luận văn Về c3 môđun

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM


LÊ THỊ MINH THUYỀN

VỀ C3-MÔĐUN

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 8460104

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG – NĂM 2018


Công trình được hoàn thành tại
Trường Đại học Sư phạm – ĐHĐN

Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. LÊ VĂN THUYẾT

Phản biện 1:
PGS.TS. Trương Công Quỳnh
Phản biện 2:
PGS.TS. Trần Đạo Dõng

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ
Khoa học họp tại Trường Đại học Sư phạm – ĐHĐN vào ngày 01 tháng 9
năm 2018

Có thể tìm hiểu luận văn tại

- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng


VỀ C3-MÔ ĐUN
Ngành: Đại số và Lý thuyết số.
Họ và tên học viên: Lê Thị Minh Thuyền.
Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. Lê Văn Thuyết.
Cơ sở đào tạo: Đại học Đà Nẵng - Đại học Sư phạm.
Tóm tắt: Trong luận văn này, tôi đã trình bày một số đặc điểm của vành nửa đơn, V-vành phải, vành
di truyền phải và vành FGC phải chính quy về C3-môđun. Luận văn còn giới thiệu về bao C3 và phủ
C3, nêu lên mối quan hệ giữa bao C3 và phủ C3 với môđun nội xạ, vành nửa đơn, vành hoàn chỉnh
phải. Đây cũng là những tài liệu quan trọng để khảo sát thêm về đặc trưng của các môđun và vành
thông qua C3-môđun chưa được nghiên cứu.
Từ khóa: C2-môđun, C3-môđun, môđun tựu liên tục, vành c3, phủ C3.
Xác nhận của giáo viên hướng dẫn

GS.TS. Lê Văn Thuyết

Người thực hiện đề tài

Lê Thị Minh Thuyền

C3-MODULES
Major: Algebra and Number theory.
Full name of Master student: Le Thi Minh Thuyen.
Supervisors: Prof. Ph.D Le Van Thuyet.
Training institution: The University of Da Nang - University of Education.
Abstract: In this essay, i provide some characterizations of semisimple rings, right V-rings, right
hereditary and regular right FGC-rings in terms of C3-modules. The notions of C3-envelope and C3cover are introduced, raises the relationship of C3-envelope and C3-cover with injective modules,

semisimple ring, reguler right. This is also important documents to further explore the characteristics
of modules and ring through C3-modules not yet studied.
Key words: C2-modules, C3-modules, quasi-continiuous modules, C3-covers, C3-envelope.
Supervior’s confirmation

Prof. Ph.D Le Van Thuyet

Student

Le Thi Minh Thuyen


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết môđun rất quan trọng khi nghiên cứu Đại số và còn nhiều vấn đề mới cần được quan
tâm nghiên cứu. Chúng ta biết rằng một lớp môđun quan trọng trong M od − R đó là môđun nội xạ.
Một môđun phải Q trên vành R được gọi là nội xạ nếu cho mọi đơn cấu i từ NR vào MR , mọi đồng
cấu f từ N vào Q, luôn tồn tại đồng cấu g từ M vào Q sao cho gi = f . Môđun nội xạ sẽ suy ra các
tính chất sau mà ta lần lượt gọi là điều kiện (C1), (C2), (C3) được định nghĩa như sau:
(C1): Tất cả các môđun con của M đều cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M .
(C2): Tất cả các môđun con đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của M cũng là hạng tử trực tiếp
của M .
(C3): Nếu M1 và M2 là hạng tử trực tiếp của M mà M1 ∩ M2 = 0, thì M1

M2 cũng là hạng

tử trực tiếp của M .

Một môđun nghiệm đúng tính chất Ci (i = 1, 3) sẽ được gọi là môđun Ci (hay Ci-môđun). Nếu
môđun M nghiệm đúng với cả hai điều kiện (C1) và (C2) thì M được gọi là môđun liên tục. Nếu M
nghiệm đúng cả (C1) và (C3), thì nó được gọi là môđun tựa liên tục. Mỗi môđun nội xạ là liên tục và,
mỗi C2-môđun là C3-môđun và nói chung, không phải C3-môđun nào cũng là C2-môđun. Vì vậy ta có:
Nội xạ ⇒ liên tục ⇒ tựa liên tục
Ngoài ra, C3-môđun còn có mối quan hệ chặt chẽ với các môđun đều, môđun không phân tích được,
môđun nửa đơn, môđun đối ngẫu Rickart, môđun có SSP .... Nhằm tìm hiểu về các vấn đề về môđun
đã giới thiệu ở trên, tôi chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là: “VỀ C3-MÔĐUN”
2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về C3 môđun và các môđun liên quan, các vành liên quan.
- Tổng quan các kết quả từ các các bài báo, sách và sau đó chứng minh, trình bày lại vấn đề một
cách có hệ thống.
- Tìm cách mở rộng một số kết quả (nếu được)
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu về định nghĩa, tính chất của C3-môđun,

-C3-môđun, phủ C3, bao C3.

- Nghiên cứu mối liên hệ của các môđun đều, môđun không phân tích được, môđun nửa đơn,
môđun Rickart đối ngẫu và môđun có SSP với C3-môđun.
- Đặc điểm vành nửa đơn, V -vành, vành di truyền phải và vành FGC phải chính quy liên quan
đến C3-môđun.
- Mối liên quan của
cứu

-C3-môđun với vành Nơte phải, môđun nội xạ. 4. Phương pháp nghiên


2

- Nghiên cứu lý thuyết: Dựa trên cơ sở đã biết về môđun, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ,... cùng
với nghiên cứu các tài liệu đã công bố đặc biệt là các bài báo khoa học liên quan đến Ci-môđun, i = 1, 3.
- Nghiên cứu thực tiễn: Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn. Trao đổi thông qua xêmina của
nhóm.
5. Cấu trúc luận văn
Nội dung luận văn đượcchia thành 2 chương
Chương 1: Kiến thức cơ sở
Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả liên quan đến môđun để làm cơ sở cho chương
sau
1.1 Các định nghĩa
1.2 Các kết quả liên quan
Chương 2: Về C3-môđun
Chương này trình bày nội dung chính của luận văn, trình bày về C3-môđun,

-C3-môđun vành

C3 và bao C3, các môđun và vành liên quan.
2.1 C3-môđun
2.2

−C3-môđun

2.3 Bao C3
2.4 Phủ C3
Do thời gian thực hiện có hạn, năng lực bản thân còn nhiều hạn chế nên dù em đã rất cố gắng
tuy nhiên vẫn không tránh khỏi những thiếu sót. Em kính mong quý Thầy/ Cô, bạn đọc thông cảm và
góp ý cho luận văn của em được hoàn chỉnh hơn.


3

CHƯƠNG

1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này chúng tôi xin trình bày một số khái niệm và kết quả liên quan để làm cơ sở
cho chương sau.
1.1. Các định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 1.1.1. (1) Một môđun MR được gọi là hữu hạn sinh nếu tồn tại một tập hữu hạn
{a1 , ..., an } ⊂ M sao cho
M = a1 R + ... + an R

tức là M có tập sinh hữu hạn.
(2) Một môđun MR được gọi là hữu hạn đối sinh nếu mỗi tập hợp {Ai | i ∈ I} các môđun con
Ai = 0 đều tồn tại một tập con hữu hạn I0 ⊂ I sao cho

của M thỏa mãn
I

Ai = 0.
I0

Định nghĩa 1.1.2. (1) R-môđun phải M được gọi là Nơte nếu mọi tập khác rỗng các môđun
con của nó đều có phần tử tối đại.
(2) Vành R được gọi là Nơte phải nếu RR là Nơte.
Ví dụ 1.1.3. (1) Vành Z là Nơte vì mọi môđun con của nó đều hữu hạn sinh tức là có dạng nZ,
n ∈ N.

(2) Vành đa thức K[x] , với K là trường, là Nơte vì khi K là trường tức là Nơte, áp dụng định
lý cơ sở Hinbert ta có ngay điều phải chứng minh .
(3) Vành đa thức đếm được biến A[x1 , x2 , ...] không là vành Nơte vì dãy tăng các iđêan
x1 < x1 , x2 < ... < x1 , x2 , ..., xn ... < ...

không dừng.
(4) Với p ∈ P (các số nguyên tố). Đặt
Qp = {a/pi , a ∈ Z, i ∈ N ≤ Q}.
Ta định nghĩa Zp∞
Z ≤ Qp , Zp∞ = Qp /Z.
Cụ thể là
Zp∞ = {q + Z | pk (q + Z) = 0, k nào đó của N}
Zp∞ = {q + Z | pk q ∈ Z, k nào đó của N}.
Nếu xem như Z-môđun thì Zp∞ không là Nơte.
Định nghĩa 1.1.4. Căn Jacobson của một môđun MR là giao tất cả các môđun con cực đại của
M và ký hiệu là Rad(M ). Khi M = R thì Rad(RR ) = Rad(R R) và ký hiệu là J nghĩa là căn Jacobson

của vành R.


4

Ví dụ 1.1.5. (1) Cho p là một số nguyên tố, k là một số nguyên dương và M = Z/pk Z . Khi đó
Rad(M ) = pZ/pk Z.

(2) Cho số nguyên n với phân tích tiêu chuẩn n = pα1 1 pα2 2 ...pαk k . Khi đó
k

Rad(Zn ) =

k

(pi Z/nZ) = (
i=1

pi Z)/nZ = p1 p2 ...pk /nZ.

i=1

Định nghĩa 1.1.6. (1) Một môđun K của M là cốt yếu trong M ký hiệu K ≤e M trong trường
hợp với mọi môđun con
L ≤ M, K ∩ L = 0

suy ra L = 0.
(2) Một môđun con K của M được gọi là đối cốt yếu trong M , ký hiệu K

M trong trường

hợp với mọi môđun con
L ≤ M, K + L = M

suy ra L = M .
Ví dụ 1.1.7. Trong Z , chỉ có 0 là iđêan đối cốt yếu trong Z. Tuy nhiên mọi iđêan khác 0 trong
Z đều là cốt yếu, vì cho hai iđêan khác 0 tùy ý aZ, bZ thì 0 = ab ∈ aZ ∩ bZ.
Định nghĩa 1.1.8. (1) Môđun MR được gọi là môđun con đơn nếu M = 0 và chỉ có đúng hai
môđun con (là 0 và M ).
(2) Cho (Tα )α ∈ A là một tập các môđun con đơn của M . Nếu M là tổng trực tiếp của các môđun
con đơn này, nghĩa là
M=

Tα
A

thì môđun M được gọi là nửa đơn.
(3) Vành R được gọi là nửa đơn phải (trái) nếu môđun RR (R R) nửa đơn.
Người ta đã chứng minh được vành R là nửa đơn phải khi và chỉ khi R là nửa đơn trái. Vì vậy ta
chỉ cần gọi R nửa đơn mà không cần đề cập đến phía.
Ví dụ 1.1.9. (1) Mỗi không gian vectơ V = VK trên trường K là nửa đơn
VK =

xK =
x∈B

xK
x∈B

trong đó B là cơ sở của V . Dĩ nhiên xK đơn đối với x = 0, x ∈ V .
(2) ZZ không nửa đơn. Ngoài ra QZ cũng không nửa đơn vì trong nó không có môđun con đơn
nào.
Định nghĩa 1.1.10. (1) Cho UR là một môđun. Lúc đó U được gọi là nội xạ trong trường hợp
với mọi đơn cấu f : KR → MR , với mọi KR , MR và mỗi đồng cấu v : KR → UR tồn tại một R- đồng
cấu v : M → U sao cho v.f = v hay biểu đồ sau giao hoán
UO `
v¯

v
f

/K
/M

0
(2) Cho PR là một môđun. Lúc đó P được gọi là xạ ảnh trong trường hợp với mọi toàn cấu β : B → C ,

với mọi B, C và mỗi đồng cấu ψ : P → C tồn tại một đồng cấu λ : P → B sao cho ψ = β.λ hay biểu


5

đồ sau giao hoán
P
λ

B



~
β

ψ

/C

/0

Ví dụ 1.1.11. (1) Z không là Z-môđun nội xạ, vì đồng cấu
f : 2Z → Z
2n → n

không thể mở rộng đến đồng cấu Z → Z.

(2) QZ là nội xạ vì xem Q như là Z-môđun thì Q là chia được.
(3) Z là Z-môđun xạ ảnh. Tuy nhiên Z-môđun Zn không là xạ ảnh.
Để mở rộng định nghĩa môđun nội xạ ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.1.12. Cho M , N là các R-môđun phải. Khi đó:
(1) M được gọi là N -giả nội xạ nếu mỗi môđun con A của N thì mọi đơn cấu f : A → M đều
mở rộng được đến đồng cấu g : N → M . M được gọi là giả nội xạ nếu M là M -giả nội xạ.
(2) M được gọi là N -giả nội xạ cốt yếu nếu với mỗi môđun con cốt yếu A của N thì mọi đơn cấu
f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M . M được gọi là tự giả nội xạ cốt yếu nếu M là
M -giả nội xạ cốt yếu.

Ví dụ 1.1.13. Ta có Zp3 là Zp2 -giả nội xạ cốt yếu.
Định nghĩa 1.1.14. Môđun A = 0 được gọi là đều nếu mọi môđun con khác 0 của A là cốt yếu
trong A.
Ví dụ 1.1.15. (1) Mọi môđun con khác 0 và mở rộng cốt yếu của môđun đều là đều.
(2) Môđun đơn là môđun đều.
(3) Trường các thương của miền giao hoán R là R-môđun đều.
Định nghĩa 1.1.16. Một môđun M được gọi là N-C2 nếu có bất kỳ môđun con N ≤ N , với
∼
N = M ≤⊕ M thì N ≤⊕ N.
Định nghĩa 1.1.17. Một môđun M có tính chất tổng số hạng, SSP nếu hai hạng tử trực tiếp
bất kỳ của M là một hạng tử trực tiếp của M .
Định nghĩa 1.1.18. Một môđun M được gọi là đối ngẫu Rickart nếu với mỗi ϕ ∈ End(M ) ,
ϕ(M ) là một hạng tử trực tiếp của M .

Định nghĩa 1.1.19. Một vành R gọi là vành FGC phải nếu mỗi R-môđun hữu hạn sinh là tổng
trực tiếp của các môđun con cyclic.
Định nghĩa 1.1.20. Một vành R gọi là V -vành phải nếu với mỗi R-môđun phải đơn là nội xạ.
R được gọi là vành SSI phải nếu với mỗi R-môđun phải nửa đơn là nội xạ.

Định nghĩa 1.1.21. (1) Vành R được gọi là nửa nguyên sơ nếu vành thương R/J(R) là nửa đơn

và J(R) là lũy linh.
(2) Một vành R được gọi là hoàn chỉnh phải (trái) nếu R là vành nửa địa phương và J(R) là


6
T -lũy linh phải (trái).

Ta có thể chứng minh được vành nửa nguyên sơ là vành hoàn chỉnh phải (trái) nhưng chiều ngược
lại nói chung không đúng.
Ví dụ 1.1.22. (1) Cho vành các ma trận vuông cấp 2
Q R
R=
.
0 Q
Ta có
J(R) =

0 R
,
0 0

do đó J(R)2 = 0 và R/J(R) là vành nửa đơn. Vậy R là vành nửa nguyên sơ.
(2) Cho vành R xác định bởi
R=

Q R
=
0 Q

a b

0 c

a, c ∈ Q; b ∈ R .

Ta có căn Jacobson của vành R
J(R) =

0 R
,
0 0

là một iđêan cực đại của R và J(R) lũy linh (J(R)2 = 0). Bởi vậy, R là nửa nguyên sơ nên R cũng là
vành hoàn chỉnh phải và trái.
Định nghĩa 1.1.23. Một đồng cấu vành φ : P → M được gọi là phủ xạ ảnh của R-môđun phải
nếu P là xạ ảnh, φ là một toàn cấu, và ker(φ) là đối cốt yếu trong P .
Không phải môđun nào cũng có phủ xạ ảnh nên vành hoàn chỉnh và mọi môđun có phủ xạ ảnh
có mối liên hệ sau:
Định lý 1.1.24. Vành R là hoàn chỉnh phải nếu mỗi R-môđun phải có một phủ xạ ảnh.
Định nghĩa 1.1.25. Vành R được gọi là di truyền phải (nửa di truyền phải) nếu mỗi iđean phải
hữu hạn sinh là xạ ảnh.
Định nghĩa 1.1.26. Vành R được gọi là vành chính quy (theo nghĩa Von Neumann) nếu với mỗi
a ∈ R thì luôn tồn tại b ∈ R sao cho a = aba.

Ví dụ 1.1.27. (1) Mọi trường đều là vành chính quy vì với mọi a = 0, ta có thể lấy b = a−1
thõa mãn aba = aa−1 a = a.
(2) Ma trận Mn (K) cũng là vành chính quy vì với mọi A ∈ Mn (K) với rank(A) = n. Khi đó tồn
I 0
tại các ma trận khả nghịch U, V sao cho A = U
V . Đặt B = V −1 U −1 , khi đó ta có
0 0

ABA = U

I 0
I 0
I 0
V V −1 U −1 U
V =U
V = A.
0 0
0 0
0 0

Định nghĩa 1.1.28. Cho M là R-môđun phải. Đơn cấu µ : M → Q được gọi là bao nội xạ đối
với M nếu Q là môđun nội xạ còn µ là đơn cấu cốt yếu.
Về mặt kí hiệu đôi khi ta viết I(M ), E(M ) để chỉ bao nội xạ của môđun M .
Ví dụ 1.1.29. Cho ι : ZZ → QZ là bao nội xạ đối với ZZ vì ι là đơn cấu còn QZ là nội xạ (chia
được), ngoài ra ZZ ≤ QZ do ∀q ∈ Q, q = 0, q = p/r, ∃r ∈ Z sao cho r = 0, rq = p ∈ Z.
Định nghĩa 1.1.30. Cho M là R-môđun phải, và S = EndR (M ). Khi đó M được gọi là môđun
đối ngẫu Rickart nếu ∀ϕ ∈ S, ϕ(M )ϕ = Imϕ = eM với e2 = e ∈ S .


7

Ví dụ 1.1.31. (1) Mọi môđun nội xạ trên vành di truyền phải là đối ngẫu Rickart.
(2) Mọi môđun nửa đơn là môđun đối ngẫu Rickart.
Định nghĩa 1.1.32. Cho MR và N ≤ M . N được gọi là hạng tử trực tiếp của M nếu tồn tại
môđun con P của M sao cho M = N ⊕ P . Lúc đó ta nói P là môđun con phụ của M .
Từ định nghĩa ta suy ra:
N ≤⊕ M ⇔ ∃P < M [M = N + P vàN ∩ P = 0]

Định nghĩa 1.1.33. (C1): Tất cả các mô đun con của M đều cốt yếu trong một hạng tử trực
tiếp của M .
(C2): Tất cả các môđun con đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của M cũng là hạng tử trực tiếp
của M .
(C3): Nếu M1 , M2 là hạng tử trực tiếp của M mà M1

M2 = 0, thì M1

M2 cũng là hạng tử

trực tiếp của M .
1.2. Các kết quả liên quan
Mệnh đề 1.2.1. Một hạng tử trực tiếp của C3-môđun cũng là C3-môđun.
Mệnh đề 1.2.2. R là vành SSI nếu và chỉ nếu R là V vành Nơte phải.
Mệnh đề 1.2.3. Mỗi môđun đối ngẫu Rickart thỏa mãn các tính chất của vành SSP.
Mệnh đề 1.2.4. Cho R là một vành. Các điều kiện sau là tương đương:
(1) Mỗi R-môđun phải tự do là C2-môđun,
(2) R là vành hoàn chỉnh phải và rR (I) = 0 ,với mỗi Iđêan trái hữu hạn sinh của R.
Định lý 1.2.5. Vành R nửa đơn khi và chỉ khi R là vành chính quy von Neumann và không chứa
tập vô hạn các phần tử lũy đẳng trực giao.
Định lý 1.2.6. (Định lý Matlis của vành Nơte) Các điều kiện sau là tương đương trong vành:
(1) RR là vành Nơte phải,
(2) Mọi tổng trực tiếp của các R-môđun phải nội xạ là nội xạ,
(3) Mọi tổng trực tiếp đếm được các bao nội xạ của các R-môđun đơn là nội xạ.
Mệnh đề 1.2.7. R là vành di truyền phải nếu và chỉ nếu mọi môđun thương của R-môđun phải
nội xạ là nội xạ.
Bổ đề 1.2.8. Môđun con A = 0 là đều khi và chỉ khi E(A) không phân tích được.


8

CHƯƠNG

2

VỀ C3-MÔĐUN

Chương này tôi xin trình bày nội dung chính của luận văn, trình bày về C3-môđun,

C3-môđun,

phủ C3, bao C3, môđun và các vành liên quan.
2.1. C3-Môđun
Chương này tôi sẽ đưa ra một số tính chất của C3-môđun. Trong đó có nêu lên mối quan hệ giữa
C2-môđun và C3-môđun.
Mệnh đề 2.1.1. Nếu M là môđun thỏa tính chất của C2 thì nó cũng thỏa mãn tính chất của C3.
Ví dụ sau đây sẽ chỉ ra rằng C3-môđun không nhất thiết là C2-môđun.
Ví dụ 2.1.2. Cho Z là Z-môđun thì Z là C3-môđun nhưng Z không là C2-môđun.
Các điều kiện về hạng tử trực tiếp liên quan đến C3-môđun thể hiện trong kết quả sau:
Mệnh đề 2.1.3. Cho M = M1 ⊕ M2 với M1 , M2 ≤ M . Nếu M là C3-môđun và f : M1 → M2
là đồng cấu với Ker(f ) ≤⊕ M1 thì Im(f ) ≤⊕ M2 .
Hệ quả 2.1.4. Nếu M là C3-môđun, M = M1
cấu thì Im(f ) ≤

M2 với M1 , M2 ≤ M và f : M1 → M2 là đơn

M2 .

Hệ quả 2.1.5. Cho M là R-môđun. Nếu M

E(M ) là C3-môđun thì M nội xạ.

Trong mệnh đề tiếp theo, chứng tôi đã chỉ ra rằng nếu M1

M2 là C3-môđun, thì có một điều

kiện C2 tương hỗ giữa M1 và M2 .
Mệnh đề 2.1.6. Cho M = M1

M2 với M1 , M2 ≤ M . Nếu M là C3-môđun thì M1 là C2-

môđun tương hỗ với M2 và M2 là C2-môđun tương hỗ với M1 .
Hệ quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 2.1.6.
Hệ quả 2.1.7. (1) Nếu M là R-môđun sao cho M
Đặc biệt, nếu M

M là một C3-môđun thì M là C2-môđun.

M tựa liên tục thì M liên tục.

(2) Mỗi tổng trực tiếp hữu hạn của bản sao của M là C3-môđun khi và chỉ khi mỗi tổng trực tiếp
của M là C2-môđun.
(3) Mỗi tổng trực tiếp hữu hạn của bản sao của M là môđun tựa liên tục khi và chỉ khi tổng trực
tiếp hữu hạn của M là môđun liên tục.
Tuy nhiên, ví dụ tiếp theo sẽ chỉ ra rằng tổng trực tiếp của các C3-môđun không kế thừa tính
chất này.

Ví dụ 2.1.8. Gọi α : Z → Z là đồng cấu Z-môđun được định nghĩa bởi α(m) = nm với m ∈ Z
(n ∈ Z). Vì α là đơn cấu và Im(α) không là hạng tử trực tiếp của Z, do đó Z

(Theo Hệ quả 2.1.2). Tuy nhiên, Z là C3-môđun.

Z không là C3-môđun


9

Trong kết quả tiếp theo tôi chỉ ra một đặc điểm của vành nửa đơn liên quan đến C3-môđun.
Định lý 2.1.9. Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R đã cho:
(1) R là vành nửa đơn;
(2) Mỗi R-môđun phải (trái) là C3-môđun.
Sau đây là định lý mô tả tính chất các vành có R môđun hữu hạn sinh là C3.
Mệnh đề 2.1.10. Các điều kiện sau là tương đương trên vành R:
(1) Mỗi R môđun phải hữu hạn sinh là C3,
(2) Mỗi R môđun phải hữu hạn sinh là đối ngẫu Rickart,
(3) Mỗi R môđun phải hữu hạn sinh có SSP,
(4) Mỗi môđun con hữu hạn sinh của R môđun phải hữu hạn sinh đều là hạng tử trực tiếp,
(5) R là một vành FGC phải, chính quy.
Đối với vành giao hoán ta thu được:
Định lý 2.1.11. Gọi R là một vành giao hoán. Khi đó, mọi R-môđun là C3-môđun khi và chỉ
khi R là vành nửa đơn.
Định lý 2.1.11 chỉ ra rằng với một vành chính quy, mỗi môđun hữu hạn sinh không phải là
C3-môđun.
∞

Ví dụ 2.1.12. Vành R =

Z2 là vành chính quy von Neumann mà không phải nửa đơn. Theo
n=1

Định lý 2.1.11 ta sẽ có một R-môđun hữu hạn sinh không phải là C3.
Định lý 2.1.13. Mọi môđun giả nội xạ cốt yếu đều là C3.
Định lý 2.1.14. Các điều kiện sau là tương đương trên vành R :
(1) R là V -vành phải,
(2) Mọi R-môđun phải hữu hạn đối sinh là C3-môđun.
2.2.

-C3-môđun
Định nghĩa 2.2.1. Một R-môđun phải M được gọi là

-C3-môđun nếu tổng trực tiếp một số

bất kỳ các bản sao của M là C3-môđun.
Theo Định lý Matlis về tính tổng trực tiếp các môđun nội xạ của vành Nơte, ta có vành R là
Nơte nếu và chỉ nếu tổng trực tiếp bất kỳ các môđun nội xạ là nội xạ. Trong kết quả tiếp theo, tôi sẽ
chỉ rõ ra trong vành Nơte thì tổng trực tiếp bất kỳ các môđun nội xạ là C3.
Định lý 2.2.2. Các mệnh đề sau là tương đương đối với vành R:
(1) R là vành Nơte phải,
(2) Tổng trực tiếp của bất kỳ các R-môđun phải nội xạ là một C3-môđun,
(3) Mọi R-môđun phải nội xạ là một

-C3-môđun.


10

Tương tự Mệnh đề 1.2.7 kết quả sau đây chỉ ra rằng R là vành di truyền phải khi và chỉ khi mọi
môđun thương của môđun nội xạ là C3.
Định lý 2.2.3. Các mệnh đề sau là tương đương:
(1) R là vành di truyền phải,

(2) Mọi hạng tử trực tiếp của R-môđun phải nội xạ là C3,
(3) Tổng của hai môđun con nội xạ bất kỳ của R-môđun phải là C3.
2.3. Bao C3
Định nghĩa 2.3.1. Một đồng cấu ϕ : M → E được gọi là bao C3 của M , nếu E là một C3-môđun
thì tồn tại đồng cấu β sao cho biểu đồ sau giao hoán
M
ϕ

ϕ

 ~

/E

∃β

E
trong đó E là C3-môđun, và tồn tại đồng cấu α sao cho biểu đồ sau giao hoán
M
ϕ

 ~

ϕ

/E

∃α

E

Sau đây là kết quả đặc trưng môđun có bao C3.
Định lý 2.3.2. Các mệnh đề sau là tương đương:
(1) Mỗi R-môđun phải có một bao C3,
(2) Mỗi C3-môđun là nội xạ,
(3) Tổng trực tiếp của hai C3-môđun bất kỳ là C3-môđun,
(4) R là vành nửa đơn.
Kết quả sau đây cho ta thấy mối liên hệ giữa V-vành và môđun có bao C3.
Định lý 2.3.3. Các mệnh đề sau là tương đương:
(1) Mỗi R-môđun hữu hạn đối sinh có một bao C3,
(2) R là V-vành phải.
2.4. Phủ C3
Định nghĩa 2.4.1. Cho MR và PR . Một đồng cấu ϕ : P → M được gọi là phủ C3 của R-môđun
phải M nếu P là C3-môđun, ϕ là toàn cấu và ker(ϕ)

P

Ví dụ sau đây chứng minh các phủ C3 không phải là duy nhất.

Ví dụ 2.4.2. Gọi R là miền giao hoán (do đó RR là C3) và J là căn Jacobson. Khi đó toàn cấu
chính tắc π : R → R/J và id : R/J → R/J là phủ C3 không đẳng cấu của R/J .


11

Định lý 2.4.3. Các khẳng định sau là tương đương:
(1) Mỗi môđun phải có một phủ C3,
(2) Mỗi môđun phải tự do có một phủ C3,
(3) Mỗi môđun phải tự do là C3,
(4) Mỗi môđun phải xạ ảnh là C3,

(5) R là vành hoàn chỉnh phải và rR (I) = 0 với mỗi I là iđêan trái hữu hạn sinh của R.


12

KẾT LUẬN

Trong luận văn này tôi đã trình bày về một số định nghĩa, tính chất cơ bản của C3-môđun,
-C3-môđun, bao C3 và phủ C3, tóm tắt như sau:
Tôi đã nêu ra các định nghĩa cơ bản về môđun hữu hạn sinh, môđun hữu hạn đối sinh, môđun
cốt yếu, môđun đối cốt yếu, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ, vành Nơte, vành FGC, V-vành,.... Và nêu
một số kết quả liên quan đến Ci-môđun, vành Nơte, vành nửa đơn.
Tôi đã tổng quan và đưa ra một số tính chất của C3-môđun, chỉ ra rằng một C3-môđun không
nhất thiết là C2-môđun thông qua Ví dụ 2.1.2. Bên cạnh đó còn nêu lên các điều kiện để một môđun
là C3-mô đun, mối liên hệ giữa V-vành và môđun đối hữu hạn sinh (Định lý 2.1.13). Tôi đã trình bày
lại các định nghĩa và tính chất của

-C3-môđun, và chỉ rõ trong vành không Nơte thì tổng trực tiếp

của các môđun nội xạ không là C3 (Ví dụ 2.2.3). Trong 2.3, tôi cũng trình bày các định nghĩa và ra các
điều kiện của bao C3. Nêu ra được các tính chất phủ C3 nhưng cũng chỉ rõ rằng các phủ C3 không là
duy nhất.
Dĩ nhiên còn nhiều tính chất của C3-môđun chưa được khảo sát, còn nhiều đặc trưng của các lớp
vành thông qua C3-môđun chưa được tìm thấy, ngoài ra các ví dụ minh họa cho các kết quả còn ít. Bản
thân tôi nếu có điều kiện sẽ tiếp tục nghiên cứu các vấn đề đã nêu.