Minh hoa trực quan bằng giao diện đồ họa hai thuật toán lý thuyết đồ thị ford bellman và prim

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
KHOA CNTT

Tiểu Luận Đề Tài Nhóm:
ĐỀ TÀI 3
MINH HOA TRỰC QUAN BẰNG GIAO DIỆN ĐỒ HỌA
HAI THUẬT TOÁN LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ
FORD-BELLMAN VÀ PRIM

Học phần: 2111COMP170101 – Lý thuyết đồ thị và ứng dụng
Học kỳ I
Năm học 2021-2022

Giảng viên hướng dẫn: Lương Trần Ngọc Khiết
Họ và tên: Phạm Đức Tài
MSSV :44.01.104.186.
Các thành viên trong nhóm:
Họ và tên
MSSV
Lê Anh Kha

46.01.104.074

Trần Thanh Bình

46.01.104.014

Đinh Trần Thanh Tú

46.01.104.205

Trương Thế Nhật

46.01.104.129

Phạm Đức Tài

44.01.104.186


MỤC LỤC:
NỘI DUNG.......................................................................................................2
CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU THUẬT TOÁN PRIM............................................................................................2
1.1. Sự ra đời của thuật tốn Prim................................................................................................................2
1.2.Mơ tả thuật tốn.....................................................................................................................................2
CHƯƠNG 2: GIỚI THIỆU THUẬT TỐN FORD-BELLMAN......................................................................4
2.1.Sự ra đời của thuật tốn ford-bellman...................................................................................................4
2.2. Mơ tả thuật tốn....................................................................................................................................4
2.5.Đánh giá thuật tốn................................................................................................................................5
CHƯƠNG 3. NỘI DUNG THỰC HÀNH..........................................................................................................6
3.1.Gi iảthích cách ho tạ đ ộ
ng c ủ
a ứ
ng d ng
ụ gi iảthu tậPrim bằằng Windows Form: ....................................6
3.2.Thuật tốn Forbell:..................................................................................................................................7

BẢNG PHÂN CƠNG CƠNG VIỆC........................................................................8
TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................................9

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU THUẬT TỐN PRIM
Bài tốn tối ưu là một bài tốn mn thưở của ngành tin học bởi nó có ứng dụng hết
sức rộng rãi và đa dạng. Các bài toán tối ưu thường xuất hiện trong các ngành kinh
tế và kĩ thuật cũng vì lý do này mà trên thế giới có rất nhiều thuật toán để giải các
bài toán tối ưu. Một trong số đó có thể kể đến là thuật tốn Prim
1.1. Bài toán cây khung nhỏ nhất
Bài toán cây khung (cây bao trùm) nhỏ nhất của đồ thị là một trong số những bài
tốn tối ưu trên đồ thị tìm được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của đời
sống. Để minh họa cho những ứng dụng đó, chúng ta cùng tham khảo ba mơ hình
thực tế tiêu biểu của bài tốn:
• Bài tốn xây dựng hệ thống cable: Giả sử muốn xây dựng một hệ thống cable điện
thoại nối n điểm của một mạng viễn thông sao cho điểm bất kì nào trên mạng đều
có đường truyền tin tới các điểm khác. Biết chi phí xây dựng hệ thống cable từ điểm
i đến điểm j là c[i,j]. Hãy tìm cách xây dựng hệ thống mạng cable sao cho chi phí là
nhỏ nhất
• Bài tốn xây dựng hệ thống đường sắt: Giả sử ta muốn xây dựng một hệthống
đường sắt nối n thành phố sao cho hành khách có thể đi từ bất kỳ mộtthành phố nào
đến bất kỳ một trong các thành phố còn lại. Mặt khác trênquan điểm kinh tế địi hỏi
là chi phí xây dựng hệ thống đường phải nhỏ nhất.Rõ ràng đồ thị mà đỉnh là các
thành phố còn các cạnh là các tuyến đường sắtnối các thành phố tương ứng với
phương án xây dựng tối ưu phải là cây. Vìvây, bài tốn đặt ra dẫn về bài tốn tìm
cây khung nhỏ nhất trên đồ thị đầy đủn đỉnh, mỗi đỉnh tương ứng với một thành
phố, với độ dài trên các các cạnhchính là chi phí xây dựngđường ray nối hai thành
phố tương ứng (chú ý là trong bài tốn này ta giả thiết là khơng xây dựng tuyến
đường sắt có các nhà ga phântuyến nằm ngồi các thành phố).
• Bài tốn nối mạng máy tính: Cần nối mạng một hệ thống gồm n máy tính đánh số
từ 1 đến n. Biết chi phí nối máy i với máy j là c[i,j], i,j = 1, 2, . . . ,n ( thơng thường
chi phí này phụ thuộc vào độ dài cáp nối cần sử dụng). Hãy tìm cáchnối mạng sao

cho tổng chi phí nối mạng là nhỏ nhất.Và bài toán cây khung nhỏ nhất được phát
biểu như sau:Cho đồ thị G= là đồ thị vô hướng liên thông với tập đỉnh
V={1,2,3…,n}và tập cạnh E gồm m cạnh. Mỗi cạnh e của đồ thị được gán với một
sốc(e) được gọi là trọng số của cạnh. Giả sử H= là một cây khung của đồ thị G. Ta
gọi độ dài c(H) của cây khung H là tổng độ dài các cạnh :
c(H)= ∑ c(e) e∈ T


Bài toán đặt ra là, trong số các cây khung của đồ thị hãy tìm cây khung có độ dài
nhỏ nhất của đồ thị.
Để giải bài tốn tìm cây khung nhỏ nhất, chúng ta có thể liệt kê tồn bộ cây khung
và chọn trong số những cây khung đã liệt kê một cây khung có độ dài nhỏ nhất. Tuy
nhiên số cây khung của mỗi đồ thị lại rất lớn cỡ nn-2 do vậy phương án này hồn
tồn khơng khả thi và chỉ cần với đồ thị với số đỉnh cỡ chục thì phương án này trở
nên vơ dụng.
Rất may là chúng ta đã có hai thuật tốn vơ cùng hiệu quả để giải quyết bài tồn
trên đó chính là thuật toán Prim và thuật toán Kruskal.
Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về thuật tốn Prim.
1.2. Sự ra đời của thuật tốn Prim
Thuật tốn Prim cịn được mang tên là người láng giềng gần nhất, hay phươngpháp
lân cận gần nhất,là một thuật tốn tham lam để tìm cây khung nhỏ nhất của một đồ
thị vơ hướng có trọng số liên thơng. Nghĩa là nó tìm một tập hợp các cạnh của đồ
thị tạo thành một cây chứa tất cả các đỉnh, sao cho tổng trọng số các cạnh của cây là
nhỏ nhất.
Thuật tốn được tìm ra năm 1930 bởi nhà tốn học người Séc Vojtěch Jarník và sau
đó bởi nhà nghiên cứu khoa học máy tính Robert C. Prim năm 1957 và một lần nữa
độc lập bởi Edsger Dijkstra năm 1959. Do đó nó cịn có tên gọi là thuật tốn DJP,
thuật tốn Jarník, hay thuật tốn Prim–Jarník.II.
1.3.Mơ tả thuật toán
Begin.

Bước 1 (Khởi tạo):
VH = {s}; //Tập đỉnh cây khung thiết lập ban đầu là s
V=V\{s}; //Tập đỉnh V được bớt đi
sT=∅; //Tập cạnh cây khung thiết lập ban đầu là ∅
D(H)=0;//Độ dài cây khung được thiết lập là 0
Bước 2 (Lặp):
while(V≠ ) do{
e=<u,v>; //cạnh có độ dài nhỏ nhất thỏa mãn u∈V, v∈VH
d(H)=d(H)+d(e);//thiết lập độ dài cây khung nhỏ nhất
T=T∪ {e};//Kết nạp e vào cây khung
V=V\{u};//Tập đỉnh V bớt đi đỉnh u
VH=VH∪{u};//Tập đỉnh VH thêm vào đỉnh u
}


Endwhile;
Bước 3 (Trả lại kết quả):

if(|T|else Return(T,d(H));
End.
1.4. Đánh giá thuật tốn
1.4.1. Độ phức tạp thuật toán
Xét về độ phức tạp thuật toán sử dụng ma trận kề, thuật tốn Prim có độ phức tạp là
O(n2 ). Nếu kết hợp thuật toán Prim với cấu trúc Heap sẽ được một thuật tốn có độ
phức tạp O((m+n)lgn).
Do thời gian nghiên cứu hạn hẹp nên chúng tơi xin phép chỉ trình bày cách lập trình
sử dụng ma trận kề.
1.4.2. Ưu điểm so với Kruskal
Thuật toán Kruskal làm việc kém hiệu quả với những đồ thị dày (số cạnh cỡ m≈n(n1)/2). Trong trường hợp đó thuật tốn Prim tỏ ra hiệu quả hơn. Tuy nhiên khi làm

việc với đồ thị thưa người ta thường lựa chọn thuật tốn Kruskal thay vì thuật tốn
Prim.


CHƯƠNG 2: GIỚI THIỆU THUẬT TỐN FORD-BELLMAN
Thuật tốn Bellman-Ford là một thuật tốn tính các đường đi ngắn nhất nguồn đơn
trong một đồ thịcó hướng có trọng số (trong đó một số cung có thể có trọng số âm).
Thuật tốn Dijkstra giải cùng bài toánnày với thời gian chạy thấp hơn, nhưng lại đòi
hỏi trọng số của các cung phải có giá trị khơng âm.
Do đó,thuật tốn Bellman-Ford thường chỉ được dùng khi có các cung với trọng số
âm.Thuật tốn Bellman Ford chạy trong thời gian O(V·E), trong đó V là số đỉnh và
E là số cung của đồ thị.
2.1.Chứng minh tính đúng đắn
Tính đúng đắn của thuật tốn có thể được chứng minh bằng quy nạp. Thuật tốn có
thể được phát biểu chính xác theo kiểu quy nạp như sau:
Bổ đề. Sau i lần lặp vòng for:
2.1.1. Nếu Khoảng_cách(u) khơng có giá trị vơ cùng lớn, thì nó bằng độ dài của một
đường đi nào đó từ stới u;
2.1.2. Nếu có một đường đi từ s tới u qua nhiều nhất i cung, thì Khoảng_cách(u) có
giá trị khơng vượt quá độ dài của đường đi ngắn nhất từ s tới u qua tối đa i cung.
Chứng minh.
Trường hợp cơ bản: Xét i=0 và thời điểm trước khi vòng for được chạy lần đầu tiên.
Khi đó, với đỉnh nguồn khoảng_cách(nguồn) = 0, điều này đúng. Đối với các đỉnh u
khác, khoảng_cách(u) = vơ cùng, điều này cũng đúng vì khơng có đường đi nào từ
nguồn đến u qua 0 cung.
Trường hợp quy nạp:
Chứng minh câu 1. Xét thời điểm khi khoảng cách tới một đỉnh được cập nhật bởi
công thức khoảng_cách(v):= khoảng_cách(u) + trọng_số(u,v). Theo giả thiết quy
nạp, khoảng_cách(u) là độ dài của một đường đi nào đó từ nguồn tới u. Do đó,
khoảng_cách(u) + trọng_số(u,v) là độ dài của đường đi từ nguồn tới u rồi tới v.

Chứng minh câu 2: Xét đường đi ngắn nhất từ nguồn tới u qua tối đa i cung. Giả sử
v là đỉnh liền ngay trước u trên đường đi này. Khi đó, phần đường đi từ nguồn tới v
là đường đi ngắn nhất từ nguồn tới v qua tối đa i-1 cung. Theo giả thuyết quy nạp,
khoảng_cách(v) sau i-1 vịng lặp khơng vượt quá độ dài đường đi này. Do đó,
trọng_số(v,u) + khoảng_cách(v) có giá trị khơng vượt q độ dài của đường đi từ s
tới u.Trong lần lặp thứ i, khoảng_cách(u) được lấy giá trị nhỏ nhất của
khoảng_cách(v) + trọng_số(v,u) với mọi v có thể. Do đó, sau i lần lặp,
khoảng_cách(u) có giá trị khơng vượt q độ dài đường đi ngắn nhất từ nguồn tới u
qua tối đa i cung.


Khi i bằng số đỉnh của đồ thị, mỗi đường đi tìm được sẽ là đường đi ngắn nhất tồn
cục, trừ khi đồ thị có chu trình âm. Nếu tồn tại chu trình âm mà từ đỉnh nguồn có
thể đi đến được thì sẽ khơng tồn tại đường đi nhỏ nhất (vì mỗi lần đi quanh chu
trình âm là một lần giảm trọng số của đường).
2.2. Ứng dụng trong định tuyến
Một biến thể phân tán của thuật toán Bellman-Ford được dùng trong các giao thức
định tuyến vector khoảng cách, chẳng hạn giao thức RIP (Routing Information
Protocol). Đây là biến thể phân tán vì nó liên quan đến các nút mạng (các thiết bị
định tuyến) trong một hệ thống tự chủ (autonomous system), ví dụ một tập các
mạng IP thuộc sở hữu của một nhà cung cấp dịch vụ Internet (ISP).
Thuật tốn gồm các bước sau:
1. Mỗi nút tính khoảng cách giữa nó và tất cả các nút khác trong hệ thống tự chủ và
lưu trữ thông tinnày trong một bảng.
2. Mỗi nút gửi bảng thơng tin của mình cho tất cả các nút lân cận.
3. Khi một nút nhận được các bảng thơng tin từ các nút lân cận, nó tính các tuyến
đường ngắn nhất tớitất cả các nút khác và cập nhật bảng thơng tin của chính mình.
Nhược điểm chính của thuật tốn Bellman-Ford trong cấu hình này là
• Khơng nhân rộng tốt
• Các thay đổi của tơ-pơ mạng không được ghi nhận nhanh do các cập nhật được lan

truyền theo từngnút một.
• Đếm dần đến vơ cùng (nếu liên kết hỏng hoặc nút mạng hỏng làm cho một nút bị
tách khỏi một tậpcác nút khác, các nút này vẫn sẽ tiếp tục ước tính khoảng cách tới
nút đó và tăng dần giá trị tínhđược, trong khi đó cịn có thể xảy ra việc định tuyến
thành vịng trịn)
2.3.Sự ra đời của thuật toán ford-bellman
Thuật toán lần đầu tiên được đề xuất bởi Alfonso Shimbel (1955), nhưng thay vào
đó được đặt theo tên của Richard Bellman và Lester Ford Jr., những người đã xuất
bản nó lần lượt vào năm 1958 và 1956.
Thuật toán Bellman – Ford là một thuật toán tính tốn các đường đi ngắn nhất từ
một đỉnh nguồn duy nhất đến tất cả các đỉnh khác trong một đồ thị có trọng số. Nó
chậm hơn so với thuật toán Dijkstra cho cùng một vấn đề, nhưng linh hoạt hơn, vì
nó có khả năng xử lý các đồ thị trong đó một số trọng số cạnh là số âm. Thuật toán
này thường được đặt theo tên của hai nhà phát triển của nó, Richard Bellman và
Lester Ford, Jr., những người đã xuất bản nó lần lượt vào năm 1958 và 1956; tuy
nhiên, Edward F. Moore cũng đã công bố thuật tốn tương tự vào năm 1957, và vì


lý do này, nó đơi khi cịn được gọi là thuật toán Bellman – Ford – Moore. Trọng số
cạnh âm được tìm thấy trong các ứng dụng khác nhau của đồ thị, do đó tính hữu ích
của thuật tốn này. Tuy nhiên, nếu một đồ thị chứa "chu trình âm", tức là một chu
trình có các cạnh tổng bằng giá trị âm, thì khơng có đường đi nào rẻ nhất, bởi vì bất
kỳ đường đi nào cũng có thể rẻ hơn bằng cách thêm một lần đi qua chu trình âm.
Trong trường hợp như vậy, thuật toán Bellman – Ford có thể phát hiện các chu trình
âm và báo cáo sự tồn tại của chúng, nhưng nó khơng thể tạo ra câu trả lời chính xác
về "đường đi ngắn nhất" nếu có thể truy cập được chu trình âm từ nguồn.
2.4. Mơ tả thuật tốn
function BellmanFord(danh_sách_đỉnh, danh_sách_cung, nguồn)
// hàm u cầu đồ thị đưa vào dưới dạng một danh sách đỉnh, một danh sách cung
// hàm tính các giá trị khoảng_cách và đỉnh_liền_trước của các đỉnh,

// sao cho các giá trị đỉnh_liền_trước sẽ lưu lại các đường đi ngắn nhất.
// bước 1: khởi tạo đồ thị
for each v in danh_sách_đỉnh:
if v is nguồn then khoảng_cách(v):= 0
else khoảng_cách(v):= vô cùng
đỉnh_liền_trước(v):= null
// bước 2: kết nạp cạnh
for i from 1 to size(danh_sách_đỉnh)-1:
for each (u,v) in danh_sách_cung:
if khoảng_cách(v) > khoảng_cách(u) + trọng_số(u,v):
khoảng_cách(v):= khoảng_cách(u) + trọng_số(u,v)
đỉnh_liền_trước(v):= u
// bước 3: kiểm tra chu trình âm
for each (u,v) in danh_sách_cung:
if khoảng_cách(v) > khoảng_cách(u) + trọng_số(u,v):
error "Đồ thị chứa chu trình âm"
2.5.Đánh giá thuật tốn
Ưu điểm:
Giống Dijkstra, đây là thuật tốn tìm đường ngắn nhất nhưng đại thể là có ưu điểm
hơn là giải quyết được đồ thị chu trình âm


Từ 1 đỉnh xuất phát nhìn hình ta có thế suy ra đường đi ngắn nhất từ đỉnh đó tới các
đỉnh khác mà không cần làm lại từ đầu. Rất gọn,dễ nhớ,dễ học
Nhược điểm:
Là đơi khi nó qt lại cả các nút đã quét nên hiệu suất không cao bằng. Ở viễn
thơng thì khơng biết có trường hợp nào đường đi nào có giá trị âm nên mình cũng
khó đánh giá.
Cái kia mỗi lần quét thì thêm vào 1 giá trị nhỏ nhất vào tập hợp các đường đã biết,
lần sau khơng phải qt nữa cịn cái này cứ qt đại trà với vịng lặp bằng số đỉnh

thì dừng.
Tốn q nhiều thời gian,độ phức tạp quá cao 0(n^3)


CHƯƠNG 3. NỘI DUNG THỰC HÀNH
3.1.Giải thích cách hoạt động của ứng dụng giải thuật Prim bằng
Windows Form:
Thuật toán xử lý chính ở hàm Calculate ở Form1.cs.

(1)Danh sách các đỉnh được lưu ở listVertex.
(2)Danh sách các cạnh ở listEdge.
(3)Tạo listInTreeVertex - danh sách lưu các đỉnh trong cây khung nhỏ nhất.
Mỗi danh sách chúng ta tạo thêm danh sách copy để xử lý các đỉnh và cạnh.
Ta đánh dấu mỗi đỉnh là chưa được duyệt.
(4)Tạo đỉnh gốc được lấy từ comboboxRootVertex, đánh dấu đỉnh đã duyệt rồi
(5)Tạo vòng lặp, chạy đến khi nào số đỉnh trong danh sách cây khung = (số đỉnh 1) hoặc đã duyệt qua tất cả các đỉnh rồi
Với mỗi vịng lặp:
Tìm mỗi các đỉnh kề với cây khung
Tìm đỉnh có trọng số cạnh nhỏ nhất
Thêm vào cây khung nhỏ nhất, tăng số đỉnh trong cây khung lên 1
Đánh dấu đỉnh đã duyệt
Kết thúc vòng lặp ta có cây khung nhỏ nhất


3.2. Giải thích cách hoạt động của ứng dụng giải thuật Ford Bellman
bằng Windows Form:
Thuật tốn xử lý chính ở hàm bellmanFord ở FB.cs.

Hàm tính các giá trị khoảng cách được lưu trong mảng khoangcach(1) và đỉnh liền
trước của các đỉnh được lưu trong mảng truoc(2).

Sao cho các giá trị đỉnh liền trước sẽ lưu lại các đường đi ngắn nhất.
Ta thực hiện duyệt n lần, với n là số đỉnh của đồ thị.
Với mỗi lần duyệt, ta tìm tất cả các cạnh mà đường đi qua cạnh đó sẽ rút ngắn
đường đi ngắn nhất từ đỉnh gốc tới một đỉnh khác.
Ở lần duyệt thứ n, nếu còn bất kỳ cạnh nào có thể rút ngắn đường đi, điều đó chứng
tỏ đồ thị có chu trình âm, và ta kết thúc thuật toán.


BẢNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC
ST
T
1

TÊN

MSSV

PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC

Lê Anh Kha

2

Trần Thanh Bình

3

Phạm Đức Tài

46.01.104.07

4
46.01.104.01
4
44.01.104.18
6

4

Đinh Trần Thanh 46.01.104.20
Tú
5

5

Trương Thế Nhật

Đọc hiểu code, tổng hợp và viết
báo cáo minh họa.
Tổng hợp và hồn chỉnh code,
đọc hiểu code, quay video demo.
Tìm kiếm, tổng hợp, đọc hiểu và
chỉnh sửa giao diện mỗi thuật
tốn.
Tìm kiếm, tổng hợp, đọc hiểu và
chỉnh sửa giao diện mỗi thuật
tốn.
(Khơng có máy tính hỗ trợ) theo
dõi các thành viên trong nhóm để
nắm được kiến thức của thuật
tốn

46.01.104.12
9

Tự đánh giá:
Các thuật tốn nhóm thực hiện chỉ có thể áp dụng với đồ thị vô hướng, chưa thể áp
dụng với đồ thị có hướng. Nhóm chưa biết cách gộp các project lại mà chỉ có thể chạy
2 project trên cùng 1 solution.


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]
2000.

Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, Mc Graw-Hill,

[2] Kenneth H.Rosen. Toán học rời rạc và Ứng dụng trong tin học, Nhà xuất bản
lao động 2010, người dịch Bùi Xuân Toại.

……………..
LINK MÃ NGUỒN ỨNG DỤNG VÀ VIDEO DEMO:
/>?usp=sharing