tài liệu mờ con lắc ngược

CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.2. Tổng quan về con lắc ngược trên xe
Con lắc ngược trên xe là loại robot ứng dụng một trong những vấn đề quan trọng
trong lý thuyết điều kiển và được đề cập nhiều trong các tài liệu về điều khiển. Mơ hình
thực tế con lắc ngược trên xe có thể kiểm chứng lại các lý thuyết điều khiển. Tuy nhiên
con lắc ngược trên xe cũng đặt ra nhiều thách thức đối với lý thuyết điều khiển cũng như
các thiết bị điều khiển chúng. Vì vậy, đây là hệ thống phi tuyết nên vấn đề điều khiển
con lắc ổn định gặp nhiều khó khăn.

Hình 2.2. Sơ đồ lực tác dụng vào hệ thống con lắc ngược trên xe

Trong đó:
-

F: lực tác động vào xe (N).

-

M: khối lượng của xe (kg).

-

m: khối lượng thanh con lắc (kg).

-

l: chiều dài thanh con lắc (m).

-

g: gia tốc trọng trường ( m s 2 ).

-

θ : góc lệch giữa con lắc và phương thẳng đứng (rad).

-

C1 : khoảng cách từ trục đến điểm trọng tâm thanh con lắc (m).

-1-


Hệ thống con lắc ngược trên xe bao gồm xe có khối lượng M di chuyển theo
phương ngang và để xe di chuyển được thì sẽ cần một ngoại lực (F) tác động vào xe để
di chuyển theo phương ngang và trên xe có gắn một con lắc ngược. Con lắc ngược trong
đề tài này là thanh đồng chất có khối lượng m, chiều dài l và con lắc này có thể quay
quanh tự do, quanh một điểm cố định nằm trên xe.
Với một hệ thống điều khiển, vấn đề đặt ra đầu tiên bao giờ cũng là phải xác định
được mơ hình mơ tả hệ thống chính xác hành vi của đối tượng đang nghiên cứu. Xây
dựng mơ hình mơ tả thì phải dựa vào mơ hình tốn học của hệ thống, việc xây dựng mơ
hình tốn hệ thống giúp chúng ta hiểu được các đặc tính của mơ hình và dễ dàng hơn
trong việc thiết kế bộ điều khiển cho đối tượng đó. Mơ hình tốn học cần thiết để tính
tốn thơng số bộ điều khiển và mơ phỏng hệ thống. Mơ hình tốn học của hệ thống được
xây dựng trên cơ sở phương pháp Euler–Lagrange.
2.2.1. Mơ hình tốn học con lắc ngược trên xe
Theo phương trình Euler-lagrange, ta có:
 L 
d • 
  q  L


−
=Q
dt
q
L = T −V

(2.1)
(2.2)

Trong đó:
-

T: động năng.

-

V: thế năng.

-

Q: tổng ngoại lực.

- q: biến trạng thái, trong hệ con lắc ngược trên xe có 2 biến trạng thái là x (vị trí
xe) và θ (góc lệch của thanh con lắc).
Động năng của con lắc gồm động năng tịnh tiến của con lắc và động năng quay
của con lắc.
Động năng tịnh tiến của con lắc:
T11 =

1
mv12
2

-

m: khối lượng thanh con lắc.

-

v1 : vận tốc tịnh tiến của điểm trọng tâm trên thanh con lắc.
Động năng quay của con lắc:

-2-

(2.3)


1 •2
T12 = J1 
2
-

J1 : mơ men qn tính.

-

θ : vận tốc góc của con lắc.

(2.4)

•

Với thanh thẳng đồng chất, chiều dài l, khối lượng m, trục quay ở 1 đầu thanh thì
mơ men qn tính được tính với công thức:
1
J1 = ml 2
3

(2.5)

Đặt điểm trọng tâm trên thanh con lắc chiếu vng góc theo phương x là r1x .
điểm trọng tâm trên thanh con lắc chiếu vng góc theo phương y là r1y .
Bình phương vận tốc con lắc ngược:
•

•

v12 = r12 + r2 2

(2.6)

•

-

r1 : vận tốc điểm trọng tâm thanh con lắc chiếu vng góc theo phương x.

-

r2 : vận tốc điểm trọng tâm thanh con lắc chiếu vng góc theo phương y.

•

Vận tốc điểm trọng tâm của con lắc ngược theo phương x và phương y:


r1x = C1 sin  + x


r1 y = C1 cos
Đạo hàm hệ phương trình theo thời gian, ta được:
•
•
•
r
=
C

sin

+
x
1
 1x
•
•
 r1 y = −C1  cos 

•

•

(2.7)

•

Từ (2.6),(2.7)  v12 = (C1  sin  + x)2 + (−C1  cos )2
•

•

•

•

 v12 = ( x 2 + 2C1  cos x+ C12  2 )

(2.8)

T1 = T11 + T12

(2.9)

Động năng con lắc:

1
1 •
Từ (2.3),(2.4)  T1 = mv12 + J1  2
2

2
-3-


•
•
•
•
1
1 •2
2
2 2
 T1 = m( x + 2C1  cos x+ C1  ) + J1 
2
2

(2.10)

Động năng của xe:
T2 =

-

M: khối lượng xe.

-

v 2 : vận tốc xe.

1

Mv2 2
2

(2.11)

•

Vận tốc xe v2 = x
•
1
(2.11)  T2 = M x 2
2

(2.12)

Tổng động năng của hệ thống:

T = T1 + T2
(2.10),(2.12)  T =

(2.13)

•
•
•
•
•
•
1
1

1
m( x 2 + 2C1  cos x + C12  2 ) + J1  2 + M x 2
2
2
2

(2.14)

Thế năng của hệ thống chỉ có thế năng con lắc vì xe di chuyển theo phương ngang
x nên thế năng xe bằng 0:
V = mgr1y

 V = mgC1 cos
•
•
•
•
•
•
1
1
1
Từ (2.2)  L = [ m( x 2 + 2C1  cos x+ C12  2 ) + J1  2 + M x 2 ] − mgC1 cos
2
2
2

(2.15)
(2.16)

Hệ phương trình tốn học theo phương pháp Euler-Lagrange:

L
 d L
 dt ( • ) −  = 0



 d ( L ) − L = F
 dt •
 x x


(2.17)

Tính từng phần của hệ phương trình (3.17) trên:
L
•

x

•

•

= ( M + m) x + mC1  cos 
L
=0
x

-4-

(2.18)

(2.19)


L
•



•

•

= mC1 cos x + ( J1 + mC12 )

(2.20)

• •
L
= mgC1 sin  − mC1 sin  x 


(2.21)

•
••
••

d L
( • ) = ( M + m) x + mC1  cos − mC1  2 sin 
dt  x

(2.22)

••
• •
••
d L
( • ) = mC1 x cos − mC1  x sin  + ( J1 + mC12 )
dt  

(2.23)

Phương trình trạng thái hệ thống với ngõ vào là lực F tác động lên xe.
Từ (2.22) và (2.19) ta được:
•
••
••
d L L
( •)−
= ( M + m) x + mC1 cos  − mC1  2 sin 
dt  x x

(2.24)

Từ (2.23) và (2.21) ta được:
••
••

d L
L
( • )−
= mC1 x cos + ( J1 + mC12 ) − mgC1 sin 
dt  


(2.25)

Thay (2.24), (2.25) vào hệ phương trình Euler-Lagrange (2.17) ta được hệ phương
trình mơ tả hệ thống:
•
••
••

2
(
M
+
m
)
x
+
mC
cos


−
mC


sin  = F

1
1

••
••
mC x cos  + ( J + mC 2 ) − mgC sin  = 0
1
1
1
 1

(2.26)

Biến đổi, áp dụng qui tắc Cramer ta có:
•
••
••

2
(
M
+
m
)
x
+
mC
cos



=
F
+
mC

sin 

1
1

••
••
mC x cos  + ( J + mC 2 ) = mgC sin 
1
1
1
 1

 M +m
 mC cos
 1

Ta có:

••
•
mC1 cos   x   F + mC  2 sin  
1


=
J1 + mC12   ••   mgC sin  
1

  

•


2
F
+
mC

sin  mC1 cos 
1

 mgC sin 
J1 + mC12 
••
1


x=
 M + m mC1 cos 

2
 mC1 cos J1 + mC1 

-5-

(2.27)

(2.28)

(2.29)


•
2

( F + mC1  sin  )( J1 + mC12 ) − (mC1 cos )(mgC1 sin  )
x=
( M + m)( J1 + mC12 ) − (mC1 cos )(mC1 cos )
••

•
2

( F + mC1  sin  )( J1 + mC12 ) − m2 gC12 cos sin 
x=
( M + m)( J1 + mC12 ) − m2C12 cos 2 
••

•
 M +m

F + mC1  2 sin  


 mgC1 cos
••
mgC1 sin  

=
 M + m mC1 cos 

2
 mC1 cos J1 + mC1 

Ta có:

••

 =
••

 =

(2.30)

(2.31)

•
2

−( F + mC1  sin  )(mgC1 cos  ) + ( M + m)(mgC1 sin  )
( M + m)( J1 + mC12 ) − (mC1 cos  )(mC1 cos  )
•
2

−( F + mC1  sin  )(mgC1 cos  ) + ( M + m)(mgC1 sin  )
( M + m)( J1 + mC12 ) − m2C12 cos 2 

(2.32)

2.2.2. Mơ hình tốn học động cơ DC

Hình 2.3. Sơ đồ mạch điện tương đương động cơ DC

Trong mơ hình con lắc ngược trên xe thì động cơ DC là 1 phần của mơ hình và
yếu tố góp phần của động cơ vào mơ hình rất lớn, nên đây cũng là lý do để thiết lập nên
mơ hình toán học cho động cơ DC.
Áp dụng định luật Kirchhoffs 2 cho sơ đồ trên ta được:
Vin = Rm * I m + Lm *

•
d Im
d Im
+  = Rm * I m + Lm *
+ K m *
dt
dt

Ta có Tm = K * I m là mô men động cơ .
Đặt K = K m  I m =

Tm
Km

-6-

(2.33)


Giả sử ảnh hưởng của L m là không đáng kể, khi động cơ một chiều có cơng suất
bé. Phương trình (2.33) được viết thành:

Vin

•
Tm
* Rm + K m *
Km

•

K m *Vin − K m 2 *
 Tm =
Rm
Phương trình cân bằng mơ men trên trục động cơ:

Tm = T1
•

K m *Vin − K m 2 *

= F *r
Rm
•

K 2*x
K m *Vin − K m 2 * m
r

= F *r
Rm
•

Km
K 2 *x
F=
*Vin − m 2
Rm * r
Rm * r

(2.34)

CHƯƠNG 4. KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN
4.1. Mô phỏng hệ thống con lắc ngược trên xe
Trong việc thiết kế mơ hình, việc khảo sát chuyển động của hệ vật là rất cần thiết
bởi vì nếu có thể tính tốn được gia tốc và vận tốc của chúng và quan trọng hơn là xây
dựng mơ phỏng chuyển động của chúng để từ đó có sẽ được tối ưu.
4.1.1. Xây dựng mơ phỏng hệ thống con lắc ngược trên xe
Mơ hình được xây dựng trên cơ sở phương trình (2.30), (2.32), (2.34):
•
 ••
2
(
F

+
mC

sin  )( J1 + mC12 ) − m 2 gC12 cos  sin 
1
 x=

( M + m)( J1 + mC12 ) − m 2C12 cos 2 

•
•• −( F + mC  2 sin  )(mgC cos ) + ( M + m)(mgC sin  )
1
1
1
 =
2
2
2
2
( M + m)( J1 + mC1 ) − m C1 cos 


•

Km
Km2 * x
*Vin −
F =
Rm * r
Rm * r 2



-7-


Thiết kế điều khiển con ngược trên xe dùng simulink/matlab:

Hinh 4.1. Khối con lắc ngược trên xe

Hình 4.2. Hệ thống con lắc ngược trên xe
••

Với khối Fcn1 là hàm của θ , ta nhập:
((-u(5)+m*C1*(u(2))^2*sin((u(1))))*m*C1*cos(u(1))+(MM+m)*m*g*C1*sin(u(1)))
/((MM+m)*(J1+m*(C1)^2)-m^2*(C1)^2*(cos(u(1)))^2)
••

Với khối Fcn là hàm của x , ta nhập:
((u(5)+m*C1*(u(2))^2*sin(u(1)))*(J1+m*(C1)^2)m^2*(C1)^2*g*sin(u(1))*cos(u(1)))/((MM+m)*(J1+m*(C1)^2)m^2*(C1)^2*(cos(u(1)))^2)
-8-


Với khối Phuong_trinh_dong_luc_hoc_dong_co_DC của F, ta nhập:
(u(1)*(Km/(Rm*r)))-(u(2)*(Km^2/(Rm*((r)^2))))
Những khối dùng trong hình (4.2.):
- u: là khối in tạo tín hiệu đầu vào cho hệ thống con, trong hệ thống này thì khối in
với tên u đảm nhiệm việc mô tả việc cấp nguồn cho hệ thống.
- Fcn1, Fcn, Phuong_trinh_dong_luc_hoc_dong_co_DC: khối fcn dùng để mơ tả
một hàm tốn học trong matlab, trong hệ thống thì khối này đảm nhiệm mơ tả hàm tốn
••

••

học x , θ , F.
-

Integrator, Integrator1, Integrator2, Integrator3: là những khối tính tích phân.

-

Mux: là khối dùng để tổng hợp các tín hiệu vào thành một tín hiệu tổng ở đầu ra.

- Vin, F, teta, teta_dot, x, x_dot: là khối out dùng tạo tín hiệu đầu ra cho 1 hệ thống
con đồng thời gửi tín hiệu đến matlab.
4.1.3. Thiết kế bộ điều khiển
Bộ điều khiển PID chỉ có thể điều khiển một thông số của hệ thống, để điều khiển
được góc con lắc và vị trí của xe con lắc tại cùng một thời điểm thì cần hai bộ điều khiển
PID. Trong đó một thơng số được xem là như là thơng số chính và được điều khiển trực
tiếp từ động cơ DC, trong khi đó thơng số cịn lại được áp vào tác động của điểm tham
chiếu của thơng số chính. Hai tín hiệu đầu vào được đưa vào bộ điều khiển PID và đầu
ra là tín hiệu điện vào động cơ DC. Để con lắc ổn định cần sử dụng một bộ điều khiển
hồi tiếp. Việc sử dụng bộ điều khiển hồi tiếp, dữ liệu ngõ ra sẽ có thêm nhiều thơng tin
để mơ tả hệ thống.

Hình 4.10. Mô tả bộ điều khiển PID hệ thống con lắc ngược trên xe

Giá trị hồi tiếp của góc lệch con lắc so với phương thẳng đứng được so sánh với
gía trị đặt. Bộ điều khiển PID_2 sẽ tính tốn giá trị sai lệch này và quyết định giá trị điện
áp đặt lên động cơ con lắc. Ban đầu, tiến hành thay đổi thông số bộ điều khiển PID_2
để xác định đáp ứng góc lệch θ con lắc. Sau đó, thiết lập sơ đồ khối điều khiển con lắc

ổn định với hai bộ điều khiển PID có hai biến hồi tiếp là góc θ và vị trí xe x. Sơ đồ này
-9-


được gọi là bộ điều khiển PID thoả hiệp từ hai bộ điều khiển PID để quyết định giá trị
điện áp đặt lên động cơ DC.

Hình 4.11. Mơ phỏng con lắc ngược trên xe

Để thiết kế được bộ điều khiển PID hai biến cần phải dựa trên bộ điều khiển PID
hồi tiếp góc θ (PID_2) để điều khiển góc lệch và thiết kế thêm bộ điều khiển PID hồi
tiếp (PID_1) để điều khiển vị trí xe. Với bộ điều khiển PID hai biến không cần phải thay
đổi các thông số của bộ PID_1 mà chỉ thông số của bộ PID_2 bằng cách thử và sai nhiều
lần với các bộ thông số Kp, Ki, Kd khác nhau.

- 10 -