Về c3 môđun

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM


LÊ THỊ MINH THUYỀN

VỀ C3-MƠĐUN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

ĐÀ NẴNG – NĂM 2018


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM


LÊ THỊ MINH THUYỀN

VỀ C3-MÔĐUN
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 8460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
GS. TS. LÊ VĂN THUYẾT

ĐÀ NẴNG – NĂM 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những kết quả nêu trong luận văn "Về C3môđun"là trung thực, các nội dung có dẫn chứng cụ thể, rõ ràng.
Tác giả

Lê Thị Minh Thuyền




NHỮNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

Ký hiệu:
N
Z
Q, R
R
M ≤N
M ≤⊕ N
K ≤e M
KM
E(M )
J(R)
M ⊕N
M ×N
M∼
=N
M od − R
End(M )

Nghĩa ký hiệu
tập hợp các số tự nhiên
vành các số nguyên
trường các số hữu tỷ, số thực (tương ứng)
vành có đơn vị 1 6= 0
M là môđun con của N
M là hạng tử trực tiếp của N
K là môđun con cốt yếu trong M
K là môđun con đối cốt yếu trong M
bao nội xạ của M
căn Jacobson của vành R
tổng trực tiếp của hai mơđun M và N
tích trực tiếp hai môđun M và N
M đẳng cấu với N
tập R các môđun nội xạ
vành các tự đồng cấu của M


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN
TÓM TẮT ĐỀ TÀI
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ

4

1.1. Các định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Các kết quả liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
CHƯƠNG 2. VỀ C3-MƠĐUN

15

2.1. C3-Mơđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
P
2.2. -C3-môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3. Bao C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4. Phủ C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết môđun rất quan trọng khi nghiên cứu Đại số và còn nhiều
vấn đề mới cần được quan tâm nghiên cứu. Chúng ta biết rằng một lớp
môđun quan trọng trong M od − R đó là mơđun nội xạ. Một mơđun phải

Q trên vành R được gọi là nội xạ nếu cho mọi đơn cấu i từ NR vào MR ,
mọi đồng cấu f từ N vào Q, luôn tồn tại đồng cấu g từ M vào Q sao cho
gi = f . Mơđun nội xạ sẽ suy ra các tính chất sau mà ta lần lượt gọi là
điều kiện (C1), (C2), (C3) được định nghĩa như sau:
(C1): Tất cả các môđun con của M đều cốt yếu trong một hạng tử
trực tiếp của M .
(C2): Tất cả các môđun con đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của

M cũng là hạng tử trực tiếp của M .
(C3): Nếu M1 và M2 là hạng tử trực tiếp của M mà M1 ∩ M2 = 0,
L
thì M1 M2 cũng là hạng tử trực tiếp của M .
Một mơđun nghiệm đúng tính chất Ci (i = 1, 3) sẽ được gọi là môđun

Ci (hay Ci-môđun). Nếu môđun M nghiệm đúng với cả hai điều kiện (C1)
và (C2) thì M được gọi là mơđun liên tục. Nếu M nghiệm đúng cả (C1)
và (C3), thì nó được gọi là môđun tựa liên tục. Mỗi môđun nội xạ là liên
tục và, mỗi C2-mơđun là C3-mơđun và nói chung, khơng phải C3-mơđun
nào cũng là C2-mơđun. Vì vậy ta có:
Nội xạ ⇒ liên tục ⇒ tựa liên tục
Ngồi ra, C3-mơđun cịn có mối quan hệ chặt chẽ với các mơđun đều,
mơđun khơng phân tích được, mơđun nửa đơn, mơđun đối ngẫu Rickart,
mơđun có SSP, .... Nhằm tìm hiểu về các vấn đề về môđun đã giới thiệu ở
trên, tôi chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là: “VỀ C3-MÔĐUN”


2

2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về C3 môđun và các môđun liên quan, các vành liên
quan.
- Tổng quan các kết quả từ các các bài báo, sách và sau đó chứng
minh, trình bày lại vấn đề một cách có hệ thống.
- Tìm cách mở rộng một số kết quả (nếu được).
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu về định nghĩa, tính chất của C3-môđun,

P
-C3-môđun,

phủ C3, bao C3.
- Nghiên cứu mối liên hệ của các mơđun đều, mơđun khơng phân
tích được, mơđun nửa đơn, mơđun Rickart đối ngẫu và mơđun có SSP với
C3-mơđun.

- Đặc điểm vành nửa đơn, V -vành, vành di truyền phải và vành FGC
phải chính quy liên quan đến C3-mơđun.
P
- Mối liên quan của -C3-môđun với vành Nơte phải, môđun nội xạ.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết: Dựa trên cơ sở đã biết về môđun, môđun xạ
ảnh, môđun nội xạ,... cùng với nghiên cứu các tài liệu đã công bố đặc biệt
là các bài báo khoa học liên quan đến Ci-môđun, i = 1, 3.
- Nghiên cứu thực tiễn: Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn. Trao
đổi thơng qua xêmina của nhóm.
5. Cấu trúc luận văn
Nội dung luận văn đượcchia thành 2 chương
Chương 1: Kiến thức cơ sở
Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả liên quan đến
môđun để làm cơ sở cho chương sau


3

1.1 Các định nghĩa
1.2 Các kết quả liên quan
Chương 2: Về C3-mơđun
Chương này trình bày nội dung chính của luận văn, trình bày về
P
C3-mơđun, -C3-mơđun vành C3 và bao C3, các môđun và vành liên
quan.
2.1 C3-môđun
P
2.2
−C3-môđun

2.3 Bao C3
2.4 Phủ C3
Do thời gian thực hiện có hạn, năng lực bản thân còn nhiều hạn chế
nên dù em đã rất cố gắng tuy nhiên vẫn khơng tránh khỏi những thiếu
sót. Em kính mong q Thầy/ Cơ, bạn đọc thơng cảm và góp ý cho luận
văn của em được hoàn chỉnh hơn.


4

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này chúng tôi xin trình bày một số khái niệm và kết
quả liên quan để làm cơ sở cho chương sau. Các kết quả mà tơi trình bày
dưới đây được trích dẫn từ các tài liệu [1], [2], [3], [4], [5], [7].

1.1. Các định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 1.1.1. (1) Một mơđun MR được gọi là hữu hạn sinh
nếu tồn tại một tập hữu hạn {a1 , ..., an } ⊂ M sao cho

M = a1 R + ... + an R
tức là M có tập sinh hữu hạn.
(2) Một mơđun MR được gọi là hữu hạn đối sinh nếu mỗi tập hợp
T
{Ai | i ∈ I} các môđun con của M thỏa mãn Ai = 0 đều tồn tại một
I
T
tập con hữu hạn I0 ⊂ I sao cho Ai = 0.

I0

Định nghĩa 1.1.2. (1) R-môđun phải M được gọi là Nơte nếu mọi
tập khác rỗng các mơđun con của nó đều có phần tử tối đại.
(2) Vành R được gọi là Nơte phải nếu RR là Nơte.
Ví dụ 1.1.3. (1) Vành Z là Nơte vì mọi mơđun con của nó đều hữu
hạn sinh tức là có dạng nZ, n ∈ N .
(2) Vành đa thức K[x] , với K là trường, là Nơte vì khi K là trường
tức là Nơte, áp dụng định lý cơ sở Hinbert ta có ngay điều phải chứng
minh .
(3) Vành đa thức đếm được biến A[x1 , x2 , ...] khơng là vành Nơte vì
dãy tăng các iđêan

hx1 i < hx1 , x2 i < ... < hx1 , x2 , ..., xn i... < ...
không dừng.


5

(4) Với p ∈ P (các số nguyên tố). Đặt
Qp = {a/pi , a ∈ Z, i ∈ N ≤ Q}.
Ta định nghĩa Zp∞
Z ≤ Qp , Zp∞ = Qp /Z.
Cụ thể là
Zp∞ = {q + Z | pk (q + Z) = 0, k nào đó của N}
Zp∞ = {q + Z | pk q ∈ Z, k nào đó của N}.
Nếu xem như Z-mơđun thì Zp∞ khơng là Nơte.
Thật vậy, mọi môđun con K của Zp∞ là hữu hạn, nghĩa là tồn tại
1
n ∈ N sao cho K = Z( n + Z). Do đó, lấy K là môđun con thực sự của

p
1
1
Zp∞ và chọn n ∈ N sao cho n ∈ K nhưng n+1 + Z không nằm trong K .
p
p
k
Với mọi phần tử m + Z ∈ K với k ∈ Z, p không chia hết cho k , và m ∈ N,
p
chúng ta có thể tìm được r, s ∈ Z với kr + pm s = 1. Điều này cho ta
1
kr + pm s
k
+Z=
+ Z = r( m + Z) ∈ K.
m
m
p
p
p
1
Theo cách chọn n, điều này có nghĩa là m ≤ n và K = Z n + Z.
p
X
[
1
1
Zp∞ =
Z( n + Z) =
Z( m + Z) ≤ Q/Z.

p
p
n∈N
n∈N
1
Đặt k := Z( i + Z), thì với mỗi mơđun con Ki , Kj của Zp∞ , Ki ≤ Kj hay
p
Kj ≤ Ki . Trong Zp∞ tồn tại các dãy tăng vô hạn các môđun con. Mọi dãy
giảm các môđun con là hữu hạn K1 ≤ K2 ≤ K3 ≤ ....
Định nghĩa 1.1.4. Căn Jacobson của một môđun MR là giao tất cả
các môđun con cực đại của M và ký hiệu là Rad(M ). Khi M = R thì

Rad(RR ) = Rad(R R) và ký hiệu là J nghĩa là căn Jacobson của vành R.
Ví dụ 1.1.5. (1) Cho p là một số nguyên tố, k là một số nguyên
dương và M = Z/pk Z . Khi đó Rad(M ) = pZ/pk Z.
(2) Cho số nguyên n với phân tích tiêu chuẩn n = pα1 1 pα2 2 ...pαk k . Khi


6

đó

Rad(Zn ) =

k
\

(pi Z/nZ) = (

i=1

k
\

pi Z)/nZ = p1 p2 ...pk /nZ.

i=1

Định nghĩa 1.1.6. (1) Một môđun K của M là cốt yếu trong M ký
hiệu K ≤e M trong trường hợp với mọi môđun con

L ≤ M, K ∩ L = 0
suy ra L = 0.
(2) Một môđun con K của M được gọi là đối cốt yếu trong M , ký
hiệu K  M trong trường hợp với mọi môđun con

L ≤ M, K + L = M
suy ra L = M .
Ví dụ 1.1.7. Trong Z, chỉ có 0 là iđêan đối cốt yếu trong Z. Tuy
nhiên mọi iđêan khác 0 trong Z đều là cốt yếu, vì cho hai iđêan khác 0 tùy
ý aZ, bZ thì 0 6= ab ∈ aZ ∩ bZ.
Định nghĩa 1.1.8. (1) Môđun MR được gọi là môđun con đơn nếu

M 6= 0 và chỉ có đúng hai mơđun con (là 0 và M ).
(2) Cho (Tα )α ∈ A là một tập các môđun con đơn của M . Nếu M là
tổng trực tiếp của các môđun con đơn này, nghĩa là
M
Tα
M=
A

thì mơđun M được gọi là nửa đơn.
(3) Vành R được gọi là nửa đơn phải (trái) nếu môđun RR (R R) nửa
đơn.
Người ta đã chứng minh được vành R là nửa đơn phải khi và chỉ khi
R là nửa đơn trái. Vì vậy ta chỉ cần gọi R nửa đơn mà khơng cần đề cập
đến phía.
Ví dụ 1.1.9. (1) Mỗi không gian vectơ V = VK trên trường K là
nửa đơn
X
M
VK =
xK =
xK
x∈B

x∈B


7

trong đó B là cơ sở của V . Dĩ nhiên xK đơn đối với x 6= 0, x ∈ V .
(2) ZZ khơng nửa đơn. Ngồi ra QZ cũng khơng nửa đơn vì trong nó
khơng có mơđun con đơn nào.
Định nghĩa 1.1.10. (1) Cho UR là một môđun. Lúc đó U được gọi
là nội xạ trong trường hợp với mọi đơn cấu f : KR → MR , với mọi KR , MR
và mỗi đồng cấu v : KR → UR tồn tại một R- đồng cấu v : M → U sao
cho v.f = v hay biểu đồ sau giao hốn

UO a

v¯

v
f

/M
/K
0
(2) Cho PR là một mơđun. Lúc đó P được gọi là xạ ảnh trong trường hợp
với mọi toàn cấu β : B → C , với mọi B, C và mỗi đồng cấu ψ : P → C
tồn tại một đồng cấu λ : P → B sao cho ψ = β.λ hay biểu đồ sau giao
hốn
P
λ

B



~
β

ψ

/C

/

0

Ví dụ 1.1.11. (1) Z khơng là Z-mơđun nội xạ, vì đồng cấu

f : 2Z → Z
2n 7→ n
khơng thể mở rộng đến đồng cấu Z → Z.
(2) QZ là nội xạ vì xem Q như là Z-mơđun thì Q là chia được.
(3) Z là Z-môđun xạ ảnh. Tuy nhiên Z-môđun Zn không là xạ ảnh.
Để mở rộng định nghĩa mơđun nội xạ ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.1.12. Cho M , N là các R-mơđun phải. Khi đó:
(1) M được gọi là N -giả nội xạ nếu mỗi mơđun con A của N thì mọi
đơn cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M . M được
gọi là giả nội xạ nếu M là M -giả nội xạ.
(2) M được gọi là N -giả nội xạ cốt yếu nếu với mỗi môđun con cốt


8

yếu A của N thì mọi đơn cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu
g : N → M . M được gọi là tự giả nội xạ cốt yếu nếu M là M -giả nội xạ
cốt yếu.
Ví dụ 1.1.13. Ta có Zp3 là Zp2 -giả nội xạ cốt yếu.

p2 Z
pZ
Z
=
0
,
và

=
p2 Z
p2 Z
p2 Z
Z2p nên trong các Z-đơn cấu từ các môđun con của Z2p đến Z3p , ta chỉ xét
pZ
Z-đơn cấu f : 2 → Z3p . Giả sử f (p) = b ∈ Zp3 , khi đó ta có
pZ
f (p.p) = f (0) = 0 = p.b.

Chứng minh. Vì mơđun Z2p chỉ có 3 môđun con là

Vậy, b = 0 hoặc b = p2 . Vì f là đơn cấu nên b = p2 và như vậy chỉ có một
pZ
đơn cấu duy nhất f : 2 → Zp3 là đơn cấu xác định bởi: f (0) = 0 = pb
pZ
2
và f (p) = p . Bây giờ ta chọn ánh xạ g : Zp2 → Zp3 xác định g(a) = pa
pZ
với mọi a ∈ Zp2 . Khi đó, g là một Z-đồng cấu. Hơn nữa, với x ∈ 2 thì
pZ
x = mp với m = 0, 1, ..., p − 1. Khi đó

g(x) = mp2 = f (x).
Từ đó suy ra, g là một mở rộng của đồng cấu f . Vì vậy, Zp3 là Zp2 -giả nội
xạ cốt yếu.
Định nghĩa 1.1.14. Môđun A 6= 0 được gọi là đều nếu mọi môđun
con khác 0 của A là cốt yếu trong A.
Ví dụ 1.1.15. (1) Mọi môđun con khác 0 và mở rộng cốt yếu của
môđun đều là đều.

(2) Môđun đơn là môđun đều.
(3) Trường các thương của miền giao hoán R là R-môđun đều.
Định nghĩa 1.1.16. Một môđun M được gọi là N-C2 nếu có bất kỳ
mơđun con N 0 ≤ N , với N 0 ∼
= M 0 ≤⊕ M thì N 0 ≤⊕ N.
Định nghĩa 1.1.17. Một mơđun M có tính chất tổng số hạng, SSP
nếu hai hạng tử trực tiếp bất kỳ của M là một hạng tử trực tiếp của M .
Định nghĩa 1.1.18. Một môđun M được gọi là đối ngẫu Rickart


9

nếu với mỗi ϕ ∈ End(M ) , ϕ(M ) là một hạng tử trực tiếp của M .
Định nghĩa 1.1.19. Một vành R gọi là vành FGC phải nếu mỗi

R-môđun hữu hạn sinh là tổng trực tiếp của các môđun con cyclic.
Định nghĩa 1.1.20. Một vành R gọi là V -vành phải nếu với mỗi

R-môđun phải đơn là nội xạ. R được gọi là vành SSI phải nếu với mỗi
R-môđun phải nửa đơn là nội xạ.
Định nghĩa 1.1.21. (1) Vành R được gọi là nửa nguyên sơ nếu vành
thương R/J(R) là nửa đơn và J(R) là lũy linh.
(2) Một vành R được gọi là hoàn chỉnh phải (trái) nếu R là vành nửa
địa phương và J(R) là T -lũy linh phải (trái).
Ta có thể chứng minh được vành nửa nguyên sơ là vành hoàn chỉnh
phải (trái) nhưng chiều ngược lại nói chung khơng đúng.
Ví dụ 1.1.22. (1) Cho vành các ma trận vuông cấp 2


Q R

R= 0 Q .
Ta có



0 R
J(R) = 0 0 ,

do đó J(R)2 = 0 và R/J(R) là vành nửa đơn. Vậy R là vành nửa nguyên
sơ.
(2) Cho vành R xác định bởi

 



Q R
a b


R= 0 Q =
0 c
a, c ∈ Q; b ∈ R .
Ta có căn Jacobson của vành R




0 R
J(R) = 0 0 ,

là một iđêan cực đại của R và J(R) lũy linh (J(R)2 = 0). Bởi vậy, R là
nửa nguyên sơ nên R cũng là vành hoàn chỉnh phải và trái.
Định nghĩa 1.1.23. Một đồng cấu vành φ : P → M được gọi là phủ
xạ ảnh của R-môđun phải nếu P là xạ ảnh, φ là một toàn cấu, và ker(φ)
là đối cốt yếu trong P .


10

Khơng phải mơđun nào cũng có phủ xạ ảnh nên vành hồn chỉnh và
mọi mơđun có phủ xạ ảnh có mối liên hệ sau:
Định lý 1.1.24. Vành R là hoàn chỉnh phải nếu mỗi R-mơđun phải
có một phủ xạ ảnh.
Chứng minh. Xem [2, 2.2.8].
Định nghĩa 1.1.25. Vành R được gọi là di truyền phải (nửa di
truyền phải) nếu mỗi iđean phải hữu hạn sinh là xạ ảnh.
Định nghĩa 1.1.26. Vành R được gọi là vành chính quy (theo nghĩa
Von Neumann) nếu với mỗi a ∈ R thì ln tồn tại b ∈ R sao cho a = aba.
Ví dụ 1.1.27. (1) Mọi trường đều là vành chính quy vì với mọi a 6= 0,
ta có thể lấy b = a−1 thõa mãn aba = aa−1 a = a.
(2) Ma trận Mn (K) cũng là vành chính quy vì với mọi A ∈ Mn (K)
với rank(A)
= n. Khi đó tồn tại các ma trận khả nghịch U, V sao cho

I 0
A = U 0 0 V . Đặt B = V −1 U −1 , khi đó ta có







I 0
I 0
I 0
−1 −1
ABA = U 0 0 V V U U 0 0 V = U 0 0 V = A.
Định nghĩa 1.1.28. Cho M là R-mơđun phải. Đơn cấu µ : M → Q
được gọi là bao nội xạ đối với M nếu Q là mơđun nội xạ cịn µ là đơn cấu
cốt yếu.
Về mặt kí hiệu đơi khi ta viết I(M ), E(M ) để chỉ bao nội xạ của
mơđun M .
Ví dụ 1.1.29. Cho ι : ZZ → QZ là bao nội xạ đối với ZZ vì ι là đơn
cấu cịn QZ là nội xạ (chia được), ngồi ra ZZ ≤ QZ do ∀q ∈ Q, q 6= 0, q =
p/r, ∃r ∈ Z sao cho r 6= 0, rq = p ∈ Z.
Định nghĩa 1.1.30. Cho M là R-mơđun phải, và S = EndR (M ).
Khi đó M được gọi là môđun đối ngẫu Rickart nếu ∀ϕ ∈ S, ϕ(M )ϕ =
Imϕ = eM với e2 = e ∈ S .
Ví dụ 1.1.31. (1) Mọi mơđun nội xạ trên vành di truyền phải là đối


11

ngẫu Rickart.
(2) Mọi môđun nửa đơn là môđun đối ngẫu Rickart.
Định nghĩa 1.1.32. Cho MR và N ≤ M . N được gọi là hạng tử
trực tiếp của M nếu tồn tại môđun con P của M sao cho M = N ⊕ P .
Lúc đó ta nói P là môđun con phụ của M .
Từ định nghĩa ta suy ra:

N ≤⊕ M ⇔ ∃P < M [M = N + P vàN ∩ P = 0]
Ví dụ 1.1.33. (1) Cho M là một khơng gian vectơ. Lúc đó mọi khơng
gian con của M đều có khơng gian con phụ.
(2) Nói chung khơng phải mọi mơđun con của một mơđun đều có
mơđun con phụ, chẳng hạn ta xét Z . Lấy N = nZ với n 6= 0. Với mọi mZ,
m 6= 0 ta có mn ∈ nZ ∩ mZ nên nZ ∩ mZ 6= 0 nghĩa là nZ + mZ khơng
là tổng trực tiếp. Vậy nZ khơng có mơđun con phụ nào trong Z.
Định nghĩa 1.1.34. (C1): Tất cả các mô đun con của M đều cốt
yếu trong một hạng tử trực tiếp của M .
(C2): Tất cả các môđun con đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của
M cũng là hạng tử trực tiếp của M .
T
(C3): Nếu M1 , M2 là hạng tử trực tiếp của M mà M1 M2 = 0, thì
L
M1 M2 cũng là hạng tử trực tiếp của M .

1.2. Các kết quả liên quan
Mệnh đề 1.2.1. Một hạng tử trực tiếp của C3-môđun cũng là C3môđun.
Chứng minh. Giả sử A là C3-môđun. Gọi B là hạng tử trực tiếp của A
L
khi đó tồn tại C sao cho B
C = A. Gọi M, N là hạng tử trực tiếp của
T
L 0
L 0L
B sao cho M N = 0. Khi đó ta có M
M = B nên M
M
C=

L
L
L 0
L 0L
B C = A và N
N = B nên N
N
C = A. Do đó M, N ≤ A.
L
L
Vì A là C3-mơđun nên M
N ≤ A. Khi đó tồn tại A0 ≤ A sao cho


12

M

L

L 0
A = A. Suy ra
M
\ M
\
M M
\
0
0
(M

N) B
(A
B) ≤ (N
M
A ) B = B.

N

Mặt khác ta có ∀x ∈ B < A thì x = m+n+a0 với m ∈ M, n ∈ N, a0 ∈ A0 .
T
Do a0 = x − (m + n) ∈ B nên a0 ∈ A0 B . Suy ra
M
\ M
\
B ≤ (M
N) B
(A0 B).
Vậy B cũng là C3-môđun.
Mệnh đề 1.2.2. R là vành SSI nếu và chỉ nếu R là V -vành Nơte
phải.
Chứng minh. Đặt R là vành SSI và

I0 < I1 < I2 < ...
là dãy tăng của một iđêan phải. Vì R là V -vành phải, ta có thể tìm một
iđêan của Mk sao cho

Ik−1 ≤ Mk < Ik
và Ik /Mk là đơn. Đặt I = ∪Ik . Ta có một tồn cấu chính tắc I → I/Mk
cùng với phép chiếu

I/Mk → Ik /Mk
( vì Ik /Mk là hạng tử trực tiếp của I/Mk ) hợp thành toàn cấu

πk : I → Ik /Mk
sao cho nếu x ∈ Ij thì πk (x) = 0 với k > j . Do đó πk0 s cảm sinh từ ánh xạ

π : I → q(Ik /Mk )
từ I vào đối tích của Ik /Mk s. Mở rộng π từ ánh xạ của R vào qIk /Mk
ta thấy rằng Imπ nằm trong qnk=1 (Ik /Mk ) với số nguyên n. Vì πk (x) 6= 0
với x ∈ Ik − Mk ta thấy rằng dãy tăng nói trên có độ dài ≤ n.
Mệnh đề 1.2.3. Mỗi mơđun đối ngẫu Rickart thỏa mãn các tính chất
của vành SSP.
Chứng minh. Gọi M là môđun đối ngẫu Rickart, cho e và f là lũy đẳng
L
trong EndR (M ). Vì eM + f M = eM (1 − e)f M nên

(1 − e)f ∈ EndR (M ), (1 − e)f M = gM


13

với g = g 2 ∈ EndR (M ). Vậy

eM + f M = eM

M

L

gM ≤

M vì eg = 0

.
Mệnh đề 1.2.4. Cho R là một vành. Các điều kiện sau là tương
đương:
(1) Mỗi R-môđun phải tự do là C2-môđun,
(2) R là vành hoàn chỉnh phải và rR (I) 6= 0 ,với mỗi Iđêan trái hữu
hạn sinh của R.
Chứng minh. Xem [5, 2.6]
Định lý 1.2.5. Vành R nửa đơn khi và chỉ khi R là vành chính quy
von Neumann và không chứa tập vô hạn các phần tử lũy đẳng trực giao.
Chứng minh. Cần chứng minh rằng nếu R là vành chính quy von Neumann
và khơng chứa tập vơ hạn các phần tử lũy đẳng trực giao, thì R là vành
nửa đơn. Lấy I ≤ RR , I 6= 0, chúng ta cần chỉ ra I là hạng tử trực tiếp
của R. Chọn a1 ∈ I , a1 6= 0. Vì R là vành chính quy nên a1 R là hạng tử
trực tiếp của RR và do đó a1 R là hạng tử trực tiếp của I.
Trường hợp 1: Nếu a1 R cốt yếu trong I , thì I = a1 R là hạng tử trực
tiếp của RR .
Trường hợp 2: Nếu a1 R không cốt yếu trong I , thì tồn tại a2 ∈ I sao
cho

a1 R

\

a2 R = 0.

L
L

Vì vậy a1 R a2 R là hạng tử trực tiếp của RR và do đó a1 R a2 R là
L
hạng tử trực tiếp của I với a1 R < a1 R a2 R. Lặp lại q trình trên ta
có

a1 R < a1 R

M

a2 R < a1 R

M

a2 R

M

a3 R < ...

điều này mâu thuẫn. Vì I là hạng tử trực tiếp của RR .


14

Định lý 1.2.6. (Định lý Matlis của vành Nơte) Các điều kiện sau là
tương đương trong vành:
(1) RR là vành Nơte phải,
(2) Mọi tổng trực tiếp của các R-môđun phải nội xạ là nội xạ,
(3) Mọi tổng trực tiếp đếm được các bao nội xạ của các R-môđun đơn
là nội xạ.

Chứng minh. Xem [2, 2.3].
Mệnh đề 1.2.7. R là vành di truyền phải nếu và chỉ nếu mọi môđun
thương của R-môđun phải nội xạ là nội xạ.
Chứng minh. Xem [7, 39.16].
Bổ đề 1.2.8. Môđun con A 6= 0 là đều khi và chỉ khi E(A) khơng
phân tích được.
Chứng minh. Giả sử A đều và

E(A) = B

M

C

với B, C là các mơđun con của E(A). Ta có
\ \ \
(B A) (C A) = 0
T
T
suy ra B A = 0 hoặc C A = 0 (vì A đều). Từ đó B = 0 hoặc C = 0
(vì A ≤e E(A)). Do đó E(A) khơng phân tích được.
Ngược lại, giả sử A khơng đều, A có các mơđun con khác 0 là B, C
T
thỏa mãn B C = 0. Khi đó E(A) có một môđun con khác 0 là E và là
T
bao nội xạ của B . Ta có E C = 0 vì B ≤e E , do đó E 6= E(A). Vì vậy,

E là hạng tử trực tiếp khơng tầm thường của E(A) và E(A) là phân tích
được.