Tài liệu ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC 2004: MÔN ĐẠI SỐ docx

Đại học kinh tế quốc dân
Bộ môn Toán cơ bản

Đề thi chọn đội tuyển olympic 2004 : Môn đại số
Đề thi chọn đội tuyển olympic 2004 : Môn đại sốĐề thi chọn đội tuyển olympic 2004 : Môn đại số
Đề thi chọn đội tuyển olympic 2004 : Môn đại số



Câu 1 (3 điểm)
Chứng minh rằng : Đa thức P(x) với các hệ số thuộc tập số nguyên

không có nghiệm
nguyên nếu
)0(P
và
)(kP
lẻ với
k
là một số lẻ nào đó cho trớc.

Câu 2 ( 2,5 điểm)
Tính
12222
321

++++
n
n

trong đó

là một giá trị của
n
1
.

Câu 3
( 3 điểm)
Cho
A
là ma trận vuông cấp n thoả mãn:
0
=
+
BAAB
trong đó
XA
AX
B

=
với
X
là ma
trận vuông cấp n tuỳ ý.
Hãy chứng minh
2
A
là ma trận có dạng:
0 0 . . 0

0 0 . . 0
0 0 . . 0
. . . . . .
. . . . . .
0 0 0 . .
k
k
k
k











Câu 4

Cho

=
33
42
A
và
64)(
2
= xxxf
&
6)(
2003
+= xxxg
.
1) ( 2,5 điểm)
Tính )( Ag
2) (3 điểm)
Tính
[
]
2004
)( Af


Câu 5
(3 điểm)
Hạng của 2 ma trận vuông
A

và
B
cấp
n
tơng ứng là
1
r
và
2
r
.Hãy chứng minh
hạng của ma trận tích
BA
.
không nhỏ hơn nrr +
21
.

Câu 6
(3 điểm)
Tìm ma trận
A
vuông cấp 3 thoả mãn
0
2
=A
.

Thời gian làm bài: 120 phút