(LUẬN văn THẠC sĩ) sử dụng hàng điểm điều hòa trong giải toán hình học phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THẾ NGHĨA

SỬ DỤNG HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HỊA
TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

download by :


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THẾ NGHĨA

SỬ DỤNG HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HỊA
TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Chun ngành
Mã số

: Phương pháp Tốn sơ cấp
: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. NGUYỄN DANH NAM

THÁI NGUYÊN - 2016

download by :


i

Mục lục
Trang
LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................1
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .....................................................................2
1.1. Tỉ số đơn, tỉ số kép và hàng điểm điều hịa ..........................................................2
1.2. Chùm đường thẳng và tứ giác tồn phần .............................................................5
1.3. Đường tròn trực giao ............................................................................................9
1.4. Cực và đường đối cực ..........................................................................................9
1.5. Cách xác định cực và đường đối cực .................................................................16
Chương 2: SỬ DỤNG HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA TRONG GIẢI TỐN HÌNH
HỌC PHẲNG ..........................................................................................................19
2.1. Chứng minh hàng điểm điều hịa .......................................................................19
2.2. Chứng minh vng góc ......................................................................................25
2.3. Chứng minh song song.......................................................................................31
2.4. Chứng minh thẳng hàng .....................................................................................33
2.5. Chứng minh đồng quy ........................................................................................40
2.6. Chứng minh điểm cố định ..................................................................................46
2.7. Chứng minh đẳng thức .......................................................................................55
2.8. Một số bài toán khác ..........................................................................................64
KẾT LUẬN ..............................................................................................................71
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................72

download by :


1

LỜI MỞ ĐẦU
Hình học phẳng là một chủ đề hấp dẫn trong các kì thi học sinh giỏi. Một bài
tốn hình học phẳng ln có thể được giải bằng nhiều cách khác nhau, trong đó áp
dụng các khái niệm “hàng điểm điều hòa”, “cực và đường đối cực” được vận dụng
để giải các bài toán sẽ cho lời giải một cách ngắn gọn và đẹp mắt. Đây là những
công cụ mạnh và thú vị của hình học. Kiến thức về chùm đường thẳng, phép chiếu
xuyên tâm, đặc biệt là chùm đường thẳng điều hịa, tứ giác tồn phần cũng được sử
dụng để tìm kiếm các hàng điểm điều hịa. Khi xuất hiện các hàng điểm điều hòa,
chúng ta dễ dàng sử dụng các kết quả liên quan như hệ thức Đề-các, hệ thức Niutơn và hệ thức Mácloranh trong giải bài tốn hình học phẳng.
Với hướng khai thác các hàng điểm điều hòa đơn giản và các hàng điểm điều
hòa xuất hiện từ quan hệ giữa cực và đường đối cực của một điểm đối với một cặp
đường thẳng cắt nhau hoặc đối với một đường trịn nào đó để giải các dạng tốn
hình học như: chứng minh thẳng hàng, chứng minh đồng quy, chứng minh song
song, chứng minh vuông góc, chứng minh điểm cố định, chứng minh đẳng thức, bài
tốn quỹ tích và bài tốn dựng hình. Trong luận văn này, chúng tơi quan tâm đến
các bài tốn có liên quan đến hàng điểm điều hòa xuất hiện trong các cuộc thi học
sinh giỏi toán quốc gia và toán quốc tế. Các bài tốn về hàng điểm điều hịa trong
luận văn đã được lựa chọn với lời giải của có tính độc đáo và thú vị hơn so với các
phương pháp thường gặp. Do vậy, có thể nói kết quả của luận văn cung cấp một
công cụ mới cho học sinh trong việc tiếp cận và giải các bài tốn hình học phẳng,
đặc biệt là các bài tốn xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi mơn Tốn.
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Danh Nam. Tác giả xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá

trình làm luận văn. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các GS, PGS, TS và các
thầy cô giảng viên của Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã giảng
dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.

download by :


2

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Tỉ số đơn, tỉ số kép và hàng điểm điều hòa
1.1.1. Độ dài đại số
Trên đường thẳng d chọn véctơ đơn vị e thì ta có trục d và hướng của e là
hướng của trục d.
Định nghĩa 1.1. [1] Trên trục d, cho hai điểm A, B. Độ dài đại số của AB là
một số có giá trị tuyệt đối bằng AB và số đó dương nếu AB cùng hướng với e và
số đó âm nếu AB ngược hướng với e . Kí hiệu: AB .
Các tính chất.
1) AB   BA .
2) AB  BC  AC (A, B, C thẳng hàng).
3) A1 A2  A2 A3  ...  An1 An  A1 An (với mọi Ai , i  1, n thẳng hàng).
1.1.2. Tỉ số đơn
Định nghĩa 1.2. [1] Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, tỉ số đơn của chúng lấy
theo thứ tự đó là tỉ số

CA
. Kí hiệu: (ABC).
CB

Định lý 1.1. [1] Cho hai điểm A, B và một số thực k  1 thì tồn tại duy nhất
điểm C sao cho (ABC) = k.
Chứng minh.
Ta có (ABC) = k 





CA
 k  CA  kCB  CA  k CA  AB
CB



 CA  k AB  AC  CA  k AC  k AB  AC 



k
AB (k  1)
k 1

Suy ra, tồn tại duy nhất điểm C sao cho (ABC) = k.

download by :


3
1.1.3. Tỉ số kép

Định nghĩa 1.3. [1] Cho bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng, tỉ số kép của
chúng lấy theo thứ tự đó là tỉ số
Vậy  ABCD  

CA DA
. Kí hiệu: (ABCD).
:
CB DB

CA DA  ABC 
.
:

CB DB  ABD 

Các tính chất.
1) Tỉ số kép của bốn điểm là không thay đổi trong các trường hợp sau:
+ Nếu hoán vị cặp điểm đầu với cặp điểm cuối: (ABCD) = (CDAB).
+ Nếu đồng thời hoán vị hai điểm đầu và hai điểm cuối:
(ABCD) = (BADC)
+ Nếu viết chúng theo thứ tự ngược lại: (ABCD) = (DCBA).
2) Tỉ số kép của bốn điểm thay đổi trong các trường hợp:
+ Nếu hoán vị hai điểm đầu hoặc hai điểm cuối thì tỉ số kép của bốn điểm trở
thành số đảo ngược của nó:
(BACD) = (ABDC) 

1
 ABCD 

+ Nếu hoán vị hai điểm ở giữa hoặc hai điểm ở đầu và cuối thì tỉ số kép của

bốn điểm trở thành phần bù của 1:  ABCD   1   ACBD   1   DBCA .
1.1.4. Hàng điểm điều hoà
Định nghĩa 1.4. [1] Nếu (ABCD) = -1 thì ta nói bốn điểm A, B, C, D lập
thành một hàng điểm điều hoà hay A, B chia điều hoà C, D hay A, B liên hợp điều
hồ đối với C, D.
Các tính chất. Cho bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng, ta có:
1) Hệ thức Đề-các:  ABCD   1 

2
1
1


.
AB AC AD

2) Hệ thức Niu-tơn:  ABCD   1  IA2  IC.ID (trong đó I là trung điểm
của đoạn thẳng AB).

download by :


4
3) Hệ thức Mácloranh: AC. AD  AB.AJ (trong đó J là trung điểm của đoạn
thẳng CD).
Chứng minh. Trên đường thẳng AB, chọn O làm gốc toạ độ.
Đặt OA = a, OB = b, OC = c, OD = d, ta có:

CA  OA  OC = a – c ;

CB  OB  OC = b - c

DA  OD  OA = d – a ; DB  OD  OB = d - b
Ta có  ABCD   1 

CA DA
a-c
a-d
:


b-c
b-d
CB DB

 (a - c)(b - d)  - (a - d)(b - c)

 2(ab + cd)  (a + b)(c + d)

(1)

+ Chọn OA thì: OA = a = 0, AC = OC = c, AB = OB = b, AD = OD = d.
Từ (1) ta có 2cd = bc + bd 

2 1 1
2
1
1
  



.
b d c
AB AC AD

+ Chọn O  I thì ta có OA  OB hay a = - b.
Từ (1) ta có 2(- a2 + cd) = 0  a2 = cd  IA2  IC.ID .
Chứng minh tương tự đối với hệ thức Mácloranh.
Định lý 1.2. [1] Nếu AD, AE lần lượt là phân giác trong, phân giác ngoài của
tam giác ABC (D, E thuộc đường thẳng BC) thì (BCDE) = - 1.

A

B

D

C

E

Hình 1.1
Định lý 1.3. [1] Cho tam giác ABC và điểm O không thuộc các đường thẳng
chứa ba cạnh của tam giác. Các đường thẳng AO, BO, CO theo thứ tự cắt BC, CA,
AB tại M, N, P và BC cắt NP tại Q. Khi đó ta có (BCMQ) = - 1.

download by :


5

A
P

N
O

B

M

C

Q

Hình 1.2
Định lý 1.4. [1] Từ điểm S nằm ngồi đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến SA,
SB tới (O) (A, B là các tiếp điểm ). Một đường thẳng đi qua S và cắt (O) lần lượt tại
M, N, và AB cắt MN tại I. Khi đó (SIMN) = - 1.

Hình 1.3
1.2. Chùm đường thẳng và tứ giác tồn phần
1.2.1. Chùm đường thẳng
Định nghĩa 1.5. [1] Trong mặt phẳng, cho tập hợp các đường thẳng đồng
quy tại điểm S thì chúng lập nên một chùm đường thẳng và S được gọi là tâm của
chùm.
Tập hợp các đường thẳng nằm trong mặt phẳng và song song với nhau lập
nên một chùm đường thẳng và có tâm tại vơ tận.
Định lý 1.5. [1] Một chùm bốn đường thẳng cắt một đường thẳng theo hàng
điểm có tỉ số kép khơng thay đổi.

Chứng minh.
* Trường hợp chùm đồng quy tại điểm S: Gọi l là đường thẳng cắt các đường
thẳng a, b, c, d lần lượt tại A, B, C, D và l’ là đường thẳng cắt các đường thẳng a, b,

download by :


6
c, d lần lượt tại A’, B’, C’, D’. Ta cần chứng minh đẳng thức (ABCD) = (A’B’C’D’)
(Hình 1.4).

S
N’
M’

B’

l’

N
M

D’

C’

A’
A

B

C
c

b

a

D

l
d

Hình 1.4
Qua điểm B kẻ đường thẳng song song với đường thẳng a và cắt đường
thẳng c tại N, cắt đường thẳng d tại M.
Ta có:
CA SA và DA SA


DB NB
CB MB

Từ đó suy ra:

 ABCD  

CA DA SA SA NB
:


:

CB AB MB NB MB

(1)

Tương tự, từ điểm B’ kẻ đường thẳng song song với đường thẳng a và cắt
đường thẳng c, d lần lượt tại M’, N’.
Ta có  A ' B ' C ' D ' 

N 'B'
M 'B'

Mặt khác, ta có: NB  N ' B '
MB M ' B '

(2)
(3)

Từ (1), (2) và (3) ta có (ABCD) = (A’B’C’D’).
* Trường hợp chùm song song: Nếu a // b // c // d thì ta ln có đẳng thức
(ABCD) = (A’B’C’D’).

download by :


7
Định nghĩa 1.6. [1] Trong mặt phẳng cho chùm bốn đường thẳng a, b, c, d.
Một đường thẳng l bất kì cắt chùm đó tại A, B, C, D thì (ABCD) được gọi là tỉ số
kép của chùm bốn đường thẳng a, b, c, d. Kí hiệu: (abcd) = (ABCD).

Nếu chùm đồng quy tại S thì ta kí hiệu:

S

S(abcd) = (ABCD).

l
N

Nếu (abcd) = - 1 thì ta có một chùm điều
hoà, hay a, b liên hợp điều hoà với c, d hay a, b

B

chia điều hoà c, d.
Định lý 1.6. [1] Trong mặt phẳng cho
chùm bốn đường thẳng đồng quy. Điều kiện cần

M
a

c

và đủ để chùm đó lập thành một chùm điều hồ
là: Một đường thẳng bất kì song song với một

b

Hình 1.5

trong bốn đường thẳng đó bị ba đường thẳng còn lại chia thành hai đoạn thẳng
bằng nhau.
Chứng minh. Kẻ đường thẳng l song song với a và cắt b, c, d lần lượt tại M,
B, N.
Theo định lý trên, ta có:
(abcd) =

 ABCD



NB
và (abcd) = -1
MB

NB
 1  NB  MB
MB

 B là trung điểm của đoạn thẳng MN hay MB = NB (Hình 1.5).
Hệ quả 1. Trong một chùm điều hồ nếu có hai đường liên hợp vng góc
với nhau thì hai đường đó là các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường cịn
lại (Hình 1.6a).
Hệ quả 2. Hai đường phân giác của hai góc kề bù chia điều hồ hai cạnh của
góc đó (Hình 1.6b). Chùm đường thẳng gồm hai cạnh của một góc và hai đường
phân giác của góc đó được gọi là chùm phân giác.

download by :

d

8

S

S

b
A

D
c

C

B

d

a
a)

b)
Hình 1.6

Trong mặt phẳng, tập hợp các đường thẳng đồng quy tại một điểm S, được
gọi là một chùm đường thẳng tâm S.
Cho chùm bốn đường thẳng a, b, c, d. Một đường thẳng  bất kỳ cắt a, b, c,
d thứ tự tại A, B, C, D. Khi đó (ABCD) khơng phụ thuộc vào vị trí của  .Giá trị

không đổi của tỉ số kép (ABCD) được gọi là tỉ số kép của chùm bốn đường thẳng a,
b, c, d, ký hiệu (abcd) hay S(abcd) khi cần quan tâm đến tâm của chùm.
1.2.2. Tứ giác toàn phần
Định nghĩa 1.7. [1] Trong mặt phẳng, cho bốn đường thẳng cắt nhau từng đơi
một và khơng có ba đường nào đồng quy thì chúng lập thành một tứ giác tồn phần.
- Các đường thẳng là các cạnh (có bốn cạnh).
- Giao của hai cạnh là đỉnh (có sáu đỉnh).
- Hai đỉnh khơng thuộc một cạnh là hai đỉnh đối diện (có ba cặp đỉnh đối diện).
- Đường thẳng nối hai đỉnh đối diện là đường chéo (có ba đường chéo).
Cho tứ giác tồn phần ABCA’B’C’. Khi đó, ta có cặp đỉnh đối diện là (A, A’),
(B, B’), (C, C’); ba đường chéo là AA’, BB’, CC’.
Định lý 1.7. [1] Trong một tứ giác toàn phần, cặp đỉnh đối diện chia điều hoà
hai giao điểm của đường chéo nối cặp đỉnh đối diện đó với hai đường chéo cịn lại.
Chứng minh. Gọi P = AA’BB’, Q = AA’CC’, R = BB’CC’.
Ta chứng minh (AA’PQ) = (BB’PR) = (CC’QR) = - 1. Ta có:
B(AA’PQ) = B’(AA’PQ) = B’(CC’RQ) = B(CC’RQ) = B(A’APQ).
 (AA’PQ) = (A’APQ)   AA ' PQ  

1
2
  AA ' PQ   1.
 AA ' PQ 

Nếu (AA’PQ) = 1 thì ta có (AA’P) = (AA’Q) hay PQ (vô lý).

download by :


9
Vậy (AA’PQ) = - 1.

Các tỉ số kép khác được chứng minh một cách tương tự.

A
B
P
A’

B’

C
Q

C’

R

Hình 1.7
1.3. Đường trịn trực giao
Định nghĩa 1.8. [3] Hai đường tròn gọi là trực giao với nhau tại một điểm
chung của chúng nếu tại điểm đó hai tiếp tuyến của hai đường trịn vng góc
với nhau.
Từ định nghĩa, ta dễ dàng suy ra được các kết quả sau:
Định lý 1.8. [3] Điều kiện cần và đủ để hai đường tròn trực giao với
nhau là bình phương khoảng cách giữa hai tâm bằng tổng bình phương các bán
kính của chúng.
Định lý 1.9. [3] Điều kiện cần và đủ để hai đường tròn trực giao với nhau là
phương tích của tâm của một trong hai đường trịn đó đối với đường trịn thứ hai
bằng bình phương bán kính của đường trịn thứ nhất.
Định lý 1.10. [3] Điều kiện cần và đủ để hai đường tròn trực giao với nhau là có
một đường kính nào đó của một trong hai đường tròn bị đường tròn kia chia điều hoà.

Định nghĩa 1.9. [3] Người ta gọi chùm đường trịn là một tập hợp các đường
trịn kể từng đơi một, nhận một đường thẳng duy nhất làm trục đẳng phương.
Đường thẳng đó gọi là trục đẳng phương của chùm.
Từ định nghĩa trên ta thấy rằng, tâm các đường tròn của một chùm phải nằm
trên một đường thẳng gọi là đường chứa tâm của chùm và đường thẳng này vng
góc với trục đẳng phương của chùm.

download by :


10
Từ định nghĩa của chùm đường tròn, ta suy ra hai định lý sau đây:
Định lý 1.11. [3] Điều kiện cần và đủ để một tập hợp các đường tròn lập
thành một chùm là có hai điểm mà mỗi điểm đều có cùng phương tích đối với tất cả
các đường trịn của tập hợp đó. Trục đẳng phương của chùm là đường thẳng nối hai
điểm nói trên.
Định lý 1.12. [3] Điều kiện cần và đủ để một tập hợp các đường trịn có tâm
thẳng hàng lập thành một chùm là có một điểm có cùng phương tích đối với tất cả
các đường trịn của tập hợp đó.
Trục đẳng phương của chùm là đường thẳng đi qua điểm nói trên và vng
góc với đường chứa tâm.
1.4. Cực và đường đối cực
1.4.1. Đường đối cực của một điểm đối với hai đường thẳng cắt nhau
Định nghĩa 1.10. [3] Hai điểm M và N gọi là liên hợp với nhau đối với hai
đường thẳng đồng quy Ox, Oy nếu đường thẳng MN cắt hai đường thẳng đó tại hai
điểm A, B sao cho (MNAB) = -1.
Nếu (MNAB) = -1 thì ta cũng suy ra (ABMN) = -1 và khi đó hai điểm A và B
cũng liên hợp với nhau đối với hai đường thẳng đồng quy OM, ON.
Bài toán. Cho một điểm M khơng thuộc hai đường thẳng Ox, Oy. Hãy tìm tập
hợp các điểm N liên hợp với M đối với hai đường thẳng đã cho.

Lời giải. Qua M ta kẻ một đường thẳng lần lượt cắt Ox, Oy tại A, B. Ta lấy
trên đường thẳng đó một điểm N sao cho (MNAB) = -1 (Hình 1.8).
P
O
A’

M

B’

N’

N1
B

A

N

x

y

Q
z

Hình 1.8

download by :

11
Nếu kẻ đường thẳng Oz đi qua O và N thì ta có chùm (OM, Oz, Ox, Oy) là
một chùm điều hồ. Do đó, mọi điểm của đường thẳng Oz (trừ hai điểm P và Q) đều
liên hợp với điểm M đối với hai đường thẳng đồng quy Ox, Oy (do hai điểm P và Q
thuộc Oz mà MP // Ox và MQ // Oy ta phải loại ra vì lúc đó các đường thẳng MP và
MQ đều khơng cắt cả hai đường thẳng Ox và Oy).
Ngược lại, nếu N1 là một điểm khơng thuộc đường thẳng Oz nói trên thì
khơng liên hợp với M vì khi đó nếu đường thẳng MN1 cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A’,
B’, N’ thì ta có: (MN’A’B’) = -1 cịn (MN1A’B’)  (MN’A’B’) nên (MN1A’B’)  -1.
Do đó, điểm N1 khơng liên hợp với M đối với hai đường thẳng Ox và Oy.
Vậy tập hợp các điểm N liên hợp với điểm M đối với hai đường thẳng Ox, Oy
là đường thẳng Oz loại trừ hai điểm P, Q nói trên.
Định nghĩa 1.11. [3] Đường thẳng Oz trong bài toán trên gọi là đường đối
cực của điểm M đối với hai đường thẳng Ox, Oy. Điểm M gọi là cực của đường
thẳng Oz đối với hai đường thẳng đó.
Nhận xét. Muốn dựng đường đối cực của một điểm M đối với hai đường
thẳng Ox, Oy cho trước, dựa vào tính chất của hình tứ giác tồn phần ta tìm hai
điểm P và Q phân biệt đều cùng liên hợp với M đối với Ox, Oy nói trên. Ta có PQ
là đường đối cực của điểm M đối với Ox, Oy và PQ ln đi qua điểm O (Hình 1.9a).
O
M
P
M
x

A

Q

N

O

B

y

a)

b)
Hình 1.9

download by :


12
1.4.2. Đường đối cực của một điểm đối với một đường tròn
Định nghĩa 1.12. [3] Hai điểm M và N gọi là liên hợp với nhau đối với đường
tròn (O), nếu đường trịn đường kính MN trực giao với đường trịn (O) (Hình 1.9b).
Nếu đường thẳng MN cắt đường trịn (O) tại hai điểm A và B thì điều kiện
cần và đủ để M và N liên hợp với nhau đối với đường tròn (O) cho trước là tỉ số kép
(MNAB) = -1. Hai điểm M, N có thể liên hợp với nhau đối với đường tròn (O) mà
đường thẳng MN khơng cắt đường trịn này.
Bài tốn. Cho đường trịn (O) và một điểm M không trùng với tâm O của
đường trịn đó. Hãy tìm tập hợp những điểm N liên hợp của M đối với đường tròn
(O) đã cho.
Lời giải. Nếu N là điểm liên hợp của M đối với đường trịn (O) thì theo định
nghĩa, đường trịn đường kính MN trực giao với đường trịn (O). Khi đó, đường kính
AB đi qua M của đường trịn (O) bị đường trịn đường kính MN chia điều hồ. Gọi

H là giao điểm thứ hai của đường trịn đường kính MN với đường thẳng AB.
Ta có (ABMH) = -1 (Hình 1.10). Trong hàng điểm điều hoà A, B, M và H,
điểm H hồn tồn được xác định vì ba điểm A, B, M đã được xác định. Mặt khác, do
MN là đường kính nên MH  HN. Nói cách
khác, điểm N nằm trên đường thẳng m vng
góc với đường thẳng MO tại H.

N

Ngược lại, nếu N’ là điểm bất kì của
đường thẳng m thì đường trịn đường kính
MN’ đi qua H và do (ABMH) = -1 nên đường

M

A

H

O

B

trịn đường kính MN’ trực giao với đường
tròn (O). Vậy điểm N’ liên hợp với M đối
với đường trịn (O).

Hình 1.10

Vậy tập hợp điểm N liên hợp với

điểm M đối với một đường tròn (O) cho trước là một đường thẳng m vng góc với
đường thẳng MO tại H với (MHAB) = -1, trong đó A, B là giao điểm của đường
thẳng MO với đường tròn tâm O.

download by :


13
Định nghĩa 1.13. [3] Đường thẳng m trong bài toán trên gọi là đường đối
cực của điểm M đối với đường tròn (O). Điểm M gọi là cực của đường thẳng m đối
với đường trịn (O) nói trên.
Như vậy, mỗi điểm M khơng trùng với điểm O của đường trịn tâm O có một
đường đối cực xác định và ngược lại, mỗi đường thẳng khơng đi qua O có một điểm
cực xác định đối với một đường tròn tâm O cho trước.
Vì (ABMH) = -1 nên đường đối cực m của điểm M đối với đường trịn (O) sẽ
cắt, khơng cắt hay tiếp xúc với đường trịn tâm O (Hình 1.11a,b,c).
Muốn dựng đường đối cực của một điểm M đối với một đường tròn tâm O
cho trước, ta vẽ qua M hai cát tuyến MAB, MCD (Hình 1.12). Gọi P và Q lần lượt là
các điểm liên hợp với M nghĩa là (ABMP) = -1 và (CDMQ) = -1.
m

m

m

I
A

M

H O

R
B

H

A

M O

B

HM
A

O
B

S

K
a)

b)

c)

Hình 1.11
Ta suy ra PQ là đường đối cực của điểm M. Ta có thể dựa vào tính chất của

hình tứ giác tồn phần để tìm các điểm P và Q liên hợp với M đối với A, B và C, D.

H

Đặc biệt, khi các cát tuyến đó trở
thành tiếp tuyến thì ba điểm P, A, B
trùng nhau và ba điểm C, Q, D cũng

B

trùng nhau.

A

Do đó, muốn dựng đường đối
cực của một điểm M ta thường làm
như sau:

P
O

M

C

Q

Hình 1.12

download by :

D


14
- Nếu điểm M nằm ngồi đường trịn (O) thì từ M ta vẽ hai đường tiếp tuyến
MI, MK với đường trịn, trong đó I và K là hai tiếp điểm. Khi đó, đường thẳng IK là
đường đối cực của điểm M cho trước (Hình 1.11a).
- Nếu điểm M nằm trong đường trịn thì ta vẽ đường thẳng vng góc với
MO tại M. Đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm R và S (Hình 1.11b). Các
tiếp tuyến của đường tròn tại R và S cắt nhau tại H. Đường thẳng m vng góc với
đường thẳng MO tại H là đường đối cực của điểm M cho trước.
- Nếu điểm M nằm trên đường trịn thì tiếp tuyến tại M của đường trịn chính
là đường đối cực của điểm M cho trước (Hình 1.11c).
1.4.3. Các tính chất của cực và đường đối cực đối với một đường tròn
1) Đối với một đường tròn cho trước, nếu đường đối cực của điểm A đi
qua điểm B thì đường đối cực của điểm B đi qua điểm A.
Chứng minh. Nếu điểm B nằm trên đường đối cực a của điểm A thì A và B là
hai điểm liên hợp đối với đường tròn cho trước. Mặt khác ta biết rằng, tập hợp các
điểm liên hợp của điểm B là đường đối cực
b của điểm B đó (Hình 1.13). Vậy điểm A

B

phải nằm trên đường đối cực b của điểm B
(vai trò của A và B là bình đẳng).
Ta có: B  a  A  b.
Định nghĩa 1.14. [3] Hai đường
thẳng a, b được gọi là liên hợp với nhau

b
A

đối với một đường tròn cho trước nếu
đường này đi qua cực của đường kia.
2) Đối với một đường tròn cho trước,
các đường đối cực của các điểm thẳng hàng

a
Hình 1.13

thì đồng quy và các cực của các đường thẳng đồng quy thì thẳng hàng.
Chứng minh. Theo tính chất 1, giả sử các điểm A1, A2…, An nằm trên đường
thẳng b nghĩa là các điểm Ai  b với i = 1, 2…, n thì điểm B thuộc các đường thẳng b
và ai là các đường đối cực của các điểm Ai. Vậy các đường đối cực của các điểm Ai
đều đồng quy tại B.
Phần còn lại chứng minh tương tự.

download by :


15
1.4.4. Phép đối cực
Trên mặt phẳng cho một đường tròn cơ sở (C). Giả sử có một hình H gồm
các điểm và các đường thẳng. Với mỗi điểm của hình H đều có các đường đối cực
của nó đối với đường trịn (C), với mỗi đường thẳng của hình H có các điểm là cực
của nó.
Hình H' là tập hợp các đường thẳng (gồm các đường đối cực của các điểm
thuộc hình H) và các điểm (gồm các cực của các đường thẳng thuộc hình H). Khi
đó, ta nói có một phép đối cực với đường tròn cơ sở (C) biến hình H thành hình H'.

Rõ ràng muốn chứng minh tính thẳng hàng của các điểm trên hình H ta chỉ việc
chứng minh tính đồng quy của các đường thẳng tương ứng trên hình H'.
Ví dụ 1.1. [3] (Định lý Bri-ăng-xông) Ba đường thẳng nối các cặp đỉnh đối
diện của một lục giác ngoại tiếp một đường tròn đồng quy tại một điểm.
Lời giải. Giả sử ABCDEF là lục giác ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi M, N, P,
Q, K, I lần lượt là các tiếp điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA với đường
tròn (C). Khi đó, theo định lý Pát-xcan:

B

MNKQ = 
QP IM = 

M

, ,  thẳng hàng.

N
C

A

PNIK = 
Hiển nhiên,  là cực của BE,  là cực của
AD,  là cực của CF. Vì , ,  thẳng hàng nên BE,

P
I
F

D
K

Q

AD, CF đồng quy tại một điểm. Ta có phép đối cực

E

biến ba điểm , ,  thành ba đường thẳng BE, AD,

Hình 1.14

CF (Hình 1.14).
Định lý 1.13. [3] Phép đối cực bảo tồn tỉ số kép, nghĩa là qua phép đối cực,
một chùm bốn đường thẳng (đồng quy) biến thành bốn điểm và tỉ số kép của bốn
điểm này bằng tỉ số kép của bốn đường thẳng đó.
Hệ quả. Phép đối cực biến một chùm đường thẳng điều hoà thành một hàng
điểm điều hoà và ngược lại.

download by :


16
Như vậy, phép đối cực là một công cụ tương đối hiệu quả trong việc chuyển
đổi hai dạng bài toán chứng minh đồng quy và chứng minh thẳng hàng, chuyển từ
chùm đường thẳng điều hòa sang hàng điểm điều hòa và ngược lại.
1.5. Cách xác định cực và đường đối cực
* Trường hợp 1: Khi cực S ở ngoài đường trịn (O). Ta có 2 cách dựng sau:
- Cách 1: Từ S kẻ tới (O) hai tiếp tuyến SA, SB (A, B là tiếp điểm). Khi đó

đường đối cực của S đối với (O) là AB.
A

S

.

O

B
Hình 1.15
- Cách 2: Từ S kẻ tới (O) hai cát tuyến SAB, SCD. Giả sử AD cắt BC ở F, AC
cắt BD ở E. Khi đó đường đối cực của điểm S đối với (O) là đường thẳng EF.
F

B
A
E
S
D

C

Hình 1.16
* Trường hợp 2: Khi điểm S nằm trong đường trịn (O). Ta có 2 cách dựng
sau đây:

download by :

17
- Cách 1: Qua điểm S dựng đường vng góc với OS, đường này cắt (O) tại
hai điểm A, B. Tiếp tuyến của (O) tại A, B cắt nhau ở điểm P. Khi đó đường đối cực
của điểm S đối với đường trịn (O) là đường thẳng qua P vng góc với OS.
A

S

P

O

B
Hình 1.17
- Cách 2: Qua điểm S dựng hai dây cung AB và CD. Giả sử AD cắt BC ở E,
AC cắt BD ở F. Khi đó đường đối cực của điểm S đối với (O) là EF.
E

C
A
S

.O
F
D

B

Hình 1.18
* Trường hợp 3: Điểm S nằm trên đường tròn (O). Khi đó, tiếp tuyến của (O)

tại S chính là đường đối cực của S đối với (O).

download by :


18

.

O

S
Hình 1.19
Chương 1 của luận văn trình bày các khái niệm cơ bản như hàng điểm điều
hòa, chùm đường thẳng, chùm đường thẳng điều hịa và tứ giác tồn phần. Đây là
những nội dung có liên quan đến hàng điểm điều hịa. Chúng ta có thể chứng minh
hàng điểm điều hịa dựa trên các tính chất của chùm đường thẳng điều hịa và tứ
giác tồn phần. Kiến thức về đường tròn trực giao, cực và đường đối cực đối với hai
đường thẳng đồng quy và đối với đường tròn cũng như cách dựng đường đối cực
của một điểm cho trước. Với cực và đường đối cực ta có thể đưa ra cách nhìn xuyên
suốt, nhất quán đối với một số dạng tốn như chứng minh quan hệ vng góc, chứng
minh các điểm thẳng hàng, chứng minh quan hệ đồng quy,... Các bài toán về cực và
đường đối cực thường gặp ở bậc trung học phổ thông là cực và đường đối cực của một
điểm đối với đường tròn hoặc đối với cặp đường thẳng cắt nhau. Đặc biệt, phép đối
cực được trình bày cho chúng ta một cơng cụ trong việc chuyển đổi bài toán chứng
minh thẳng hàng và bài toán chứng minh đồng quy. Trong chương 2 luận văn sẽ
khai thác một số lớp bài toán sử dụng đến khái niệm cực và đường đối cực để chứng
minh các điểm thẳng hàng, chứng minh các đường thẳng đồng quy và giải bài tốn
tìm điểm cố định.

download by :


19

Chương 2
SỬ DỤNG HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HỊA TRONG GIẢI TỐN
HÌNH HỌC PHẲNG
Để có thể sử dụng hàng điểm điều hịa trong giải toán, chúng ta cần phải
nhận ra các hàng điểm điều hịa trong bài tốn, đặc biệt là vận dụng linh hoạt các
tính chất trong tứ giác tồn phần, tứ giác điều hòa, chùm phân giác,… Dưới đây là
một số minh họa cách tìm các hàng điểm điều hịa trong một bài toán cụ thể.
2.1. Chứng minh hàng điểm điều hòa
Để chứng minh bốn điểm lập thành hàng điểm điều hịa chúng ta có thể sử
dụng định nghĩa, nghĩa là chứng minh tỉ số kép của bốn điểm bằng -1. Các định lý
thường được áp dụng trong giải dạng toán này là định lý Xêva, định lý Mênêlauýt,
hệ thức Niu-tơn và hệ thức Đề-các về hàng điểm điều hịa.
Ví dụ 2.1. [4] Cho tam giác ABC. Lấy E trên BC, điểm F trên AC và điểm K
trên AB sao cho AE, BF, CK đồng quy tại một điểm. Gọi T là giao điểm của FK với
BC. Chứng minh rằng (TEBC) = -1.
Giải. Bài tốn có giả thiết về các đường thẳng đồng quy trong tam giác, vì
vậy định lý Xêva, định lý Mênêlauýt được sử dụng trong bài toán này. Thật vậy,
trong ABC, áp dụng định lý Xêva với ba đường đồng quy AE, BF, CK ta có:

EB FC KA
.
.
 1
EC FA KB

(1)

Mặt khác, áp định lý Mênêlauýt với ba điểm thẳng hàng T, K, F ta lại có:

TC KB FA
.
.
1
TB KA FC

Hình 2.1

download by :

(2)


20

Nhân (1) và (2) vế theo vế suy ra:

TB
EB

hay (TEBC) = -1.
TC
EC

* Nhận xét: Nếu gọi I là điểm đồng quy của AE, BF, CK thì AIBC là một tứ
giác toàn phần với các đường chéo AI, FK và BC mà lời giải là một trong những

cách chứng minh cho định lý rất đẹp về hình tứ giác tồn phần: “Trong một hình tứ
giác tồn phần, một đường chéo bị hai đường chéo cịn lại chia điều hịa”. Bài tốn
đơn giản này cho ta sử dụng tính chất một hình tứ giác tồn phần hay hàng điểm
điều hịa cho một tam giác có ba đường thẳng đồng quy.
Ví dụ 2.2. [4] Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O). Gọi M, N, P,
Q lần lượt là các tiếp điểm trên các cạnh AB, BC, CD, DA với đường tròn. Gọi K là
giao điểm của đường thẳng MQ với NP và I là giao điểm của đường thẳng MP với
QN. Chứng minh rằng (DBIK) = -1.
Giải. Bài tốn có giả thiết về các tiếp điểm của đường tròn với các cạnh của
tam giác, vì vậy định lý Mênêlauýt được sử dụng, từ đó xuất hiện các tỉ số giữa các
đoạn thẳng và có thể được sử dụng để chứng minh hàng điểm điều hòa theo định
nghĩa. Áp dụng định lý Mênêlauýt cho tam giác ABD với 3 điểm thẳng hàng K, M,
Q ta có:

KB MB
KB QD MA

.
.
 1 hay
(vì QA = MA)
KD QD
KD QA MB

Mặt khác, ta có thể chứng minh được:

MB IB

QD ID

(2)
K

A
M
B

Q

O

D

(1)

P

.

I

N

C
Hình 2.2

download by :


21

Từ (1) và (2) suy ra

KB IB

(Hình 2.2). Vì I nằm trong đoạn thẳng BD và
KD ID

K nằm ngoài đoạn thẳng BD nên ta suy ra

KB
IB

. Vậy (DBIK) = -1.
KD
ID

Ví dụ 2.3. [2] Cho ABC không cân tại A, phân giác trong AD, đường cao
AH. Gọi E, F là hình chiếu của D trên AB, AC. Kẻ đường thẳng EF cắt đường thẳng
BC tại điểm L. Chứng minh rằng (HLBC) = -1.
Giải. Tương tự ví dụ 2.2, bài tốn này sử dụng định lý Mênêlauýt như sau:
A

E
F
B

D

H

C

L

Hình 2.3
Xét ABC, ta cần chứng minh:

FC EA HB


 1 .
FA EB HC

 BE.BA  BH .BD
Các tứ giác EAHD, FADH nội tiếp đường tròn  
CD.CH  CF .CA

(1)
(2)

BH BD BE BA
BH BE
HB CF
.

.




.
 1
CH CD CF CA CH CF
HC BE

(3)

Từ (1) và (2) suy ra

Mà AD là phân giác BAC nên AE = AF 
Từ (3) và (4) ta có

AE
1
AF

HB CF AE
HB FC EA
.
.
1
.
.
 1
HC BE AF
HC FA EB

Xét ABC với cát tuyến EFL, ta có

FC EA LB

.
.
1
FA EB LC

(áp dụng định lý Mênêlauýt trong mặt phẳng).

download by :

(4)
(5)

(6)


22

Từ  5  và  6  ta có

HB LB
.
 1 hay (HLBC) = -1.
HC LC

Ví dụ 2.4. [4] Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O). Từ điểm A kẻ hai tiếp
tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (với B, C là hai tiếp điểm). Đường thẳng AO cắt
đường tròn (O) tại E, F và cắt cạnh BC tại điểm K. Chứng minh rằng (AKEF) = -1.
Giải. Trong bài toán này, chúng ta nhận thấy xuất hiện các tam giác vng.
Do đó, ta có thể sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông. Các hệ thức này có
quan hệ với hệ thức Niu-tơn về hàng điểm điều hịa. Đó cũng là một ý tưởng để

chứng minh hàng điểm điều hịa.
Ta có OB2 = OK.OA (hệ thức lượng tam giác vng)

(1)

Mặt khác ta lại có: OB2 = OE2 = OF2

(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: OE2 = OF2 = OK.OA. Từ đó suy ra điều phải chứng minh
(Hình 2.4) .
B

F

O

K

E

A

C

Hình 2.4
Ví dụ 2.5. [2] Cho hình vng và một đường trịn tâm O nội tiếp hình vng.
Một tiếp tuyến bất kỳ của đường tròn cắt các cặp cạnh đối của hình vng tại A, B
và C, D. Chứng minh rằng (ABCD) = - 1.
Giải. Bài toán xuất hiện các đường phân giác của một góc. Điều này gợi ý

cho việc sử dụng các chùm phân giác trong chứng minh hàng điểm điều hòa.

download by :