TIỂU LUẬN Phạm trù và Hàm tử (Hàm tử và Song hàm tử)

1

Tiểu luận : Môn Phạm trù và Hàm tử

ðẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN

TIỂU LUẬN
Phạm trù và Hàm tử
(Hàm tử và Song hàm tử)

Giáo viên hướng dẫn :

Học viên : ðồn Văn Tiến

TS. Phan Văn Thiện

Lớp Tốn K20 (2011-2013)

Huế, tháng 04 -2012
Học viên : ðoàn Văn Tiến

Chuyên ngành: ðại số và Lý thuyết số- K20


1

Tiểu luận : Mơn Phạm trù và Hàm tử

LỜI NĨI ðẦU

Năm 1944, S.Eilenberg và S.Maclane đã đưa vào tốn học các khái niệm
phạm trù và hàm tử gắn liền với việc tiên đề hóa lí thuyết các nhóm đồng điều
và đối đồng điều của khơng gian tơpơ. Lí thuyết phạm trù ra ñời tạo nên một
bước ngoặt trong sự phát triển của đại số nói riêng và tốn học nói chung, như
vai trị của lí thuyết tập hợp xuất hiện trong thế kỷ XIX.
Trong tiểu luận này, tôi chỉ tập trung nghiên cứu một số kết quả liên quan
ñến khái niệm Hàm tử và Song hàm tử. Tiểu luận ñược chia làm 2 phần, phần I
là phần lí thuyết trình bày một số khái niệm cơ bản, phần II là phần chứng minh
một số bài tập nhỏ như là những tính chất liên quan.
Do hạn chế về thời gian cũng như năng lực bản thân nên tiểu luận
không thể tránh khỏi những sai sót, rất mong nhận được sự góp ý của thầy cơ và
các bạn. ðể hồn thành tiểu luận, tôi xin chân thành cảm ơn TS. Phan Văn
Thiện ñã tận tình giảng dạy học phần Phạm trù và Hàm tử và hướng dẫn làm đề
tài. Tơi cũng xin chân thành cám ơn các học viên Cao học Toán khóa XX –
ðHSP Huế đã nhiệt tình giúp đỡ động viên tơi trong q trình làm tiểu luận.

Huế, tháng 04/2012

Học viên : ðoàn Văn Tiến

Chuyên ngành: ðại số và Lý thuyết số- K20


2

Tiểu luận : Môn Phạm trù và Hàm tử

PHẦN I. LÝ THUYẾT.
1. PHẠM TRÙ.
ðịnh nghĩa 1.1. Ta nói rằng cho một phạm trù C nếu :

(I) Cho một lớp ObC các phần tử gọi là các vật,
(II) Với một cặp thứ tự các vật ( A, B) cho một tập hợp [ A, B ]C (có thể rỗng),

α
gọi là tập hợp các cấu xạ, α ∈ [ A, B ]C ñược kí hiệu α : A → B hay A 
→B, A
gọi là nguồn, B gọi là đích của cấu xạ α , sao cho lớp tất cả các cấu xạ của

C

MorC =

∪

( A, B )∈ObC xObD

[ A, B ]C

(III) Với mỗi bộ ba các vật ( A, B, C ) của C cho một ánh xạ :
[ B, C ]C x [ A, B ]C → [ A, C ]C , (β , α ) ֏ βα (hay β .α )
Gọi là phép hợp thành của α và β , sao cho nó thỏa tính chất sau :
(i)
Với mỗi vật B ∈ ObC tồn tại một cấu xạ Id B : B → B , gọi là cấu xạ
ñồng nhất hay cấu xạ ñơn vị của vật B , sao cho với mọi cấu xạ
α : A → B và β : B → C , ta có : Id Bα = α , β Id B = β .
tạo thành một dãy
(ii) Nếu các cấu xạ α , β , γ ∈ C
α
β
γ

A 
→ B 
→ C 
→ D thì hợp thành của chúng là kết hợp :
γ ( βα ) = (γβ )α .
ðịnh nghĩa 1.2(ñơn xạ).
Cấu xạ β : B → C ∈ MorC gọi là ñơn xạ nếu và chỉ nếu với mỗi X ∈ ObC và
với mỗi cặp α , α ' ∈ [ X , B ]C ta có : ( β , α ) ֏ βα = βα ' ⇒ α = α ' nghĩa là β giản ước
ñược bên trái.
ðịnh nghĩa 1.3(toàn xạ).
Một cấu xạ α : A → B ∈ MorC gọi là toàn xạ, nếu và chỉ nếu với mọi vật Y
và với mọi cặp cấu xạ β , β ' : B → Y ta có βα = β 'α ⇒ β = β ' , nghĩa là α giản ước
ñược bên phải.
ðịnh nghĩa 1.4(song xạ).
Một cấu xạ α : A → B ∈ MorC vừa là ñơn xạ vừa là tồn xạ, được gọi là
song xạ.
ðịnh nghĩa 1.5(ñẳng xạ). Một cấu xạ α : A → B ∈ MorC gọi là khả nghịch
hay ñẳng xạ nếu và chỉ nếu tồn tại một cấu xạ β : B → A ∈ MorC sao cho βα = 1A ,
αβ = 1B . Khi đó A được gọi là đẳng xạ hay tương đương với B , kí hiệu A ≅ B .
Học viên : ðoàn Văn Tiến

Chuyên ngành: ðại số và Lý thuyết số- K20


3

Tiểu luận : Môn Phạm trù và Hàm tử

ðịnh nghĩa 1.6(hạt nhân). Giả sử C là một phạm trù có vật không, và
α : A → B là một cấu xạ của nó. Ta gọi hạt nhân (kernel) của α là một cấu xạ

u : K → A sao cho :
1. α u = 0
2. Với mỗi cấu xạ u ' : K ' → A thỏa mãn ñiều kiện α u ' = 0 tồn tại một cấu
xạ duy nhất λ : K ' → K sao cho: uλ = u ' .
Kí hiệu u = ker(α ) có khi viết K = ker(α ) .
ðịnh nghĩa 1.7(ñối hạt nhân). Ta gọi ñối hạt nhân (cokernel) của một
cấu xạ α : A → B là một cấu xạ v : B → K * sao cho
1. vα = 0
2. Với mỗi cấu xạ v ' : B → K '* nghiệm ñúng v 'α = 0 tồn tại một cấu xạ duy
nhất µ : K * → K '* để v ' = µ v .
Kí hiệu v = co ker(α ) có khi viết K * = co ker(α ) .

2. HÀM TỬ
ðịnh nghĩa 2.1. Cho C , D là 2 phạm trù. Hàm tử hiệp biến h từ phạm trù
C ñến phạm trù D là một cặp ánh xạ :
. Ánh xạ vật h : obC → obD cho tương ứng mỗi vật A ∈ obC với một vật
h( A) ∈ obD .
. Ánh xạ cấu xạ h : MorC → MorD cho tương ứng mỗi cấu xạ f : A → B của phạm
trù C với một cấu xạ h( f ) : h( A) → h( B ) của phạm trù D
thỏa mãn các ñiều kiện sau :
i) h(1A ) = 1h ( A)
ii) h( gf ) = h( g )h( f )
Suy ra, hàm tử hiệp biến bảo tồn các đẳng xạ.
ðịnh nghĩa 2.2. Giả sử h : B → C và k : C → D là các hàm tử hiệp biến.
khi đó kh : B → D , A ֏ k (h( A)) , f ֏ k (h( f )) , xác ñịnh một hàm tử hiệp biến
h( gf ) = h( f )h( g ) , gọi là hợp thành của các hàm tử h và k .
Hàm tử h : C → D gọi là một ñẳng xạ phạm trù nếu tồn tại một hàm tử
k : D → C sao cho kh = 1C và hk = 1D .
Hàm tử h : C → D là một ñẳng xạ phạm trù khi và chỉ khi ánh xạ vật
h : obC → obD và ánh xạ cấu xạ h : MorC → MorD là những song ánh.

ðịnh nghĩa 2.3. Cho 2 hàm tử h, k : C → Set từ phạm trù C ñến phạm trù
các tập hợp. Hàm tử h ñược gọi là hàm tử con của hàm tử k nếu :
Học viên : ðoàn Văn Tiến

Chuyên ngành: ðại số và Lý thuyết số- K20


Tiểu luận : Môn Phạm trù và Hàm tử
. Với mọi A ∈ obC , h( A) là tập con của k ( A)

4

. Với mọi cấu xạ f ∈ MorC , h( f ) là một thu hẹp của k ( f ) .
ðịnh nghĩa 2.4. Cho C , D là 2 phạm trù. Hàm tử phản biến h từ phạm
trù C ñến phạm trù D là một cặp ánh xạ :
. Ánh xạ vật h : obC → obD cho tương ứng mỗi vật A ∈ obC với một vật
h( A) ∈ obD .
. Ánh xạ cấu xạ h : MorC → MorD cho tương ứng mỗi cấu xạ f : A → B của phạm
trù C với một cấu xạ h( f ) : h( A) → h( B ) của phạm trù D
thỏa mãn các ñiều kiện sau :
i) h(1A ) = 1h ( A)
ii) h( gf ) = h( f )h( g ) .
Hàm tử con của một hàm tử phản biến ñược ñịnh nghĩa hoàn toàn tương
tự như hàm tử con của một hàm tử hiệp biến. Từ đây trở đi, nếu khơng có nói gì
thêm, ta qui ước rằng hàm tử là hàm tử hiệp biến.
ðịnh nghĩa 2.5. Cho C , D là 2 phạm trù có vật khơng. Hàm tử h : C → D
gọi là bảo tồn vật khơng nếu h chuyển vật không của C thành vật không của
D.
h : C → D bảo tồn vật khơng khi và chỉ khi h chuyển mọi cấu xạ không
thành cấu xạ không.

ðịnh nghĩa 2.6. Hàm tử h : C → D gọi là bảo toàn hạt nhân nếu với mọi
cấu xạ f , nếu u = Kerf thì h(u ) = Kerh(f ) .
Hàm tử bảo tồn hạt nhân thì nó phải bảo tồn vật khơng (do vật khơng là
hạt nhân của ñẳng xạ).
ðịnh nghĩa 2.7. Cho C , D là 2 phạm trù khớp. Hàm tử h : C → D gọi là
khớp nếu h chuyển mọi dãy khớp trong C thành dãy khớp trong D .
ðịnh nghĩa 2.8. Hàm tử h : C → D gọi là trung thành nếu mọi cặp vật A, B
của C ta có : h : Mor( A, B) → Mor(h( A), h( B)) là ñơn ánh, tức là chuyển mỗi cặp
cấu xạ phân biệt thành cặp cấu xạ phân biệt.
Hàm tử h : C → D gọi là trung thành ñầy ñủ nếu mọi cặp vật A, B của C ta
có : h : Mor( A, B) → Mor(h( A), h( B)) là song ánh.
Hàm tử h : C → D trung thành ñầy ñủ và sao cho với mỗi vật B ∈ ObD
ñẳng xạ với một vật h( A) , A ∈ ObC , thì h được gọi là phép tương đương phạm
trù.
Học viên : ðoàn Văn Tiến

Chuyên ngành: ðại số và Lý thuyết số- K20


5

Tiểu luận : Môn Phạm trù và Hàm tử

PHẦN II. BÀI TẬP.
Bài 1. Cho C , D là 2 phạm trù khớp, h : C → D là một hàm tử. Chứng minh rằng
h bảo tồn đối hạt nhân khi và chỉ khi với mỗi dãy khớp ngắn trong C :
A→ B→C →0
ta có dãy khớp ngắn trong D : h( A) → h( B ) → h(C ) → 0 .

Chứng minh :

" ⇒ " . Giả sử h bảo tồn đối hạt nhân và dãy A → B → C → 0 là khớp. Khi đó
C → 0 là ñối hạt nhân của B → C . Suy ra h(C ) → 0 là ñối hạt nhân của
h( B ) → h(C ) , do đó h( B ) → h(C ) là toàn xạ.
Do A → B → C là khớp nên C là ñối hạt nhân của A → B . Do h bảo tồn
đối hạt nhân nên h(C ) là ñối hạt nhân của h( A) → h( B ) .
Theo trên, h( B) → h(C ) là tồn xạ nên h(C ) là đối ảnh của h( B) → h(C ) .
Vậy, h( A) → h( B ) → h(C ) → 0 là dãy khớp.
" ⇐ " . Xét cấu xạ f : A1 → A2 . Trong phạm trù khớp, f có sự phân tích qua ảnh
I như sau : A1 → I → A2 .
Gọi A2 → K là ñối hạt nhân của I → A2 (cũng là ñối hạt nhân của f ). Ta
sẽ chứng minh h( A2 ) → h( K ) là ñối hạt nhân của h( f ) : h( A1 ) → h( K ) .
Gọi J → A1 là hạt nhân của A1 → I .
Khi đó ta có hai dãy khớp ngắn : I → A2 → K → 0 ,
J → A1 → I → 0 .
Theo giả thiết, ta có các dãy khớp sau : h( I ) → h( A2 ) → h( K ) → 0
h( J ) → h( A1 ) → h( I ) → 0

Do đó, h( A2 ) → h( K ) là toàn xạ, là ñối hạt nhân của h( I ) → h( A2 ) và
h( A1 ) → h( I ) là toàn xạ.
Suy ra, h( A2 ) → h( K ) là ñối hạt nhân của h( A1 ) → h( I ) → h( A2 ) = h( A1 ) → h( A2 ) (ñiều phải
chứng minh).

Bài 2. Chứng minh rằng hảm tử h : C → D là một ñẳng xạ phạm trù khi và chỉ
khi ánh xạ vật h : obC → obD và ánh xạ cấu xạ h : MorC → MorD là những song
ánh.
Chứng minh :
" ⇒ " . Giả sử h : C → D là một đẳng xạ phạm trù. Khi đó, tồn tại hàm tử k : D → C
sao cho kh = 1C và hk = 1D .
*Xét h : obC → obD
Cho A, B ∈ C , giả sử h( A) = h( B) , khi đó :

k (h( A)) = k (h( B )) ⇔ (kh)( A) = (kh)( B ) ⇔ 1C ( A) = 1C ( B ) suy ra A = B vậy
h : obC → obD ñơn ánh (1).
Học viên : ðoàn Văn Tiến

Chuyên ngành: ðại số và Lý thuyết số- K20


6
Tiểu luận : Môn Phạm trù và Hàm tử
Với mỗi B ∈ obD ta có B = 1D ( B) = (hk )( B) = h(k ( B)) , như vậy tồn tại
A = k ( B ) ∈ obC ñể B = h( A) , vậy h : obC → obD là toàn ánh (2).
Từ (1) và (2) suy ra h : obC → obD là song ánh.

* Xét h : MorC → Mor D
Giả sử h(α ) = h(α ') (với α , α ' ∈ MorC )
Khi ñó, k (h(α )) = k (h(α ')) ⇔ (kh)(α ) = (kh)(α ') ⇔ 1C (α ) = 1C (α ') suy ra α = α ' , vậy
h : MorC → Mor D là ñơn ánh (3).
Với mỗi β ∈ Mor D , ta có β = 1D ( β ) = (hk )( β ) = h(k ( β )) , như vậy, tồn tại α = k ( β ) ,
ñể h(α ) = h( β ) , vậy h : MorC → Mor D là toàn ánh (4).
Từ (3) và (4), suy ra h : MorC → Mor D là song ánh.
Bài 3. Cho h : C → D là một hàm tử. Cho M là một tập hợp các cấu xạ trong
phạm trù C , h( M ) là tập hợp các cấu xạ h( f ) , f ∈ M . Ta nói hàm tử h phản ánh
một tính chất của M nếu mỗi khi h( M ) có tính chất ấy thì M cũng có tính chất
ấy.
a. Cho h là một hàm tử trung thành. Chứng minh rằng h phản ánh các đơn
xạ, tồn xạ, các biểu đồ giao hốn và vật khơng (nếu các phạm trù có vật
khơng).
b. Cho C , D là hai phạm trù khớp, h là một hàm tử trung thành và bảo tồn
vật khơng. Chứng minh h phản ánh các dãy khớp.
Chứng minh :

a.
α ,α '
β
* Cho X 
→ B 
→ C trong đó β là một ñơn xạ.
h (α ), h (α ')
h( β )
Giử sử h( X ) 
→ h( B ) 
→ h(C ) thỏa mãn ñiều kiện :
h( β )h(α ) = h( β )h(α ')

ñiều này tương ñương h( βα ) = h( βα ') , vì h trung thành nên suy ra βα = βα ' ,
vì β là một đơn xạ nên α = α ' , do đó, h(α ) = h(α ') , hay h( β ) là một ñơn xạ.
α
β ,β '
* Cho A 
→ B 
→ Y trong đó α là một tồn xạ.
h (α )
h ( β ), h ( β ')
Giả sử A 
→ B → Y thỏa mãn ñiều kiện :
h( β )h(α ) = h( β ')h(α )

ñiều này tương ñương h( βα ) = h( β 'α ) , vì h trung thành nên suy ra
βα = β 'α , vì α là một toàn xạ nên β = β ' , do đó h( β ) = h( β ') , hay h(α ) là
một ñơn xạ.
*

B

(1)

α

β

h(B)
h( α )

h( β )

(2)

γ
A

C

Học viên : ðoàn Văn Tiến

h(A)

h (γ )

h(C)

Chuyên ngành: ðại số và Lý thuyết số- K20

7

Tiểu luận : Môn Phạm trù và Hàm tử

Giả sử biều đồ (2) giao hốn, tức là, h(γ ) = h( β )h(α ) suy ra h(γ ) = h( βα ) , vì h
trung thành nên ta có γ = βα , hay biểu (1) giao hoán.
* Việc chứng minh hình vng giao hốn là hồn tồn tương tự.

Học viên : ðoàn Văn Tiến

Chuyên ngành: ðại số và Lý thuyết số- K20


8

Tiểu luận : Môn Phạm trù và Hàm tử

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Ngơ Thúc Lanh : ðại số (Giáo trình sau đại học)
[2] Sze-Tsen Hu : Nhập mơn ðại số ñồng ñiều
[3] Berry Mitchell : Theory of Categories

Học viên : ðoàn Văn Tiến

Chuyên ngành: ðại số và Lý thuyết số- K20