Đề kiểm tra cuối năm lớp 11 trắc nghiệm

ĐỀ CUỐI KÌ 2.TỐN 11

KIỂM TRA CUỐI KÌ 2
Mơn tốn 11
ĐỀ BÀI
Câu 1.

Khẳng định nào sau đây là sai?

1
=0
A. n → +∞ n
.
C.

lim

1
=0
B. n → +∞ n k
với k nguyên dương.

lim q n = 0 ( q > 1) .

D.

lim

n → +∞

lim C = C

x → x0

.

1

Câu 2.

Tính tổng
A.

Câu 3.

Câu 4.

q=−
S của cấp số nhân lùi vơ hạn có số hạng đầu u1 = 1 và công bội
2.

S = 2.

B.

Giới hạn

lim ( x3 + 1)
x→ 2

Câu 8.

S = 1.

D.

S=

2
3.

−3.
− 2,72 .

D. 1 .

+∞ .

B.

−∞ .

C. 9. D. 1 .

khi x ≠ − 5
khi x = − 5 liên tục tại
B.

Số gia của hàm số

3

C. 2 .

bằng:

 − x 2 + 25

f ( x) =  x + 5
 x - 5a
Để


A.
Câu 7.

C.

5− x
Giới hạn x →−∞ x + 2022 bằng :
5
A. − 1 .
B. 2022 .

A.
Câu 6.

3
2.

lim

A.

Câu 5.

S=

8.

C.

f ( x ) = 2 x2 + x + 2
B.

tại điểm

xo = −5

thì

a bằng:

−5.

1 1
y = − x + x 2 − 0,25 x 4
] Đạo hàm của hàm số
là:
4 3
1
1

1
y ′ = − + 2 x − 2 x3
y′ = + x − 2 x3
y′ = − + x − 2 x3
A.
. B.
. C.
.
3
3
3
Cho giả sử

u = u( x), v = v( x)

6.

x0 = 1 ứng với số gia ∆ x = 0,2
C. 1,08 .

5.

D.

D.

bằng bao nhiêu?

2,28 .

1
y ′ = − + 2 x − x3
D.
.
3

là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.

u
( v = v( x) ≠ 0 ) là:
Đạo hàm của hàm số
v
u.v '− u '.v
u '.v − v '.u
u.v '− u '.v
y' =
y'=
y' =
A.
.
B.
.
C.
.
v
v
v2
y=

Câu 9.

Cho hàm số
A.

Trang 1

6.

f ( x) = 2 x3 + 1. Giá trị f ′ (− 1)
B.

3.

D.

y'=

bằng:
C.

−2.

D.

−6.

u '.v − v '.u
.
v2

ĐỀ CUỐI KÌ 2.TỐN 11

Câu 10.

Cho giả sử

u = u ( x), v = v( x)

y= u+ v

Đạo hàm của hàm số
A.
Câu 11.

y ' = u '.v ' .

Cho hàm số

y=

7
A. (2 x − 1) 2 .
Câu 12. Cho hàm số

B.

Hàm số
A.

Câu 14.

Câu 15.

C.

B. 1 .

C.

0.

B.

y′ = − cos x .

C.

y′ = − sin x .

y ' = u '+ v ' .

13
D. (2 x − 1)2 .

D. Không tồn tại.

D.

y′ =

1
cos x .

y = cos u ( x ) có đạo hàm là:
B.

y′ = u′ ( x ) sin u ( x ) .

C.

y′ = − sin u ( x ) .

D.

y′ = sin u ( x ) .

Đạo hàm của hàm số

y = 5sin x − 3cosx .

y′ = 5cos x + 3sin x.
y′ = cosx + sin x.

y′ = cos x + 3sin x.
D. y′ = 5cos x − 3sin x.
B.

Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . Gọi
khẳng định nào đúng?

A.

D.

y = sin x có đạo hàm là:

y′ = − u′ ( x ) sin u ( x ) .

C.

M là trung điểm của BB ' . Trong các khẳng định sau,

uuuur uuur uuur
AM = AB + AA′ .

B.

uuuur uuur 1 uuur
AM = AB + AA′
C.
.
2

uuuur uuuur uuur
AM = 2 AB + AA′ .

uuuur 1 uuur 1 uuur
AM = AB + AA′
D.
.

2
2

ABCD. A ' B ' C ' D ' . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
B. BB′ ⊥ BD .
C. A′ B ⊥ DC ′ .
D. BC ′ ⊥ AD′ .

Câu 17.

Cho hình lập phương

Câu 18.

A. A′ C ′ ⊥ BD .
Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Nếu đường thẳng

d ⊥ (α )

B. Nếu đường thẳng

d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong ( α )

C. Nếu đường thẳng

d

thì

d sẽ vng góc với mọi đường thẳng nằm trong ( α ) .
thì

d ⊥ (α ) .

vng góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong

(α ) .
D. Nếu đường thẳng d ⊥ ( α ) và a / / ( α )

góc với mọi đường thẳng nằm trong

Trang 2

u.v '− u '.v
.
v2

A.

A.

Câu 16.

y ' = u '.v + v '.u .

y' =

f ( x ) = x − 1 . Đạo hàm của hàm số tại x = 1 là

y′ = cos x .

Hàm số

là:

3x + 5
− 1 + 2 x . Đạo hàm y′ của hàm số là:
1
13
−
2
B. (2 x − 1) .
C. (2 x − 1)2 .

1
A. 2 .
Câu 13.

là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.

thì

d ⊥ a.

(α )

thì

d

vng


ĐỀ CUỐI KÌ 2.TỐN 11

Câu 19.

Cho hình chóp

( ABC )
A.
Câu 20.

· .
SBC

mặt phẳng

B.

· .
SBA

( SAB )

B.

2a .

a 2.

−5
C. 8 .

5
D. 2 .

a

để hàm số đã cho liên tục

x0 = 0 .

5
2.

B.

a=

−1
2 .

C.

a=

2.

B.

3
2.

D.

0.

a=

7
2.

khi x ≠ 0
khi x = 0 . Giá trị f ′ ( 0 ) bằng

1
C. 2 .

x2 + x
y=
Cho hàm số
x − 2 . Đạo hàm của hàm số tại

y′ ( 1) = − 4.

Đạo hàm của hàm số
A.

Trang 3

· .
SCA

D. Khơng tồn tại.

x6 2x3 1
y= +
− +8
Tìm đạo hàm của hàm số
2 3 x
1
1
y′ = 3x5 + 2x2 − 2 + 1
y′ = 3x5 + 2x2 − 2
A.
B.
x
x .
1
′ = 3x5 + 2x2 + 2
y
5
2
C. y′ = 3x + 2x − 1
D.
x .

A.

Câu 26.

C.

 4 x2 + 1 − 1

f ( x) = 
x

Cho hàm số f ( x ) xác định bởi
0
A.

Câu 25.

a=

D.

a
D. 2 .

 4 x − 2 + a khi x ≤ 0

f ( x ) =  3x + 1 − 1
khi x > 0

Cho hàm số
. Tìm tất cả giá trị của
x



A.

Câu 24.

· .
SCB

bằng

a.

tại điểm

Câu 23.

C.

S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) . Khoảng cách từ C đến

2 x 2 + 3x − 2
lim
Câu 21. Giới hạn hàm số x → − 2 4 − x 2
bằng
5
5
−
A. 4 .
B. 4 .

Câu 22.

và

là góc nào ?

Cho hình chóp

A.

S. ABC có đáy là tam giác vng tại B ; SA ⊥ ( ABC ) . Góc giữa ( SBC )

B.

y′ ( 1) = − 5.

C.

y = cos ( x 2 − 4 x + 5 ) là

y′ = − ( 2 x − 4 ) sin ( x 2 − 4 x + 5 ) .

x = 1 là

B.

y′ ( 1) = − 3.

D.

y′ ( 1) = − 2.

y′ = ( 2 x − 4 ) sin ( x 2 − 4 x + 5 ) .


ĐỀ CUỐI KÌ 2.TỐN 11

C.
Câu 27.

C.

y = 5sin 3x − 7 cos 4 x là
y′ = 15sin3x − 28cos4 x .
y′ = 15cos3x + 28sin 4 x .

Câu 30.

Câu 31.

Câu 33.

B.

0.

Đạo hàm cấp hai của hàm số
A.

y′′ = 30 x 4 − 24 x + 2 .

C.

y′′ = 6 x5 − 12 x 2 + 2 .

B.
D.

y′ = 15cos3x − 28sin 4 x .
y′ = 5cos3x + 7sin 4 x .

B.

C.

3.

y = x 6 − 4 x3 + 2 x + 2022

D. 1 .
với

x∈ ¡

là

y′′ = 30 x 4 − 24 x .
D.

y′′ = 6 x5 − 12 x 2 .

A.

y = x.cosx . Tìm hệ thức đúng trong các hệ thức sau:
y′′ + y = sin x + 2 x cos x .
B. y′′ + y = 2sin x .

C.

y′′ + y = − sin x + x cos x .

Cho hàm số

D.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi tâm
sau đây , mệnh đề nào sai ?

y′′ + y = − 2sin x .

O và SA = SC , SB = SD . Trong các mệnh đề

C. BD ⊥ SA .
D. AC ⊥ SA .
BD ⊥ AC .
Cho tứ diện MNPQ có hai tam giác MNP và QNP là hai tam giác cân lần lượt tại M và Q .
Góc giữa hai đường thẳng MQ và NP bằng
A. 45° .
B. 30° .

C. 60° .
D. 90° .
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành tâm O , SA = SC , SB = SD . Trong các khẳng
A.

Câu 32.

y′ = − sin ( x 2 − 4 x + 5 ) .

 5π 
π
f ( x ) = tan  x + ÷
x=
Tính đạo hàm của hàm số
3  tại điểm

3.
2
A. 3 .

Câu 29.

D.

Đạo hàm của hàm số
A.

Câu 28.

y′ = ( x 2 − 4 x + 5) sin ( x 2 − 4 x + 5 ) .

AC ⊥ SD .

B.

định sau khẳng định nào đúng ?

A.
Câu 34.

SA ⊥ ( ABCD ) .

Cho hình chóp

B.

SO ⊥ ( ABCD ) .

S . ABCD

có đáy

ABCD

C.

SC ⊥ ( ABCD ) .

là hình thoi và

SB

D.

vng góc với mặt phẳng

( ABCD ) . Mặt phẳng nào sau đây vng góc với mặt phẳng ( SBD ) ?
A. ( SBC ) .
B. ( SAD ) .
C. ( SCD ) .
Câu 35.

Cho hình chóp

S .ABC

có

SA ^ ( ABC ) , SA = AB = 2a ,

khảo hình vẽ). Khoảng cách từ

Trang 4

A đến mặt phẳng ( SBC )

tam giác

bằng:

SB ⊥ ( ABCD ) .

D.

( SAC ) .

ABC vuông tại B

(tham


ĐỀ CUỐI KÌ 2.TỐN 11

A.
Câu 36.

a 3.

Cho

B.

lim

a.

C.

9

Cho

D.

a 2.

1 + 2 + ... + n a
a
= (a, b ∈ ¥ ; a ≠ 0)
2
, b là phân số tối giản. Giá trị T = a 2 + b 2 là
2n + 1
b
A. 17 .

Câu 37.

2a .

lim
x→ 1

B.

5.

C. 16 . D.

a
2 − x −1

a
= − ( a, b ∈ ¥ ; b ≠ 0 )
, b là phân số tối giản. Giá trị T =
x −1
b

A. 11 .

B.

7.

2022 .

2a + b là

C. 19 .

D. 17 .

 x+ 8−a

khi − 8 ≤ x ≠ 1
f x =  x−1
.

b
khi x = 1
Cho hàm số
Tìm a,b để hàm số liên tục tại



( )

Câu 38.

Câu 39.

1
a = 3;b = .
A.
6

1
a = ;b = 3.
B.
6

1
a = - 3;b = .
C.
6

x = 1.

1
a = ±3;b = .
D.
6

Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường đi được của đoàn tàu
là một hàm số của thời gian

t

được cho bởi phương trình

s ( t ) = 10 + t + 9t 2 − t 3

trong đó

s tính

bằng mét, t tính bằng giây. Trong 5 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, đoàn tàu đạt vận tốc
lớn nhất bằng bao nhiêu?
A. 1m / s .
Câu 40.

Cho hàm số
hai điểm
A.

Câu 41.

2.

28m / s .

C. 16m / s .

D.

3m / s .

3x + 2
( C ) , có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị ( C ) cắt trục Oy, Ox lần lượt tại
x+1

A và B

sao cho diện tích tam giác
B. 1 .

AOB bằng 2 ?
C. 4 .

D. 3 .

ABCD. A′ B′C ′D′ . Trên đoạn thẳng AC và DC ′ lần lượt lấy các điểm
N sao cho MN song song với BD′ . Biết BD ' = 6 cm , tính độ dài đoạn thẳng MN .

Cho hình hộp chữ nhật

M
A.

Trang 5

y=

B.

và

4cm .

B.

2cm .

C.

3cm .

D. 1cm .


ĐỀ CUỐI KÌ 2.TỐN 11

Câu 42 .

Cho hình chóp

S. ABC có đáy ABC

là tam giác vng cân tại

· = 60° . Gọi M là trung điểm cạnh
và BSC
Khẳng định nào sau đây đúng ?

S

A.
Câu 43.

BC ⊥ ( SAB ) .

B.

Cho hình lập phương

( MBC )

O

qua

SH ⊥ ( ABCD ) .

ABCD. A′ B′C ′D′

Cho hình chóp

a 6
A. 6 .
Cho dãy số

S . ABCD ,

cos ϕ =

6
6 .

( un )

a . O là giao điểm của AC
cắt

A′ B′

tại

CD ⊥ ( SHK ) .

và

BD , I là điểm đối

M . Cosin góc giữa ( MAD )

15 15
C. 85 .

ABCD

đáy

AC

và

Tính biểu thức : S

2.

và

I = lim

60° .

45° . Hình chiếu vng góc của S

lên

BD . Tính Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) .

b

x→ 1

là số nguyên tố thì a 2 + b 2
C.

=?

5.

D. 13 .

ax 2 + 2 + bx − 1
=c
với a, b, c là số thực.
x3 − 3x + 2

= a 2 + 12abc − b2
B. 1 .

Tìm tất cả các giá trị của tham số

C. 3 .

D.

4.

2
3
m để phương trình ( m − 3m + 2 ) x − 3x + 1 = 0 có nghiệm.

C. m∈ ¡ \ { 1;2} .
D. m∈ ∅ .
m∈ ¡ .
Một vật chuyển động trong 1 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị

A.

m∈ { 1;2}

17 17
D. 85 .

là hình thang cân có góc ở đáy bằng

tạo với đáy một góc

và

B. 10 .

8.

Câu 47. Tính giới hạn sau :

A.

D.

a 6
a 6
2a 6
B. 2 .
C. 3 .
D. 3 .
 u1 = 3
∀n ∈ ¥*

2

thoả mãn  2.un+1 = un + 3
. Khi đó giới hạn lim un = a b với

a, b là các số nguyên dương
A.

cạnh

13 5
B. 85 .

đáy trùng với giao điểm của

Câu 49.

D.

AB ⊥ ( SAD ) .

C.

( A′ B′C′D′ ) . Mặt phẳng ( IAD )

AB = 2CD = 2a , mặt phẳng ( SAB )

Câu 48.

3
6 .

bằng bao nhiêu?

13 17
A. 85 .

Câu 46.

C.

cos ϕ =

AB và CM .

S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a . Tam giác SAB đều và SC = a 2 . Gọi
H , K lần lượt là trung điểm của AB và CD . Mệnh đề nào sau đây là sai?

xứng với

Câu 45.

B.

6
2 .

cos ϕ =

là góc giữa đường thẳng

Cho hình chóp

A.
Câu 44.

6
3 .

cos ϕ =

SB , ϕ

C . Tam giác SAB vng cân tại

.

B.

vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là

1
I ( ;8)
một phần của đường parabol có đỉnh 2
và trục đối xứng song song với trục tung.
Trang 6


ĐỀ CUỐI KÌ 2.TỐN 11

Tính gia tốc của vật lúc

A. 16
Câu 50.

( km / h ) .

Cho

2

hàm

t = 0,25 ( h )

B.

số

− 16 ( km / h 2 ) .

y = f ( x)

có

2 f (2 x) + f (1 − 2 x) = 12 x 2 , ∀x ∈¡

đạo

C.

8 ( km / h 2 ) .

hàm

liên

tục

− 8 ( km / h 2 ) .

D.

¡

trên

và

. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

điểm có hồnh độ bằng 1 là
A.
1.C
11.C
21.B
31.D
41.B.
Câu 1.

y = 2 x − 2.
2.D

12.D
22.D
32.D
42.D

B.

3.A
13.A
23.A
33.B
43.C

y = 4 x − 6.

C.

y = 2 x − 6.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
4.C
5.A
6.C
7.D
8.D
14
15.A
16.C
17.D
18.B

24.D
25.B
26.A
27.C
28.D
34.D
35.D
36.A
37.A
38.A
44.A
45.B
46.B
47.B
48.B

D.
9.A
19.B
29.B
39.B
49.A

thoả

y = f ( x)

y = 4 x − 2.
10.D
20.A

30.D
40.A
50.D

Khẳng định nào sau đây là sai?

1
=0
A. n → +∞ n
.
C.

lim

1
=0
B. n → +∞ n k
với k nguyên dương.

lim q n = 0 ( q > 1) .

D.

lim

n → +∞

lim C = C

x → x0

.

Lời giải
Từ định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số ta suy ra

Câu 2.

1
Tính tổng S của cấp số nhân lùi vơ hạn có số hạng đầu u1 = 1 và công bội
2.
3
2
S=
S=
A. S = 2 .
B.
C. S = 1 .
D.
2.
3.
q=−

Lời giải

Ta có:
Trang 7

lim q n = 0 ( q > 1) không đúng

n → +∞

S=

u1
1− q

=

1
 1 2
1−  − ÷ =
 2 3

mãn
tại


ĐỀ CUỐI KÌ 2.TỐN 11

Câu 3.

5− x
Giới hạn x →−∞ x + 2022 bằng :
lim

A.

5
B. 2022 .

− 1.

3
C. 2 .

D. 1 .

Lời giải

5
−1
x
= −1
5 − x = xlim
→−∞
2022
lim
1+
Ta có: x →−∞ x + 2022
.
x
Câu 4.

Giới hạn
A.

x→ 2

+∞ .

Ta có:

Câu 5.

lim ( x3 + 1)

bằng:
B.

Lời giải

x→2

−3.

Ta có:

D. 1 .

C. 9.

lim ( x3 + 1) = 23 + 1 = 9 .

 − x 2 + 25

f ( x) =  x + 5
 x - 5a
Để


A.

−∞ .

khi x ≠ − 5
khi x = − 5 liên tục tại
B.

8.

xo = −5

C.
Lời giải

thì

a bằng:

−5.

D.

6.

f (− 5) = − 5 − 5a .
− x 2 + 25
x →−5
x+5

lim f ( x) = lim

x →−5

= lim ( 5 − x ) = 10 .
x→ − 5

Hàm số
Câu 6.

y = f ( x)

Số gia của hàm số
A.

− 2,72 .

liên tục tại

xo = −5

f ( x ) = 2x2 + x + 2
B.

5.

khi

lim f ( x ) = f (− 5)

x→ − 5

tại điểm

x0 = 1 ứng với số gia ∆ x = 0,2
C. 1,08 .

Lời giải.
Áp dụng công thức:

∆ y = f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) = f ( 1 + 0,2 ) − f ( 1) = 6,08 − 5 = 1,08 .
Câu 7.
Trang 8

⇔ − 5 − 5a = 10 ⇔ a = − 3 .

1 1
y = − x + x 2 − 0,25 x 4
Đạo hàm của hàm số
là
4 3

D.

bằng bao nhiêu?

2,28 .


ĐỀ CUỐI KÌ 2.TỐN 11

1
1
1
y ′ = − + 2 x − 2 x3
y′ = + x − 2 x3
y′ = − + x − 2 x3
A.
. B.
. C.
.
3
3
3

1
y ′ = − + 2 x − x3
D.
.
3

Lời giải

1 ′  1 ′
1

y′ =  ÷ −  x ÷ + ( x 2 ) ′ − ( 0, 25 x 4 ) ′ = − + 2 x − x3
.
3
4 3 

Câu 8.

Cho giả sử

u = u( x), v = v( x)

Đạo hàm của hàm số

A.

y' =

u.v '− u '.v
.
v

y=

B.

là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.

u
( v = v( x) ≠ 0 ) là:
v
y'=

u '.v − v '.u
.
v

C.

y' =

u.v '− u '.v
.
v2

D.

y'=

u '.v − v '.u
.
v2

Lời giải

y' =
Câu 9.

[1D5-2.1-1] Cho hàm số
A.

6.

B.

f ( x) = 2 x3 + 1. Giá trị f ′ (− 1)

3.

C.

u '.v − v '.u
.
v2

bằng:

−2.

D.

−6.

Lời giải

Có
Câu 10.

f ( x) = 2 x3 + 1 ⇒ f ′ ( x) = 6 x 2 ⇒ f ′ (− 1) = 6.(− 1)2 = 6.

Cho giả sử

u = u( x), v = v( x)

Đạo hàm của hàm số

A.

y ' = u '.v ' .

y= u+ v
B.

là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.
là:

y ' = u '.v + v '.u .

C.

y' =

u.v '− u '.v
.
v2

D.

y ' = u '+ v ' .

Lời giải

y ' = u '+ v '
Câu 11.

Cho hàm số

y=

7
A. (2 x − 1) 2 .
Trang 9

3x + 5
− 1 + 2 x . Đạo hàm y′ của hàm số là:
1
B. (2 x − 1) 2 .

13
C. (2 x − 1)2 .
−

13
D. (2 x − 1)2 .


ĐỀ CUỐI KÌ 2.TỐN 11

Lời giải

Ta có

y′ =

( 3x + 5) ′ . ( 2 x − 1) − ( 3x + 5) ( 2 x − 1) ′
2

( 2 x − 1)
=

Câu 12. Cho hàm số

3 ( 2 x − 1) − 2 ( 3x + 5 )

( 2 x − 1)

2

=

−13

( 2 x − 1)

2

f ( x ) = x − 1 . Đạo hàm của hàm số tại x = 1 là

1
A. 2 .

B. 1 .

C.

0.

D. Không tồn tại.

Lời giải

Ta có
Câu 13.

Hàm số

A.

f ′( x) =

1
2 x −1

y = sin x có đạo hàm là:

y′ = cos x .

B.

y′ = − cos x .

C.

y′ = − sin x .

D.

y′ =

1
cos x .

Lời giải.
Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11:
Câu 14.

Hàm số

( sin x ) ' = cos x .

y = cos u ( x ) có đạo hàm là:

A.

y′ = − u′ ( x ) sin u ( x ) .

B.

y′ = u′ ( x ) sin u ( x ) .

C.

y′ = − sin u ( x ) .

D.

y′ = sin u ( x ) .

Lời giải.
Theo công thức
đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11:
Câu 15.

Đạo hàm của hàm số

( cos u ( x ) ) ' = − u ' ( x ) sin u ( x ) .

y = 5sin x − 3cos x .

A.

y′ = 5cos x + 3sin x.

B.

y′ = cos x + 3sin x.

C.

y′ = cos x + sin x.

D.

y′ = 5cosx − 3sin x.

Lời giải.
Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11:

Trang 10

y = 5sin x − 3cos x ⇒ y' = 5cos x + 3sin x .


ĐỀ CUỐI KÌ 2.TỐN 11

Câu 16.Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . Gọi
định nào đúng?
A.

M là trung điểm của BB ' . Trong các khẳng định sau, khẳng

uuuur uuur uuur
AM = AB + AA′ .

B.

uuuur uuur 1 uuur
AM = AB + AA′
C.
.
2

uuuur uuuur uuur
AM = 2 AB + AA′ .

uuuur 1 uuur 1 uuur
AM = AB + AA′

D.
.
2
2
Lời giải

Vì

M là trung điểm của BB ' nên ta có:

uuuur uuur

uuur

uuuur uuur uuur ⇔ AM = AB + 1 AA′
uuuur uuur uuur
.
2
2AM = AB + AB′ ⇔ 2 AM = 2 AB + AA′
Câu 17.

Cho hình lập phương
A.

A′ C ′ ⊥ BD .

ABCD. A ' B ' C ' D ' . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
B. BB′ ⊥ BD .
C. A′ B ⊥ DC ′ .
D. BC ′ ⊥ AD′ .

Lời giải

Ta có
Câu 18.

BC ′ ∥ AD′

Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Nếu đường thẳng

d ⊥ (α )

B. Nếu đường thẳng

d vng góc với hai đường thẳng nằm trong ( α )

C. Nếu đường thẳng

d

thì

d sẽ vng góc với mọi đường thẳng nằm trong ( α ) .
d ⊥ (α ) .

vng góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong

góc với mọi đường thẳng nằm trong
Trang 11

thì

(α )

.

(α )

thì

d

vng


ĐỀ CUỐI KÌ 2.TỐN 11

D. Nếu đường thẳng

d ⊥ (α )

và

a / /( α )

thì

d ⊥ a.

Lời giải

Điều kiện cần và đủ để
nằm trong
Câu 19.

A.

là đường thẳng

d

vng góc với hai đường thẳng cắt nhau

(α ) .

Cho hình chóp

( ABC )

d ⊥ (α )

S. ABC có đáy là tam giác vng tại B ; SA ⊥ ( ABC ) . Góc giữa ( SBC )

và

là góc nào ?

· .
SBC

B.

· .
SBA

C.

· .
SCB

D.

· .
SCA

Lời giải

Ta có:

BC ⊥ AB 
 ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB
BC ⊥ SA 
.
Suy ra
Câu 20.

·
( ( SBC ) ; ( ABC ) ) = SBA
.

Cho hình chóp
mặt phẳng
A.

a.

S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) . Khoảng cách từ C đến

( SAB )

bằng
B.

2a .

C.
Lời giải

Trang 12

a 2.

a
D. 2 .


ĐỀ CUỐI KÌ 2.TỐN 11

Vì :

BC ⊥ AB 
 ⇒ BC ⊥ ( SAB )
BC ⊥ SA 
. Suy ra d C ; ( SAB ) = CB = a .

(

)

2 x 2 + 3x − 2
lim
Câu 21. Giới hạn hàm số x → − 2 4 − x 2
bằng

5
A. 4 .

5
B. 4 .
−

−5
C. 8 .

5
D. 2 .

Lời giải

2x − 1 5

2 x 2 + 3x − 2 = lim ( 2 x − 1) ( x + 2 )
=
lim
x
→−
2
( 2 − x ) ( 2 + x ) x→ − 2 2 − x = − 4 .
Cách 1: Ta có x → − 2 4 − x 2
lim

2 x 2 + 3x − 2
Cách 2: Bấm máy tính như sau:
/ CACL / x = − 2 + 10 − 9 ra kết quả và so đáp án.
4 − x2
Câu 22.

 4 x − 2 + a khi x ≤ 0

f ( x ) =  3x + 1 − 1
khi x > 0

Cho hàm số
. Tìm tất cả giá trị của
x


a

để hàm số đã cho liên tục tại điểm

x0 = 0 .
A.

a=

5
2.

B.

a=

−1
2 .

C.
Lời giải

TXĐ:
Ta có:
Trang 13

D= ¡

.

a=

3
2.

D.

a=

7
2.


ĐỀ CUỐI KÌ 2.TỐN 11

lim f ( x ) = lim− ( 4 x − 2 + a ) = a − 2 .

x → 0−

x→ 0

3x + 1 − 1
= lim+
x→ 0
x
x

lim+ f ( x ) = lim+

x→ 0

x→ 0

(

3x

)

3x + 1 + 1

= lim+
x→ 0

3
3
=
3x + 1 + 1 2 .

f ( 0) = a − 2 .
Để hàm số liên tục tại

Câu 23.

3
7
⇔
a
−
2
=
⇔
a
=

⇔
lim
f
x
=
lim
f
x
=
f
0
(
)
(
)
(
)
x0 = 0 x→ 0−
2
2.
x → 0+

 4 x2 + 1 − 1

f ( x) = 
x

Cho hàm số f ( x ) xác định bởi
0
A.

2.

B.

khi x ≠ 0
khi x = 0 . Giá trị f ′ ( 0 ) bằng

1
C. 2 .

0.

D. Không tồn tại.

Lời giải

D= ¡

TXĐ:

lim
Ta có :
Vậy

Câu 24.

x→ 0

.

f ( x ) − f ( 0)
4 x2 + 1 − 1
= lim
= lim
x→ 0
x→ 0 2
x−0
x2
x

(

4x2

)

4x + 1 + 1
2

= lim
x→ 0

4
4x + 1 + 1
2

=2
.

f ′ ( 0) = 2 .

x6 2x3 1
y= +
− +8
Tìm đạo hàm của hàm số
2 3 x
A.

C.

y′ = 3x5 + 2x2 −

1
+1
x2

B.

y′ = 3x + 2x − 1
5

2

D.

y′ = 3x5 + 2x2 −
y′ = 3x5 + 2x2 +

1

x2 .

1
x2 .

Lời giải.

x6 2x3 1
1
y= +
− + 8⇒ y′ = 3x5 + 2x2 + 2
Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11:
2 3 x
x .
Câu 25.

x2 + x
y=
Cho hàm số
x − 2 . Đạo hàm của hàm số tại
A.

y′ ( 1) = − 4.

B.

y′ ( 1) = − 5.
Lời giải.

Trang 14

x = 1 là
C.

y′ ( 1) = − 3.

D.

y′ ( 1) = − 2.


ĐỀ CUỐI KÌ 2.TỐN 11

x2 + x
6
6
y=
⇔ y = x + 3+
⇒ y' = 1−
2
x− 2
x− 2
( x − 2)
Vậy
Câu 26.

y′ ( 1) = − 5.

Đạo hàm của hàm số

y = cos ( x 2 − 4 x + 5 ) là

A.

y′ = − ( 2 x − 4 ) sin ( x 2 − 4 x + 5 ) .

B.

y′ = ( 2 x − 4 ) sin ( x 2 − 4 x + 5 ) .

C.

y′ = ( x 2 − 4 x + 5) sin ( x 2 − 4 x + 5 ) .

D.

y′ = − sin ( x 2 − 4 x + 5 ) .

Lời giải
Ta có

y′ = − ( x 2 − 4 x + 5 ) ′ sin ( x 2 − 4 x + 5) = − ( 2 x − 4 ) sin ( x 2 − 4 x + 5 ) .
Câu 27.

Đạo hàm của hàm số

y = 5sin 3x − 7 cos 4 x là

A.

y′ = 15sin3 x − 28cos4 x .

B.

y′ = 15cos3x − 28sin 4 x .

C.

y′ = 15cos3 x + 28sin 4 x .

D.

y′ = 5cos3x + 7sin 4 x .

Lời giải

Ta có
Câu 28.

y′ = 5.3cos3x + 7.4sin 4 x = 15cos3 x + 28sin 4 x .

 5π 
π
f ( x ) = tan  x + ÷
x=
Tính đạo hàm của hàm số
3  tại điểm

3.
2

A. 3 .

B.

0.

3.

C.

D. 1 .

Lời giải

f ′( x) =
Ta có

Câu 29.

1
π 
f ′ ÷=
 3  cos 2  π + 5π

Suy ra
3 3


÷


Đạo hàm cấp hai của hàm số

y = x 6 − 4 x3 + 2 x + 2022

=1
.

x∈ ¡

là

A.

y′′ = 30 x 4 − 24 x + 2 .

B.

y′′ = 30 x4 − 24 x .

C.

y′′ = 6 x5 − 12 x 2 + 2 .

D.

y′′ = 6 x5 − 12 x 2 .

Lời giải
Trang 15

với

1
 5π 
cos 2  x + ÷
3 .



ĐỀ CUỐI KÌ 2.TỐN 11

Ta có
Suy ra
Câu 30.

y′ = 6 x5 − 12 x 2 + 2

y′′ = 30 x 4 − 24 x .

Cho hàm số

y = x.cosx . Tìm hệ thức đúng trong các hệ thức sau:

A.

y′′ + y = sin x + 2 x cos x .

B.

y′′ + y = 2sin x .

C.

y′′ + y = − sin x + x cos x .

D.

y′′ + y = − 2sin x .

Lời giải
Ta có

y′ = cosx − x sin x ⇒ y′′ = − 2sin x − x cos x .
Khi đó
Câu 31.

y′′ + y = − 2sin x − x cos x + x cos x = − 2sin x .

Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi tâm
sau đây , mệnh đề nào sai ?
A.

AC ⊥ SD .

SAC
Do đó SO ⊥ AC .
Ta có tam giác

B.

cân tại

Nên trong tam giác vng
góc
Câu 32.

và

SOA

SO

thì

Lời giải

D.

AC ⊥ SA .

là đường trung tuyến cũng đồng thời là đường cao.

AO

và

SA

khơng thể vng tại

MNPQ có hai tam giác MNP và QNP

Góc giữa hai đường thẳng

Trang 16

S

BD ⊥ SA .

C.

A

hay

AC

khơng vuông

SA .

Cho tứ diện

A.

BD ⊥ AC .

O và SA = SC , SB = SD . Trong các mệnh đề

45° .

B.

là hai tam giác cân lần lượt tại

MQ và NP bằng

30° .

C.
Lời giải

60° .

D.

90° .

M và Q .


ĐỀ CUỐI KÌ 2.TỐN 11

Gọi
Câu 33.

I

ïìï NP ^ MI
í
là trung điểm của NP , ta có: ïïỵ NP ^ QI Þ NP ^ ( QIM ) Þ

Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành tâm
định sau khẳng định nào đúng ?
A.

SA ⊥ ( ABCD ) .

B.

SO ⊥ ( ABCD ) .

C.

NP ^ QM .

O , SA = SC , SB = SD . Trong các khẳng

SC ⊥ ( ABCD ) .

D.

SB ⊥ ( ABCD ) .

Lời giải

Ta có
Mà

O là trung điểm của AC, BD

SA = SC,SB = SD ⇒ SO ⊥ AC,SO ⊥ BD

⇒ SO ⊥ ( ABCD ) .
Câu 34.

Cho hình chóp

S . ABCD

có đáy

ABCD

là hình thoi và

SB

vng góc với mặt phẳng

( ABCD ) . Mặt phẳng nào sau đây vng góc với mặt phẳng ( SBD ) ?
A. ( SBC ) .
B. ( SAD ) .
C. ( SCD ) .
Lời giải

Trang 17

D.

( SAC ) .


ĐỀ CUỐI KÌ 2.TỐN 11

 AC ⊥ BD
⇒ AC ⊥ ( SBD ) ⇒ ( SAC ) ⊥ ( SBD )

Ta có  AC ⊥ SB
.
Câu 35.

Cho hình chóp

S . ABC

có

SA ^ ( ABC ) , SA = AB = 2a ,

khảo hình vẽ). Khoảng cách từ

A.

Trang 18

a 3.

B.

a.

A đến mặt phẳng ( SBC )

C.
Lời giải

2a .

tam giác

ABC vuông tại B

bằng:

D.

a 2.

(tham


ĐỀ CUỐI KÌ 2.TỐN 11

Gọi

H

là trung điểm cạnh

SB .

ìï AH ^ BC ( BC ^ ( SAB) )
ï
Þ AH ^ ( SBC )
í
ïï AH ^ SB
.
ỵ
Do đó khoảng cách từ

Câu 36.

Cho

lim

A đến mặt phẳng ( SBC )

là

AH =

SB 2a 2
=
=a 2
.
2

2

1 + 2 + ... + n a
a
=
(
a
,
b
∈
¥
;
a
≠
0)
, b là phân số tối giản. Giá trị T = a 2 + b 2 là
2n 2 + 1
b

A. 17 .

B.

5.

C. 16 .

D.

2022 .

Lời giải
Ta có

1
n ( n + 1)
1 + 2 + ... + n
n =1
lim
= lim
= lim
2
2
2
2n + 1
2 ( 2n + 1)
4+ 2 4
. Khi đó
n
1+

9

Câu 37.

Cho

lim
x→ 1

a = 1; b = 4 ⇒ a 2 + b 2 = 17

a
2 − x −1
a
= − ( a, b ∈ ¥ ; b ≠ 0 )
, b là phân số tối giản. Giá trị T =
x −1
b

A. 11 .

B.

7.

C. 19 .
Lời giải

Ta đặt

t = 9 2 − x ⇒ x = 2 − t9
9

lim
Do đó
Trang 19

x→1

. Khi

x → 1⇒ t → 1.

2− x −1
t −1
t −1
= lim 9 = lim
t →1 1 − t
t → 1 1 − t 1 + t + t 2 + t 3 + ... + t 8
x −1
( )(
)

.

2a + b là
D. 17 .


ĐỀ CUỐI KÌ 2.TỐN 11

1
1
=−
3
8
t → 1 1 + t + t + t + ... + t
9.

= lim
Vậy

Câu 38.

2

a = 1; b = 9 ⇒ 2a + b = 11

ìï x + 8 - a
ïï
khi - 8 £ x ¹ 1
f ( x) = ïí x - 1
.
ïï
khi x = 1
ïïỵ b
Cho hàm số
Tìm a,b để hàm số liên tục tại

1
a = 3;b = .
A.
6

Ta có:

1
a = ;b = 3.
B.

6

Lời giải

1
a = - 3;b = .
C.
6

x = 1.

1
a = ±3;b = .
D.
6

f ( 1) = b.

lim f ( x) = lim
x®1

x®1

x +8- a
.
x- 1

Hàm số liên tục tại

x =1

Û lim f ( x) = f ( 1) Û b = lim
x®1

lim f ( x) tồn tại hữu hạn khi
x®1

x®1

x +8- a
(1).
x- 1

x + 8 - a = 0.

x = 1 là nghiệm của phương trình:

Û 1+ 8 - a = 0 a = 3.

( 1) ị
+ Khi

b = lim
xđ1

a = 3 thì

( x - 1) (

x- 1

)

x +8+3

= lim
x®1

1

1
= .
x+8+3 6

1
a = 3;b = .
Vậy
6
Câu 39.

Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường đi được của đoàn tàu
là một hàm số của thời gian

t

được cho bởi phương trình

s ( t ) = 10 + t + 9t 2 − t 3

trong đó

s tính

bằng mét, t tính bằng giây. Trong 5 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, đoàn tàu đạt vận tốc
lớn nhất bằng bao nhiêu?
A. 1m / s .

B.

28m / s .

Lời giải

C. 16m / s .

D.

3m / s .

v ( t ) = s′ ( t ) = − 3t 2 + 18t + 1 .
Dễ thấy hàm số
Trang 20

v( t)

là hàm bậc hai có đồ thị dạng parabol với hệ số

a = −3< 0.

ĐỀ CUỐI KÌ 2.TỐN 11

Ta có hồnh độ đỉnh của parabol là

t = 3 ∈ [ 0;5] . Do đó vmax = v ( 3) = 28 .

28m / s .

Vậy giá trị lớn nhất của vận tốc đoàn tàu chuyển động trong 5 giây đầu là
Câu 40.

Cho hàm số
hai điểm
A.

y=

3x + 2
( C ) , có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị ( C ) cắt trục Oy, Ox lần lượt tại
x+1

A và B

sao cho diện tích tam giác

2.

B. 1 .

AOB bằng 2 ?

C. 4 .

D. 3 .

Lời giải
Tập xác định hàm số

y′ =
có

Phương trình tiếp tuyến

d:y=

1

( x0 + 1)

Đường thẳng

Ta có

S AOB

d

x − x0 ) +
2 (

d

D = ¡ \ { − 1}

. Ta

1

( x + 1)

2

.

 3x + 2 
M  x0 ; 0 ÷∈ ( C )
x0 + 1 
của đồ thị hàm số tại điểm
là:


3x0 + 2
3x0 2 + 4 x0 + 2
1
d :y =
x
+
2
2
x0 + 1 hay
( x0 + 1)

( x0 + 1) .

 3x 2 + 4 x + 2 
0
A  0; 0
÷
2
( x0 + 1) ÷ và cắt
cắt Oy tại hai điểm 

Ox tại

(

B − ( 3x02 + 4 x0 + 2 ) ;0

)

2
1
1 3 x0 2 + 4 x0 + 2
2
2
2
= OA.OB =
.
3
x
+
4

x
+
2
=
2
⇒
3
x
+
4
x
+
2
= 4 ( x0 + 1)
(
)
0
0
0
0
2
2
2 ( x0 + 1)


 x0 = 0
2

3 x0 + 2 x0 = 0 ⇔ 
 3 x0 + 4 x0 + 2 = 2 x0 + 2


 x0 = − 2
⇒ 2
⇔
3

 3 x0 + 4 x0 + 2 = − 2 x0 − 2 
 3x 2 + 6 x + 4 = 0 VN
( )
0
0

2

Với

x0 = 0 ⇒

phương trình tiếp tuyến

d :y = x+ 2.

2
x0 = − ⇒
Với
3 phương trình tiếp tuyến d : y = 9 x + 6 .

2 tiếp tuyến của đồ thị hàm số thỏa mãn bài ra.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′ B′C ′D′ . Trên đoạn thẳng AC
Vậy có

Câu 41.

N

M

và

A.

4cm .

sao cho

MN

song song với
B.

2cm .

DC ′

lần lượt lấy các điểm

BD′ . Biết BD ' = 6 cm , tính độ dài đoạn thẳng MN .
C.

3cm .

Lời giải
Trang 21

và

D. 1cm .


ĐỀ CUỐI KÌ 2.TỐN 11

Đặt

uuur r uuur r uuur r
AB = a; AD = b; AA′ = c

Ta có

uuuur uuur
uuur uuur
r r
M ∈ AC ⇒ MC = mAC = m AB + AD = ma + mb

(

)

uuuur uuuur
uuuur uuur
r r

N ∈ C ′D ⇒ C ′N = nC ′D = n C ' C + CD = −nc − na

(

)

uuuur uuur uuur uuuur r r r
BD′ = BA + AD + DD′ = − a + b + c
r r
r
uuuur uuuur uuuur uuuur r r r r r
=
m
−
n
a
+
mb
+
1
−
n
c
)
( )
MN = MC + CC ′ + C ′N = ma + mb + c − nc − na (
Do

MN

song song với

uuuur uuuur ⇒ m − n = m = 1 − n = k ⇒ m = k = 1 ; n = 2
−1 1
1
3
3
BD′ nên MN = kBD′

1
1
MN = BD′ = .6 = 2 ( cm )
Vậy
.
3
3
Cách 2 (Lưu quí Hiền)
B'

C'

A'

D'

K

B
I

A

Gọi

H
D

H là trung điểm của CD , I , K lần lượt là trọng tâm của ∆ BCD và ∆ CDD′ .

⇒ I ∈ AC; K ∈ DC ′
Trang 22

C

. Ta có

HI HK 1
=
= ⇒
HB HD′ 3

 IK //BD′

1

 IK = 3 BD′ = 2 .


ĐỀ CUỐI KÌ 2.TỐN 11

Theo giả thiết

M ∈ AC ; N ∈ DC ′

và

MN //BD′

M ≡ I
⇒
⇒ MN = 2
( Khả năng MN //IK khơng xãy ra vì AC và DC ′ chéo nhau)
N ≡ K
Vậy
Câu 42.

MN = 2cm

Cho hình chóp

S. ABC có đáy ABC

là tam giác vng cân tại

· = 60° . Gọi M là trung điểm cạnh
và BSC
Khẳng định nào sau đây đúng ?

S

A.

cos ϕ =

6
3 .

B.

cos ϕ =

6
2 .

SB , ϕ

C.

C . Tam giác SAB vuông cân tại

là góc giữa đường thẳng

cos ϕ =

3
6 .

D.

cos ϕ =

Lời giải

Đặt

SA = a . Suy ra SB = CA = CB = a

Lại có

Suy ra
Hay

và

AB = a 2 .

· = 60o . Suy ra tam giác SBC đều nên SC = a .
BSC
CM = CN =

a 3
2 (Với N là trung điểm của SA ).

MN song song với AB .

Khi đó

(·AB, CM ) = (·MN , CM ) . Áp dụng định lí cosin vào tam giác CMN ta có:

MC 2 + MN 2 − CN 2

6
·
cos CMN =
=
2MC.MN
6
·
⇒ cos ( AB, CM ) = cos ( MN , CM ) = cos CMN
=
Trang 23

6
6 .

AB và CM .
6
6 .


ĐỀ CUỐI KÌ 2.TỐN 11

Cách 2 (lưu q Hiền)

S

M

B

A

N

C

Ta có

∆ SAB vuông cân tại S và ∆ ABC vuông cân tại C ⇒ SA = SB = AC = BC = a

⇒ AB = a 2
· = 60° ⇒ ∆ SBC
BSC

đều

⇒ CM =

a 3
2

uuuur 1 uuur
⇒ CN ⊥ AB, NM = AS
Gọi N là trung điểm AB
2 .
uuur uuuur uuur uuur uuuur 1 uuur uuur 1
a2
AB.CM = AB CN + NM = AB.AS = .a 2.a.cos 45° =
2
2
2

(

)

uuur uuuur
uuur uuuur AB.CM
⇒ cos AB, CM =
=
AB.CM

(

Câu 43.

Cho hình chóp

)

a2
6
2
=
a 3 6 ⇒ cos ϕ = 6
a 2.
6 .
2

S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a . Tam giác SAB đều và SC = a 2 . Gọi

H , K lần lượt là trung điểm của AB và CD . Mệnh đề nào sau đây là sai?
A.

BC ⊥ ( SAB ) .

B.

SH ⊥ ( ABCD ) .

C.

AB ⊥ ( SAD ) .

Lời giải

Trang 24

D.

CD ⊥ ( SHK ) .


ĐỀ CUỐI KÌ 2.TỐN 11

Ta có tam giác

SAB đều cạnh a

Mặt khác tam giác
Suy ra tam giác

nên

SB = AB = a .

SBC có SB 2 + BC 2 = SC 2 = 2a 2 .

SBC

vuông cân tại

B . Hay BC ⊥ SB

Mà

BC ⊥ AB . Suy ra BC ⊥ ( SAB ) . Do đó đáp án A đúng.

Từ

BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SH .

Tam giác

SAB đều mà H là trung điểm của AB

Từ (1) và (2) suy ra
Tam giác

(1)
nên

SH ⊥ AB .

(2)

SH ⊥ ( ABCD ) . Đáp án B đúng.

SAB đều nên AB không vuông góc với mặt phẳng ( SAD ) . Đáp án C sai.

 AB ⊥ HK
⇒ AB ⊥ ( SHK ) ⇒ CD ⊥ ( SHK )

Ta có  AB ⊥ SH
. Đáp án D đúng.
Câu 44.

Cho hình lập phương
xứng với

( MBC )

O

qua

ABCD. A′ B′C ′D′

cạnh

a . O là giao điểm của AC

( A′ B′C ′D′ ) . Mặt phẳng ( IAD )

cắt

tại

BD , I là điểm đối

M . Cosin góc giữa ( MAD )

bằng bao nhiêu?

13 17
A. 85 .

13 5
B. 85 .

15 15
C. 85 .
Lời giải

Trang 25

A′ B′

và

17 17

D. 85 .

và