Tóm tắt lý thuyết và bài tập về mặt nón – khối nón

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ MẶT NÓN – KHỐI NÓN
1. Định nghĩa mặt nón

Δ

Cho đường thẳng  . Xét 1 đường thẳng l
cắt  tại O và khơng vng góc với  .
Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l như
thế khi quay quanh  gọi là mặt nón trịn xoay

O

hay đơn giản là mặt nón
-  gọi là trục của mặt nón

M

- l gọi là đường sinh của mặt nón
- O gọi là đỉnh mặt nón
- Nếu gọi  là góc giữa l và  thì 2 gọi là góc ở đỉnh của mặt nón  00  2  1800 
2. Hình nón và khối nón

Cho mặt nón N với trục  , đỉnh O và góc ở đỉnh 2 . Gọi  P  là mặt phẳng vng góc với  tại I
khác O.
Mặt phẳng  P  cắt mặt nón theo đường trịn  C  có tâm I. Gọi  P ' là mặt phẳng vng góc với  tại
O. Khi đó:
- Phần của mặt nón N giới hạn bởi 2 mặt phẳng

 P

và  P ' cùng với hình trịn xác định bởi  C  gọi

là hình nón.
- Hình nón cùng với phần bên trong của nó gọi là khối nón.
3. Diện tích hình nón và thể tích khối nón
- Diện tích xung quanh của hình nón: S xq   Rl với R là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh.
1
- Thể tích khối nón: V   R 2 .h với R là bán kính đáy, h là chiều cao.
3

Ví dụ: Hình nón trịn xoay có trục SO  R 3 với R là bán kính đáy, thiết diện qua trục của hình nón tạo
EI
FI 1
thành tam giác SAB là tam giác đều. Gọi I là trung điểm của SO và E, F  SO sao cho

 .
EO FO 2
Khi đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón là điểm:
A. I

B. E

D. O

C. F

Lời giải

S

Gọi O ' là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón thì:

r  O'S  O' A  O'B

r
A

R

I
O'
O

B
Trang | 1


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Ta có: OO '  OS  r  R 3 
OO '  R 3 

R
cos300

2R 3 R 3

3
3

R 3
OO '
2
OO ' 2

 3  

OI
OI
3
R 3 3
2

Vậy O '  E.
Chọn B.
4. Bài tập
Bài 1: Một hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB  1, đáy lớn CD  3, cạnh bên
Cho hình thang đó quay quanh AB thì được vật trịn xoay có thể tích bằng:
7
A.V  
3

4
B. V  
3

2, BC  DA  2.

5

C. V  
3

D. V  3

Lời giải
D

H

K

C

M

A

B

N

Kẻ AH , BK cùng vng góc với CD.
Gọi M , N lần lượt là điểm đối xứng của H qua AD và của K qua BC thì tam giác MAD và tam giác
NBC là 2 tam giác vng cân bằng nhau có MA  AB  BN  AH  1.
1
MA NB 
7
1



2 7
V   . AH 2 .MN    . AH 2 .MA   . AH 2 .NB    AH 2  MN 

   . AH . . AB  
3
3
3 
3
3
3



Chọn A.
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có BAD    00    900  , AD  a và ADB  900. Quay ABCD
quanh AB, ta được vật trịn xoay có thể tích là:
A . V   a3 sin 2 

B. V   a3 sin 2  .cos

sin 2 
C. V   a
cos

cos 2
D. V   a
sin 

3

3

Lời giải
D

Kẻ DH  AB, CN  AB.

C

a
α
A

H

B

N

Trang | 2


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Các tam giác vuông HAD và NBC
bằng nhau.

DH  CN  a.sin 
AH  BN  a.cos 

 HN  AB 

a
cos 

Khi quay quanh AB, các tam giác vuông
AHD và NBC tạo thành hai hình nón trịn xoay bằng nhau nên:

1
1
a
sin 2 


V   .DH 2 . AH    .DH 2 .HN   .CN 2 .BN    .DH 2 . AB   .a 2 .sin 2  .
  a3
3
3
sin 
cos


Chọn C.
Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D '. Gọi O’, O là tâm của hai hình vng ABCD và
A ' B ' C ' D ' và O ' O  a. Gọi V1 là thể tích của hình trụ trịn xoay đáy là hai đường trịn ngoại tiếp các
hình vng ABCD, A ' B ' C ' D ' và V2 là thể tích hình nón trịn xoay đỉnh O’ và đáy là đường trịn nội tiếp
hình vng ABCD. Tỉ số thể tích
A. 2

B. 3

V1
là:
V2

C. 4

D.6

Lời giải
Gọi M trung điểm của AB thì tam
giác OAM vng cân tại M.
R1  OA 

2
1
; R2  OM 
2
2

 2
V1
 R .h

 3 

V2 1  R 2 .h
2 

2

3
2
1

2

1
:   6
4

B

C

O

R2

M

R1
D

B

Chọn D.
Bài 4: Cho ABC vuông cân tại C, nội tiếp trong đường trịn tâm O, đường kính AB.Xét điểm S nằm
ngoài mặt phẳng  ABC  sao cho SA, SB, SC tạo với  ABC  góc 450. Hãy chọn phát biểu đúng:
A. Hình nón đỉnh S, đáy là đường trịn ngoại tiếp ABC là hình nón trịn xoay.
B. Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân

C. Khoảng cách từ O đến 2 thiết diện qua đỉnh  SAC  và  SBC  bằng nhau
D. Cả 3 bài trên đều đúng
Lời giải
Kẻ SO '   ABC  . Ta có : SO ' A  SO ' B  SO ' C  SA  SB  SC; O ' A  O ' B  O ' C

Trang | 3


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vậy, O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC nên O '  O : A đúng.

SAB có SAB  SBA  450 nên là tam giác vng cân tại S:B đúng.
1
1
Vì ABC vuông cân tại C nên kẻ OM  CA và ON  CB thì: OM  CB  CA  ON .
2
2

Chọn D.

a
và OC   OAB  .
2
Xét hình nón trịn xoay đỉnh C, đáy là đường trịn tâm O, bán kính A. Hãy chọn phát biểu sai:
Bài 5: Cho tứ diện OABC có OAB là tam giác vng cân . OA  OB  a, OC 

a 6
2

A. Đường kính hình nón bằng

B. Khoảng cách từ O đến thiết diện  ABC  bằng

a
2

C. Thiết diện  ABC  là tam giác đều
D. Thiết diện (ABC) hợp với đáy góc 450
Lời giải
Tam giác OAB vng cân tại O nên AB  a 2
OAC : AC 2  OA2  OC 2  a 2 

a 2 3a 2
a 6

; AC 
2
2
2

Vì AB  AC : sai
Chọn C.
Bài 6: Hình nón trịn xoay nội tiếp trong tứ diện đều cạnh bằng a có diện tích xung quanh bằng:
A . S xq 


4

a2

B. S xq 


6

a2 2

C. S xq 


6

D. S xq 

a2 3

2 2
a
3

Lời giải
Gọi S. ABC là tứ diện đều cạnh A.
S

Gọi H là trung điểm cạnh BC.
Kẻ SO   ABC  thì SH 

a 3
2

là đường sinh của hình nón.
Ba điểm A, O, H thẳng hàng.

1
1 a 3 a 3
AH  .

3
3 2
6
a 3 a 3  a2
S xq   .OH .SH   .
.

.
6
2
4

C
A

H

O

HO 

B

Chọn A.

Trang | 4


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bài 7: Hình nón trịn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh bằng a có diện tích xung quanh bằng:
A . S xq 

 a2
3

B. S xq 

 a2 2

C. S xq 

3

 a2 3

D. S xq 

3

 a2 3
6

Lời giải.
S

Kẻ SO   ABC  , SH  BC  OH  BC
Ta có: OA 

2
2 a 3 a 3
AH  .

3
3 2
3

S xq   .OA.SA   .
S xq 

a

a 3
.a
3

A
O

C
H

 a2 3

B

3

Chọn C.
Bài 8: Cho hình nón trịn xoay đỉnh S, đáy là đường trịn tâm O, bán kính R  5. Một thiết diện qua đỉnh
S tạo thành tam giác SAB sao cho tam giác SAB đều, cạnh bằng 8. Khoảng cách từ O đến thiết diện
 SAB  là:
A. d 

4
13
3

B. d 

3
13
4

C. d  3

D. d 

13
3

Lời giải

SO   OAB  , kẻ SH  AB  OH  AB
AB   SOH    SAB    SOH 
Kẻ OI  SH thì OI   SAB  nên d  OI

SOA : OS2  64  25  39 ; OHA : OH 2  25 16  9


1
1
1
1 1
16
3


 

 OI 
3.
2
2
2
OI
OH
OS
9 39 117
4

Chọn B.

Trang | 5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng.
I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
-

Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học.

-

Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường
Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn
Đức Tấn.

II.

Khoá Học Nâng Cao và HSG
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
-

Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

-

Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh
Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III.

Kênh học tập miễn phí
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí
HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí
-

HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

-

HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và

Tiếng Anh.

Trang | 6