Sử Dụng Hàng Điểm Điều Hòa Trong Giải Toán Hình Học Phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THẾ NGHĨA

SỬ DỤNG HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA
TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THẾ NGHĨA

SỬ DỤNG HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA
TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành
Mã số

: Phương pháp Toán sơ cấp
: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN DANH NAM

THÁI NGUYÊN - 2016


i

Mục lục
Trang
LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................1
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .....................................................................2
1.1. Tỉ số đơn, tỉ số kép và hàng điểm điều hòa ..........................................................2
1.2. Chùm đường thẳng và tứ giác toàn phần .............................................................5
1.3. Đường tròn trực giao ............................................................................................9
1.4. Cực và đường đối cực ..........................................................................................9
1.5. Cách xác định cực và đường đối cực .................................................................16
Chươ



36

+uQK
2.19

9uÿѭӡQJÿӕLFӵFFӫD
%¶
ÿLTXDÿLӇP
A QrQ
%¶
WKXӝFÿѭӡQJÿӕLF

A ÿӕLYӟL
O
7ѭѫQJWӵÿѭӡQJÿӕLFӵFFӫD
&¶
ÿLTXD
A QrQÿѭӡQJÿӕLFӵ
A ÿL

qua &¶
7ӯÿyVX\UD ÿѭӡQJÿӕLFӵFFӫDÿ
A ÿӕLYӟLÿѭӡQJ
O
FKtQKO
WUzQ

%¶&¶
7ѭѫQJWӵWD
Fy
&¶$¶
, $¶%¶
WѭѫQJӭQJOjÿѭӡQJÿӕLFӵ
B, C ÿӕL
YӟLÿѭӡQJWUzQ
O
+uQK
2.19).

9uÿѭӡQJÿӕLFӵFFӫD
M YX{QJJyFYӟL
OM, OA AOM QrQÿѭӡQJÿӕ

FӫD
M VRQJ VRQJ
AO 0j
AO
YӟL
YX{QJ JyF YӟL ÿѭӡQJ
A QrQ
ÿӕL

ÿѭӡQJÿӕLFӵFFӫDÿL
ӇP
M YX{QJJyFYӟL
%¶&¶

9u
M  BC OjÿѭӡQJÿӕL

FӫDÿLӇP
$¶
QrQÿLӇP
$¶
WKXӝFÿѭӡQJÿӕLFӵFFӫDÿLӇP
M 
7ӯ
Yj

ÿѭӡQJ ÿӕL FӵF
M OjFӫD
ÿѭӡQJ

ÿLӇP
FDR
$¶%¶&¶
WURQJ
 7ѭѫQJ
WDPWӵ
JLi

ÿѭӡQJÿӕLFӵFFӫDÿLӇP
N, P ÿӕLYӟL
O
FNJQJ
OjÿѭӡQJFDRWURQJ
$¶%¶&¶
VX\UDFK~QJÿӗQJTX\+uQK
2.19
9ұ\
FiFÿLӇP
M, N, P WKҷQJKjQJ

9tGͭ
2.20. [4] &KRWDPJLiF
ABC Fy
I
OjÿѭӡQJWUzQQӝL
D, E, F

OҫQOѭӧWOjFiFWLӃSÿLӇPFӫD
I
WUrQFiFFҥQK

BC, CA, AB*ӑL
'¶
, (¶
, )¶
lҫQOѭӧWO

FiF JLDR ÿLӇP FӫD
EF YӟL
FiF
BC, FD YӟL
ÿѭӡQJ
CA, DE YӟL
WKҷQJ
AB &KӭQJ
PLQKUҵQJ
'¶
, (¶
, )¶
WKҷQJKjQJ

*L̫L
. 7DWKҩ\
EF OjÿѭӡQJÿӕLFӵFFӫD
A ÿӕLYӟL
I
Pj
'¶
EF QrQÿLӇP
A
WKXӝFÿѭӡQJÿӕLFӵFFӫDÿLӇP

'¶
ÿӕLYӟL
I). Do '¶'
OjWLӃSWX\ӃQ
YӟL
I
QrQ
AD Oj


37
đường đối cực của điểm D’ đối với (I). Tương tự, ta có BE, CF cũng là đường đối
cực của các điểm E’, F’ đối với (I).

Hình 2.20
Ta biết AD, BE, CF đồng quy tại điểm Giéc-gôn, gọi là K. Khi đó, D’, E’, F’
phải nằm trên đường đối cực của điểm K đối với (I) (Hình 2.20). Từ đó suy ra D’,
E’, F’ thẳng hàng và đường thẳng D’E’F’ vuông góc với IK.
Ví dụ 2.21. [4] Cho tam giác ABC không cân. Các đường phân giác ngoài
của các góc A, B, C cắt các cạnh đối diện lần lượt tại A', B', C'. Gọi O, I lần lượt là
tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp ABC. Chứng minh rằng các điểm A', B', C'
thẳng hàng và đường thẳng A'B'C' vuông góc với OI.
Giải. Bài toán không cho các đường vuông góc, nhưng với các giả thiết về
đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp tam giác gợi ý cho chúng ta có thể sử
dụng khái niệm cực và đường đối cực trong chứng minh bằng toán vuông góc. Gọi
tiếp điểm của đường tròn (I) nội tiếp tam giác trên BC, CA, AB lần lượt là D, E, F.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh FE, FD, DE. Xét cực và đường đối
cực đối với đường tròn (I). Ta thấy AA' là đường đối cực của M nên A' thuộc đường
đối cực của M. Mà A' thuộc BC là đường đối cực của D nên ta có đường đối cực của
A' chính là đường thẳng DM

(1)

Tương tự, đường đối cực của B', C' lần lượt là các đường thẳng EN, FP

(2)

(Hình 2.21).


38
Chú ý rằng các đường thẳng DM, EN, FP đồng quy tại trọng tâm G của tam giác
DEF

(3)

Từ (1), (2), (3) ta có A', B', C' thẳng hàng và đường thẳng A'B'C' vuông góc với IG
(đường thẳng Ơle của tam giác DEF).

Hình 2.21
Ví dụ 2.22. [4] Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) và M, N, P,
Q lần lượt là các tiếp điểm trên các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác. Đặt K =
AD  BC, L = AB  DC, E = QM  PN, F = QP  MN.
Chứng minh bốn điểm K, L, E, F thẳng hàng.
Giải. Bài toán xuất hiện các cực và đường đối cực của điểm đối với đường
tròn. Do đó, gọi I là giao điểm của BD với AC, E’ là giao điểm của DB với KL, T là
giao điểm của CE’ với DK (Hình 2.22).
Dễ thấy (TAKD) = -1 suy ra (CT, CA, CK, CD) = -1. Do đó (E’IBD) = -1.
Mặt khác, (EIBD) = -1 nên suy ra E’  E. Từ đó suy ra E, K, L thẳng hàng

(1)

Lập luận tương tự cũng có F, K, L thẳng hàng

(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh.


39

F

T

K
A

E
M

Q

B

I

.

N

O

L
C
P
D

Hình 2.22
Ví dụ 2.23.[2] Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi

S  AB  CD, F   AD  BC, E  AC  BD .

Kẻ tiếp tuyến SM, SN với (O).

Chứng minh rằng bốn điểm E, F, M, N thẳng hàng.
Giải. Bài toán có các tiếp tuyến đối với đường tròn, do vậy nó có liên quan
đến bài toán dựng đường đối cực của một điểm đối với đường tròn và từ đó làm
xuất hiện các tứ giác toàn phần.
Giả sử K   CD  EF , K '  CD  MN . Khi đó, theo tính chất của tứ giác toàn
phần FEAB ta có (SKDC) = -1

(1)

Mặt khác theo tính chất “cát tuyến”, ta có (SK’DC) = -1

(2)


40

F

A

S

.

D

.M

B

.O

E

C

K
N

Hình 2.23
Từ (1) và (2) ta có K  K’.
Tương tự, ta cũng có L  L’ với L  EF  AB , L '  MN  AB .
Từ đó EF và MN có hai điểm chung nên hai đường thẳng này phải trùng
nhau. Vậy ta có M, N, E, F thẳng hàng.
2.5. Chứng minh đồng quy

Bài toán chứng minh đồng quy có thể coi là bài toán “đối ngẫu” của bài toán
chứng minh thẳng hàng. Phép đối cực chính là phương tiện để chuyển đổi hai dạng
bài toán. Do vậy, cực và đường đối cực sẽ được khai thác triệt để trong giải bài toán
dạng này.
Ví dụ 2.24. [4] Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp
xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường tròn nội tiếp tam giác
DEF tiếp xúc với EF, FD, DE lần lượt tại M, P, N. Chứng minh rằng các đường
thẳng AM, BP, CN đồng quy.
Giải. Gọi I, O lần lượt là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác DEF và tam
giác ABC. Gọi H, K, L lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng (MP; EF),
(MN; FD), (MP; DE). Ta dễ thấy H, K, L thẳng hàng

(1)


41

Hình 2.24
Chú ý rằng DM, FN, EP đồng quy nên (HMFE) = -1. Do đó, M thuộc đường đối
cực của điểm H đối với đường tròn (O). Mặt khác, điểm A thuộc đường đối cực của
điểm H đối với (O) nên ta có AM là đường đối cực của điểm H đối với (O)

(2)

Tương tự, ta có BP là đường đối cực của điểm K đối với (O) và Cn là đường đối cực
của điểm L đối với (O)

(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 2.25. [4] Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi M, N lần lượt
là trung điểm của AB, CD. Đường tròn (ABN) cắt lại cạnh CD tại điểm P, đường
tròn (CDM) cắt lại cạnh AB tại điểm Q. Chứng minh rằng các đường thẳng AC, PQ,
BD đồng quy.
Giải. Trong bài toán này, chúng ta sẽ tìm các đường đối cực của các điểm đối
với đường tròn (O). Từ đó khai thác tính chất của các đường đối cực trong chứng
minh đồng quy. Thật vậy, khi AB // CD thì bài toán đơn giản. Ta đi xét trường hợp
còn lại.


42
Gọi S là giao điểm của đường thẳng AB và CD (Hình 2.25). Gọi d là đường đối cực
của điểm S đối với (O). Gọi I là giao điểm của AC và BD thì dễ thấy điểm I thuộc
đường thẳng d. Ta thấy SM .SQ  SC.SD  SA.SB . Chú ý rằng M là trung điểm của AB
nên ta có (SQAB) = -1. Do đó, điểm Q thuộc đường thẳng d. Tương tự ta có điểm P
cũng thuộc đường thẳng d. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Hình 2.25
Ví dụ 2.26. [4] Trong tam giác ABC kẻ các đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H
là trực tâm của tam giác ABC. Gọi J là một giao điểm của AA’ với đường tròn (I)
đường kính BC. Chứng minh rằng BC, B’C’ và tiếp tuyến tại điểm J của đường tròn
(I) đồng quy.
Giải. Tương tự ví dụ 2.25, trong bài toán này, chúng ta cũng sẽ đi tìm các
đường đối cực của một điểm nào đó đối với đường tròn (I). Gọi giao điểm của AH
với đường tròn (I) là J1, J2. Vậy điểm J sẽ là J2 hoặc J1. Ta chứng minh BC, B’C’ và
tiếp tuyến tại J1 của đường tròn (I) đồng quy.
Xét cực và đường đối cực đối với đường tròn (I). Gọi giao điểm của BC và
B’C’ là điểm S (Hình 2.26). Ta thấy AH là đường đối cực của điểm S, AH đi qua
điểm J1 nên đường đối cực của J1 sẽ đi qua điểm S hay tiếp tuyến tại J1 đi qua điểm
S. Vậy ta có điều phải chứng minh.

43

Hình 2.26
Ví dụ 2.27. [4] Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD. Qua A, B, C,
D lần lượt vẽ các đường thẳng dA, dB, dC và dD tương ứng vuông góc với OA, OB,
OC và OD. Các cặp đường thẳng dA và dB, dB và dC, dC và dD, dD và dA tương ứng
cắt nhau tại K, L, M, N. Chứng minh rằng KM và LN cắt nhau tại O.
Giải. Gọi I, J, P, Q lần lượt là tiếp điểm của đường tròn (O) trên AB, BC,
CD, DA (Hình 2.27).

Hình 2.27


44
Gọi E, F, G, H lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng (OA; IQ), (OB;
IJ), (OC; JP), (OD; PQ).
Ta sẽ chứng minh K, O, M thẳng hàng (Hình 2.27). Theo giả thiết ta sẽ có dA
là đường đối cực của điểm E đối với đường tròn (O). Tương tự, dB là đường đối cực
của điểm F. Từ đó suy ra EF là đường đối cực của điểm K, GH là đường đối cực
của điểm M đối với đường tròn (O). Mặt khác, dễ thấy EF // GH. Từ đó suy ra điều
phải chứng minh.
Ví dụ 2.28. [4] Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O). Tiếp điểm
thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt là M, N, P, Q. Các đường thẳng AN, AP
cắt đường tròn (O) tại E, F. Chứng minh rằng:
a) Các đường thẳng MP, NQ, AC, BD đồng quy.
b) Các đường thẳng ME, QF, AC đồng quy.
Giải.

.

I

.
J

Hình 2.28
a) Hạ CJ  MP. Ta có: OMP  OPM  BMP  CPM  CJ  CP .
Gọi I   AC  MP 

IA AM AM


IC JC
PC

Tương tự gọi I '  AC  NQ 

I ' A AQ

I ' C NC

(1)
(2)