Bài 1 trong không gian 4  , cho các véc tơ

HỌC VIỆN TÀI CHÍNH
KHOA NGÂN HÀNG BẢO HIỂM

BÀI ĐIỀU KIỆN
MƠN TOÁN CAO CẤP 1


4
Bài 1: Trong không gian  , cho các véc tơ:

A    2,1,3, 0  ;B   1, 2,0, 1 ;C   1, 2, 1, 4  ; D   4, 5,1,3 
Tính

2 A  B;3 A  2 B; A  B  2C ; B  3D ; A  2B , C
Lời giải

2 A  B 2   2,1,3,0   1,  2,0,  1   4, 2,6,0  1,  2,0,1   3,0,6,  1
 3A  2B  3  2,1,3,0   2  1, 2,0, 1    6,3,9,0    2, 4,0, 2    8,7,9, 2 

 A  B 2 C   2,1,3,0   1, 2,0,  1 2 1, 2,  1, 4   3,3,3,1   2, 4,  2,8   5, 7,1,9
 B  3D   1, 2,0, 1  3  4, 5,1,3   1, 2, 0, 1  12, 15,3,9   13, 17,3, 8 

 A  2B, C
A  2B    2,1,3, 0   2  1,  2,0, 1   0, 3, 3,  2 
Ta có:
A  2B, C
  0,  3,3,  2  .   1, 2,  1, 4 
 0.  1    3 .2  3.  1    2 .4
 17

A, A ,A

Bài 2: Hãy viết biểu diễn tuyến tính véc tơ X qua hệ véc tơ  1 2 3 với
A1   3,  2  ; A2   0, 1  ; A3   2,1 ;X   1, 4 
Lời giải
* Giả sử:

X 1A1   2A 2   3A 3

  1
 3
 0
 2
    1    2    3  
 4
  2
  1
 1
  1   31   0   2 3 
   
 
 

 4    2 1     2    3 
 3 1  2 3  1

  2 1   2  3 4

1


* Chọn:

  1
3 1   1
 2  1

A, A , A
Vậy X biểu diễn tuyến tính qua hệ véc tơ  1 2 3 là: X  A1  A2  A3 .
Bài 3: Sử dụng định nghĩa, xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ



A1  3,  2  ; A2  1, 4 ; A3  2,  1

.
Lời giải

 Ta có :  1 A1   2 A2   3 A3 02

 1  3,  2    2  1, 4    3  2,  1  0, 0 
  31  2  2 3 ,  2 1  4 2   3   0, 0 
 3   2  23 0
 1
  21  4 2   3 0
 Hệ phương trình vơ số nghiệm.
 Chọn  3 1

 31  2  23 0
 
 2 1  4 2   3 0
9




1

14

  1
 2
14
Vậy hệ véc tơ 

A1 , A2 , A3

là hệ phụ thuộc tuyến tính.

Bài 4: Xét xem hệ véc tơ sau có là cơ sở của không gian tương ứng không?

 A  2,  5  ; A   1, 4 
1

2

2
, trong khơng gian  .

Lời giải
2
+) Hệ có số véc tơ bằng số chiều của  ( đều bằng 2 ) (*)

2


+) Xét:

1 A1  2 A2 02

 1  2,  5  2   1, 4  0, 0
 2 1   2 0

  5 1  4 2 0
1 0

 2 0
=> Hệ véc tơ 

A1 , A2

là hệ độc lập tuyến tính. (**)

Từ (*) và (**) ta có: hệ véc tơ
Bài 5: Cho hệ véc tơ
minh hệ

 A1 , A2

S  A1  1,1, 2  ; A2  1, 2,0 ; A3  1, 0, 0 ; A4  3, 4, 4 

S  A1, A2, A3

* Chứng minh

 A1, A2 , A3 
+) Xét S1
 1 A1   2 A2   3 A3 0 3
  1 1,1, 2    2  1, 2,0   3 1, 0,0  0,0, 0
1  2  3 0

 1  22 0
2 0
 1
1 0

 2 0
 0
 3

S1 là hệ độc lập tuyến tính. (*)

+) Giả sử :

Chứng

S
S
là 1 cơ sở của S . Hãy chỉ ra một cơ sở 2 của S khác 1 .
Lời giải

=> Hệ

2

là một cơ sở của  .

A4 1A1   2 A2   3A3
3


  1 1,1, 2   2  1, 2,0   3  1, 0, 0   3, 4, 4 
1  2  3  3

 1  22  4
 2 4
 1
1 2

 2 1
 0
 3
S  A,A ,A
A 2 A1  A2
Véc tơ A4 biểu diễn tuyến tính qua hệ 1  1 2 3  là: 4
. (**)
Vậy từ (*) và (**) ta có: hệ
* Ta có: hệ

S1  A1 , A2 , A3 

là 1 cơ sở của S.

S 2  A2 , A3 , A4 

S 2 0 3
 1 A2  2 A3  3 A4 03
 1  1, 2, 0  2  1,0,0  3  3, 4, 4  0, 0, 0
1   2  3 3  0

 2 1 3 3 0
4  0
 3
 1 0

  2 0
  0
 3

 Hệ véc tơ S 2 là hệ véc tơ độc lập tuyến tính. (1)
+) Giả sử:

A1  1 A2  2 A3  3 A4

 1 1, 2, 0    2 1,0,0    3  3, 4, 4   1,1, 2 

 1   2  3 3 1

 2 1  4 3 1
4  2
 3

1


 1  2

  2 0

1
 3 

2

4


 A1 

1
1
A2  A4
2
2
(2)

Vậy từ (1) và (2) ta có: hệ

S2  A2 , A3 , A4

là một cơ sở của S .

Bài 6: Một hãng dùng 3 loại vật liệu để sản xuất 5 loại sản phẩm. Cho các véc tơ:

 1
 2
 1
 3
 3
 
 
 
 
 
A1  2 ; A2  1  ; A3  2  ; A4   1  ; A5   0 
 1
 1
 2
 2
 1
 
 
 
 
 
Trong đó A1 là véc tơ định mức vật liệu để sản xuất sản phẩm thứ j.
a) Chứng minh rằng, hệ B  A2 , A4 , A5 là một hệ độc lập tuyến tính.
b) Viết biểu diễn tuyến tính của các véc tơ còn lại qua hệ B và nêu ý nghĩa kinh tế
của biểu diễn tuyến tính đó.
c) Tính số lượng các loại vật liệu cần sử dụng để sản xuất tương ứng 15, 40, 30, 60,
20 đơn vị sản phẩm từ loại 1 đến loại 5.
Lời giải
 A  2 A4  3 A5 03
a) Ta có: 1 2

 2
 3
 3  0




  1 1   2 1   3 0  0
 
 
   
 1
 2
 1  0
 
 
   
 21  32  33   0 
 21  32  33 0
1 0



  
   1  2
  2 0
  0    1  2 0
  2   0
 0
  2     0 

 3
2
3
2
3
 1
  
 1

B  A2 , A4 , A5 
Vậy hệ
là hệ độc lập tuyến tính.
A  A  A  A
b)  Giả sử: 1 1 2  2 4  3 5

5


 2
 3
 3  1 
 
 
   
 1  1   2  1   3  0   2 
1 
 2
 1  1 
 
 

   
 2 1  3 2  3 3   1   2 1  3 2  3 3 1  1  2

  2   
  1  2
2   2 0
1 2
  
  2  
  1
   2     1 
1
 1
  
 1
 3
2
3
2
3
=> A1 biểu diễn tuyến tính qua hệ B : A1 2 A2  A5  A1  A5 2 A2
+) Ý nghĩa kinh tế:
Nếu hãng bớt đi 2 đơn vị sản phẩm loại 2 thì hãng được thêm 1 đơn vị sản phẩm
loại 1 và 1 đơn vị sản phẩm loại 5 .
 Giả sử: A3  1 A2   2 A4  3 A5
2 
3 
 3  1 





 1  1   2  1   3 0   2 
1 
2
1  2 
 
 
   
1



1

2
 21 3 2 3 3   1 
2 1  3 2  3 3 1

3



  



   1  2







2
2


1
2
2
  
2


   2  
  
2
3
 1
 2 
 1  2 2  3 2
3



3

2


Vậy A3 biểu diễn tuyến tính qua hệ B :

1
3
3
3
1
3
A3  A2  A4  A5  A3  A5  A2  A4
2
2
2
2
2
2
+) Ý nghĩa kinh tế:
1
3
Nếu bớt đi 2 đơn vị sản phẩm 2 và 2 đơn vị sản phẩm 4 thì ta được thêm 1 đơn
3
vị sản phẩm 3 và 2 đơn vị sản phẩm 5 .

6


c) Số lượng các loại vật liệu cần sử dụng để sản xuất tương ứng được 15, 40, 30, 60,
20 đơn vị sản phẩm từ loại 1 đến loại 5 là:

VL 15 A1  40 A2  30 A3  60 A4  20 A5

1
 2
 1
 3
 3
15 2  40 1   30 2  60 1   20 0
 
 
 
 
 
1
1
 2
 2
 1
 
 
 
 
 
 15   80   30   180  365
      
 

 30    40   60  60   190 
 15   40  60  120  255
      
 


 365 


 190 
 255 
.
Vậy số lượng 3 loại VL cần sử dụng để sản xuất theo yêu cầu đề bài là: 
3
Bài 7: Cho Fi ,i 1,3 là các véc tơ trong khơng gian  có các thành phần thứ tương

1
ứng bằng   , các thành phần còn lại bằng 0. Chứng tỏ hệ Fi , i 1,3 là một cơ sở của
 3 và tìm biểu diễn tuyến tính của véc tơ bất kì X   3 qua cơ sở đó.
i

Lời giải
Theo đề bài, ta có:

F1   1,0,0 ; F2  0,1;0 ; F3  0,0,  1

3
* Chứng minh: Xét điều kiện về cơ sở không gian  ta có:
3
+) Hệ có số véc tơ bằng số chiều của  (đều bằng 3).

+)

1 F1   2 F2  3 F3 03

 1   1,0,0   2  0,1,0   3  0,0,  1   0,0,0 

  1 0
1 0


   2 0   2 0
   0
 0
 3
 3
 Hệ véc tơ  F1 , F2 , F3  độc lập tuyến tính.

7


Vậy hệ

Fi  F1 , F2 , F3 

* Ta có:

X   2,  4,1 

3

là một cơ sở của  .

 1F1   2F2   3F3
Giả sử: X
 1   1,0,0    2  0,1, 0    3  0,0,  1  2,  4,1
  1 2


   2  4 
   1
 3

 1  2

  2  4
   1
 3

 F ,F ,F 
X  2 F1  4 F2  F3
Vậy X biểu diễn tuyến tính qua hệ véc tơ 1 2 3 là:
.
Bài 8: Cho các ma trận:
  2  1
 1 1 1 
2  1 3




; B  3 1 ; C  2 3 0 
A 

1 0  2
 2  3
  1 2 4





Tính

AC; C  2 B ;  2 A  BT  C
Lời giải
 1 1 1 
2  1 3  
  3 1 14 
. 2 3 0  
1 0


3  5  7 
 2  



  1 2 4
* AC =
 1  1 1     2  1   1  1 1    4  2    6  10 

 
 

 

2   10
2 

 2 3 0 .  2.  3 1    2 3 0 .  6
C 2 B    1 2 4    2  3   1 2 4   4  6   34  18 
*   
2A  BT  C

*
2 3 2 
BT 

  1 1  3
2 1 3  4 2 6 
2 A 2.
 

 1 0  2  2 0  4 

8


4  2 6   2
2 A  BT 

 2 0  4   1
 1
 2 1 8 
T
(2 A  B ).C 
 . 2
 1 1  7  1


3 2  2 1 8
 

1  3 1 1  7 
 1 1
   4 17 34 
3 0  

10  12  27 


2 4

Bài 9: Tìm  để mỗi ma trận sau không suy biến:

0
 3 2





5
 b)  3
a) 

1



1

3

 2
2 
Lời giải

 3 2
A 

a) Đặt
 5
3 2
 det( A) 
15  2
 5
15


det  A  0  15  2  0   2
Để ma trận khơng suy biến thì
15

2 .
Vậy để ma trận A khơng suy biến thì
 1 3 


B  0   2 

3 1 2 
b) Đặt


 1 3
 2
1 3
 det( B)  0   2 .(  1)11.
 3.(  1) 3 1
 2
1 2
3 1 2

 .(2   2)  3.(2  3 ) 2  2  7   6
  2

det(B ) 0  2  7  6  0  
3



2
Để ma trận B khơng suy biến thì
  2


3
  2
Vậy để ma trận B không suy biến thì
2

9


Bài 10: Bằng việc tính định thức hoặc hạng của ma trận, hãy xét sự độc lập tuyến tính,
phụ thuộc tuyến tính của các hệ véc tơ 

A1  0,  3,  1 ; A2   5,3,1 ; A3   1, 2, 0  .

Lời giải
Đặt

X  A1 , A2 , A3

 0  5  1


X   3 3 2 
1 1 0 


Ta có:
0 5 1
3 2
3 3
 (  1).(  1) 4 .
det( X )   3 3 2 (  5).(  1)3 .
1 0
1 1


1
1
0
Xét:

5.2  ( 1).0 10

X  A1, A2, A 3
Có det( X ) 10 0 , vậy:
độc lập tuyến tính.
Bài 11: Sử dụng phương pháp khử tồn phần, tìm hạng, một cơ sở và viết các biểu thị
tuyến tính của hệ véc tơ ngồi cơ sở qua cơ sở đối với hệ véc tơ sau:



A1  2,1, 4  ; A2   3,6,5 ; A3   9,3,  7 .

Lời giải
Đặt S { A1 (2,1, 4); A2 (  3,6,5); A3 (  9, 3,  7)}
 2  3  9   0  15  15   0 0 0 


S  1 6 3    1
6
3    1 0  3 
 4 5  7   0  19  19   0 1 1 

 

 

 h( S ) 2
* Cơ sở của hệ véc tơ

S : A1 ; A2 

* Biểu diễn tuyến tính A3 qua hệ cơ sở của S : A3  3 A1  A2

10


Bài 12: Một hãng dùng 3 loại vật liệu để sản xuất 4 loại sản phẩm. Cho hai ma trận:

0 3 2 1


A  3 1 1 3 ; X  5 2 0 4 
1 2 2 1


trong đó

aij

cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu loại dung để sản xuất 1 đơn vị sản
j, x j
cho trong ma trận X là số đơn vị sản phẩm loại j mà dự định sản xuất
phẩm loại

 i 1,3; j 1, 4 
a. Sử dụng phép nhân ma trận, tính số lượng vật liệu các loại dùng vừa đủ để sản

xuất số lượng các loại sản phẩm trong X .
A
b. Ký hiệu j là véc tơ cột thứ j của ma trận A với j 1, 4 . Bằng phương pháp khử
tồn phần, tìm biểu diễn tuyến tính của A3 qua hệ véc tơ  A1, A2 , A4 và nêu ý
nghĩa kinh tế.
c. Sử dụng ý nghĩa vừa nêu ở phần b, với điều kiện sử dụng hết số lượng vật liệu
được tính ở phần a, nếu hãng muốn sản xuất 1 đơn vị sản phẩm loại 3, thì số lượng
các loại sản phẩm cịn lại là bao nhiêu và số đơn vị sản phẩm 3 có thể sản xuất tối
đa là bao nhiêu?
Lời giải
 5
 2
T
5
2
0
4
X 
  X  
 0
 
 4
a)
Số lượng vật liệu các loại cần để sản xuất số lượng các loại sản phẩm cho trong
X là:
 5
 0 3 2 1    10 
2
VL  A.X T   3 1 1 3 .     29 
 1 2 2 1  0   13 


   
 4

11


b)

 10 
 
 29 
 13 
Vậy số lượng vật liệu các loại cần để thỏa mãn điều kiện đề bài là   .
* Ta có:
 0 3 2 1
0



A  3 1 1 3    0
1
 1 2 2 1



 Biểu diễn tuyến tính:

3

2 1 

 5 0
2 1 

0

5
0
1
2

A3 A1  A2  A4 

0 1
1 1
0 0

1 

0 
1 

0 0  1 1 


0 1 1 0 
1 0 1 0 



A3  A4 A1  A2

* Ý nghĩa kinh tế: Nếu ta bớt đi 1 đơn vị sản phẩm 1 và 1 đơn vị sản phẩm 2 thì ta
được thêm 1 đơn vị sản phẩm 3 và 1 đơn vị sản phẩm 4.
c)

* Theo đề bài, ta có:
VL 5 A1  2 A2  4 A4  A3  A3
5 A1  2 A2  4 A4  A3  ( A1  A2  A4 )
 4 A1  A2  5 A4  A3
Vậy nếu hãng sản xuất thêm 1 đơn vị sản phẩm 3 thì sản phẩm 1 có 4 đơn vị, sản
phẩm 2 có 1 đơn vị, sản phẩm 4 có 5 đơn vị.

* Ta có:
VL 5A1  2A2  4A 4  mA 3  mA 3

5 A1  2 A2  4 A4  A3  m (A1  A 2  A 4)
(5  m ) A1  (2  m ) A2  (4  m )A 4  mA 3
5  m 0
2  m 0

 0 m 2



m
4
0


 m 0
Điều kiện: 
Vậy hãng có thể sản xuất tối đa 2 đơn vị sản phẩm 3.
Bài 13: Một hãng dùng 3 loại vật liệu thô sản xuất 5 loại sản phẩm. Biết định mức của
3 loại vật liệu để sản xuất 5 loại sản phẩm được cho bởi ma trận:
 2 4 1 3 5
A  2 2 3 1 3 
1 1 4 3 4 



12


Với
loại

aij

cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu cần sản xuất ra 1 đơn vị sản phẩm





j i 1,3; j 1,5 ; x j

a) Ký hiệu

Aj

là số đơn vị loại j mà hãng sử dự định sản xuất.

là véc tơ cột thứ j của ma trận A , j 1, 5 Bằng phương pháp khử

toàn phần, chứng minh hệ véc tơ

B  A1, A3, A4

là một cơ sở của hệ

A

j



: j 1,5

A ,A
b) Tìm biểu thị tuyến tính của hệ  2 5  qua B và nêu ý nghĩa kinh tế của nó.
c) Tính tổng số tiền mua vật liệu vừa đủ để sản xuất 34 đơn vị sản phẩm loại 2 và 17
đơn vị sản phẩm loại 3, biết rằng số tiền mua vật liệu vừa đủ để sản xuất 3 đơn vị
sản phẩm loại 1 và 1 đơn vị sản phẩm loại 4 là 27 triệu đồng.
Lời giải
a) Ta có:
 2 4 1 3 5  0 2

 
A  2 2 3 1 3    0 0

 1 1 4 3 4  1 1

 
1

0 2
 0 2 0 4 4 
1


  0 0 1 1 1   0

2
 1 1 0  1 0 


3
 1
2

Vậy hệ véc tơ

B { A1 , A3 , A4 }

7
5
4

3 3 


5 5 
3 4 


1 1

1 0 0


0 0 1 

0

là một cơ sở của hệ

{ Aj : j 1,5}

{A , A }

2
5 qua B như sau:
b) Từ kết quả ở câu a ta biểu diễn tuyến tính của
3
1
1
1
3
1
A2  A1  A3  A4  A2  A3  A1  A4
2

2
2
2
2
2
(1)
+)
3
1
 Ý nghĩa kinh tế: Nếu hãng bớt đi 2 đơn vị sản phẩm loại 1 và 2 đơn vị sản phẩm

1
loại 4 thì hãng được thêm 1 đơn vị sản phẩm loại 2 và 2 đơn vị sản phẩm loại 3.

+) A5  A1  A4
 Ý nghĩa kinh tế: Nếu hãng bớt đi 1 đơn vị sản phẩm loại 1 và 1 đơn vị sản
phẩm loại 4 thì hãng được thêm 1 đơn vị sản phẩm loại 5.

13


c) Từ (1) ở câu b, ta có:
1
3
1
A2  A3  A1  A 4  2A2  A3  3A1  A4
2
2
2
Theo giả thiết đề bài, ta suy ra: 3 A1  A4 27000000 đồng

 2 A2  A3 27000000 đồng
Số tiền mua vật liệu vừa đủ để sản xuất 34 đơn vị sản phẩm loại 2 và 17 đơn vị
sản phẩm loại 3 là:
P 34 A2 17 A3 17(2 A2  A3 ) 17.27000000 459000000 đồng.
Vậy số tiền mua vật liệu vừa đủ để thỏa mã điều kiện là: 459000000 đồng
Bài 14: Một hãng dùng 4 loại vật liệu thô để sản xuất 3 loại sản phẩm trung gian. Sau
đó, từ 3 loại sản phẩm trung gian hãng sản xuất ra 3 loại thành phẩm. Cho các ma
trận:
2
4
A 
3

2

1 1
2 1 1 
1 2 
, B  1 1 1 

2 2
1 0 2 



0 3

aij

cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu thô loại i cần để sản xuất 1 đơn vị

j, bjk
sản phẩm trung gian loại
cho trong ma trận B là số đơn vị sản phẩm trung gian
Với





k i 1, 4; j , k 1, 3
.
loại j cần để sản xuất 1 đơn vị thành phẩm loại

a) Tính số đơn vị vật liệu thô mỗi loại vừa đủ để sản xuất 120,130,240 đơn vị sản
phẩm trung gian loại 1,2,3 tương ứng.
b) Gọi M là tổng các phần tử thuộc hàng 2 của ma trận AB . Tính 3 M và nêu ý
nghĩa kinh tế của kết quả tìm được.
Lời giải
a) Số đơn vị vật liệu thô mỗi loại vừa đủ để sản xuất 120, 130, 240 đơn vị sản phẩm
trung gian loại 1, 2, 3 tương ứng là:
2 1 1 
 610 
 4 1 2   120  1090 
 .  130   

A.X  
  1100 
 3 2 2  

  240  


2
0
3


 960 

14


 610 
 1090 


 1100 


 960 

Vậy số đơn vị vật liệu thô mỗi loại vừa đủ để thỏa mãn điều kiện đề bài là:
b) +) Ta có: Số vật liệu thô mỗi loại vừa đủ để sản xuất một đơn vị thành phẩm loại
k (k 1,3) là:
2 1 1
6
 4 1 2   2 1 1   11
 .  1 1 1  
VL A.B 
 10
 3 2 2  



  1 0 2 
2 0 3 
7
Theo giả thiết của đề bài, ta có:
M 11  5  9 25

3 5 
5 9 
5 9

2 8

 3 M =3.25=75
+) Ý nghĩa kinh tế: 75 đơn vị vật liệu thô loại 2 đủ để sản xuất 3 đơn vị sản phẩm
loại 1 3 đơn vị sản phẩm loại 2 và 3 đơn vị sản phẩm loại 3
Bài 15: Cho ma trận
2 3 1 
1 0 2 
A  0 1  2  , B 

 1 3 1 
1 4 1 


a) Tìm  để ma trận A khơng suy biến.
b) Với  1 hãy tìm ma trận thỏa mãn XA B  X , E là ma trận đơn vị cấp
3 bằng phương pháp ma trận nghịch đảo.
Lời giải

a) Ta có:
2 3

1
1 2
3 1
 1.( 1)31 .
 2(  8)  7  2  9
det(A )  0 1  2  2.( 1)11 .
4 
1 2
1 4 
9
det( A) 0  2  9  0   
2
Để ma trận A khơng suy biến thì

15


Vậy để ma trận A khơng suy biến thì
b) Với  1 ma trận A trở thành:
2 3 1
A  0 1  2 
1 4 1 


Ta có:
XA B  X  XA.E (B  X ).E
 XA BE  XE

 X ( A  E)  BE

 2

 X.   0
  1
1

 X. 0
1

1

C  0
1

Đặt



9
2 .

1  1 0 0
1 0 0
 
    1 0 2 

1  2    0 1 0   
.  0 1 0 

1 3 1 

4 1   0 0 1   
 0 0 1
3 1 
  1 0 2
0  2  

1 3 1 


4 0 
3

3 1
  1 0 2
  1 0 2  1
0  2   X .C 
X




 .C

1
3
1
1
3

1




4 0 


4

1
C   1


0

Có
 4
X 
 1
Vậy







2 3
4 2

3



  1 0 2 
  4  3 3
1
1

1  X 
. 1
1  


  1 0 0 
2
2
 1 3 1 



1
1
 0
0 
0



2

2
 3 3

0 0 

Bài 16: Tìm  để hệ phương trình tuyến tính sau là hệ Cramer và với  1 tìm nghiệm
của hệ tương ứng theo phương pháp ma trận nghịch đảo.

16


 2x1  x2  x3  3

 x1  2 x2  2 x3 1
 3x - x 5
1
3


Lời giải
* Điều kiện để hệ phương trình tuyến tính sau là hệ Cramer
-Hệ có số phương trình bằng số ẩn (Vì cùng bằng 3)
 2 1  


A  1  2 2 
3 0 1


-Xét

2 1 
1 2
2 
 det( A) 1  2 2 (  1).(  1)12 .
 (  2).(  1) 2 1.
3 1
3 1
3 0 1
 7  2( 2  3 ) 6  3
1
det( A ) 0  6  3 0   
2
Để hệ phương trình tuyến tính là hệ Cramer thì
1

2 .
Vậy để hệ là hệ Cramer thì
 2 x1  x2  x3  3

 x1  2x2  2x3 1
3
 x3 5
* Với  1 hệ phương trình trở thành:  x1
2  1 1 
 x1 
3 
 1 2 2  ; X=   ; B= 1 

A 


 x2 
 
 3 0  1
x 
 5


 3
 
Đặt
1
Hệ phương trình tương đương: AX B  X  A B

17


1
2

3  3 0 


7
5
1

A 

 1
3


3


 2  1  1 


Có

1
2

5
3  3 0
3

 3  
7
5
1
 
 X=

 1 . 1    
3

3
3

  5   

 2  1  1 
 0 


 

5 
3 
 
1 
3 
 
0 
 
Vậy hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là:   .
Bài 17: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp khử tồn phần ( tìm nghiệm tổng
qt và chỉ ra một nghiệm riêng của hệ).
 2x1  2x2  3x3  x4  5

 2x1  x2  x3  4x 4 1
  x  2 x  3 x  3 x 1
2
3
4
 1

Lời giải
 1 -2 3 -1 -5 
 1  2 3 1 5






Xét : A=  2 1  1  4 1    0 5 -7 -2 11 
 0 -4 0 -4 -4 
 1 2 3 3 1 




1 0 3

  0 0 -7
 0 1 0


1 -3 

-7 6 
1 1 

 1 0 0  2  3
7


  0 0 1 1  76 


0 1 0 1 1 




 x1, x2 , x3 là ẩn cơ sở

x4 là ẩn tự do

18


3

x1  2 x4  7

x 2  x 4 1

6
x 3  x 4 
7
Ta có: 

3

 x1  7  2 x4

  x2 1  x4

6
 x3   x4


7

 3

  7  2x 4 


 1  x4 
 6

   x4 
 7



x4

Vậy nghiệm tổng quát của hệ phương trình là: 
+) Một nghiệm riêng của hệ là:

39

 x1  7

  x2  2

27
 x3 
x 3


7
Cho 4
 39 
 7 


 2 
  27 


 3 


Vậy một ngiệm riêng của hệ là:  3  .
Bài 18: Tìm một nghiệm không âm của hệ ràng buộc sau:

 x1  2 x2  x3  x4  2 x5 3

 x 3  5x 4  2x 5  2
3x 1
2 x  x  x  2 x  x 3
3
4
5
 1 2
Lời giải

19

Từ hệ phương trình ta có ma trận mở rộng:

 -1 2 1
A= 3 0 1

 2 1 1


0 0


 1 0

 0 1



2
3
1
3
1
3


 0 2
1 -2 3 

5 -2 2   1 0
2 1 3  

0 1


16
22 1  
3
3 3  
0
5
2 2 
 1
3
3 3 
 0
4
7 5 
3
3 3  

4
3
1
3
1
3

8  8 11 
3 3 3 
5  2 2
3 3 3


4 7 5
3 3 3 

1

0 1 8 -11 2 
1
0 0 -1 3 
2
1 0 -4 6 
3
2 

 x1, x 2 , x3 là ẩn cơ sở

x4 , x5

là ẩn tự do

1

x1  x4  3x5  2


3
x2  4 x4  6 x5 
2

1


x3  8x4  11x5 2
Ta có: 

1

x1 2  x4  3x5

3

x 2   4x 4  6 x 5
2


1
x 3  2  8x 4  11x 5


1

x

1

2

3

x4 x5 0  x2 
2


1

x 3 2

Cho

20


1

Vậy nghiệm không âm của hệ ràng buộc là:  2

3
2

1
2

T


0 0
 .

Bài 19. Tìm một nghiệm của hệ ràng buộc sau bằng phương pháp khử toàn phần:

2 x1  x2  x3 4
  x  2 x  x  2 x  3

2
3
4
 1
5 x  x  x  3 x  x 3
4
5
 1 2 3
x 0; j 1,5
 j

Lời giải

Ta có:

2 x1  x2  3 x3 4

 x  2x  x  2x 3
2
3
4
 1
(1)  
x x  x  x  x 
5 1 2 3 3 4 5 3

x j 0; j 1,5


 2 1 3 0 0 4

A   1  2 1 2 0 3  


5 1  1  3  1 3 


Xét:

3 0
4
3 1 1


 11 0  1  4  2 9 
 5 1 1  3  1 3



3

 0 2
 3 0 4 3 1 1  


5
 5 0
7 2 0 11    0

2
 2 1 3 0 0 4 



 1 1
2

 x1 , x4 , x5 là ẩn cơ sở

x2 , x3 là ẩn tự do

21


17
21

3 1
0


2
4
7 
1
5

2 0 1  0


2
4

2 
3
1
0 0
  1
2
2
 

37
11 
0 1 
4
2
1 
1
1 0
2
2 

3
2
0 0

2



37
11

 21



x
x
x
2
3
5
4
4
2

1
1
 5
x2  x3  x4  

4
2
 4

1
3
 x1  2 x2  2 x3 2
Ta có: 

 x1 2


1




0
x2 x 3
 x4 
2

11

 x5  2
Cho

11 21
37




x
x
x3
5
2

2 4
4


1 5
1

 x4   x2  x3
2 4
4


1
3
 x1 2  2 x2  2 x3


T

1 11 

2 0 0

2 2  .
Vậy 1 nghiệm của hệ ràng buộc là: 
Bài 20: Chuyển hệ hỗn hợp sau về dạng chính tắc rồi tìm một nghiệm của hệ:
2 x1  x2  3 x3  4
    2 3
x3
 x1 x2
1  3 x  4 x  x 5
2
3
 1

 x j 0, j 1,3

Lời giải

 2x1  x 2  3x 3  x 4  4
  
x1 x2 2 x3 3
 2  3x  4x  x  x  5
2
3
5
 1
 x 0, j 1,5
 j
Sử dụng ẩn bù x4 , x5 thu được hệ
  2 x1  x2  3 x3  x4 4
 x x 2x 3
 1  2  3 

3 x  4 x2  x3  x5 5
 1
 x  0, j 1,5
 j

22


 3
1
7

 5 0 1  5 0 5 
 -2 -1 3 -1 0 4   -3 0
5 -1 0 7  

1
2
1







Xét: A=
1
2 0 0 3 
1 0
0
 -1 1 2 0 0 3    -1
 5
5
5 
 3 -4 1 0 1 5    1



0 7 0 1 17 

 

 16 0 0 7 1 36 
 5
5
5 



x2 , x3 , x5 là ẩn cơ sở

x1 , x4 là ẩn tự do
1
7
 3
  5 x1  x3  5 x4 5

2
1
 1
 x1  x 2  x 4 
5
5
 5
7
36
16
 5 x1  5 x4  x5  5
Ta có: 

7 3
1


 x 3  5  5 x1  5 x 4

1 1
2

  x 2   x1  x 4
5 5
5


36 16
7
 x5  5  5 x1  5 x4


1

 x2 5

7

x1  x 4  0   x 3 
5

36

 x5  5

Chọn

1 7
 2  :  0
5 5

 Một nghiệm của hệ phương trình

T

36 
0

5 
T

1 7
1  :  0

5 5 .

Vậy một nghiệm của hệ phương trình
Bài 21: Một hãng sử dụng 3 loại vật liệu để sản xuất 4 loại sản phẩm. Cho các ma trận

 2 1 1 2
 28 


 
A  1 2 3 1  , B  49  , C   4 3 5 7  , X  x1 x 2
 2 1 1 3
 33 



 

23

x3

x4  ,
T


trong đó

aij

cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu loại i dùng để sản xuất 1 đơn vị
,
sản phẩm loại j bi cho trong ma trận B là số lượng đơn vị vật liệu loại i mà hãng sử
c
x
dụng, j cho trong ma trận C là lãi của một đơn vị sản phẩm loại j và j cho trong
ma trận X là sản lượng sản phẩm loại



.

j i 1,3; j 1, 4

a) Viết hệ ràng buộc tuyến tính xác định số lượng các loại sản phẩm mà hãng có thể
sản xuất khi sử dụng hết số vật liệu cho trong B . Tìm một nghiệm cơ sở, với x2 , x3 , x4
là các ẩn cơ sở, của hệ này bằng phương pháp khử tồn phần. Tính tổng số lãi ứng với
kết quả vừa tìm được.
b) Ký hiệu

Aj

là véc tơ cột thứ j của ma trận A với j 1, 4 . Sử dụng kết quả của ý

A ,A ,A
a), viết biểu diễn tuyến tính của A1 quan hệ véc tơ  2 3 4  và nêu ý nghĩa kinh tế
của nó. Dựa vào ý nghĩa vừa nêu, nếu hàng sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm 1, với
điều kiện vẫn sử dụng hết số vật liệu cho trong B , thì tổng số lãi thay đổi như thế
nào?
Lời giải

 2x1  x2  x3  2x 4  28
 x  2 x  3 x  x 49
2
3
4
 1
 2 x  x  x  3 x 33
4
 1 2 3

x j 0, j 1, 4
a) * Theo đề bài ta có hệ ràng buộc: 
2


1
1
0 
3
3
3

6
1 5

8
0 38 

 2 1 1 2 28 
3 3
3
11 
A  1 2 3 1 49   2 1
1



1 
 2 1 1 3 33   3 3
3

 

Xét:

2 1

  3 0
0 0


1
1
0

0 18   5 1 0 0 10 
 

0 8    3 0 1 0 8 
1 5   0 0 0 1 5 

 x2 , x3 , x4 là ẩn cơ sở

24