43 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN

Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi min phớ

/>
43 Đề thi tuyển sinh
Vào lớp 10 Chuyên Toán

Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phớ

Nguyễn Hồng Quân
FILE WORD LIấN H

1

Trờng THCS Đông Tiến

SMS,ZALO: 0816457443


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi min phớ

/>*Trờng THPT Nguyễn TrÃi

( Hải Dơng 2002- 2003, dành cho các lớp chuyên tự nhiên)
Thời gian: 150 phút
Bài 1. (3 ®iĨm)
Cho biĨu thøc.
A=

 x + 2 − 4 x − 2 + x + 2 + 4 x − 2 



4 4
− +1
x2 x

1) Rót gän biĨu thøc A.
2) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là một số nguyên
Bài 2.( 3 điểm)
1) Gọi x 1 và x 2 là hai nghiệm của phơng trình.
x2 -(2m-3)x +1-m = 0
Tìm các giá trị của m để: x 1 2+ x 2 2 +3 x 1 .x 2 (x 1 + x 2 ) đạt giá trị lớn nhất
2) Cho a,b là các số hữu tỉ thoả m n: a2003 + b2003 = 2.a2003.b2003
Chứng minh rằng phơng trình: x2 +2x+ab = 0 có hai nghiệm hữu tỉ.
Bài 3. ( 3 điểm)
1) Cho tam giác cân ABC, góc A = 1800. Tính tỉ số

BC
.
AB

2) Cho hình quạt tròn giới hạn bởi cung tròn và hai bán kính OA,OB vuông góc
với nhau. Gọi I là trung điểm của OB, phân giác góc AIO cắt OA tại D, qua D kẻ
đờng thẳng song song víi OB c¾t cung trong ë C. TÝnh góc ACD.
Bài 4. ( 1 điểm)
Chứng minh bất đẳng thức:
| a 2 + b 2 − a 2 + c 2 | | b-c|
với a, b,c là các số thực bất kì.

Nguyễn Hồng Quân
FILE WORD LIấN H

2

Trờng THCS Đông TiÕn

SMS,ZALO: 0816457443


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi min phớ
*Trờng năng khiếu Trần Phú, Hải Phòng.(150)

/>Bài 1. ( 2 ®iĨm) cho biĨu thøc: P(x) =

2x − x 2 − 1
3x 2 − 4 x + 1

1) T×m tÊt cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rót gän P(x)
2) Chøng minh r»ng nÕu x > 1 thì P(x).P(-x) < 0
Bài 2. ( 2 điểm)
1) cho phơng tr×nh:

x 2 − 2(2m + 1) x + 3m 2 + 6m
= 0 (1)
x2

a) Giải phơng trình trên khi m =

2
3

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x 1 và x 2 tho¶ m n x 1 +2

x 2 =16
2) Gi¶i phơng trình:

2x
1 1
+
+
=2
1+ x
2 2x

Bài 3 (2 điểm)
1) Cho x,y là hai số thực thoả m n x2+4y2 = 1
Chứng minh r»ng: |x-y| ≤

5
2

n2 + 4
2) Cho ph©n sè : A=
n+5

Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên thoả m n 1 n 2004 sao cho A là phân số cha tối giản
Bài 4( 3 điểm) Cho hai đờng tròn (0 1 ) và (0 2 ) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến chung gần P hơn
của hai đờng tròn tiếp xúc với (0 1 ) tại A, tiÕp xóc víi (0 2 ) t¹i B. TiÕp tuyến của (0 1 ) tại P cắt (0 2 )
tại điểm thứ hai D khác P, đờng thẳng AP cắt đờng thẳng BD tại R. H y chứng minh rằng:
1)Bốn điểm A, B, Q,R cùng thuộc một đờng tròn
2)Tam giác BPR cân
3)Đờng tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB và RB.
Bài 5. (1 điểm)Cho tam giác ABC cã BC < CA< AB. Trªn AB lÊy D, Trên AC lấy điểm E sao

cho DB = BC = CE. Chứng minh rằng khoảng cách giữa tâm đờng tròn nội tiếp và tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác ABC bằng bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADE

Nguyễn Hồng Quân
FILE WORD LIấN H

3

Trờng THCS Đông Tiến

SMS,ZALO: 0816457443


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi min phớ

/>Trờng Trần Đại Nghĩa - TP HCM
(năm học: 2004- 2005 thời gian: 150 phút
)
2
Câu 1. Cho phơng trình x +px +1 = 0 cã hai nghiƯm ph©n biƯt a 1 , a 2 và

phơng trình x2 +qx +1 = 0 cã hai nghiƯm ph©n biƯt b 1 ,b 2 . Chøng minh: (a 1 - b 1 )(
a 2 - b 1 )( a 1 + b 1 . b 2 +b 2 ) = q2 - p2
C©u 2: cho các số a, b, c, x, y, z thoả m n
x = by +cz
y = ax +cz
z = ax +by ; víi x + y+z ≠ 0
Chøng minh:

1

1
1
+
+
=2
1+ a 1+ b 1+ c

Câu 3: a) Tìm x; y thoả m n 5x2+5y2+8xy+2x-2y+2= 0
b) Cho các số dơng x;y;z thoả m n x3+y3+z3 =1
Chøng minh:

x2
1− x2

+

y2
1− y2

+

z2
1− z2

≥2

C©u 4. Chøng minh rằng không thể có các số nguyên x,y thoả m n phơng
trình: x3-y3 = 1993.

Nguyễn Hồng Quân

FILE WORD LIấN H

4

Trờng THCS Đông Tiến

SMS,ZALO: 0816457443


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi min phớ

/>Chuyên Lê Quý Đôn _ tỉnh Bình Định

(năm học 2005-2006, môn chung, thời gian:150)
Câu 1(1đ):
tính giá trị biểu thức A=

1
1
1
1
với a=
và b=
+
a +1 b +1
2+ 3
2+ 3

Câu 2(1.5đ):
Giải pt: x 2 − 4 x + 4 + x = 8

Câu 3(3đ):
Cho hàm số y=x2 có đồ thị (P) và hai điểm A,B thuộc (P) có hoành độ lần lợt
là -1 và 2.
a) Viết phơng trình đờng thẳng AB.
b) Vẽ đồ thị (P) và tìm toạ độ của điểm M thuộc cung AB của đồ thị (P) sao cho
tam giác MAB có diện tích max.
Câu4(3,5đ):
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) và có trực tâm H. Phân giác trong
của góc A cắt đờng tròn (O) tại M. Kẻ đờng cao Ak của tam giác.Chứng minh:
a) đờng thẳng OM ®i qu trung ®iĨm N cđa BC.
b) c¸c gãc KAM và MAO bằng nhau.
c) AH=2NO.
Câu 5 (1đ):
tính tổng:
S= 1.2 +2.3 + 3.4 + …+n(n+1).

Ngun Hång Qu©n
FILE WORD LIÊN HỆ

5

Tr−êng THCS §«ng TiÕn

SMS,ZALO: 0816457443


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi min phớ

/>Đề thi học sinh giỏi quận tân phú TP.HCM
năm học 2003-2004

Đề thi toán 6 (thời gian 90 phút)
Bài 1. (5,5 điểm)
1) Cho biểu thức. A =

5
n2

a) Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số
b) Tìm các số nguyên n để biểu thức A là số nguyên
2) Tìm x biết:
a) x chia hết cho 12; x chia hÕt cho 25; x chia hÕt cho 30; 0 ≤ x ≤ 500
b) (3x - 24)73 =2.74
c)|x-5| =16+2(-3)
3) B¹n Đức đánh số trang sách bằng các số tự nhiên từ 1 đến 145. Hỏi bạn Đức
đ sử dụng bao nhiêu chữ số? Trong những chữ số đ sử dụng thì có bao nhiêu chữ
số 0?
Bài 2. ( 2 điểm) Cho đoạn thẳng AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, trên
tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho AM = BN. So sánh độ dài các đoạn thẳng BM
và AN.
Bài 3( 2,5 điểm) Cho góc XOY = 1000. Vẽ tia phân giác Oz của góc XOY; VÏ
tia Ot n»m trong gãc XOY sao cho YOT = 250
1) Chøng tá tia OT n»m gi÷a hai tia OZ và OY
2) Tính số đo góc ZOT
3) Chứng tỏ rằng OT là tia phân giác của góc ZOY

Nguyễn Hồng Quân
FILE WORD LIấN H

6

Trờng THCS Đông Tiến

SMS,ZALO: 0816457443


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi min phớ

/>Môn toán 7 (thời gian làm bài 90 phút)

Bài 1. ( 3 ®iĨm)
a) TÝnh
1
1
1
2
2
2
+
−
+
−
2003 2004 2005 − 2002 2003 2004
5
5
5
3
3
3
+

−
+
−
2003 2004 2005 2002 2003 2004

b) BiÕt . 13+ 23+…..+103 = 3025. TÝnh S = 23+43+63+….+203
x 3 − 3x 2 + 0,25 xy 2 − 4
x2 + y
c) Cho A =

Tính giá trị của A biết x = 1/2, y là số nguyên âm lớn nhất
Bài 2. (1 điểm) Tìm x biết : 3x+3x+1+3x+2 = 117
Bài 3. ( 1 điểm) Một con thỏ chạy trên một con đờng mà hai phần ba con
đờng băng qua đồng cỏ và đoạn đờng còn lại đi qua đầm lầy. Thời gian thỏ đi trên
đồng cỏ bằng nửa thời gian đi trên đầm lầy. Hỏi vận tốc của thỏ chạy trên đoạn
đờng qua đầm lầy hay vận tốc của thỏ chạy trên đoạn đờng qua đồng cỏ lớn hơn
và lớn hơn bao nhiêu lần?
Bài 4.( 2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các
tam giác đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của DC và BE. Chøng minh r»ng:
a) ∆ABE = ∆ADC
b) Gãc BMC = 1200
Bµi 5. ( 3 ®iĨm) Cho ba ®iĨm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC
= 9 cm. Tõ H vÏ tia Hx vu«ng gãc với đờng thẳng BC. Lấy A thuộc tia Hx sao cho
HA = 6 cm .
a) Tam gi¸c ABC là tam giác gì? Chứng minh điều đó.
b) Trên tia HC, lấy HD = HA. Từ D vẽ đờng thẳng song song với AH cắt AC
tại E. Chứng minh rằng AE = AB

Nguyễn Hồng Quân
FILE WORD LIấN H

7

Trờng THCS Đông Tiến

SMS,ZALO: 0816457443


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi min phớ

/>
Đề thi học sinh giỏi thĩ x Hà Đông ( 2003-2004)

Toán 7 (120)
Bài 1( 4 điểm) Cho các đa thøc:
f(x) = 2x5 - 4x3 +x2 -2x +2
g(x) = x5 - 2x4 +x2 - 5x +3
h(x) = x4 +4x3 +3x2 -8x + 4

3
16

a)TÝnh M(x) = f(x) -2 g(x) + h(x)
b) Tính giá trị của M(x) khi x = 0,25
c) Có giá trị nào của x để M(x) = 0?
Bài 2. (4 điểm)
a) Tìm 3 số a,b,c biết: 3a=2b,5b=7c, và 3a +5c-7b=60
b) Tìm x biết |2x-3|-x=|2-x|
Bài 3. (4) Tìm giá trị nguyên của m và n để biểu thức
a)P =

2
6m

b) Q =

có giá trị lớn nhất

8n
có giá trị nguyên nhỏ nhất
n3

Bài 4.(5) Cho tam giác ABC có ABBC ngời ta kẻ đờng vuông góc với đờng phân giác trong của góc A đờng này cắt
các đờng thẳng AB, AC lần lợt tại D,E
a) Chứng minh BD=CE
b) TÝnh AD vµ BD theo b,c
Bµi 5. (3) Cho tam giác ABC cân tại A, góc A= 1000.D là một điểm thuộc miền
trong của tam giác ABC sao cho gãc DBC =100, gãc DCB =200. TÝnh gãc ADB?

NguyÔn Hồng Quân
FILE WORD LIấN H

8

Trờng THCS Đông Tiến

SMS,ZALO: 0816457443

Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phí

/>To¸n 8 (150’)

2
2
x+2
 2 − 4 x 3x + 1 − x
−
+
− 3 :
3x
x +1  x +1
 3x

Bµi 1(5) Cho A = 
a) Rót gän A

b) T×m A ®Ĩ x= 6013
c) T×m x ®Ĩ A <0
d) T×m x để A nguyên
Bài 2.(3) Cho A=(x+y+z)3 -x3-y3-z3
a) Rút gọn A
b) Chøng minh A chia hÕt cho 6 víi mäi x,y,z nguyên
Bài 3.( 4) Sau một loạt bắn đạn thật của 3 chiến sĩ Hùng, Dũng, Cờng ( mỗi
ngời bắn một viên), ngời báo bia cho biết có ba điểm khác nhau là 8,9,10 và thông
báo:
a) Hùng đạt điểm 10
b) Dũng không đạt điểm 10
c) Cờng không đạt điểm 9

Đồng thời cho biết trong 3 thông báo trên chỉ có một thông báo là đúng, h y
cho biết kết quả điểm bắn của mỗi ngời.
Bài 4(5) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB= c,AC=b. Lần lợt dựng trên AB,
AC bên ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD tại D, ACE tại E.
a) Chứng minh rằng các điểm E, A, D thẳng hàng
b) Gọi trung điểm của BC là I, chứng minh tam giác DIE vuông
c) Tính diện tích tứ giác BDEC
d) Đờng thẳng EDcắt đờng thẳng CB tại K. Tính các tỉ số sau theo b,c
Bài 5(3) Cho tứ giác ABCD,M là một điểm trên CD( khác C, D)
Chøng minh r»ng MA + MB < Max {CA+CB; DA+DB}( Là giá trị lớn nhất
trong 2 giá trị CA+CB;DA+DB)

Nguyễn Hồng Quân
FILE WORD LIấN H

9

Trờng THCS Đông Tiến

SMS,ZALO: 0816457443


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi min phớ

/>
Đề thi học sinh giỏi quận hoàn kiếm (2003-2004)
Toán 7 (120)
Bài 1( 4) Giải phơng trình
315 x 313 − x 311 − x 309 − x
+

+
+
+4=0
101
103
105
107

Bµi 2(4) Cho các số nguyên dơng x,y,z . Chứng minh rằng:
1<

x
y
z
+
+
<2
x+ y y+z z+x

Bài 3(4) Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình
(2a+5b+1)(2|a|+a2+a+b)=105
Bài 4(3) Ba bạn A,B,C chơi một cỗ bài gồm 3 quân. Trên mỗi quân bài có viết
một số tự nhiên( các số khác nhau và khác 0). Mỗi ngời đợc phát một quân bài và
đợc nhận số kẹo bằng đúng số đ viết trên quân bài ấy. Sau đó các quân bài đợc
thu lại, xáo trộn và phát lại. Sau hơn 2 lần chơi, A nhận đợc 20 cái kẹo, B nhận đợc
10 cái kẹo, C nhận đợc 9 cái kẹo. Hỏi số đ ghi trên mỗi quân bài? Biết số lớn nhất
đợc viết trên các quân bài lớn hơn 9.
Bài 5(5) Cho tam giác ABC cân tại A, góc A= góc C= 800 . Từ B và C kẻ các
đờng thẳng cắt các cạnh tơng ứng ở Dvà E sao cho gãc CBD = 600 vµ gãc BCE
=500 TÝnh góc BDE

Nguyễn Hồng Quân
FILE WORD LIấN H

10

Trờng THCS Đông Tiến

SMS,ZALO: 0816457443


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi min phớ

/>Toán 8( 120 phút)
Bài 1(4)

Giải phơng trình:
1
1
1
1
1
1
+
+ .... +
+
+ ...... +
x =

10.110

1.11 2.12
100.110
1.101 2.102

Bài 2(4)
Tìm x để hàm số y= x/(x+2004)2 có giá trị lớn nhất
Bài 3( 4)
Cho phơng trình
a + 3 5 3a
ax + 3
−
= 2
x +1 x − 2 x − x 2

Với giá trị nào của a thì phơng trình có nghiệm không nhỏ hơn 1?
Bài 4(4)
Từ điểm O thuộc miền trong của hình thang cân ABCD( AB=CD) nối các đỉnh
của hình thang đợc 4 đoạn thẳng OA,OB,OC,OD. Chứng minh rằng từ 4 đoạn thẳng
nhận đợc, có thể dựng đợc một tứ giác nội tiếp hình thang này( mỗi đỉnh của tứ
giác nằm trên một cạnh của hình thang cân)
Bài 5(4)
Cho tam gi¸c ABC cã AB= c, BC=a,CA=b. Gäi I b ,I c theo thứ tự là độ dài cảu
các đờng phân giác của góc B và góc C. Chứng minh r»ng nÕu b>c th× I b
Ngun Hång Quân
FILE WORD LIấN H

11

Trờng THCS Đông Tiến

SMS,ZALO: 0816457443


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi min phớ

/>Đề thi vào chuyên 10( Hải Dơng)

thời gian: 150
Bài 1(3) Giải phơng trình:
1) |x2+2x-3|+|x2-3x+2|=27
2)

1
1
1

=
2
20
x( x 2) ( x 1)

Bài 2(1) Cho 3 số thực dơng a,b,c và ab>c; a3+b3=c3+1. Chøng minh r»ng
a+b> c+1
Bµi 3(2) Cho a,b,c,x,y lµ các số thực thoả m n các đẳng thức sau: x+y=a,
x3+y3=b3,x5+y5=c5. Tìm đẳng thức liên hệ giữa a,b,c không phụ thuộc x,y.
Bài 4(1,5) Chứng minh rằng phơng trình (n+1)x2+2x-n(n+2)(n+3)=0 có
nghiệm là số hữu tỉ với mọi số nguyên n
Bài 5(2,5) Cho đờng tròn tâm O và dây AB( AB không đi qua O). M là điểm
trên đờng tròn sao cho tam giác AMB là tam giác nhọn, đờng phân giác của góc

MAB và góc MBA cắt đờng tròn tâm O lần lợt tại P và Q. Gọi I là giao điểm của
AP và BQ
1) Chứng minh rằng MI vuông góc với PQ
2) Chứng minh tiếp tuyến chung của đờng tròn tâm P tiếp xúc với MB và
đờng tròn tâm Q tiếp xúc với MA luôn song song với một đờng thẳng cố định khi
M thay đổi.

Nguyễn Hồng Quân
FILE WORD LIấN H

12

Trờng THCS Đông Tiến

SMS,ZALO: 0816457443


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi min phớ

/>*Chuyên tỉnh Bà Địa Vũng Tàu. (2004-2005)
thời gian:150 phút

Bài 1:
1/iải phơng trình:
5 x+

5
2 x

= 2x +

1
+4
2x

2/chứng minh không tồn tại các số nguyên x,y,z thoả m n:
x3+y3+z3 =x +y+z+2005
Bài 2:
Cho hệ phơng trình:
x2 +xy = a(y 1)
y2 +xy = a(x-1)
1/ giải hệ khi a= -1
2/ tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất
Bài 3:
1/ cho x,y,z là 3 số thực thoả m n x2+ y2+z2 =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A
=2xy +yz+ zx.
2/ Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
x4 2x3 +2(m+1)x2 (2m+1)x +m(m+1) =0
Bài 4:
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) , D là một điểm trên cung BC không
chứa đỉnh A. Gọi I,K và H lần lợt là hình chiếu cuả D trên các đờng thẳng
BC,AB,và AC. Đờng thẳng qua D song song với BC cắt đờng tròn tại N ( N# D);
AN cắt BC tại M. Chứng minh:
1/Tam giác DKI đồng dạng với tam giác BAM.
2/

BC AB AC
=
+
DI DK DH

Ngun Hång Qu©n
FILE WORD LIÊN HỆ

13

Tr−êng THCS Đông Tiến

SMS,ZALO: 0816457443


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi min phớ

/>*Chuyên toán- tin tỉnh Thái Bình (2005-2006,150 phút)

Bài 1 (3đ):
1. Giải pt: x + 1 3x = 2 x 1
2. Trong hệ trục toạ độ Oxy h y tìm trên đờng thẳng y= 2x +1 những điểm
M(x;y) thoả m n điều kiện: y2 5y x +6x = 0.
Bài 2(2,5đ):
1. Cho pt: (m+1)x2 (m-1)x +m+3 = 0 (m là tham số)
tìm tất cả các giá trị của m dể pt có nghiệm đều là những số nguyên.
2. Cho ba số x,y,z . Đặt a= x +y +z, b= xy +yz + zx, c= xyz. Chøng minh các
phơng trình sau đều có nghiệm:
t2 + 2at +3b =0; at2 2bt + 3c =0
Bài 3(3đ)
Cho tam giác ABC.
1. Gọi M là trung điểm của AC. Cho biết BM = AC. Gọi D là điểm đối xứng
của B qua A, E là điểm đối xứng của M qua C. chứng minh: DM vuông góc với BE.
2. Lấy một điểm O bÊt kú n»m trong tam gi¸c ABC. C¸c tia AO,BO,CO cắt các

cạnh BC,CA,AB theo thứ tự tại các điểm D,E,F. chøng minh:
a)

OD OE OF
+
+
=1
AD BE CF

AD 
BE  CF 
b) 1 +
 ≥ 64
1 +
1 +


OD 

OE 

OF 

Bµi 4(0.75đ)
xét các đa thức P(x)= x3+ ax2 +bx +c
Q(x)=x2 +x + 2005
Biết phơng trình P(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt, còn pt P(Q(x)) =0 vô nghiệm.
Chứng minh rằng P(2005)>1/64
Bài 5 (0,75đ)
Có hay không 2005 điểm phân biệt trên mặt phẳng mà bất kỳ ba điểm nào

trong chúng đều tạo thành một tam giác có góc tù.

Nguyễn Hồng Quân
FILE WORD LIấN H

14

Trờng THCS Đông Tiến

SMS,ZALO: 0816457443


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi min phớ

/>Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Hải Dơng. (2004-2005)

thời gian :150
Bài 1: (3đ)
Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y= (m+2)x2

(*)

1/ tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm:
a) A(-1;3),

b) B( 2 ; -1),

c) C(1/2; 5)

2/ thay m=0. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (*) với đồ thị hàm số

y= x+1.

Bài 2: (3đ)
Cho hệ phơng trình:
(m-1)x + y = m
x + (m-1)y =2
gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x;y).
1/ Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
2/ Tìm giá trị của m thoả m n 2x2 -7y =1
3/ Tìm các giá trị của m để biểu thức

2x 3y
nhận giá trị nguyên.
x+ y

Bài 3 (3đ)
Cho tam giác ABC ( A = 90 0 ). Từ B dựng đoạn thẳng BD về phía ngoài tam giác
ABC sao cho BC=BD và AB C = CB D ; gọi I là trung điểm của CD; AI cắt BC t¹i E.
Chøng minh:
1. CAˆ I = DBˆ I
2. ABE là tam giác cân.
3. AB.CD = BC.AE
Bài 4: (1đ)
tính giá trÞ biĨu thøc A=

x 5 − 4 x 3 − 3x + 9
x4

Ngun Hång Qu©n

FILE WORD LIÊN HỆ

+ 3 x 2 + 11

15

với

x
1
=
x + x +1 4
2

Trờng THCS Đông Tiến

SMS,ZALO: 0816457443


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi min phớ
*Trờng Chu Văn An và HN AMSTERDAM(2005 2006)

/>
(dành cho chuyên Toán và chuyên Tin; thời gian :150)
Bài 1: (2đ)
Cho P = (a+b)(b+c)(c+a) abc với a,b,c là các số nguyên. Chứng minh nếu a +b +c chia hết
cho 4 thì P chia hết cho 4.
Bài 2(2đ)
Cho hệ phơng trình:
(x+y)4 +13 = 6x2y2 + m

xy(x2+y2)=m
1. Giaỉ hệ với m= -10.
2. Chứng minh không tồn tại giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất./
Bài 3 (2đ):
Ba số dơng x, y,z thoả m n hệ thức

1 2 3
+ + = 6 , xÐt biÓu thøc P = x + y2+ z3
x y z

1. Chøng minh P x+2y+3z-3
2.Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 4 (3đ):
Cho tam giác ABC, lấy 3 điểm D,E,F theo thứ tự trên các cạnh BC,CA,AB sao cho AEDF là tứ
giác nội tiếp. Trên tia AD lấy điểm P (D nằm giữa A&P) sao cho DA.DP = DB.DC
1. chøng minh tø gi¸c ABPC nội tiếp và 2 tam giác DEF, PCB đồng dạng.
s ' EF
2. gọi S và S lần lợt là diện tích của hai tam giác ABC & DEF, chứng minh:

s 2 AD

2

Bài 5(1đ)
Cho hình vuông ABCD và 2005 đờng thẳng thoả m n đồng thời hai điều kiện:
ã Mỗi đờng thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông.
ã Mỗi đờng thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỷ số diện tích là 0.5

Chứng minh trong 2005 đờng thẳng trên có ít nhất 502 đờng thẳng đồng quy.

Nguyễn Hồng Quân
FILE WORD LIấN H

16

Trờng THCS Đông Tiến

SMS,ZALO: 0816457443


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi min phớ

/>Đề thi HS giỏi TP Hải Phòng (2004-2005)

(toán 9 bảng B thời gian: 150)
Bài 1
a) Rút gọn biểu thức:
P=

x 2y 2
( x y) 2
+
xy
x y

b)Giải phơng tr×nh:

 x2
−
.

 x


y 2 
y 


((5 − 2 6 )

x

+

((5 + 2 6 )

x

= 10

Bài 2
a) Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phơng trình
bậc hai: (m-2)x2 -2(m-1)x +m =0. H y xác định giá trị của m để số đo đờng cao
ứng với cạnh huyền của tam gíac là

2
5

b) Tìm Max & Min cđa biĨu thøc y=

4x + 3

x2 +1

Bµi 3
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, có góc C=450. Đuờng tròn đờng
kính AB cắt các cạnh AC & BC lần lợt ở M& N
a> chứng minh MN vuông gãc víi OC
b> chøng minh 2 .MN = AB
Bµi 4:
Cho hình thoi ABCD có góc B= 600. Một đờng thẳng qua D không cắt hình
thoi, nhng cắt các đờng thẳng AB,BC lần lợt tại E&F. Gọi M là giao của AF &
CE. Chứng minh rằng đờng thẳng AD tiếp xúc với đờng tròn ngoại tiếp tam giác
MDF.

Nguyễn Hồng Quân
FILE WORD LIấN H

17

Trờng THCS Đông Tiến

SMS,ZALO: 0816457443


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi min phớ

/>*Trờng Chu Văn An & HN AMSTERDAM ( 2005-2006)

(dành cho mọi đối tợng , thời gian: 150)
Bài 1(2đ): Cho biÓu thøc P=

x x −1
x− x

−

x x +1
x+ x

+

x +1
x

1.Rút gọn P
2. Tìm x biết P= 9/2
Bài 2(2đ): Cho bất phơng trình: 3(m-1)x +1 > 2m+x (m là tham số).
1. Giải bpt với m= 1- 2 2
2. Tìm m để bpt nhận mọi giá trị x >1 là nghiệm.
Bài 3(2đ):
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d):2x – y –a2 = 0 vµ parabol
(P):y= ax2 (a lµ tham số dơng).
1. Tìm a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A&B. Chứng minh rằng khi đó
A&B nằm bên phải trục tung.
2. Gọi xA&xB là hoành độ
T=

của A&B, tìm giá trị Min của biểu thức

4
1

+
x A + xB x A + xB

Bài 4(3đ):
Đờng tròn tâm O có dây cung AB cố định và I là điểm chính giữa của cung lớn
AB. Lấy điểm M bất kỳ trên cung lớn AB, dựng tia Ax vuông góc với đờng thẳng
MI tại H và cắt tia BM tại C.
1. Chứng minh các tam giác AIB & AMC là tam gíac cân
2. Khi điểm M di động, chứng minh điểm C di chuyển trên một cung tròn cố
định.
3. Xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác AMC đạt Max.
Bài 5(1đ):
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC vµ trung tuyÕn AM, gãc ACB
= α ,gãc AMB = β . Chøng minh r»ng: (sin α +cos α )2= 1+ sin β

Ngun Hång Qu©n
FILE WORD LIÊN H

18

Trờng THCS Đông Tiến

SMS,ZALO: 0816457443


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi min phớ

/>Hồ Chí Minh năm học 2004-2005, lớp 7 (thời gian:90)

Bài 1(3đ): Tính:

3
1
1 1
1
3.  + 1 − 

 3    3
  3 

a) 6.

b) (63+3.62 + 33) :13
c)

9
1
1
1
1
1
1
1 1 1
−
−
−
−
−
−

− − −
10 90 72 56 42 30 20 12 6 2

Bài 2(3đ):
a) Cho

a b c
= = và a+b+c #0, a= 2005. TÝnh b,c.
b c a

b) Chøng minh r»ng tõ tû lÖ thøc

a+b c+d
a c
=
#1 ta cã tû lÖ thøc = .
ab cd
b d

Bài 3(4đ):
Độ dài ba cạnh của tam giác tỉ lệ vớ 2;3;4. Ba chiểu cao tơng ứng với ba cạnh
đó tỉ lệ với ba số nào?
bài 4(3đ):
Vẽ đồ thị các hàm số:

2x với x 0
y=

x với x<0

Bài 5(3đ):
Chứng tỏ rằng: A = 75(42004 + 42003 +..+42 +4 +1) +25 là số chia hết cho 100.
Bài 6(4đ):
Cho tam giác ABC có góc A = 600. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D, tia
phân giác của góc C cắt AB tại E. Các tia phân giác đó cắt nhau tại I. Chứng minh ID
= IE.

Nguyễn Hồng Quân
FILE WORD LIấN H

19

Trờng THCS Đông Tiến

SMS,ZALO: 0816457443


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi min phớ

/>Thi học sinh giỏi TP Hải Phòng (2004-2005)

(Toán 9 bảng A- thời gian:150)
Bài 1:
a. Rút gọn biểu thức: P =
b. Giải phơng trình:

( x y )2

x2 y2
+

xy
2+ x

2 + 2+ x

x− y
+

 x2
−
.
 x


2− x
2 − 2− x

y 2
y


= 2

Bài 2:
a. ( đề nh ở bảng B)
b. Vẽ các đờng thẳng x=6, x=42, y=2, y=17 trên cùng một hệ trục toạ độ.
Chứng minh rằng trong hình chữ nhật giới hạn bơỉ các đờng thẳng trên không có
điểm nguyên nào thuộc đờng thẳng 3x + 5y = 7.
Bài 3:
Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối diện AD cắt BC tại E & AB cắt CD tại F,

Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp đợc đờng tròn là:
EA.ED + FA.FB = EF2.
Bài 4:
Cho tam giác ABC cân ở A, AB =(2/3).BC, đờng cao AE. Đờng tròn tâm O
nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC tại F.
a. chứng minh rằng BF là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ECF.
b. Gọi M là giao điểm của BF với (O). Chứng minh: BMOC là tứ giác nội tiếp.

Nguyễn Hồng Quân
FILE WORD LIấN H

20

Trờng THCS Đông Tiến

SMS,ZALO: 0816457443


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phí

/>Thi häc sinh giái tØnh H D−¬ng (2004-2005)

( líp 9, thời gian: 150)
Bài 1(3,5đ):
1. Gọi x1, x2 la nghiệm của phơng trình x2 + 2004x + 1 = 0 và x3, x4 là nghiệm
của phơng trình x2 + 2005 x +1 =0. Tính giá trị của biểu thức: ( x1+x3)(x2+x3)(x1x4)(x2-x4).
2. Cho a,b,c là các số thực và a2 + b2 < 1. Chứng minh:phơng trình (a2+b2-1)x2 2(ac + bd -1)x +c2+d2 -1 =0 luôn có nghiệm.
Bài 2 (1,5đ):
m +1 n +1
+

là số nguyên. chứng minh rằng:
n
m
ớc chung lớn nhất của m và n không lớn hơn m = n

Cho hai số tự nhiên m và n thoả m n

Bài 3 (3đ):
Cho hai đờng tròn (O1), (O2) cắt nhau tại A & B. Tiếp tuyến chung gần B của
hai đờng tròn lần lợt tiếp xúc với (O1), (O2) tại C & D. Qua A kẻ đờng thẳng
song song với CD, lần lợt cắt (O1), (O2) tại M & N. Các đờng thẳng BC,BD lần
lợt cắt đờng thẳng MN tại P & Q; các đòng thẳng CM, DN cắt nhau tại E. Chứng
minh:
a Đờng thẳng AE vuông góc với đờng thẳng CD.
b. Tam giác EPQ là tam giác cân.
Bài 4 (2đ):
Giải hệ phơng trình:

x+y = 1
x5 + y5 =11

Nguyễn Hồng Quân
FILE WORD LIấN H

21

Trờng THCS Đông Tiến

SMS,ZALO: 0816457443

Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi min phớ

/>Thi học sinh giỏi toán 6 (thời gian 90)

Bài 1(4đ):
Tính giá trị biểu thức:
a. A= 1 + (-2) + 3 + (-4) + ….+2003 +(-2004) + 2005.
b. B = 1 -7 + 13 – 19 + 25 – 31 +..(B có 2005 số hạng).
Bài 2 (4đ):
a. chứng minh: C = (2004+20042+20043 ++200410) chia hết cho 2005
Bài 3(4đ):
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 3 d− 1; chia cho 4 d− 2; chia
cho 5 d− 3; chia cho 6 d− 4 vµ chia hÕt cho 13.
Bài4(2đ):
Tìm hai số a, b biết hiệu của chúng bằng 7 vµ BCNN cđa a vµ b lµ 140.
Bµi 5 (2đ):
Tìm x là số nguyên biết: x-5 + x 5 = 0
Bài 6 (4đ):
Cho đoạn thẳng AB = 7cm; ®iĨm C n»m gi÷a A & B sao cho AC = 2cm; các
điểm D,E theo thứ tự là trung điểm cđa AC vµ CB. Gäi I lµ trung diĨm cđa DE. Tính
độ dài của DE, CI.

Nguyễn Hồng Quân
FILE WORD LIấN H

22

Trờng THCS Đông Tiến

SMS,ZALO: 0816457443


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi min phớ

/>
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 (năm học 2003-2004)
ã Tỉnh Vĩnh Phúc (150phút)
Câu 1: (3đ) Cho hệ pt víi tham sè a:

x+4y = x
y + x − a =1

a. giải hệ pt khi a=-2
b. tìm các giá trị cđa tham sè a ®Ĩ hƯ pt cã ®óng hai nghiệm
Câu 2(2đ):
a. cho x,y,z là các số thực không âm thoả m n x=y=z = 1. Tìm giá trị max của
biểu thức: A= -z2+z(y+1) +xy
b.Cho tứ giác ABCD (cạnh AB,CD có cùng độ dài) nội tiếp đờng tròn bán kính
1. Chứng minh: nếu tứ giác ABCD ngoại tiếp đờng tròn bán kính r thì r

2
.
2

Câu 3(2đ):
Tim tất cả các số nguyên dơng n sao cho phơng trình:
499(1997n +1) = x2 +x có nghiệm nguyên.
Câu 4 (3đ):
Cho tam giác ABC vuông tại C. đờng tròn (O) đờng kính CD cắt AC & BC tại

E & F( D là hình chiếu vuông góc của C lên AB). Gọi M là giao ®iĨm thø hai cđa
®−êng th¼ng BE víi (O), hai ®−êng thẳng AC, MF cắt nhau tạiK, giao điểm của
đờng thẳng EF và BK là P.
a. chứng minh bốn điểm B,M,F,P cùng thuộc một đờng tròn.
b. giả sử ba điểm D,M,P thẳng hàng. tính số đo góc của tam giác ABC.
c. giả sử ba điểm D,M,P thẳng hàng, gọi O là trung điểm của đoạn CD. Chứng
minh rằng CM vuông góc với đờng thẳng nối tâm đơng tròn ngoại tiếp tam giác
MEO với tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MFP.

Nguyễn Hồng Quân
FILE WORD LIấN H

23

Trờng THCS Đông Tiến

SMS,ZALO: 0816457443


Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi min phớ

/>
ã Tỉnh Haỉ Dơng (150 phút)
Bài 1(2.5đ):
Giải pt: xy − x − y + a + x 2 y 2 + x 2 y + xy 2 + xy − 4b = 0 víi
a=

(

57 + 3 6 + 38 + 6

)(

57 − 3 6 − 38 + 6

)

b= 17 − 12 2 + 3 − 2 2 + 3 + 2 2
Bài 2(2.5đ)
Hai phơng trình: x2+ (a-1)x +1 =0; x2 + x + c =0 cã nghiƯm chung, ®ång thêi
hai pt: x2 + x +a -1= 0; x2 +cx +b +1 =0 cũng có nghiệm chung.
Tính giá trị biểu thức (2004a)/ (b +c).
Bài 3(3đ):
Cho hai đờng tròn tâm O1, O2 cắt nhau tại A,B. Đờng thẳng O1A cắt (O2) tại
D, đờng thẳng O2A cắt (O1) tại C.
Qua A kẻ đờng thẳng song song với CD căt (O1) tại M và (O2) tại N. Chứng
minh rằng:
1. Năm điểm B,C,D,O1,O2 nằm trên một đờng tròn.
2. BC+BD = MN.
Bài 4(2đ)
Tìm các số thùc x, y tho¶ m n x2 +y2 = 3 và x+y là số nguyên.

Nguyễn Hồng Quân
FILE WORD LIấN H

24

Trờng THCS Đông Tiến

SMS,ZALO: 0816457443

Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi min phớ

/>
ã Tỉnh Bình Thuận (150 phút)
Bài 1(6đ):
1. Chứng minh r»ng: A =

2 3 + 5 − 13 + 48
6+ 2

là số nguyên.

2. Tìm tất cả các số tự nhiên cã 3 ch÷ sè abc sao cho:
abc = n2 – 1
cba =(n-2)2

Baì 2(6đ)
1. Giải pt: x3 + 2x2 + 2 2 x +2 2 =0
2. Cho Parabol (P): y=(1/4)x2 vµ đờng thẳng (d): y= (1/2)x +2.
a) Vẽ (P), (d) trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy.
b) Gọi A,B là giao điểm của (P),(d). Tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho
diện tích tam giác MAB max.
c) tìm điểm N trên trục hoành sao cho NA+NB ngắn nhất.
Bài 3(8đ):
1. Cho đờng tròn tâm O và dây cung BC không đi qua O. Một điểm A chuyển
động trên đờng tròn (A#B,C). gọi M là trung điểm đoạn AC, H là chân đờng
vuông góc hạ từ M xuống đờng thẳng AB. Chứng tỏ rằng H nằm trên một đờng
tròn cố định.

2. Cho 2 đờng tròn (O,R) và (O,R) (R>R), cắt nhau tại A,B. Tia OA căt (O)
tại D; tia BD cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD tại E. So sánh độ dài các đoạn
BC & BE.

Nguyễn Hồng Quân
FILE WORD LIấN H

25

Trờng THCS Đông Tiến

SMS,ZALO: 0816457443