tuan-2

KIỂM TRA 10’
1) Một con xúc xắc được đổ chì sao cho khả năng xuất hiện mặt
chẵn chấm gấp ba lần khả năng xuất hiện mặt lẻ chấm. Gieo con
xúc xắc đó một lần.
Đặt A = “số chấm xuất hiện nhỏ hơn 5” B = “số chấm xuất hiện là
chẵn” C = “số chấm xuất hiện chia hết cho 2”. Tính P(A+B), P(AC)?
2)Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 54 sinh viên h ọc tốn
IV, 69 sinh viên học toán V và 35 sinh viên học cả toán IV và toán V.
Chọn ngẫu nhiên một sinh viên. Tính xác suất để: Sinh viên đó h ọc
đúng một môn.


XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ
(Buổi 2)
BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
(Tiếp)


Xác suất điều kiện

 Công thức nhân xác suất
 Công thức xác suất đầy đủ và công thức
Bayes


5. XÁC SUẤT ĐIỀU KIỆN
.

Ví dụ mở đầu: Tung hai lần một đồng xu cân đối và đồng chất.
Không gian mẫu của phép thử là {SS, SN, NS, NN}.
+ Đặt B = “có ít nhất một mặt sấp xuất hiện”

P(B) = ?
+ Nếu đã biết lần một mặt ngửa xuất hiện, tức là A = {NS, NN} đã
xuất hiện, thì xác suất của B là bao nhiêu?
Định nghĩa: Cho A, B là hai biến cố của phép thử và P(A) > 0.
Xác suất của B trong điều kiện A đã xảy ra được ký hiệu bởi P(B/A)
và xác định như sau
P ( AB )
P ( B / A) =
P ( A)
Ta gọi P(B/A) là xác suất của B với điều kiện A đã xảy ra hoặc
xác suất điều kiện của B khi A đã xảy ra.


5. XÁC SUẤT ĐIỀU KIỆN
.

Ví dụ 1.13 Con xúc xắc được chế tạo sao cho khả năng xuất hiện
mặt có số chấm là chẵn gấp hai lần khả năng xuất hiện mặt có số
chấm là số lẻ. Gieo con xúc xắc đó một lần. Đặt B = “nhận được số
chính phương”, A = {4, 5, 6}. Tính P(B/A).
Ví dụ 1.14 Tung một con xúc sắc cân đối và đồng chất, có mặt
chẵn sơn xanh cịn mặt lẻ sơn đỏ.
Tính xác suất của biến cố B = “mặt có số chấm xuất hiện nhỏ hơn
4” khi đã biết A =“mặt có sơn màu xanh” xuất hiện?


5. XÁC SUẤT ĐIỀU KIỆN
.

Ví dụ 1.15 Xác suất để một chuyến bay khởi hành đúng giờ là

P(D) = 0,83, xác suất để một chuyến bay đến đúng giờ là P(A) =
0,82, xác suất để nó khởi hành và đến đều đúng giờ là 0,78.
Tính xác suất để một chiếc máy bay:
(a) đến đúng giờ biết rằng nó đã khởi hành đúng giờ;
(b) khởi hành đúng giờ biết rằng nó đã đến đúng giờ;
(c) đến đúng giờ khi biết rằng nó đã khởi hành khơng đúng gi ờ.
Lưu ý: P(A) = P(AB) + P(AB’) vì AB ⋃ AB’ = A, AB ⋂ AB’ = ∅


XÁC SUẤT ĐIỀU KIỆN
Các biến cố độc lập .
Có những tình huống lại xảy ra P(B/A) = P(B)!
Rút ngẫu nhiên theo phương thức có hồn lại lần lượt hai sản
phẩm từ một lô hàng gồm 4 phế phẩm và 13 chính phẩm.
A = “sản phẩm thứ nhất là phế phẩm”
B =“sản phẩm thứ hai là chính phẩm”.
Định nghĩa: Cho A và B là hai biến cố của một phép thử. Khi
P(A/B) = P(A) hoặc P(B/A) = P(B)
ta nói A và B là hai biến cố độc lập.
Ngược lại thì gọi A và B là hai biến cố phụ thuộc nhau.

Định lý. Hai biến cố A và B là độc lập khi và chỉ khi P(AB) = P(A)P(B).


XÁC SUẤT ĐIỀU KIỆN
.

• Từ định nghĩa, ta dễ dàng chứng minh được các khẳng định sau
đây là tương đương:
+ A, B độc lập; + A, B’ độc lập;

+ A’, B độc lập; + A’, B’ độc lập.
Tổng quát, các biến cố A1, A2,…, An (n > 2) độc lập thì ta có:
P(AiAj…Ak) = P(Ai )P(Aj)…P(Ak),
trong đó {i, j,.., k} là một tập con bất kỳ của {1, 2,…, n}.
Ví dụ 1.16 Có hai túi đựng các quả cầu. Túi thứ nhất đựng 3 quả
trắng, 7 quả xanh. Túi thứ hai đựng 10 quả trắng và 15 quả xanh.
Từ mỗi túi ta chọn ngẫu nhiên một quả cầu. Tính xác suất để hai
quả cầu lấy ra là cùng màu.
Ví dụ 1.17 Một đồng xu được tạo ra sao cho khả năng xuất hiện
mặt ngửa gấp hai lần khả năng xuất hiện mặt sấp. Tung đồng tiền
đó 3 lần. Tính xác suất để nhận được hai lần sấp và một lần ngửa.


6. QUY TẮC NHÂN XÁC SUẤT
.

Quy tắc nhân xác suất: Cho A và B là hai biến cố của một
phép thử với P(A) > 0, ta có
P(AB) = P(A) P(B/A).

Ví dụ 1.18 Một thủ kho có một chùm chìa khố gồm 8 chiếc với bề
ngồi giống hệt nhau trong đó có đúng hai chìa m ở đ ược cửa kho.
Do đãng trí, người này khơng cịn nhớ chìa nào có thể m ở được khố
cửa kho. Ơng ta thử ngẫu nhiên từng chìa, chìa nào khơng m ở đ ược
thì bỏ ra. Tính xác suất để chỉ sau hai lần thử, ông ta mở được cửa
kho?


QUY TẮC NHÂN XÁC SUẤT
Quy tắc nhân tổng quát:

Nếu các biến cố A1, A2,…, Ak (k > 2) thỏa mãn P(A1 A2…Ak-1) > 0
thì
P(A1A2…Ak) = P(A1 )P(A2 / A1)…P(Ak / A1 A2…Ak-1 ).
Đặc biệt: các biến cố A1, A2,…, Ak độc lập, thì
P(A1A2…Ak) = P(A1 )P(A2 )…P(Ak).

Ví dụ 1.19 Lấy liên tiếp 3 con bài từ một bộ bài theo
phương thức khơng hồn lại. Tìm xác suất để biến cố tích
ABC, trong đó A = “con đầu tiên là át đỏ”, B=“con thứ hai là
10 hoặc J’’ và C = “con thứ ba có số bé hơn 7 và lớn hơn 3”.


7. CƠNG THỨC ĐẦY ĐỦ VÀ CƠNG THỨC BAYES
.

Bài tốn: Cho phép thử với không gian mẫu S và các biến cố B1 , B2 ,
…, Bk là một phân hoạch của khơng gian mẫu(hay cịn gọi là hệ đầy
đủ các biến cố). A là một biến cố nào đó của phép thử.
Hãy tìm P(A) theo P(Bi ) và P(A/Bi ) với i = 1, 2, .., k.

Ví dụ 1.20 Trong một dây chuyền sản xuất, ba máy B1, B2, và B3 tạo
ra 30%, 45%, và 25% sản phẩm tương ứng. Biết rằng tỷ lệ phế
phẩm của mỗi máy tương ứng là 2%, 3% và 2%. Chọn ngẫu nhiên 1
sản phẩm. Tính xác suất để nó là phế phẩm.


CƠNG THỨC ĐẦY ĐỦ VÀ CƠNG THỨC BAYES

Cơng thức Bayes
.

Ví dụ 1.21 Quay về Ví dụ 1.20, trong một dây chuyền sản xuất, ba
máy B1, B2, và B3 tạo ra 30%, 45%, và 25% sản phẩm tương ứng.
Biết rằng tỷ lệ phế phẩm của mỗi máy tương ứng là 2%, 3% và 2%.
Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm và thấy nó bị lỗi, thì xác suất để sản
phẩm đó do B3 sản xuất bằng bao nhiêu?


CƠNG THỨC ĐẦY ĐỦ VÀ CƠNG THỨC BAYES

Ví dụ 1.22
6 chính phẩm
4 phế phẩm

10 chính phẩm
5 phế phẩm

HỘP 1

HỘP 2

15 chính phẩm
5 phế phẩm
HỘP 3
Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một
sản phẩm. Tìm xác suất để lấy được chính phẩm.
Giả sử đã lấy được chính phẩm, xác suất để chính
phẩm ấy thuộc hộp 1 là bao nhiêu?

CÁC Ý CHÍNH TRONG BÀI GIẢNG BUỔI 2
1, k
.

• Xác suất điều kiện: P(B/A) = P(AB):P(A), với P(A) > 0.
• Quy tắc nhân xác suất: P(AB) = P(A)P(B/A) với P(A)> 0.
• Cơng thức xác suất đầy đủ:
P(A) = P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2) + …+ P(Bk)P(A/Bk) với
B1, B2,…, Bk là phân hoạch của không gian mẫu và P(Bi) > 0
 Công thức Bayes:
P(Bk/A)
= P(Bk)P(A/Bk): [ P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2) + …+ (Bk)P(A/Bk)]
với P(A) > 0.