THỂ LỒI TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẶNG THỊ NHƯ Ý

THỂ LỒI TRONG KHÔNG GIAN HỮU
HẠN CHIỀU

Chun ngành: Tốn Giải Tích
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học
PGS.TS. HUỲNH THẾ PHÙNG

Huế, năm 2013
i


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu
của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu
nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng
tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được
công bố trong bất kỳ một cơng trình nào khác.
Tác giả

ii

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học...............
. .................
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn ............................... để hồn thành
cơng việc học tập, nghiên cứu của mình.
Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn ..........................
Trân trọng và chân thành cảm ơn!

Tác giả

iii


Mục lục
Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

1

Lời nói đầu

2

Chương 1

Mặt cực tiểu trong Rn

3

1.1

Mặt chính qui trong R3 và Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Dạng cơ bản thứ nhất, dạng cơ bản thứ hai, vector độ cong trung
bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Mặt cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3

Chương 2

Bất đẳng thức đẳng chu trong không gian Euclid

4

2.1

Bất đẳng thức đẳng chu trong mặt phẳng Euclid

. . . . . . . .

4

2.2

Bất đẳng thức đẳng chu kiểu Bonnesen . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2.1
2.3

Bất đẳng thức đẳng chu kiểu Bonnesen đối với các miền
phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Bất đẳng thức đẳng chu trong không gian nhiều chiều . . . . . .

6

Chương 3

Bất đẳng thức đẳng chu của các mặt cực tiểu

7

3.1

Bất đẳng thức đẳng chu của các mặt cực tiểu . . . . . . . . . .

7

3.2

Phương pháp nón chứng minh bất đẳng thức đẳng chu . . . . .

7

3.3

Phương pháp dạng cỡ chứng minh bất đẳng thức đẳng chu . . .

10

3.4

Bất đẳng thức đẳng chu yếu của các mặt cực tiểu . . . . . . . .

11

Kết luận

12

Tài liệu tham khảo

13

1


LỜI NĨI ĐẦU
Dựa trên những thơng tin đó, hướng nghiên cứu của luận văn là nghiên
cứu một số đặc trưng về thể lồi, các bất đẳng thức về thể tích của tập lồi do
đó luận văn chia làm ba chương.
Chương 1: Nhắc lại một số khái niệm liên quan đến khơng gian Euclide
hữu hạn chiều, thể tích của tập lồi và giới thiệu khái niệm về thể lồi.
Chương 2: Giới thiệu định lí Fritz John và một số trường hợp đặc biệt.
Chương 3: Giới thiệu một số kết quả mở rộng và ứng dụng của định lí Fritz
John.

2


Chương 1
MẶT CỰC TIỂU TRONG Rn

1.1

Mặt chính qui trong R3 và Rn

• Điều kiện (i) t............các đạo hàm riêng liên tục.
• Điều kiện (ii) .............tục và X −1 liên tục. Điều kiện này nhằm đảm bảo
mặt S không tự cắt và X −1 liên tục cũng nhằm tránh những khó khăn về
mặt kĩ thuật.
• Điều kiện (iii) ............ tại mọi điểm p ∈ S. Điều kiện này tương đương với
một trong các điều kiện sau đây tại mọi điểm p ∈ S.
1.

∂X
∂u1

và

∂X
∂u2

là 2 vectơ độc lập.

2. Ma trận Jacobi của M được tạo thành bởi 2 vectơ cột
hạng bằng 2.
3. ∃i, j : 0 ≤ i < j ≤ n sao cho
4.

∂X
∂u1

∧

∂X
∂u2

∂(Xi ,Xj )
∂(u1 ,u2 )

∂X
∂u1

và

∂X
∂u2

có

= 0.

= 0.

5. det G > 0, trong đó G = (gij ) với gij =

∂X ∂X
.
∂ui ∂uj

1.2

Dạng cơ bản thứ nhất, dạng cơ bản thứ hai, vector độ cong

trung bình

1.3

Mặt cực tiểu

3


Chương 2
BẤT ĐẲNG THỨC ĐẲNG CHU
TRONG KHÔNG GIAN EUCLID

Ở đây ta xé.ếp xúc của miền để thu được miền lồi có cùng chu vi với miền
đã cho nhưng diện tích thì lớn hơn.
Ở trên, ta .
Năm 1920, Bonnesen đã chứng minh chuỗi các bất đẳng thức mạnh hơn
bất đẳng thức đẳng chu cổ điển ở trên, mà ta gọi là bất đẳng thức đẳng chu
kiểu Bonnesen, nó có dạng
L2 − 4πA ≥ B,
2.1

Bất đẳng thức đẳng chu trong mặt phẳng Euclid

Trong phần này chúng ta sẽ phát biểu và giới thiệu một số chứng minh về
bất đẳng thức đẳng chu trong mặt phẳng Euclid (xem [1], [2]).
Chứng minh. Gọi E, E là hai đường thẳng song song không cắt C. Di chuyển
chúng theo hướng sao cho chúng tiếp xúc với C (chúng vẫn song song). Ta thu
được hai tiếp tuyến song song của C là T và T .
Xét đường tròn......................................

α(s) = (x(s), y(s)) = (x(s), y(s)), s ∈ [0, L].
Gọi 2r là khoảng cách giữa T và T , A là diện tích miền bao bởi S 1 . Ta có
L

A=

xy ds,
0

và

L

A = πr2 = −

yx ds.
0

4


Suy ra
L
2

L

(xy − yx )2 ds

(xy − yx )ds ≤

A + πr =
0

0
L

(x2 + y 2 )((x )2 + (y )2 )ds

≤
0
L

(2.1.1)

L

(x2 + y 2 )ds =

=

rds = Lr.
0

0

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy và (2.1.1) ta có
√ √
1
1

A πr2 ≤ (A + πr2 ) ≤ Lr,
2
2

(2.1.2)

hay
L2 − 4πA ≥ 0.

(2.1.3)

Đẳng thức xảy ra .......................
(xy − yx )2 = (x2 + y 2 )((x )2 + (y )2 ),
hay
xx + yy = 0,
suy ra
(x2 + y 2 )
y
x
=− =±
= ±r,
y
x
(x )2 + (y )2
hay
x = ±ry .
Do r không phụ thuộc phương của T nên ta có thể hốn đổi vị trí của x và y
và thu được kết quả tương tự y = ±rx . Suy ra
x2 + y 2 = r2 ((x )2 + (y )2 ) = r2 .
Vậy C là một đường tròn. Điều ngược lại, C là đường trịn thì ta ln có đẳng

thức L2 = 4πA.
2.2

Bất đẳng thức đẳng chu kiểu Bonnesen
Năm 1920, Bonnesen .

1. B không âm;
2. B chỉ triệt tiêu khi C là một đường tròn;
5


3. B có ý nghĩa hình học.
Các bất đẳng thức như vậy được gọi là bất đẳng thức đẳng chu kiểu Bonnesen
(xem [10]).
Ta nhận..............................C là một đường trịn. Và tính chất 3 có tác dụng
đưa ra số đo về độ lệch của đường cong so với đường tròn.
Sau đây ta giới thiệu một số kết quả mà Bonnesen đã tìm ra đối với các
miền phẳng và các miền trên các mặt.
2.2.1

Bất đẳng thức đẳng chu kiểu Bonnesen đối với các miền phẳng

Chú ý rằ.............................g tròn nằm trong D ∪ C lại được xác định và
đó là bán kính trong của D.
2.3

Bất đẳng thức đẳng chu trong không gian nhiều chiều

Trong Rn , ta kí hiệu độ đo Lebesgue tiêu chuẩn là dvn (x). Khi xét một
miền Ω có biên thuộc lớp C 1 , ta kí hiệu độ đo Lebesgue trên Ω là dV và độ đo

diện tích mặt trên ∂Ω là dA. Khi n = 2 ta thay dA bởi dL và dV bởi dA. Hệ
tọa độ t......................... [1]).

6


Chương 3
BẤT ĐẲNG THỨC ĐẲNG CHU
CỦA CÁC MẶT CỰC TIỂU

3.1

Bất đẳng thức đẳng chu của các mặt cực tiểu

Như một sự.......................c tiểu, compact, k-chiều M ⊂ Rn đều thoả bất
đẳng thức:
Xét mặ............................ta có kết quả:
4πA ≤ 4π(A1 + · · · + An ) ≤ L21 + · · · + L2n ≤ L2 .
Như vậy, công thức (??) đúng đối với bất kì mặt cực tiểu diện tích nào trong
Rn . Nhưng mặt cực tiểu có thể khơng cực tiểu diện tích, trong khi bài tốn mở
của chúng ta được phát biểu đối với mặt cực tiểu bất kì. ................................
Ý tưởng chính của Li, Schoen và Yau khi đưa ra khái niệm mới này là nếu ∂S
liên thông yếu thì ta có thể t................................
Định lý 3.1.1. Nếu S là mặt cực tiểu trong Rn với biên ∂S liên thông yếu thì
S thoả mãn bất đẳng thức đẳng chu 4πA ≤ L2 .
Áp dụng ........................
3.2

Phương pháp nón chứng minh bất đẳng thức đẳng chu

Điều này cho ta thấy có sự so sánh giữa diện tích của S và diện tích của
p×
×∂S. Mà p ×
×∂S là dẹt nên nó có thể được trải ra một cách địa phương trên
một miền phẳng như sau (xem [4])
Nếu................................
Bổ đề 3.2.1 (Xem [4]). 1. Hàm log r là hàm điều hoà dưới trên mặt cực tiểu
S trong Rn . Cụ thể hơn, ta có bất đẳng thức
1
2π

log r ≥ δp ,

(3.2.1)

với δp là hàm Dirac delta với tính kì dị tại p.
2. Trên một đa tạp con cực tiểu m-chiều N ⊂ Rn , m ≥ 3 ta có
r2−m ≤ mωm δp .
7

(3.2.2)


trong đó bất đ................................. vì vậy chúng ta có thể thu được miền
D ⊂ R2 như trên và từ đó ta suy ra bất đẳng thức đẳng chu đối với S. Chi tiết
được thể hiện trong nội dung định lí ?? dưới đây. Trước hết ta nhắc lại định
nghĩa liên thơng tỏa trịn từ một điểm theo Jaigyoung Choe.
Định nghĩa 3.2.1. Một tập Γ ⊂ Rn được gọi là liên thơng tỏa trịn từ một
điểm p ∈ Rn nếu tập I = {r : r = dist(p, q), q ∈ Γ} là một khoảng liên thông.
Chứng minh. Cho đường cong khơng đóng Λ bất kì trong Rn và một điểm

p ∈ Rn , khi đó nón p ×
×Λ dẹt nên có thể trải Λ lên một đường cong phẳng
Λ trong một 2−phẳng Π chứa p bảo toàn khoảng cách từ p và góc nhìn từ p.
Đồng thời, việc trải ra này cũng bảo toàn độ dài cung của Λ và Λ và bảo tồn
diện tích của p ×
×Λ và p ×
×Λ. Hơn nữa, ta có thể trải Λ sao cho qua một sự
tham số hóa thích hợp của Λ thì Λ quay quanh p theo chiều ngược kim đồng
hồ (không lùi lại) tại tất cả các điểm thuộc Λ trừ một tập hợp điểm mà tại đó
Λ là một tập con của tập các tia xuất phát từ p (có thể là tập ∅).
Với mỗi đường cong đóng Ci ta chọn một điểm qi ∈ Ci sao cho dist(p, qi ) =
dist(p, Ci ), sau đó trải đường cong khơng đóng Ci \ {qi } lên một đường cong Ci
trong một 2-phẳng Π chứa điểm p như trên. Từ giả thiết ta có dist(p, Ci ) > 0, ∀i.
Thật vậy, gọi qi1 và qi2 là hai đầu mút của Ci . Vì Ci đóng nên ta có
dist(p, qi1 ) = dist(p, qi2 ) = dist(p, Ci ).

(3.2.3)

Khơng mất tính tổng quát ta có thể giả sử
dist(p, qi0 ) ≤ dist(p, qi1 ) ≤ · · · ≤ dist(p, qim ).
Do C liên thơng tỏa trịn từ p nên với mỗi i, 1 ≤ i ≤ m, tồn tại một điểm
qi3 ∈ Ck(i) , k(i) ∈ {0, · · · , i − 1} sao cho ......................... Chú ý rằng khi Ci (θ)
là một đoạn thẳng với giá trị nào đó của θ thì cách xây dựng trên cũng được
xác định.
Tương tự, gọi C2 (θ) là một tham số hóa của C2 bởi góc θ, với a2 ≤ θ ≤ b2 .
Do C liên thơng tỏa trịn từ p nên tồn tại x2 ∈ [a0 , b0 + b1 − a1 ] sao cho
dist(p, C 1 (x2 )) = dist(p, q2 ).

(3.2.4)

2

(bi − ai )] → Π xác định

Ta lại dựng được một đường cong C 2 (θ) : [a0 , b0 +
i=1

như sau ]
Angle(C m , p) ≥ 2π.
Do đó áp dụng bổ đề ?? ta suy ra điều phải chứng minh của định lí ??.
Từ định lí ?? và bổ đề ?? ta suy ra hệ quả sau
8


Hệ quả 3.2.2. Nếu C là hợp của các đường cong đóng trong Rn và liên thơng
tỏa trịn từ một điểm p ∈ C thì ta có bất đẳng thức
4πA(p ×
×C) ≤ L(C)2 .
Một số ghi chú và các bài tốn mở
• Đối ngẫu với liên thơng tỏa trịn là liên thông cầu. Tập X ⊂ Rn được gọi
là liên thông cầu từ p nếu ảnh của X qua phép chiếu tâm của Rn \ {p},
từ p lên mặt cầu Sn−1 là liên thơng.
• Cả phương pháp trải một mặt nón lên một miền phẳng và phương pháp
"cắt, chèn và dán" đều chỉ đúng đối với trường hợp 2-chiều. Vì lý do này
mà chúng ta không thể mở rộng lập luận của chúng ta đối với trường hợp
đa tạp con cực tiểu với số chiều cao hơn. Hơn nữa, theo nguyên lý bắc
cầu của Smake, tồn tại một đa tạp con cực tiểu 3-chiều M ⊂ R4 sao cho
V(p ×
×∂M ) có thể lớn hơn V(M ) một cách tùy ý. Do đó khơng thể chứng
minh bất đẳng thức đẳng chu đối với nón p ×

×∂M như trong định lí ??.
• Cho C ⊂ Rn là một đường cong đóng. Lúc đó, có thể chỉ ra rằng
Angle(C, p) ≥ 2π,
với bất kì p ∈ H(C), bao lồi của C vì mỗi đường cong đóng nằm trên
mặt cầu đơn vị trong Rn có chiều dài < 2π được chứa trong một bán cầu
mở. Từ cách nhìn nhận này và mệnh đề ?? đưa đến phỏng đoán rằng nếu
S ⊂ Rn là một mặt cực tiểu với biên, compac thì Angle(∂S, p) ≥ 2π, với
bất kì p ∈ H(∂S). Nếu sự phỏng đốn trên là đúng thì chúng ta có thể
chứng minh được bất đẳng thức đẳng chu đối với một số mặt cực tiểu có
biên gồm 3 hoặc 4 thành phần liên thơng. Thật vậy, nếu ta có thể chọn
các điểm p1 , · · · , pj , j = 3 hoặc 4, mỗi điểm thuộc một thành phần liên
thông của ∂S sao cho điểm p có cùng khoảng cách đến p1 , · · · , pj , thì nằm
trong ∂S, khi đó, bất đẳng thức đẳng chu được suy ra từ định lý ?? vì ∂S
liên thơng tỏa tròn từ p. Đặc biệt, nếu tồn tại 3 điểm nằm trên ∂S sao cho
mỗi điểm thuộc một thành phần liên thông của ∂S và chúng tạo thành
một tam giác nhọn thì trực tâm của tam giác đó nằm trong H(∂S), bao
lồi của ∂S và ∂S liên thơng tỏa trịn từ trực tâm đó.
• Cho đa tạp con k-chiều N k ⊂ Rn , làm thế nào ta có thể tìm được điểm
p ∈ Rn sao cho V(p ×
×N ) = minn V(p ì
ìN ).
qR

ã Lm th no ta cú thể tìm được điểm p ∈ Rn sao cho Angle(N k , p) =
maxn Angle(N k , p).
q∈R

9

• Có một số mặt cực tiểu khơng liên thơng yếu cũng khơng liên thơng toả
trịn.
3.3

Phương pháp dạng cỡ chứng minh bất đẳng thức đẳng chu

Có nhiều chứng minh đối với bất đẳng thức đẳng chu. Năm 1994, Helein đã
đưa ra một chứng minh bằng cách sử dụng phương pháp dạng cỡ. Chứng minh
của ông cũng đúng đối với các đường cong trên mặt cầu và trên mặt phẳng
hyperbolic. Kết quả được thể hiện trong định lí sau:
Định lý 3.3.1. Cho S là một mặt với độ cong Gauss K (K = 1 hoặc K = −1).
Nếu đường cong đóng C trên S có chiều dài L và bao một miền có diện tích A
thì ta có bất đẳng thức
4πA ≤ L2 + KA2 ,
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi C là một đường tròn trắc địa.
Trước hết ta nhắc lại về dạng cỡ. Cho N là một đa tạp Riemann và S là
một đa tạp con p-chiều của N. Giả sử tồn tại một p-dạng vi phân α trên N
sao cho
(1) |α| ≤ 1 trên N ;
(2) |α|S = 1 trên S;
(3) dα = 0,
thì α được gọi là một dạng cỡ và ta nói α định cỡ S. Điều quan trọng và đáng
chú ý ở đây là nếu tồn tại một dạng cỡ α định cỡ S thì S sẽ cực tiểu diện tích
vì bất kì đa tạp con S nào của N sao cho nó đồng luân với S ta đều có
|S | ≥

α = |S|.

α=
S

S

Ta có thể hình dung cụ thể điều này như sau. Gọi S, S là hai đa tạp con cùng
lớp đồng điều, cùng biên của N và α là một p-dạng vi phân đóng trên N thoả
|α| = 1 trên S và |α| ≤ 1 trên S . Lúc đó ta có
V(S) =

α=

1;

S

S

1≥

V(S ) =
S

α.
S

Từ đó ta có
V(S ) − V(S) ≥

α−
S

α=
S

10

α=
S \S

dα = 0,
M


trong đó M là đa tạp có số chiều cao hơn số chiều của S và S một đơn vị như
theo định nghĩa của hai đa tạp cùng lớp đồng điều. Từ đó ta suy ra
V(S) ≤ V(S ).
Nói cách khác, S cực tiểu diện tích, do đó S thoả mãn bất đẳng thức đẳng chu
(??).
Sử dụng phương pháp này có điều thuận lợi là các chứng minh thường
ngắn. Tuy nhiên, khuyết điểm đáng kể là khó có thể tìm ra được tình thế, hồn
cảnh để sử dụng ngun tắc này, cũng như khó có thể tìm ra được dạng cỡ α,
hơn nữa các ví dụ được biết đến đều được tìm ra một cách rất thủ cơng.
= 4πδ(y − x)dy 1 ∧ dy 2 . Vậy cuối cùng ta thu được bất
vì dy det(x−y,d(y−x))
|x−y|2
đẳng thức đẳng chu 4πA ≤ L2 đối với miền phẳng Ω.
3.4

Bất đẳng thức đẳng chu yếu của các mặt cực tiểu
Chú ý rằng, Stone cũng thu được kết quả như trên (xem [15]).

11


KẾT LUẬN
Luận văn bao gồm 3 phần: Mở đầu, nội dung và kết luận.
Phần nội dung được trình........... Kết quả chính của luận văn nằm ở chương
2 và chương 3. .............................ất của luận văn nằm ở chương 3.
Trong chương 3, c................... đẳng thức có dạng như bất đẳng thức đẳng
chu nhưng "yếu hơn" (theo nghĩa hệ số bé hơn) thì lại đúng với tất cả các mặt
cực tiểu.
Chúng t............................ấn đề gì vẫn cịn là bài tốn mở,...Từ đó giúp tác
giả và những ai yêu thích vấn đề này tiếp tục nghiên cứu sâu hơn trong thời
gian tiếp theo.
Tác giả đã cố g...............................
Tác giả xin chân thành cảm ơn!

12


Tài liệu tham khảo
Tiếng Anh
1. B. Bollobas, W.Fulton, A.Katok, F.Kirwan, P.Sarnak (2001), Isoperimetric
Inequalities, Cambridge University.
2. M. P. do Carmo (1976), Differential Geometry of Curves and Surfaces,
Prentice Hall Professional Technical Reference.
3. J. Choe (2003), Isoperimetric Inequalities of Minimal Submanifolds, Clay
Mathematics Proceedings Vol. 3.
4. J. Choe (1990), The isoperimetric inequalities for a minimal surface with
radially connected boundary, Annali della Scuola Normale Superiore di
Pisa, Classe di Scienze, 583-593.

5. J. Choe (2003), Relative isoperimetric inequality for domains outside a
convex set, Archives. Inequalities Appl. 1, 241-250.
6. J. Choe (1990), Index, vision number and stability of complete minimal
surfaces, Arch. Rat. Mech. Anal. 109, No. 3, 195-212.
7. J. Choe and R. Gulliver (1992), Isoperimetric Inequalities on Minimal
Submanifolds of Space Forms, Manuscripta math. 77, 169 - 189.
8. R. J. Gardner (1990), The Brunn-Minkowski Inequality, Bull. Amer. Math.
Soc. (N.S), Vol. 39, 355-405.
9. J. C. C. Nitsche (1965), The Isoperimetric Inequality for MultiplyConnected Minimal Surfaces, Nitsche, J. C. C. Math. Annalen 160, 370375.
10. R. Osserman (1979), Bonnesen-style Isoperimetric Inequalities, The American Mathematical Monthly, Vol. 86, 1-29.
11. R. Osserman (1978), The Isoperimetric Inequality, Bulletin of the American Mathe matical Society, Vol. 84, Number 6, November.

13


12. R. Osserman (1975), Isoperimetric and related inequalities, Proc.Symposia
Pure Math. Vol. 27, Amer. Math. Soc. Providence, 207-215.
13. R. Osserman (1978), The isoperimetric inequality, Bull. Amer. Math. Soc.
84, 1182-1238.
14. R. Osserman and M. Schiffer (1975), Doubly connected minimal surfaces,
Arch. Rational Mech. Anal. 58, 285-307.
15. A. Stone, On the isoperimetric inequality on a minimal surface, Preprint.

14