Ly thuyet xac suat thong ke

Lý thuyết xác suất thồng phần công thức:
Chương 1: Xác suất của biến cô:
1. Xác suất cổ điển
P(A)=
Quy tắc cộng (theo trường hợp); quy tắc nhân (theo quá trình)
Tổ hợp: Cnk (bộ đếm khơng theo thứ tự)
2. Xác suất có điều kiện
P(A/B)=
Dấu hiệu nhậ biết dạng xác suất có điều kiện: trong bài có các
từ như: giả sử, biết, nếu có.
3. Cơng thức nhân (dấu hiệu: và, tính đồng thời)
Nếu A, B độc lập P(A.B)= P(A).P(B)
Nếu A, B phụ thuộc
- P(AB)= P(A).P(B/A)
- P(A.B)= P(B).P(A/B)
Cách giải sử dụng sơ đồ vẽ q trình
4. Cơng thức cộng (dấu hiệu có từ hoặc)
Nếu A, B xung khắc ((A.B)= rỗng): P(A+B)= P(A) + P(B)
Nếu A, B bất kì P(A+B)= P(A) + P(B) – P(AB)
Sử dụng giãn đồ ven để giải
5. Xác suất đầy đủ

6. Định lý Bayes
Chương 2: Biến ngẫu nhiên


Rời rạc

Liên tục

Bảng phân phối xác suất

X
X1 x2 x3 xn

Hàm mật độ xác suất
Hàm f(x); D: miền xác định

P

P1 p2 p3 pn

Chương 3: Phân phối thông dụng
1. Phân phối nhị thức
n: số lần thực hiện
p: xác suất thành công khi thực hiện
cơng việc ln có 2 kết quả
cơng việc thực hiện một cách độc lập


Cơng thức tính xác suất: (X=k) =
Cơng thức tính kì vọng: EX= np
Cơng thức tính phương sai: VarX= npq
Độ lệch chuẩn:
ModX= k thỏa
2. Phương pháp chuẩn
Kì vọng EX=
VarX=
Mod X =

Chương 4+ 5: Ước lượng
1.

2.

Ước lượng điểm
Trung bình tổng thể:
Phương sai tổng thể:
Tỷ lệ tổng thể:
Ước lượng khoảng

Trung bình tổng thể: thỏa xác suất ( độ tin cậy)
tra ngược ra được
95%

97%

99%

1,96

2,17

2,58

Hoặc

Chương 6: Kiểm định
1) Cho trung bình tổng thể


B1. Giả thuyết và đối thuyết

B2. Mức ý nghĩa

H1

H1

H0

Vùng bác bỏ

vùng chấp nhận

vùng

bác bỏ
B3. Trị kiểm định

;

Hoặc

;

C0.52: Trong một trạm cấp cứu phỏng có 80% bệnh nhân phỏng
do nóng và 20% phỏng do hóa chất. Loại phỏng do nóng có
30% bị biến chứng. Loại phỏng do hóa chất có 50% bị biến
chứng. Biết khi bác sĩ mở tập hồ sơ của bệnh nhân gặp bệnh
án của bệnh nhân phỏng bị biến chứng. Xác suất bệnh nhân
này bị phỏng do nóng gây ra là:
A. 0,64

B. 0,34
C. 0,7059
D. 0,2941
Bài giải :
Sử dụng định lý bayes vì có điều kiện (có biến chứng)
Xác suất phỏng do nóng bị biến chứng=
C0.53: Một người bn bán bất động sản đang cố gắng bán một
mảnh đất lớn. Ông tin rằng nếu nền kinh tế nếu nền kinh tế tiếp
tục phát triển, khả năng được mua là 80%; ngược lại nếu nền
kinh tế ngừng phát triển ông ta chỉ bán được miếng đất đó với
xác suất 40%. Theo dự báo của một chuyên gia kinh tế, xác
suất nền kinh tế tiếp tục tăng trưởng là 65%. Xác suất để bán
được mảnh đất là:
A. 66%
B. 62%
C. 54%


D. 71%
Sử dụng xác suất của hệ đầy đủ:
P(A)= 0,8.0,65 + 0,4.0,35=0,66 (66%)
C0.54: Giá cổ phiếu của công ty A sẽ tăng với xác suất 80% nếu
công ty A được tập đồn X mua lại. Theo thơng tin được tiết lộ,
khả năng ơng chủ tập đồn X quyết định mua công ty A là 45%.
Xác suất để công ty A được mua lại và cổ phiếu công ty A tăng
giá là:
A. 34%
B. 32%
C. 36%
D. 46%

P= 0,8.0,45=0,36 (36%)

C0.22: Một nhóm khảo sát sở thích tiết lộ thơng tin là trong
năm qua
45% người xem Tivi thích xem phim tình cảm Hàn Quốc
25% người xem Tivi thích xem phim hành động Mỹ
10% thích xem cả hai thể loại trên.
Tính tỷ lệ nhóm người thích xem ít nhất 1 trong 2 thể loại trên.
A. 50%
B. 40%
C. 60%
D. 90%
Vì có 10% số người thích xem cả 2 thể loại phim nên
 Số người thích xem phim tình cảm Hàn Quốc là 35%
 Số người thích xem phim hành động Mỹ là 15%


Vậy tỷ lệ số người xem ít nhất 1 trong hai thể loại phim là
35% +15% + 10%= 60%
C0.24: Một công ty quảng cáo sản phẩm thông qua hai phương
tiện báo chí và Tivi. Được biết có:
30% biết thơng tin về sản phẩm qua báo chí
50% biết thơng tin về sản phẩm qua Tivi
25% biết thông tin về sản phẩm qua báo chí và Tivi
Hỏi ngẫu nhiên một khách hàng, xác suất khách hàng này biết
thông tin về sản phẩm thơng qua khơng phải báo chí và Tivi là:
Số người biết thông tin sản phẩm qua cả hai kênh là báo chí và
Tivi là 25%
 Số người biết thơng tin sản phảm qua báo chỉ là 5% (chỉ
báo chí)

 Số người biết thông tin sản phẩm chỉ qua Tivi là 25% (chỉ
Tivi)
Xác suất người này biết thông tin về sản phẩm dựa trên hai
phương tiện trên là: P= 0,25 + 0,25 +0,05 = 0,55
 Xác suất để người này không biết thông tin sản phảm qua
cả hai kênh phương tiện trên là: P= 1 – 0,55= 0,45
C0.48: Chia ngẫu nhiên 9 hộp sữa (trong đó có 3 hộp kém phẩm
chất) thành 3 phần bằng nhau (có tên 1; 2; 3). Xác suất để
trong mỗi phần đều có một hộp kém chất lượng là: (Khó lắm bỏ
đi)
A. 1
B. 9/28
C. 15/28
D. 3/5
P(N1.N2.N3)= P(N1).P(N2/N1).P(N3/N1.N2)



C0.48’: Một hộp banh có 12 trái banh mới. Mỗi lần chơi lấy 4
bánh mới, chơi xong sẽ bỏ lại vào hộp, mỗi banh mới được chơi
xong sẽ trở thành banh cũ. Tính xác suất để cả ba lần chơi đều
là banh mới. (tương tự câu trên)
C0.14: Ba người cùng làm bài thi độc lập. Xác suất làm được bài
của sinh viên A là 0,8; của sinh viên B là 0,7, của sinh viên C là
0,6. Xác suất để có không quá 2 sinh viên làm được bài là bao
nhiêu:
A. 0,452
B. 0,188
C. 0,976
D.0,664

Không quá => dùng phần bù
Xác suất để cả 3 sinh viên đều làm được bài là: P(A.B.C)=
0,8.0,7.0,6= 0,336
Xác suất không quá 2 sinh viên làm được bài: P= 1 – P(A.B.C)=
1 – 0,336= 0,664
C0.15: Ba người cùng làm bài thi độc lập. Xác suất làm được
bài của sinh viên A là 0,8; của sinh viên B là 0,7, của sinh viên
C là 0,6. Biết có ít nhất một sinh viên làm được bài. Xác suất để
sinh viên C làm được bài là:
A. 0,6148
B. 0,4036
C. 0,5044
D. 0,1915
Xác suất có điều kiện:
P(C/X)=
P(X) = 1 – P(X-) = 1- 0,2.0,3.0,4= 0,976
P(CX) = P(C)= 0,6 (vì có ít nhất một sinh viên làm được bài nên
xác suất sinh viên C làm được bài là chắc chắn)


C0.9: Hai người cùng bắn vào mục tiêu một cách độc lập, mỗi
người bắn một viên đạn. Khả năng bắn trúng của người 1 và 2
lần lượt là 0,8 và 0,9. Biết mục tiêu bị trúng đạn. Xác suất người
thứ 2 bắn trúng là:
A. 0,98
B. 0,72
C. 0,9104
D. 0,816
E.
P(C/X)=

P(X) = 1 – P(X-) = 1- 0,2.0,1= 0,98
P(CX) = P(C)= 0,9
C2.1: Một kiện hàng có 6 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm. Chọn
ngẫu nhiên từ kiện hàng đó ra 2 sản phẩm. Gọi X là số phế
phẩm trong 2 sản phẩm chọn ra. Bảng phân phối xác suất của
X là:
X
P

0
1/3

1
8/15

2
2/15

Vì chọn ngẫu nhiên từ kiện hàng chỉ có 2 sản phẩm mà X lại là
số phế phẩm trong 2 sản phẩm được chọn nê số phế phẩm
được chọn có thể tối thiểu là 0 sản phẩm và tối đa là 2 sản
phẩm
Xác suất không chọn được phế phẩm nào trong 2 sản phẩm
được chọn:
P(X=0)=
Xác suất chọn được 1 phế phẩm trong 2 sản phẩm là:
P(X=1)=
Xác suất chọn được cả 2 sản phẩm đều là phế phẩm:
P(X=2)=
C1.5: Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất

sau:
X

-1

0

2

4

5


P

0,15

0,1

k

0,05

Giá trị của là :
A. 0,9
B. 0,8
C. 0,7
D.0,6
Ta có : 0,15 + 0,1 + k +0,05 + 0,25= 1

 k= 0,45

 trong khoảng từ -1 đến 2= P(0) + P(2)
 giao với X=5 => P(5)
= P(0) + P(2) + P(5)= 0,1 + 0,45 + 0,25= 0,8

0,25


C1.8 : Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác
suất :
X
P

1
0,15

2
0,25

3
0,4

4
a

Giá trị kỳ vọng và phương sai của X
A. EX= 2,6
B. EX= 2,8
C. EX= 2,65

D. EX= 1,97
A. Var X= 5,3
B. Var X= 7,0225
C. Var X= 7,95
D.Var X= 0,9275
Ta có : 0,15 + 0,25 + 0,4 + a = 1
 a= 0,2
 EX= X1.P1 + X2.P2 + X3.P3 +X4.P4= 1.0,15 + 2.0,25 + 3.0,4
+ 4.0,2= 2,65

Tính tương tự như tính EX nhưng bình phương X

C1.19, C1.20 : Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
xác suất
X thuộc (0 ; 3)
X khơng thuộc (0 ;3)
Tính giá trị kì vọng của X. (C1.20)
Sử dụng tích phân cận từ 0 đến 3 để tìm a


Thay x= 3 vào trừ hàm trên – thay x=0 vào hàm trên = 1
 a=
 = (C1.19)
C1.20: EX=
C2.1 : Xác suất một bệnh nhân được chữa bệnh thành công với
kĩ thuật mới là p=0,8. Giả sử có 10 bệnh nhân. Xác suất có 6
bệnh nhân được chữa bệnh thành công với kĩ thuật này là :
A. 0,0881
B. 0,2621
C. 0,1296

D. 0,6219
p= 0,8 ( tỷ lệ thành công)
q= 1-p= 0,2
P(X=k) =
 P(x=6)=
C2.2 : Xác suất một bệnh nhân được chữa bệnh thành cơng với
kĩ thuật mới là p=0,8. Giả sử có 10 bệnh nhân. Xác suất có từ 4
đến 5 bệnh nhân được chữa bệnh thành công với kĩ thuật mới
này là :
A. 0,0881
B. 0,2621
C. 0,0319
D. 0,0055
Xác suất có 4 bệnh nhân được chữa bệnh thành cơng : P(x=4)=
Xác suất có 5 bệnh nhân được chữa bệnh thành công : P(x=5)=
Xác suất có từ 4 đến 5 bệnh nhân được chữa bệnh thành công
với kĩ thuật mới này là : P= P(x=4) + P(x=5)
C2.3 : Xác suất một bệnh nhân được chữa bệnh thành công với
kĩ thuật mới là p=0,8. Giả sử có 10 bệnh nhân. Xác suất có


nhiều nhất 8 bệnh nhân được chữa bệnh thành công với kĩ
thuật mới này là :
A. 0,0881
B. 0,2621
C. 0,0319
D. 0,6242
Cách 1 :
Cách 2 : phần bù
C2.4 : Xác suất một bệnh nhân được chữa bệnh thành công với

kĩ thuật mới là p=0,8. Giả sử có 10 bệnh nhân. Số bệnh nhân
có thể được chữa bệnh thành cơng với kĩ thuật mới lớn nhất là :
A. 8
B. 2
C. 6
D. 7

 k=8
C2.5 : Theo một nghiên cứu gần đây của phòng Đào tạo, 40%
sinh viên có khả năng tự học. Chọn ngẫu nhiên 5 sinh viên để
hỏi. Xác suất ít nhất 1 sinh viên dược hỏi có khả năng tự học
là :
A. 0,9132
B. 0,8918
C. 0,9222
D. 0,0778
p= 0,4
 q= 0,6
Xác suất khơng có học sinh nào có khả năng tự học :
P(x=0)=
C


C2.7 : Theo một nghiên cứu gần đây của phòng Đào tạo, 40%
sinh viên có khả năng tự học. Chọn ngẫu nhiên 5 sinh viên để
hỏi. Tính kỳ vọng và phương sai của số sinh viên được hỏi có
khả năng tự học :
A. 2 và 1,2
B. 3 và 1,2
C. 2 và 1,095

D. 3 và 1,095
EX= np= 5.0,4= 2
Var X= npq= 5.0,4.0,6= 1,2
C2.45 : Trong một kì thi đầu vào của một trường chun, nếu
một thí sinh có tổng điểm các mơn thi cao hơn 15 điểm thì
trúng tuyển. Biết tổng điểm các môn thi của học sinh là biến
ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 12 điểm và độ
lệch chuẩn là 5 điểm. Tỷ lệ học sinh thi đạt là :
A. 40,44%
B. 59,56%
C. 27,43%
D. 72,57%

Thi đạt khi 15= 0,5 - (dò bảng tra B2 số đầu sau dấu phẩy là hàng, số thứ 2
sau dấu phẩy là cột).
= 0,5 – 0,2257= 0,2743
C2.46 : Trong một kì thi đầu vào của một trường chun, nếu
một thí sinh có tổng điểm các mơn thi cao hơn 15 điểm thì
trúng tuyển. Biết tổng điểm các môn thi của học sinh là biến
ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 12 điểm. Nếu tỷ
lệ học sinh thi đạt là 22,66% thì độ lệch chuẩn là :
A. 5


B. 4
C. 7
D. 6
P= 0,2266

0,2266=
(tra ngược từ số ra hàng và cột)
C5.8 : Chỉ số sức khỏe BMI là chỉ số đo thể trạng của người
trưởng thành, đo bằng cân nặng chia bình phương chiều cao.
Theo thống kê, một người ở độ tuổi 18 sẽ có chỉ số BMI trung
bình là 21,5 và độ lệch chuẩn là 2,5. Khảo sát mẫu gồm 200
người ở độ tuổi 18, quy luật phân phối của chỉ số BMI trung bình
của một người trong nhóm là
A.
B.
C.
D.
C5.9 : Trong một cơng ty, tỷ lệ nhân viên hồn thành chỉ tiêu
cơng việc là 40%. Khảo sát một mẫu gồm 200 nhân viên, tỷ lệ
nhân viên hoàn thành chỉ tiêu công việc là biến ngẫu nhiên
tuân theo phân phối nào sau đây :
A.
B.
C.
D.
C5.22 : Điều tra doanh số bán hàng (đơn vị tính : triệu đồng /
tháng) của 100 cửa hàng, thu được kết quả : Doanh số bán
hàng trung bình là 250 triệu đồng/ tháng, độ lệch chuẩn hiệu
chỉnh về doanh số bán hàng 9 triệu đồng/ tháng.


Với độ tin cậy 97%, khoảng ước lượng doanh số bán hàng trung
bình của một cửa hàng là :
A. (248,047 ; 251,953) triệu đồng/ tháng
B. (248,236 ; 251,764) triệu đồng/ tháng

C. (249,349 ; 250,651) triệu đồng/ tháng
D. (232,235 ; 248,653) triệu đồng/ tháng
Độ tin cậy
S =9

C5.33 : Cân trọng lượng của một số sản phẩm của cơng ty, ta
có bảng số liệu sau :
Trọng lượng
(gram)

10-20

20-30

30-40

40-50

Số sản
10
28
14
20
phẩm
Với độ tin cậy 97% Khoảng ước lượng cho sản phẩm có tỷ lệ từ
20 đến 40 gram là :
A. (0,4573, 0,7094)
B. (0,3244, 0,8286)
C. (0,2545, 0,5152)
D. (0,6057, 0,8972)

Tổng số sản phẩm n= 72 ( cộng hết số sản phẩm lại)
Tổng số sản phẩm từ 20 đến 40 gram m=42 (18+24)

Độ tin cậy


C5.34 : Trong một kho hàng có rất nhiều thùng hàng, mỗi thùng
chứa 120 sản phẩm. Kiêm tra ngẫu nhiên 55 thùng hàng thì
thấy có 200 sản phẩm khơng đtạ tiêu chuẩn. Nếu muốn ước
lượng tỷ lệ sản phẩm không đạt tiêu chuẩn trong khó với
sai số khơng q 0,2% và độ tin cậy là 98% thì phải kiểm tra tối
thiểu bao nhiêu thùng hàng :
A. 333
B. 278
C. 350
D. 1200
N= 6600 (có 55 thùng mỗi thùng 120 sản phẩm => n= 55.120)
M= 200
Độ tin cậy (dò ngược trong bảng, lấy 98% chia 2)
)

Câu 13 : Quản lý trong cửa hàng thức ăn nhanh KFC khẳng định
trung bình một bánh hamburger tại đây được làm trung bình
trong 1 phút 15 giây. Kiểm định giả thuyết : ‘Thời gian trung
bình để chuẩn bị một bánh hamburger tại cửa hàng KFC bằng 1
phút 15 giây’ với mức ý nghĩa là 3%, có vùng chấp nhận cho
giả thuyết là :
A.
B.
C.

D.
Mức ý nghĩa là 3% => độ tin cậy 100%-3%= 97%

Câu 14 : Quản lý trong cửa hàng thức ăn nhanh KFC khẳng định
trung bình một bánh hamburger tại đây được làm trung bình


trong 1 phút 15 giây. Khảo sát ngẫu nhiên tại các cửa hàng KFC,
quan sát 100 bánh hamburger thấy thời gian trung bình là 1
phút 10 giây và độ lệch chuẩn 25 giây. Kiểm định giả
thuyết : ‘Thời gian trung bình để chuẩn bị một bánh hamburger
tại cửa hàng KFC bằng 1 phút 15 giây’ với mức ý nghĩa là 3%,
có giá trị thống kê và kết luận là :
A. Z=-2,00
B. Z= -2,00
C. Z= -3,00
D. Z= -3,00

; chưa đủ cơ sở bác bỏ giả thuyết
; bác bỏ giả thuyết
; chưa đủ cơ sở bác bỏ giả thuyết
; bác bỏ giả thuyết.

B2 : Mức ý nghĩa là 3% => độ tin cậy 100%-3%= 97%
H0z0

Vùng bác bỏ

H1

-2,17

H0

vùng chấp nhận

2,17 vùng bác

bỏ

Đối chiếu z trên trục vừa vẽ ở bước 2 nếu z thuộc vừng chấp
nhận thì chưa đủ cơ sở bác bỏ giả thuyết và ngược lại
*Lưu ý : Do vùng chấp nhận là vùng tạm thời đúng nên
chưa đủ cơ sở để chắc chắn một điều gì đúng
Cịn vùng bác bỏ là vùng chắc chắn đúng nên nếu thuộc
vùng đó là đủ điều kiện để bác bỏ giả thuyết.