vài ứng dụng giải tích phức vào đại số đều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH




Trần Minh Tạo



VÀI ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH PHỨC
VÀO ĐẠI SỐ ĐỀU




Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã số : 60 46 01




LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP


Thành phố Hồ Chí Minh – 2011
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH





Trần Minh Tạo




VÀI ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH PHỨC
VÀO ĐẠI SỐ ĐỀU






LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC





Thành phố Hồ Chí Minh – 2011



LỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Đậu Thế Cấp đã tận tình hướng
dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp em hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin cảm ơn các quí thầy giảng dạy em trong suốt quá trình học cao
học và các quí thầy trong hội đồng khoa học đã đọc và có những ý kiến đóng góp
quí báu.
Sau cùng, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô làm việc tại phòng KHCN –
SĐH đã giúp đở em rất nhiều trong quá trình học tập và khi thực hiện luận văn
này.








MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU 1
Chương 1. TÍNH CHẤT HÀM CHỈNH HÌNH
1.1. Hàm chỉnh hình 3
1.2. Ánh xạ chỉnh hình 14
Chương 2. BAO CHỈNH HÌNH
2.1. Định lí Runge 21

2.2. Miền lồi đa thức 23
2.3. Miền Riemann 26
2.4. Miền chỉnh hình 27
2.5. Bao lồi chỉnh hình 30
Chương 3. ỨNG DỤNG VÀO ĐẠI SỐ ĐỀU
3.1. Đại số đều 33
3.2. Phổ của đại số đều 34
3.3. Phổ nối 38
3.4. Biên Silov 41
KẾT LUẬN 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO 45


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH




Trần Minh Tạo



VÀI ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH PHỨC
VÀO ĐẠI SỐ ĐỀU




Chuyên ngành : Toán giải tích

Mã số : 60 46 01




LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP


Thành phố Hồ Chí Minh – 2011
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH





Trần Minh Tạo




VÀI ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH PHỨC
VÀO ĐẠI SỐ ĐỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC





Thành phố Hồ Chí Minh – 2011
1
MỞ ĐẦU


1. Lý do chọn đề tài
Giải tích phức là một chuyên ngành của giải tích toán học, có nhiều ứng
dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Đặt biệt giải tích phức có những ứng
dụng khá thú vị và sâu sắc trong đại số.
Tôi chọn đề tài này là để tìm hiểu sâu sắc về giải tích phức.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu những tri thức của giải tích phức và xem xét một vài ứng dụng
của nó trong đại số, đặc biệt là đại số đều.
3. Đối tượng nghiên cứu
Giải tích phức
4. Phạm vi nghiên cứu
Lý thuyết hàm nhiều biến phức.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu
Luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo để hiểu sâu thêm về giải tích phức.
6. Cấu trúc luận văn
Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần kết

luận. Cụ thể :
Phần mở đầu : Nêu lý do chọn đề tài.
Phần nội dung :
Chương 1 : Giới thiệu những tính chất của hàm chỉnh hình .
Chương 2 : Bao chỉnh hình.
Chương 3 : Ứng dụng vào đại số đều.
2
Phần kết luận :
Đưa ra những kết luận mà luận văn đạt được, chưa đạt được và đưa ra
những đề xuất (nếu có ).

3
Chương 1
TÍNH CHẤT CỦA HÀM CHỈNH HÌNH

Ta kí hiệu
ℝ
là tập số thực,
ℂ
là tập số phức,
n

= × × ×
ℂ ℂ ℂ ℂ
là tích
Descartes c
ủ
a n m
ặ
t ph
ẳ
ng ph
ứ
c. Các ph
ầ
n t
ử
c

ủ
a
n
ℂ

đượ
c kí hi
ệ
u là
(
)
1 2 n
z = z ,z , ,z
,
ở đây
j j j
z x iy
= +
,
j j
x ,y
∈
ℝ
,
2
i 1
= −
. Mô
đ
un c

ủ
a
j
z
kí hi
ệ
u
là
j
z
và mô
đ
un
z
c
ủ
a z
đượ
c
đị
nh ngh
ĩ
a

{
}
j
z max z ;1 j n
= ≤ ≤
.

V
ớ
i
n
w
∈
ℂ
và
(
)
n
1 2 n
r = r ,r , ,r ∈
ℝ
,
j
r 0
>
, ta g
ọ
i

(
)
w;r
∆ =
(
)
1 n 1 n
w , ,w ;r , ,r

∆ =
{
}
n
j j j
z ; z w r ,1 j n
∈ − < ≤ ≤
ℂ

là đa đĩa mở tâm w, đa bán kính r. Bao đóng của
(
)
w;r
∆
được gọi là đa đĩa đóng
tâm w, đa bán kính r, và kí hiệu là
(
)
w;r
∆
.
1.1. Hàm chỉnh hình
1.1.1. Định nghĩa. Hàm phức f xác định trên tập mở
n
D
⊂
ℂ
đượ
c g
ọ

i là ch
ỉ
nh
hình trong D n
ế
u m
ỗ
i
đ
i
ể
m
w
D
∈
có m
ộ
t lân c
ậ
n m
ở
U,
w
U D
∈ ⊂
, sao cho
hàm f có chu
ỗ
i khai tri
ể

n


( )
( )
1
1
1
1 1
0
( ) w w
n
n
n
v
v
v v n n
v v
f z a z z
∞
=
= − −
∑
(1.1)
hội tụ với mọi
z U
∈
.
Tập hợp tất cả hàm chỉnh hình trong D được kí hiệu là
D

O
.
Hàm f gọi là chỉnh hình theo từng biến nếu nó chỉnh hình theo mỗi biến và
các biến khác là cố định.
1.1.2. Định lí. (Bổ đề Osgood)
4
Nếu hàm phức f liên tục trong tập mở
n
D
⊂
ℂ
và là chỉ
nh hình theo t
ừ
ng
bi
ế
n thì nó ch
ỉ
nh hình trong D.
Chứng minh.
Chọn điểm bất kì
w D
∈
, và đ
a
đĩ
a
đ
óng

(w,r) D
∆ ⊂
. Vì f ch
ỉ
nh hình theo
t
ừ
ng bi
ế
n trong m
ộ
t l
ậ
n c
ậ
n m
ở
c
ủ
a
(w,r)
∆
nên áp d
ụ
ng Công th
ứ
c tích phân
Cauchy cho hàm m
ộ
t bi

ế
n, ta có công th
ứ
c tích phân Cauchy cho hàm nhi
ề
u bi
ế
n

( ) ( )
1 1 1 2 2 1 n n n
n
1 2 n
1 1 2 2 n n
w r w r w r
1 d d d
f z f
2 i z z z
−ζ = −ζ = −ζ =
 
ζ ζ ζ


= ζ




 
π ζ − ζ − ζ −

∫ ∫ ∫
(1.2)
với
(
)
z w,r
∀ ∈∆
.
Với z cố định bất kì, hàm dưới dấu tích phân trong (1.2) liên tục trên miền
compact lấy tích phân, do đó tích phân lặp trong (1.2) có thể được thay thế bởi
tích phân bội

( )
(
)
( ) ( )
j j j
n
1 2 n
1 1 n n
w r
f d d d
1
f z
2 i z z
−ζ =
 
ζ ζ ζ ζ



=




 
π ζ − ζ −
∫
(1.3)
Khi
đ
ó v
ớ
i
đ
i
ể
m c
ố

đị
nh
(
)
z w,r
∈∆
, ta có chu
ỗ
i khai tri
ể

n

( ) ( )
(
)
(
)
(
)
(
)
1 n
1 n
1 n
v v
1 1 n n
v 1 v 1
v v 0
1 1 n n
1 1 n n
z w z w
1
z z
w w
∞
+ +
=
− −
=
ζ − ζ −

ζ − ζ −
∑

h
ộ
i t
ụ
tuy
ệ
t
đố
i và
đề
u v
ớ
i m
ọ
i
ζ
thu
ộ
c mi
ề
n l
ấ
y tích phân trong (1.3). Vì v
ậ
y
sau khi thay chu
ỗ

i khai tri
ể
n này vào trong (1.3) và thay
đổ
i th
ứ
t
ự
t
ổ
ng và tích
phân , d
ẫ
n
đế
n f có khai tri
ể
n chu
ỗ
i d
ạ
ng (1.1), v
ớ
i

(
)
( ) ( )
1 n
1 n

j j j
n
1 2 n
v v
v 1 v 1
1 1 n n
w r
f d d d
1
a
2 i
w w
+ +
−ζ =
 
ζ ζ ζ ζ


=




 
π
ζ − ζ −
∫
(1.4)
Do
đ

ó f là hàm ch
ỉ
nh hình. Ta có
đ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
□

5
1.1.3. Định nghĩa. Ta định nghĩa các toán tử vi phân

1
2
j j j
i
z x y
 
∂ ∂ ∂
= −
 
 
∂ ∂ ∂
 
và
1

2
j
j j
i
x y
z
 
∂ ∂ ∂
= +
 
 
∂ ∂
∂
 
.
1.1.4. Định lí.
(Tiêu chu
ẩ
n Cauchy – Riemann)
Hàm ph
ứ
c f
đượ
c xác
đị
nh trong t
ậ
p m
ở

n
D
⊂
ℂ
và kh
ả
vi liên t
ụ
c theo các
t
ọ
a
độ
th
ự
c c
ủ
a
n
ℂ
là ch
ỉ
nh hình trong D n
ế
u và ch
ỉ
n
ế
u nó th
ỏ

a mãn ph
ươ
ng
trình
đạ
o hàm riêng

( )
0, 1,2 , .
j
f z j n
z
∂
= =
∂
( 1.5)
Ch
ứ
ng minh.
T
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m b
ấ
t kì thu

ộ
c D, xét f(z) nh
ư
là hàm m
ộ
t bi
ế
n v
ớ
i bi
ế
n
j
z
, xem
bi
ến khác như hằng số. Ta có
f(z) = u(z) +iv(z) và
( )
j
j j j j
u v u v
2 f z i
x y y x
z
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
 

 
= − + +
 
 
 
 
∂ ∂ ∂ ∂ 
∂
   
.
Do đó (1.5) tương đương với phương trình Cauchy – Riemann đối với từng
biến, suy ra hàm f chỉnh hình theo từng biến. Theo Bổ đề Osgood ta có điều phải
chứng minh.
□

1.1.5. Định lí.
Cho D là t
ậ
p m
ở
trong
n
ℂ
. Khi
đ
ó,

(i)
D
O

là m
ộ
t vành v
ớ
i phép toán

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
f g z f z g z fg z f z g z
+ = + =
.
(ii) Nếu f thuộc
D
O
và f(z) khác không trên D thì 1/f thuộc

D
O
.
(iii) Nếu f thuộc
D
O
và chỉ nhận giá trị thực hoặc có môđun không đổi thì f là
hàm hằng.
Chứng minh.
6
(i) Bằng tính toán trực tiếp, ta có

( )
( )
j j j
j j j
f g
f g
z z z
f g
fg g f
z z z
∂ ∂ ∂
+ = +
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂
(1.6)
Do

đ
ó
đ
i
ề
u kh
ẳ
ng
đị
nh (i)
đượ
c suy ra t
ừ

Đị
nh lí 1.1.4.
(ii) Áp d
ụ
ng (1.6) b
ằ
ng cách thay g b
ở
i
1
f
−
. suy ra

1
j

f
0 f
z
−
∂
=
∂
, suy ra 1/f thuộc
D
O
.
(iii) Nếu
D
f
∈
O
ch
ỉ
nh
ậ
n giá tr
ị
th
ự
c thì
j
f
x
∂
∂

và
j
f
y
∂
∂
c
ũng là giá trị thực.
Nhưng
j j
f f
i
x y
∂ ∂
=
∂ ∂
, vì vậy cả hai phải bằng 0 với mọi j,
1 j n
≤ ≤
. Do đ
ó f là
hàm h
ằ
ng. N
ế
u f có mô
đ
un không
đổ
i thì v

ớ
i
w D
∈
ta có th
ể
vi
ế
t
(
)
i z
f e
θ
= ρ
, v
ớ
i
θ
là hàm giá tr
ị
th
ự
c trong lân c
ậ
n c
ủ
a w. Khi
đ
ó ta có

j j
f
0 i.f.
z z
∂ ∂θ
= =
∂ ∂
.
Suy ra
θ
là hàm ch
ỉ
nh hình và c
ũ
ng là hàm h
ằ
ng, suy ra f là hàm h
ằ
ng.
□

1.1.6. Định nghĩa. Cho D và D’ là các miền mở trong
n
ℂ
và
m
ℂ
tương ứng.
Biến trong D được kí hiệu là

(
)
1
, ,
n
z z
và biến trong D’ được kí hiệu là
(
)
1
w , ,
m
z
.
Ánh xạ
: '
G D
→
đượ
c xác
đị
nh b
ở
i m hàm

(
)
(
)
1 1 1 1

w , , , ,w , ,
n m m n
g z z g z z
= =
.
Ánh x
ạ
G
ở
trên
đượ
c g
ọ
i là ánh x
ạ
ch
ỉ
nh hình n
ế
u m hàm
1
, ,
m
g g
là ch
ỉ
nh
hình trên D.
7
1.1.7. Định lí. (Định lí ánh xạ hợp)

Nếu f(w) là hàm chỉnh hình trong D’ và
: '
G D D
→
là ánh xạ
ch
ỉ
nh hình
thì h
ợ
p thành f(G(z)) là hàm ch
ỉ
nh hình trong D.
Ch
ứ
ng minh.

Ta có

(
)
(
)
1 1 1 n m m 1 n
w g z , ,z , ,w g z , ,z
= =
(1.7)
Chia (1.7) thành hai ph
ần thực và ảo, bằng cách viết

(
)
(
)
(
)
j j j
g z u z iv z
= +
.
Vì t
ấ
t c
ả
các ánh x
ạ
này là kh
ả
vi theo t
ọ
a
độ
th
ự
c, theo qui t
ắ
c vi phân hàm
h
ợ
p ta có

(
)
(
)
m
k k
j j j
k 1
k k
f G z
f u f v
u v
z z z
=
 
∂
∂ ∂ ∂ ∂



= +





∂ ∂
∂ ∂ ∂
 

∑


m m
k
k
j j
k 1 k 1
k k k k
1 f f g 1 f f g
i i
2 u v 2 u v
z z
= =
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
 
= − + −
 
 
 
 
 
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
   
∑ ∑

m
k
k
j j
k
k 1
k
f g f g
w
z w z
=
 
∂ ∂ ∂ ∂



= +





∂
∂ ∂ ∂
 
∑
.
N
ế

u hàm f và ánh x
ạ
G c
ả
hai là ch
ỉ
nh hình thì
k
f
0
w
∂
=
∂
và
k
j
g
0
z
∂
=
∂
v
ớ
i t
ấ
t
c
ả

k, k = 1,2…,n. Vì v
ậ
y theo công th
ứ
c
ở
trên thì
(
)
(
)
j
f G z
0
z
∂
=
∂
, v
ớ
i t
ấ
t c
ả
j.
Theo Tiêu chu
ẩ
n Cauchy – Riemann thì f(G(z)) là ch
ỉ
nh hình. Ta có

đ
i
ề
u ph
ả
i
ch
ứ
ng minh.
□

1.1.8. Định lí.
(
Đị
nh lí duy nh
ấ
t)


N
ế
u f(z) và g(z) là các hàm ch
ỉ
nh hình trong m
ộ
t t
ậ
p m
ở
liên thông

n
D
⊂
ℂ
,
8
và nếu f(z) = g(z) với mọi z thuộc tập mở khác rỗng
U D
⊂
thì f(z) = g(z) vớ
i
m
ọ
i
z D
∈
.
Chứng minh.
Từ (1.1), (1.3), (1.4), ta có

( ) ( ) ( )
1 n
1 n
1 n
v v
1 n v v
v v
1 n
f
v ! v ! a

z z
w
+ +
∂
=
∂ ∂
(1.8)
Gọi E là phần trong của tập bao gồm những điểm z mà f(z) = g(z). Vì E là
tập mở của D và
U E
⊂
nên E
≠
∅
. Ta chứng minh E là tập đóng tương đối
trong D. Xét điểm bất kì
w D E
∈ ∩
, với
E
là bao đ
óng c
ủ
a E. Ch
ọ
n r > 0
đủ

nh
ỏ

để

(
)
w;r, ,r D
∆ ⊂
. Vì
w E
∈
nên ph
ải tồn tại một điểm w’ sao cho
j j
r
w' w
2
− <
,
(
)
j 1,2, ,n
=

và
w' E
∈
. Chú ý rằng
(
)
w w';r / 2, ,r / 2

∈∆
. Hàm
f(z) - g(z) chỉnh hình trong
(
)
w'; r / 2, ,r / 2
∆
nên có thể khai triển thành chuỗi
lũy thừa hội tụ trên đa đĩa tâm w’. Vì
w' E
∈
nên hàm này phải là hàm đồng nhất
không trong lân cận mở của w’, và do (1.8) nên tất cả hệ số trong chuỗi này bằng
không. Vì vậy
(
)
(
)
f z g z 0
− ≡
trong
(
)
w'; r / 2, ,r / 2
∆
, do đó
w E
∈
. Suy ra E
là tập đóng tương đối trong D. Do E

≠
∅
, mở và đóng tương đối trong D nên E
= D. Ta có điều phải chứng minh.
□

1.1.9. Định lí. (Định lí môđun cực đại)
N
ế
u f(z) là hàm ch
ỉ
nh hình trong m
ộ
t t
ậ
p m
ở
liên thông
n
D
⊂
ℂ
và n
ế
u có
m
ộ
t
đ
i

ể
m
w
D
∈
sao cho
(
)
(
)
w
f z f
≤
với mọi z thuộc một lận cận mở nào đó
của w thì
(
)
(
)
w
f z f
≡
với mọi
z D
∈
.
Chứng minh.
Ta chứng minh bằng cách sử dụng Định lí môđun cực đại của hàm một biến.
9
Ta nhận xét rằng theo hệ quả của Công thức tích phân Cauchy (1.2), với một đa

đĩa bất kì
(
)
w;r D
∆ ⊂
, thì

(
)
(
)
(
)
(
)
( )
w,r
V f w f dV
∆
∆ = ζ ζ
∫
,
với
(
)
dV
ζ
là yếu tố thể tích Euclid và

(

)
(
)
( )
w,r
V dV
∆
∆ = ζ
∫
là thể tích của
(
)
w;r
∆
. Từ đó suy ra

(
)
(
)
(
)
(
)
( )
w,r
V f w f dV
∆
∆ ≤ ζ ζ
∫

.
Bây giờ chọn một đa đĩa
(
)
w;r
∆
sao cho
(
)
(
)
f w f z 0
− ≥
với mọi z thuộc
(
)
w;r
∆
. Khi đó ta có

(
)
(
)
(
)
(
)
( )
w,r

0 f w f dV
∆
≤ − ζ ζ
∫

=
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
w,r
V f w f dV 0
∆
∆ − ζ ζ ≤
∫
.
Dẫn đến
(
)
(
)
f w f z 0
− =
với mọi z thuộc
(

)
w;r
∆
. Theo Định lí 1.1.5 thì f
phải là hàm hằng trong
(
)
w;r
∆
. Vì vậy
(
)
(
)
f z f w
≡
với mọi
z
(
)
w,r
∈∆
. Theo
Đị
nh lí duy nh
ấ
t 1.1.8 suy ra
(
)
(

)
f z f w
≡
v
ớ
i m
ọ
i
z D
∈
. Ta có
đ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng
minh.
□

1.1.10. Định nghĩa. Từ
(1.1
), f(z) có thể biểu diễn lại dưới dạng tổng của các đa
thức thuần nhất như sau

( ) ( )
( )
1

1
1
1 1
0
w w
n
n
n
v
v
v v n n
k v v k
f z a z z
∞
= + + =
 
= − −
 
 
∑ ∑
, (1.9)
khi
đ
ó, ta
đị
nh ngh
ĩ
a hàm ch
ỉ
nh hình f có b

ậ
c (toàn ph
ầ
n) t
ạ
i 0 b
ằ
ng k n
ế
u
10
1

0
n
v v
a
=
,
1

n
v v k
+ <
và tồn tại
1

0
n
v v

a
≠
với
1

n
v v k
+ =
.
Hàm chỉnh hình f gọi là có bậc (toàn phần) tại w bằng k nếu f(z – w) có bậc
(toàn phần) tại 0 bằng k.
1.1.11. Định lí. (Bổ đề Schwarz)
Cho f là hàm chỉnh hình trong lân cận của
(
)
(
)
(
)
0, , , ,
r r r r
∆ =
, và giả sử f
có bậc toàn phần tại 0 bằng k và
(
)
f z M
≤
với mọi z thuộc
(

)
0,
r
∆
. Khi đó,
( )
k
z
f z M
r
≤ v
ớ
i m
ọ
i
(
)
0,
z r
∈∆
.
Chứng minh.
Từ (1.9), hàm f có khai triển theo các đa thức thuần nhất là

(
)
(
)
(
)

k k 1
f z p z p z
+
= + +

Lấy
(
)
z 0,r , z 0
∈∆ ≠
và định nghĩa
(
)
(
)
1
k
g t t f t z z
−
−
=
, v
ớ
i
t , t r.
∈ ≤
ℂ

Khi
đ

ó ta có khai tri
ể
n Taylor

(
)
(
)
(
)
1 1
k k 1
g t p z z p z z t
− −
+
= + +
,
và
(
)
k
g t Mr
−
≤
, v
ớ
i
t r
=
.

Do
đ
ó theo
Đị
nh lí mô
đ
un c
ự
c
đạ
i thì
(
)
k
g t Mr
−
≤
, v
ớ
i m
ọ
i t,
t
≤
r.
Vì v
ậ
y
(
)

(
)
k
k
z f z g z Mr
−
−
= ≤
suy ra
( )
k
z
f z M
r
≤
.
□

1.1.12. Định lí.
(B
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Jensen)

Cho f là hàm ch
ỉ
nh hình trong m

ộ
t lân c
ậ
n c
ủ
a
(
)
0,
n
r
∆ ⊂
ℂ
. Khi
đ
ó,

( )
( )
0,
1
log log 0
r
r
f dV f
V
∆
≥
∫
, (1.10)

11
ở đây
r
V
là thể
tích c
ủ
a
(
)
0,
r
∆
.
Chứng minh.
Chúng ta đã biết Bất đẳng thức Jensen một chiều:
Nếu f chỉnh hình trong lân cận của
(
)
1
0,r
∆ ⊂
ℂ
thì với
r
ρ ≤
ta có
( )
( )
2

i
0
1
log f e d log f 0
2
π
θ
ρ θ≥
π
∫
.
Bây gi
ờ
f
đượ
c cho nh
ư
trong
đị
nh lí và gi
ả
s
ử
r
ằ
ng
(
)
f 0 0
≠

, thì v
ới
1 1
r
ρ ≤
,
ta có
( )
( )
1
2
i
1 1
0
1
log f e ,0, ,0 d log f 0
2
π
θ
ρ θ ≥
π
∫
. T
ừ

đ
ó
(
)
1

i
1
log f e ,0, ,0
θ
ρ h
ữ
u h
ạ
n
v
ớ
i h
ầ
u h
ế
t t
ấ
t c
ả

1
θ
, và v
ớ
i
1
θ
nh
ư
v

ậ
y, ta có

( ) ( )
1 2 1
2
i i i
1 2 2 1
0
1
log f e , e , ,0 d log f e ,0, ,0
2
π
θ θ θ
ρ ρ θ ≥ ρ
π
∫
, v
ớ
i
2 2
r
ρ ≤
.
Ti
ế
p t
ụ
c quá trình trên, cu
ố

i cùng ta có
( )
(
)
( )
1 n
2 2
i i
1 n 1 n
n
0 0
1
log f 0 log f e ,, , e d , ,d
2
π π
θ θ
≤ ρ ρ θ θ
π
∫ ∫
, v
ớ
i m
ọ
i
j j
r
ρ ≤
.
L
ấy tích phân hai vế với

( ) ( )
1 n
r r
1 1 n n
0 0
d d
ρ ρ ρ ρ
∫ ∫
, ta nhận được
( )
( )
( )
1 n
1 n
r r
2 2
i i
1 n i 1 n 1 n
r
0 0 0 0
1
log f 0 log f e ,, , e d d d d
V
π π
θ θ
≤ ρ ρ ρ θ θ ρ ρ
∏
∫ ∫ ∫ ∫
(1.11)
Ta nhận thấy tích phân lặp trong vế phải cũng là tích phân bội của

log f
. Do
đó với
(
)
n
L max n,log f
= −
thì
n
n L f
− ≤ ≤
, nên
n
L
kh
ả
tích
đố
i v
ớ
i dV. Theo
Đị
nh lí Fubini thì
n
L dV
∫
là tích phân l
ặ
p c

ủ
a
n
L
. Vì
n
L log f
≥
và theo
12
(1.11), suy ra
( )
n
r
1
L dV log f 0
V
≥
∫
. Nh
ư
ng
n
L
h
ộ
i t
ụ

đơ

n
đ
i
ệ
u
đế
n
log f
, vì
v
ậy
log f
cũng khả tích đối với dV, và định lí được chứng minh.
□

1.1.13. Hệ quả. Cho f là hàm chỉnh hình trong miền D, f không là hàm đồng
nhất không. Khi đó, tập
(
)
{
}
0
V z D f z
= ∈ =
có
độ

đ
o Lebesgue 2n – chi
ề

u
b
ằ
ng không .

Ch
ứ
ng minh.

Theo
Đị
nh lí duy nh
ấ
t, V có ph
ầ
n trong là r
ỗ
ng. Vì D – V trù m
ậ
t trong D,
nên ta có th
ể
tìm m
ộ
t dãy các
đ
i
ể
m
{

}
n
x D V
⊂ −
và
đ
a
đĩ
a
n
∆
ch
ứ
a
đ
i
ể
m
n
x

sao cho
n
D
∪∆ =
. Theo B
ấ
t
đẳ
ng th

ứ
c Jensen thì
n
log f dV
∆
>−∞
∫
, nên f
không th
ể
tri
ệ
t tiêu trong
n
∆
trên m
ộ
t t
ậ
p có
độ

đ
o d
ươ
ng. Do
đ
ó
(
)

n
n 1
V V
∞
=
= ∩∆
∪
có
độ

đ
o không. Ta có
đ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
□

1.1.14. Định nghĩa.
V
ớ
i m
ọ
i t
ậ
p con m

ở

n
D
⊂
ℂ
, ta kí hi
ệ
u
D
C
là không gian
các hàm ph
ứ
c liên t
ụ
c trên D v
ớ
i tôpô h
ộ
i t
ụ

đề
u trên các t
ậ
p compact, t
ứ
c là
tôpô có c

ơ
s
ở
là h
ọ
các t
ậ
p
(
)
,
U K
ε
=
( )
{
}
; sup
D
K
z K
f f f z
∈
∈ = <ε
C , v
ớ
i m
ọ
i
t

ậ
p con compact

K D
⊂
,
0
ε >
.

1.1.15. Bổ đề.
D
O
là m
ộ
t vành con
đ
óng c
ủ
a
D
C
và do
đ
ó nó là không gian
Frechet.

Ch
ứ
ng minh.

L
ấ
y
{
}
v D
f
⊂
O
là dãy các ph
ầ
n t
ử
h
ộ
i t
ụ

đế
n m
ộ
t ph
ầ
n t
ử

D
f
∈

C
. V
ớ
i m
ỗ
i
w D
∈
, ch
ọ
n r > 0 sao cho
(
)
w,r D
∆ ⊂
.
13
Khi đó theo Công thức tích phân Cauchy, với mọi điểm
(
)
z w,r
∈∆
, do
v D
f
∈
O
nên ta có

( )

(
)
( ) ( )
j j j
n
v 1 n
v
1 1 n n
w r
f d d
1
f z
2 i z z
−ζ =
 
ζ ζ ζ


=




 
π ζ − ζ −
∫
.
Nh
ư
ng vì

v
f
h
ộ
i t
ụ

đế
n f
đề
u trong
(
)
w,r
∆
, suy ra

( )
(
)
( ) ( )
j j j
n
1 n
1 1 n n
w r
f d d
1
f z
2 i z z

−ζ =
 
ζ ζ ζ


=




 
π ζ − ζ −
∫
.
Theo
Đị
nh lí 1.1.2 thì f ch
ỉ
nh hình trong
(
)
w,r
∆
. Vì v
ậ
y
đ
i
ề
u này có th

ể

th
ự
c hi
ệ
n v
ớ
i m
ọ
i
w D
∈
,
D
f
∈
O
. Ta có
đ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
□

1.1.16. Định lí.

(
Đị
nh lí Vitali t
ổ
ng quát)

Họ các hàm bị chặn chỉnh hình bất kì trong một miền
n
D
⊂
ℂ
có bao đ
óng là
t
ậ
p compact trong
D
O
.
Ch
ứ
ng minh.

V
ớ
i m
ộ
t h
ằ
ng s

ố
M > 0 , xét t
ậ
p

(
)
{
}
D
f f z M, z D
= ∈ ≤ ∀ ∈
A O
.
Ta ch
ỉ
c
ầ
n ch
ứ
ng minh
A
là t
ậ
p compact. Gi
ả
s
ử

(

)
v
v v
w ;r
∆ =∆
là dãy các
đa đĩa compact
v
D
∆ ⊂
sao cho
v
v 1
D
∞
=
∆ =
∪
. Với mỗi đa đĩa như vậy, đặt
v
2
δ
là
khoảng cách từ
v
∆
đến
n
D
−

ℂ
, khi
đ
ó

(
)
(
)
v v
v v v v v
w ;r w ;r D
∆ ⊂∆ + δ ⊂
.
V
ớ
i
f A
∈
và
v
z
∈∆
, t
ừ
công th
ứ
c

(

)
(
)
(
)
( )
(
)
( ) ( )
1 n
1 n
1 n
j j j
k k
1 n 1 n
n k 1 k 1
k k
1 n
r
1 1 n n
f z k ! k ! f d d
z z
2 i z z
w
+ +
+ +
−ζ =
∂ ζ ζ ζ
=
∂ ∂

π ζ − ζ −
∫
, suy ra
14

( )
( )
( ) ( ) ( )
v j v v
j
n
n
1 n
v
2
r v v
1 1 r r n n
w r
f d d
f 1 M r
z 1
z 2 i
z z z
−ζ = +δ
 
 
ζ ζ ζ
∂






= ≤ +









 
∂ π δ δ
 
ζ − ζ − ζ −
∫
.
Nh
ư
v
ậ
y thu h
ẹ
p các ph
ầ
n t
ử
thu

ộ
c
A
trên m
ỗ
i t
ậ
p
v
∆
là h
ọ
các hàm
đồ
ng
liên t
ụ
c
đề
u. Vì v
ậ
y có th
ể
ch
ọ
n m
ộ
t dãy con c
ủ
a

{
}
v
f
h
ội tụ đều trên đa đĩa
v
∆
.
Theo phương pháp chéo hóa Cantor, ta chọn được dãy con của
{
}
v
f
hội tụ đều
trên mỗi đa đĩa
v
∆
. Khi đó dãy con này hội tụ trong
D
O
và giới hạn hàm rõ ràng
chứa trong
A
. Vậy tính compact của
A
được chứng minh.
□

1.1.17. Định nghĩa. Cho E, D là các miền mở thỏa

n
E D
⊂ ⊂
ℂ
. Thu hẹ
p c
ủ
a
m
ỗ
i hàm
D
f
∈
O
trên mi
ề
n con E là m
ộ
t ph
ầ
n t
ử

E
f E∈
O
. Khi đó, ánh xạ
:
ED D E

r
→
O O
, với
(
)
ED
r f f E
=
được gọi là ánh xạ thu hẹp.
1.1.18. Định lí. Cho E và D là các miền trong
n
ℂ
sao cho
E
là compact và
E D
⊂
. Khi đ
ó, ánh x
ạ
thu h
ẹ
p
ED D E
r :
→
O O
là ánh x
ạ

compact.

Chứng minh.
Chú ý rằng tôpô của
D
O
có họ các tập
(
)
(
)
{
}
D
U E, f f z , z E
ε = ∈ < ε ∀ ∈O là
m
ộ
t lân c
ậ
n m
ở
c
ủ
a
đ
i
ể
m g
ố

c trong
D
O
, v
ớ
i
0
ε>
c
ố

đị
nh b
ấ
t kì. Theo
Đị
nh lí
Vitali, h
ọ
các hàm
(
)
ED
r U E,
ε
có bao
đ
óng compact trong
E
O

. Vì v
ậ
y
ED
r
là ánh
x
ạ
compact.
□

1.2. Ánh xạ chỉnh hình
1.2.1. Định nghĩa.
Hàm ch
ỉ
nh hình f
đượ
c g
ọ
i là chính quy b
ậ
c k theo
n
z
t
ạ
i w
n
ế
u

(
)
1
w , ,w ,
n n
f z
đượ
c xét nh
ư
là hàm ch
ỉ
nh hình theo m
ộ
t bi
ế
n
n
z
, có không
đ
i
ể
m b
ậ
c k t
ạ
i
n
z
=

w
n
. M
ộ
t cách t
ươ
ng
đươ
ng, w là chính quy b
ậ
c k theo
n
z

n
ế
u
15

( )
1
1
w 0, (w) 0, , (w) 0, (w) 0
k k
k k
n n n
f f f
f
z z z
−

−
∂ ∂ ∂
= = = ≠
∂ ∂ ∂
(1.12)
1.2.2. Bổ đề. Nếu f là hàm chỉnh hình có bậc (toàn phần)
k
<∞
tại w thì qua
một phép biến đổi tọa độ tuyến tính không suy biến trong
n
ℂ
, hàm số sẽ là chính
qui bậc k theo
n
z
tại w.
Chứng minh.
Để đơn giản phần trình bày, ta thừa nhận rằng điểm w là điểm gốc của
n
ℂ
.
Hàm f khi đó có khai triển theo các đa thức thuần nhất là
( ) ( )
j
j k
f z f z
∞
=
=

∑
, với
(
)
k
f z
không là hàm đồng nhất không .
Chọn một điểm bất kì
(
)
1 n
a a , ,a 0
= ≠
sao cho
(
)
k 1 n
f a , ,a 0
≠
. Vì a khác
không nên tồn tại hằng số
ij
b
sao cho biến đổi tọa độ tuyến tính

n 1
i i n ij j
j 1
z a b
−

=
= ζ + ζ
∑
là không suy biến.
Trong tọa độ mới này hàm của ta là
(
)
(
)
(
)
g f z
ζ = ζ
vẫn có bậc k toàn phần,
và hơn nữa
(
)
(
)
k k 1 n
g 0, ,0,1 f a , ,a 0
= ≠
; nhưng khi đó g là chính qui bậc k
theo
n
ζ
tại điểm gốc. Ta có điều phải chứng minh.
□

1.2.3. Bổ đề. Nếu f là một hàm chỉnh hình trong đa đĩa mở

(
)
w;
r
∆
và là chính
qui bậc k theo
n
z
, khi đ
ó t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t
đ
a
đĩ
a m
ở

(
)
(
)
w; w;
r
∆ δ ⊂∆

sao cho v
ới
mọi điểm
(
)
1 1
, ,
n
a a
−

∈
(
)
1 1
w; , ,
n
−
∆ δ δ
, hàm
(
)
1 1
, , ,
n n
f a a z
−
xem như hàm một
biến phức theo
n

z
có k không điểm (tính theo số lần bội) trong đĩa w
n n n
z
− <δ
.
Chứng minh.
Để đơn giản cho cách trình bày, ta có thể giả sử rằng điểm w là điểm gốc trong
16

n
ℂ
. Theo giả thiết
(
)
n
f 0, ,0,z
có không điểm bội k tại điểm
n
z
= 0. Vì không
đ
i
ể
m c
ủ
a hàm ch
ỉ
nh hình m
ộ

t bi
ế
n ph
ứ
c là
đ
i
ể
m cô l
ậ
p nên có m
ộ
t h
ằ
ng s
ố

n n
0 r
<δ <
sao cho
(
)
n
f 0, ,0,z 0
≠
, với
n n
0 z
< ≤δ

. Đặt

{
}
(
)
n n
n
z
inf f 0, ,0,z 0
=δ
= ε >
(1.13)
Vì f(z) liên t
ụ
c trong m
ộ
t lân c
ậ
n m
ở
c
ủ
a m
ộ
t t
ậ
p compact

{

}
1 n 1 n n
z; z z 0, z
−
= = = = δ
,
nên tồn tại một hằng số
j
δ
với
(
)
j j
0 r , j 1, ,n 1
<δ < = −
, sao cho

(
)
(
)
1 n n
f z , ,z f 0, ,0,z
− <ε
, (1.14)
v
ớ
i
j j
n n

z , j 1, ,n 1
z


<δ = −




= δ



.
Bây gi
ờ
v
ớ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m b
ấ
t kì
(
)
1 n 1

a , ,a
−
,
j j
a
<δ
, xét
(
)
1 n 1 n
f a , ,a ,z
−
nh
ư
là
hàm s
ố
theo
n
z
. Theo
Đị
nh lí Rouché
đố
i hàm m
ộ
t bi
ế
n ph
ứ

c, t
ừ
(1.13) và (1.14)
suy ra
(
)
1 n 1 n
f a , ,a ,z
−
có cùng s
ố
không
đ
i
ể
m trong
n n
z
≤δ
v
ớ
i
(
)
n
f 0, ,0,z
là
k. Ta có
đ
i

ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
□

1.2.4. Định lí.
(
Đị
nh lí hàm
ẩ
n)


Nếu
(
)
1
, ,
n
f z z
chỉnh hình trong đa đĩa mở
(
)
w;
n
r
∆ ⊂

ℂ
và là chính qui
b
ậ
c 1 theo
n
z
t
ạ
i
đ
i
ể
m w. Khi
đ
ó, trong m
ộ
t
đ
a
đĩ
a m
ở

(
)
(
)
w; w;
r

∆ δ ⊂∆
t
ồn tại
duy nhất hàm chỉnh hình
(
)
1 1
, ,
n
z z
−
ϕ
sao cho
(i)
(
)
1 1
w , ,w w
n n
−
ϕ =
;
(ii)
(
)
1 1
, , w
n n n
z z
−

ϕ − < δ
trong
(
)
1 1
w; , ,
n
−
∆ δ δ
;
(iii)
(
)
1 1
, , ,
n n
f z z z
−
= 0 t
ạ
i
đ
i
ể
m
(
)
w;
z
∈∆ δ

n
ế
u và ch
ỉ
n
ế
u
(
)
1 1
, ,
n n
z z z
−
= ϕ
.
17
Chứng minh.
Chọn một đa đĩa mở
(
)
(
)
w; w;r
∆ δ ⊂∆
như ở chứng minh Bổ đề 1.2.3. Khi
đó với một điểm bất kì
(
)
(

)
1 n 1 1 n 1
z , ,z w; , ,
− −
∈∆ δ δ
, có duy nhất giá trị
(
)
(
)
1 n 1 n n
z , ,z w ;
−
ϕ ∈∆ δ
sao cho
(
)
(
)
1 n 1 1 n 1
f z , ,z , z , ,z 0
− −
ϕ =
, và tất nhiên
(
)
1 n 1 n
w , ,w w
−
ϕ =

. Ta chỉ cần cho thấy rằng hàm
ϕ
là chỉnh hình. Từ kết quả
tương ứng với hàm một biến ta có

( )
(
)
( )
n n n
1 n 1 n n
1 n 1 n n
1 n 1 n
w
f z , ,z , /
1
z , ,z d
2 i f z , ,z ,
−
−
−
ζ − =δ
∂ ζ ∂ζ
ϕ = ζ ζ
π ζ
∫
(1.15)
Theo B
ổ

đề
1.2.3 hàm
(
)
1 n 1 n
f z , ,z ,
−
ζ
khác không khi
(
)
1 n 1
z , ,z
−

∈
(
)
1 n 1
w; , ,
−
∆ δ δ
và
n n n
w
ζ − = δ
. Suy ra tích phân trong (1.15) là
m
ộ
t hàm ch

ỉ
nh hình c
ủ
a
(
)
1 n 1
z , ,z
−
trong
(
)
1 n 1
w; , ,
−
∆ δ δ
. Vì v
ậ
y hàm
ϕ
c
ũ
ng
là ch
ỉ
nh hình. Ta có
đ
i
ề
u ph

ả
i ch
ứ
ng minh.
□

1.2.5. Định lí.
(
Đị
nh lí ánh x
ạ

ẩ
n)

Nếu
1
, ,
k n
f f
+
là chỉnh hình trong đa đĩa mở
(
)
w;
n
r
∆ ⊂
ℂ
và th

ỏ
a
(i)
(
)
w 0, 1, ,
j
f j k n
= = +
;
(ii)
( )
w , 1, ,
j
j
i
i
f
i j k n
z
∂
= δ = +
∂
.
Khi đó, trong một đa đĩa mở
(
)
(
)
w; w;

r
∆ δ ⊂∆
tồn tại duy nhất hàm chỉnh
hình
(
)
1
, , , 1, ,
j k
z z j k n
ϕ = +
thỏa
(
)
1
, , 0, 1, ,
j n
f z z j k n
= = +
nếu và chỉ
nếu
(
)
1
, , , 1, ,
j j k
z z z j k n
= ϕ = +
.
Chứng minh.

Ta chứng minh bằng qui nạp theo chỉ số n – k , số hàm trong giả thiết của
định lí.
18
Với n – k = 1, kết quả đã được chứng minh trong Định lí 1.2.4.
Giả sử kết quả đúng với các chỉ số nhỏ hơn n – k . Ta chứng minh kết quả
đúng với chỉ số n – k. Xét n – k hàm
k 1 n
f , ,f
+
thỏa giả thiết của định lí. Đầu tiên
áp dụng Định lí 1.2.4 đối với
n
f
; trong đ
a
đĩ
a m
ở
nào
đ
ó
(
)
(
)
w; ' w;r
∆ δ ⊂∆
, t
ồn
tại duy nhất hàm chỉnh hình

(
)
1 n 1
z , ,z
−
ψ
để
(
)
n
f z 0
=
, với
(
)
z w; '
∈∆ δ
nếu và
chỉ nếu
(
)
n 1 n 1
z z , ,z
−
= ψ
.
Bây giờ xét n – k – 1 hàm
(
)
(

)
(
)
j 1 n 1 j 1 n 1 1 n 1
f ' z , ,z f z , ,z , z , ,z
− − −
= ψ
trong
đa đĩa
(
)
w; '
∆ δ
, với
j k 1, ,n 1
= + −
. Ta nhậ
n xét r
ằ
ng
(
)
j
f z 0
=
, v
ớ
i
(
)

z w; ' , j k 1, ,n
∈∆ δ = +
n
ế
u và ch
ỉ
n
ế
u
(
)
j 1 n 1
f ' z , ,z 0
−
=
, v
ớ
i j = k + 1,…,n
– 1 và
(
)
n 1 n 1
z z , ,z
−
= ψ
. M
ặ
t khác n – k – 1 hàm
k 1 n 1
f ' , ,f '

+ −
rõ ràng th
ỏ
a gi
ả

thi
ế
t c
ủ
a
Đị
nh lí 1.2.5, khi xét nh
ư
là hàm n – 1 bi
ế
n
1 n 1
z , ,z
−
; nên theo gi
ả
thi
ế
t
qui n
ạ
p, trong
đ
a

đĩ
a m
ở
nào
đ
ó
(
)
(
)
w; w; '
∆ δ ⊂∆ δ
(
ở

đ
ây ta
đặ
t
n n
'
δ = δ
) t
ồ
n
t
ạ
i duy nh
ấ
t các hàm ch

ỉ
nh hình
(
)
(
)
k 1 1 k n 1 1 k
z , ,z , , z , ,z
+ −
ϕ ϕ
sao cho
(
)
j
f ' z 0
=
, v
ớ
i
(
)
z w;
∈∆ δ
và
j k 1, ,n 1
= + −
n
ế
u và ch
ỉ

n
ế
u

(
)
j j 1 k
z z , ,z , j k 1, ,n 1
=ϕ = + −
.

Đặ
t
(
)
(
)
(
)
(
)
n 1 k 1 k k 1 1 k n 1 1 k
z , ,z z , ,z , z , ,z , , z , ,z
+ −
ϕ = ψ ϕ ϕ
.
Ta có
1 n
, ,
ϕ ϕ

là các hàm c
ầ
n tìm.
□

1.2.6. Định nghĩa. Cho
:
m
F D
→
ℂ
là ánh xạ
ch
ỉ
nh hình, v
ớ
i D là m
ộ
t mi
ề
n
trong
n
ℂ
,
(
)
(
)
(

)
(
)
1
, ,
m
F z f z f z
=
; ở đây
(
)
j
f z
là các hàm ch
ỉ
nh hình trong
D.
Ma tr
ậ
n Jacobi c
ủ
a F t
ạ
i
w D
∈

đượ
c
đị

nh ngh
ĩ
a là
( ) ( )
w w
i
F
j
f
J
z
 
∂
=
 
 
∂
 
.
19
Ánh xạ F gọi là không suy biến tại w nếu rank
(
)
w
F
J =
{
}
min ,
m n

.
Ánh xạ F gọi là không suy biến trên D nếu nó không suy biến tại mọi
w
D
∈
.
1.2.7. Định lí. Cho
n m
≥
, và F là ánh xạ
ch
ỉ
nh hình không suy bi
ế
n c
ủ
a m
ộ
t lân
c
ậ
n c
ủ
a 0 trong
n
ℂ
vào trong
m
ℂ
, sao cho F(0) = 0. Khi

đ
ó, có m
ộ
t phép bi
ế
n
đổ
i tuy
ế
n tính
ij
w
i j
j
a z
=
∑
trong
n
ℂ
và các hàm
(
)
1
w , ,w
j n m
−
ϕ
,
1

n m j n
− + ≤ ≤
, chỉ
nh hình trong m
ộ
t
đ
a
đĩ
a
(
)
0;
∆ δ
th
ỏ
a
(
)
1
w , ,w 0
n
F
=

n
ế
u và ch
ỉ
n

ế
u
(
)
1
w w , ,w
j j n m
−
= ϕ
trong
(
)
0;
∆ δ
, v
ớ
i
1
n m j n
− + ≤ ≤
.
Ch
ứ
ng minh.


Đặ
t
(
)

n m 1 n
F f , ,f
− +
=
. Đầu tiên, nếu
(
)
ij
b , n m 1 i, j n
− + ≤ ≤
là ma tr
ậ
n c
ấ
p
m m
×
không suy bi
ế
n và
(
)
n m 1 n
G g , ,g
− +
=
,
ở

đ

ó
i ij j
g b f
=
∑
thì F(z) = 0 n
ế
u
và ch
ỉ
n
ế
u G(z) =0. Vì th
ế
ta có th
ể
thay F b
ở
i phép bi
ế
n
đổ
i không suy bi
ế
n b
ấ
t
kì nh
ư
v

ậ
y.
Bây gi
ờ
gi
ả
s
ử
r
ằ
ng ma tr
ậ
n c
ấ
p
m n
×

(
)
(
)
(
)
i j
J 0 f / z 0
= ∂ ∂
có h
ạ
ng là m.

Khi
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i các ma tr
ậ
n không suy bi
ế
n
m m
B
×
,
n n
A
×
sao cho

(
)
(
)
1
m m
BJ 0 A 0,I
−
×
=

.

Đặ
t
(
)
ij
B b , n m 1 i, j n
= − + ≤ ≤
và
(
)
(
)
1
ij ij
A a ,A a' ,1 i, j n
−
= = ≤ ≤
.

Đặ
t
i ij j
g b f
=
∑
và
i ij j
w a z

=
∑
. Khi
đ
ó

i k k
ik ik sj
i i,s
j j s
g f f
b b a'
w w z
∂ ∂ ∂
= =
∂ ∂ ∂
∑ ∑
.
Vì vậy
( ) ( )
i
i k
ik sj j
k
j s
g f
0 b 0 a'
w z
∂ ∂
= = δ

∂ ∂
∑
.