cực trị tọa độ trong không gian 4

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!



III. BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH CÓ YẾU TỐ CỰC TRỊ (tiếp theo)
Bài toán 3: Lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P), đi qua điểm A cho
trước sao cho khoảng cách giữa d và d’ lớn nhất, với d’ là đường thẳng cho trước và cắt (P).
Phương pháp giải:

+ Gọi
' ( )
= ∩
I d P
, qua A dựng đường thẳng
''
d
//
' ''
⇒
d d
// (
Q), v
ớ
i (Q) là m
ặ
t ph
ẳ
ng ch
ứ
a d và

''.
d

Khi
đ
ó
(
)
(
)
(
)
; ' ';( ) ;( )
= =
d d d d d Q d I Q

+ K
ẻ

(
)
( ); '' ;( )
⊥ ⊥ ⇒ =
IH Q IK d IH d I Q
và
đ
i
ể
m K c
ố

đị
nh.
+ Ta có
(
)
max
;( )
≤ ⇒ = ⇔ ≡
IH IK d I Q IK H K
. Khi
đ
ó
đườ
ng th
ẳ
ng d n
ằ
m trong (P),
đ
i qua A và vuông
góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng IK, suy ra d có m
ộ
t véc t

ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng là ;
 
=
 
  
d P
u n IK

G
ọ
i
'
A
là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a A lên d’, suy ra
'
AA
// IK, khi
đ
ó
; '
 

=
 
  
d P
u n AA

V
ậ
y
đườ
ng th
ẳ
ng d c
ầ
n l
ậ
p
đ
i qua
đ
i
ể
m A và có véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng là
; '

 
=
 
  
d P
u n AA

Ví dụ 1.
Cho
đ
i
ể
m A(1; 0; 1),
đườ
ng th
ẳ
ng
2 1
':
2 1 1
− −
= =
− −
x y z
d
và
( ): 2 0
− + − =
P x y z
L

ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng d
đ
i qua A; n
ằ
m trong (P) sao cho kho
ả
ng cách gi
ữ
a d và d’ l
ớ
n nh
ấ
t?
Đ/s:

(1; 1; 2)
= − −

d
u

Ví dụ 2.
Cho
đ
i

ể
m A(1; 1; –3), B(2; 1; 0),
đườ
ng th
ẳ
ng
1 2
:
1 1 2
+ −
= =
−
x y z
d
và
( ): 2 1 0
− + + =
P x y z
14. CỰC TRỊ TRONG TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN – P4
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Lập phương trình đường ∆ đi qua A; nằm trong (P) sao cho
a) khoảng cách từ B đến d lớn nhất? nhỏ nhất?
b) khoảng cách giữa ∆ và d lớn nhất?
Ví dụ 3. Cho điểm O(0; 0; 0) và đường thẳng
1 1 1 1
: ; ': .
1 2 1 2 2 1
− + + −

= = = =
− − −
x y z x y z
d d
Lập phương trình đường ∆ đi qua O; vuông góc với d và cách d’ một khoảng lớn nhất?
Đ/s:
13
:
12 13 12 11
= ⇒ ∆ = =
x y z
t
H
ướ
ng d
ẫ
n: G
ọ
i (P) là m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
i qua O và vuông góc v
ớ
i d, suy ra ∆ ph
ả
i n
ằ

m trong (P).
Khi
đ
ó ta l
ạ
i quy v
ề
bài toán
đ
ã xét
ở
trên!
Ví dụ 4.
Cho
đ
i
ể
m A(0; 1; –1),
đườ
ng th
ẳ
ng
1
:
1 1 1
−
= =
− −
x y z
d

và
( ): 2 2 1 0
− + − =
P x y z
Lập phương trình đường ∆ đi qua A; song song với (P) sao cho khoảng cách giữa ∆ và d lớn nhất?
Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước, d cắt d
1
và khoảng
cách giữa d và d
2
lớn nhất
Phương pháp giải:
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và chứa d
1
, suy ra d nằm trong (P). Khi đó quy về bài toán 3!
Ví dụ 1. Cho điểm A(0; -1; 2) và đường thẳng
1 2
:
1 1 1
+ −
= =
−
x y z
d
Lập phương trình đường ∆ đi qua A và cắt d sao cho
a) khoảng cách từ B(2; 1; 1) đến đường thẳng ∆ là lớn nhất.
b) khoảng cách giữa ∆ và
5
':
2 2 1

−
= =
−
x y z
d là lớn nhất.
Đ/s: a)
( )
1 2
max :
1
1 1 1
; 3 2
1 2
11
min :
3 3 2
+ −

= =

− −
≤ ∆ ≤ ⇒

+ −

= =

−

x y z

d B
x y z

Ví dụ 2. Cho điểm A(1; 1; 2), đường thẳng
1 1
:
1 1 2
+ −
= =
−
x y z
d và (P): x + y + 2z – 1 = 0
Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua A sao cho
a) ∆ // (P) và khoảng cách giữa ∆ và d lớn nhất.
b)
1
': 3
1
= − +


∆ ⊥ = +


= − +

x t
d y t
z t
và khoảng cách từ điểm B(−1; 1; −1) lớn nhất? nhỏ nhất?