điểm bất động của lớp ánh xạ tăng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
_________________________





Bùi Thị Doan





ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA LỚP ÁNH XẠ TĂNG



Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC





NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY






Thành Phố Hồ Chí Minh - 2010
LỜI CẢM ƠN

Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến :
Quý Thầy Cô thuộc khoa toán trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh đã
nhiệt tình dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu và học tập của
khóa học.
Ban giám hiệu, các quý thầy cô phòng sau đại học trường ĐHSP
đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt khóa học.
Ban giám hiệu, các thầy cô đồng nghiệp trường THPT Xuyên
Mộc đã tạo điều kiện và giúp đỡ mọi m
ặt để tôi hoàn thành luận văn.
Đặc biệt là PGS.TS Nguyễn Bích Huy đã tận tình hướng dẫn,
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn này.

TP.Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 10 năm 2010

Học viên: Bùi Thị Doan
MỞ ĐẦU

Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được xây dựng từ những năm 1940 và
đựơc phát triển, hoàn thiện cho đến tận nay. Lý thuyết này tìm được những ứng dụng rất đa
dạng và có ý nghĩa để nghiên cứu nhiều lớp phương trình cụ thể xuất phát từ Toán học, Khoa

học Tự nhiên, Y học, Kinh tế học,…
Trong lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự thì lớp phương trình với ánh xạ tăng
đ
óng vai trò rất quan trọng. Khi nghiên cứu các phương trình dạng này ta có thể nghiên cứu sâu
hơn các tính chất nghiệm như sự duy nhất, tính ổn định của nghiệm, tính gần đúng của nghiệm
nhờ các dãy lặp đơn điệu,…. Các định lý đầu tiên của Tarskii và Krasnoselskii về điểm bất động
của ánh xạ tăng đòi hỏi các điều kiện khá ngặt đặt lên nón (nón Minihedral) hoặc lên ánh xạ
(điều ki
ện hoàn toàn liên tục). Với việc sử dụng các nguyên lý cơ bản về tập có thứ tự như bổ đề
Zorn, Nguyên lý đệ quy tổng quát, Nguyên lý Entropy thì điều kiện liên tục của ánh xạ đã được
bỏ qua và điều kiện Compact đã được giảm nhẹ rất nhiều trong các định lý điểm bất động của
Krasnoselskii, Carl, Heikkila, …được tìm ra gần đây.
Để nghiên cứu các lớp phương trình mớ
i xuất phát từ khoa học thì gần đây các nhà nghiên
cứu đã khảo sát các lớp ánh xạ có thể nghiên cứu bằng cách đưa về các ánh xạ tăng hoặc bằng
các phương pháp tương tự khi xét ánh xạ tăng, đó là lớp ánh xạ T-đơn điệu và hỗn hợp đơn điệu.
Gần đây các ánh xạ đa trị đơn điệu cũng đã được nghiên cứu và ứng dụ
ng.
Các kết quả về phương trình với ánh xạ tăng thu được cho đến nay rất phong phú và đa dạng
nhưng chỉ được trình bày trong các bài báo khoa học. Luận văn muốn giới thiệu một cách hệ
thống với các chứng minh chi tiết cho các kết quả về một số lớp ánh xạ tăng quan trọng và
thường gặp nhất. Luận văn có 5 chương.
Chương 1.Các khái niệm sử dụng.
Chương 2.
Điểm bất động của toán tử đơn điệu liên quan đến tính compắc.
Chương 3. Điểm bất động của toán tử T-đơn điệu.
Chương 4. Điểm bất động của toán tử hỗn hợp đơn điệu.
Chương 5.Ứng dụng .

Chương 1. Ở chương đầu này trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản trên không gian

Banach có thứ tự như nón, nón sinh, nón chuẩ
n ,nón chính quy,ánh xạ tăng ( ánh xạ đơn
điệu)…, đặc biệt là nguyên lý Entropi (Brezis, Browder) mà sẽ được dùng để chứng minh các
định lý cơ bản của luận văn.
Chương 2. Chương này trình bày về điểm bất động của các toán tử compact đơn điệu,
compact đơn điệu tới hạn và điểm bất động của toán tử đơn điệu trên không gian với nón
Minihedral- mạnh.
Chương 3. Trình bày về điểm bất động của toán tử T-đơn điệu, nguyên lý ánh xạ co trên các
phần tử so sánh được và phương trình toán tử ngược dương.
Chươ
ng 4. Trình bày về toán tử hỗn hợp đơn điệu và điểm bất động, điểm bất động của toán
tử hỗn hợp đơn điệu
Chưong 5. Là chương kết thúc của nội dung luận văn, trình bày một vài ứng dụng điểm bất
động của một số lớp ánh xạ tăng vào bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân.







Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM SỬ DỤNG

1.1 Không gian Banach có thứ tự
1.1.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón
Định nghĩa 1.1.1: Cho X là không gian Banach thực.
1. Tập K chứa trong X được gọi là nón nếu
i. K là tập đóng
ii.
, 0



  KK K K K
iii.


()KK



2. Nếu K là nón thì thứ tự trong X sinh bởi nón K được định bởi

hay
x
yyx yxK
Mỗi


\xK

 gọi là dương
Mệnh đề 1.1.1 Giả sử “
” là thứ tự sinh bởi nón K. Khi đó:
i.
x
y , , 0
x
zyz x y zX



   
ii. (
*
(),lim, lim
 
n
yn x x y y
nnn
x )
x
y

iii. Nếu dãy {x
n
} tăng, hội tụ về x thì
*

n
xx n




Chứng minh
i. Với mọi
zX

ta có y + z –(x + z) = y- x

K (vì

x
y

) nên
x
zyz


Với mọi
0

 ,
ta có y - x
K nên ()yx K


 suy ra
x
y




ii. Vì
nn nn
x
yyxK
Mà
lim ( )yx yx
nn

n


và K là tập đóng
Nên
()yx K xy
iii. Vì dãy


n
x
tăng nên
nnm
xx m





Cố định n, cho
m  ta có
nm
x
x


suy ra

n
xxn



1.1.2 Nón chuẩn
Định nghĩa 1.1.2
Nón K được gọi là nón chuẩn nếu:

N > 0 : 0
x
yxNy 
Mệnh đề 1.1.2 Giả sử "" là thứ tự sinh bởi nón chuẩn K. Khi đó
i.
uv thì đoạn


,: :uv x X u x v

 bị chặn theo chuẩn
ii. Nế
u
nnn
x
yz và lim , lim
x
aza
nn
nn


 

Thì
lim ya
n
n



iii. Nếu dãy


n
x
đơn điệu, có dãy con hội tụ về a
Thì
lim
x
a
n
n



Chứ
ng minh
i. Với
,
x
uv u x v   

0

x
uvu

Mà K nón chuẩn nên

N > 0 sao cho
x
uNvu




N
x
uxu vu 


N
x
vu u

,uv bị chặn theo chuẩn
ii. Ta có
0
nnnn
yxzx
Mà K nón chuẩn nên

N > 0 sao cho
nn nn

yx Nzx




nn n n
yx NzaNax 


nn n n
ya xaNzaNax 

(1)
nn n
yaNza N ax 
Vì lim , lim
x
aza
nn
nn

 
suy ra
lim 0ya
n
n



suy ra lim ya

n
n



iii.
Giả sử dãy


n
x
tăng có dãy con


k
n
x
hội tụ về a
Với n cố định, k đủ lớn ta có
k
nn
x
x


Cho
k 
ta có
*



n
xan

Cho
0


, chọn
0
k để
0



k
n
xa
N
thì ta có

0
0
0


    
  
k
k

knn
nn
nn ax ax
ax ax

Vậy
lim
x
a
n
n



1.1.3 Nón chính quy (Regular cone)
Định nghĩa 1.1.3: Nón K được gọi là nón chính quy nếu mọi dãy tăng, bị chặn trên thì hội
tụ
Mệnh đề 1.1.3: Nón chính quy là nón chuẩn.
Chứng minh

Giả sử K là nón chính quy nhưng K không là nón chuẩn
Khi đó
*
,
nn
nN xy X  
sao cho:
0
nn
x

y


mà
2
nn
x
ny

Đặt
n
n
n
x
u
x
 ta có
1
n
u 



n
n
n
y
v
x
 ta có

2
1
n
n
n
y
v
x
n



Vì
2
1
1
n
n



hội tụ nên
1

n
n
v




hội tụ suy ra
1
n
n
v



hội tụ
Đặt
1
n
n
vv




,
123

nn
s
uuu u
Ta có dãy (s
n
) tăng và bị chặn trên (vì
n
sv n




)
K là nón chính quy nên dãy (s
n
) hội tụ
Suy ra
1
n
n
u



hội tụ suy ra
lim 0
n
n
u


điều này là vô lý vì 1
n
u  
1.1.4 Nón sinh (Repro ducing cone)
Định nghĩa
1.1.4: Nón K được gọi là nón sinh nếu X= K – K hay
xX, u,v  K
sao
cho

x
uv
Mệnh đề 1.1.4: Nếu K là nón sinh thì tồn tại M>0 sao cho
x X, u,v : , . , .      Kx u v u Mx v Mx
Chứng minh:
Đặt
(,1) (,1)CKB KB



Vì K là nón sinh nên
1n
x
nC


 
Thật vậy
1n
x
nC


 suy ra
*
00
:nNxnC 
Suy ra
,(,1) uv B K


  mà
00
x
nu nv

 ,
x
X

(vì K nón sinh và
00
,

nu nv K)
Ngược lại
x
X suy ra
,uv K
mà
x
uv


Ta có
1
(, )
uB
u

 ,

1
(, )
vB
v


Suy ra (,1),uuB

 (,1)vvB





00
,(,1) , max,uv nB n u v

 

1
,(,1)
n
uv nB





1

n
x
nC



Ta chứng minh :
0r sao cho
(,)
B
rC



Vì
1n
XnC


  mà X là không gian Banach nên
*
0
, G n

 mở trong X sao
cho
0
GnC

Vì

C lồi , đối xứng nên
11

22
CCC



Suy ra
00
11

22
GC
nn

Ta có
00
11
G
22
G
nn
 mở chứa

nên 0r Sao cho
00
11
(,) G
22

Br G
nn


II, Đặt
(,1)BB




Ta chứng minh : BC
2
r

Lấy
2
r
aB
ta chứng minh Ca


Ta xây dựng dãy


n
x
thoả mãn
1
1
1

,
22
n
nk
nn
k
r
xCax





Thaät vậy: Vì
1
22
nn
r
B
C neân
1
B, 0, C
22
nn
r
yx

   
Sao cho
yx


.
Ta có
2
r
aB
nên
1
1
2
x
C sao cho
1
2
2
r
ax


1
2
2
r
ax B
nên
2
2
1
2
x

C sao cho
12
3
2
r
ax x



1
3
2
r
ax x B
nên
3
3
1
2
x
C sao cho
123
4
2
r
ax x x 

Cứ tiếp tục quá trình trên ta được dãy (x
n
) thỏa


11
hay (,1) (,1)
nn
nn
xCx KB KB
rr


Vì

1
(,1) (,1)
n
n
xKBKB
r

  nên
11
,: ,
22
nn n n
nn
uv K u v   mà Ta có
nnn
x
uv



Do
1
1
2
n
n



hội tụ nên
11
,
nn
nn
uv



hội tụ
Đặt
11
,
nn
nn
u uv v


 

ta có

11
1 , 1
nn
nn
u uvv






Suy ra
lim ( )
1
n
x
uv
k
n
k




(1.1.1)
Mặt khác
2
1
n
ax

n
k
k
r



Suy ra
1
n
n
ax




(1.1.2)
Từ (1.1.1) và (1.1.2) suy ra
auv



Mà
, (do , K)
1, 1
nn
uv K u v
uv








nên
,(,1)uv K B



III) ,
x
Xx

 
Ta có
22
rx r
B
C
x
 nên ', ' : ' 1, ' 1uv K u v

 và ''
2
rx
uv
x


Suy ra
22
''
x
xu xv
rr


Đặt
2
'
2
'
uxu
r
vxv
r










Ta có
x
uv và

,
22
.'
22
.'
uv K
uxu x
rr
vxv x
rr













Đặt
2
M
r
 khi đó ta có điều phải chứng minh


1.1.5 Nón Minihedral
Định nghĩa 1.1.5

- Nón K được gọi là nón Minihedral nếu
12
,
x
xK

 thì tồn tại


12
sup ,axx .
- Nón K được gọi là nón Minihedral mạnh nếu
A
K

 thì tồn tại supaA
1.1.6 Nón liên hợp
Định nghĩa 1.1.6
: Nếu K là nón thì ta định nghĩa nón liên hợp của nón K là


**
/()0
K
fXfx xK 
*

K
có các tính chất sau:

*
K
đóng

** * * *
, 0KK K K K

  
Mệnh đề 1.1.6
*
00
( ) 0
x
Kfx fK 

Chứng minh:
Chiều
) Hiển nhiên
Chiều

) Giả sử trái lại tức là
*
00
()0 ,
f
xfKxK 

Suy ra
0
\
x
XK
nên theo định lý tách tập lồi
*
0
: ( ) ( )
g
Xgx gy yK




x
K , cố định x ta có
0
() () 0
g
xgtxt

 . Cho t  ta có () 0 gx

*
g
K  g(x
0
) < 0 điều này là vô lý.


1.2 Ánh xạ tăng
Định nghĩa 1.2.1
Giả sử X, Y là các không gian Banach thực; P và K là các nón tương ứng
trong X và Y.
Ánh xạ :FX Y gọi là ánh xạ tăng (hay ánh xạ đơn điệu) nếu
12
,
x
xX và
12
x
x
ta có
12
() ()Fx Fx
Ánh xạ
:FX Y gọi là dương nếu , xXx


 ta có ()Fx


Chú ý Nếu F là ánh xạ tuyến tính thì :
F là ánh xạ tăng
 F dương
Thật vậy :
, xXx


 
và F tăng nên
() ()Fx F



suy ra F dương

12
,
x
xX và
12
x
x
12
xx

 mà F dương

12
()Fx x



12
() ()Fx Fx . Vậy F tăng


Ñịnh lý 1.2.1

Giả sử P là nón sinh trong X, K là nón chuẩn trong Y và
:
F
XY
là toán tử tuyến
tính dương. Khi đó F liên tục.
Chứng minh : Vì F là toán tử tuyến tính nên ta chỉ cần chứng minh F bị chặn.
i. Trước tiên ta chứng minh rằng : 0m

 sao cho ,()
x
PFx mx 
Giả sử trái lại tức là
*3
,:().
nnn
nxPFxnx   
Đặt
2
1
.
nn
n
zx
nx

ta có
2
1
, ( )

nn
zFzn
n


Vì
2
1
1
n
n



hội tụ nên
1
n
n
z



hội tụ suy ra
1
n
n
z




hội tụ .
Đặt z =
1
n
n
z



và s
n
=
1
n
k
k
z



Ta có
, lim
kn
n
zPz s

 và P đóng nên suy ra zP


Vì

1
111
np np
n
np n k n k k
kkkn
s
zzzz z




  

nên
np n
s
zP



Suy ra
nnp
zs

 . Cho
p
 ta được
n
zz



Mặt khác F là ánh xạ tăng, tuyến tính nên F là ánh xạ dương nên
() ()
n
Fz Fz


mà K
là nón chuẩn nên
0: ( ) . ( )
n
NFzNFz 

Suy ra
() . ()
n
nFz NFz
. Cho
n 
ta có
()Fz


, vô lý.
Vậy
0m
để ,()
x
PFx mx 

ii.
x
X
, vì P là nón sinh nên
,, 0: .
.
x
uv
uv P M u M x
vMx



 





Ta có
() () () () ()Fx Fu Fv Fu Fv 
Do
,uv P nên theo chứng minh trên
1
12
2
()
,0:
()
Fu m u

mm
Fv m v








Suy ra
1
2
() .
() .
Fu Mm x
Fv Mm x







Suy ra
12
() () () ( ). .
F
xFuFvmmMx
Vậy F bị chặn mà do F tuyến tính nên F liên tục.




1.3 Nguyên lý Entropi (Brezis, Browder)

Giả sử có :
1. X là một tập sắp thứ tự sao cho mỗi dãy tăng trong X có một cận trên, nghĩa là nếu
*
1

nn
uu n

 thì
*
:
n
vXu v n  


2. Phiếm hàm


:,SXlà tăng và bị chặn trên , nghĩa là nếu uv thì () ()
s
usv

và
tồn tại một số thực c sao cho
() Su c u X




Thế thì


: , ( ) ( )vX uXvu Su Sv    

Chứng minh:
Lấy tùy ý
1
uX , rồi xây dựng các phần tử
123
uuu

 như sau:
Giả sử có u
n
, ta đặt


: , sup S(u)
n
nnn
uM
MuXuu


  
i. Nếu

()
nn
Su


Với
,
nn
uXu u uM   
Suy ra
() ( )
n
Su Su

Mặt khác
() ()
nn
u u Su Su 
(do S tăng)
Vậy
,
n
uXu u  () ()
n
Su Su nên u
n
là phần tử cần tìm
ii. Nếu
()
nn

Su

 ta tìm được u
n+1
thỏa :
2
12
( ) ( ) ( ) , 
n
nn
Fx F x F x x M
1
1

1
( ) ( ( )) (1.1.3)
2







 


nn
nn nn
uM

Su Su

Ta thấy
1
()
(1.1.3) ( )
2




nn
n
Su
Su

* Quá trình trên là hữu hạn thì ta tìm được u
n+p
nào đó mà ()
nnp
Su



và chứng minh như
trên ta được u
n+p
là phần tử cần tìm
* Quá trình trên là vô hạn thì ta có dãy tăng {u
n

} thỏa
*
1
2( ) ( )
nnn
Su Su




Do {u
n
} là dãy tăng nên theo giả thiết thì dãy {u
n
} có cận trên. Gọi u
0
là cận trên của dãy
{u
n
}. Ta chứng minh u
0
là giá trị cần tìm
Với
0
uu , Ta có
*
n
uu n³"Î

*
n
uM n Î"Î


1
() 2.( ) ( )
nn n
Su Su Su


 
Do dãy {u
n
} tăng trong X nên dãy {S(u
n
)} tăng trong


,

 và bị chặn trên nên tồn tại
giới hạn.
suy ra () lim ( )
n
n
Su Su



0
() ( )Su Su

0
() ( )Su Su (vì
00
u u S(u ) S(u )³  ³


Chương 2 : ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ ĐƠN
ĐIỆU LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH COMPACT


Trong chương này ta xét X là không gian Banach thực với quan hệ thứ tự sinh bởi nón K.
2.1 Điểm bất động của toán tử compact đơn điệu
Định nghĩa 2.1.1
Cho
M
X
Toán tử
:
F
MX được gọi là Compact đơn điệu nếu nó biến mỗi dãy tăng trong M
thành dãy hội tụ.
Định lý 2.1.1 Giả sử :
1) M là tập đóng trong X
2)
:FM X
là toán tử tăng, compact đơn điệu và
()FM M

3) Tồn tại
0
x
M sao cho
00
()
x
Fx


Khi đó F có điểm bất động trên M.
Chứng minh:
Đặt


0
:()
M
xMxFx  và
Với mỗi
0
x
M ,


0
() sup () ()/ , ;
g
xFyFzyzMyzx

Từ giả thiết 2) và 3) ta có
0
M


và
00
()FM M

Ta sẽ áp dụng nguyên lý Entropy vào tập M
0
và phiếm hàm (-g)
i. Trước tiên ta chứng minh: Mỗi dãy tăng


0n
x
M đều có cận trên
Thật vậy dãy tăng


n
x
tăng nên dãy {F(x
n
)}
n
hội tụ (vì F là compact đơn điệu)
Đặt
lim ( )

n
n
x
Fx

 ta có
x
M

( vì M đóng và


()
n
Fx M )

n
x
x (vì ()
nn
x
Fx x)
ii. Phiếm hàm (-g) là tăng và bị chặn trên
Ta có
() 0 () 0
g
xxX gx xX    nên ()
g

bị chặn trên

'
,
x
xX, giả sử
'
x
x ta chứng minh
'
() ( )
g
xgx
Xét


'
0
/yM x y và


0
/
y
Mxy



Vì
'
x
x nên





'
00
//yM x y yM xy
Suy ra




'
00
sup()()/, , sup()()/, ,Fy Fz yz M y z x Fy Fz yz M y z x
''
() () () ()
g
xgx gx gx suy ra (-g) là hàm tăng
Vậy theo nguyên lý Entropi tồn tại
00
uM

sao cho
00
,
x
Mxu  ta có
0
() ( )

g
xgu
0
() ( )
g
xgu

Ta chứng minh
0
()0gu 

Giả sử
0
() 0gu c ta có

1010 1 0
, y >u : ( ) ( ) >c  yM Fy Fu
Do
10
() ()
g
yguc nên
20210 2 1
, y y u : ( ) ( ) >c    yM Fy Fy
Cứ tiếp tục như vậy ta có dãy


n
y
là dãy tăng trong M

Mà
221
() ( )
nn
Fy Fy c


điều này là vô lý (vì F biến dãy tăng thành dãy hội tụ)
Vậy
0
()0gu 
Đặt
0
()bFu ta có
0
b
u (vì
00

uM
00
F(u ) u)
Ta có
00
( ) ( ) g(u )=0 Fb Fu

0
() ( )Fb Fu b vậy F có điểm bất động là
0
()bFu





Hệ quả 2.1.1 Giả sử
1. K là nón chuẩn,
00
()uAu ,
00
()
A
vv


2. Toán tử
00 00
:, ,
A
uv uv là toán tử đơn điệu và tập
00
(,)Auv

 là tập compact
tương đối.
Khi đó A có điểm bất động trên
00
,uv

Thật vậy:
1. Do K là nón chuẩn nên tập

00
,uv là tập đóng
2. Toán tử A là compact đơn điệu vì:
với mọi dãy tăng


n
n
x
chứa trong
00
,uv


Do A là ánh xạ tăng nên dãy


()
n
n
Ax là dẫy điệu tăng
Vì

00
,Auv là tập compact tương đối nên dãy


()
n
n

Ax có dãy con () ()
k
nk nn
x
x sao
cho


lim
k
k
A
xa


Vì
00
,uv đóng nên
00
,auv 
K là nón chuẩn
Dãy


()
n
A
x
tăng có dãy con



()
k
n
k
Ax hội tụ vì
00
,auv


Nên dãy


()
n
A
x hội tụ
3.
00 00
(,) ,
A
uv uv
Vậy theo định lý
2.1.1 thì A có điểm bất động.



Hệ quả 2.1.2 Giả sử
1. K là nón chính quy,
00 00

() ,()uAu Av v
2.
00 00
: , ,
A
uv uv là toán tử đơn điệu.
Khi đó A có điểm bất động.
Thật vậy:
1. Vì K là nón chính quy nên K là nón chuẩn suy ra
Tập
00
,uv
là tập đóng và bị chặn
2. A là oán tử compact đơn điệu vì:
Với mọi dãy


n
n
x
tăng trong
00
,uv

 suy ra dãy


()
n
A

x bị chặn trên và dãy tăng
trong
00
,uv
Do K là nón chính quy và


()
n
A
x dãy tăng, bị chặn trên nên suy ra dãy


()
n
n
Ax hội
tụ
Vậy theo định lý 2.1.1 A có điểm bất động trên
00
,uv


.


Hệ quả 2.1.3: Giả sử
1. X là không gian phản xạ, K là nón chuẩn,
00
()

A
vv

,
00
u ()
A
u


2.
00 00
:, ,
A
uv uv là toán tử đơn điệu
Khi đó A có điểm bất động trên
00
,uv
.
Thật vậy:
 Do K nón chuẩn nên
00
,uv là tập đóng, bị chặn, lồi. Nên
00
,uv là compact yếu
vì X là không gian phản xạ
 Với mọi dãy


n

x
đơn điệu tăng trong
00
,uv


Ta có dãy


()
n
n
Ax là dãy đơn điệu tăng tong
00
,uv


Suy ra dãy


()
n
A
x có dãy con


()
k
n
k

Ax hội tụ yếu, về y trong
00
,uv
Đặt
()
k
kn
yAx , ta có dãy


k
k
y
là dãy tăng trong
00
,uv

 với mọi
*

f
X ,

() (), mk
mk
fy fy
Cho
m  ta có () () y
kk
f

yfy yk


Ta chứng minh
lim
k
k
yy



Do K nón chuẩn nên
0N
sao cho ,, 0xy xy K


Ta có
.
x
Ny vì
yeáu
k
y
y


trong
00
,uv


 nên theo định lý Mazur tồn tại


12
12 0
( ) 
m
kk mk k
k
zty ty ty C y
sao cho
21
zy
N




Đặt


123
x , , , ,
m
kmakkk k


Khi đó
kk



Ta có
0yzk z

 
nên
.
k
yzNyz



Ta có


1
kk k k
yy yz zy N yz

    

Suy ra
lim
k
k
yy



Vậy dãy



()
n
A
x là dãy tăng nên có dãy con hội tụ về y và K nón chuẩn nên dãy


()
n
A
x hội tụ.
Vậy A là đơn điệu compact.

Kết luận: Theo định lý 2.1.1 thì A có điểm bất động.

2.2 Điểm bất động của toán tử đơn điệu tới hạn.
Định nghĩa 2.2.1
Toán tử :FM X X gọi là compact đơn điệu tới hạn nếu mỗi dãy


()
n
n
n
Fx
thỏa
mãn điều kiện
23
123

( ) ( ) ( ) ,
n
Fx F x F x x M (2.2.1) đều hội tụ
Định lý 2.2.1 Giả sử
1.Tập M đóng, và bị chăn trong X.
2. Toán tử
:FM M đơn điệu, compact đơn điệu tới hạn.
3. Tồn tại
0
x
M
sao cho
00
()
x
Fx


Khi đó F có điểm bất động.
Chứng minh
* Đặt


0
/()
M
xMxFx 
Ta có
0
M


 (vì
00
()
x
Fx ) (Theo giả thiết 3) và
00
()FM M
* Trên
0
M
ta định nghĩa dãy các phiếm hàm
n
S như sau:



0
() sup () ()/ , , () ()
nn n n
n
Sx Fu Fv uv Mx Fu Fv
Ta đặt


0
() (,):, ; () ()
nn
n
M

xuvuvMxFuFv

Ta có
()
n
Mx

 vì () ()
nn
x
Fx Fu và ()
n
M
x là tập bị chặn trên XX
Vậy
n
S được xác định.
Ngoài ra: Nếu
,
x
x thì
,
() ( )
nn
M
xMx nên
,
() ( )
nn
Sx Sx

Suy ra
n
S là hàm giảm trên
0
M

Ta nhận xét thấy




11 11 1,1 1
00
() ():, , () () ( ) ():, , () ()
nn nn n n nn
FuFvuvMxFuFv FuFvuvMxFuFv
    

Nên


1
() () ()
nn n
SxSx Sx

 là dãy số giảm và bị chặn dưới nên hội tụ.
Đặt
() lim () () ()
nn

n
Sx Sx Sx Sx n


và S cũng là hàm giảm trên
0
M
(do
n
S giảm trên
0
M
)
(Ta sẽ áp dụng nguyên Entropi cho tập
0
M
và phiếm hàm (-S))
1.
Xét dãy tăng


0n
n
x
M
ta chứng minh dãy số


n
n

x
có cận trên.
Ta lập bảng vô hạn 2 phía sau:

2
11 1
() () ()
n
Fx F x F x

2
22 2
( ) ( ) ( )
n
Fx F x F x
.………………………………….
………………………………….
.………………………………….

2
( ) ( ) ( )
n
nn n
Fx F x F x

………………………………….
Vì
()
n
x

là dãy tăng nên các phần tử trên một cột là dãy tăng(do F là toán tử tăng).
Do vậy dãy chéo


()
n
n
n
Fx
là dãy tăng, vì F là toán tử compact đơn điệu tới hạn nên
dãy này hội tụ về
x
và ()
n
nn
x
Fx x

 nghĩa là
x
là cận trên của


n
n
x
, Ta kiểm tra
0
x
M

Thật vậy
() ,
n
n
Fx x n

1
()
n
n
Fx Fx



1
() () () ,
nn
nn
Fx F x Fx n

 
Cho
n 
ta được
0
()
x
Fx x M

2.

Áp dụng nguyên lý Entropi ta tìm được
0
aM

sao cho
0
, a xM x


Ta có
() ()Sa Sx
Ta chứng minh
() 0Sa 
Giả sử
() 2 0Sa



 Ta có
1
() () 2 0Sa Sa

 nên tồn tại
11 0
,uv M

sao cho thỏa mãn
11
11
() ()Fv Fu a

ta có
1
11
() ()Fv Fu


 Do
1
1
()Fv a
nên
1
1
S( ( )) S(a)=2 >0Fv



1
21
S( ( )) S(a)Fv


nên tồn tại
22 0
,uv M


sao cho
221
221

() () ()Fv Fu Fv a
và
22
22
() ()Fv Fu




 Do
2
2
()Fv a
nên
2
32
S( ( )) S(a) 2 0Fv



nên tồn tại
33 0
,uv M
sao cho
33 2
332
() () ()Fv Fu Fv
và
33
33

() ()Fv Fu



 Cứ tiếp tục như trên ta sẽ xây dựng được các dãy




0
,
nn
uv M
sao cho

112 2
11 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
nn
nn
Fu Fv Fu F v F u F v    
(2.2.2)
Thỏa mãn
() ()
nn
nn
Fv Fu


(2.2.3)

Rõ ràng dãy (2.2.2) là dãy hội tụ theo định nghĩa F là toán tử compact
tới hạn mà điều này thì mâu thuẩn với (2.2.3).
Vậy s(a) = 0
3.
Bây giờ ta chứng minh F có điểm bất động trên M
0

Ta có
234
() () () () aFaFaFaFa    Do F là toán tử compact tới hạn nên dãy


()
n
Fa
hội tụ, đặt
lim ( )
n
n
bFa


mà do


()
n
Fa
là dãy tăng nên
1

()
n
Fab



() () 1,
n
Fa Fb n n


Cho
n  ta có
0
( ) bbFb M

() ()
nn
aFa Fbn nên () () ()
nn
n
Fa Fb Sa
Do
lim ( ) ( ) 0
n
n
Sa Sa

 nên lim ( ) ( ) 0
nn

n
Fa Fb



T ừ
0() () ()
nn
Fb b F b F a 

Ta có
()Fb b
hay F có điểm bất động trong
0
M




* Chú ý:
Trong định lý 2.2.1 ta giữ nguyên các giả thiết1. và 2. còn giả thiết 3 ta thay bằng giả
thiết 3
’
là
0
x
M sao cho
00
()Fx x


thì ta vẫn có kết luật: “Khi đó F có điểm bất động trong
M ”

Định nghĩa 2.2.2
Cho
0

u toán tử F được gọi là u
0
- lõm đều trên <u,v> nếu.
1. A đơn điệu trên <u,v>
2.
,, 0, >0 xuv


  
sao cho
00
()uFx u




3.


,(0,1), (,)0ab ab

  sao cho ,, (,)
x

uv t ab

    thì () (1 ) ()Ftx tFx


Từ định nghĩa u
0
- lõm đều ta thấy ,0


 và phụ thuộc vào x
Nếu F là u
0
- lõm thì () () (0,1), ,Ftx tFx t x uv

Định lý 2.2.2

Giả sử
1. K là nón chuẩn
2. F là toán tử u
0
- lõm đều trên <u,v>
3.
,uFuFvv
Khi đó F có điểm bất động trên <u,v>
Thật vậy:
 Do K là nón chuẩn nên <u,v> đóng, bị chặn
 Do giả thiết 3, mà ta có (,) ,Fuv uv

  ta chứng minh toán tử F compact đơn điệu

tới hạn.
* Giả sử
00
,0: , vaø 1uuv u

  

  
Thật vậy nếu u, v không có tính chất trên thì từ điều kiện 2. trong định nghĩa F là u
0
-lõm đều
suy ra
0, 0


 
sao cho
00
(), ()uFuFv u




Ta đặt
11
(), ()uFuvFv
ta có
011 0
,,01uuv u






và
11
111
11
()
( do F(v) v ) ( ) ( )
( )
Fv v
v v Fv Fv v
Fu u



    




)
Khi đó ta xét F là
0
u - lõm đều trên ,uv
Do K là nón chuẩn nên
,uv
đóng, bị chặn ,, 0:
x

uv M x M    
* F là toán tử compact đơn điệu tới hạn vì:
Giả sử


,
n
n
x
uv 
thỏa điều kiện






2
12

n
n
Fx F x F x (*)
Ta sẽ chỉ ra




n
n

Fx
là dãy cauchy (khi đó sẽ hội tụ vì X là không gian Banach)
Lấy
0


đủ bé để 1
.
M
N



 (N là hằng số chuẩn của nón K)
Do F là
0
u - lõm đều trên ,uv nên 0


 sao cho
,, ,1
.
xuv t
M
N



  



ta có






1Ftx tFx



Chọn
0
N
là số tự nhiên thỏa điều kiện


0
0
1
11
.
11
.
N
N
M
N
M

N


















Bằng cách giảm số

, ta có thể coi

0
11
N







Ta chứng minh
0
,nn kN 
thì




nk n
nk n
Fx Fx






Do


,
k
nk
Fx uv


và
,

n
x
uv
nên


0
k
nk
uFx



và
0n
x
u







0
k
nk
k
n
nk n

Fx
x
uFxx






Ta có
 
1
1
k
nk n n
Fx Fx Fx











      
2
22

11
k
nk n n
Fx F Fx Fx






 



………………………………………………….
………………………………………………
…………………………………………

      
00
000
1
1
11
NN
kN N N
nk n n
Fx F Fx Fx








 




    
0
00 0 0
1
N
nN kN nN N
nk
nk nk n
Fx F F x F Fx



 














   

00
1
11
1
.
NN
nn
nn
n
n
Fx Fx
Fx
MN





 






Kết hợp điều kiện:




nk n
nk n
Fx Fx


 ta có
   
0
.
nnk n
nnk n
Fx F x Fx
MN



 

Do đó
   
.
.
nnk n

nnk n
Fx F x NFx M
MN M




 
(do


,
n
n
Fx uv
)
Vậy dãy



n
n
Fx là dãy cauchy, mà do X là không gian Banach nên dãy



n
n
Fx hội tụ.
Vậy theo định lý 2.2.1 ta có F có điểm bất động trên

,uv



2.3 Điểm bất động của toán tử đơn điệu trên không gian với nón Minihedral - mạnh
Giả sử X là không gian Banach thực, sắp bởi nón Minihedral K. Ta có kết quả sau:
Định lý 2.3.1: Giả sử:
1.

:, ,
F
uv uv
là toán tử đơn điệu
2.
K là nón Minihedral - mạnh sao cho


,,Fuv uv
Khi đó F có điểm bất động trên
,uv.
Chứng minh:
Đặt


0
,:
M
xuvxFx  : khi đó
0
M



vì uFu

nên
0
uM


Ánh xạ
00
:FM M
được thỏa mãn vì


0
()
x
M x Fx Fx F F x    
0
()Fx M
Ta chứng minh mỗi tập con sắp tuyến tính trong M
0
đều có cận trên thuộc M
0

Thật vậy
Giả sử N là tập con sắp tuyến tính trong M
0
ta có N bị chặn trên bởi v. Vì K là nón

Minihedral mạnh nên N có cận trên đúng
00
supcNucv

 
x
N
ta có
0
x
c mà F đơn điệu nên








00
Fx Fc x Fx Fcdo đó

0
Fc là cận trên đúng
của N nên

00
cFc (do định nghĩa supremum)
00
cM

Theo bổ đề Zorn trong
0
M
có phần tử tối đại là
*
x
ta chứng minh
*
x
là điểm bất động của
toán tử F
Thật vậy
*
0
x
M
nên


**
x
Fx mà F đơn điệu nên






** *
x

Fx FFx





***
0
Fx M Fx x (do
*
x
phần tử tối đại của
0
M
)
Vậy

**
.Fx x 




Chương 3: ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ
T-ĐƠN ĐIỆU

Trong chương này ta vẫn xét X là không gian Banach thực với quan hệ thứ tự sinh bởi nón K.
3.1 Toán tử T-đơn điệu và điểm bất động
Định nghĩa 3.1.1

 Số thực

được gọi là điểm chính quy của toán tử tuyến tính
:
F
XX
nếu
F



là
song ánh, ở đây I là toán tử đồng nhất trong X.
 Ký hiệu


F

là tập tất cả các điểm chính quy của F và




\

 FF được gọi
là phổ của toán tử F.
 Toán tử F được gọi là Compact yếu nếu F biến
00
,uv

thành một tập Compact yếu
 Toán tử F được gọi là liên tục yếu nếu F biến mỗi dãy hội tụ yếu thành dãy hội tụ yếu
trong X.
 Ký hiệu


,LXX là không gian các toán tử tuyến tính trong X . Toán tử


,TLXX
gọi là dương nếu


TK K với K là nón trong X.

Định nghĩa 3.1.2

Giả sử
DX
toán tử :
F
DX X được gọi là T-đơn điệu nếu






,,Fx Fy Txy x y 
ở đây



,TLXX .
Như vậy nếu
0T  thì khái niệm T-đơn điệu trở thành khái niệm đơn điệu thông thường đã biết.

Bổ đề 3.1.1

Nếu


,FLXX và

F

 Thì
1
()( )()
x
IF AFx xAx


  
Chứng minh:


F





F


IF

 là song ánh

11
1
1
() ()( )()()( )
( ) ( )
( ) ( )( )

A
xx IF AFx IF AxFx
IF xFx
IF IFx
 





     
 
 

x



Vậy bổ đề được chứng minh


Bổ đề 3.1.2

Giả sử
00
,uv K và
00
uv , toán tử
00
:,
F
uv X
là T-đơn điệu với
00 00
, uFu Fvv.
Hơn nữa, giả sử T thỏa điều kiện :
(H
1
) T dương
(H
2
)
(0,1)


:



T


,
-Tx x




x
K

Khi đó
1
()( )SITFT


 là đơn điệu trên
00
,uv
và
00 00
, S uSu vv



Chứng minh
Do giả thiết (H

1
) ta có ánh xạ ( IT

 ) dương
Do
() TIT


  
song ánh nên tồn tại ánh xạ
1
()IT


 và
1
()IT


 dương
Nếu
00
,, ;
x
yuv xy  ta có () () ( )Fx Fy Tx y

  ( do F là T- đơn điệu )
(-) -(-) -(-)Fx Fy Tx Ty T x y




()()()()FTx FTy


  (3.1.1)
Tác động
1
()IT


 dương vào bất đẳng thức (3.1.1) ta được
11
()()()()()()FT FTx FT FTy
 



Sx Sy


 S là toán tử đơn điệu trên
00
,uv
Do
00 00 0 0
() ()uFu uTu Fu Tu


 
(3.1.2)

00 0 0 0 0
() () ()Fv v F v T v v T v


    (3.1.3)
Tác động
1
()IT


 dương vào bất đẳng thức (3.1.2) và (3.1.3)
Ta được
00
00
()
()
uSu
Sv v






Vậy bổ đề được chứng minh


Định lý 3.1.1

Giả sử K là nón chính quy,
00
,uv K

và
00
uv

, toán tử
00
:,
F
uv X là T-đơn điệu với
00 00
, uFu Fvv. Hơn nữa, giả sử T thỏa điều kiện :
(H
1
) T dương
(H
2
) (0,1)

 :


T

 , -Tx x



x
K
Khi đó F có ít nhất một điểm bất động trên
00
,uv
Chứng minh:
Đặt
1
()( )SITFT


  với


T

 . Do bổ đề 3.1.1 ta chỉ cần Chứng minh S có ít nhất
một điểm bất động trên
00
,uv
Theo bổ đề 3.1.2 toán tử
00 00
:, ,Suv uv là đơn điệu
K nón chính quy,
00 00
, S uSu vv
nên theo hệ quả 2.1.2 suy ra S có điểm bất động trên
00
,uv

Vậy F có ít nhất một điểm bất động trên
00
,uv


Định lý 3.1.2

Giả sử K là nón chuẩn,
00
,uv K và
00
uv

. Toán tử
00
:,
F
uv X
là T-đơn điệu và
00 00
, uFu Fvv. Hơn nữa, giả sử T thỏa điều kiện:
(H
1
) T dương
(H
2
)
(0,1)



:


T


, -Tx x


x
K.
Khi đó
Nếu X là không gian phản xạ thì F có ít nhất một điểm bất động trên
00
,uv
.
Chứng minh :
Đặt
1
()( )SITFT


 với


T


Do toán tử
00

:,Fuv X là T- đơn điệu ,
00 00
, uFu Fvv

 và T thỏa điều kiên (H
1
),(H
2
)
nên theo bổ đề 3.1.2 thì toán tử
00 00
:, ,Suv uv là đơn điệu
Mặt khác X là không gian phản xạ và K là nón chuẩn nên theo hệ quả 2.1.3 thì S có điểm bất
động trên
00
,uv
Vậy theo bổ đề 3.1.1 thì F có ít nhất một điểm bất động trên
00
,uv .



3.2 Nguyên lý ánh xạ co trên các phần tử so sánh được
Cho X là không gian Banach thực được sắp bởi nón K, F là toán tử trên X.
Xét phương trình : F(x) = x (3.2.1)
Nghiệm của phương trình (3.2.1) thường được tìm dưới dạng giới hạn của một dãy lặp:

1
( ) ( 0,1,2, )
nn

xFx n


 (3.2.2)
Với giá trị x
0
ban đầu tùy ý. Kết quả đã biết trong giải tích hàm đó là nguyên lý ánh xạ co.
Dưới đây chứng minh một số kết quả tương tự nguyên lý ánh xạ co, song sự đánh giá chỉ
dựa trên các phần tử so sánh được .
Định lý 3.2.1
Giả sử
1.
K là nón sinh, nón chuẩn
2.
F là toán tử trên X thỏa điều kiện :
Nếu
x
y
thì
()()()()
A
xy Fx Fy Axy   
(3.2.3)
Ở đây A là toán tử tuyến tính dương với bán kính phổ là r(A) < 1
Khi đó F có trong X điểm bất động duy nhất , với khởi đầu x
0
tùy ý nào đó.
Chứng minh:
Ta đã biết với mỗi toán tử tuyến tính A trên X ta có thể xét một chuẩn tương đương với
chuẩn ban đầu sao cho

A
và r(A) sai khác nhau đủ nhỏ.
Vậy từ r(A) < 1 ta có thể xem
A
<1
K là nón sinh nên với mỗi
x
X
có thể biểu diễn dưới dạng x = u(x) – v(x) với u(x), v(x)

K
Nghĩa là với mỗi
x
X tương ứng với y

K sao cho yxy

 ( chẳng hạn ta có thể lấy y
= u(x) + v(x) với u(x) , v(x) từ khai triển của x ở trên
).
Trên X ta định nghĩa chuẩn mới


0
inf : ,
x
yyK yxy


(3.2.4)

Dễ dàng ta kiểm tra được
0
.
là chuẩn dựa trên tính chất của chuẩn
.
và định nghĩa của
infimum.
Vì K là nón sinh nên với mỗi
x
X

có thể chọn u, v

K sao cho
,.uv ax
xuv







Ở đây a là hằng số không phụ thuộc vào x.
Như vậy
0000
, 2 .
x
Xx uv u v u v ax       
Mặt khác K là nón chuẩn nên có hằng số N sao cho từ

0 .
x
yxNy  
Với
02yxy xy y 

2. .
x
yNy
Suy ra
(2 1)
x
xyy xy y N y   với ,yKyxy



0
(2 1)
x
Nx 
Vậy
0
. .
Ta xét x, y tùy ý thuộc X. Giả sử
, uxyuuK

 
Rõ ràng từ đây ta có
1
()

2
1
()
2
x
xyu
yxyu








