398

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH K

Nguyễn Thị Vân Hư

DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM ỨNG S
TÁC DỤNG CỦA VẬT THỂ

Chuyên ngành: Cơ kỹ t
Mã số: 62520101

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN S

Hà Nội – 2016


Cơng trình được hồn thành tại:
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Phong Điền

Phản biện 1: GS. TSKH. Nguyễn Đông Anh
Phản biện 2: GS. TSKH. Nguyễn Đình Đức
Phản biện 3: GS. TS. Lê Xuân Cận

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ
cấp Trường họp tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Vào hồi 14 giờ 30, ngày 20 tháng 9 năm 2016

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:

1. Thư việnTạ Quang Bửu- Trường ĐHBK Hà Nội
2. Thư viện Quốc gia Việt Nam


DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CƠ

1. Nguyễn Thị Vân Hương, Ngơ Qu
định lực căng dây cáp theo mơ hìn
hai đầu ngàm. Tuyển tập Hội nghị
thứ 9, NXB Bách khoa, Tập 1, Tr.
2. Nguyen Thi Van Huong, Nguyen P
the natural frequency and mode sh
prestressed beam.Journal of Scie
103, pp. 47-52
3. Nguyễn Thị Vân Hương (2015) K
vết nứt đến tần số riêng dao động
trước trên mô hình lý thuyết. Tạp
nghệ xây dựng, Số 16, Tr. 31-40
4. Nguyen Thi Van Huong, Nguyen
Phong Dien (2015) Dynamic resp
prestressed beam under the actio
Journal of Science and Technology
5. Nguyễn Phong Điền, Nguyễn Th
Khảo sát ảnh hưởng của ứng suấ
tần số riêng uốn của dầm hai đầu
trình Hội nghị Cơ học kỹ thuật toà
81
6. Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Thị
Đức Phong (2016) Về vận tốc tới
cầu. Tạp chí Khoa học và Cơng ng

425


MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Dao động uốn của dầm dưới tác động của các vật thể di
động là một trong những bài tốn quan trọng của động lực học
cơng trình. Lịch sử nghiên cứu về dao động của dầm dưới tác
dụng của tải trọng di động đã kéo dài hơn 150 năm với nhiều
kết quả nghiên cứu. Có hàng nghìn bài báo khoa học về dao
động của dầm khơng có ứng suất trước được cơng bố trong các
tạp chí khoa học và nhiều sách chuyên khảo được xuất bản.
Ngày nay trong các ngành giao thông vận tải, xây dựng và
chế tạo cơ khí người ta hay sử dụng các loại dầm bê tơng cốt
thép dự ứng lực (có ứng suất trước) hoặc dầm thép có ứng suất
trước. Việc tính toán các loại dầm này trước đây ở nước ta mới
chỉ ở mức độ tính tốn tĩnh. Các nghiên cứu về dao động của
dầm có ứng suất trước tuy rất cần thiết cho công tác thiết kế và
kiểm định công trình nhưng chưa có nhiều kết quả nghiên cứu
được cơng bố ở trong nước. Do đó, luận án này tập trung vào
việc nghiên cứu tính tốn dao động uốn của dầm có ứng suất
trước dưới tác dụng của hoạt tải khai thác.
Mục tiêu nghiên cứu
- Mục tiêu thứ nhất của luận án nhằm đề xuất và áp dụng
phương pháp thiết lập mơ hình lý thuyết mơ tả dao động uốn
của dầm giản đơn có ứng suất trước dưới tác dụng của một vật
thể di động; phát triển thuật toán và chương trình tính tốn các
đặc trưng dao động của dầm như tần số riêng, dạng dao động
riêng và độ võng động lực.
- Mục tiêu thứ hai là xác định sự ảnh hưởng của ứng suất

trước đến độ võng động và ứng suất động tại các mặt cắt ngang
của dầm liên tục có ứng suất trước dưới tác dụng của vật thể di
động bằng mơ hình lý thuyết và các kết quả tính tốn số dao
động.
- Mục tiêu thứ ba nhằm đề xuất phương pháp xây dựng mơ
hình lý thuyết và phương pháp tính tốn xác định các đặc trưng
dao động tự do và dao động cưỡng bức của dầm có ứng suất
1

trước với nhiều vết nứt; xác định sự ả
trước, số lượng và độ lớn của các vết nứ
dao động riêng và đáp ứng động lực của
vật thể di động.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án
giản đơn có ứng suất trước với các điều
dầm liên tục có ứng suất trước. Dầm g
liên kết ở hai đầu, dầm liên tục là dầm c
Trong đó mơ hình dao động được giớ
thiết sau:
- Mơ hình hóa dầm có ứng suất tr
dầm Euler-Bernoulli
- Biến dạng tỷ đối ban đầu tạo ra ứn
hằng số theo chiều dài dầm
- Vật thể di chuyển trên dầm đượ
một hệ dao động đơn giản một bậc tự do
- Mơ hình hóa vết nứt dựa trên giả
thích tại vị trí vết nứt đối với chuyển vị
đã được sử dụng trong nhiều kết quả ngh
Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng kết hợp giữa các p
các phương pháp số để thực hiện mục ti
- Các phương pháp cơ bản của cơ h
lý d'Alembert, phương pháp tách cấu
trận truyền đã được áp dụng để thiết l
phân dao động của hệ dầm - vật thể di đ
Galerkin được áp dụng để biến đổi hệ
hỗn hợp về hệ các phương trình vi phân
- Phương pháp số với các thuật t
Nyström đã được sử dụng để giải gần đú
vi phân thường bằng số. Các chương tr
dựng trên phần mềm tính tốn đa năng
quả tính tốn số đã được so sánh với k
2


kiểm chứng độ chính xác. Các dữ liệu thiết kế và thông số kỹ
thuật của dầm cầu được sử dụng cho các thí dụ áp dụng được
lấy từ các nguồn đáng tin cậy.
Bố cục của luận án
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận án gồm có năm
chương nội dung. Chương một giới thiệu một cách tổng quan
về dầm bê tơng cốt thép dự ứng lực và tình hình nghiên cứu
tính tốn dao động của dầm có ứng suất trước. Chương hai
trình bày việc thiết lập phương trình vi phân dao động uốn của
dầm Euler-Bernoulli có ứng suất trước và nghiên cứu bài toán
xác định trị riêng và dạng dao động riêng của dầm giản đơn có
ứng suất trước. Nội dung của chương ba là các kết quả nghiên
cứu dao động uốn của dầm Euler-Bernoulli giản đơn có ứng
suất trước dưới tác dụng của vật thể di động. Chương bốn trình

bày việc tính tốn dao động uốn của dầm liên tục có ứng suất
trước dưới tác dụng của nhiều vật thể di động. Chương năm
trình bày phương pháp tính tốn và các kết quả mô phỏng số
dao động uốn tự do của dầm ứng suất trước có nhiều vết nứt và
dao động cưỡng bức của dầm loại này dưới tác dụng của vật thể
di động.
Đóng góp của luận án
- Xây dựng cơ sở lý thuyết nghiên cứu tương tác động lực
của hệ cầu và xe. Trong đó cầu được mơ hình hóa bởi dầm giản
đơn và dầm liên tục ứng suất trước, xe ơ tơ được mơ hình hóa
bởi các hệ dao động di chuyển trên dầm. Mơ hình tốn học của
hệ cầu và xe trong trường hợp dầm liên tục là hệ bao gồm
phương trình đạo hàm riêng, các phương trình vi phân thường
và các phương trình đại số phi tuyến.
- Xây dựng các thuật toán biến đổi hệ phương trình hỗn
hợp gồm phương trình đạo hàm riêng, các phương trình vi phân
thường và các phương trình đại số phi tuyến về hệ phương trình
vi phân thường. Xây dựng các chương trình tính tốn số các
đặc trưng dao động của dầm có ứng suất trước (tần số riêng,
dạng dao động riêng) và đáp ứng động lực của dầm có ứng suất
3

trước (khơng có và có các vết nứt) dưới
động.
- Đưa ra nhiều kết quả tính tốn s
liệu của một số cơng trình cầu tại Việ
tính tốn lý thuyết đã được so sánh v
nghiệm và cho thấy sự phù hợp. Các kế
ra sự ảnh hưởng của ứng suất trước đến
động lực của dầm.

- Các chương trình tính tốn của lu
tính tốn dự báo dao động của các cơng
tác dụng của hoạt tải khai thác, hỗ trợ c
kiểm định.
- Đề xuất một phương pháp tính to
tơ khi qua cầu, trong đó có tính đến h
tham số của dao động uốn.

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ DAO ĐỘ
ỨNG SUẤT TRƯ

Chương 1 giới thiệu sơ lược về cá
dầm bê tông cốt thép dự ứng lực, sau đó
kết quả nghiên cứu dao động uốn của
dao động uốn của dầm ứng suất trước có
Kết cấu ứng suất trước, điển hình là
ứng suất trước (dầm bê tơng dự ứng lự
rãi tại hầu hết các nước từ hơn 50 năm n
tải trọng lớn hơn kết cấu bê tông thôn
chung của các biện pháp tạo ứng suất tr
tạo ra ứng suất kéo trong các cốt thép c
lợi dụng tính dính bám của các cốt thé
dùng các mấu neo để truyền ứng lực ké
tông, tạo thành dự ứng lực nén trước cho
Trên thế giới, các cơng trình nghiê
dầm ứng suất trước được bắt đầu nghiên
của thế kỷ 20. Các nghiên cứu về dao
4

trước chủ yếu dựa trên các mơ hình lý thuyết, trong đó nhiều
tác giả đã nghiên cứu ảnh hưởng của ứng suất trước đến tần số
riêng và dạng dao động riêng của dầm. Hiệu ứng "làm mềm
dầm bằng nén trước" biểu thị sự suy giảm tần số riêng uốn của
dầm do nén trước đã được kiểm chứng bằng thực nghiệm. Các
công bố khoa học về dao động uốn cưỡng bức của dầm giản
đơn có ứng suất trước và có vết nứt, chịu tác dụng của tải trọng
di động còn khá ít ỏi, cho thấy còn một số vấn đề cần nghiên
cứu sâu hơn về cơ sở lý thuyết, phương pháp tính tốn và khả
năng áp dụng vào thực tế, góp phần làm phong phú thêm những
kiến thức và hiểu biết về tính tốn dao động của dầm ứng suất
trước.
- Vấn đề thứ nhất là xây dựng mơ hình lý thuyết và đề xuất
áp dụng một phương pháp tin cậy để thiết lập phương trình dao
động của dầm giản đơn có ứng suất trước, chịu tác dụng của vật
thể di động; đưa ra các kết quả khảo sát ảnh hưởng của ứng
suất trước đến tần số riêng và đáp ứng động lực của dầm.
- Vấn đề thứ hai là xây dựng mơ hình lý thuyết, thiết lập
phương trình dao động và đề xuất phương pháp tính tốn đáp
ứng động lực của dầm liên tục với nhiều gối cứng trung gian,
có ứng suất trước, chịu tác dụng của nhiều vật thể di động. Đây
là một bài toán khá phức tạp và hiện tại hầu như chưa có kết
quả nghiên cứu về vấn đề này được công bố.
- Vấn đề thứ ba là xây dựng mơ hình lý thuyết, thiết lập
phương trình dao động và đề xuất phương pháp tính tốn đáp
ứng động lực của dầm giản đơn có ứng suất trước với nhiều vết
nứt hở dưới tác dụng của một vật thể di động; đưa ra các kết
quả khảo sát ảnh hưởng của vết nứt đến tần số riêng và đáp ứng
động lực của dầm. Vấn đề này hiện chưa được nghiên cứu rộng
rãi và có rất ít cơng bố khoa học.

- Vấn đề thứ tư là việc xây dựng các chương trình tính tốn
trên cơ sở các kết quả nghiên cứu lý thuyết và áp dụng chương
trình này tính tốn cho nhiều thí dụ từ số liệu của một số cơng
trình cầu tại Việt Nam nhằm tính tốn dự báo dao động của các

5

cơng trình như cầu dầm dưới tác dụng c
phục vụ cho công tác thiết kế và kiểm đị

CHƯƠNG 2. TẦN SỐ RIÊNG VÀ DẠNG
CỦA DẦM ỨNG SUẤT

Nội dung của chương này đề cập
hình cơ học và mơ hình toán của dầm
phương pháp xác định tần số riêng và d
dầm ứng suất trước với các điều kiện bi
bày chi tiết. Cuối chương trình bày các
và các cơng thức tính toán gần đúng đ
căng dây cáp của cầu treo trên cơ sở đ
riêng và một số kết quả tính lực căng d
dây văng ở Việt Nam là cầu Bính và cầu

2.1 Mơ hình cơ học và phương trình dao

Dao động uốn của dầm được khảo
Euler-Bernoulli (bỏ qua quán tính quay
hiệu w(x,t) là độ võng của dầm tại mặt
lý d'Alembert, phương trình vi phân da
uốn của dầm có ứng suất trước được thiế

2
2

x

2

EI x

w
2
x

2
2

x

0

x EA x w

trong đó E là mơ đun đàn hồi, I là mô m
của dầm,
là khối lượng riêng (mật đ
là diện tích thiết diện mặt cắt ngang c
dạng dài tỷ đối ban đầu tại ở mặt cắt A(
thì 0 0 , dầm bị kéo trước 0 0. Đối
diện không đổi và ứng suất trước đều tạ
ta suy ra phương trình dao động tự do củ

4
2
2
w
w
w
0
EI 4
A
0 EA
2
2
x
x
t

6


2.2 Tần số riêng và dạng dao động riêng

Áp dụng phương pháp Bernoulli, ta tìm nghiệm của phương
trình dao động tự do của dầm (2.21) dưới dạng
w( x, t) X x . T t
(2.23)
Ta đưa phương trình (2.21) về dạng
2
IV
(2.31)
X

x 2 X x
X x 0
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (2.31) có dạng:
X x C1 cos x C2 sin x C3 cosh x C4 sinh x (2.38)
trong đó các hằng số C1 , C2 , C3 , C4 được xác định từ các điều
kiện biên. Đối với dầm hai đầu bản lề có ứng suất trước, ta thiết
lập được phương trình đặc trưng dưới dạng
(2.47)
sin l 0
2

trong đó l là chiều dài dầm, các ký hiệu
2

2

2

2

2

EI

, 2

0

A
I

,
.
Dựa trên phương trình (2.47) và sau một số biến đổi tốn
học, ta thiết lập được công thức xác định tần số riêng của dầm
hai đầu bản lề có ứng suất trước
4
2
EI
E
2
4
2
,
(2.49)
k
k
k 1, 2,...
0
k
4
2
l
l
Đối với dầm hai đầu ngàm có ứng suất trước, phương trình
đặc trưng có dạng:
f ( ) 2 sin ( ) l sinh ( ) l
(2.58)
2 1 cos ( )l cosh ( )l 0
Giải phương trình (2.58) ta xác định được các nghiệm k và

tính được tần số riêng thứ k của dầm hai đầu ngàm có ứng suất
trước k .
Đối với dầm đồng chất, thiết diện không đổi
A const
và EI const, theo (2.38) dạng dao động riêng của dầm ứng
7

suất trước được biểu diễn dưới dạng
X x C1 cos x C2 sin x C3 cosh
Ta suy ra các các hàm riêng của d
công thức
cos( k l ) k cosh( kl)
k
cos(
X k ( x)
sin( k l) k sinh( k l)
k
sin(

k

x)

k

sinh(

k

x),

k

k

2.3 Xác định lực căng dây cáp từ tần số

Việc xác định lực căng dây cáp bằ
động riêng của dây cáp là bài tốn có
dựng và bảo dưỡng các cầu dây xiên.
xác định lực căng dây cáp trên cơ sở đo
là vấn đề khó khăn. Tuy nhiên, việc thi
dạng giải tích tương đối đơn giản để tín
theo tần số riêng một cách thuận tiện lại
tạp. Trước đây khi tính tốn lực căng
xiên người ta thường bỏ qua ảnh hưởng
của dây, EI 0 , và xem dây cáp là mô
trước, hai đầu ngàm chặt. Khi đó cơn
riêng và lực căng dây có dạng
4w( f1 l)2
N
g
trong đó ta sử dụng ký hiệu trọng lượng
dây cáp là w
g . Ngồi cơng thức (2
thức thực nghiệm khác đang được sử dụ
Nếu ta coi dây cáp là một dầm có
nén) hai đầu ngàm chặt, ta sẽ thu được
xác định quan hệ giữa lực căng dây cáp

8


2 2
2 EI
k N
k
EI
1
4
(2.78)
fk
2
2l
2
l N
Nl
Lực căng của dây được xác định nhờ công thức (2.78) với
dữ liệu đo đạc tần số dao động riêng của dây. Công thức này đã
được áp dụng để tính tốn lực căng dây cáp của cầu Bãi Cháy
và cầu Bính. Lực căng dây cáp tính theo công thức lý thuyết
(2.78) và theo các công thức thực nghiệm cho thấy phù hợp.

3.1 Phương trình dao động uốn của dầm

Xét dầm giản đơn chiều dài l có ứ
chuyển động trên dầm với vận tốc v khô
khối lượng m đặt trên một hệ lò xo - gi
là k, hệ số cản là d. Gọi z là toạ độ
phương thẳng đứng và vị trí của vật thể

z

v

m

2.4 Kết luận của chương 2

Chương này đã trình bày cơ sở lý thuyết xây dựng mơ hình,
thiết lập phương trình dao động tự do và xây dựng các biểu
thức tính tốn tần số riêng, dạng dao động riêng của dầm có
ứng suất trước. Khác với dầm khơng ứng suất trước phương
trình đặc trưng của các phương trình vi phân xác định dạng dao
động riêng của dầm ứng suất trước là phương trình trùng
phương dạng tổng quát. Trong khi phương trình tương ứng của
dầm khơng ứng suất trước là phương trình trùng phương dạng
đặc biệt, khơng có số hạng bậc hai. Do đó việc tính tốn tần số
riêng và dạng dao động riêng của dầm ứng suất trước phức tạp
hơn nhiều.
Trên cơ sở phân tích dạng dao động riêng của dầm ứng suất
trước hai đầu ngàm, trong [34] đã trình bày một cơng thức giải
tích gần đúng xác định lực căng dây cáp trên cơ sở đo các tần
số dao động riêng của dây. Cơng thức này đã được áp dụng để
tính tốn lực căng dây cáp của cầu Bãi Cháy, cầu Bính và cho
thấy kết quả tính tốn phù hợp với các cơng thức thực nghiệm
hiện đang sử dụng trong tính tốn thiết kế.
CHƯƠNG 3. DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM GIẢN ĐƠN
CÓ ỨNG SUẤT TRƯỚC DƯỚI TÁC DỤNG CỦA VẬT THỂ
DI ĐỘNG

Chương này trình bày việc thiết lập phương trình dao động
uốn của dầm có ứng suất trước chịu tác dụng của vật thể di
động, thuật tốn và chương trình tính.
9

k

d

vt
l

w
Hình 3.1 Mơ hình dầm dưới tác dụng

Bằng phương pháp tách cấu trúc,
phương trình dao động của vật thể th
phương trình dao động uốn cưỡng bức
bằng nguyên lý d'Alembert. Các phươ
động uốn của dầm có ứng suất trước ch
di động là một hệ hỗn hợp phương t
phương trình vi phân thường
4

EI

5

w i
w

b
4
4
x
x t

2

w e w
b
2
t
t

mz dz kz mg L( )t dw
trong đó ta sử dụng hàm tín hiệu logic L
1 khi
t0 t T
L (t )
0 khi t t0 , t
Để giải các phương trình này ta cần
biên và các điều kiện đầu. Áp dụng phư
10


ta tìm nghiệm của các phương trình (3.17), (3.18) dưới dạng
n
r x
(3.23)
w ( x, t )

qr (t ) sin
l
r 1
trong đó qr (t ) là các hàm cần tìm. Sử dụng dạng nghiệm (3.23)
và sau một số biến đổi toán học, ta có thể biến đổi hệ các
phương trình hỗn hợp (3.17) và (3.18) về hệ các phương trình
vi phân thường cấp 2 tuyến tính dưới dạng ma trận:
q = B (t )q +C (t )q +f (t )
(3.33)
T

trong đó ta sử dụng các ký kiệu: q q1 , q 2 ,..., qn , z , B(t ) và
C(t ) là các ma trận vuông cấp n+1 với các hệ số là hàm theo
thời gian. Véctơ f (t ) có dạng

f

f1 , f2 ,

fn 1

T

với

0 ( s 1,.., n ); f n 1 ( t ) g.
Một chương trình tính có tên VIBEAM01-BKHN đã được
xây dựng trên phần mềm MATLAB để tính tốn dao động uốn
của cầu dầm dưới tác dụng của vật thể di động.
fs

3.2 Tính tốn dao động uốn của cầu Đông Hà và cầu Bùng

Cầu Đông Hà là một loại cầu bê tông cốt thép dự ứng lực
được xây dựng ở Đơng Hà, tỉnh Quảng Trị. Thí dụ này nhằm
tính tốn dao động uốn của cầu Đơng Hà dưới tác dụng của một
ô tô hiệu MITSUBISHI PAJERO. Sử dụng chương trình
VIBEAM 01-BKHN ta tính tốn dao động uốn của cầu Đông
Hà với nhiều chế độ nén trước ( 0 từ - 0,0002 đến -0,001) và
các vận tốc qua cầu khác nhau. Từ kết quả tính tốn độ võng
động lực cho thấy biên độ dao động lớn nhất tại mặt cắt giữa
cầu xảy ra khi ô tô qua cầu với v 0.28vth 174.5 km/ h ,
trong đó vth là vận tốc tới hạn tính theo cơng thức cổ điển:
2

vth

l

2

EI

E

(3.38)

0

11

Hình 3.8 Dao động tại mặt cắt giữa cầu Đơ
0,00
km/h và 0

Kết quả tính tốn trên hình 3.8 cho
dầm theo thời gian ứng với các giá trị k
trước. Ngoài ra, ta có thể tính tốn và dự
một mặt cắt bất kỳ của dầm khi xe đã th
Tương tự như thí dụ trước với cầu Đ
tính tốn số cho cầu Bùng, một loại cầu
lực được xây dựng ở tỉnh Nghệ An, ta t
trong dầm càng âm (nén trước nhiều hơ
lại mặt cắt giữa dầm càng lớn. Dầm có
nhất khi vận tốc ô tô qua cầu là v 0.12

3.3 Xác định vận tốc tới hạn của ơ tơ kh

Chương trình VIBEAM01-BKHN đư
vận tốc tới hạn của Cầu Đơng Hà và c
tính độ võng động tại giữa dầm của hai
loại ô tô khác nhau và chuyển động tr
khác nhau. Từ kết quả tính, ta xác định
nhất và vận tốc xe tương ứng. Ta gọi vậ
hạn v*th (tính theo mơ hình chính xác hơ
12


4.1 Mơ hình cơ học và việc thiết lập phư
Xét mơ hình dầm liên tục chiều dài

trung gian, J gối đỡ đàn hồi tuyến tính t
( j 1,..., J ), chịu tác dụng của N vật thể

tốc tới hạn cổ điển vth (theo lý thuyết cũ). Từ các kết quả tính
tốn, ta có thể rút ra một số kết luận sau:
- Vận tốc tới hạn thực tế của ô tô nhỏ hơn vận tốc tới hạn
cổ điển khoảng 10% đến 40%. Vận tốc tới hạn này phụ thuộc
vào chiều dài của cầu và các tham số động lực khác như độ
cứng chống uốn, khối lượng đơn vị chiều dài của dầm, vv.
- Từ các kết quả tính tốn số ta có thể nhận thấy ứng suất
trước có ảnh hưởng lớn đến độ võng động của dầm ở lân cận
giá trị vận tốc tới hạn. Khi xa vận tốc tới hạn, ảnh hưởng của
ứng suất trước không đáng kể.



G 1sin( 1 t+ 1 )
v1

G isin( i t+
vi

m1
k1

mi
ki

d1

di
j

k
ak
i

bj

3.4 Kết luận của chương 3

l

- Hệ hỗn hợp gồm phương trình đạo hàm riêng và phương
trình vi phân thường mơ tả chuyển động của hệ đã được thiết
lập bằng phương pháp tách cấu trúc. Sau đó, hệ phương trình
hỗn hợp được biến đổi về hệ phương trình vi phân thường bằng
phương pháp Ritz-Galerkin. Khi vận tốc ô tô qua cầu là hằng
số, ta nhận được hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần
hoàn. Đây là điểm khác biệt của nghiên cứu này so với nhiều
cơng trình khác đã cơng bố.
- Các kết quả tính tốn số cho thấy vận tốc tới hạn của ô tô
khi qua cầu thấp hơn nhiều so với vận tốc tới hạn tính theo các
cơng thức cổ điển.

w

Hình 4.1 Mơ hình dao động của dầm liên tụ
vật thể di động

Mơ hình vật thể thứ i ( i 1,..., N )
chương 2, ngoài ra chịu lực điều h
phương thẳng đứng. Sử dụng phương
tách hệ thành N+1 các cấu trúc con bao
(hình 4.2).


Gi sin( it

13

)

F1

zi

vi

mi

CHƯƠNG 4. DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM LIÊN TỤC CÓ
ỨNG SUẤT TRƯỚC DƯỚI TÁC DỤNG CỦA NHIỀU VẬT
THỂ DI ĐỘNG

Trong thực tế, các dầm bê tông cốt thép dự ứng lực thường
là các dầm liên tục có ứng suất trước trên nhiều gối cứng trung
gian. Đây là một bài toán phức tạp hơn nhiều so với bài toán
dầm giản đơn chịu tác dụng của lực di động đã được nhiều tác
giả giải quyết trước đây.

i

ki
a)

di

Fi

N1

F1dh

N

w
b)

Hình 4.2 Các cấu trúc con a) vật thể di

Hệ phương trình mô tả chuyển động
ứng suất trước chịu tác dụng của nhiều v
(i) Một phương trình đạo hàm riêng:

14


4

w
4
x

EI
N

5

2

w
4
x t

Li ( t) mi g Gi sin

t

w
2

mi zi

i

2

w
t

(x

0 EA

i

w
x
2

)

(4.20)
(a)

i 1

c j w(b j , t ) ( x b j )

j 1

K

2

Nk ( t) ( x ak )

(ii) N phương trình vi phân thường:
Li ( t) mi zi di zi ki zi
Li ( )(

t mi g Gi sin

i

di wi

k wi )
(4.22)
i

T

với q q1 , q2 ,..., q n và z z1 , z2 ,..., zN , các ma trận hệ
số B và C có các phần tử là hàm theo thời gian. Chương trình
VIBEAM02-BKHN đã được xây dựng để giải hệ phương trình
(4.57) và tính tốn dao động của dầm liên tục.
4.2 Tính tốn dao động uốn của dầm cầu Phả Lại
Số liệu đầu vào là thông số của một liên nhịp chính cầu Phả
Lại, một trong những cơng trình cầu lớn và quan trọng, được
xây dựng bằng bê tơng cốt thép dự ứng lực.
15

-3

0
-1

(iii) K phương trình đại số:
(4.23)
w (a k ,t ) 0 (k = 1,…,K)

Bốn điều kiện biên tại hai đầu của dầm có dạng như sau
2
w 0, t
0
(4.24)
x 0 : w 0, t 0,
2
x
2
w l, t
:
,
0,
0
(4.25)
x l w lt
2
x
Áp dụng phương pháp Ritz-Galerkin và chú ý đến điều kiện
biên (4.24), (4.25) ta tìm nghiệm của hệ các phương trình
(4.20), (4.22) dưới dạng (3.23). Sau một số biến đổi tốn học,
hệ các phương trình (4.20)-(4.23) có thể đưa về hệ các phương
trình vi phân thường và được biểu diễn dưới dạng ma trận
y B(t ) y C(t ) y (ft )
(4.57)
T

x 10

1

k 1

w(m)

J

(b)

-2
10

15

20

25
t(s)

Hình 4.7 Độ võng động lực ở giữa dầm
chuyển động trên cầu với vận tốc 20 km/h
nghiệm và (b) kết quả tính

Hình 4.8 Kết quả tính tốn độ võng động lự
(một ơ tơ chuyển động trên cầu với

Trên hình 4.7b là độ võng động lực t
dầm liên tục, cịn trên hình 4.7a là kế
thực hiện bởi một đề tài nghiên cứu kh
thông vận tải. Trên các hình 4.8 và 4.11

võng động lực với vận tốc xe khác nhau

16


CHƯƠNG 5. DAO ĐỘNG UỐN CỦA
TRƯỚC CÓ VẾT NỨ

Chương này trình bày các kết quả kh
dầm ứng suất trước có số vết nứt tùy ý tr

5.1 Mơ hình dao động của dầm ứng suất

Xét dầm Euler - Bernoulli ứng suất trư
khơng đổi, mặt cắt của dầm là hình chữ nh
b với điều kiện biên tùy ý.

1

Hình 4.11 Kết quả tính toán độ võng động lực ở dầm cầu Phả Lại (ba
ô tô chuyển động trên cầu với vận tốc 20 km/h, thời điểm xuất phát:
0, 10, 20 giây)

4.3 Kết luận của chương 4

- Bằng phương pháp tách cấu trúc, thiết lập được một hệ
phương trình hỗn hợp mơ tả dao động uốn của dầm liên tục ứng
suất trước dưới tác dụng của nhiều vật thể di động, bao gồm
một phương trình đạo hàm riêng, nhiều phương trình vi phân
thường và phương trình đại số phi tuyến.

- Đề xuất một thuật tốn giải hệ phương trình chuyển động
và xây dựng một chương trình tính VIBEAM02-DHBK để tính
tốn số dao động uốn của dầm liên tục ứng suất trước chịu tác
dụng của nhiều vật thể di động.
- Thực hiện hai thí dụ tính tốn số dao động uốn của hai cầu
dầm liên tục là cầu dầm Phả Lại và cầu dầm Hiền Lương. Do
chỉ có số liệu đo đạc của cầu Phả Lại, nên kết quả tính tốn lý
thuyết đã được so sánh với kết quả đo đạc của cầu này. Các kết
quả tính tốn phù hợp tốt với kết quả đo đạc và đã chỉ rõ sự ảnh
hưởng của ứng suất trước đến độ võng động lực của dầm.

17

x0

0

i 1

i

x1

xi

1

xi xi

xi 1

xn 1

Hình 5.1 Mơ hình lý thuyết dầ

Giả sử trên dầm xuất hiện N n 1
các vết nứt bằng các lị xo xoắn với độ
được xác định theo cơng thức thực ngh
nứt thứ i, ta ký hiệu độ sâu vết nứt là a

lớn vết nứt không thứ nguyên i ai / h.
các tọa độ của điểm ngay trước và sau
trình dao động tự do của phần dầm thứ i
4
2
2
wi
wi
wi
0,
EI
EA
A
0
4
2
2
x
x
t

Ta chấp nhận giả thiết về điều kiện t
nứt x xi về chuyển vị, mơmen uốn
khơng liên tục về góc xoay tại vị trí vết

5.2 Tần số riêng và dạng dao động riêng

Sử dụng phương pháp tách biến, ta
hàm riêng (5.1) về dạng

18


( )
2
(5.13)
Xi IV ( x) 2 Xi ( x)
Xi ( )x 0 , x i 1
ix
ix
Nghiệm tổng quát của phương trình (5.13) có dạng
sinh ( x ix1 )
Xi ( x) Ai sin ( x xi 1 ) Bi cos ( x ix1 ) C
i

Dicos h ( x xi 1 ) , xi 1

x

xi , i 1,.., n

(5.14)
trong đó các hằng số tích phân Ai , Bi , Ci , Di liên quan đến đoạn
thứ i (i =1,.., n) có quan hệ dưới dạng:
Ai 1
Ai
Bi 1
B
Ti i
(5.40)
Ci 1
Ci
Di 1
Di
với ma trận truyền Ti cỡ 4 4 có các hệ số là hàm của và .
32

=0 %

30

=10 %

1

[rad/s]

28
=20 %

26

24

Hình 5.14 Biến thiên của hai tần số riên
theo số lượng vết nứt và độ lớn vết nứt, số
theo trục dầm, biến dạng tỷ đối ban

=30 %

22
20
18
16

=40 %
0

1

2

3

4

5

6

7
8

9
So vet nut N

10

11

12

13

14

15

Hình 5.6 Biến thiên của tần số riêng thứ nhất của dầm hai đầu
bản lề theo số vết nứt phân bố đều theo chiều dài dầm, biến dạng tỷ
đối ban đầu 0
0.002.

Bằng phương pháp ma trận truyền,
của dầm ứng suất trước có nhiều vết nứ
khác nhau (hai đầu bản lề, hai đầu ng
Giải phương trình đặc trưng bằng phư
định được các tần số riêng. Dạng dao độ
dầm thứ i được xác định bởi công thức
( )
( )
( k)
cos

Xi k ( x) Ai k sin k ( x xi 1 ) B
i
(k )
Ci sinh

19

k

( x xi 1 )
20

(k )

Di


(5.105) và tính tốn độ võng động lực c
tính tốn số được biểu diễn trên các hình
2

-4
-6
-8
-10
-12
-14

0

2

4

6
8
Thoi gian [s]

Hình 5.17 Độ võng tại mặt cắt giữa dầm
vết nứt giữa dầm
x 10

5

i 1

-3

mg

( )
( )
Li ( t)( dwi

( )
kwi )

(5.81)

i 1

trong đó w = w(x,t) là độ võng động lực của dầm, w(i ) là độ
võng của dầm tại điểm vật thể tiếp xúc với dầm trong đoạn dầm
thứ i. Áp dụng phương pháp khai triển theo các dạng riêng, sau
một số biến đổi toán học, ta đưa được hệ phương trình dao
động (5.80) và (5.81) về dạng
q B(t ) q C(t ) q f(t )
(5.105)
trong đó các ma trận hệ số B và C cùng cỡ K+1 với các phần tử
là hàm của biến thời gian t. Chương trình tính VIBEAM03BKHN đã được xây dựng để tìm nghiệm q của phương trình

21

Do vong w [m]

0
n

mz dz kz

-3

-2

5.3 Dao động uốn của dầm ứng suất trước có vết nứt dưới
tác dụng của vật thể di động

Áp dụng phương pháp tách cấu trúc, ta có thể biểu diễn dao
động uốn của dầm và dao động của vật thể di động trên dầm
giản đơn có ứng suất trước có N = n-1 vết nứt bằng các phương

trình sau
4
2
2
w
w
w
w
e
EI 4
b
EA
0
2
2
x
t
t
x
(5.80)
n
(i )
(i )
(i )
L (t )[k ( z w ) d( z w )] ( x vt)

x 10

0

Do vong w [m]

Kết quả tính tốn tần số riêng đầu tiên được biểu diễn trên
hình 5.6, trong đó các đường cong thể hiện sự biến thiên trị số
của tần số riêng đối với số lượng vết nứt (từ 1 đến 15 vết nứt
phân bố đều trên dầm và có độ lớn như nhau). Tần số riêng suy
giảm khi số lượng vết nứt tăng lên. Độ lớn vết nứt càng tăng thì
mức độ suy giảm của tần số riêng càng lớn.
Tương tự như cách thực hiện tính tốn đối với dầm hai đầu
bản kề, các đồ thị trên hình 5.14 đã cho thấy sự ảnh hưởng của
ứng suất trước, số vết nứt và độ lớn vết nứt đến tần số riêng của
dầm hai đầu ngàm.

-5

-10

-15

0

1

2

3
4
Thoi gian [s]

Hình 5.20 Độ võng tại mặt cắt giữa dầm

vết nứt phân bố đề

22


5.4 Kết luận của chương 5
Vấn đề mơ hình hóa và tính tốn dao động uốn của dầm ứng
suất trước có nhiều vết nứt là bài tốn cịn đang được quan tâm
nghiên cứu hiện nay. Đây là một vấn đề phức tạp do phải tính
đến cả hai yếu tố ảnh hưởng đến dao động của dầm: Ứng suất
trước và các vết nứt.
- Thiết lập phương trình đạo hàm riêng mơ tả dao động uốn
tự do và dao động uốn của dầm ứng suất trước có nhiều vết nứt
dưới tác dụng của vật thể di động, xây dựng một thuật toán số
tính tốn dao động uốn của dầm ứng suất trước có nhiều vết
nứt.
- Một số kết quả tính tốn số đã cho thấy sự ảnh hưởng của
của độ lớn của vết nứt và số lượng vết nứt đến tần số riêng và
độ võng động lực của dầm dưới tác dụng của vật thể di động.
KẾT LUẬN

Luận án này là một cơng trình nghiên cứu về dao động của
dầm ứng suất trước dưới tác dụng của vật thể di động. Các kết
quả chính của luận án gồm các điểm sau đây:
1. Thiết lập phương trình dao động tự do và dao động cưỡng
bức của dầm giản đơn ứng suất trước bằng nguyên lý
d’Alembert. Luận án đã vận dụng một công thức gần đúng
tính tốn lực căng dây cáp trên cơ sở đo tần số dao động
riêng của dây cáp; đã tính tốn lực căng dây cáp cầu Bãi
cháy và cầu Bính. Kết quả tính tốn phù hợp với kết quả tính

tốn bằng các công thức thực nghiệm.
2. Áp dụng phương pháp tách cấu trúc để thiết lập phương
trình dao động uốn của dầm giản đơn dưới tác dụng của vật
thể di động. Trong đó vật thể di động là một hệ dao động
đơn giản. Luận án đã xây dựng thuật toán giải các phương
trình dao động uốn của dầm ứng suất trước dưới tác dụng
của vật thể di động với chương trình tính VIBEAM01ĐHBK trên phần mềm tính tốn đa năng MATLAB để tính
23

tốn dao động uốn của cầu dầm ứ
dụng của vật thể di động. Khi các v
với vận tốc không đổi, các phương t
động của hệ là các phương trình vi
tuần hồn. Chương trình VIBEAM0
để tính tốn vận tốc tới hạn của ơ tơ q
Bùng. Kết quả tính cho thấy vận tốc
so với kết quả tính tốn vận tốc tới
dao động cưỡng bức trước đây.

3. Áp dụng phương pháp tách cấu trúc
dao động uốn của dầm liên tục (dầm
ứng suất trước dưới tác dụng của nhi
phương trình dao động là một hệ phư
một phương trình đạo hàm riêng, nhi
thường, nhiều phương trình đại số p
Ritz-Galerkin đã được áp dụng để b
hỗn hợp nêu trên về một hệ phương
Trên cở sở đó, chương trình tính
được xây dựng và sử dụng để tính
cầu Phả Lại và cầu Hiền Lương. Các

chương trình này phù hợp với các kết

4. Áp dụng phương pháp ma trận truy
trình xác định các tần số riêng của dầ
nứt. Phương pháp tách cấu trúc đượ
phương trình dao động uốn của dầm
vết nứt dưới tác dụng của vật thể di đ
quả lý thuyết và thuật toán, chương
ĐHBK đã được xây dựng và áp dụng
các kết quả mô phỏng số nhiều thí d
này cũng được sử dụng để tính tốn
sánh với kết quả tính tốn trong m
nước ngồi khi ứng suất trước bằng
khá phù hợp với nhau.

24