Góc giữa 2 mặt phẳng p1 1

Góc giữa 2 mặt phẳng bất kì trong mơ hình đa diện có đường cao chính .
Ngu Ba Ly - K65 Hust
Loại 1 : Góc giữa 2 mặt bên kề nhau của 1 khối chóp
Đặt vấn đề : Cho khối chóp có đỉnh là S , đáy là 1 đa giác A1 A2 A3 .... An , đường cao chính
của khối chóp là đoạn SH với H là hình chiếu của S lên đáy A1 A2 A3 .... An .
Tính góc giữa 2 mặt bên kề nhau ϕ ( 2 mặt bên có chung 1 cạnh bên) ( SAi Ai +1 ) và ( SAi +1 Ai + 2 )
.

Lời giải : Đầu tiên : Xác định giao tuyến của 2 mặt SAi +1
Ta sẽ tìm góc giữa 2 mặt phẳng bằng cách dựa trên định nghĩa : Tìm 2 đường thẳng lần lượt
thuộc 2 mặt phẳng tương ứng và cùng vng góc với giao tuyến , nhưng phải tìm như nào
cho chuẩn , không làm bậy được .
Qua H kẻ 1 đường thẳng vng góc với Ai +1H tại H , đường thẳng này cắt 2 mặt ( SAi Ai +1 )
và ( SAi +1 Ai + 2 ) tại các giao điểm là P và Q .
Trong mặt phẳng “giao tuyến – đường cao” ( SHAi +1 ) kẻ HK ⊥ SAi +1 với K ∈ SAi +1
Ta sẽ đi nghiên cứu mơ hình trên :
 PQ ⊥ HAi +1
 PQ ⊥ HK
HK ∈( SHAi +1 )
+) 
→ PQ ⊥ ( SHAi +1 ) 
→
SAi +1 ∈( SHAi +1 )
 PQ ⊥ SH
 PQ ⊥ SAi +1


 SAi +1 ⊥ PK
 SAi +1 ⊥ QK

Từ SAi +1 ⊥ HK ta suy ra được : SAi +1 ⊥ ( PKQ ) ⇒ 

Thế nên góc giữa 2 mặt phẳng ( SAi Ai +1 ) và ( SAi +1 Ai + 2 ) là góc giữa 2 đường thẳng :

(

)

 if PKQ
 ∈ 0;900 
ϕ PKQ
=


 PK

, có thể là : 

 if PKQ
 > 900
QK
1800 − PKQ
ϕ =

(

)

Như vậy để tìm góc này chúng ta phải đi xử lí: ∆PKQ
∆PKQ có gì đặc biệt khơng :
• KH ⊥ PQ → KH là đường cao của ∆PKQ . Mặt khác KH là đường cao là đường cao của

tam giác vuông “giao tuyến – đường cao” thế nên áp dụng hệ thức lượng ta có được :
KH =

SH .HAi +1

SH 2 + HAi +12

• Với những dữ liệu mà đề cho trên đáy thì mình sẽ xử lí được các cạnh PH ; QH hay nói

cách khác là cạnh PQ
Như vậy sử dụng thêm định lý Pythagore và định lí Cosin chúng ta có thể dễ dàng xác định
 trong ∆PKQ , từ đó có thể tính được góc ϕ
được góc PKQ
Như vậy trong dạng tốn này ta chỉ cần đi xử lí 3 mặt phẳng :
𝑚𝑚ặ𝑡𝑡 𝑝𝑝ℎẳ𝑛𝑛𝑛𝑛 đá𝑦𝑦
�𝑚𝑚ặ𝑡𝑡 𝑝𝑝ℎẳ𝑛𝑛𝑛𝑛 "giao tuyến - đường cao": ( SHAi +1 )
𝑚𝑚ặ𝑡𝑡 𝑝𝑝ℎẳ𝑛𝑛𝑛𝑛 "𝑐𝑐ℎứ𝑎𝑎" 𝑔𝑔ó𝑐𝑐 ∶ ( PKQ )


Như vậy mình xây dựng các bước như sau :
Bước 1 : Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng sau đó xác định giao điểm của giao tuyến đó
với đáy .
Bước 2 : Trên mặt phẳng đáy : Qua chân đường cao chính của khối chóp , vẽ đường thẳng
đi qua chân đường cao và vng góc với đoạn thẳng nối chân đường cao chính với giao
điểm vừa xác định .
Bước 3: Trong mặt phẳng “giao tuyến – đường cao” , vẽ đường cao kẻ từ chân đường cao
chính đến giao tuyến .
Bước 4 : Xử lí tam giác “chứa” góc .

Một số ví dụ áp dụng
=
AB =
2; AC
5.
VD1: Cho chóp S . ABC có đáy là tam giác ∆ABC là tam giác vng tại A có
Hình chiếu của S lên đáy là trung điểm H của cạnh BC . Cho biết SH = 3 . Tính góc giữa hai mặt
phẳng ( SAB ) và ( SAC ) ?

Lời giải : (Sau khi đọc kĩ lí thuyết)  Này gọi là kĩ năng : “Phẳng hóa đối tượng”
Xử lí 3 mặt phẳng :


BC
7
= BH
= CH
= =
 AH
2
2




• =
PH AH .tg BAH
= AH .tg HBA
=



 AH

=
=
.tgCAH
=
.tg HCA
QH AH


=
• KH
70
4
70
10

SH . AH
3 301
=
2
2
43
SH + AH

2009
 2
2
2

 PK = PH + HK = 344

931

•  KQ 2 = QH 2 + HK 2 =
430

343
 2
2
 PQ =( PH + QH ) = 40

2
2
2
 PK + QK − PQ < 0
→ c=
os PKQ
2.PK .QK

→ ϕ= 1800 − arccos PKQ

(

)


Ví dụ 2 : Cho chóp S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) . Đáy ABCD là hình thang vng tại A và B có :
=
AB 5;=

BC 8;=
AD 3 . Góc ( SC , ( ABCD ) ) = 450 . Gọi α = ( ( SCB ) , ( SCD ) ) . Tính tgα ?

Phẳng hóa đối tượng :

• AC =

AB 2 + BC 2 =

=
89 → SA = AC.tg SCA

89 =
• AK


 5 89
=
.tg BCA
 AP AC

8
•
 AQ = PQ. AD = AP + AQ . AD.BC → AQ = 3 89
(
)

PC
AC 2
13

SA. AC
=
SA2 + AC 2

178
2


 PK 2 = AK 2 + AP 2 = 5073

64

16643

• QK 2 = AK 2 + AQ 2 =
338

2

 89 89 
2
2
 PQ =( AP + AQ ) =
 104 



=
→ cos PKQ

k >0
0


⇒ tg=
=
α tg PKQ

1
89 2
−=
1
2
74
ko