nhi-thuc-niuton

KIỂM TRA BÀI CŨ

Câu 1: Cơng thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử là:
A. Ckn  n !
n!
B. C 
k !(n  k )!
n!
k
C. Cn 
(n  k )!
n!
k
D. Cn 
k!
k
n


KIỂM TRA BÀI CŨ

k

Câu 2: Tính chất của số Cn là:
A. Ckn  Cnnk (0  k  n) vµ Ckn-1-1  Ckn1  Ckn (1  k B. Ckn  Cnnk (0  k  n) vµ Ckn-1  Ckn  Ckn (1  k C. Ckn  Cnnk (0  k  n) vµ Ckn1  Ckn1  Ckn (1  k

KIỂM TRA BÀI CŨ

Liệu có
cơng thức để
Câu 3: Hãy nhắc lại các hằng đẳng khai
thứctriển
đángbiểu
nhớ:
thức (a +
(a + b)2 =a2+ 2ab+ b2 b)n thành
tổng
2 các
(a + b)3 =a3 + 3a2b + 3ab
+ b3 đơn
thức?
4
(a + b) (=a? + b)(a + b)3
= (a + b)(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)
= (a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4)
(a + b )n = ?


Tiết 28:

NHỊ THỨC NIU – TƠN

Niu Tơn


Tiết 28: NHỊ THỨC NIU - TƠN
I. Công thức nhị thức Niu - Tơn

Hãy so sánh các các số Ckn (n=2,3,4) với các hệ số của
k
C
Hãy
tính
các
số
(với n
=2,3,4):
các đơn thức trongn khai
triển
của biểu thức (a +b)n ?
C02  1 ,C12  2 ,C22  1
n = 2:
(a + b)21a
= 2 + 2ab + 1b2
C30  1 ,C13  3 ,C32  3 ,C33  1
n = 3:
3 3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3
(a + b)1a
=
n = 4:
C04  1 ,C14  4 ,C24  6 ,C34  4 ,C44  1

4
(a + b1a
)4 =
+ 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4

Tiết

28: NHỊ THỨC NIU - TƠN
I. Công thức nhị thức Niu - Tơn

Có quy luật
Ta có thể viết lại khai triển (a +nào
b)nkhông!?
(n=2,3,4) như sau:
(a + b)2 = C20a 2  C12ab  C22b 2
0 3
1 2
2
2
3 3
(a + b)3 = C3a  C3a b  C3ab  C3b
0 4
1 3
2 2 2
3
3
4 4
(a + b)4 =C4a  C4a b  C4a b  C4ab  C4b
0 5
1 4
3 2 3
4
4
5 5

(a + b)5 = C5a  C5a b  C52a 3b 2  C5a b  C5ab  C5b

( a + b )n = ?


I.Công thức Nhị thức Niu – Tơn (SGK- T55)
0 n
k n k k
n 1
n n
1 n 1
n 1
C

C
a
C
C
b
a

b

a

C
a
...

b


...

a
b
 nb


n
n
n
n
n

(1)

Chú ý (SGK-T56): Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1):
+ Số các hạng tử là n + 1
Có bao nhiêu hạng tử trong khai triển
+ Các hạng tử có số mũ của
a giảm
từ mũ
n đến
Hãy
nhận dần
xét số
của0 a
Số mũ của b tăng dần từ
0 đến
Hãy

nhậnn xét số mũ của b
Tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước a  b  1)
Hãy nhận xét tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử
+ Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau
Hãy nhận xét các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối
0

0


I. Công thức Nhị thức Niu – Tơn:
0 n
k n k k
n 1
n n
1 n 1
n 1
b
C
C
a
C
C
a

b

a

C

a

...

b

...

a
b
 nb


n
n
n
n
n

(1)

+ Sè h¹ng tổng quát của khai triển (thứ k+1) có
dạng:

C

k nk
n

a

b

k

Tk+1
+ Ta có cơng thức nhị
thức=Niu Tơn thu gọn:
n
n
k
n
k 0

 a  b

+Do

 a  b

n

  b  a

n

 C a

nên ta có thể viết

n k

 a  b

n

b

k
n

 C a b
k 0

k k n k
n


Chó ý C

ÁP DỤNG:
* VÝ dơ 1 : TÝnh
Nháp:
L thõa
cđa
L x:
thõa cđa
2:
Sè tỉ
hỵp:

 x  2

5

x

 x  2

5

1
0
5

c

x

4

1

2

1
5

c

0
5

 C 1
5
5

C C 5
1
5

5

4
5

C52  C53  10

x
2

3

2

2
5

c

x

2

2

3

3
5

c

1

x

4

2
4
c5

1
5
2
5
5

c



Giải: Ta có:

 x  2

5

 C50x5  C15x42  C52x322  C35x223  C54x24  C5525
 x5  10x4  40x3  80x2  80x  32


Tiết

28 : NHỊ THỨC NIU - TƠN
I. Công thức nhị thức Niu - Tơn

(a  b) n  C0n a n  C1n a n1b  ...  Ckn a nk b k  ..  Cnn1ab n1  Cnnb n . (1)
Các ví dụ:


Ví dụ 2: Khai triển biểu thức (x + y)5
(Nhiệm vụ của tổ 2, tổ 4)



Ví dụ 3: Khai triển biểu thức (3x - 2)4
(Nhiệm vụ của tổ 1, tổ 3)

Tiết

28: NHỊ THỨC NIU - TƠN
I. Công thức nhị thức Niu - Tơn

(a  b) n  C0n a n  C1n a n1b  ...  Ckn a nk b k  ..  Cnn1ab n1  Cnnb n . (1)


Ví dụ 2: Khai triển biểu thức (x + y)5
Giải: Theo công thức nhị thức Niu – Tơn ta có:

0 5
1 4
2 3 2
3 2 3
4
4
5 5
(x + y)5 =C5 x  C5 x y  C5 x y  C5 x y  C5 xy  C5 y

 x 5  5 x 4 y  10 x 3 y 2  10 x 2 y 3  5 xy 4  y 5


BÀI 3: NHỊ THỨC NIU - TƠN
I. Công thức nhị thức Niu - Tơn

(a  b) n  C0n a n  C1n a n1b  ...  Ckn a nk b k  ..  Cnn1ab n1  Cnnb n . (1)


Ví dụ 3: Khai triển biểu thức (3x - 2)4
Giải: Theo công thức nhị thức Niu – Tơn ta có:

(3x - 2) =C  3x   C14 (3x )3 (2)  C24 (3 x) 2 ( 2) 2 
4

0
4

4

C34 (3 x)(2)3  C44 (2) 4

=81x 4  216 x3  216 x 2  96 x  16


I. Công thức Nhị thức Niu – Tơn:
0 n
k n k k
n 1
n n
1 n 1
n 1
C
C
a
C
C
b
a


b

a

C
a

...

b

...

a
b
 nb


n
n
n
n
n

Nhiệm
Hệ quảvụ:
(SGK-T56):
Hãy thay vào cơng thức khain triển trên
với:

0
1

Vớ
i a  b  1, Ta coù
: 2  Cn  Cn  ...  C nn
a  b 1
Vớ
i a  1; b  1, Ta coù
:
a  1; 0b  11
k
n
0 =Cn  Cn  ...   1 C kn  ...   1 C nn

(1)


Tiết

28: NHỊ THỨC NIU - TƠN
I. Công thức nhị thức Niu - Tơn

(a  b) n  C0n a n  C1n a n1b  ...  Ckn a nk b k  ..  Cnn1ab n1  Cnnb n . (1)

Với a = b = 1, ta có:
(1  1) n  C0n1n  C1n 1n11  ...  Ckn 1nk.1k  ..  Cnn11.1n1  Cnn1n
 2n  C0n  C1n  ...  Cnk  ..  Cnn1  Cnn

2  C  C  ...  C

0
n

n

1
n

n
n

Với a = 1 ; b = - 1, ta có:

(1  1) n  C0n1n  C1n1n1 (1)  ...  Ckn1nk (1) k  ..  Cnn11(1) n1  Cnn (1) n
0  C0n +C1n (1)  ...  Cnk (1) k  ..  Cnn1 (1) n1  Cnn (1) n

0  C  C  ...  (1) C  ...  (1) C
0
n

1
n

k

k
n

n

n
n


Tiết

28: NHỊ THỨC NIU - TƠN
I. Công thức nhị thức Niu - Tơn

(a  b) n  C0n a n  C1n a n1b  ...  Ckn a nk b k  ..  Cnn1ab n1  Cnnb n . (1)


Ví dụ 3: Chứng tỏ rằng với n

4, ta có:

C0n  C2n  C4n  ...  C1n  C3n  ...  2n1
Giải: Kí hiệu A =C0n  C2n  C4n  ...
B  C  C  ...
1
n

3
n

n
Theo hệ quả ta có: 2  A  B
1
Lưu ý:
n

0
n
0

A

B

2  Cn  Cn  ...  Cn
n1
Từ đó suy ra A
0  B 1 2

0  Cn  Cn  ...  (1) k Ckn  ...  (1) n Cnn


II. TAM GIÁC PA –XCAN (SGK-T57)
Từ công thức (1):

 a  b

n

Cn0 a n  Cn1 a n 1b  ...  Cnk a n k b k  ...  Cnn 1ab n 1  Cnnb n 1

Khi cho n = 0, 1, 2, 3,…và sắp xếp các hệ số thành dịng, ta có:

n 0   a  b   1
1
n 1   a  b   1 1

0

n 2   a  b   1
3
n 3   a  b   1
4
n 4   a  b   1
2

n 5   a  b   1
5

2

1

3

3

1

4

6

4

5 10 10

1
5 1

n 6   a  b  

1

6

15

n 7   a  b  

1

7

21 35 35 21 1 1

6

7

20 15 6

1

Pascal

Vậy, theo công thức (1), khi cho n = 0,1, 2, 3,4,…và sắp
Xếp các hệ số thành dòng ta nhận được một tam giác
gọi là tam giác Pa - XCan
1
1
1
1
1
1
1
1
1

5

3

1

6
10

15
21

1

3
4

6
7

2

4
10

20
35

1
5

15
35
k 1

1
6

21

1
7

1

NHẬN XÉT: Từ công thức Cn  Cn 1  Cn 1
Suy ra cách t

các
2
Số
mỗi
dòng dựa vào các số ở dßng tríc n
Chẳng hạn: C52 
C41 ë C
4 4  6 10
k

k

C72 C61  C62 ? 6  15 21


II. TAM GIC PA XCAN

áp dụng: Dựa vào tam gi¸c pascal, h·y khai
triĨn:
(x+y)6 ?

 x  y

6

 x  6x y  15x y  20x y  15x y  6xy  y

n=
1
n=2

n=3
n=4
n=5
n=6

6

5

4 2

3 3

1

2 4

1
1 1 2
1 1
3
3
1 1
4
6
4
1
1
5
10

1
5
1
1
6
20 0 15
15
1
6

5

6


Tiết

28: NHỊ THỨC NIU - TƠN
III. Củng cố:

(a  b) n  C0n a n  C1n a n1b  ...  Ckn a nk b k  ..  Cnn1ab n1  Cnnb n . (1)
Hãy điển Đ, S vào ô trống trong bảng sau để cho biết câu
ở hàng tương ứng là đúng hay sai:
1.

Câu
Số các số hạng vế phải ở công thức (1) là n +
1

Đ-S

Đ

2. Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn
bằng 2n

S

3. Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu và
cuối thì
đối0 nhau
n
1
n

S

2  Cn  Cn  ...  Cn

4.
0
1
k k
n n
0

C

C

...


(

1)
C

...

(

1)
Cn
n
n
n
5.

Đ
Đ


Củng cố bài học:
Nắm được công thức khai triển Niu – Tơn

 a  b

n

1 n 1
n

k nk k
n

n 1
n

n 1

 C a  C a b  ...  C a b  ...  C ab  C b
0 n
n

n

 C a
k 0

k
n

n k

b

k

Nắm được quy luật trong tam giác Pa – Xcan
Bài tập về nhà: 1,2,3,4,5,6 sgk trang 57, 58

n n
n



Áp dụng
Hãy chọn câu trả lời đúng

6

Số hạng không chứa x trong khai triển
A

6

C

20

B

1

D

15

1 2
 x 
x 

là:


Sư
dơng k n  k k

Cách giải

Tk 1  C na b

Hãy chọn câu trả lời đúng

6

Số hạng không chứa x trong khai triển
A

6

C

20

B

1

D

15

1 2
 x 
x 

là:

1 6k 2 k
k 6  k 2 k
k 6  3 k
C 6 ( x ) ( x )  C 6x x C 6x
k

Giải: Ta có:

Tk+1 =

Vỡ số hạng không chøa x 6  3k
nªn:
2
 T3  6  15 KÕt qu¶: D

C

0k 2