap.2015.00011

Lựa chọn thông số K1  2 , K2  5 và thay các tham
số trong bảng 1 vào hệ phƣơng trình (15), sau đó chuyển
mô hình xe sang dạng hàm truyền đạt ta có kết quả
Sm s 

θ( s )
0.223s
 3
U( s ) s  4.722s 2  47.2s  254

(16)

Để thiết kế bộ điều khiển bền vững cho xe hai bánh tự
cân bằng tác giả thực hiện theo các bƣớc thiết kế bộ
điều khiển bền vững RH∞ theo [7], kết quả thu đƣợc

bộ điều khiển bền vững nhƣ sau:

C  1 0 0 , D  0 .

R(s) 

H( s)
D( s)

(17)

với

H( s)  2.23.107 s 30  4.67.104 s 29  0.266s 28  22.96s 27 1006s 26  2.853.104 s 25  5.837.105 s 24  4.199.1011 s18
 9.144.106 s 23 1.139.108 s 22 1.158.109 s 21  9.776.109 s 20  6.949.1010 s19  2.172.1012 s17  9.663.1012 s16
 3.71.1013 s15 1.231.1014 s14  3.53.1014 s13  8.74.1014 s12 1.862.1015 s11  3.398.1015 s10  5.276.1015 s 9
 6.903.1015 s8  7.511.1015 s 7  6.676.1015 s 6  4.721.1015 s 5  2.556.1015 s 4  9.953.1014 s 3  2.482.1014 s 2
 2.977.1013 s  0.00439
D( s)  4.971.1014 s 30  2.032.1010 s 29  2.663.107 s 28  1.221.104 s 27  9.72.103 s 26  0.3918s 25  10.14s 24
 187.1s 23  2612s 22  2.862.104 s 21  1.088.107 s18  2.523.105 s 20  1.82.106 s19  5.428.107 s17
 2.273.108 s16  8.005.108 s15  2.372.109 s14  5.9.109 s13  1.225.1010 s12  2.107.1010 s11  2.962.1010 s10
 3.341.1010 s 9  2.941.1010 s8  1.931.1010 s 7  8.743.109 s 6  2.286.109 s 5  1.519.108 s 4  5.226.107 s3
 3.6.106 s 2  5.32.1022 s

(*) So sánh bộ điều khiển bền vững với bộ điều khiển khác
Để đánh giá hiệu quả của thuật toán điều khiển bền
vững xe hai bánh tự cân bằng, tác giả so sánh chất
lƣợng điều khiển xe hai bánh tự cân bằng với phƣơng
pháp điều khiển PID khi thông số của mô hình xe hai
bánh thay đổi. Sơ đồ mô phỏng hệ thống điều khiển

xe hai bánh tự cân bằng sử dụng bộ điều khiển bền
vững và bộ điều khiển PID đƣợc thể hiện trong hình 5
nhƣ sau:

Dap ung goc nghieng cua xe hai banh tu can bang-Truong hop 1
0.1

Bo dieu khien ben vung bac 30
Bo dieu khien PID

0.08

Radian

0.06

0.04

0.02

0

-0.02

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Time (sec)

(a)
Dap ung goc nghieng cua xe hai banh tu can bang - Truong hop 2
6

Bo dieu khien ben vung bac 30
Bo dieu khien PID

5

(Thông số bộ điều khiển PID là Kp = -450, KI = -30,
KD = -15)
Kết quả mô phỏng hệ thống điều khiển xe hai bánh tự
cân bằng khi tham số của mô hình thay đổi, ban đầu
xe lệch khỏi phƣơng thẳng đứng một góc


(rad ) đƣơc thể hiện trên hình 6 nhƣ sau:
180

VCCA 2015

4

3
Radian

H5 Sơ đồ Simulink hệ thống điều khiển xe hai bánh tự cân
bằng sử dụng bộ điều khiển bền vững và bộ điều
khiển PID

2

1

0

-1

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Time (sec)

(b)
65


Hội nghị toàn quốc lần thứ 3 về Điều khiển và Tự động hóa VCCA 2015

Cho một hệ tuyến tính, liên tục, tham số bất biến theo
thời gian, có nhiều đầu vào, nhiều đầu ra, mô tả trong
không gian trạng thái bởi hệ phƣơng trình sau:
x  Ax  Bu

Dap ung goc nghieng cua xe hai banh tu can bang - Truong hop 3
0.02

Bo dieu khien ben vung bac 30
Bo dieu khien PID

0.015

0.01

Radian

DOI: 10.15625/vap.2015.00011

y  Cx
(18)

0.005

trong

đó,

x   , u   p , y  q , A  nxn ,
n

0

-0.005

-0.01

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Time (sec)

(c)

B   nxp , C   qxn .
Mục tiêu của bài toán giảm bậc đối với mô hình mô tả
bởi hệ phƣơng trình đã cho trong (17) là tìm mô hình
mô tả bởi hệ các phƣơng trình:
x r  A r xr  Br u

Dap ung goc nghieng cua xe hai banh tu can bang - Truong hop 4

0.02

Bo dieu khien ben vung bac 30
Bo dieu khien PID

0.015

trong

Br  rxp , Cr  qxr với r  n
Sao cho mô hình mô tả bởi phƣơng trình (19) có thể thay
thế mô hình mô tả bởi phƣơng trình trong (18) ứng dụng
trong phân tích, thiết kế, điều khiển hệ thống.

Radian

0.01

0.005

0

-0.005

-0.01

đó,

yr  Cr xr
(19)

xr  r , ur   p , yr  q , Ar  rxr ,

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Time (sec)

(d)
H6 Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều khiển cân bằng xe
hai bánh khi sử dụng bộ điều khiển bền vững và bộ
điều khiển PID

(*) Nhận xét: Qua kết quả mô phỏng hệ thống điều
khiển xe hai bánh trong các trƣờng hợp khi xe mang
tải thay đổi cho thấy: Bộ điều khiển PID chỉ có khả
năng cân bằng ổn định xe hai bánh trong trƣờng hợp
3, không có khả năng cân bằng ổn định trong trƣờng
hợp 1, 2, 4. Bộ điều khiển bền vững có khả năng cân
bằng ổn định trong cả 4 trƣờng hợp. Điều này cho
thấy: bộ điều khiển bền vững có khả năng cân bằng
ổn định với phạm vi biến đổi rộng của các tham số
của xe (khối lƣợng tải và chiều cao trọng tâm của xe)
tốt hơn so với bộ điều khiển PID.
Tuy nhiên, bộ điều khiển đủ bậc có bậc 30 sẽ dẫn tới
nhiều bất lợi khi chúng ta đem thực hiện điều khiển
cân bằng xe vì mã chƣơng trình phức tạp làm thời
gian xử lý sẽ tăng lên, tốc độ đáp ứng của hệ thống
điều khiển bị chậm và không đáp ứng tốt yêu cầu về
thời gian thực của bộ điều khiển và có thể làm hệ
thống cân bằng mất ổn định. Chính vì vậy để nâng
cao chất lƣợng bộ điều khiển này cần phải thực hiện
giảm bậc bộ điều khiển để mã chƣơng trình trở lên
đơn giản hơn, giảm thời gian xử lý, tăng tốc độ đáp
ứng mà vẫn thoả mãn đƣợc yêu cầu ổn định bền vững
của hệ thống.

4. Thuật toán chặt cân bằng mở rộng
4.1 Bài toán giảm bậc mô hình

VCCA 2015

4.2. Thuật toán chặt cân bằng mở rộng
Hầu hết các thuật toán giảm bậc mô hình đƣợc công
bố trên thế giới đều chỉ áp dụng cho các mô hình
tuyến tính bậc cao ổn định (tức là các nghiệm của đa
thức đặc trƣng luôn có phần thực âm). Tuy nhiên
trong thực tế, rất nhiều mô hình toán học bậc cao là
mô hình không ổn định, nhƣ mô hình bộ điều khiển
bậc cao trong mục 3 của bài báo này, vì thế thuật toán
giảm bậc cần giảm bậc đƣợc cho cả hệ tuyến tính
không ổn định để có thể áp dụng thuật toán giảm bậc
cho mọi đối tƣợng của bài toán giảm bậc (mô hình
tuyến tính ổn định hoặc không ổn định).
Để thực hiện giảm bậc cho hệ không ổn định thì có
hai phƣơng pháp cơ bản: Phƣơng pháp giảm bậc gián
tiếp và phƣơng pháp giảm bậc trực tiếp. Trong nội dung
bài báo này, tác giả giới thiệu thuật toán chặt cân bằng
mở rộng [12], đây là một thuật toán giảm bậc áp dụng
cho hệ không ổn định theo phƣơng pháp giảm bậc trực
tiếp. Nội dung cụ thể của thuật toán nhƣ sau:
Đầu vào: Hệ  A, B, C không ổn định đƣợc mô tả
trong (18) có biểu diễn dạng hàm truyền là
1

G(s) : CsI  A B .
Xác định điểm cực  không ổn định lớn nhất của hệ
(18). Đặt   real()  , trong đó    nhỏ tùy ý
và   0 .
Bước 2: Chuyển đổi hệ  A, B, C thành hệ G  ( s )
ổn định theo hệ phƣơng trình sau:
A  A   I

B  B
C  C

66


Hội nghị toàn quốc lần thứ 3 về Điều khiển và Tự động hóa VCCA 2015
Bước 3: Tính Grammian quan sát Q  và Grammian
điều khiển đƣợc P của hệ thống

A , B , C 

bằng cách giải hai phƣơng trình Lyapunov sau:
A  P  P A T  B BT ,
AT Q  Q A  C T C .

Bước 4: Phân tích Cholesky ma trận P  R  p R T p ,

DOI: 10.15625/vap.2015.00011

ˆ   rxr , B
ˆ   qxr .
ˆ   rxp , C
trong đó A
11
1
1




ˆ ,B
ˆ  ổn định về
ˆ ,C
Bước 11: Chuyển đổi hệ A
ˆ ,B
ˆ  theo hệ phƣơng trình
ˆ ,C
hệ ổn định –  A
ˆ ,B
ˆ
ˆ ,C
Ta thu đƣợc hệ giảm bậc A
ổn định.
11
1
1
11

11

Bˆ 1  Bˆ 1 ,
ˆ C
ˆ .
C
1
1

với R  o là ma trận tam giác trên.

T1  R  p V Λ 1/ 2 .

Bƣớc 8: Tính
ˆ ,B
ˆ  T1A T , T1B , C T  .
ˆ ,C
A




 


 





Bước 9: Chọn số bậc cần rút gọn r sao cho r < n .
ˆ ,B
ˆ
ˆ ,C
Bước 10: Biểu diễn A
ở dạng khối nhƣ








sau:

A
ˆ
ˆ   11
A

ˆ
 A 21

1

ˆ A
ˆ   I,
A
11
11

Bước 5: Phân tích Cholesky ma trận Q  R  o R To ,

Bước 7: Tính ma trận T không suy biến

1

sau:

với R  p là ma trận tam giác trên.

Bước 6: Phân tích SVD ma trận R  o R T p  U ΛVT .

1

1



ˆ ,B
ˆ
ˆ ,C
Đầu ra: Hệ giảm bậc A
11
1
1



5. Ứng dụng thuật toán chặt cân bằng mở
rộng cho bài toán điều khiển cân bằng xe
hai bánh
5.1 Kết quả giảm bậc bộ điều khiển cân bằng xe
hai bánh
Bộ điều khiển H đủ bậc đƣợc thiết kế nhƣ (17), đó là
bộ điều khiển bậc 30. Thực hiện giảm bậc bộ điều
khiển H đủ bậc theo thuật toán chặt cân bằng mở
rộng trong mục 4, ta đƣợc kết quả theo bảng sau:

B
ˆ 

ˆ 
A
12   ˆ
 1  , C
ˆ
ˆ
ˆ 
,
B

   ˆ    C1 C2  ,
ˆ
B
A 22 
 2 
Bảng 3. Kết quả giảm bậc bộ điều khiển bền vững bậc 30
Bậc
Mô hình hàm truyền – Wcr(s)
6 5
7 4
5
4.485.10 s  6.804.10 s  4.123.108 s3 1.235.109 s 2 1.816.109 s 1.09.109
s5  2009s 4 1.833.104 s3 1913s 2  6.614.109 s  8.44.1010
4
4.485.106 s 4  2.655.107 s3 1.191.108 s 2 1.811.108 s 1.182.108
s 4  2000s3  205.6s 2  0.1231s  0.003463

5.2 Sử dụng bộ điều khiển giảm bậc 4, bậc 5 điều
khiển cân bằng xe hai bánh
Sử dụng bộ điều khiển giảm bậc 5 ở bảng 3 để điều

khiển hệ thống cân bằng cho xe hai bánh có mô hình
đối tƣợng điều khiển nhƣ (16). Để thấy rõ chất lƣợng,
ta so sánh với bộ điều khiển đủ bậc (bậc 30). Sơ đồ
mô phỏng hệ thống điều khiển xe hai bánh sử dụng bộ
điều khiển gốc và các bộ điều khiển giảm bậc đƣợc
thể hiện trong hình 7 nhƣ sau:

H7 Sơ đồ Simulink hệ thống điều khiển xe hai bánh tự cân
bằng sử dụng bộ điều khiển gốc và các bộ điều
khiển giảm bậc

Kết quả mô phỏng hệ thống điều khiển xe hai bánh tự
cân bằng khi tham số của mô hình xe hai bánh là danh
định và ban đầu xe lệch khỏi phƣơng thẳng đứng một

(rad ) đƣợc thể hiện trong hình 8 nhƣ
góc  
180
sau:
Dap ung goc nghieng cua xe hai banh tu can bang - Khi khong mang tai
0.02

Bo dieu khien goc bac 30
Bo dieu khien giam bac 5
Bo dieu khien giam bac 4

0.015

Radian

0.01

0.005

0

-0.005

-0.01

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Time (sec)

H8 Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều khiển cân bằng xe
hai bánh khi xe không mang tải

Kết quả mô phỏng hệ thống điều khiển xe hai bánh tự
cân bằng khi xe mang tải thay đổi và ban đầu xe lệch
VCCA 2015

67


Hội nghị toàn quốc lần thứ 3 về Điều khiển và Tự động hóa VCCA 2015
khỏi phƣơng thẳng đứng một góc  


(rad ) đƣợc
180

thể hiện trong hình 9 nhƣ sau:
Dap ung goc nghieng cua xe hai banh tu can bang - Truong hop 1
0.02

Bo dieu khien goc bac 30
Bo dieu khien giam bac 5
Bo dieu khien giam bac 4

0.015

0.01

Radain

0.005

0

-0.005

-0.01

-0.015

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Time (sec)

(a)
Dap ung goc nghieng cua xe hai banh tu can bang - Truong hop 2
0.02

Bo dieu khien goc bac 30
Bo dieu khien giam bac 5
Bo dieu khien giam bac 4

0.015

Radian

0.01

0.005

DOI: 10.15625/vap.2015.00011

5.3 Nhận xét kết quả
Sử dụng bộ điều khiển giảm bậc 5, 4 theo thuật toán
chặt cân bằng mở rộng có thể điều khiển cân bằng cho

mô hình xe hai bánh, trong đó đáp ứng đầu ra của bộ
điều khiển giảm bậc 5 hoàn toán trùng khít với đáp
ứng đầu ra của bộ điều khiển gốc, đáp ứng đầu ra của
bộ điều khiển giảm bậc 4 có sự sai khác so với đáp
ứng của bộ điều khiển gốc.
So sánh chất lƣợng hệ thống điều khiển cân bằng xe
hai bánh sử dụng bộ điều khiển giảm bậc 4 theo thuật
toán chặt cân bằng mở rộng với bộ điều khiển giảm
bậc 4 theo thuật toán chặt cân bằng (balancmr) ta
thấy: Hệ thống điều khiển cân bằng xe hai bánh sử
dung bộ điều khiển giảm bậc 4 theo thuật toán chặt
cân bằng mở rộng đảm bảo cân bằng ổn định đƣợc mô
hình xe hai bánh khi xe lệch khỏi phƣơng thẳng đứng
và khi tham số của mô hình thay đổi. Hệ thống điều
khiển cân bằng xe hai bánh sử dụng bộ điều khiển
giảm bậc 4 theo thuật toán chặt cân bằng (balancmr)
không đảm bảo ổn định đƣợc mô hình xe hai bánh khi
xe lệch khỏi phƣơng thẳng đứng và khi tham số của
mô hình thay đổi.

0

6. Kết luận

-0.005

-0.01

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Time(sec)

(b)
H9 Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều khiển cân bằng xe
hai bánh khi xe mang tải

So sánh kết quả hệ thống điều khiển cân bằng xe
hai bánh sử dụng bộ điều khiển gốc, bộ điều khiển
giảm bậc theo phương pháp chặt cân bằng mở
rộng và phương pháp giảm bậc khác: Tác giả lựa

chọn so sánh thuật toán giảm chặt cân bằng mở rộng
với thuật toán chặt cân bằng của Moore [6], đây là
thuật toán giảm bậc đƣợc sử dụng phổ biến nhất. Để
thực hiện giảm bậc theo thuật toán cắt ngắn cân bằng
trong Matlab ta sử dụng lệnh balancmr, kết quả thu
đƣợc bộ điều khiển giảm bậc 4 nhƣ sau
Wcr (s) 

4.485.106 s 4  5.351.108 s3  7.513.107 s 2  2.822.107 s 1.307.107
s 4  2000s3  206.5s 2 1.258.1010 s  4.767.1012

Thực hiện mô phỏng với tham số của mô hình xe hai
bánh là danh định và ban đầu xe lệch khỏi phƣơng

(rad ) .
thẳng đứng một góc  
180
Kết quả mô phỏng đƣợc thể hiện trong hình 10 nhƣ sau:
Dap ung goc nghieng cua xe hai banh tu can bang
0.02

Bo dieu khien giam bac 4 theo thuat toan Balancmr
Bo dieu khien giam bac 4 theo thuat toan chat can bang mo rong

0.015

Radian

0.01

0.005

0

-0.005

-0.01

0

1

2

3

4

5
Time (sec)

6

7

8

9

10

H10 Đáp ứng đầu ra của hệ thống điều khiển cân bằng xe
hai bánh sử dụng các bộ điều khiển giảm bậc 4

VCCA 2015

Bài báo đã xây dựng, mô hình hóa mô hình xe hai
bánh tự cân bằng và thiết kế bộ điều khiển bền vững
để điều khiển cân bằng xe hai bánh. Đồng thời, bài
báo cũng giới thiệu thuật toán chặt cân bằng mở rộng
và áp dụng thành công thuật toán này để giảm bậc bộ
điều khiển bền vững bậc cao trong bài toán điều khiển
cân bằng xe hai bánh, cụ thể là: thay thế bộ điều khiển
bền vững bậc 30 bằng bộ điều khiển giảm bậc 5, bậc 4
mà chất lƣợng hệ thống điều khiển vẫn đƣợc đảm bảo.
Sử dụng bộ điều khiển giảm bậc 5, bậc 4 sẽ giúp mã
chƣơng trình đơn giản hơn, tăng tốc độ tính toán, thời
gian xử lý nhanh hơn và đảm bảo tính thời gian thực
của hệ thống điều khiển xe hai bánh tự cân bằng. Các
kết quả mô phỏng thể hiện tính đúng đắn của thuật
toán giảm bậc và thuật toán điều khiển bền vững xe
hai bánh tự cân bằng.

Tài liệu tham khảo
[1] Beznos A.V., Formalsky A.M., Gurfinkel E.V.,
Jicharev D.N., Lensky A.V., Savitsky K.V., et al.,
Control of autonomous motion of two-wheel bicycle
with gyroscopic stabilization, In: Proceedings of the
IEEE international conference on robotics and
automation 1998, p. 2670-5, 1998.

[2] Biswal Soumit Kuma, Development of a self –
balanced robot & its controller, Bachelor of
Technology in Mechanical Engineering, National
Istitute of Technology Rourkela, India, 2009.
[3] Gallaspy J.M., Gyroscopic stabilization of an
unmanned bicycle, M.S. Thesis, Auburn University,
1999.
[4] Lee S, Ham W., Self-stabilizing strategy in
tracking control of unmanned electric bicycle with
mass balance, IEEE international conference on
intelligent robots and systems 2002, p. 2200-5., 2002.
68


Hội nghị toàn quốc lần thứ 3 về Điều khiển và Tự động hóa VCCA 2015
McFarlane D., Glover K., A loop shaping design
procedure using H synthesis, IEEE Trans Automat
Contr 1992; 37(6): 759-69, 1992.
[5] Moore B.C., Principal component analysis in
linear systems: Controllability, observability, and
model reduction, IEEE Trans. Auto. Contr., AC-26,
pp 17-32, 1981.
[6] Nguyễn Doãn Phƣớc, Lý thuyết điều khiển nâng
cao, NXB Khoa học và Kỹ thuật, 2009
[7] Nguyễn Hiền Trung, Ứng dụng lý thuyết điều
khiển tối ƣu RH∞ để nâng cao chất lƣợng của hệ điều
khiển ổn định hệ thống điện PSS, Luận án tiến sĩ kỹ
thuật, Trƣờng Đại học Kỹ thuật Công nghiệp, Đại học
Thái Nguyên, 2012.
[8] Suprapto S., Development of a gyroscopic

unmanned bicycle, M.Eng. Thesis, Asian Institute of
Technology, Thailand, 2006
[9] Tanaka Y., Murakami T., Self sustaining bicycle
robot with steering controller, In: Proceedings of
international workshop on advanced motion control
2004, p. 193-7, 2004.
[10] Thanh B.T, and Manukid Parnichkun, Balancing
control of Bicyrobo by particle swarm optimization –
based structure-specified mixed H2/H control,
International Journal of Advanced Xeic Systems
2008; 5(4): 395- 402, 2008
[11] Zilochian A., Balanced Structures and Model
Reduction of Unstable Systems”, IEEE Proceedings
of Southeastcon „91, Vol 2, pp. 1198 – 1201, 1991.

SƠ LƢỢC TÁC GIẢ
NGUYỄN HỮU CÔNG

VCCA 2015

DOI: 10.15625/vap.2015.00011

Sinh năm 1964. Anh nhận bằng thạc sỹ về Điều khiển
Tự động năm 1997; bằng Tiến
sỹ về Lý thuyết điều khiển và
Điều khiển tối ưu năm 2003
của trƣờng Đại học Bách Khoa
Hà Nội (HUST), đƣợc phong
Phó giáo sư năm 2007. Từ năm
1986 đến nay anh là giảng viên

của trƣờng đại học Kỹ thuật
Công nghiệp; từ năm 1997 đến
2011 là trƣởng bộ môn Đo
lƣờng và Điều khiển Tự động;
từ năm 2005 -2010 là trƣởng khoa Điện tử; từ 2011 là
phó giám đốc Đại học Thái nguyên (TNU). Hƣớng
nghiên cứu chính là Điều khiển tối ƣu cho hệ có tham
số phân bố, và các hệ thống tính toán mềm.
Email:
VŨ NGỌC KIÊN
Sinh năm 1983 tại TT Cao Thƣợng – Tân Yên - Bắc
Giang.
Anh nhận bằng Thạc sĩ
chuyên ngành Tự động hoá
tại Đại học Kỹ Thuật Công
Nghiệp–Đại
học
Thái
Nguyên năm 2010. Anh
đang là nghiên cứu sinh tại
Trƣờng Đại học Kỹ Thuật
Công Nghiệp. Hiện nay,
anh đang công tác tại
Trƣờng Đại học Kỹ Thuật Công nghiệp – Đại học
Thái nguyên.
Hƣớng nghiên cứu: Giảm bậc mô hình, Tự động hoá
Email:


69