Tài liệu ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM 2010 vòng chung khảo pptx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (116.79 KB, 4 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
*
*
ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2010-2011
(Vòng chung khảo)
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1. Cho A là ma trận vuông cấp 2011 và |A| = 2010. Tính |A
*
|, trong đó A
*
là ma trận phù
hợp của A.
Câu 2. Tìm giới hạn sau:
Câu 3. Tìm m để ma trận sau có hạng nhỏ nhất:
Câu 4. Xét sự khả vi của hàm số sau:
!
"
#
$
%
&
'
()*
()
+
tại điểm x = 0.
Câu 5. Giải hệ phương trình tuyến tính
,
-
.
-
/
&
0
1
2
3
&
0
1
2
4
&
0
1
2
&
0
1
2
&
0
2
+
&&
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
*
*
ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
(Vòng chung khảo)
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1. Có tồn tại ma trận thỏa mãn:
&
5
6
hay không? Tại sao?
Câu 2. Tính giới hạn sau:
7
0
89$
:
Câu 3. Xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ sau trong
không gian ;
<
:
=
&
!
>?>>
"
@=
!
>?>>
"
@?@=
<
!>?>>"
Câu 4. Cho !" là hàm khả vi đến cấp 2 trên R. Chứng minh rằng
!
"
A
biết rằng
!
"
> B
!
"
và
CC
!
"
D>EFG.
Câu 5. Giải hệ phương trình sau:
H
&
0
1
&
0
1
&
0
1
&
0
1
+
&&
HƯỚNG DẪN GIẢI NĂM 2010 – 2011
Câu 1. Do |A| = 2010 * 0 nên A khả nghịch.
Ta có:
%&
&
IJI
K
L
K
M
%&
LI
K
I
&&
MI
%&
I
Mà A.A
-1
= E suy ra |A|.|A
-1
| = 1 suy ra |A
-1
= 1/|A| = 1/2010
Suy ra |A
*
| = 2010
2010
.
Câu 2. Do sin
2
x ~ tanx
2
~ x
2
khi x → 0
1 – cosx = 2sin
2
(x/2) ~ x
2
/2 khi x
→ 0
nên
Câu 3. Biến đổi ma trận A
N
3
4
O
Do P
&>>0
&>>0
* suy ra r(A) D 3
Dễ thấy với m = 17/3 thì r(A) = 4.
Với m ≠ 17/3 ta thấy Q
!
"
R
S
'
%1T
%2
U%1S
&V%0S
R
W
X
X
Y
4
%Z
[
\&
0
%%
[
\&
0
+
Câu 4. Xét
]
!
"
%]!"
%
^
_
`
a
'
bc
^
_d
'
&eb
=
bc
b
^
d
'
f
ghi
bc
&
b^
d
'
=0
(Với t = 1/x). Vậy f(x) khả vi tại 0.
Câu 5. Biến đổi ma trận hệ số mở rộng
j
k
l
m
I
I
I
I
I
3
4
n
o
p
về dạng tam giác (nên đổi cột 1 cho cột 4, ẩn cũng đổi tương ứng), thay ẩn, ta được nghiệm duy
nhất của hệ: (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
) = (2, 1, 0, -1, 0).
&&
ĐÁP ÁN &THANG ĐIỂM NĂM 2011 – 2012
ĐÁP ÁN Điểm
Câu 1
(5 điểm)
Giả sử tồn tại ma trận A thỏa mãn bài toán
Khi đó
I
&
I
I
I
&
D
2.5 đ
Mặt khác
I
&
I
M
q
. Mâu thuẫn
Vậy không có ma trận A thỏa mãn bài toán
2.5 đ
Câu 2
(3 điểm)
7
0
89
$
:
7
0
89
$
:
1 đ
7
7
2 đ
Câu 3
(3 điểm)
Do
I
I
r
s
s
s
s
r
t
*
2 đ
Suy ra
Q
!
"
. Vậy hệ véc tơ đã cho độc lập tuyến tính
1 đ
Câu 4
(5 điểm)
Do
C
C
!
"
D
>
E
F
G
L
C
!
"
là hàm đồng biến trên R
L
C
!
"
D
C
!
"
>
E
D
2 đ
Xét hàm
u
!
"
!
"
. Ta có
u
C
!
"
C
!
"
D
>
E
D
L
u
!
"
ĐB /
v
>
w
"
L
u
!
"
A
u
!
"
L
!
"
A
3 đ
Câu 5
(4 điểm)
x
y
4
z
{
2.5 đ
Hệ đã cho tương đương:
|
0
4
1
&
0
1
+
R
|
1
0
&
+
1.5 đ
