BÀI tập CHUYÊN đề học PHẦN TOÁN CAO cấp a3

TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN
KHOA MÔI TRƯỜNG & KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÀI TẬP CHUN ĐỀ

HỌC PHẦN TỐN CAO CẤP A3

Nhóm thực hiện : Nhóm 4
Lớp : MTH-204-CIS
Giảng viên giảng dạy : ThS. PHAN QUÝ

Đà Nẵng, 11/2021

download by :


STT

Họ và Tên

1

Nguyễn Duy Nhật Tân (Nhóm
trưởng)

2

Trần Quang Dũng

3

Phan Trọng Huy

4

Nguyễn Lam Trường

5

Huỳnh Tấn Phát

6

Trần Văn Nhân

7

Nguyễn Văn Thành Nam

8

Võ Đại Duy

9

Trần Anh Quân

10

Nguyễn Đắc Trung

11

Nguyễn Văn Tấn

12

Huỳnh Văn Thuận

13

Nguyễn Anh Quốc

14

Đỗ Anh Duy

15

Nguyễn Vĩnh Long

16

Đặng Thị Hồng Nhung

17

Trần Thị Thu Hiền

18

Lê Gia Bảo

19

Lê Hồng Hải

20

Thái Quang Hịa

21

Trần Đức Duy

Ghi chú: -A,B là các mục lớn trong bài

download by :


A. XÂY DỰNG BÀI TỐN TỪ THỰC TẾ
Bài tốn 1: Trộn ở trong hai bể
Bể T1 và T2 ban đầu chứa 100 gal nước.Trong T1 hoàn toàn là nước trong khi trong bể
T2 chúng ta thả 150 lb phân bón vào. Tuần hoàn chất lỏng với tốc độ 2gal/phút. Gọi t
là thời gian lượng phân bón ở bể T1 và T2 thay đổi. Hỏi bao lâu thì chúng ta thấy bể T1
có lượng phân bón ít nhất bằng 1 nửa số còn lại ở bên T2?

download by :


Bài tốn 2: Mạch điện

Tìm I1 và I2 trong mạch.Giả sử tại thời điểm t=0 thì I1=0 và I2=0

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bài toán 1:
Bể T1 và T2 ban đầu chứa 100 gal nước.Trong T1 hoàn toàn là nước trong khi trong bể
T2 chúng ta thả 150 lb phân bón vào. Tuần hoàn chất lỏng với tốc độ 2gal/phút. Gọi t
là thời gian lượng phân bón ở bể T1 và T2 thay đổi. Hỏi bao lâu thì chúng ta thấy bể T1
có lượng phân bón ít nhất bằng 1 nửa số còn lại ở bên T2?

download by :


Bài làm
Với mỗi bể thời gian lượng phân bón thay đổi là lấy lượng vào(inflow) trừ đi
cho lượng ra(outflow).Nên chúng ta có:
y1’= Lượng vào/ phút- lượng ra /phút= y 1’
Tương tự với bể 2:
2
y2’= Lượng vào/ phút- lượng ra/phút = y2

Tương đương với :
y1’=-0.02 y1 +0.02 y2
y2’=0.02 y1 -0.02 y2
Ta có:
+
+

λ1=0
λ2=

25

−1

100

= -0.04

Với λ1=0 chọn nghiệm p1=1 p2=1
y11=1 . e0 =1
y21=1 . e0 =1
Với λ2=
y12= -1 .
y22= 1.
Từ đó ta có
y1= C1 -

download by :


y2=C1+ e−0.04 t C2
Nhìn vào biểu đồ đã cho ta thấy với y1(0)=0 và y2(0)=150
Nên ta lại có:
C1-C2=0
C1+C2=150
=>C1=C2=75
Vậy
y1= 75 y2=75+
Nhìn vào giả thiết: Hỏi bao lâu thì chúng ta thấy bể T1 có lượng phân bón ít
nhất bằng 1 nửa số cịn lại ở bên T2. Lượng phân bón ban đầu ở T2 là 150lb

để như giả thiết thì T1 có 50lb và T2 có 100lb
Nên:
75 - e−0.04 t .75 =50
=> t =27,47
Vậy chúng ta cần 27,47 phút để thấy bể T1 có lượng phân bón ít nhất bằng 1 nửa
số cịn lại ở bên T2

Bài tốn 2:
Tìm I1 và I2 trong mạch.Giả sử tại thời điểm t=0 thì I 1=0 và I2=0

Với nửa bên trái:
-Điện áp giảm trên cuộn cảm: V=L.

download by :


-Điện áp qua cuộn cảm: R1 (I1- I2)=4(I1- I2) (I1- I2 là vì I1 và I2 chạy ngược chiều
nhau qua cuộn cảm)
Theo định luật Kirchhoff: Tổng điện áp trên mạch bằng điện áp chung
Nên ta có : I1’+4(I1- I2) =12

=> I1’=12- 4 I1 +4 I2 (1)
Với nửa bên phải:
-Điện áp qua cuộn cảm:
+R2. I2=6. I2
+ R1 (I2- I1)=4(I2- I1)
-Điện áp qua tụ điện:
Theo định luật Kirchhoff: Tổng giá trị điện áp dọc theo một vịng bằng 0
Ta có:
6. I2+4 I2-4 I1+4.

10.I2-4I1 + 4.
Từ (1) ta có
=> I2’ =-1,6. I1 + 1,2. I2 + 4.8
Vậy:
- I1’=-4I1 + 4I2 + 12
- I2’ =-1.6. I1 + 1.2. I2 + 4.8
Ta có:
+
λ1=−2
+
λ2=−4/5=-0.8
Với λ1=−2 chọn p1=2 và p2=1
I11=2 . e−2 t
I21=1 . e−2 t = e−2 t
Với λ2=-0.8 chọn p1=1.25 và p2=1
I12=1.25 . e−0.8 t
I22=1 . e−0.8t = e−0.8t
Vậy
I1=2 . e−2 t .C1 + 1.25 . e−0.8 t .C2
I2= e−2 t C1+ e−0.8t .C2
Lại xét phương trình đặc trưng:
- 4 a1 + 4 a2 + 12=0
-1.6. a1 + 1.2. a2 + 4.8=0
=> a1=3 và a2 =0
Vậy
I1=2 . e−2 t .C1 + 1.25 . e−0.8 t .C2 +3
I2= e−2 t C1+ e−0.8t .C2
Theo giả thiết: Giả sử tại thời điểm t=0 thì I1=0 và I2=0

download by :

Ta có:
2C1 + 1.25.C2 + 3 =0
C1 + C2 =0
=>C1=-4 và C2=4
Vậy :
I1=-8 . e−2 t + 5 . e−0.8
I2=-4.C1+ 4 .e−0.8t

t

+3

C. ÁP DỤNG
Bài tập 1 : (Huỳnh Văn Thuận)
y1’ = y1 + 2y2
y2’ = 2y1 + y2

det(A – λ I) = 0

|1−2

λ2−2 λ−3=0

[λ =−1
1

λ

-

Với λ1=−1

2=3

ta có hệ phương trình:

[

Ta chọn được nghiệm:
Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với λ=−1

1

là:

download by :


−2 p 1+2 p 2=0

{2 p 1−2 p 2=0

Ta chọn được nghiệm:
Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với λ=3

{x =1e

t

3.

t

là:

=e3

Tóm lại nghiệm tổng quát của hệ phường trình vi phân là:

Bài tập 2 : (Huỳnh Văn Thuận)
y1’ = -y1 + 4y2
y2’ = 3y1 - 2y2

λ

det(A –

-

Với
−1−(−5)

[

3

4 p 1+4 p 2=0

{3 p 1+3 p 2=0
Ta chọn được nghiệm:
Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với λ=−5 là:

-

Với

[

−13−2

{3 p 1−4 p2=0

download by :

− 3 p 1+4 p 2 =0


p1 =
Ta c họn được nghiệ m:

4

{

p2 =1

3

Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với
4
x = e2 t

{

3
y = e2 t

Tóm lại nghiệm tổng quát của hệ phường trình vi phân là:
−5t
x =−C1 . e

{

y=C1 . e−5 t +C2 . e2 t

Bài tập 3 : (Trần Anh Quân)

{y

1

'

=4 y + y
1

2

y'2=4 y1 + 4 y2

Lời giải:
Ta có phương trình đặc trưng:
det ( A – λ . I )=0

[4−4 λ

1
4− λ

]=0

λ2−8 λ+12=0
[

λ=6 (nghi ệm đ ơn)

λ=2(nghi ệm đ ơn)
ta có hệ phương trình:

Với λ=6

[4−46

4

−16

{− 2 p + p =0

1

][pp ]=[00]
1
2

2

4 p1−2 p2=0

−2 p1+ p2 =0
Ta chọn được nghiệm

{pp ==12
1
2

Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với λ=6
6.t

{xy==1.2.ee

6. t

là:


download by :

Với λ=2

{

[

4−42

2 p + p =0
1

2

4 p1 +2 p2=0

2 p1 + p2=0
Ta chọn được nghiệm

{pp = =−12
2

1

Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với λ=2

là:

{yx=−=1.2.e
Tóm lại nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:

{ x=C

. e6 t +C2 . e2t
y=2 C1 . e6 t −2 C1 . e2 t
1

Bài tập 4 : (Trần Anh Quân)

{

y1' = y2

y'2=−5 y1−2 y2

Lời giải:
Ta có phương trình đặc trưng:
det ( A – λ . I )=0

[0−−5λ

1
−2 −λ

]=0

λ2+2 λ+5=0
[λ=−1−2i

λ=−1+2i
Với

λ=−1−2 i

[1 +52 i
−

{ (1+2 i) p + p
1

2

ta có hệ phương trình:

1

][pp ]=[00]

−1 +2 i

1

2

=0

− 5 p1 +(−1+2i) p2 =0

download by :

Ta chọn được nghiệm
{ −1+2 i
p 1=

p2=1
Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với

{

Với λ=−1+2i ta có hệ phương trình:

{

[1−−52i
(1−2 i) p +p =0
1

2

−5 p1 −(1+2 i) p2=0

{

−(1+2 i)

p=
1

Ta chọn được nghiệm
−( 1 +2 i)

{

p1=
p2 =51

Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với

−

x = 1−2i . e(−1 +2 i).t

{

Tóm lại nghiệm tổng qt của phương trình vi phân là:

Bài tập 5 : (Thái Quang Hòa)
y’’’ + 2y’’ - y’ - 2y = 0
Lời giải:

{

y=C1 .e(− 1 −2 i)t +C2 .


download by :


Ta có phương trình dạng đặc trưng là:
K= 1 (nghiệm đơn)

K^3 + 2K^2 – K - 2 =0

K= -1 ( nghiệm đơn)

K= -2 ( nghiệm đơn)

Suy ra 2 nghiệm của phương trình thuần nhất là:
y1=e^x;
y2=e^(-x) ;
y3=e^(-2x)
vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:
Y(tq)= C1. e^x + C2. e^(-x) + C3. e^(-2x)

Bài tập 6 : (Trần Quang Dũng)
y’’ + 3y’ + 2y = 0
Lời giải:
y’’ + 3y’ + 2y = 0
=>y’’ = -3y’ -2y
y1’ = y2
y2’ = -2y1 – 3y2
y’ = Ay = 0
-2

Det ( A - I ) = -2
=
^2
+3 +2=0
1=-1 2=-2
A- I=0
TH1:

-x1 + x2 = 0
TH2:
-2x1
x1 =

=> x1= 1, x2 = 1


download by :


x2=

1
2
y = y1 = c1 e^t + c2 e^2t
y2 = y1’ = y’ = c1e^t + 2 c2 e^2t

Bài tập 7 : (Huỳnh Tấn Phát)
y’’ + 2y’ - 24y = 0
y’’ = -2y’ + 24y

Lời giải:

y1’ = y2
y2’ = 24y1 – 2y2
y’ = Ay =
0
1

24 -2
Det ( A - I ) =

-

1
24
= ^2+2 -24=0
1=4
2=-6

-2-

A- I=0
TH1:
-4x1 + x2 = 0 => x1= 1, x2 = 4
Th2:
6x1 + x2 = 0 => x1=1, x2 = -6
x1 =

x2=

-6
y = y1 = c1 e^4t + c2 e^-6t
y2 = y1’ = y’ = 4 c1e^4t - 6 c2 e^-6t

Bài tập 8 : (Trần Văn Nhân)
4y’’-15y’-4y=0
4y’’-15y’-4y=0
=>y’’ = 15/4 y’+y

Y1’=y2’
Y2’= y1+ 15/4 y2

Lời giải:


download by :


Y’ =Ay = 0
Det(A- lmI)=
x^2 – 15/4 x -1 =0
Lm= 4
Lm= -1/4
Th1
-4 x1+x2 =0 => x1=1
TH2
+1/4 x1+ x2 =0 => x1=1
Y=y1= 1 C1 e^4t +C2 e^-1/4t
Y2=4C1 e^4t - 1/4C2 e^-1/4t

Bài tập 9 : (Lê Hoàng Hải)

{

y1'=2 y1 +5 y2
y 2=5 y1+12.5 y2
'

Lời giải:

Ta có phương trình đặc trưng:
det ( A – λ . I )=0

[2−5 λ

]

5
12.5 −λ =0

λ2−14.5 λ=0
[ λ=0
λ=14.5

[2−5

{2p

1

+5 p =0
2

5 p1 +12.5 p2=0

p1 +2.5 p2 =0
Ta chọn được nghiệm
{p =−2.5
1
p2=1

Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với λ=0

là:

download by :


x=

{y

Với λ=14.5

−12.5 p1 +5 p2=0

{

p1 −0.4 p2 =0
Ta chọn được nghiệm

{p p= −=01.4
1

2

Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với λ=14.5

là:

Tóm lại nghiệm tổng qt của phương trình vi phân là:

{

x =−2.5 C1 +C

y=C1 −0.4 C

2

2

. e14.5t

. e14.5t

Bài tập 10: (Lê Hoàng Hải)

{

y'1=2 y1 −2 y2
y'2=2 y1+2 y2

Lời giải:
Ta có phương trình đặc trưng:
det ( A – λ . I )=0

[2−2 λ

]

− 2
2 − λ =0

λ2−4 λ +8=0
= 2 −2i

[λ

λ=2+2i
λ=2−2 i

Với

[
{

ta có hệ phương trình:

][p ]=[0 ]

2i −2

2

1

2i

2i . p −2. p =0
1

2

p2

0

2

p1 +2 i p2=0

download by :


{p1 +i . p2=0
Ta chọn được nghiệm
{p 1=−i
p2=1

Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với λ= 2−2 i là:
x =−i . e( 2−2 i ) .t

{y =1.e

( − )

2 2 i .t

Với λ=2+2i ta có hệ phương trình:

[2

− 2i

{−2i . p

1

−2 p =0
2

2

p1−2 i . p2=0

{p1−i . p2 =0
Ta chọn được nghiệm

{pp =1=i
1

2

Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với λ=2+2i

là:

x=i . e(2 +2i ).t

{y=1. e

( +

2 2i

)

.t

Tóm lại nghiệm tổng qt của phương trình vi phân là:

{

x =−i . C1 . e(

2 −2i )t

+i . C

2

. e(

2+2 i ) t

y=C1 .e(2−2 i)t +C 2 . e(2 +2 i)t

Bài tập 11: (Nguyễn Anh Quốc)

{

y' = y
1

1

y'2=2 y2

Lời giải:
Ta có phương trình đặc trưng:
det ( A – λ . I )=0

[1−0 λ

]

0
2− λ =0

λ2−3 λ+2=0

[λ=1

λ=2

Với

λ=1

ta có hệ phương trình:

download by :


{0 p

1

+0 p =0
2

0 p1+1 p2=0

1 p2 =0
Ta chọn được nghiệm

{pp ==10
1
2

Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với λ=1

{xy==1.0.ee

là:

1.t

Với λ=2

[ − 01

{p −1+0 pp =0=0 0
1

1

2

p1=0
Ta chọn được nghiệm

{pp ==01
1
2

Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với λ=2
x =0. e2 t

{y =1 e

2

là:

t

Tóm lại nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:
{xy==CC

1.

e

2

t
2

t

.
e

Bài tập 12: (Nguyễn Anh Quốc)

{y =−4
'

1

y

1

'

y 2=−3 y2

Lời giải:

Ta có phương trình đặc trưng:

download by :


[−40−λ

det ( A – λ . I )=0

0
−3 −λ

]=0

λ2 +7 λ+12=0
λ=−4

[
λ=−3
Với

λ=−4

ta có hệ phương trình:

[00

{0 p

1

0
1

][pp ]= [00 ]
12

+0 p =0
2

0 p1+1 p2=0

1 p2 =0
Ta chọn được nghiệm

{pp ==10
1
2

Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với λ=−4

là:

−4.t

{xy==1.0.ee

−4.t

Với λ=−3

{0 p

1

1

+0 p2=0

p1=0
Ta chọn được nghiệm

{pp ==01
1
2

Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với λ=−3

là:

Tóm lại nghiệm tổng qt của phương trình vi phân là:

{

x=C

y=C

1

. e−4

t

−3 t

2

.e

download by :


Bài tập 13: (Trần Thị Thu Hiền)

{

y' = y
1

+2 y

1

2

1
y 2=2 y1+ y2
'

Lời giải:
Ta có phương trình đặc trưng:

det ( A – λ . I )=0[

λ2−2 λ=0

[λ=2(nghi
λ=0(nghi ệm đ ơn)
ệm đ ơn)

Với λ=0

1

{1 p +2 p =0
1

2

2

p +1 p =0
1

2

p1 +2 p2=0
Ta chọn được nghiệm

{pp =−2=1
1

2

Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với λ=0

{y=1. e

0.

là:

t

Với λ=2

{

[

− 1 p1 +2 p2=0
1

p −1 p
1

2
p1−2 p2=0

2

=0

download by :


Ta chọn được nghiệm

{pp ==21
1
2

Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với λ=2

là:

Tóm lại nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:

{

x =−2C1 +2.C2 .e2

y=C1+C2 .e2

t

t

Bài tập 14: (Trần Thị Thu Hiền)

{

y'1=−8 y1−2 y2
y2' = 2 y1−4 y2

Lời giải:
Ta có phương trình đặc trưng:
det ( A – λ . I )=0

[− 82− λ

− 2
−4 − λ

]=0

Với

{

p1+ p2=0
Ta chọn được nghiệm

{p =−1
1

p2=1

Vậy nghiệm của hệ phương trình vi phân ứng với λ=−6

x =−1. e−6. t

{y=1. e
{

−

là:

6.t

Tóm lại nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:
x =−C1 . e−6.t
−6.t

y=C1 . e

download by :