Tìm cây khung có trọng lượng nhỏ nhất bằng giải thuật Prim

Đề Tài:Tìm cây khung có trọng lượng nhỏ nhất bằng giải thuật Prim

GVHD: Nguyễn Thành Quí

ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC HIỆN NIÊN LUẬN 1
(Học kỳ II, Niên khóa 2008-2009)
GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN :
STT
HỌ VÀ TÊN
MSCB
1
Nguyễn Thành Quí
001945
SINH VIÊN THỰC HIỆN :
STT
HỌ VÀ TÊN

MSSV

1

1081642

Huỳnh Hải Đăng

THƯỞNG
(Tối đa 1 điểm)

I. HÌNH THỨC( Tối đa 0,5 điểm)
Bìa (tối đa 0,25 điểm)
 Các tiêu đề : Trường ĐHCT, Khoa CNTT, Bộ môn

 Các niên luận : 1
 Tên đề tài
 Giáo viên hướng dẫn : chức danh, họ tên
 Thông tin về sinh viên thực hiện : họ tên, mã số, lớp
 Năm thực hiện
Bố cục (tối đa 0,25 điểm)
 Nhận xét của giáo viên hướng dẫn và giáo viên chấm
 Mục lục : cấu trúc chương, mục và tiểu mục
 Phụ lục (nếu có)
 Tài liệu tham khảo
II. NỘI DUNG (Tối đa 3,5 điểm)
Tổng Quan (tối đa 0,5 điểm)
 Mô tả bài tốn, mục tiêu cần đạt được (0,25 điểm)
 Hướng giải quyết và kế hoạch thực hiện (0,25 điểm)
Lý thuyết (tối đa 0,5 điểm)
 Các khái niệm sử dụng trong đề tài
 Kết quả vận dụng lý thuyết trong đề tài
Ứng dụng (tối đa 2,0 điểm)
 Phân tích yêu cầu bài tốn, xây dựng các cấu trúc dữ liệu cần thiết (0,5
điểm)
 Giải thuật (Lưu đồ - Ngôn ngữ giả ) (1,0 điểm)
 Giới thiệu chương trình (0,5 điểm)
Kết luận (tối đa 0,5 điểm)
 Nhận xét kết quả đạt được
 Hạn chế
 Hướng phát triển
III. CHƯƠNG TRÌNH DEMO (Tối đa 5,0)
Giao diện thân thiện với người dùng (tối đa 1,0 điểm)
Hướng dẫn sử dụng (0,5 điểm)
Kết quả thực hiện đúng với kết quả cảu phần ứng dụng (3,5 điểm)

Cần Thơ, ngày 4 tháng 4 năm 2010
GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

SVTH: Huỳnh Hải Đăng

Trang 1/16

ĐIỂM


Đề Tài:Tìm cây khung có trọng lượng nhỏ nhất bằng giải thuật Prim

GVHD: Nguyễn Thành Quí

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Cần Thơ, ngày….. tháng ...... năm ......
Giáo viên hướng dẫn

MỤC LỤC
SVTH: Huỳnh Hải Đăng

Trang 2/16


Đề Tài:Tìm cây khung có trọng lượng nhỏ nhất bằng giải thuật Prim

GVHD: Nguyễn Thành Q



NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN...........................................................................................................................2
Mơ tả.......................................................................................................................................................................................4

KẾT LUẬN- ĐÁNH GIÁ...............................................................................................................................15
I. Kết quả đạt được.............................................................................................................................................15
II. Hạn chế của chương trình.............................................................................................................................15
III. Hướng phát triển..........................................................................................................................................15
PHỤ LỤC............................................................................................................................................................16
............................................................................................................................................................................. 16
Hướng dẫn chạy chương trình:.........................................................................................................................16
1. Khởi động tập tin main.exe...........................................................................................................................16
2. Nhập dữ liệu cho đồ thị bấm phím số 1........................................................................................................16
4. Chạy giải thuật Prim bấm phím số 3............................................................................................................16
5. Thốt và lưu dữ liệu hiện hành vào tệp graph.txt bấm phím số 4...............................................................16
6. Duyệt đồ thị theo chiều sâu bấm phím số 5..................................................................................................16
7. Duyệt đồ thị theo chiều rộng bấm phím số 6...............................................................................................16
Các tài liệu tham khảo........................................................................................................................................16

TỔNG QUAN

Tìm cây bao trùm nhỏ nhất (tiếng Anh: minimum spanning tree) là bài tốn tối ưu có nhiều
ứng dụng trong thực tế. Nó là bài tốn tìm hệ thống liên thơng với chi phí nhỏ nhất. Hai thuật tốn
tìm cây bao trùm nhỏ nhất thường được nhắc đến là thuật tốn Prim và thuật tốn Krusskal.
Cho G=(X,E) là một đồ thị liên thông. Ngồi ra, một hàm trọng số W(e), xác định trên tập
các cạnh E của G. Cả hai thuật tốn Prim và Kruskal đều dựa trên tư tưởng của các giải thuật tham
ăn : Ở mỗi bước của thuật tốn ta chọn và bổ sung vào cây cạnh có trọng số nhỏ nhất có thể. Ở đây
ta chỉ đề cập đến thuật tốn Prim
Giải thuật Prim
Vài nét về R. C. Prim
Robert Clay Prim (sinh 1921 tại Sweetwater, Texas) là một nhà tốn học và khoa học máy

tính Mỹ. Năm 1941 ơng đã lấy bằng cử nhân ở khoa kỹ thuật điện đại học Princeton. Sau này năm
SVTH: Huỳnh Hải Đăng

Trang 3/16


Đề Tài:Tìm cây khung có trọng lượng nhỏ nhất bằng giải thuật Prim

GVHD: Nguyễn Thành Q

1949, ơng nhận bằng Ph.D. về tốn học cũng tại đây. Giải thuật mang tên Prim được tìm ra từ năm
1930 bởi nhà tốn học Vojtěch Jarník và do Prim hồn thiện vào năm 1957. asd
Mô tả
Gọi T là cây bao trùm sẽ xây dựng
1. Chọn một đỉnh s bất kỳ của G cho vào cây T. Khi đó T là một cây chỉ có một đỉnh và chưa có cạnh
nào.
2. Nếu T đã gồm tất cả các đỉnh của G thì T là cây bao trùm cần tìm. Kết thúc.
3. Nếu G cịn có các đỉnh khơng thuộc T, vì G liên thơng nên có các cạnh nối một đỉnh trong T với
một đỉnh ngồi T, chọn một cạnh có trọng số nhỏ nhất trong số đó cho vào T.
4. Quay lại 2.

I. Các mục tiêu cần đạt được:
- Dữ liệu được nhập từ bàn phím là một ma trận trọng số.
- Thiết kế giải thuật Prim và xuất ra màn hình cây khung có trọng lượng nhỏ nhất.
II. Hướng giải quyết:
- Viết chương trình nhập vào 1 ma trận trọng số.
- Sử dụng giải thuật Prim để tìm được cây khung có trọng lượng nhỏ nhất.
- Xuất ra màn hình đồ họa các bước trong trong giải thuật Prim.
III. Kế hoạch thực hiện
Tuần 1

Tuần 2
- Phân tích yêu - Cài đặt các cấu trúc

Tuần 3
- Cải tiến chương

cầu

dữ liệu cần thiết và

trình chạy trên chế

- Tìm kiếm tài

kiểm tra tính đúng

độ đồ họa

liệu

đắn của chúng

- Kiểm tra vét cạn tất

- Giải bài tốn

- Viết chương trình

cả các trường hợp.

mẫu trên giấy

chạy trên chế độ text.

- Cải tiến để chương

- Phân tích giải

- Kiểm tra tính đúng

trình có thể chịu

bài tốn bằng

đắn của chương trình

được các sai xót ở

ngơn ngử giả

SVTH: Huỳnh Hải Đăng

khâu nhập liệu.

Trang 4/16

Tuần 4
- Viết báo cáo

Đề Tài:Tìm cây khung có trọng lượng nhỏ nhất bằng giải thuật Prim

GVHD: Nguyễn Thành Quí

LÝ THUYẾT

I. Các khái niệm chính.
Một đồ thị G bao gồm một tập hợp V các đỉnh và một tập hợp E các cạnh, ký hiệu
G=(V,E).

Các đỉnh còn được gọi là nút (node) hay điểm (point). Các cạnh nối giữa hai đỉnh, hai
đỉnh này có thể trùng nhau.
Đồ thị được gọi là liên thông nếu với mõi cặp cạnh i,j bất ky ln tìm được đường đi nối
i với j.
Hai đỉnh có cạnh nối nhau gọi là hai đỉnh kề (adjacency). Một cạnh nối giữa hai đỉnh v,
w có thể coi như là một cặp điểm (v,w).
Nếu các cạnh trong đồ thị G có thứ tự thì G gọi là đồ thị có hướng (directed graph).

Nếu các cạnh trong đồ thị G khơng có thứ tự thì đồ thị G là đồ thị vơ hướng (undirected
graph).
Đường đi trong đồ thị là một dãy các đỉnh:
<x1,x2, … , xi, xj+1, … ,xk-1, xk >
sao cho, mỗi đỉnh trong dãy (không kể đỉnh đầu tiên) kề với đỉnh trước nó bằng một cạnh nào đó,
nghĩa là:  ∀ i = 2, 3, … , k-1, k : (xi-1, xi) ∈ E.

SVTH: Huỳnh Hải Đăng

Trang 5/16

Đề Tài:Tìm cây khung có trọng lượng nhỏ nhất bằng giải thuật Prim

GVHD: Nguyễn Thành Q

Ta nói rằng đường đi này đi từ đỉnh đầu x1 đến đỉnh cuối xk. Số cạnh của đường đi được
gọi là độ dài của đường đi đó.
Đường đi đơn là đường đi mà các đỉnh trên nó khác nhau từng đơi.
Đồ thị vơ hướng G=(V,E) được gọi là liên thông nếu với mỗi cặp đỉnh i, j bất kỳ thì ln
tìm được đường đi nối i và j. Đường đi nối i và j cũng là đường đi nối j và i.
Cây là đồ thị vơ hướng, liên thơng, khơng có chu trình

Cây
Cây khung: Cho G là một đơn đồ thị. Một cây được gọi là cây khung của G nếu nó là một
đồ thị con của G và chứa tất cả các đỉnh của G.
Cây khung nhỏ nhất: Nói chung, ta có thể định nghĩa cây khung nhỏ nhất cho một đồ thị
G như sau: Nếu mỗi cạnh eij = (vi, vj) có một trọng số cij, thì cây khung nhỏ nhất là một tập hợp các
cạnh ký hiệu là Espan, sao cho:
C = sum( cij | ∀eij ∈ Espan )
là nhỏ nhất.
II. Các cách biểu diễn đồ thị :
Có khá nhiều cách biểu diễn đồ thị như biểu diễn bằng ma trận đỉnh-cung, ma trận đỉnhcạnh, ma trận trọng số, danh sách liên kết, ….Ở đây chúng ta chỉ nghiên cứu cách biểu diễn đồ thị
bằng ma trận trọng số như sau :
Với đồ thị G=(V,E) , người ta thường gán cho mỗi cung hay cạnh (i,j) một giá trị c ij gọi là trọng số
của cung hay cạnh đó. Ma trận A biểu diễn đồ thị G=(V,E) có dạng : A=[aij] với i,j V
Trong đó : aij=0 nếu cạnh/cung (i,j) khơng thuộc E, aij=wij nếu cạnh/cung (i,j) thuộc E
Ví dụ :
Xét đồ thị vơ hướng có trọng số :

1

5

5

2

8

3
SVTH: Huỳnh Hải Đăng

7

2

3

9

Trang 6/16

11

4


Đề Tài:Tìm cây khung có trọng lượng nhỏ nhất bằng giải thuật Prim

GVHD: Nguyễn Thành Quí

Ma trận trọng số biểu diễn đồ thị là :
1
2
3
4
5

1
0
3
8
0
0

2
3
0
2
5
7

3
8
2
0
9
0

4 5
0 0

5 7
9 0
0 11
11 0

III. Duyệt các đỉnh của đồ thị :
Xét đồ thị G=(V,E) . Gọi i là một đỉnh nào đó của G. Ký hiệu L là cấu trúc dữ liệu kiểu danh sách
lưu trữ các đỉnh của G. Thuật tốn duyệt các đỉnh của G được trình bày một cách tổng quát như sau :
Nạp đỉnh i vào danh sách L
Lấy đỉnh x ra khỏi đầu danh sách
Nếu x chưa được duyệt thì duyệt đỉnh x
Nạp các đỉnh kề với x chưa được duyệt vào danh sách L
Nếu L khác rỗng thì quay lên bước 2
Dừng
Duyệt đồ thị theo chiều sâu DFS (Depth-First Search)
Nếu trong thuật tốn duyệt các đỉnh của đồ thị, danh sách L được tổ chức theo kiểu ngăn xếp
(vào trước ra sau) thì ta có phương pháp duyệt theo chiều sâu. Trong phương pháp này mỗi lần
duyệt một đỉnh ta duyệt đến tận cùng mỗi nhánh rồi mới chuyển sang duyệt nhánh khác.
Duyệt đồ thị theo chiều rộng BFS (Breadth-First Search)
Nếu trong thuật tốn duyệt các đỉnh của đồ thị, danh sách L được tổ chức theo kiểu hàng đợi
(vào trước ra trước) thì ta có phương pháp duyệt theo chiều rộng. Trong phương pháp này việc
duyệt có tính chất lan rộng. Một đỉnh được duyệt xong ngay sau khi đã xét hết tất cả các đỉnh kề
với nó.
Kiểm tra tính liên thơng của đồ thị :
Hai giải thuật duyệt theo chiều sâu DFS và duyệt theo chiều rộng BFS thường được sử dụng
để kiểm tra tính liên thông của đồ thị.
Khi duyệt các đỉnh của đồ thị tập hợp các đỉnh đã được đánh số tạo thành một bộ phận liên
thông của đồ thị. Nếu tất cả các đỉnh của đồ thị đều được đánh số thì kết luận đồ thị liên thơng,
ngược lại thì bắt đầu từ một đỉnh chưa được duyệt, áp dụng lại giải thuật trên tập hợp các đỉnh
chưa được duyệt để tìm bộ phận liên thơng kế tiếp.

IV .Giải thuật Prim :
Mô tả
Gọi T là cây bao trùm sẽ xây dựng
SVTH: Huỳnh Hải Đăng

Trang 7/16


Đề Tài:Tìm cây khung có trọng lượng nhỏ nhất bằng giải thuật Prim

GVHD: Nguyễn Thành Quí

1. Chọn một đỉnh s bất kỳ của G cho vào cây T. Khi đó T là một cây chỉ có một đỉnh và
chưa có cạnh nào.
2. Nếu T đã gồm tất cả các đỉnh của G thì T là cây bao trùm cần tìm. Kết thúc.
3. Nếu G cịn có các đỉnh khơng thuộc T, vì G liên thơng nên có các cạnh nối một đỉnh trong
T với một đỉnh ngồi T, chọn một cạnh có trọng số nhỏ nhất trong số đó cho vào T.
4. Quay lại 2.
Kết quả vận dụng lý thuyết vào đề tài:
Nhập vào đồ thị vô hướng sau:

Kiểm tra tính liên thơng của đồ thị : đồ thị liên thong
Bước khởi đầu: U={1},T=∅
Bước kế tiếp ta chọn cạnh (1,3) = 1 là cạnh ngắn nhất thỏa điều kiện của giải thuật Prim. Ta
có U={1,3},T={(1,3)}.
Kế tiếp thì cạnh (3,6) = 4 là cạnh ngắn nhất thỏa điều kiện của giải thuật Prim. Ta có
U={1,3,6},T={(1,3)(3,6)}.
Kế tiếp thì cạnh (6,4) = 2 là cạnh ngắn nhất thỏa điều kiện của giải thuật Prim. Ta có
U={1,3,6,4},T={(1,3)(3,6)(6,4)}.
Tiếp tục, cạnh (3,2) = 5 là cạnh ngắn nhất thỏa điều kiện của giải thuật Prim. Ta có

U={1,3,6,4,2},T={(1,3),(3,6), (6,4),(3,2)}.
Cuối cùng là cạnh (2,5)=3 là cạnh ngắn nhất thỏa điều kiện của giải thuật Prim. Ta có
U={1,3,6,4,2,5},T={(1,3),(3,6), (6,4),(3,2),(2,5),}. Giải thuật dừng và ta có cây bao trùm như hình
bên dưới.

SVTH: Huỳnh Hải Đăng

Trang 8/16


Đề Tài:Tìm cây khung có trọng lượng nhỏ nhất bằng giải thuật Prim

GVHD: Nguyễn Thành Quí

begin
Sai

Ứng Dụng

G=(V,E) là đồ
thị liên thông
I. Lưu đồ giải thuật Prim:
Đúng

U={1},T=∅
Sai
U=
V

min = ∞

For i ∈ U

Đúng

Kết thúc for

For j ∈ G-U
End

Sai
min>(i,j)
and
(i,j) ≠ 0
Đúng
min=(i,j)
u=i, v=j

Kết thúc for
U=U+v
T=T+(u,v)

SVTH: Huỳnh Hải Đăng

Trang 9/16


Đề Tài:Tìm cây khung có trọng lượng nhỏ nhất bằng giải thuật Prim

II.Lưu đồ duyệt cây theo chiều sâu tại đỉnh i

begi
n
Duyệt đỉnh i

Xét đỉnh lần lượt các j
kề với i và chưa duyệt
Đ

S

Duyệt đỉnh j

end

III. Lưu đồ duyệt cây theo chiều rộng tại đỉnh i

begi
n
Duyệt đỉnh i

Đánh dấu đã duyệt tất cả j
là kề của i

Xét đỉnh j kề với
i và đã duyệt
Đ
Đ
Duyệt đỉnh j

end

SVTH: Huỳnh Hải Đăng

Trang 10/16

S

GVHD: Nguyễn Thành Quí


Đề Tài:Tìm cây khung có trọng lượng nhỏ nhất bằng giải thuật Prim

IV. Giới thiệu chương trình
Chương trình gồm các chức năng sau:
1. Nhập đồ thị
2. Vẽ đồ thị
3. Tìm cây bao trùm theo giải thuật Prim
4. Thốt và lưu trạng dữ liệu vào file graph.txt
5. Duyệt đồ thị theo chiều rộng
6. Duyệt đồ thị theo chiều sâu

Nhập đồ thị

Người dùng sẽ nhập số đỉnh của đồ thị và nhập trọng số của các cạnh
SVTH: Huỳnh Hải Đăng

Trang 11/16

GVHD: Nguyễn Thành Quí

Đề Tài:Tìm cây khung có trọng lượng nhỏ nhất bằng giải thuật Prim
Vẽ đồ thị:

SVTH: Huỳnh Hải Đăng

Trang 12/16

GVHD: Nguyễn Thành Quí


Đề Tài:Tìm cây khung có trọng lượng nhỏ nhất bằng giải thuật Prim

GVHD: Nguyễn Thành Quí

Giải thuật Prim

Bắt đầu từ đỉnh 1, chương trình sẽ thực hiện chọn lần lượt các cạnh có trọng số nhỏ nhất khi
người dung nhấn bất kỳ phím nào. Chương trình sẽ dừng vào thơng báo trọng lượng của cây bao trùm tối
thiểu khi tất cả các đỉnh đã được chọn.
Duyệt theo chiều rộng

Người dùng chọn một đỉnh và chương trình sẽ hiện thị thứ tự duyệt theo chiều rộng

Dyệt theo chiều sâu
SVTH: Huỳnh Hải Đăng

Trang 13/16

Đề Tài:Tìm cây khung có trọng lượng nhỏ nhất bằng giải thuật Prim

GVHD: Nguyễn Thành Quí

Người dùng chọn một đỉnh và chương trình sẽ hiện thị thứ tự duyệt theo chiều sâu

SVTH: Huỳnh Hải Đăng

Trang 14/16


Đề Tài:Tìm cây khung có trọng lượng nhỏ nhất bằng giải thuật Prim

GVHD: Nguyễn Thành Quí

KẾT LUẬN- ĐÁNH GIÁ

I. Kết quả đạt được

Nhìn chung chương trình đã đáp ứng được về cơ bản những mục tiêu cần đạt được của đề
tài đặt ra. Ngồi ra qua quá trình thực hiện chương trình, bản thân cũng rút ra được một số kinh
nghiệm trong quá trình xây dựng và thiết kế một chương trình. Giúp nâng cao khả năng tư duy, khả
năng vận dụng những kiến thức lý thuyết đã được học vào việc giải quyết một bài tốn , một vấn đề
thực tế.
II. Hạn chế của chương trình

Chương trình chạy trong DOS đồ họa khơng được đẹp và có thể khơng chạy được trên các
hệ điều hành mới.
Không gian biểu diễn đồ thị là 2D nên sẽ rất khó quan sát khi số lượng đỉnh của đồ thị tăng

quá 15.( Vì lý do này nên chương trình giới hạn số đỉnh của người dùng nhập là 20, mặc dù chương
trình vẫn chạy đúng với n đỉnh ).
III. Hướng phát triển.
Viết chương trình bằng VC++ chạy được trên các hệ điều hành mới, và sử dụng chuẩn đồ họa
OpenGL để biểu diễn đồ thị trong không gian 3D, làm cho người dùng quan sát dễ dàng hơn khi số lượng
của đồ thị lớn.

SVTH: Huỳnh Hải Đăng

Trang 15/16


Đề Tài:Tìm cây khung có trọng lượng nhỏ nhất bằng giải thuật Prim

GVHD: Nguyễn Thành Quí

PHỤ LỤC
Hướng dẫn chạy chương trình:
1. Khởi động tập tin main.exe
2. Nhập dữ liệu cho đồ thị bấm phím số 1
3. Vẽ đồ thị trên màn hình bấm phím số 2
4. Chạy giải thuật Prim bấm phím số 3
5. Thốt và lưu dữ liệu hiện hành vào tệp graph.txt bấm phím số 4
6. Duyệt đồ thị theo chiều sâu bấm phím số 5
7. Duyệt đồ thị theo chiều rộng bấm phím số 6

Các tài liệu tham khảo
[1] Bài giảng: TỐN RỜI RẠC 2 (Bộ Môn Hệ Thống Thông Tin – Tốn Ứng Dụng, Khoa
Công Nghệ Thông Tin, Trường Đại Học Cần Thơ)
[2] Side bài giảng về đồ thị của Thạc sĩ Nguyễn Văn Linh – Trường Đại Học Cần Thơ

[3] Giáo trình Lập Trình Hướng Đối Tượng C++ của Thạc sĩ Trương Văn Trí Cơng –
Trường Đại Học Cần Thơ.
[4] Giáo Trình Lập Trình C++ và Lập Trình Hướng Đối Tượng của GS Phạm Văn Ất – Nhà
xuất bản khoa học và kỹ thuật Hà Nội.
[5] />%E1%BA%A5t

SVTH: Huỳnh Hải Đăng

Trang 16/16