BÀI tập CHUYÊN đề học PHẦN TOÁN CAO cấp a3
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (912.12 KB, 39 trang )
TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN
KHOA MÔI TRƯỜNG & KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BÀI TẬP CHUN ĐỀ
HỌC PHẦN TỐN CAO CẤP A3
Nhóm thực hiện : Nhóm 4
Lớp : MTH-204-CIS
Giảng viên giảng dạy : ThS. PHAN QUÝ
Đà Nẵng, 11/2021
STT
Họ và Tên
Mã số sinh viên
Phần thực hiện
1
Nguyễn Duy Nhật Tân (Nhóm
trưởng)
25211114104
A.1 ,B.1, Bài tập 21,
Làm slide
2
Trần Quang Dũng
25211204414
Bài tập 6
3
Phan Trọng Huy
25211216464
4
Nguyễn Lam Trường
25211217426
A.2 B.2, Bài tập 21,
Tổng kết tài liệu
Bài tập 19
5
Huỳnh Tấn Phát
25211415827
Bài tập 7
6
Trần Văn Nhân
25211215742
Bài tập 8
7
Nguyễn Văn Thành Nam
25211217060
Bài tập 25
8
Võ Đại Duy
25211211139
Bài tập 16, Bài tập 17
9
Trần Anh Quân
25211200029
10
Nguyễn Đắc Trung
25212104467
A.1,B.2,Bài tập 3,Bài
tập 4
Bài tập 22, Bài tập 23
11
Nguyễn Văn Tấn
25211200654
Bài tập 24
12
Huỳnh Văn Thuận
25214302052
13
Nguyễn Anh Quốc
25211202854
B.2,Bài tập 1,Bài tập
2
Bài tập 11, Bài tập 12
14
Đỗ Anh Duy
25211202243
15
Nguyễn Vĩnh Long
25211200855
16
Đặng Thị Hồng Nhung
25201204533
17
Trần Thị Thu Hiền
25204311706
18
Lê Gia Bảo
25211208903
A.1,Bài tập 15, Tổng
kết tài liệu
Bài tập 13, Bài tập
14,Làm slide
B.2, Bài tập 20
19
Lê Hoàng Hải
25211209252
Bài tập 9,Bài tập 10
20
Thái Quang Hòa
25211208370
Bài tập 5
21
Trần Đức Duy
25211203378
Bài tập 26, Bài tập 27
Ghi chú: -A,B là các mục lớn trong bài
A.1 ,B.1, Bài tập 21,
Làm slide
A.2,B.2, Bài tập 18
A. XÂY DỰNG BÀI TỐN TỪ THỰC TẾ
Bài tốn 1: Trộn ở trong hai bể
Bể T1 và T2 ban đầu chứa 100 gal nước.Trong T1 hoàn toàn là nước trong khi
trong bể T2 chúng ta thả 150 lb phân bón vào. Tuần hoàn chất lỏng với tốc độ
2gal/phút. Gọi t là thời gian lượng phân bón ở bể T1 và T2 thay đổi. Hỏi bao lâu
thì chúng ta thấy bể T1 có lượng phân bón ít nhất bằng 1 nửa số còn lại ở bên T2?
Bài tốn 2: Mạch điện
Tìm I1 và I2 trong mạch.Giả sử tại thời điểm t=0 thì I1=0 và I2=0
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bài toán 1:
Bể T1 và T2 ban đầu chứa 100 gal nước.Trong T1 hoàn toàn là nước trong khi
trong bể T2 chúng ta thả 150 lb phân bón vào. Tuần hoàn chất lỏng với tốc độ
2gal/phút. Gọi t là thời gian lượng phân bón ở bể T1 và T2 thay đổi. Hỏi bao lâu
thì chúng ta thấy bể T1 có lượng phân bón ít nhất bằng 1 nửa số còn lại ở bên T2?
Bài làm
Với mỗi bể thời gian lượng phân bón thay đổi là lấy lượng vào(inflow) trừ đi cho
lượng ra(outflow).Nên chúng ta có:
2
2
– y1
y1’= Lượng vào/ phút- lượng ra /phút= y1’
100
100
Tương tự với bể 2:
2
2
– y2
y2’= Lượng vào/ phút- lượng ra/phút = y2
100
100
Tương đương với :
y1’=-0.02 y1 +0.02 y2
y2’=0.02 y1 -0.02 y2
Ta có:
+ λ1=0
−1
= -0.04
25
Với λ1=0 chọn nghiệm p1=1 p2=1
+ λ2=
y11=1 . e 0 =1
y21=1 . e 0 =1
−1
= -0.04 chọn nghiệm p1=-1 p2=1
25
y12= -1 . e−0.04 t = - e−0.04 t
y22= 1. e−0.04 t = e−0.04 t
Với λ2=
Từ đó ta có
−0.04 t
y1= C1 - e
.C2
y2=C1+ e−0.04 t C2
Nhìn vào biểu đồ đã cho ta thấy với y1(0)=0 và y2(0)=150
Nên ta lại có:
C1-C2=0
C1+C2=150
=>C1=C2=75
Vậy
y1= 75 - e−0.04 t .75 (bể 1)
y2=75+ e−0.04 t .75 (bể 2)
Nhìn vào giả thiết: Hỏi bao lâu thì chúng ta thấy bể T1 có lượng phân bón ít
nhất bằng 1 nửa số cịn lại ở bên T2. Lượng phân bón ban đầu ở T2 là 150lb để
như giả thiết thì T1 có 50lb và T2 có 100lb
Nên:
75 - e−0.04 t .75 =50
=> t =27,47
Vậy chúng ta cần 27,47 phút để thấy bể T1 có lượng phân bón ít nhất bằng 1 nửa số
cịn lại ở bên T2
Bài tốn 2:
Tìm I1 và I2 trong mạch.Giả sử tại thời điểm t=0 thì I1=0 và I2=0
Bài làm
Với nửa bên trái:
-Điện áp giảm trên cuộn cảm: V=L.
di1
=L. I1’=1. I1’= I1’
dt
-Điện áp qua cuộn cảm: R1 (I1- I2)=4(I1- I2) (I1- I2 là vì I1 và I2 chạy ngược chiều
nhau qua cuộn cảm)
Theo định luật Kirchhoff: Tổng điện áp trên mạch bằng điện áp chung
Nên ta có : I1’+4(I1- I2) =12
=> I1’=12- 4 I1 +4 I2 (1)
Với nửa bên phải:
-Điện áp qua cuộn cảm:
+R2. I2=6. I2
+ R1 (I2- I1)=4(I2- I1)
1
1
. ∫ I 2 dt =
. ∫ I 2 dt=4. ∫ I 2 dt
-Điện áp qua tụ điện:
0.25
C
Theo định luật Kirchhoff: Tổng giá trị điện áp dọc theo một vòng bằng 0
Ta có:
6. I2+4 I2-4 I1+4. ∫ I 2 dt=0
10. I2 - 4 I1 + 4. ∫ I 2 dt=0
Từ (1) ta có
=> I2’ =-1,6. I1 + 1,2. I2 + 4.8
Vậy:
- I1’=- 4 I1 + 4 I2 + 12
- I2’ =-1.6. I1 + 1.2. I2 + 4.8
Ta có:
+ λ1=−2
+ λ2=−4/5=-0.8
Với λ1=−2 chọn p1=2 và p2=1
I11=2 . e−2 t
I21=1 . e−2 t = e−2 t
Với λ2=-0.8 chọn p1=1.25 và p2=1
I12=1.25 . e−0.8 t
I22=1 . e−0.8t = e−0.8t
Vậy
I1=2 . e−2 t .C1 + 1.25 . e−0.8 t .C2
I2= e−2 t C1+ e−0.8t .C2
Lại xét phương trình đặc trưng:
- 4 a1 + 4 a2 + 12=0
-1.6. a1 + 1.2. a2 + 4.8=0
=> a1=3 và a2 =0
Vậy
I1=2 . e−2 t .C1 + 1.25 . e−0.8 t .C2 +3
I2= e−2 t C1+ e−0.8t .C2
Theo giả thiết: Giả sử tại thời điểm t=0 thì I1=0 và I2=0
Ta có:
2C1 + 1.25.C2 + 3 =0
C1 + C2 =0
=>C1=-4 và C2=4
Vậy :
+ 5.
I1=-8 . e−2 t
I2=-4.C1+ 4 .e−0.8t
e−0.8 t
+3
C. ÁP DỤNG
Bài tập 1 : (Huỳnh Văn Thuận)
y1’ = y1 + 2y2
y2’ = 2y1 + y2
Lời giải:
|1−2 λ
|
2
=0
1− λ
λ2−2 λ−3=0
λ 1=−1
λ 2=3
det(A – λ I) = 0
[
Với λ1=−1
-
[
ta có hệ phương trình:
][ ] [ ]
1−(−1)
2
0
p1
=
0
2
1−(−1 ) p 2
2 p 1+ 2 p 2= 0
p1+ p 2 = 0
2 p 1+ 2 p 2= 0
p 1=−1
Ta chọn được nghiệm:
p 2=1
Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với
x =−1 e−1. t=−e−t
y =1 e−1 λ =e−t
- Với λ2=3 ta có hệ phương trình:
{
{
{
[1−3
2
][ ]
2 p1
1 −3 p 2
=
[00 ]
λ=−1 là:
1+2 p 2=0
{−22 p p1−2
p 2=0
p1 − p2 = 0
{
p 1=1
p 2=1
Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với λ=3 là:
x =1e 3.t =e 3 t
y=1 e 3 t=e3 t
Tóm lại nghiệm tổng qt của hệ phường trình vi phân là:
−t
3t
x =−C1 . e +C 2 . e
−t
3t
y=C 1 . e + C2 . e
Ta chọn được nghiệm:
{
{
Bài tập 2 : (Huỳnh Văn Thuận)
y1’ = -y1 + 4y2
y2’ = 3y1 - 2y2
Lời giải:
|−1−3 λ
|
4
=0
−2−λ
λ2 +3 λ−10=0
λ 1=−5
λ2=2
Với λ1=−5 ta có hệ phương trình:
det(A – λ I) = 0
[
-
[
][ ] [ ]
−1−(−5)
4
0
p1
=
0
3
−2−(−5 ) p 2
4 p 1+ 4 p 2= 0
p1 + p2 = 0
3 p 1+3 p 2=0
p 1=−1
Ta chọn được nghiệm:
p 2=1
Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với
x =−1 e−5. t=−e−5t
y =1 e−5 λ =e−5 t
- Với λ2=2 ta có hệ phương trình:
{
{
{
[−13−2
][ ]
4
p1
−2−2 p 2
−3 p 1+4 p 2 =0
3 p 1− 4 p2=0
{
=
[00]
p1 -
4
p =0
3 2
λ=−5 là:
{
4
3
Ta chọn được nghiệm:
p 2=1
Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với λ=2 là:
4 2t
x= e
3
y =e 2 t
Tóm lại nghiệm tổng qt của hệ phường trình vi phân là:
4
2t
x =−C1 . e−5t + C . e
3 2
y=C 1 . e−5 t +C 2 . e 2 t
p 1=
{
{
Bài tập 3 : (Trần Anh Quân)
{
'
y 1 =4 y 1+ y 2
'
y 2=4 y 1 + 4 y 2
Lời giải:
Ta có phương trình đặc trưng:
[4−λ4
]
1
=0
4−λ
λ2−8 λ+12=0
λ=6 (nghiệm đơn )
λ=2(nghiệm đơn )
det ( A – λ . I )=0
[
Với λ=6
[4−6
4
{
ta có hệ phương trình:
][ ] [ ]
1 p1
=0
4 −6 p 2
0
−2 p 1 + p 2=0
4 p1−2 p2=0
−2 p 1+ p2 =0
Ta chọn được nghiệm
p 1=1
p 2=2
Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với
x=1. e 6.t
x =e 6 t
6. t
y=2. e
y=2 e6 t
{
{
{
λ=6
là:
Với λ=2
[4−2
4
ta có hệ phương trình:
][ ] [ ]
1
p1 = 0
4 − 2 p2 0
{
2 p1 + p2=0
4 p1 +2 p 2=0
2 p1 + p2=0
Ta chọn được nghiệm
p 1=1
p 2=−2
Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với
x=1. e 2.t
x=e 2 t
2.t
y=−2. e
y=−2 e 2t
{
{
{
λ=2
là:
Tóm lại nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:
{
6t
2t
x=C 1 . e +C 2 . e
6t
2t
y=2 C1 . e −2 C 1 . e
Bài tập 4 : (Trần Anh Quân)
{
'
y1 = y2
'
y 2=−5 y 1−2 y 2
Lời giải:
Ta có phương trình đặc trưng:
Với λ=−1−2 i
i
[1+2
−5
{
[0−5−λ
]
1
=0
−2−λ
λ2 +2 λ+5=0
λ=−1−2i
λ=−1+ 2i
ta có hệ phương trình:
det ( A – λ . I )=0
[
][ ] [ ]
1
p1 = 0
−1+2 i p 2
0
(1+2 i) p 1+ p2 =0
−5 p1 +(−1+2i) p2 =0
−1+2 i
. p2
5
p 2= p 2
Ta chọn được nghiệm
−1+2 i
p 1=
5
p2=1
Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với λ=−1−2 i là:
(−1−2 i)t
−1+2 i (−1−2 i).t
−1+2 i
x=
.e
x=
.e
5
5
y=1. e (−1−2 i). t
y=e(−1−2i)t
{
{
p 1=
{
{
Với λ=−1+2i
[1−5−2i
ta có hệ phương trình:
][ ] [ ]
p1
1
= 0
−1−2 i p 2
0
{
(1−2 i) p1 + p 2=0
−5 p1 −(1+2 i) p 2=0
{
{
−(1+2 i)
. p2
5
p2= p2
Ta chọn được nghiệm
−( 1+2 i )
p 1=
5
p2 =1
p 1=
Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với λ=−1+2i là:
(−1 + 2 i)t
−1−2i (−1 +2 i).t
−1 −2i
x=
.e
.e
x=
5
5
y =1. e(−1+2 i).t
y=e(−1+2 i)t
Tóm lại nghiệm tổng qt của phương trình vi phân là:
{
{
{
x=
(−1−2i )t
(−1 + 2 i)t
−1+2 i
−1−2 i
. C1 . e
.C 2 . e
+
5
5
(−1 −2 i)t
(−1+2 i)t
y=C 1 .e
+C2 . e
Bài tập 5 : (Thái Quang Hòa)
y’’’ + 2y’’ - y’ - 2y = 0
Lời giải:
Ta có phương trình dạng đặc trưng là:
K= 1 (nghiệm đơn)
K^3 + 2K^2 – K - 2 =0
K= -1 ( nghiệm đơn)
K= -2 ( nghiệm đơn)
Suy ra 2 nghiệm của phương trình thuần nhất là:
y1=e^x;
y2=e^(-x) ;
y3=e^(-2x)
vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:
Y(tq)= C1. e^x + C2. e^(-x) + C3. e^(-2x)
Bài tập 6 : (Trần Quang Dũng)
y’’ + 3y’ + 2y = 0
Lời giải:
y’’ + 3y’ + 2y = 0
=>y’’ = -3y’ -2y
y1’ = y2
y2’ = -2y1 – 3y2
y’ = Ay = 0 1
-2 -3
Det ( A - I ) =
-
1
-2
-3-
= ^2 +3 + 2 =0
1 = -1
2 = -2
A - I = 0
TH1:
-x1 + x2 = 0 => x1= 1, x2 = 1
TH2:
-2x1 + x2 = 0 => x1=1, x2 = 2
x1 =
1
1
x2=
1
2
y = y1 = c1 e^t + c2 e^2t
y2 = y1’ = y’ = c1e^t + 2 c2 e^2t
Bài tập 7 : (Huỳnh Tấn Phát)
y’’ + 2y’ - 24y = 0
y’’ = -2y’ + 24y
Lời giải:
y1’ = y2
y2’ = 24y1 – 2y2
y’ = Ay = 0 1
24 -2
Det ( A - I ) =
-
1
24
-2-
= ^2 +2 - 24 =0
1 = 4
2 = -6
A - I = 0
TH1:
-4x1 + x2 = 0 => x1= 1, x2 = 4
Th2:
6x1 + x2 = 0 => x1=1, x2 = -6
x1 =
1
4
x2=
1
-6
y = y1 = c1 e^4t + c2 e^-6t
y2 = y1’ = y’ = 4 c1e^4t - 6 c2 e^-6t
Bài tập 8 : (Trần Văn Nhân)
4y’’-15y’-4y=0
4y’’-15y’-4y=0
=>y’’ = 15/4 y’+y
Y1’=y2’
Y2’= y1+ 15/4 y2
Lời giải:
Y’ =Ay = 0
1
1
Det(A- lmI)=
15/4
- lm
1
1
15/4-lm
x^2 – 15/4 x -1 =0
Lm= 4
Lm= -1/4
Th1
-4 x1+x2 =0 => x1=1
,x2= 4
TH2
+1/4 x1+ x2 =0 => x1=1
,x2=-1/4
Y=y1= 1 C1 e^4t +C2 e^-1/4t
Y2=4C1 e^4t - 1/4C2 e^-1/4t
Bài tập 9 : (Lê Hoàng Hải)
{
'
y 1=2 y 1 +5 y 2
'
y 2=5 y 1+12.5 y 2
Lời giải:
Ta có phương trình đặc trưng:
[2−λ5
]
5
=0
12.5−λ
λ2−14.5 λ=0
λ=0
λ=14.5
det ( A – λ . I )=0
[
Với λ=0
[2−0
5
ta có hệ phương trình:
][ ] [ ]
5
p1 = 0
12.5−0 p 2
0
2 p1 +5 p 2=0
5 p1 +12.5 p 2=0
p1+ 2.5 p2 =0
Ta chọn được nghiệm
p 1=−2.5
p 2=1
Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với
{
{
λ=0
là:
{
x =−2.5 . e0.t
y=1. e 0.t
Với λ=14.5
{x =−2.5
y=1
ta có hệ phương trình:
[2−14.5
5
][ ] [ ]
p1
5
=0
12.5−14.5 p2
0
−12.5 p1 +5 p2=0
5 p1−2 p2=0
p1−0.4 p2 =0
Ta chọn được nghiệm
p1=1
p 2=−0.4
Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với λ=14.5 là:
x=1. e14.5 t
x=e14.5 t
14.5 t
y=−0.4 e
y=−0.4 e14.5 t
{
{
{
{
Tóm lại nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:
{
14.5t
x =−2.5 C 1 +C 2 . e
14.5t
y=C1 −0.4 C 2 . e
Bài tập 10: (Lê Hoàng Hải)
{
'
y 1=2 y 1 −2 y 2
y'2=2 y 1+2 y 2
Lời giải:
Ta có phương trình đặc trưng:
Với λ=2−2 i
[
[2i2 −22 i ] [ pp ]=[00 ]
1
2
{
2i . p1−2. p2= 0
2 p1 +2 i p2=0
[2−λ2
]
−2
=0
2−λ
λ2−4 λ +8=0
λ= 2 − 2 i
λ=2+ 2i
ta có hệ phương trình:
det ( A – λ . I )=0
{ p1 +i. p2=0
Ta chọn được nghiệm
p 1=−i
p2=1
Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với λ=2−2 i là:
x =−i. e( 2−2 i) .t
x =−i . e( 2−2 i) t
(2−2 i).t
(2−2 i)t
y =1.e
y=e
{
{
{
Với λ=2+2i
ta có hệ phương trình:
−2 p
[−22i −2i
][ p ]=[ 00 ]
1
2
{
−2i . p1 −2 p2=0
2 p1−2 i . p2=0
{ p1−i . p2 =0
Ta chọn được nghiệm
p1=i
p 2=1
Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với λ=2+2i là:
(2 +2i ).t
( 2+2 i) t
x=i. e
x =i. e
( 2+2 i ) .t
(2 + 2 i)t
y=1. e
y=e
Tóm lại nghiệm tổng qt của phương trình vi phân là:
{
{
{
{
x =−i. C1 . e( 2−2i ) t +i . C 2 . e( 2+2 i) t
y=C 1 .e (2−2 i)t +C 2 . e(2 +2 i)t
Bài tập 11: (Nguyễn Anh Quốc)
{
'
y 1= y 1
'
y 2=2 y 2
Lời giải:
Ta có phương trình đặc trưng:
[1−λ0
]
0
=0
2−λ
λ2−3 λ+2=0
λ=1
λ=2
det ( A – λ . I )=0
[
Với λ=1
ta có hệ phương trình:
[00 01 ][ pp ]= [00 ]
1
2
{
0 p1 +0 p2=0
0 p 1+1 p2=0
1 p2 =0
Ta chọn được nghiệm
p 1=1
p =0
2
Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với
.t
x=1. e 1.t
x =e
y=0
y=0. e 1.t
{
{
λ=1
là:
λ=2
là:
{
Với λ=2
ta có hệ phương trình:
[−10 00] [ pp ]=[00 ]
1
2
{
−1 p1=0
0 p1 +0 p2=0
p1=0
Ta chọn được nghiệm
p 1=0
p 2=1
Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với
2t
x =0
x =0. e
2t
2t
y=e
y =1 e
{
{
{
Tóm lại nghiệm tổng qt của phương trình vi phân là:
{
x=C 1 . e t
y=C 2 . e 2t
Bài tập 12: (Nguyễn Anh Quốc)
{
'
y 1=−4 y 1
'
y 2=−3 y 2
Lời giải:
Ta có phương trình đặc trưng:
[−4−λ
0
]
0
=0
−3−λ
λ2 +7 λ+ 12=0
λ=−4
λ=−3
det ( A – λ . I )=0
[
Với λ=−4
ta có hệ phương trình:
[00 01 ][ pp ]= [00 ]
1
2
{
0 p1 +0 p2=0
0 p 1+1 p2=0
1 p2 =0
Ta chọn được nghiệm
p 1=1
p 2=0
Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với
x=1. e−4.t
x =e−4 t
−4.t
y=0
y=0. e
{
{
Với λ=−3
λ=−4
là:
λ=−3
là:
{
ta có hệ phương trình:
[−10 00] [ pp ]=[00 ]
1
2
{
−1 p1=0
0 p1 +0 p2=0
p1=0
Ta chọn được nghiệm
p 1=0
p 2=1
Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với
x=0
x =0. e−3 t
−3 t
y=e−3 t
y=1 e
{
{
{
Tóm lại nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:
{
−4 t
x=C 1 . e
−3 t
y=C 2 . e
Bài tập 13: (Trần Thị Thu Hiền)
{
y'1= y 1 +2 y 2
1
'
y 2= y 1+ y 2
2
Lời giải:
Ta có phương trình đặc trưng:
det ( A – λ . I )=0
Với λ=0
[
[
]
1−λ
2
=0
1
1−λ
2
2
λ −2 λ=0
λ=0(nghiệm đ ơn )
λ=2(nghiệm đ ơn )
[
ta có hệ phương trình:
][ ] [ ]
1−0
2
p1 = 0
1
1−0 p2
0
2
1 p 1+2 p2=0
1
p +1 p 2=0
2 1
p1+ 2 p2=0
Ta chọn được nghiệm
p 1=−2
p 2=1
Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với
x =−2
x =−2. e0. t
0.t
y=1
y=1. e
{
{
{
Với λ=2
[
{
ta có hệ phương trình:
][ ] [ ]
1−2
2
p1 = 0
1
1−2 p 2
0
2
−1 p1 +2 p 2=0
1
p −1 p2 =0
2 1
p1−2 p 2=0
{
λ=0
là:
Ta chọn được nghiệm
p 1=2
p 2=1
Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với
2t
x =2. e 2.t
x =2. e
2. t
2t
y =e
y=1. e
{
{
{
λ=2
là:
Tóm lại nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:
{
x =−2C 1 +2.C 2 .e 2 t
y=C 1+C 2 .e 2 t
Bài tập 14: (Trần Thị Thu Hiền)
{
'
y 1=−8 y 1−2 y 2
y 2' = 2 y 1− 4 y 2
Lời giải:
Ta có phương trình đặc trưng:
det ( A – λ . I )=0
Với λ=−6
{
[
−2
[−8−2 λ −4−λ
] =0
λ2 +12 λ+36=0
λ=−¿ 6
ta có hệ phương trình:
][ ] [ ]
−8−(−6)
−2
p1 = 0
2
−4−(−6 ) p 2
0
−2 p1 +−2 p2=0
2 p 1+2=0
p1+ p 2=0
Ta chọn được nghiệm
p 1=−1
p 2=1
Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với
x =−1. e−6. t
x =−e−6.t
y=1. e−6.t
y=e−6. t
{
{
{
λ=−6
là:
Tóm lại nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:
{
−6.t
x =−C 1 . e
−6.t
y=C 1 . e
Bài tập 15: (Đặng Thị Hồng Nhung)
{
y 1' =10 y 1−10 y 2−4 y 3
'
y 2 =−10 y 1 + y 2−14 y 3
'
y 3=−4 y 1−14 y 2−2 y 3
Lời giải:
Ta có phương trình đặc trưng:
[
]
10−λ −10
−4
−10 1−λ −14 =0
−4 −14 −2−λ
− λ3 +9 λ 2+324 λ−2916= 0
λ1=−18 (nghiệm đơn )
λ2=9 (nghiệm đơn )
λ3=18( nghi ệm đơn )
det ( A – λ . I )=0
[
Với λ=¿ -18 ta có hệ phương trình:
{
[
][ ] [ ]
10−(−18)
−10
−4
p1
0
−10
1−(−18)
−14
p2 = 0
0
−4
−14
−2−(−18 ) p3
28 p1−10 p2−4 p 3=0
−10 p1 +19 p2−14 p3 =0
−4 p 1−14 p2 +16 p3=0
{
1
p 1− p 3=0
2
p2− p3=0
Ta chọn được nghiệm
1
p 1=
2
p =1
2
p3=1
{
Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với
1
1
x = .e−18. t
x = .e−18. t
2
2
−18. t
−18. t
y =1. e
y=e
−18.t
−18.t
z =1. e
z=e
{
{
λ=−18 là:
Với λ=¿ 9 ta có hệ phương trình:
[
10−9 −10
−4
−10 1−9 −14
−4 −14 −2−9
{
{
][ ] [ ]
p1 0
p2 = 0
p3 0
1 p1−10 p2− 4 p3=0
− 10 p1 − 8 p 2− 14 p3=0
−4 p1 −14 p 2−11 p3= 0
p1 +p 3=0
1
p 2+ p3=0
2
Ta chọn được nghiệm
p1=−1
−1
p 2=
2
p3=1
{
Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với
{
9. t
{
λ=¿ 9 là:
9.t
x=−1. e
x =−e
−1 9.t
−1 9.t
y= . e
y= . e
2
2
9.t
z=1. e
z=e 9.t
Với λ=¿ 18 ta có hệ phương trình:
[
{
][ ] [ ]
p1
10−18 −10
−4
0
−10 1−18
−14
p2 = 0
−4
−14 −2−18 p3
0
−8 p1− 10 p2− 4 p3 =0
−10 p1 −17 p 2−14 p3=0
− 4 p1−14 p2− 20 p3 =0
{
p 1−2 p3 =0
p 2+2 p3=0
Ta chọn được nghiệm
p 1=2
p
2 =−2
p 3=1
Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với
{
λ=¿ 18 là:
x=2. e 18.t
x =2. e 18.t
18.t
y=−2. e 18.t
y=−2. e
z=1. e18. t
z =e18. t
Tóm lại nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:
{
{
{
1
−18.t
−C2 . e9 t +2.C 3 .e 18.t
x= C . e
2 1
1
9t
18. t
y=C1 . e−18.t− . C . e −2. C 3 . e
2 2
−18.t
z=C 1 . e
+ C 2 .e 9 t + C 3 . e18. t
Bài tập 16: (Võ Đại Duy)
{
'
y 1 = y 1+ y 2
y'2=3 y 1− y 2
Ta có phương trình đặc trưng:
det ( A – λ . I )=0
Lời giải:
[−λ+1
3
]
1
=0
− λ−1
2
λ −4=0
λ=2 (nghiệm đơn )
λ=− 2(nghiệm đơn )
ta có hệ phương trình:
[
Với λ=2
[−2+3 1
][ ] [ ]
p1 0
1
=
−2−1 p 2 0
{
−2 p1 + p2=0
3 p1−3 p2 =0
p1−2 p 2=0
Ta chọn được nghiệm
p 1=2
p 2=1
Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với
x =2. e 2.t
x =2. e6 t
y=1. e2. t
y =e 2 t
Với λ=−2 ta có hệ phương trình:
{
{
[2+13
{
1
2− 1
] [ pp ]=[00 ]
1
2
λ=2
là:
{
3 p1 + p2=0
3 p1 + p2=0
3 p 1+ p 2=0
Ta chọn được nghiệm
p 1=1
p 2=−3
Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với λ=2 là:
x=1. e−2.t
x=e−2 t
y=−3. e−2.t
y=−3 e−2 t
Tóm lại nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:
{
{
{
{
−2 t
2t
x =2.C 1 . e +C 2 . e
−2 t
2t
y=C 1 . e −3 C 1 . e
Bài tập 17: (Võ Đại Duy)
{
y'1=6 y 1+ 9 y 2
'
y 2= y 1+6 y 2
Lời giải:
Ta có phương trình đặc trưng:
[−λ+6
1
]
9
=0
−λ+ 6
λ2−12 λ+ 27=0
λ=3 (nghiệm đ ơn )
λ=9(nghiệm đ ơn )
det ( A – λ . I )=0
[
Với λ=3 ta có hệ phương trình:
[−3+6
1
{
][ ] [ ]
p1
9
=0
−3+6 p2
0
3 p1 +9 p2=0
p1 +3 p2=0
3 p 1+ p 2=0
Ta chọn được nghi ệm
{
p 1=1
p 2=−3
Vậ y nghiệ m củ a hệ phươ ng trình vi phân ứng với λ=3 là:
