Nhị thức Niuton

Gi¸o viªn :
§inh B¸ Hoan
Gi¸o viªn :
§inh B¸ Hoan

Bµi 3: NhÞ thøc Newton

Hãy khai triển biểu thức sau:
(a+b)
4
=
= a
4
+ 4a
3
b+ 6a
2
b
2
+ 4ab
3
+ b
4
a
4
+ a
3
b+ a
2
b

2
+ ab
3
+ b
4

C
0
4
C
1
4
C
2
4
C
3
4
C
4
4
Nhận xét: Với các dạng luỹ thừa bậc cao hơn, VD (a+b)
6
, (a+b)
10
,...
hay tổng quát : (a+b)
n
; ta cũng vận dụng quy tắc này

Với mọi a, b và mọi số tự nhiên n 1, ta luôn có:
(a+b)
n
= a
n
+ a
n-1
b + ... + a
n-k
b
k
+ ... + b
n
(I)


= (Quy ước a
0
=b
0
=1 với a, b khác 0)


C
n
0
C
n

1
C
k
n
C
n
n

=

n
k
kkn
k
n
ba
C
0
Tổng quát
Công thức (I) được gọi là công thức nhị thức Niuton


Vận dụng: Khai triển biểu thức (a + b)
6
=
Theo công thức Nhị thức Niuton ta có:
Bài giải
(a+b)
6
=

a
6
+ a
5
b+ a
4
b
2
+ a
3
b
3
+ a
2
b
4
+ ab
5
+ b
6
0
6
C
1
6
C
2
6
C
3

6
C
5
6
C
6
6
C
4
6
C
= a
6
+ 6a
5
b+ 15a
4
b
2
+ 20a
3
b
3
+ 15a
2
b
4
+ 6ab
5
+ b

6



Với mọi a, b và mọi số tự nhiên n 1, ta luôn có:
(a+b)
n
= a
n
+ a
n-1
b + ... + a
n-k
b
k
+ ... + b
n
(I)


= (Quy ước a
0
=b
0
=1 với a, b khác 0)

C
n
0
C

n
1
C
k
n
C
n
n

=

n
k
kkn
k
n
ba
C
0





Víi mäi a, b vµ mäi sè tù nhiªn n 1, ta lu«n cã:
(a+b)
n
= a
n
+ a

n-1
b + ... + a
n-k
b
k
+ ... + b
n
(I)


= (Quy ­íc a
0
=b
0
=1 víi a, b kh¸c 0)

C
n
0
C
n
1
C
k
n
C
n
n
∑
=

−
n
k
kkn
k
n
ba
C
0
0
n
C
1
n
C
k
n
C
* V i a = b =1, ta cã: 2ớ
n
= + + … +
0
n
C
1
n
C
n
n
C

* V i a = 1, b =-1, ta cã: ớ
0 = - + … +(-1)
k
+ … +(-1)
n

HÖ qu¶
≥

1. Cho biết trong khai triển có bao nhiêu số
hạng?
2. Số mũ của a và b thay đổi như thế nào?
3. Hãy nêu đặc điểm của các hệ số trong khai
triển (a + b
n
?

Với mọi a, b và mọi số tự nhiên n 1, ta luôn có:
(a+b)
n
= a
n
+ a
n-1
b + ... + a
n-k
b
k
+ ... + ab
n-1

+ b
n



=

(Quy ước a
0
=b
0
=1)


C
n
0
C
n
1
C
k
n
C
n
n


=

n
k
kkn
k
n
ba
C
0
1n
n
C

Chú ý
Trong biểu thức ở vế phải của công thức (I):
a) Số các hạng tử là n+1
b) Các hạng tử có: Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b
tăng dần từ 0 đến n. Song tổng các số mũ của a và b trong mỗi
hạng tử luôn bằng n.
c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì
bằng nhau.

e. 2
n
= (1+1)
n
= + + +........+

Tính chất
k
n k k

n
a b
C

C
n
0
C
n
1
C
n
2
C
n
n
f. 0 = (1-1)
n
= - + -........+(-1)
n
C
n
0
C
n
1
C
n
2
C

n
n

=


n
k
kkn
k
n
ba
C
0
)(
a. Trong khai triển (a+b)
n
thành đa thức có n+1 số hạng
b. Các hệ số cách đều 2 số hạng đầu và cuối bằng thì nhau
c. Tổng số các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng
số mũ của nhị thức vì: (n-k)+k=n
d. Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng T
k+1
=
g. (a-b)
n
=[a+(-b)]
n
=

Víi mäi a, b vµ mäi sè tù nhiªn n 1, ta lu«n cã:
(a+b)
n
= a
n
+ a
n-1
b + ... + a
n-k
b
k
+ ... + ab
n-1
+ b
n



=

(Quy ­íc a
0
=b
0
=1)


C
n

0
C
n
1
C
k
n
C
n
n
≥
∑
=
−
n
k
kkn
k
n
ba
C
0
1n
n
C
−
Cñng cè
H·y ®iÒn ®óng (§) ho c sai (S) vµo « trèng sau:ặ
C©u1: Trong khai triÓn (x + y)
8

A. Sè c¸c h¹ng tö lµ 8
B. HÖ sè cña x
5
lµ 28
C. HÖ sè lín nhÊt lµ 70
D. HÖ sè nhá nhÊt lµ 1


Đ
S
Đ
S
9
56