Một số tính toán trên iđean chiều không và vành tọa độ của đa tạp

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

NGUYỄN PHẠM HỒNG TRÂM

MỘT SỐ TÍNH TỐN
TRÊN IĐÊAN CHIỀU KHƠNG
VÀ VÀNH TỌA ĐỘ CỦA ĐA TẠP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2019


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

NGUYỄN PHẠM HỒNG TRÂM

MỘT SỐ TÍNH TỐN
TRÊN IĐÊAN CHIỀU KHƠNG
VÀ VÀNH TỌA ĐỘ CỦA ĐA TẠP

Chuyên ngành: Đại số và Lí thuyết số
Mã số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS. TS. Nguyễn Chánh Tú

Đà Nẵng - 2019






MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG

Kí hiệu

Ý nghĩa

hf1 , ..., fs i

Iđêan sinh bởi các đa thức f1 , ..., fs .

kn

Không gian afin n− chiều trên k.

V (f1 , ..., fs )

Đa tạp afin xác định bởi f1 , ..., fs .

IV

Iđêan của tập điểm V.

LT (f )

Hạng tử dẫn đầu của đa thức f .
Tập các hạng tử dẫn đầu của đa thức f ∈ I .

LT (I)



f

LT (I)



G

Iđêan sinh bởi các phần tử của LT (I).
Phần dư của phép chia f cho G.

S(f, g)

S−đa thức của f và g .

k[V ]

Vành tọa độ của đa tạp V .

dim k[x1 , ..., xn ]/I

Số chiều của vành k[x1 , ..., xn ]/I .

m(p)

Bội của điểm p.

k[V ]

Vành tọa độ của đa tạp V .


Mục lục
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Một số ký hiệu thường dùng
Mở đầu
1

2

1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

3

1.1 Vành đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1 Vành đa thức một biến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2 Vành đa thức nhiều biến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2 Iđêan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3 Đa tạp afin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.1 Không gian afin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.2 Đa tạp afin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

MỘT SỐ TÍNH TỐN TRÊN IĐÊAN CHIỀU
KHƠNG VÀ VNH TA
16
2.1 C s Grăobner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.1.1 Thứ tự đơn thức, thuật toán chia . . . . . . . . . . . . . .

16

2.1.2 C s Grăobner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.3 Tiêu chuẩn Buchberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.1.4 Thuật toán Buchberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2 Tính tốn trong vành tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2.1 Vành tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2.2 Tính số chiều của vành tọa độ. . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.3 Tính tốn trên iđêan chiều khơng. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.3.1 Vành địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.3.2 Bội và tính bội của một điểm trên iđêan chiều không trong
vành địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Kết luận

42

TÀI LIỆU THAM KHẢO

43


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
Cùng với sự phát triển của tốn học hiện đại nói chung và hình học đại số
nói riêng, đại số tính tốn và các phần mềm tốn học đã cung cấp những cơng
cụ thúc đẩy sự phát triển của các lý thuyết này, mở ra các ứng dụng quan trọng
khác.
Trong đại số tính tốn, c s Grăobner úng vai trũ quan trng. Lý thuyt

ny được nhà toán học người Áo Bruno Buchberger đưa ra trong luận văn tiến
sĩ của mình năm 1965 dưới sự hng dn ca ngi thy Wolfgang Grăobner.
S hỡnh thnh lý thuyt c s Grăobner da vo vic m rng thut toán chia
hai đa thức một biến sang trường hợp đa thc nhiu bin.
S dng c s Grăobner cng nh cỏc ứng dụng của nó là một trong những
hướng nghiên cứu hiện nay trong hình học đại số. Với mong muốn tỡm hiu sõu
hn v ng dng ca c s Grăobner, với sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn
Chánh Tú, chúng tơi chọn đề tài “MỘT SỐ TÍNH TỐN TRÊN IĐÊAN
CHIỀU KHÔNG VÀ VÀNH TỌA ĐỘ CỦA ĐA TẠP” làm đề tài
nghiên cứu cho luận văn của mình.
2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
Nghiên cứu tính tốn trên iđêan của tập điểm, tính tốn trên vành tọa
v vnh a phng da vo c s Grăobner v một số kiến thức khác.
3. Phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, tổng hợp và trình bày lý thuyết
một cách có hệ thống.
4. Đóng góp của đề tài.
Tổng hợp tài liệu để có một bài báo cáo tổng quan tương đối hệ thống về
vành a phng, vnh ta , c s Grăobner nhm nghiờn cứu một số tính

1


tốn trên iđêan chiều khơng và vành tọa độ.
5. Cấu trúc của luận văn.
Luận văn viết thành 2 chương, cụ thể như sau:
Chương I: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị về vành đa thức, iđêan, đa
tạp liên quan đến các vấn đề ở chương II.
Chương II: Trình bày v c s Grăobner, vnh ta v tớnh s chiều của
vành tọa độ, vành địa phương, iđêan chiều không và tính bội của các điểm

thuộc đa tạp trong vành địa phương.

2


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Toàn bộ các định nghĩa, định lí, kết quả trong chương này được chúng tơi
tổng hợp trình bày một cách có hệ thống từ các tài liệu [2], [3] và [5].

1.1

Vành đa thức

1.1.1

Vành đa thức một biến.

a) Xây dựng vành đa thức một biến.
Giả sử A là một vành giao hốn, có đơn vị kí hiệu là 1. Gọi P là tập hợp các
dãy phần tử trong A.
n

P = (a0 , a1 , ..., an , ...)/ai ∈ A, ∀i ∈ N, ai = 0 tất cả trừ một số hữu hạn.

Trên P ta xác định hai quy tắc cộng và nhân như sau:
Quy tắc cộng
(a0 , a1 , ..., an , ...) + (b0 , b1 , ..., bn , ...) = (a0 + b0 , a1 + b1 , ..., an + bn , ...).

Quy tắc nhân
(a0 , a1 , ..., an , ...)(b0 , b1 , ..., bn , ...) = (c0 , c1 , ..., cn , ...),

3

o

.


trong đó:
c 0 = a0 b 0
c 1 = a0 b 1 + a1 b 0
...
ck = a0 bk + a1 bk−1 + ... + ak−1 b1 + ak b0 =

X

ai b j ,

k = 0, 1, 2, ...

i+j=k

Khi đó (P,+,.) lập thành vành giao hốn có đơn vị gọi là vành đa thức. Thật
vậy, hai quy tắc cộng và nhân cho ta hai phép toán trong P.
1. (P,+) là một nhóm giao hốn vì:
• Phép cộng có tính chất giao hốn và kết hợp.
• Phần tử khơng là dãy (0,0,...,0,...).
• Phân tử đối của dãy (a0 , a1 , ..., an , ...) là dãy (−a0 , −a1 , ..., −an , ...).

2. (P,.) là một nữa nhóm giao hốn vì:
• Do A giao hốn nên:

X

ai b j =

i+j=k

X

bj ai . Vì vậy phép nhân có tính

i+j=k

chất giao hốn.
• Phép nhân trong A có tính chất kết hợp và phân phối đối với phép

cộng nên ∀m = 0, 1, 2, .... Ta có:


X
X
X
ah 
bi c j  =
h+k=m

i+j=k

ah (bi cj )

h+i+j=m

 .


X

=

(ah bi )cj =

h+i+j=m

X

X


j+l=m

ah b i  c j

h+i=l

Vì vậy phép nhân trong P có tính chất kết hợp.
3. Trong A, ta có:
X

i+j=k

ai (bj + cj ) =

X
i+j=k

ai b j +

X

ai c j ,

∀k = 0, 1, ...

i+j=k

Vì vậy phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng trong P.
4


4. Dãy (1,0,...,0,...) là phần tử đơn vị của P. Do đó P là 1 vành giao hốn có
đơn vị 1.
Xét dãy: x = (0, 1, 0, ..., 0, ...). Theo quy tắc nhân, ta có:
x2 = (0, 0, 1, 0, ..., 0, ...)
x3 = (0, 0, 0, 1, ..., 0, ...)
...
xn = (0, 0, ..., 0, 1, 0, ...)

| {z }

n

Ta quy ước viết: x0 = (1, 0, ..., 0, ...). Xét ánh xạ:
f:

A

→

P

a

7→

(a, 0, ..., 0, ...)

f (a + b) = (a + b, 0, ..., o, ...) = (a, 0, ..., 0, ...) + (b, 0, ..., 0, ...) = f (a) + f (b)
f (ab) = (ab, 0, ..., 0, ...) = (a, 0, ..., 0, ...)(b, 0, ..., 0, ...) = f (a)f (b)
f (a) = f (b) ⇔ (a, 0, ..., 0, ...) = (b, 0, ..., 0, ...) ⇔ a = b

Vậy f là đơn cấu và bảo tồn hai phép tốn. Vì f đơn cấu nên ta đồng nhất mỗi
phần tử a ∈ A với f (a) ∈ P tức là:
a = f (a) = (a, 0, ..., 0, ...) ∈ P

Do đó A là một vành con của vành P. Các phần tử của P là dãy (a0 , a1 , ..., an , ...)
trong đó ai = 0 tất cả trừ một số hữu hạn nên ta có thể giả sử n là số lớn nhất
để an 6= 0, khi đó mỗi phần tử trong P có thể viết:
(a0 , a1 , ..., an , 0, ...) = (a0 , 0, 0, ...) + (0, a1 , 0, ...) + (0, 0, ..., 0, an , 0, ...)
= (a0 , 0, ...)(1, 0, ...) + (a1 , 0, ...)(0, 1, 0, ...) + ...+

(an , 0, ...)(0, ..., 0, 1, 0, ..)

| {z }
n

= a0 + a1 x + ... + an xn
= a0 x0 + a1 x1 + ...an xn .
5


Người ta thường kí hiệu các phần tử của P dưới dạng:
an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x1 + a0 x0 ,

ai ∈ A, i = 0, n.

bằng f (x), g(x),...
Định nghĩa 1.1.1. Vành P gọi là vành đa thức của biến x lấy hệ tử trong A,
hay vành đa thức của biến x trên A. Kí hiệu: A[x]. Các phần tử của vành đó
gọi là đa thức của biến x lấy hệ tử trong A. Trong một đa thức
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x1 + a0 x0 .
• ai , i = 0, n gọi là các hệ tử thứ i của đa thức.
• ai xi , i = 0, n gọi là các hạng tử thứ i của đa thức.
• a0 x0 = a0 gọi là hạng tử tự do.
• an xn với an 6= 0 gọi là hạng tử cao nhất.

b) Bậc của đa thức.
Định nghĩa 1.1.2. Cho đa thức:
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x1 + a0 x0 với an 6= 0, n ≥ 0.

Khi đó bậc của đa thức là n, kí hiệu là deg f (x) và hệ tử an gọi là hệ tử cao

nhất của f (x) và a0 gọi là hệ tử tự do của f (x).
c) Phép chia đa thức.
Định lý 1.1.3. Cho hai đa thức f (x), g(x) ∈ A[x] với g(x) 6= 0 thì ln ln tồn
tại hai đa thức duy nhất q(x) và r(x) thuộc A[x] sao cho:
f (x) = g(x).q(x) + r(x)

với r(x) = 0 hoặc r(x) 6= 0 thì deg r(x) < deg g(x).Ta gọi q(x) và r(x) lần lượt là
thương và dư trong phép chia f (x) cho g(x). Nếu r(x) = 0 thì ta nói f (x) chia
.
hết cho g(x). Kí hiệu: f (x)..g(x) hay g(x)|f (x)

6


Chứng minh. * Chứng minh sự tồn tại hai đa thức q(x) và r(x).
Giả sử
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 ,

deg f (x) = n.

g(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + ... + b! x + b0 ,

deg g(x) = m.

- Nếu deg f (x) < deg g(x) thì đặt q(x) = 0 và r(x) = f (x). Khi đó ta có:
f (x) = g(x).q(x) + r(x),

deg r(x) = deg f (x) < deg g(x).

n−m . Khi đó hạng tử cao nhất

- Nếu deg f (x) ≥ deg g(x) thì đặt h1 (x) = an b−1
m x

của g(x)h1 (x) là:
n−m
bm xm .b−1
= an x n .
m an x

Do đó, đặt: f1 (x) = f (x) − g(x)h1 (x) thì f1 (x) là đa thức bậc thực sự nhỏ hơn
bậc của f (x). Có hai khả năng xảy ra:
+ Nếu deg f1 (x) < deg g(x) thì đặt:
q(x) = h1 (x),

r(x) = f1 (x).

Ta có:
f (x) = g(x).q(x) + r(x).
deg r(x) = deg f1 (x) < deg g(x).

+Nếu deg f1 (x) > deg g(x), giả sử:
f1 (x) = c0 + c1 x + ... + ck xk .

Ta lại đặt:
k−m
h2 (x) = ck b−1
.
m x

f2 (x) = f1 (x) − g(x)h2 (x).

Đến đây, ta lại xét f2 (x) tương tự như đối với f (x) và f1 (x), cứ tiếp tục q
trình trên ta thu được dãy các đa thức có bậc giảm dần f (x), f1 (x), f2 (x), ....
7


Do đó, sau hữu hạn bước ta sẽ gặp một đa thức fk (x) = 0 hoặc nếu fk (x) 6= 0
thì có bậc nhỏ hơn bậc của g(x). Ta viết dãy các đẳng thức trong quá trình
trên như sau:
f1 (x) =

f (x) − g(x)h1 (x)

f2 (x) =

f1 (x) − g(x)h2 (x)

...
fk (x) = fk−1 (x) − g(x)hk (x).

Khi đó, cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được:




fk (x) = f (x) − g(x) h1 (x) + h2 (x) + ... + hk (x)





⇔ f (x) = g(x) h1 (x) + h2 (x) + ... + hk (x) + fk (x).

Đặt:
q(x) = h1 (x) + h2 (x) + ... + hk (x), r(x) = fk (x).

Ta được:
f (x) = g(x).q(x) + r(x).

Nếu r(x) 6= 0 thì deg r(x) < deg g(x).
* Tính duy nhất của q(x) và r(x). Giả sử có cặp đa thức q(x), r(x) và q1 (x), r1 (x)
đều thỏa mãn:
f (x) = g(x).q(x) + r(x), deg r(x) < deg g(x), r(x) 6= 0
f (x) = g(x).q1 (x) + r1 (x), deg r1 (x) < deg g(x), r1 (x) 6= 0





⇒g(x) q(x) − q1 (x) = r1 (x) − r(x)

Từ đó, ta có:






deg r1 (x) − r(x) = deg g(x) + deg q(x) − q1 (x) .



Nếu r1 (x) − r(x) 6= 0 thì deg r1 (x) − r(x) < deg g(x).

Thậy vậy, vì
deg r(x) < deg g(x),

8

deg r1 (x) < deg g(x)

(1.1)


nên:



deg r1 (x) − r(x) ≤ max(deg r1 (x), deg r(x)) < deg g(x)




⇒ deg r1 (x) − r(x) < deg g(x)

Điều này mâu thuẫn với (1.1). Vậy r1 (x) − r(x) = 0 hay r1 (x) = r(x). Từ đó suy
ra: q(x) = q1 (x) (đpcm).
d) Hàm đa thức.
Định nghĩa 1.1.4. Cho đa thức:
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x1 + a0 x0 ∈ A[x] với an 6= 0, n ∈ N.

Xét ánh xạ:
ϕf :

A
b

→
7→

A
ϕf (b) = an bn + ... + a1 b1 + a0 , ai ∈ A, i = 1, n, n ∈ N

Khi đó ϕf được gọi là hàm đa thức xác định bởi đa thức f .

1.1.2

Vành đa thức nhiều biến.

a) Xây dựng vành đa thức nhiều biến.
Vành đa thức nhiều biến lấy hệ tử trong A được xây dựng bằng phương pháp
quy nạp như sau.
Định nghĩa 1.1.5. Giả sử A là vành giao hốn có đơn vị. Đặt:
A1 = A[x1 ]
A2 = A1 [x2 ]
A3 = A2 [x3 ]
...
An = An−1 [xn ]

Vành An = An−1 [xn ] kí hiệu là A[x1 , x2 , ..., xn ] và được gọi là vành đa thức n biến
x1 , x2 , ..., xn lấy hệ tử trong vành A, các phần tử trong An có dạng f (x1 , x2 , ..., xn ).
9


Từ định nghĩa trên ta có dãy vành
A ⊂ A1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ An

trong đó Ai−1 là vành con của Ai với i = 1, n.
Xét vành A1 [x2 ] = A[x1 , x2 ] là vành đa thức theo biến x2 lấy hệ tử trong A1 =
A[x1 ]. Vậy mỗi phần tử của A[x1 , x2 ] có thể viết dưới dạng:
f (x1 , x2 ) = a0 (x1 )x2 + a1 (x1 )x2 + ... + an (x1 )x2 với ai (x1 ) ∈ A[x1 ]
i
ai (x1 ) = bi0 + bi1 x1 + ... + bimi xm
1 với i = 0, n

Vì A[x1 , x2 ] là một vành nên ta có phép nhân phân phối đối với phép cộng, do
đó f (x1 , x2 ) có thể viết
f (x1 , x2 ) = c1 xa111 xa212 + c2 xa121 xa222 + ... + cm xa1m1 xa2m2

trong đó ci ∈ A, các ai1 , ai2 là những số tự nhiên và (ai1 , ai2 ) 6= (aj1 , aj2 ) khi
i 6= j . Các ci gọi là hệ tử và ci xa1i1 xa2i2 là các hạng tử của đa thức f (x1 , x2 ).

Bằng quy nạp, mỗi đa thức f (x1 , x2 , ..., xn ) của vành A[x1 , x2 , ..., xn ] có thể
viết dưới dạng:
f (x1 , x2 , ..., xn ) = c1 xa111 ...xan1n + ... + cm xa1m1 ...xanmn

trong đó ci ∈ A, các ai1 , ..., ain với i = 1, m là những số tự nhiên và (ai1 , ..., ain ) 6=
(aj1 , ..., ajn ) khi i 6= j . Các ci gọi là hệ tử và ci xa1i1 ...xanin là các hạng tử của đa

thức f (x1 , x2 , ..., xn ). Đa thức f (x1 , x2 , ..., xn ) = 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ tử
của nó bằng 0.
b) Bậc của đa thức.
Định nghĩa 1.1.6. Cho đa thức f (x1 , ..., xn ) ∈ A[x1 , x1 , ..., xn ] khác 0.
f (x1 , ..., xn ) = c1 xa111 ...xan1n + ... + cm xa1m1 ...xanmn

trong đó ci 6= 0, i = 1, m và (ai1 , ..., ain ) 6= (aj1 , ..., ajn ) khi i 6= j .Khi đó:

Bậc của đa thức f (x1 , ..., xn ) đối với biến xi là số mũ cao nhất của xi trong
các hạng tử của đa thức. Nếu trong đa thức f (x1 , ..., xn ) biến xi khơng có mặt
thì bậc của f (x1 , ..., xn ) đối với nó bằng 0.
10


Bậc của hạng tử ci xa1i1 ...xanin là tổng các số mũ ai1 + ... + ain .
Bậc cúa đa thức đối với tất cả các biến (bậc toàn phần) là số lớn nhất trong
các bậc của các hạng tử của đa thức.
d) Hàm đa thức.
Định nghĩa 1.1.7. Cho đa thức:
f (x1 , ..., xn ) = c1 x1a11 ...xan1n + ... + cm xa1m1 ...xanmn ∈ A[x1 , ..., xn ]

trong đó ci 6= 0, i = 1, m và (ai1 , ..., ain ) 6= (aj1 , ..., ajn ) khi i 6= j . Xét ánh xạ:
An

→

A

b = (b1 , ..., bn )

7→

ϕf (b) = c1 ba111 ...ban1n + ... + cm ba1m1 ...banmn

ϕf :

trong đó ci 6= 0, i = 1, m và (ai1 , ..., ain ) 6= (aj1 , ..., ajn ) khi i 6= j . Khi đó ϕf được
gọi là hàm đa thức xác định bởi đa thức f .

1.2

Iđêan.

Định nghĩa 1.2.1. Cho A là vành giao hốn. Khi đó I ⊂ A được gọi là iđêan
của A nếu I thỏa mãn các điều kiện sau:
1) I 6= ∅.
2) Nếu ∀x, y ∈ I thì (x + y) ∈ I.
3) Nếu ∀x ∈ I, ∀r ∈ A thì rx ∈ I.
Ví dụ 1.2.2.
1) Cho A là một vành, thì A ln có các iđêan tầm thường là 0 và A.
2) Tập nZ = {nz/z ∈ Z, n ∈ N∗ } là iđêan của vành Z.
Định nghĩa 1.2.3. Cho A là vành giao hốn có đơn vị. Khi đó I 6= A là iđêan
nguyên tố của A nếu I thỏa mãn các điều kiện sau:
1) I là iđêan của A.
11


2) Nếu ∀x, y ∈ A, xy ∈ I thì x ∈ I hoặc y ∈ I .
Định nghĩa 1.2.4. Cho A là vành giao hốn có đơn vị. Khi đó I 6= A là iđêan
cực đại của A nếu I thỏa mãn các điều kiện sau:
1) I là iđêan của A.
2) Nếu tồn tại J là iđêan của A mà I ⊂ J thì J = I hoặc J = A.
Nhận xét 1.2.5.

1) Cho A là vành giao hoán có đơn vị, I là iđêan nguyên

tố của A khi và chỉ khi A/I là miền nguyên.
2) Cho A là vành giao hốn có đơn vị, I là iđêan cực đại của A khi và chỉ

khi A/I là trường.
Định nghĩa 1.2.6. Cho I ⊂ k[x1 , ..., xn ] là iđêan. Khi đó, căn của I là:
√
I = {g ∈ k[x1 , ..., xn ] : g m ∈ I với m ≥ 1}

Iđêan I được gọi là iđêan căn nếu

√

I = I.

Định nghĩa 1.2.7. Cho f1 , ..., fs ∈ k[x1 , ..., xn ]. Khi đó
hf1 , ..., fs i = {p1 f1 + ... + ps fs : pi ∈ k[x1 , ..., xn ] với i = 1, s}

là iđêan sinh bởi các đa thức f1 , ..., fs .
Ví dụ 1.2.8. Cho hai đa thức: f1 = x2 + z 2 − 1 và f2 = x2 + y 2 + (z − 1)2 − 4.
Ta có :
1
p = x2 + y 2 z − z − 1
 2

1
1
= − z + 1 (x2 + z 2 − 1) + z(x2 + y 2 + (z − 1)2 − 4).
2
2

Vì vậy p ∈ hf1 , f2 i .

12

1.3

Đa tạp afin.

1.3.1

Không gian afin.

Định nghĩa 1.3.1. Cho k là trường, n ∈ N∗ , không gian afin n− chiều trên k
là:
k n = {(a1 , ..., an ) : a1 , ..., an ∈ k}.

Ví dụ 1.3.2. Với k = R thì k n = Rn là một khơng gian afin. Cụ thể nếu n = 1
thì R1 được gọi là đường thẳng afin, nếu n = 2 thì R2 được gọi là mặt phẳng
afin.
Mệnh đề 1.3.3. Cho k là trường vô hạn và f ∈ k[x1 , ..., xn ]. Khi đó hàm đa
thức:
kn

→

k

(a1 , ..., an )

7→

ϕf (a1 , ...an )

ϕf :

bằng 0 khi và chỉ khi f = 0 ∈ k[x1 , ..., xn ].
Chứng minh. (⇐) Nếu f = 0 thì ϕf = 0.
(⇒) Cần chứng minh nếu ϕf (a1 , ..., an ) = 0, ∀(a1 , ..., an ) ∈ k n thì f = 0. Với n = 1,

lấy f ∈ k[x] : deg(f ) = m với m ∈ N. Giả sử ϕf = 0, ∀a ∈ k mà k là trường vơ
hạn nên ϕf có vơ hạn nghiệm. Do đó f = 0.
Giả sử mệnh đề đúng với n − 1. Lấy f ∈ k[x1 , ..., xn ] sao cho ϕf = 0. Ta có:
f=

N
X

gi (x1 , ..., xn−1 )xin với gi ∈ k[x1 , ..., xn−1 ].

i=0

Giả sử ϕgi 6= 0, tồn tại (a1 , ..., an−1 ) ∈ k n−1 sao cho ϕgi (a1 , ..., an−1 ) 6= 0. Khi đó:
f (a1 , ..., an−1 , xn ) =

N
X

gi (a1 , ..., an−1 )xin 6= 0.

i=0

Suy ra ϕf 6= 0 (vô lý). Nên ϕgi = 0 suy ra gi = 0. Vì vậy f = 0.

Bổ đề 1.3.4. Cho k là trường vô hạn và f, g ∈ k[x1 , ..., xn ] tồn tại hai hàm đa
thức
kn

→

k

(a1 , ..., an )

7→

ϕf (a1 , ...an )

ϕf :

kn

→

k

(a1 , ..., an )

7→

ϕg (a1 , ...an ).

và ϕg :

13


Khi đó:
f = g ⇔ ϕf = ϕg .

1.3.2

Đa tạp afin.

Để dễ dàng hơn trong việc trình bày các lí thuyết về đa tạp afin thì từ
đây chúng tơi sẽ thay kí hiệu ϕf là hàm đa thức xác định bởi f bằng kí hiệu
f (a1 , ..., an ) trong đó a1 , ..., an ∈ k n và f ∈ k[x1 , ..., xn ].

Định nghĩa 1.3.5. Cho k là trường, f1 , ..., fs ∈ k[x1 , ..., xn ] và hàm đa thức
fi : k n → k xác định bởi đa thức fi với i = 1, s. Đặt
V (f1 , ..., fs ) = {(a1 , ..., an ) ∈ k n : fi (a1 , ..., an ) = 0, ∀1 ≤ i ≤ s}

Khi đó V (f1 , ..., fs ) được gọi là đa tạp afin xác định bởi f1 , ..., fs .
Ví dụ 1.3.6.
1) Trong R, V (2x − 1), V (x − a), V ((x − a)(x − b)), ... là các điểm.
2) Trong R, đa tạp V (0) = R.
3) Trong R2 , đa tạp V (x2 + y 2 − 1) là đường tròn tâm 0, bán kính 1.


3xy y 2 3x 3y
2
3
2
Ví dụ 1.3.7. Cho I = x +

+
−
− , xy − xy, y − y ⊂ C[x, y]
2

2

2

2

Các điểm thuộc đa tạp afin xác định bới các đa thức f1 , f2 , f3 ∈ I có thể được
kí hiệu là V (I) được tính như sau:



3xy y 2 3x 3y

2

x +
+
−
−
=0


2
2
2

2
2

xy − xy = 0




y 3 − y = 0

⇔






 y=0





 y=1






y = −1




2


2 + 3xy + y − 3x − 3y = 0

x


2
2
2
2



2
xy − xy = 0

14




3x



y = 0 và x2 −
=0



2




 y = 1 và x2 − 1 = 0

⇔ 


y = −1 và x2 − 3x + 2 = 0






xy 2 − xy = 0







 y = 0; x = 0





 y = 0; x = 3




2







y = 1; x = 1



⇔ 
y = 1; x = −1




y = −1; x = 1











y = −1; x = 2






xy 2 − xy = 0



y = 0; x = 0


 y = 1; x = 1


⇔ y = 1; x = −1

y = −1; x = 1


y = −1; x = 2

Suy ra:




V (I) = (0; 0); (1; 1); (−1; 1); (1; −1); (2; −1) .

Định nghĩa 1.3.8. Cho V là một tập điểm tùy ý trong k n . Kí hiệu
IV = {f ∈ k[x1 , ..., xn ]/f (a) = 0 với mọi a ∈ V }.

Khi đó, ta thấy IV là iđêan và được gọi là iđêan của tập điểm V trong k[x1 , ..., xn ].
Nếu V chỉ gồm một điểm a thì ta kí hiệu là Ia .
Ví dụ 1.3.9.
1) Nếu V = k n thì IV = 0.
2) Nếu V = ∅ thì IV = k[x1 , ..., xn ].
3) Nếu V = {a = (a1 , ..., an ) ∈ k n } thì IV = hx1 − a1 , ..., xn − an i .
4) Nếu V ⊂ k 2 là tập hợp các điểm trên đường parabol x2 − y = 0 thì

2

IV = x − y .

5) Nếu V = {(0, ..., 0, ad+1 , ..., an )/ad+1 , ..., an ∈ k} ⊂ k n thì IV = hx1 , ..., xd i .

15

Chương 2
MỘT SỐ TÍNH TỐN TRÊN IĐÊAN
CHIỀU KHƠNG VÀ VÀNH TỌA ĐỘ

Toàn bộ các Định nghĩa trong chương này được chúng tơi tổng hợp, trích
dẫn từ các tài liệu [4] v [5].

2.1

C s Gră
obner

Trc khi tỡm hiu v c s Grăobner, chỳng tụi xin trỡnh by v th t n
thc từ đó xây dựng thuật tốn chia với thứ tự đơn thức đã cho và cho thấy
được tầm quan trọng ca c s Grăobner trong phộp chia a thc.

2.1.1

Th t đơn thức, thuật toán chia

Định nghĩa 2.1.1. Một đơn thức gồm các biến x1 , ..., xn trong k[x1 , ..., xn ] có
dạng
xα1 1 xα2 2 ...xαnn

trong đó αi là số nguyên không âm. Đơn thức trên thường được viết gọn là xα
với α = (α1 , α2 , ..., αn ) là một vectơ của số mũ trong đơn thức. Bậc của đơn thức
là tổng của các số mũ α1 + α2 + ... + αn . Kí hiệu là |α|.
Định lý 2.1.2. (Định lí cơ sở Hilbert)([5], Hilbert Basis Theorem, Ch.1) Mọi
iđêan I trong k[x1 , ..., xn ] có một tập sinh hữu hạn. Nói cách khác, cho một

16