lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP




GVHD: TS. NGUYỄN VĂN HOA
SVTH: PHẠM THỊ MAI




TP. HỒ CHÍ MINH-THÁNG 5/2010


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 1

LỜI CẢM ƠN
Em xin cảm ơn giáo viên hướng dẫn, TS. Nguyễn Văn Hoa, đã định
hướng giúp em tiếp cận vấn đề nghiên cứu trong khóa luận này; động viên và
giúp đỡ em hoàn thành khóa luận.
Em xin cảm ơn PGS.TSKH Lê Văn Hoàng đã đóng góp nhiều ý kiến quý
báu cho khóa luận.
Em xin cảm ơn thầy Lữ Thành Trung đã giúp đỡ em rất nhiều về thuật
toán trong ngôn ngữ lập trình.
Em xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý đã tận tình dạy bảo em

trong suốt bốn năm đại học, để em có được những kiến thức như ngày hôm
nay.
Em xin cảm ơn các bạn lớp Lý khóa 32 và những người thân đã giúp đỡ em
trong suốt thời gian làm khóa luận.
Em xin cảm ơn ba mẹ luôn bên cạnh và tạo mọi điều kiện tốt nhất giúp em
hoàn tất khóa luận.

Sinh viên thực hiện
Phạm Thị Mai



Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 2

Mục lục
MỞ ĐẦU 3
NỘI DUNG 7
Chương 1 Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử Hydro 7
1.1 Lời giải chính xác cho bài toán nguyên tử hidro 7
1.2 Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hidro 12
1.3 Sử dụng phương pháp toán tử tính năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro
khi chưa có bổ chính 16
1.4 Nhận xét 17
Chương 2 Sử dụng sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn tính các bổ chính năng
lượng cơ bản của nguyên tử Hydro 18
2.1 Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn 18
2.2 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu
loạn bằng phương pháp toán tử 20
2.3 Nhận xét 25

Chương 3 Sử dụng sơ đồ vòng lặp tính các bổ chính năng lượng cơ bản
của nguyên tử Hydro 26
3.1 Mục đích sử dụng sơ đồ vòng lặp 26
3.2 Thiết lập sơ đồ vòng lặp 26
3.3 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro ứng với theo sơ đồ
vòng lặp 28
3.4 Nhận xét 30
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 31
TÀI LIỆU THAM KHẢO 32
PHỤ LỤC 34
Phụ lục 1 Các toán tử sinh – hủy một chiều 34
Phụ lục 2 Dạng chuẩn (Normal) của một số biểu thức trong luận văn 37
Phụ lục 3 Toán tử thế năng 40
Phụ lục 4 Tính các yếu tố ma trận của
ˆ
H
46
Phụ lục 5 Biểu thức của bổ chính bậc cao theo lí thuyết nhiễu loạn 48
Phụ lục 6 Một số chương trình viết bằng ngôn ngữ lập trình Fortran 52


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 3

MỞ ĐẦU
1) Tình hình nghiên cứu
Ngày

nay,

Vật

lý

thực

nghiệm

đã

có

những

bước

phát

triển

mạnh

mẽ,

đòi

hỏi

phải

có

những

tính

toán

lý

thuyết

chính

xác.

Trong

khi

đó,

phương

pháp

gần

đúng

chủ

yếu

sử

dụng

cho

hệ

vi

mô

là

phương

pháp

nhiễu

loạn

không

sử

dụng

được

cho

bài

toán không

có

nhiễu

loạn.

Trước

tình

hình

đó,

việc

tìm

ra

một

phương

pháp

mới

hiệu

quả,

có

phạm

vi

áp

dụng rộng

rãi

rất

được

quan

tâm

trong

những

năm

gần

đây.

Và

phương

pháp

toán

tử

với những

tính

toán

thuần

đại

số,

được

xây

dựng

cho

nhóm

các

bài

toán

nguyên

tử

là

một phương

pháp

đang

được

các

nhà

Vật

lý

lý

thuyết

quan

tâm

nghiên

cứu.

Ý

tưởng

về

phương

pháp

toán

tử

xuất

hiện

vào

những

năm

1979.

Tuy

nhiên phương

pháp

toán

tử

(Operator

Method)

được

đưa

ra

đầu

tiên

vào

năm

1982

do

nhóm nghiên

cứu

của

giáo

sư

Kamarov

L.

I.

thuộc

trường

đại

học

tổng

hợp

Belarus

và

được

áp

dụng

thành

công

cho

một

nhóm

các

bài

toán

trong

vật

lý

chất

rắn,

vật

lý

nguyên

tử,

lý

thuyết

trường,…

Qua

việc

nghiên

cứu

và

khai

thác

trong

nhiều

bài

toán

cụ

thể,

phương

pháp

toán

tử

đã

tỏ

ra

là

một

phương

pháp

nổi

trội

hơn

hẳn

phương

pháp

truyền

thống

như:

Đơn

giản

hóa

việc

tính

toán

các

yếu

tố

ma

trận

phức

tạp

mà

thông

thường

phải tính

tích

phân

các

hàm

đặc

biệt.

Trong

suốt

quá

trình

tính

toán,

ta

sử

dụng

các

phép biến

đổi

đại

số

và

những

chương

trình

tính

toán

như

Maple,

Mathematica,…để

tự

động hóa

quá

trình

tính

toán.

Cho

phép

giải

các

hệ

cơ

học

lượng

tử

với

trường

ngoài

có

cường

độ

bất

kỳ.

Với

phương

pháp

toán

tử,

bước

đầu

đã

giải

quyết

một

phần

những

khó

khăn

về phương

pháp

của

Vật

lý

lý

thuyết,

góp

phần

vào

sự

phát

triển

không

ngừng

của

nền khoa

học

kỹ

thuật

toàn

cầu.
2) Lí do chọn đề tài
Hiện nay, trong cơ học lượng tử, chỉ có một số ít bài toán mà chúng ta
có lời giải chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 4

dừng, đó là: bài toán hạt trong hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và
bài toán về nguyên tử hydro (chuyển động của hạt trong trường xuyên
tâm). Đây là các hệ đã lí tưởng hóa được gặp trong tự nhiên. Việc nghiên
cứu các hệ đơn giản, lí tưởng hóa cho ta hiểu được đầy đủ hơn các
phương pháp của cơ học lượng tử. Ngoài ra các kết quả thu được có một

tầm quan trọng đặc biệt, vì trong một sự gần đúng nào đó, chúng phản ánh
những tính chất của hệ thực tương ứng.
Trong đó bài toán về nguyên tử hydro là một bài toán quan trọng của
vật lý lượng tử. Mặc dù là một bài toán có lời giải chính xác nhưng bài toán
về nguyên tử hydro là một bài toán khá phức tạp. Để giải được bài toán này,
ban đầu phải xây dựng một hệ thống kiến thức về toán tử momen xung
lượng trong hệ tọa độ cầu; xét các tính chất, trị riêng và hàm riêng của toán tử
momen xung lượng; phương trình bán kính; sự lượng tử hóa không gian, sự
phân bố electron và tính chẵn lẻ của các hàm cầu…
Bằng cách biểu diễn tất cả các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lí
qua các toán tử sinh hủy có chứa thông số biến phân, phương pháp toán tử đã
cho kết quả bước đầu đáng tin cậy và có thể đưa ra lời giải cho bất kì giá trị
nào của trường ngoài, nếu kết hợp với phương pháp nhiễu loạn.
Tính năng lượng của nguyên tử hydro bằng phương pháp toán tử kết hợp
áp dụng sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn dẫn đến kết luận: chuỗi các bậc bổ chính là
hội tụ. Nếu muốn tăng độ chính xác của năng lượng, chúng ta có thể điều
chỉnh thông số biến phân trong các toán tử sinh hủy hoặc thêm các bổ chính
bậc cao hơn cho đến khi đạt kết quả chính xác. Tuy nhiên, tốc độ hội tụ chậm
vì các bổ chính bậc càng cao thì càng giảm nhanh.
Xuất phát từ nhu cầu muốn tìm ra một phương pháp để thu được năng
lượng hội tụ về giá trị chính xác nhanh hơn bằng tính số trên máy tính, mà
không cần phải tính đến các bổ chính bậc cao cũng như sự điều chỉnh thông số
biến phân. Chúng tôi đi tới ý tưởng xây dựng một sơ đồ vòng lặp, mà cứ sau
mỗi vòng lặp thu được một giá trị năng lượng gần đúng, lại tiếp tục cho lặp lại,
để được một giá trị gần đúng hơn nữa. Quá trình lặp cứ tiếp, cho tới khi giá tri
sau khác giá trị ngay trước đó trong khoảng sai khác mong muốn thì dừng lại.
Kết quả cuối cùng thu được hội tụ về một giá trị, chính là giá trị năng lượng
cần tìm.

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 5

Do thời lượng nghiên cứu và kiến thức còn hạn chế, nội dụng bài nghiên
cứu này chỉ dừng lại ở mức độ khảo sát tính ưu việt giữa hai hướng tiếp cận:
lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc
tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro.
3) Mục tiêu của đề tài
Trong luận văn này, chúng tôi tiếp cận phương pháp toán tử như một
công cụ mới với mục tiêu cụ thể là:
Tìm hiểu về phương pháp toán tử: cơ sở hình thành, sơ đồ tính toán, ưu
điểm… Kết hợp phương pháp toán tử và lý thuyết nhiễu loạn để tính mức
năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro.
Xây dựng sơ đồ vòng lặp để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử
hidro từ đó so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng tiếp cận:
lý thuyết nhiễu loạn
và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản
của nguyên tử hydro. Từ đó nhận định xem hướng tiếp cận nào tốt hơn để lựa
chọn cho những bài toán có phức tạp hơn.
4) Phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được
Từ

những

khó

khăn

của

lý

thuyết

nhiễu

loạn

khi

giải

quyết

bài

toán

nguyên

tử

hydro

trong

trường
ngoài
trung

bình

và

những

ưu

điểm

vượt

trội

của

phương

pháp

toán

tử

so

với

phương

pháp

nhiễu

loạn,

nên

phương

pháp

toán

tử

là

phương

pháp

chính

được

sử

dụng

trong

quá

trình

thực

hiện

luận

văn

này.
Lập trình bằng ngôn ngữ fortran theo sơ đồ vòng lặp để tính mức năng
lượng cơ bản của nguyên tử hidro từ đó so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng
tiếp cận:
lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử
cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro.
5)
C
ấ
u t
rú
c c
ủ
a
lu
ậ

n v
ă
n
T
ừ

mục

tiêu

và

dự

kiến

kết

quả

đạt

đ
u
ợc,

em

xây

dựng

cấu

trúc

luận

văn

gồm

3

phần

chính:

Phần

mở

đầu
:

Nêu

lên

tình

hình

nghiên

cứu

vấn

đề,

lý

do

chọn

đề

tài,

ph
ươ
ng pháp

nghiên

cứu

và

dự

kiến

kết

quả

đạt

đ
u
ợc.


Phần

nội

dung
:

gồm

4

ch
ươ
ng

Ch
ươ
ng

1
:
PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 6

HYDRO
Ch
ươ
ng

này

trình

bày

những

kết

quả

mà

c
ơ

học

l
u
ợng

tử

đã

đạt

đ
u
ợc

về

bài

toán nguyên

tử

hydro:

năng lượng, hàm sóng
…
Giới thiệu về phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hidro và
dùng phương pháp toán tử kết hợp với lý thuyết nhiễu loạn tính mức
năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro khi chưa có bổ chính.
Chương 2: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC
BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO
Xây dựng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn.
Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu
loạn bằng phương pháp toán tử.
Chương 3: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VÒNG LẶP TÍNH CÁC BỔ CHÍNH
NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO
Nêu mục đích của sơ đồ lặp.
Thiết lập sơ đồ vòng lặp.
Dùng sơ đồ vòng lặp tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro.
Nhận xét kết quả thu được.

Phần

kết

luận
:
tóm

tắt

lại

kết

quả

đã

đạt

đ
u
ợc

của

luận

văn,

h
u
ớng

phát

triển sắp

tới

của

đề

tài.



Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 7

NỘI
DUNG
1 Chương 1
PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN
TỬ HYDRO
1.1 Lời giải chính xác cho bài toán nguyên tử hidro
[2],[4]

1.1.1 Phương trình Schrodinger của nguyên tử hydro
Thế năng của một hạt khối lượng m
o
chuyển động trong một trường lực
đối xứng xuyên tâm chỉ phụ thuộc khoảng cách r từ hạt đến tâm lực: U=U(r).
Do đó hamilton của hạt có dạng:

2
2
ˆ
( )
2
O
H U r

m

  

(1.1)
Trong nguyên tử hiđrô, thế năng tương tác giữa electron và hạt nhân chỉ
phụ thuộc vào khoảng cách
1 2
r r

giữa chúng. Như đã biết từ trong cơ học
giải tích, bài toán chuyển động hai hạt với định luật tương tác
1 2
( )
U r r

rút về
bài toán chuyển động của một hạt có khối lượng rút gọn

trong trường lực
U(r). Trong trường hợp nguyên tử hiđrô
.
e p
e p
m m
m m



. Vì

p e
m m

nên
e
m


.
Nếu bỏ qua kích thước của prôtôn, nguyên tử hiđrô sẽ được coi như gồm hạt
electron chuyển động trong trường Coulomb gây bởi một tâm đứng yên.
Chọn gốc thế năng tại tâm hạt nhân và gọi r là khoảng cách từ tâm hạt
nhân đến electron thì thế năng tương tác giữa electron và hạt nhân là:

2
( )
Ze
U r
r
  (CGS) (1.2)
Trong đó:
Ze là điện tích của hạt nhân.


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 8

U(r) chỉ phụ thuộc vào r, không phụ thuộc vào thời gian nên đối với
nguyên tử hiđrô phương trình Schrodinger là phương trình dừng.
Do tính đối xứng xuyên tâm, để tiện lợi ta giải bài toán trong tọa độ cầu.

Phương trình Schrodinger cho các trạng thái dừng của hạt trong trường hợp
này có dạng:

 
2
2
( ) 0
e
m
E U r
 
   

(1.3)
Trong tọa độ cầu, toán tử

có dạng
,
2
2
2
2
,
2 2
2
2 2 2
1
1
1 1
sin

sin sin
1 1 1
sin
sin sin
r
r
r
r
r
r r r
r
 
 

    

    
    
 
 
 
 
 
 
  
 
  
 
  
 

  
 
     
 
  
 
(1.4)
Thay (1.4) vào (1.3) ta được:
 
2
,
2 2 2
21 1
( ) ( ) 0
e
m
r E U r
r r r r
 
 
 
 
    
 

(1.5)
Do
2
,
2

ˆ
L
 
  

nên ta viết lại (1.5) như sau:

 
2
2
2 2 2 2
ˆ
2
1
( ) ( ) 0
e
m
L
r E U r
r r r r
 
 
 
   
 
 
(1.6)
Trước hết chúng ta chứng minh rằng, đối với chuyển động trong trường
đối xứng xuyên tâm, ngoài định luật bảo toàn năng lượng, còn hai định luật
bảo toàn nữa, đó là định luật bảo toàn mômen xung lượng toàn phần và định

luật bảo toàn của hình chiếu mômen theo trục z định hướng tùy ý trong không


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 9

gian. Muốn vậy ta xét các điều kiện giao hoán của các toán tử
2
ˆ
L
và
ˆ
z
L
với
ˆ
H
.
Trong trường hợp này
ˆ
H
có dạng:

2 2
2
2 2
ˆ
1
ˆ
( ) ( )

2 2
e
L
H r U r
r r r m r
 

 
   
 

(1.7)
Ta thấy
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
0
HL L H
 
;
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
0
Z Z
HL L H
 
(1.8)
Vì các toán tử và chỉ tác động lên các biến góc
,
 
nên giao hoán với

các toán tử lấy vi phân theo r.
Như vậy cũng giống như trong cơ học cổ điển, đối với chuyển động trong
trường đối xứng xuyên tâm có ba đại lượng bảo toàn: năng lượng, bình
phương mômen
2
ˆ
L
và hình chiếu mômen
ˆ
Z
L
. Do đó chúng ta sẽ khảo sát các
trạng thái với giá trị đã cho của ba đại lượng này. Một cách tương ứng ta, ta
viết nghiệm của phương trình dưới dạng

,
( , , ) ( ). ( , )
nlm n l m
r R r Y
    
 (1.9)
Năng lượng của hạt được đặc trưng bằng số lượng tử chính n, còn các trị
riêng của các toán tử và được đặc trưng bằng các số lượng tử quĩ đạo l và số
lượng tử từ m. Thay (1.2) và (1.6) vào phương trình (1.9) và chú ý rằng
2
ˆ
( 1)
lm lm
LY l l Y
 


ta đi tới phương trình cho thành phần xuyên tâm
( )
nl
R r
của
hàm sóng
( , , )
nlm
r
  
:



2 2
2
2 2 2
1
2
1
( ) 0
2
e
e
l l
m
d dR Ze
r E R r
r dr dr r m r

 
 
   
 
 
 
 


(1.10)
1.1.2 Năng lượng của nguyên tử hiđrô
Từ kết quả của cơ học lượng tử ta có công thức tính năng lượng của
nguyên tử hiđrô

4 2
2 2
2
n
me Z
E E
n
   

(CGS) (1.11)


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 10

Trong hệ không thứ nguyên

1
m e
  

thì:

2
2
2
n
Z
E E
n
    (1.12)
Công thức (1.11) cho phép xác định năng lượng của electron trong nguyên tử
hiđrô. Theo (1.11) thì năng lượng này gián đoạn và tỉ lệ nghịch với bình
phương các số nguyên. Tính gián đoạn này là hệ quả của điều kiện hữu hạn
đối với hàm sóng ở vô cực.
Ứng với n = 1, năng lượng có giá trị thấp nhất
1
13,6
E eV
  .
Khi n càng tăng thì các mức
n
E
liên tiếp càng gần nhau hơn. Khi
n
 
thì

0
n
E

.
Một số mức năng lượng kích thích
2 3
3,4 ; 1,5 ;
E eV E eV
   
Đối với thế Coulomb, Z hữu hạn, ta có một số vô hạn các trạng thái liên
kết, bắt đầu ứng với năng lượng
2 4
2
2
mZ e


và kết thúc ứng với năng lượng 0.
Ứng với một giá trị đã cho của n (số lượng tử chính) thì
l
có thể có những
giá trị l = 0, 1, 2, , n- 1. Như vậy có tất cả n giá trị của
l
;
l
gọi là lượng tử số
quỹ đạo và nó xác định độ lớn moment xung lượng

 

1
L l l 

(1.13)
Ba số nguyên n, l, m duy nhất xác định một hàm riêng






, , ,
nlm nl lm
r R r Y
   
 
gọi là ba số lượng tử, m gọi là số lượng tử từ.
Ứng với một giá trị đã cho của l thì m có thể nhận các giá trị
, 1, , 1,0,1, , 1,
m l l l l
     
. Tất cả có


2 1
l

giá trị của m. Lượng tử số m
xác định độ lớn hình chiếu moment xung lượng trên trục z

z
L m





Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 11

Như vậy, ứng với một mức năng lượng E
n
có nhiều trạng thái khác
nhau
nlm

, ta nói có sự suy biến. Đối với một giá trị n xác định, số trạng thái
suy biến có cùng giá trị năng lượng E
n
là

 
1
2
0
2 1
n
l
l n



 

(1.14)
Nếu không tính đến spin, mức năng lượng cơ bản
1
E
không suy biến, mức
kích thích thứ nhất
2
E
suy biến bậc 4, mức kích thích thứ hai
3
E
suy biến bậc
9
Nếu tính cả spin có hai giá trị thì tổng số trạng thái suy biến trên bằng
2
2
n
.
1.1.3 Hàm sóng của nguyên tử hiđrô
Hàm sóng chuẩn hóa của nguyên tử hiđrô có dạng:








, , ,
nlm nl lm
r R r Y
   
 

Với
2
2
2
o
o
Zr
và a
na me

 

(1.15)
a
0
: là bán kính Bohr thứ nhất
Bảng 1.1 Hàm sóng toàn phần


, ,
nlm
r
  
của các hệ giống hydro ứng với

các giá trị n=1, 2, 3,…
n l m


, ,
nl m
r
  

1 0 0
3 / 2
0 0
1
( / ) exp( / 2 )
Z a Zr a





Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 12

2
2

2
0
1

1
0
0

1


3 / 2
0 0 0
1
( / ) (1 / 2 ) exp( / 2 )
2 2
Z a Zr a Zr a

 

3 / 2
0 0 0
1
( / ) ( / ) exp( / 2 ) cos
4 2
Z a Zr a Zr a




3/ 2
0 0 0
1
( / ) ( / )exp( / 2 )sin exp( )

8
Z a Zr a Zr a i
 

 

3

3
3

3
3

3
0

1
1

2
2

2
0

0
1


0
1



2


3/2 2 2 2
0 0 0 0
1
( / ) (1 2 /3 2 /27 )exp( /3 )
3 3
Z a Zr a Z r a Zr a

  
3/ 2
0 0 0 0
2 2
( / ) (1 / 6 )( )exp( /3 )cos
27
Z a Zr a Zr a Zr a


  

3/2
0 0 0 0
2

( / ) (1 /6 )( / )exp( /3 )sin
27
i
Z a Zr a Zr a Zr a e




 

3/ 2 2 2 2 2
0 0 0
1
( / ) ( / )exp( /3 )(3cos 1)
81 6
Z a Z r a Zr a


 

3/ 2 2 2 2
0 0 0
1
( / ) ( / )exp( /3 )sin cos
81
i
Z a Z r a Zr a e

 




3/ 2 2 2 2 2 2
0 0 0
1
( / ) ( / )exp( / 3 )sin
162
i
Z a Z r a Zr a e





1.2 Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử
hidro
[12]

Xét bài toán nguyên tử hydro, phương trình Schrödinger viết cho nguyên
tử đồng dạng hydro trong hệ SI có dạng:

2 2
0
Δψ( ) ( ) ( )
2 4
Ze
r r E r
m r
 


  

  
(1.16)
Trong đó
,
m e
– lần lượt là khối lượng và điện tích của điện tử;
Z
là số
điện tích.


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 13

Ta sẽ viết phương trình trên theo hệ đơn vị nguyên tử, đặt
0
x a x

,
0
y a y

,
0
z a z

với
2 2

0 0
4 /
a me



là bán kính Bohr. Khi đó phương
trình (1.17) có dạng không thứ nguyên:

1
Δ ψ( ) ( )
2
Z
r r
r

 
  
 
 
 
(1.17)
Với tọa độ và năng lượng lần lượt có đơn vị là
0
a
và
2 2
0
/
ma


. Ta có thể
viết dưới dạng tường minh như sau:

ˆ
( , , ) ( , , )
H x y z x y z
  

(1.18)
Với:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
ˆ
2
Z
H
x y z
x y z
 
  
    
 
  
 
 
(1.19)
Ta định nghĩa các toán tử sinh huỷ dưới dạng:

 
1 1
,
2 2
a a
 
 
 
 
 
   

   
 
   
   
   
 
   
(1.20)
với
, ,
x y z


, trong đó


là các tham số thực dương, ta sẽ xác định nó sau

Dễ dàng thấy rằng


, 1
a a
 

 

 
 
(1.21)
(Phụ lục1trang 46)
Các giao hoán này chính là công cụ chính cho các tính toán đại số. Ta
viết lại các thành phần trong Hamiltonian

H
trong biểu thức (1.19) qua biểu
diễn các toán tử sinh huỷ này.
1.2.1 Toán tử động năng


2 2 2
2 2 2
2
2
1 1
2 2
T
H

x y z


  
    
  
 


 

 

(1.22)


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 14

Từ (1.20) ta có:



2
2
a a a a

   



  
 
 
    
 
   

Suy ra








2
2 2
2
1 2
2 2
a a a a a a a a
 
       
 

   

      


 
 
 
       
(1.23)
Ta thay (1.25) vào (1.24) ta được

   
2 2
1
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
1 2
4
T
H a a a a
    


 
 
    
 

(1.24)
Đặt
2 2
ˆ
ˆ ˆ
, ,

ˆ ˆ
ˆ ˆ
a N a
A a A a
      
  
   (1.25)
Thay (1.27) vào (1.26), ta được:

1 1
ˆ ˆ
ˆ ˆ
1 2
4 4
T
H N A A
    
 
 

 
 
   
 
 
 
(1.26)
với
, ,
x y z




1.2.2 Toán tử thế năng
Với số hạng liên quan đến tương tác Culông thì các toán tử sinh huỷ sẽ
nằm ở mẫu số và trong dấu căn cho nên cần phải đưa về dạng chuẩn để có thể
sử dụng trong tính toán. Dùng phép biến đổi Laplace ta có thể viết thành phần
thế năng dưới dạng:

2 2 2
( )
0
2 2 2
1
ˆ
U t x y z
Z Z
dt e
t
x y z
H


  
   
 

(1.27)
(Phụ lục 2 trang 37)
Từ đó ta có thành phần thế năng được viết dưới dạng:

 


0
0
'
,
1
ˆ ˆ
ˆ
U
n k
Z
dt
t
H S S
 



  


(1.28)


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 15

với:


0
ˆ
x
S
: là toán tử chứa những số hạng trung hòa, toán tử


0
x
S
khi tác dụng
lên vector trạng thái sẽ thu được trạng thái không đổi.
 
 
 
 
 
 
 
2
0
2 2
2 2
1 1 , 1
1 1
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ
1
!
1 2
! ! !
m i m
m m i i i i m i m i
x x x x x x x x x x x
m i i m
x
i l l i
S N A A A N A
m
i i m
   


  
 
  
 


 

   








  
(1.29)
'
ˆ
x
S
: là toán tử chứa những số hạng trung hòa, toán tử
'
ˆ
x
S
khi tác dụng lên
vector trạng thái sẽ làm thay đổi trạng thái đang xét.
     
 
 
   
 
'
, 1 1 1
, 1 , 1 , , 1
1 1 1
1
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
! ! ! !
1 2

1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
! ! ! ! ! ! !
m l l i
l m m l l l i i
x x x x x x x x x
ml l i
x
i l i m i l m
i l i l i m i m i l m i m l
x x x x x x x x x x x x
i l i m i l m
l i l i
S N A A A
ml l i
A A A N A N A
i l i m i l m
   

    

  

  
   
  
    
  
 


  
  





  

  



  
  
(1.30)
1.2.3 Toán tử hamilton
Thay (2.31), (2.33) vào biểu thức
ˆ ˆ ˆ
T U
H H H
 
, ta được:
 


     

       

         
0
0
0
'
0 0 0 0 0 0 0
' '
0 0 0 0 0
' ' ' ' ' ' '
1
1
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ
1 2
4 4
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
1 2
4 4
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
x y z x y z x y z
x y z x y z x y z x y z
Z
dt
t
Z
dt
t
H N A A S S

N A A S S S S S S S SS
S SS SS S SS S SS S S
      
 

    
 


 
 






 
 
    
 
 
 
 
     
 
 
    



  
 

' ' '
ˆ ˆ
x y z
SS
(1.31)
Toán tử Hamilton trong bài toán nguyên tử hydro được chia thành hai
thành phần:
0
ˆ ˆ ˆ
H H V
 
(1.32)
Thành phần toán tử chứa các toán tử trung hòa, xem như loại toán tử
Hamilton
0
ˆ
H
trong bài toán không nhiễu loạn, với:


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 16


(0) (0) (0)
0
, ,

0
1 1
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
(2 1) ( )
4
x y z
x y z
Z
H N S S S dt
t
 





  


(1.33)
Thành phần toán tử chứa các toán tử không trung hòa, xem như loại toán
tử nhiễu loạn
ˆ
V
, với:

 




0 ' ' ' 0 ' ' ' 0 0 0 ' 0 ' 0 ' 0 0 ' ' '
2
2
1
0
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
1
ˆ
4
x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z
S SS SS S SS S S SS S S S SS S SSS
Z
V a a dt
t
 






     
 
  
 
 



(1.34)
Dùng các toán tử
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
, , , ,
a a A A N
 
và qua quá trình tính toán ta tính được
các yếu tố ma trận của
ˆ
H
:
ˆ
nk
H n H k


m
2i-1 2i
(0) 2 1/2
,
2
m=1 i=1
=0 =1
2i m
2i-1 2i
,
2 1/2
2

i=1 m=1
=0 =1
(-1) 1
ˆ
{1+ [ ( ) ( 2 )]
m! (i!)
(-1) (-1)
[ ( ) ( 2 )] ( 2 ) }
(i!) m!
1 2
m m i
n k
n k
i m
S k k k i
k k i k i
 
 
    
 
   
 

   

  

 
 
    

    

 
 
 
 
(1.35)
n , 2
n , 2
m l
2l-1
' 1/2
m=0 l=1 =0
i m
2i
1/2
i=1 m=0 =1
i m l
2
i=1 m=0 l=1 =0
(-1) (-1)
ˆ
{ [ ( )] ( 2)
m! l!
(-1) (-1)
[ ( )]
i! m!
(-1) (-1) (-1)
[ (
i! m! l!

k l
k i
m l m
i m m
i m l
S k k l
k k
 
 
    

   

  

   
   
  


 
 
  
  
 

 

 


  
n , 2 2
l-1 2i
1/2 m 1/2
=1
1
)] (k -2l) [ ( 2 )] }
1+2
k l i
k k l
 
  


  

 
  
 
(1.36)
1.3 Sử dụng phương pháp toán tử tính năng lượng cơ
bản của nguyên tử hidro khi chưa có bổ chính
 
(0) 0
0
, ,
0 0 0
1
1/2
0

2
, ,
1
ˆ ˆ
000 000 000 2 1 000
4
ˆ ˆ ˆ
000 000

(1 2 )
x y z
x y z
x y z
E H N
S S S
Z
dt
t
 









  







Do tính chất đối xứng 
x

y

z
nên biểu thức năng lượng bậc
không trở thành:


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 17

(0)
0
1
3
0
2
3 1
4
1
Z
E dt
t

t




 
 
 

 
 
 
 
 


Ta đã đặt
2
2
t
dt d
  

  
(0)
0
1 3
0
2 2
2

3 1
2
4
(1 2 )
Z
E d
  

 

  




Suy ra
(0)
0
3 2
4
E



  (1.37)
Để so sánh tính ưu việt của các hướng tiếp cận, nên không sử dụng
phương pháp biến phân, tức là chọn thông số biến phân
1



. Suy ra :

0
0.37837915139550750
E   (1.38)
1.4 Nhận xét
Sử dụng phương pháp toán tử, ta tính được năng lượng cơ bản của
nguyên tử Hydro khi chưa có bổ chính là
0
0.37837915139550750
E  
, giá trị
này còn sai khác nhiều với giá trị chính xác. Để thu được kết quả tốt hơn, ta
tính các bổ chính năng lượng cơ bản.
Tính bổ chính năng lượng của nguyên tử theo lí thuyết nhiễu loạn là cách
làm phổ biến và khá hiệu quả.


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 18

2 Chương 2
SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH
CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN
TỬ HYDRO
2.1 Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn
[10],[6]

Phương trình Schrodinger là phương trình vi phân tuyến tính với các đạo
hàm riêng phần và các hệ số biến đổi. Nghiệm chính xác của nó có thể tìm

được trong một số tương đối nhỏ các trường hợp đơn giản nhất như: nguyên tử
hydro, bài toán dao động tử điều hòa, chuyển động trong hố thế vuông góc,…
Sự phức tạp của việc giải phụ thuộc vào dạng của thế năng và số chiều của
không gian trong bài toán cần giải. Phần lớn các bài toán của cơ học lượng tử
dẫn tới những phương trình rất phức tạp về mặt toán học, và không thể giải
được một cách chính xác. Do đó thường phải ứng dụng những phương pháp
gần đúng để giải bài toán, nghĩa là phải tìm một cách gần đúng các trị riêng và
hàm riêng của nó. Một trong những phương pháp gần đúng rất quan trọng để
giải bài toán cơ học lượng tử là lý thuyết nhiễu loạn. Nội dung của phương
pháp nhiễu loạn như sau:
Xét phương trình Schrodinger:

ˆ
( ) ( )
H x E x
  
(2.1)
ta tách toán tử Hamilton của bài toán thành hai thành phần:

0
ˆ ˆ ˆ
H H V

  (2.2)
Trong đó:
Thành phần
0
ˆ
H
là toán tử Hamilton có nghiệm riêng chính xác

0
ˆ
n n n
H
  
 (2.3)


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 19

Thành phần
ˆ
V
còn lại được gọi là thế nhiễu loạn, điều kiện áp dụng lý
thuyết nhiễu loạn là thành phần nhiễu loạn
ˆ
V
phải “nhỏ” so với
0
ˆ
H
,
0
ˆ ˆ
V H

. Khi đó, nghiệm của phương trình (2.3) sẽ gần với nghiệm của
phương trình (2.1). Lúc này chúng ta xem

n

và
n

là nghiệm gần đúng bậc
zero của (2.1), các nghiệm gần đúng bậc cao hơn sẽ được tính bằng cách xét
đến ảnh hưởng của
ˆ
V
thông qua các bổ chính năng lượng và hàm sóng. Ở đây
ta đưa vào tham số nhiễu loạn

để mặc định thành phần nhiễu loạn là nhỏ và
dễ dàng nhìn thấy các bậc nhiễu loạn trong sơ đồ tính toán qua số mũ của

.
Ta giả thiết rằng các trị riêng của
ˆ
H
là không suy biến và có phổ gián
đoạn, hệ hàm riêng
n

của
0
ˆ
H
là đầy đủ và trực giao ứng với năng lượng
n


,
với
0,1,2,
n

. Khi đó, chúng ta tìm nghiệm của (2.1) dưới dạng khai triển
theo các hàm riêng của
0
ˆ
H
như sau:

0
( ) ( )
k k
k
x C x



 

(2.4)
Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết hàm sóng cho trạng thái
n

như sau:

0

( )
( ) ( ) ( )
n n k k
k
k n
x x C x
 



  

(2.5)
Ta ký hiệu
(0) (0)
,
n j
E C
là năng lượng và hệ số gần đúng bậc zero, còn
( ) ( )
, , 1
s s
n j
E C s
  
là các bổ chính vào năng lượng và hệ số hàm sóng. Biến
đổi toán học, ta được

(0) (0)
, 0

n nn j
E H C
 
,

(1) (1)
(0)
, ( )
jn
n nn j
n jj
V
E V C j n
E H
    

;


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 20

2:
s


( ) ( 1)
0
s s
n nk k

k
k n
E V C




  

,

1
( ) ( 1) ( ) ( )
(0)
0 1
1
( )
s
s s s t t
j jk k n j
k t
n jj
k n
C V C E C j n
E H
 
 
 

 

 
      
 

 
 
 
(2.6)
Giá trị riêng và hàm sóng ở gần đúng (s) bất kỳ:

( ) ( )
2
s
s t
n nn n
t
E H E

  

(2.7)
Phương trình (2.6) và (2.7) gọi là sơ đồ Rayleigh-Schrodinger cho
phương pháp nhiễu loạn dừng (sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn).
2.2 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử
hydro theo lý thuyết nhiễu loạn bằng phương pháp toán tử
2.2.1 Tính bổ chính bậc một

(1)
0
000 000 0

ˆ
E
  
V
(2.9)
Do thế nhiễu
ˆ
V
không chứa các số hạng trung hòa nên các phần tử ma
trận trên đường chéo chính của
ˆ
V
bằng 0.
2.2.2 Tính bổ chính bậc hai
Từ (2.14) suy ra biểu thức bổ chính bậc hai cho năng lượng của hệ là:

(2)
(0)
0
nk kn
n
k
n kk
k n
V V
E
E H


 



(2.10)
Bổ chính bậc hai cho cho năng lượng cơ bản sẽ là một đại lương âm phụ
thuộc vào đặc tính của nhiễu loạn. Như vậy, với độ chính xác đến các số hạng
có độ bé cấp hai, năng lượng của hệ suy ra từ (2.6), (2.7), (2.10), được tính
bằng:
2
(0)
(0)
0
nk
n nn
k
n kk
k n
V
E E H
E H


  


(2.11)


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 21

Trong bài toán nguyên tử hydro gọi k=k
x
+k
y
+k
z
thì biểu thức (2.11)
được viết lại như sau:

,
2
(2)
0
(0) (0)
,
000
0
000
ˆ
x y
x y z
z
x y z
k k
k k k
k
k k k
E
E E



 


V
(2.12)
Ta tính các yếu tố ma trận của
ˆ
V
, thấy rằng
000 0
ˆ
x y z
k k k

V nếu
k

lẻ.
Mặt khác, do tính chất đối xứng nên (2.12) được viết lại
2 2 2
(2)
0
(0) (0) (0) (0) (0) (0)
000 200 000 400 000 220
2 4
2
(0)
000 6
ˆ ˆ ˆ

000 200 000 400 000 220
3 3 3
ˆ
000 600
3
bac bac
E
E E E E E E
E E
   
   
   
   
  
   
   


 
V V V
V
2 2
(0) (0) (0) (0) (0)
00 000 420 000 222
6
ˆ ˆ
000 420 000 222
6
bac
E E E E

 
 
  
 
 
 
 

V V
(2.13)
Để hiểu hơn về cách tính bổ chính bằng phương pháp toán tử, ta thử tính
một vài yếu tố ma trận của
ˆ
V
và của
(0)
x y z
n n n
E . Các kết quả trình bày dưới đây
được tính bằng ngôn ngữ lập trình Mapple.
Các yếu tố ma trận của
ˆ
V

Các yếu tố ma trận của
ˆ
V
ứng với bậc 2 theo k







1
' (0) (0)
2
02 00 00
1 5
0 0
2 2
ˆ ˆ ˆ
2 2 2
ˆ
000 200
4 4
(1 2 )
2 2 2
.
4 6
x y z
S S S
Z
V dt d
t
 
  
 





 
     

  
 

Các yếu tố ma trận của
ˆ
V
ứng với bậc 4 theo k


Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 22







' (0) (0)
04 00 00
1
0
2
3
2

7
0
2
ˆ ˆ ˆ
ˆ
000 400
1 6
2 3
10
(1 2 )
x y z
S S S
Z
V dt
t
d

 
 





 
   










 
' ' (0)
02 02 00
1
0
2
3
2
7
0
2
ˆ ˆ ˆ
ˆ
000 220
2 2 1
.
5
1 2
x y z
S S S
Z
V dt
t
d


  






 
   




Các yếu tố ma trận của
(0)
x y z
n n n
E

Các yếu tố ma trận của
(0)
x y z
n n n
E ứng với bậc 2 theo k
 
(0) (0) (0)
(0) (0)
200
1
, ,

0
2
2
1 7
0
2 2
ˆ ˆ ˆ
200 200
1
ˆ ˆ
200 200 200 2 1 200
4
1 2
7 7 19
2
4 4 15
(1 2 )
x y z
x y z
S S S
Z
E H N dt
t
Z
d
 







   


 



   

   





Các yếu tố ma trận của
(0)
x y z
n n n
E ứng với bậc 4 theo k
 
(0) (0) (0)
(0) 0
400
1
, ,
0
2

2 4
1 3
0
2 2
ˆ ˆ ˆ
400 400
1
ˆ ˆ
400 400 400 2 1 400
4
1 12 6
11 11 1321
2
4 4 1260
(1 2 )
x y z
x y z
S S S
Z
E H N dt
t
Z
d
 

 


 


   


 



   
 
   





 
(0) (0) (0)
(0) (0)
220
1
, ,
0
2
2 2
1/2 11/2
0
ˆ ˆ ˆ
220 220
1
ˆ ˆ

220 220 220 2 1 220
4
(1 2 )
11 11 193
2
4 (1 2 ) 4 210
x y z
x y z
S S S
Z
E H N dt
t
Z
d
 






   
  




   

   








Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 23

Để đáp ứng yêu cầu khảo sát tính hội tụ nhanh hay chậm của năng
lượng đã bổ chính bậc đến bậc hai theo lí thuyết nhiễu loạn ứng với bậc k
tương đối lớn, tác giả xây dựng chương trình tính bổ chính năng lượng bậc hai
chạy trên máy tính
Xây dựng hàm con cho thành phần không trung hòa
ˆ
V

Để ý: Chỉ có thành phần
ˆ
000 200
V có chứa thành phần động năng khác 0, tất
cả các thành phần không trung hòa
ˆ
V
khác trong biểu thức của
(2)
0
E
 đều có

thành phần động năng bằng 0












' ' ' ' ' '
0 0 0 0 0 0
1 1
0 0
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2
ˆ
000 .

x y z x y z
x y z x y z
k k k k k k
x y z
S S S S S S
Z
V k k k dt z d

t





 
  
 

Từ (1.36), suy ra biểu thức của


'
0
ˆ
x
k
S


1/2
(2 )!
1
ˆ
0 | '| 2 ( 1) ( )
! 1 2 (1 2 )
k k
k
S k

k
 




 
   
 

0,1,2,
k

 (2.14)
Xây dựng hàm con cho thành phần trung hòa
(0)
x y z
k k k
E
 
(0) (0)
(0) (0) (0)
1
, ,
0
2
0 0 0
1
0
2

ˆ
ˆ ˆ ˆ
1
ˆ
2 1
4
ˆ ˆ ˆ
. .
2( ) 3
2
4
x y z
x y z
k k k x y z x y z
x y z x y z x y z
x y z x y z
x y z
k k k
x y z
E k k k H k k k
k k k S S S k k k
Z
k k k N k k k dt
t
S S S
k k k
z d
 





 






  
  
 




Từ (1.35), suy ra biểu thức của
0
ˆ
k
S


2
2
00
2
1/2
(2 )!
(2 2 )!( !) 1

2 | |2
(1 2 ) (1 2 )
k
i
i
k
k
k i i
k S k




 

 



  
 


0,1,2,
k


(2.15)

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Phạm Thị Mai Trang 24

Bằng ngôn ngữ lập trình fortran 9.0, viết chương trình tính bổ chính
bậc hai năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro, cho xuất kết quả ứng với tổng
chỉ số k chạy từ giá trị 2 đến 16, ta thu được bảng số liệu sau (xem phụ lục 6)
Tổng k
(2)
0
E


(0) (2)
0 0 0
E E E
  

2
-0.01646522499468143 -0.39484437639018893
4
-0.05330141176090913 -0.43168056315641663
6
-0.06867349187502052 -0.44705264327052802
8
-0.07676451443274628 -0.45514366582825378
10
-0.08162797059819778 -0.46000712199370528
12
-0.08481723626391037 -0.46319648765941787
14

-0.08659776166821651 -0.46497691306372401
16
-0.08762909472494362
-0.46600824612045112
Nhận xét: Tương ứng với bậc k càng cao thì năng lượng bổ chính càng
tiến về gần giá trị chính xác là -0.5 hơn. Tuy nhiên tốc độ hội tụ chậm.
Nguyên nhân là vì ta mới chỉ tính đến bổ chính bậc hai. Để thu được kết quả
tốt hơn, ta tiếp tục tính đến bổ chính bậc cao hơn.
2.2.3 Tính bổ chính bậc ba, bốn
Từ sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn, suy ra biểu thức tính bổ chính bậc 3,4
(3)
0
(0) (0) (0) (0)
0 0
000 000
(4)
0
(0) (0)
000
000| | |
( )( )
000| | | |
( )
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
x y z x y z
x y z
y z x y z y z y z
m k
mmm k k k

y z x y z y z x y z y z y z
j j j
mm mmm kk k k
E
E E E E
j j j j j mm mmm kk k k
E
E E
 
 
 
   
 
 
    
 


x x x
x x x x
V|m V|k k V|000
V| j V|m V|k k V|000
(2) 2
0
(0) (0) (0) (0)
0 0 0
000 000
( )
( )( )
x y z x y z

j m k
mmm k k k
E E E E
E
  
  
  

 



Xây dựng chương trình tính các bổ chính bậc 2,3,4 ứng với bậc k=4
bằng ngôn ngữ lập trình fortran, ta thu được kết quả (xem phụ lục 5)
Bổ chính bậc 2 -0.05330141214290737
Bổ chính bậc 3 -0.02344822671992949
Bổ chính bậc 4 -0.01168803841828004