Các hàm dung lượng trong không gian Euclid hữu hạn chiều và tích phân Choquet của chúng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
- - - - - -  - - - - - -
LÊ XUÂN SƠN
CÁC HÀM DUNG LƯỢNG
TRONG KHÔNG GIAN EUCLID HỮU HẠN CHIỀU
VÀ TÍCH PHÂN CHOQUET CỦA CHÚNG
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 62. 46. 01. 01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
VINH - 2008
Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh.
Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS.TS. Nguyễn Nhụy
2. GS.TSKH. Nguyễn Tố Như
Phản biện 1: PGS. TSKH. Đỗ Hồng Tân
Phản biện 2: GS. TS. Nguyễn Hữu Dư
Phản biện 3: GS. TSKH. Lê Mậu Hải
Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp nhà nước họp
tại Trường Đại học Vinh
vào hồi giờ ngày tháng năm 2008.
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia
- Thư viện Trường Đại học Vinh.
1
LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết độ đo ra đời với ý nghĩa thực t iễn sâu sắc của nó đã đóng
một vai trò hết sức to lớn trong nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau, đặc
biệt là trong lý thuyết xác suất. Tuy nhiên, sự phát triển mạnh mẽ của các
lĩnh vực kinh t ế, kỹ thuật đã khiến độ đo cổ điển trong nhiều tình huống
không còn phù hợp khi đo các vấn đề mới nảy sinh, nhất là những vấn đề
liên quan đến việc xử lí các "đối tượng mờ". Do đó người ta tìm đến một

thước đo mới. Xuất phát điểm để xây dựng thước đo mới này chính là yếu
tố không cộng tính.
Các hàm tập không cộng tính đã được các nhà toán học nghiên cứu qua
nhiều khái niệm khác nhau: nửa độ đo (submeasures), độ đo mờ (fuzzy
measures), độ đo khả năng (possibility measures), hàm lòng tin (belief func-
tion), hàm hợp lí (plausibility function), dung lượng (capacity), Các khái
niệm này gắn liền với những công trình của các nhà Toán học như G. Cho-
quet (1954), L. Zadeh (1965), S. Graf (1981), D. Schmeidler (1987), T.
Norberg (1989), Walley (1991) và gần đây là Nguyễn Trung Hưng, Nguyễn
Tố Như, Tonghui Wang, Ding Feng (1997-2002) và A. Castaldo, F. M ac-
cheroni, M. Marinacci (2004, 2005).
Một đặc điểm chung của tất cả các khái niệm liên quan đến hàm tập
không cộng tính nói trên là sự mở rộng khái niệm độ đo. Chính vì thế mà
cùng với sự mở rộng này, các kết quả có tính truyền thống như Định lý
Choquet, đạo hàm Radon-Nikodym, sự hội tụ yếu, luật số lớn, đều được
mở rộng và nghiên cứu theo quan điểm "độ đo" mới này. Mặc dù một số
kết quả thú vị trong lý thuyết các hàm không cộng tính đã được thiết lập
trên các không gian Ba Lan (không gian metric khả li, đầy đủ) nhưng các
nghiên cứu cơ bản về chúng chỉ thực sự có ý nghĩa khi được xét trên không
gian Euclid hữu hạn chiều R
d
.
2
Trong quá trình đi tìm sự tổng quát hoá khái niệm độ đo trong không
gian Euclid hữu hạn chiều R
d
, chúng tôi đã xây dựng một loại hàm dung
lượng trên không gian này. Các kết quả thu được chỉ ra rằng, khái niệm
hàm dung lượng được thừa nhận ở đây thực sự là một mở rộng của khái
niệm độ đo: độ đo trên R

d
có các tính chất của hàm dung lượng, và tồn tại
những hàm dung lượng không phải là độ đo trên R
d
. Nhiều ví dụ được đưa
ra không chỉ nhằm chứng tỏ sự tồn tại thực sự của các khái niệm mới, mà
còn mang ý nghĩa so sánh và chỉ rõ sự khác biệt của các khái niệm khác
nhau khi xây dựng một lớp các hàm dung lượng trên R
d
. Cùng với sự xuất
hiện của lớp hàm dung lượng, thì khái niệm tích phân kiểu Choquet cho
các hàm dung lượng mới được xây dựng này cũng được đưa vào. Khi ta đề
cập đến tập hợp tất cả các hàm dung lượng, thì bài toán trang bị tôpô cho
lớp hàm này để được không gian tôpô tất yếu phải được đặt ra. Cấu trúc
tôpô cho lớp hàm này được chúng tôi trang bị là tôpô yếu. Khi đó, không
gian các hàm dung lượng đã trở thành một không gian tôpô khả metric và
khả li. Cấu trúc metric của không gian tôpô cho phép ta xây dựng khái
niệm hội tụ yếu trong không gian các hàm dung lượng thông qua sự hội
tụ của dãy. Trong khi tìm một đặc trưng cho khái niệm hội tụ yếu, ta tìm
được một điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ yếu liên quan đến dãy các độ
đo xác suất liên kết với dãy các hàm dung lượng đã cho.
Từ năm 1954, G. Choquet đã xây dựng cấu trúc về hàm dung lượng trên
họ tất cả các tập compact K của một không gian Ba Lan E, mà sau này
ta thường gọi là hàm dung lượng Choquet. Điều lý thú là tồn tại một sự
tương ứng 1-1 giữa lớp các hàm dung lượng trên K với tập tất cả các độ đo
xác suất xác định trên σ-đại số Borel sinh bởi lớp các tập con đóng F của
không gian E khi F được trang bị tôpô miss-and-hit (Định lý Choquet).
Kết quả này giữ vai trò then chốt trong lý thuyết các tập đóng ngẫu nhiên
vì nó đã mô tả được phân phối của các tập đóng ngẫu nhiên, đó chính là
dung lượng trên K. Như vậy các hàm dung lượng Choquet đối với tập đóng

ngẫu nhiên giữ vai trò như là phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên
3
trong lý thuyết xác suất cổ điển. Ta biết rằng, việc chứng minh Định lý
Choquet là dựa vào Định lý Matheron. (Định lý Matheron nói rằng đối với
một không gian Hausdorff, khả li, compact địa phương E, không gian F các
tập con đóng của E với tôpô miss-and-hit là Hausdorff, khả li và compact).
Trong chứng minh định lý của mình Matheron đã sử dụng triệt để tính
compact địa phương của không gian E. Nhưng do miền tự nhiên của lý
thuyết xác suất lại là các không gian Ba Lan, hoặc tổng quát hơn là các
không gian metric, nên vấn đề đặt ra là, liệu Định lý Choquet có còn đúng
với các không gian metric không compact địa phương nữa hay không.
Đi tìm câu trả lời cho câu hỏi nói trên, năm 1997 Nguyễn Trung Hưng
và Nguyễn Tố Như đã chỉ ra rằng Định l ý Choquet không còn đúng trên
không gian E là hình cầu đơn vị đóng của không gian Hilbert l
2
khi trang
bị cho F tôpô cảm sinh bởi metric Hausdorff.
Tuy nhiên, theo P. Billingsley một trong những miền quan trọng nhất
của lý thuyết xác suất là không gian C[0, 1], không gian các hàm thực liên
tục trên đoạn [0, 1]. Do đó chúng ta cần biết rằng trên không gian này Định
lý Choquet có còn đúng nữa hay không. Luận án của chúng tôi cũng đã đặt
vấn đề nghiên cứu bài toán này. Trong khi nghiên cứu vấn đề này chúng
tôi đã thu được kết quả tương tự với kết quả của Nguyễn Trung Hưng và
Nguyễn Tố Như trên không gian l
2
.
Nội dung chính của luận án được trình bày dựa trên các công trình [1],
[4], [5], [6] và [7]. Luận án được trình bày thành 3 chương.
Chương 1 dành cho việc trình bày về hàm dung lượng trong R
d

. Phần
đầu của chương này trình bày một số kết quả cơ bản về các hàm tập không
cộng tính trong R
d
. Trọng tâm của Chương 1 là Mục 1.3 và 1.4, ở đó chúng
tôi đưa ra khái niệm về hàm dung lượng trong R
d
. Một số kết quả và ví
dụ chứng tỏ khái niệm này là một mở rộng thực sự của khái niêm độ đo
thông thường. Tích phân Choquet cho các hàm dung lượng trong R
d
được
đưa vào và tính toán tích phân của một số hàm dung lượng cụ thể với mục
đích là chúng s ẽ được sử dụng để nghiên cứu tôpô yếu trong không gian
4
các hàm dung lượng xác suất ở chương sau.
Chương 2 được dành để trình bày về tôpô yếu trong không gian

C, không
gian các hàm dung lượng xác suất với giá compact trong R
d
. Trong Mục
2.1, sau khi trang bị tôpô yếu cho

C chúng tôi đã chỉ ra không gian tôpô
này là khả metric và khả li. Mục 2.2 trình bày các điều kiện cần, điều
kiện đủ cùng với điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ yếu t rong

C. Trong
Mục 2.3 chúng tôi chỉ ra rằng không gian


C chứa R
d
như là một tập con
đóng. Điều này có nghĩa là không gian Euclid hữu hạn chiều R
d
đồng phôi
với một tập con đóng của

C.
Chương 3 của luận án gồm hai phần. Phần đầu trình bày về Định
lý Choquet trong trường hợp không gian Hausdorff khả li, compact địa
phương. Phần sau chúng tôi trình bày kết quả nghiên cứu về Định lý
Choquet trong không gian C[0, 1]. Cụ thể là chỉ ra rằng Định lý Choquet
không còn đúng trong không gian E là hình cầu đơn vị đóng của C[0, 1]
khi trang bị cho lớp tất cả các tập con đóng F của E tôpô cảm sinh bởi
metric Hausdorff.
5
CHƯƠNG 1
HÀM DUNG LƯỢNG TRONG KHÔNG GIAN R
d
Phần đầu của chương này được dành để trình bày về hàm tập luân
phiên, một số tính chất cơ bản của các hàm tập không cộng tí nh và mối
liên hệ giữa chúng. Trên cơ sở đó, chúng ta đi xây dựng một khái niệm cụ
thể về hàm tập không cộng tính, đó là các dung lượng trong R
d
. Phần cuối
của Chương 1 trình bày khái niệm tích phân Choquet cho các dung lượng
trong R
d

.
1.1 Hàm tập luân phiên
1.1.1 Định nghĩa. Cho X là một tập hợp, A là một đại số các tập con
của X. Hàm tập T : A → R được gọi là luân phiên bậc n (n ∈ N, n ≥ 1)
nếu T đơn điệu tăng (nghĩa là A ⊂ B kéo theo T (A) ≤ T (B)) và với bất kì
A
1
, A
2
, . . . , A
n
∈ A bất đẳng thức sau được thoả mãn
T

n

i=1
A
i

≤

I∈I(n)
(−1)
|I|+1
T


i∈I
A

i

, (1.1)
ở đây I(n) =

∅ = I ⊂ {1, 2, . . . , n}

và |I| được kí hiệu là lực lượng của
tập I. Ta cũng gọi biểu thức ở vế phải của (1.1) là tổng luân phiên bậc n.
1.1.2 Mệnh đề. Nếu T : A → R là một hàm tập luân phiên
bậc n, n ≥ 2, thì cũng luân phiên bậc m với mọi m ∈ N, m < n.
Nếu hàm tập đơn điệu tăng T thoả mãn bất đẳng thức (1.1) với mọi số
tự nhiên n thì nó được gọi là luân phiên bậc vô hạn.
Giả sử A là một đại số các tập con của X và T là một hàm tập xác
định trên A. Trên A, ta xác định các đại lượng ∆
n
, n ∈ N, n ≥ 1 ứng với
các tham số A, A
1
, . . . , A
n
∈ A theo công thức truy hồi sau:
∆
1

A; A
1

= T


A ∪ A
1

− T (A)
6
∆
2

A; A
1
, A
2

= ∆
1

A; A
1

− ∆
1

A ∪ A
2
; A
1

. . .
∆
n


A; A
1
, . . . , A
n

= ∆
n−1

A; A
1
, . . . , A
n−1

− ∆
n−1

A ∪ A
n
; A
1
, . . . , A
n−1

.
1.1.3 Mệnh đề. Với mỗi số tự nhiên n ≥ 1 và A, A
1
, . . . , A
n
∈ A,

(i) ∆
n

A; A
1
, . . . , A
n

=

I∈I(n)
(−1)
|I|+1
T

A

(

i∈I
A
i
)

− T (A).
(ii) T luân phiên bậc n khi và chỉ khi ∆
n
≥ 0.
Như vậy hàm tập T là luân phiên bậc vô hạn khi và chỉ khi ∆
n

≥ 0, với
mọi n ≥ 1.
1.1.4 Định nghĩa. Hàm tập T : A → R được gọi là cực đại nếu T (∅) = 0
và T (A ∪ B) = max{T (A), T (B)}, với mọi A, B ∈ A.
1.1.5 Mệnh đề. Giả sử T là một hàm tập cực đại xác định trên đại
số A. Khi đó, với bất kì các tập A
i
∈ A, i = 1, . . . , n, n ≥ 2, ta có

I∈I(n)
(−1)
|I|+1
T


i∈I
A
i

= min
1≤i≤n
{T (A
i
)}.
1.1.6 Định lý. Mỗi hàm tập cực đại đều luân phiên bậc vô hạn.
1.2 Hàm tập không cộng tính trong R
d
Giả sử K(R
d
), F(R

d
), G(R
d
) và B(R
d
) lần lượt được kí hiệu là lớp tất cả các
tập con compact, đóng, mở và Borel của không gia n Euclid R
d
. Ta đưa ra
các khái niệm sau đây.
Hàm tập đơn điệu tăng T : B(R
d
) → R thoả mãn T (∅) = 0 được gọi là
(i) bán cộng nếu
T (A ∪ B) ≤ T (A) + T(B), với bất kì A, B ∈ B(R
d
);
7
(ii) σ-bán cộng nếu
T

∞

n=1
A
n

≤
∞


n=1
T (A
n
),
với bất kì A
n
∈ B(R
d
), n = 1, 2, . . .;
(iii) liên tục dưới nếu
T

∞

n=1
A
n

= lim
n→∞
T (A
n
),
với A
1
⊂ A
2
⊂ . . . ⊂ A
n
⊂ . . . , A

n
∈ B(R
d
);
(iv) liên tục trên nếu
T

∞

n=1
A
n

= lim
n→∞
T (A
n
),
với A
1
⊃ A
2
⊃ . . . ⊃ A
n
⊃ . . . , A
n
∈ B(R
d
);
(v) luân phiên bậc vô hạn nếu

T

n

i=1
A
i

≤

I∈I(n)
(−1)
|I|+1
T


i∈I
A
i

với mọi n ≥ 2 và A
1
, . . . , A
n
∈ B(R
d
);
(vi) chính quy nếu
T (A) = sup{T (K) : K ∈ K(R
d

), K ⊂ A} với bất kì A ∈ B(R
d
)
và
T (K) = inf{T (G) : G ∈ G(R
d
), G ⊃ K} với bất kì K ∈ K(R
d
).
Rõ ràng, vì T(∅) = 0 nên (ii) kéo theo (i) và cũng như vậy (v) kéo theo (i).
Ngoài ra ta có
1.2.1 Mệnh đề. Giả sử T thoả mãn (i). Khi đó (iii) kéo theo (ii).
Điều ngược lại nói chung không đúng.
1.2.2 Mệnh đề. (vi) kéo theo (iii)


G(R
d
)
, ở đây ký hiệu (iii)


G(R
d
)
có
nghĩa là tính chất (iii) được hạn chế trên G(R
d
).
8

Chú ý rằng, nếu xét trên lớp các tập Borel thì Mệnh đề 1.2.2 có thể
không còn đúng nữa.
1.2.3 Mệnh đề. (vi) kéo theo (iv)


K(R
d
)
. Điều này nói chung không
đúng trên B(R
d
).
1.2.4 Nhận xét. Nói chung (iii) không suy ra được (v) và ngược lại.
1.2.5 Nhận xét. Nói chung (v) không suy ra được (vi) và ngược lại.
1.3 Hàm dung lượng trong R
d
1.3.1 Định nghĩa. Hàm tập T : B(R
d
) → [0, +∞) được gọi là một dung
lượng trong R
d
nếu các điều kiện sau được thoả mãn:
1. T (∅) = 0;
2. với bất kì các tập A
1
, . . . , A
n
∈ B(R
d
), n ≥ 2 chúng ta có

T

n

i=1
A
i

≤

I∈I(n)
(−1)
|I|+1
T


i∈I
A
i

;
3. T (A) = sup

T (K) : K ∈ K(R
d
), K ⊂ A

với bất kì A ∈ B(R
d
);

4. T (K) = inf

T (G) : G ∈ G(R
d
), G ⊃ K

với bất kì K ∈ K(R
d
).
Từ định nghĩa trên ta có chú ý sau đây.
1.3.2 Nhận xét. (i) Bất kì một dung lượng trong R
d
đều là hàm tập đơn
điệu tăng. Vì vậy điều kiện 2. trong Định nghĩa 1.3.1 có thể được thay bởi
2

: T luân phiên bậc vô hạn trên B(R
d
).
(ii) Giả sử T là một dung lượng trong B(R
d
). Nếu T (A) = 0, A ∈ B(R
d
) thì
T (B) = T (A ∪ B) với mọi B ∈ B(R
d
).
Từ các Mệnh đề 1.2.2, 1.2.3 và Định nghĩa 1.3.1 ta có hệ quả trực tiếp
sau đây.
1.3.3 Hệ quả. Bất kì dung lượng trong R

d
đều liên tục dưới trên G(R
d
)
và liên tục trên trên K(R
d
).
9
Chú ý rằng trong trường hợp tổng quát, dung lượng trong R
d
có thể
không liên tục trên.
1.3.4 Định lý. Nếu µ là một độ đo trên B(R
d
), thì µ có các tính chất 3.,
4. trong Định nghĩa 1.3.1 và với bất kì các tập A
1
, . . . , A
n
∈ B(R
d
), n ≥ 2,
ta có
µ

n

i=1
A
i


=

I∈I(n)
(−1)
|I|+1
µ


i∈I
A
i

. (1.2)
1.3.5 Định nghĩa. Hàm tập cực đại T xác định trên B(R
d
) được gọi là
một độ đo cực đại nếu các điều kiện 1., 3. và 4. của Định nghĩa 1.3.1 được
thoả mãn.
Như vậy, theo các Định lý 1.1.6 và 1.3.4, lớp tất cả các dung lượng trong
R
d
chứa cả hai lớp: lớp các độ đo và lớp các độ đo cực đại trong R
d
.
1.3.6 Định nghĩa. Giả sử T là một dung lượng trong R
d
. Tập đóng bé
nhất F ⊂ R
d

thoả mãn T (R
d
\ F ) = 0 được gọi là giá của T , và được kí
hiệu là supp T .
1.3.7 Mệnh đề. Giả sử T là một dung lượng trong R
d
. Khi đó ta có
(i) T (supp T ) ≥ T (B) với mọi B ∈ B(R
d
);
(ii) supp T = R
d
\ ∪{G : G ∈ G(T )}, ở đây
G(T ) = {G ∈ G(R
d
) : T (G) = 0}.
1.3.8 Định nghĩa. Dung lượng T được gọi là một dung lượng xác suất
trong R
d
nếu T (supp T ) = 1.
1.3.9 Các ví dụ. a) Với mỗi x ∈ R
d
, ta xác định hàm tập T
x
= δ
x
, bởi
δ
x
(B) =


1 nếu x ∈ B
0 nếu x /∈ B.
Chúng ta dễ dàng kiểm tra được rằng T
x
là một độ đo xác suất trong R
d
.
Do đó T
x
cũng là một dung lượng xác suất trong R
d
.
b) Giả sử R
+
= [0; +∞). Với một tập hữu hạn
A =

(x
1
, t
1
), . . . , (x
k
, t
k
)

⊂ R
d

× R
+
10
ta xác định hàm tập T
A
bởi
T
A
(B) =

max {t
i
: x
i
∈ B} nếu B ∩ A
0
= ∅
0 nếu B ∩ A
0
= ∅,
ở đây A
0
= {x
1
, . . . , x
k
} ⊂ R
d
. Khi đó T
A

là một dung lượng trong R
d
.
c) Với một tập hữu hạn A =

(x
1
, t
1
), . . . , (x
k
, t
k
)

⊂ R
d
× R
+
, ta xác
định dung lượng T
A
bởi T
A
(B) =

x
i
∈B∩A
0

t
i
, với B ∈ B(R
d
), ở đây
A
0
= {x
1
, . . . , x
k
} ⊂ R
d
.
Dễ dàng kiểm tra được rằng T
A
là một độ đo trong R
d
. Đó là một độ đo
với giá hữu hạn và số t
i
được gọi là trọng lượng của x
i
, i = 1, 2, . . . , k. Nếu
k

i=1
t
i
= 1, thì T

A
là một độ đo xác suất và do đó nó cũng là một dung
lượng xác suất trong R
d
. Chú ý rằng supp T
A
= {x
1
, . . . , x
k
}.
d) Giả sử T : B(R) → [0, 1] là một hàm tập được xác định bởi
T (A) =

0 nếu A ∩ [0, 1] = ∅
1 − inf

x : x ∈ A ∩ [0, 1]

nếu A ∩ [0, 1] = ∅.
Khi đó T là một dung lượng xác suất trong R.
Chú ý rằng supp T = [0, 1].
1.4 Tích phân Choquet cho các hàm dung lượng trong R
d
Giả sử T là một dung lượng trong R
d
. Khi đó với bất kì hàm đo được
Borel f : R
d
→ R

+
và A ∈ B(R
d
), ta xác định tích phân Choquet

A
fdT
của hàm f ứng với T bởi

A
fdT =
+∞

0
T

{x ∈ A : f(x) ≥ t}

dt.
Với A = R
d
chúng ta viết

R
d
fdT =

fdT.
Chú ý rằng, nếu f là một hàm bị chặn trên A thì


A
fdT =
α

0
T

{x ∈ A : f(x) ≥ t}

dt, (1.4)
11
ở đây α = sup {f(x) : x ∈ A}.
Trong t rường hợp tổng quát, với f : R
d
→ R là một hàm đo đựơc, ta
xác định

A
fdT =

A
f
+
dT −

A
f
−
dT,
ở đây, f

+
(x) = max {f(x), 0} và f
−
(x) = max {−f(x), 0}, giống như trường
hợp tích phân Lebesgue.
1.4.1 Định lý. Với x ∈ R
d
, giả sử T
x
là dung lượng được xác định trong
Ví dụ 1.3.9(a). Khi đó với bất kì hàm đo được f : R
d
→ R
+
, ta có

fdT
x
= f(x) với mỗi x ∈ R
d
. (1.5)
Ngược lại, nếu T là một dung lượng trong R
d
sao cho với x ∈ R
d
nào
đó ta có
f(x) =

fdT với mỗi f ∈ C

+
0
(R
d
), (1.6)
ở đây C
+
0
(R
d
) đựơc kí hiệu là tập tất cả các hàm thực không âm liên tục
với giá compact trong R
d
, thì T = T
x
.
1.4.2 Khẳng định. Cho T là một dung lượng trong R
d
. Với mỗi tập
C ∈ K(R
d
), xác định hàm f
C
: R
d
→ R bởi
f
C
(y) =


1 nếu y ∈ C
0 nếu y /∈ C.
(1.7)
Khi đó

f
C
dT = T (C).
1.4.3 Khẳng định. Dưới điều kiện (1.6), ta có supp T = {x}.
1.4.4 Định lý. Với mỗi tập compact C ⊂ R
d
, xác định
T
C
(A) =

1 nếu A ∩ C = ∅
0 nếu A ∩ C = ∅,
với A ∈ B(R
d
). Khi đó với bất kì hàm đo được f : R
d
→ R
+
ta có

fdT
C
= sup {f(x) : x ∈ C}.
12

Ngược lại, nếu T là một dung lượng trong R
d
sao cho với tập compact
C nào đó của R
d
, mà

fdT = sup {f(x) : x ∈ C} với mỗi f ∈ C
+
0
(R
d
), (1.9)
thì T = T
C
.
1.4.5 Khẳng định. Dưới điều kiện (1.9), ta có supp T = C.
1.4.6 Định lý. Giả sử T
A
là dung lượng được xác định trong Ví dụ
1.3.9(b), ở đây
A =

(x
1
, t
1
), . . . , (x
k
, t

k
)

⊂ R
d
× R
+
. (1.10)
Khi đó với bất kì hàm đo được f : R
d
→ R
+
ta có

fdT
A
=
k−1

i=0
(α
i+1
− α
i
) max {t
n
j
: j = i + 1, . . . , k}, (1.11)
ở đây {x
n

i
: i = 1, . . . , k} = {x
i
: i = 1, . . . , k} với
α
0
= 0 ≤ α
1
= f(x
n
1
) ≤ α
2
= f(x
n
2
) ≤ . . . ≤ α
k
= f(x
n
k
). (1.12)
Điều này có nghĩa là ta sắp thứ tự các chỉ số của x
i
: i = 1, . . . , k để đạt
được (1.12).
Ngược lại, nếu T là một dung lượng trong R
d
thoả mãn (1.11) với
bất kì hàm đo được f : R

d
→ R
+
, thì T = T
A
, với A được cho bởi (1.10).
1.4.7 Định lý. Giả sử T
A
=
k

i=1
t
i
δ
x
i
là dung lượng được xác định như
trong Ví dụ 1.3.9(c), ở đây A =

(x
1
, t
1
), . . . , (x
k
, t
k
)


⊂ R
d
× R
+
. Khi
đó với mỗi hàm đo được f : R
d
→ R
+
ta có

fdT
A
=

k
i=1
t
i
f(x
i
).
13
CHƯƠNG 2
TÔPÔ YẾU TRÊN KHÔNG GIAN
CÁC HÀM DUNG LƯỢNG X ÁC SUẤT TRONG R
d
Từ nay trở đi chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu

C để chỉ họ tất cả các dung

lượng xác suất với giá compact trong R
d
và C
+
0
(R
d
) là ký hiệu cho lớp tất
cả các hàm thực không âm liên tục với giá compact trong R
d
. Nội dung
chính của chương này là chỉ ra không gian

C với tôpô yếu là một không
gian khả metric và khả li.
2.1 Tôpô yếu trên

C
Giả sử B là một họ các tập có dạng
B =

U(T ; f
1
, . . . , f
k
; ε
1
, . . . , ε
k
)


, (2.1)
với T ∈

C, f
i
∈ C
+
0
(R
d
), ε
i
> 0, i = 1, . . . , k, ở đây
U

T ; f
1
, . . . , f
k
; ε
1
, . . . , ε
k

=

S ∈

C :




f
i
dT −

f
i
dS


< ε
i
, i = 1, . . . , k

=
k

i=1
U(T ; f
i
; ε
i
), (2.2)
2.1.1 Định nghĩa. Rõ ràng họ B được xác định bởi (2.1), (2.2) là một
cơ sở của một tôpô trên

C. Tôpô này được gọi là tôpô yếu trên


C.
2.1.2 Định lý.

C là không gian khả metric và khả li.
Định lý trên được chứng minh bởi các Mệnh đề 2.1.3 và 2.1.7 sau đây.
2.1.3 Mệnh đề.

C là không gian chính quy.
14
Giả sử T ∈

C và f : R
d
→ R
+
là một hàm thực liên tục với giá compact
và giả sử {x
i
: i = 1, . . . , k} ⊂ supp f là một tập hữu hạn trong supp f
sao cho
0 < f(x
1
) < f(x
2
) < . . . < f(x
k
).
Chúng ta lấy x
0
∈ R

d
với f(x
0
) = 0, đặt A = {x
i
: i = 0, 1, . . . , k} và xác
định T
A
f
=

k−1
i=1
(t
i
− t
i+1
)δ
x
i
+ (1 − t
1
)δ
x
0
, ở đây t
i
= T

{x ∈ R

d
: f(x) >
f(x
i
)}

với i = 1, . . . , k và δ
x
được xác định như trong Ví dụ 1.3.9(a).
2.1.4 Bổ đề. Giả sử D là một tập đếm được trong R
d
. Khi đó, với
bất kì T ∈

C, f ∈ C
+
0
(R
d
) và với bất kì ε > 0, tồn tại một tập hữu hạn
A = {x
i
: i = 0, 1, . . . , k − 1} ⊂ D sao cho T
A
f
∈ U(T ; f; ε).
2.1.5 Hệ quả. Tập hợp các dung lượng xác suất với giá hữu hạn trù
mật yếu trong không gian

C.

2.1.6 Bổ đề. Giả sử f, g ∈ C
+
0
(R
d
) và ε > 0 sao cho
|f(x) − g(x)| < ε với mọi x ∈ R
d
. (2.13)
Khi đó ta có



fdT −

gdT


≤ ε với mỗi T ∈

C.
Giả sử C và Q tương ứng là các tập con đếm được trù mật của C
+
0
(R
d
)
và (0, 1). Ký hiệu
G =


k

i=1
U(T
A
i
g
i
; g
i
; δ
i
) : A
i
∈ F(D), g
i
∈ C, δ
i
∈ Q; i = 1, . . . , k

,
ở đây F(D) là họ tất cả các tập con hữu hạn của D. Sử dụng các Bổ
đề 2.1.4 và 2.1.6 ta sẽ chỉ ra rằng
2.1.7 Mệnh đề. G là một cơ sở đếm được của

C.
Như vậy, vì

C với tôpô yếu là một không gian metric, nên chúng ta có
thể xác định khái niệm hội tụ yếu của một dãy trong


C như sau.
15
2.2 Sự hội tụ yếu trong

C
2.2.1 Định nghĩa. Một dãy các dung lượng {T
n
}
∞
n=1
⊂

C được gọi là hội
tụ yếu tới dung lượng T ∈

C nếu

fdT
n
→

fdT với mỗi f ∈ C
+
0
(R
d
).
2.2.2 Khẳng định. Giả sử S, T ∈


C sao cho

fdT =

fdS với mọi f ∈ C
+
0
(R
d
).
Khi đó S = T , nghĩa là T (A) = S(A) với mọi A ∈ B(R
d
).
2.2.3 Mệnh đề. Sự hội tụ theo tôpô yếu và sự hội tụ yếu của một dãy
{T
n
} ⊂

C là tương đương.
2.2.4 Định nghĩa. Cho T là một dung lượng trong R
d
. Một tập A ⊂ R
d
được gọi là T -liên tục nếu T (∂A) = 0, ở đây ∂A là biên của tập A.
Các Mệnh đề 2.2.5 và 2.2.6 sau đây tương ứng là điều kiện cần và điều
kiện đủ cho sự hội tụ yếu.
2.2.5 Mệnh đề. Giả sử T
n
, T ∈


C, n = 1, 2, . . . và T
n
hội tụ yếu đến T .
Khi đó
(i) lim sup
n
T
n
(K) ≤ T(K) với mọi K ∈ K(R
d
);
(ii) lim inf
n
T
n
(G) ≥ T (G) với mọi G ∈ G(R
d
);
(iii) lim
n→∞
T
n
(A) = T (A) với mọi tập bị chặn, T -liên tục A ⊂ R
d
.
2.2.6 Mệnh đề. Giả sử {T
n
} là một dãy các dung lượng xác suất với
giá compact trong R
d

và T ∈

C. Nếu T
n
(C) → T(C) với mỗi C ∈ K(R
d
),
thì T
n
hội tụ yếu đến T .
2.2.7 Định nghĩa. Dãy độ đo xác suất P
n
được gọi là hội tụ yếu đến độ
đo xác suất P nếu

fdP
n
→

fdP với mỗi f ∈ C
+
0
(R
d
), ở đây C
+
0
(R
d
) là

tập tất cả các hàm thực liên tục với giá compact trong R
d
.
2.2.8 Mệnh đề. Giả sử {P
n
}, P là các độ đo xác suất trên B(R
d
) và
P
n
hội tụ yếu đến P . Khi đó ta có
(i) lim sup
n
P
n
(K) ≤ P(K) với mọi K ∈ K(R
d
);
16
(ii) lim inf
n
P
n
(G) ≥ P (G) với mọi G ∈ G(R
d
);
(iii) lim
n→∞
P
n

(A) = P (A) với mọi tập compact, P - liên tục A ⊂ R
d
.
Giả sử E là một không gian Hausdorff, khả li và compact địa phương.
Ký hiệu K, F, G tương ứng là lớp tất cả các tập con compact, đóng và mở
của E. Với mỗi A ⊂ E, đặt
F
A
=

F ∈ F : F ∩ A = ∅

và F
A
=

F ∈ F : F ∩ A = ∅

.
Theo G. Matheron, ta trang bị cho F tôpô miss-and-hit có cơ sở là họ
các tập con của F có dạng F
K
G
1
, ,G
n
với K ∈ K và G
1
, . . . , G
n

∈ G, ở đây
F
K
G
1
, ,G
n
= F
K
∩ F
G
1
∩ . . . ∩ F
G
n
.
Bây giờ lấy E là không gian Euclid R
d
. Giả sử B(F) là họ tấ t cả các tập
Borel của F(R
d
) với tôpô miss-and-hit. Theo Định lý Choquet, mỗi một
dung lượng xác suất T trong R
d
tồn tại duy nhất độ đo xác suất P trên
B(F) sao cho P (F
K
) = T (K) với mỗi K ∈ K. Khi đó chúng ta nói rằng P
là độ đo xác suất liên kết với dung lượng xác suất T .
2.2.9 Định lý. Giả sử T

n
, T ∈

C và P
n
, P tương ứng là các độ đo xác
suất liên kết của chúng. Khi đó T
n
hội tụ yếu đến T nếu và chỉ nếu P
n
hội tụ yếu đến P .
2.3 Phép nhúng không gian R
d
vào

C
2.3.1 Định lý. Ánh xạ V : R
d
→

C được xác định bởi (2.20) là một
phép nhúng tôpô, nghĩa là R
d
đồng phôi với tập con đóng V (R
d
) của

C.
2.3.2 Nhận xét. Theo Định lý 2.3.1 ta có thể đồng nhất R
d

với một tập
con đóng V (R
d
) của

C. Do đó, không gian

C chứa R
d
một cách tôpô.
17
CHƯƠNG 3
ĐỊNH LÝ CHOQUET CHO CÁC TẬP ĐÓNG NGẪU NHIÊN
Phần đầu của chương này trình bày về Định lý Choquet cho các tập
đóng ngẫu nhiên trong các không gian Hausdorff, khả li và compact địa
phương. Phần sau là một ví dụ chỉ ra rằng Định lý Choquet không còn đúng
trong không gian C[0, 1], không gian các hàm thực liên tục trên đoạn [0, 1].
3.1 Định lý Choquet cho không gian compact
địa phương
Giả sử E là một không gian Hausdorff, khả li và compact địa phương.
Ký hiệu K, F, G tương ứng là lớp tất cả các tập con compact, đóng và mở
của E. Với mỗi A ⊂ E, ký hiệu
F
A
=

F ∈ F : F ∩ A = ∅

và F
A

=

F ∈ F : F ∩ A = ∅

.
Giả sử B là lớp các tập con của F được xác định bởi
B =

F
K
G
1
, ,G
n
: K ∈ K, G
i
∈ G, i = 1, . . . , n

,
ở đây
F
K
G
1
, ,G
n
= F
K
∩ F
G

1
∩ . . . ∩ F
G
n
.
Chú ý rằng trong B có chứa các tập F
K
, K ∈ K; F
G
, G ∈ G; ∅ = F
∅
và
F = F
∅
. Hơn nữa, chúng ta có thể kiểm tra được rằng B là một cơ sở cho
một tôpô trên F, nó được gọi là tôpô "miss-and-hit" hoặc "hit-or-miss"
và được kí hiệu là T (F).
3.1.1 Định lý. Nếu không gian metric khả li E chứa ít nhất một điểm
không compact địa phương thì F với tôpô "miss-and-hit" không phải là
không gian Hausdorff.
18
Ký hiệu B(F) là σ-đại số Borel trên không gian F (σ-đại số sinh bởi họ
tất cả các tập mở). Giả sử (Ω, A, P ) là một không gian xác suất. Khi đó
mỗi phần tử ngẫu nhiên S :

Ω, A, P

→

F, B(F)


được gọi là một tập
đóng ngẫu nhiên trên E. Chú ý rằng trên B(F) có một độ đo xác suất P
S
cảm sinh từ P và tập đóng ngẫu nhiên S được xác định bởi
P
S

V

= PS
−1

V

= P

ω ∈ Ω : S(ω) ∈ V

,
với mỗi V ∈ B(F). Vì thế mà cũng có khi người ta xem tập đóng ngẫu nhiên
trên E là một độ đo xác suất P nào đó trên không gian đo

F, B(F)

.
Nếu P là một độ đo xác suất trên

F, B(F)


thì hàm tập T : K → [0, 1],
được xác định bởi
T (K) = P (F
K
) với mỗi K ∈ K, (3.1)
thoả mãn các điều kiện sau
(i) T (∅) = 0, 0 ≤ T ≤ 1.
(ii) T luân phiên bậc vô hạn trên K.
(iii) T liên tục trên trên K (nghĩa là nếu K
n
 K thì T (K
n
)  T (K)).
3.1.2 Định nghĩa. Hàm tập T : K → [0, 1] thoả mãn các điều kiện (i),
(ii) và (iii) ở trên được gọi là một dung lượng trên K, hay cụ thể hơn là
một dung lượng Choquet trên K.
3.1.3 Định lý (Choquet). Giả sử E là một không gian Hausdorff khả
li compact địa phương và T là một hàm tập xác định trên K. Khi đó
tồn tại duy nhất một độ đo xác suất P trên B(F) thoả mãn
P (F
K
) = T (K) với mỗi K ∈ K,
nếu và chỉ nếu T là một dung lượng Choquet trên K.
Trong trường hợp của không gian Hausdorff khả li compact địa phương,
Định lý Choquet đượ c phát biểu dưới dạng tương đương trên lớp các tập
mở G (thường được gọi là "phiên bản mở" của Định lý Choquet) như sau.
19
Giả sử S : G → [0, 1] là một hàm tập. Khi đó tồn tại duy nhất một độ
đo xác suất P trên B(F) sao cho
P (F

G
) = S(G) với mỗi G ∈ G, (3.2)
nếu và chỉ nếu
(iv) S(∅) = 0, 0 ≤ S ≤ 1;
(v) S luân phiên bậc vô hạn trên G, và
(vi) S liên tục dưới trên G (nghĩa là nếu G
n
 G thì T (G
n
)  T (G)).
Hàm tập S thoả mãn các điều kiện (iv), (v) và (vi) ở trên được gọi là một
dung lượng Choquet trên G.
Như vậy, Định lý Choquet cho ta thấy rằng mỗi một dung lượng Choquet
biểu thị đặc trưng cho quy luật xác suất trên B(F) của một tập đóng ngẫu
nhiên nào đó, trong trường hợp của các không gian Hausdorff, khả li và
compact địa phương. Tuy nhiên, vì miền tự nhiên của lý thuyết xác suất
là các không gian Ba Lan (không gian metric khả li đầy đủ), nên việc xem
xét liệu Định lý có còn đúng không trong các không gian Ba Lan là một
vấn đề hết sức tự nhiên và có ý nghĩa. Chúng ta cần chú ý rằng, có lẽ việc
chứng minh Định lý Choquet phụ thuộc khá nhiều vào tính chất của tôpô
trang bị trên F nên dường như vấn đề này phụ thuộc vào cách chọn một
tôpô phù hợp cho F.
Phần tiếp theo ta sẽ đưa ra một ví dụ mà theo nghĩa nào đó nó đựơc
xem như câu trả lời phủ định cho Định lý Choquet với không gian C[0, 1].
Cụ thể là ta sẽ xây dựng một phiếm hàm S trên lớp các tập mở G thoả
mãn các điều kiện (iv), (v) và (vi) sao cho không tồn tại một độ đo xác
suất P nào trên B(F) thoả mãn (3.2), trong đó tôpô trên F là tôpô cảm
sinh từ metric Hausdorff.
3.2 Về Định lý Choquet cho không gian C[0, 1]
Trong phần này ta luôn ký hiệu E là hình cầu đơn vị đóng của không

gian C[0, 1] gồm tất cả các hàm thực liên tục trên đoạn [0, 1] với chuẩn sup,
20
nghĩa là
E =

x = x(t) ∈ C[0, 1] : x = sup
0≤t≤1
|x(t)| ≤ 1

.
Chú ý rằng E là một không gian Ba Lan không compact địa phương. Vì
vậy, theo Định lý 3.1.1 không gian F với tôpô miss-and-hit không phải là
Hausdorff. Nếu muốn F là một không gian tôpô Hausdorff thì ta cần sử
dụng một tôpô khác. Một tôpô hợp lí cho không gian tất cả các tập con
đóng là tôpô cảm sinh từ metric Hausdorff.
3.2.1 Định nghĩa. Với bất kì A, B ∈ F xác định khoảng cách
d
H
(A, B) =







max{ sup
x∈A
x − B, sup
y∈B

y − A} nếu A, B = ∅
0 nếu A = B = ∅
2 nếu khác,
(3.3)
ở đây x − A = inf{x − y : y ∈ A}.
Khi đó, d
H
là một metric trên F và được gọi là metric Hausdorff.
Ký hiệu B(F) là σ-đại số Borel của F ứng với tôpô cảm sinh bởi metric
d
H
.
3.2.2 Mệnh đề. Tôpô cảm sinh bởi metric Hausdorff mạnh hơn tôpô
miss-and-hit.
Với mỗi G ∈ G và với mỗi n ∈ N, ký hiệu
S
n
(G) = inf

r > 0 : G ⊂ B(x
1
, r) ∪ . . . ∪ B(x
n
, r)

, với x
1
, . . . , x
n
∈ E.

Dễ thấy rằng {S
n
(G)} là một dãy giảm. Khi đó ta xác định
S(G) = lim
n→∞
S
n
(G) với mỗi G ∈ G. (3.4)
Rõ ràng S là một hàm tập đơn điệu tăng và 0 ≤ S ≤ 1.
3.2.3 Định lý. Hàm tập S : G → [0, 1] xác định bởi (3.4) có các tính
chất sau:
(i) S(∅) = 0, S(E) = 1;
(ii) S luân phiên bậc vô hạn trên G;
21
(iii) Nếu G
n
 G và sup
x∈G
x − G
n
 → 0 khi n → ∞ thì S(G
n
)  S(G);
(iv) Không có một độ đo xác suất P nào trên B(F) thoả mãn điều kiện
P (F
G
) = T (G) với mỗi G ∈ G.
Lược đồ chứng minh Định lý 3.2.3 như sau.
Giả sử ∆ := [a; a + δ], với a ∈ R, δ > 0. Chúng ta xác định các hàm
α

∆
, β
∆
: R → [−1; 1] như sau
α
∆
(t) =



|3t − 3a − δ|
δ
−
|3t − 3a − 2δ|
δ
nếu a ≤ t ≤ a + δ
0 nếu khác ,
(3.5)
và
β
∆
(t) =



|3t − 3a − δ|
δ
−
|3t − 3a − 2δ|
δ

− 2 nếu a < t < a + δ
0 nếu khác .
(3.6)
Với mỗi n ∈ N, (n ≥ 1), giả sử đoạn [0, 1] được chia thành 3
n−1
đoạn con
bằng nhau, mỗi đoạn có độ dài bằng 3
−n+1
. Chúng ta đặt
∆
n,i
=

i − 1
3
n−1
;
i
3
n−1

với i = 1, . . . , 3
n−1
,
và
I
n
(k) =

i ∈ {1, . . . , 3

n−1
} : i = 4l + k, l ∈ N

, (3.7)
với k = 1, 2, 3, 4. Bây giờ, với mỗi n ∈ N, (n ≥ 1), chúng ta xác định
e
n
(t) =

i∈I
n
(1)
α
∆
n,i
(t) +

i∈I
n
(2)
β
∆
n,i
(t)
−

i∈I
n
(3)
α

∆
n,i
(t) −

i∈I
n
(4)
β
∆
n,i
(t), (3.8)
ở đây α
∆
và β
∆
tương ứng được xác định bởi (3.5) và (3.6).
Rõ ràng từ cách xác định của e
n
(t) ta có
e
n
(t) =





−1 với t ∈

i∈I

n+1
(1)
∆
n+1,i
1 với t ∈

i∈I
n+1
(3)
∆
n+1,i
.
(3.9)
22
3.2.4 Khẳng định. Với mỗi n ≥ 1, hàm số e
n
(t) được xác định bởi
(3.8) liên tục trên đoạn [0, 1] và e
n
 = 1.
3.2.5 Bổ đề. a) Giả sử m, n ∈ N và 1 ≤ m < n. Khi đó với bất kì
i ∈ I
m+1
(1) hoặc i ∈ I
m+1
(3) đều tồn tại j ∈ I
n+1
(1) và k ∈ I
n+1
(3) sao

cho
∆
n+1,j
⊂ ∆
m+1,i
và ∆
n+1,k
⊂ ∆
m+1,i
. (3.10)
b) Với bất kì r ∈ (0, 1) và với bất kì x ∈ E, hình cầu B(x, r) chứa
nhiều nhất một e
n
.
3.2.6 Bổ đề. S(G) = 1 với bất kì tập con mở G của E chứa {e
n
: n ≥ 1}.
3.2.7 Bổ đề. S là một hàm tập cực đại.
3.2.8 Khẳng định. Với mỗi n ∈ N tồn tại một tập mở G
n
⊃ B
n
sao
cho
S(G
n
) < 2
−n−1
,
ở đây B

n
= conv {e
1
, . . . , e
n
}.
Chú ý: Ví dụ về dung lượng S trên G được xác định bởi (3.4) thoả mãn
Định lý 3.2.3 không hoàn toàn là một "phản ví dụ" cho Định lý Choquet
trong các không gian Ba Lan, bởi vì trong ví dụ này chúng ta đã sử dụng
tôpô được cảm sinh bởi metric Hausdorff thay cho tôpô miss-and-hit. Ý
nghĩa của ví dụ này là ở chỗ để đi tìm câu trả lời khẳng định cho Định lý
Choquet với trường hợp E không phải là không gian compact địa phương
thì hoặc là chúng ta phải sử dụng tôpô khác cho F hoặc là chúng ta xét các
dung lượng trên lớp các tập compact K hơn là xét trên lớp các tập mở G.
23
KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN
I. Các kết quả chủ yếu luận án đã thu được
1. Thiết lập được một số mối liên hệ giữa các tính chất cơ bản của các
hàm tập không cộng tính trong không gian Euclid hữu hạn chiều R
d
.
2. Trong quá trình đi tìm s ự tổng quát hoá khái niệm độ đo trong R
d
,
chúng tôi đã xây dựng một loại hàm dung lượng trên không gian này.
Đưa ra nhiều ví dụ chỉ ra rằng, khái niệm dung lượng được thừa nhận
ở đây thực sự là một mở rộng của khái niệm độ đo.
3. Đưa vào nghiên cứu khái niệm tích phân kiểu Choquet cho các hàm
dung lượng mới.
4. Trang bị cấu trúc tôpô cho lớp hàm dung lượng trong R

d
thông qua
tích phân Choquet, đó là cấu trúc tôpô yếu.
5. Chỉ ra rằng không gian

C, các hàm dung lượng xác suất trong R
d
với
tôpô yếu là một không gian khả metric và khả li. Đồng thời cũng chỉ
ra rằng không gian Euclid hữu hạn chiều R
d
đồng phôi với một tập
con đóng của

C.
6. Dựa vào tính khả metric của tôpô yếu, chúng tôi đã xây dựng khái
niệm hội tụ yếu tr ong không gian các hàm dung lượng trong R
d
qua
sự hội tụ của dãy. Đồng thời cũng tìm được một điều kiện cần và đủ
cho sự hội tụ yếu liên quan đến độ đo xác suất liên kết với dãy các
hàm dung lượng đã cho.
7. Nghiên cứu về Định lý Cho quet trong không gian không compact địa
phương. Cụ thể là chỉ ra rằng Định lý Choquet không còn đúng trong
không gian E là hình cầu đơn vị đóng của C[0, 1] khi trang bị cho lớp F
tất cả các tập con đóng của E tôpô cảm sinh bởi metric Hausdorff.