Lý thuyết xác suất thông kê và toán Giáo trình dành cho sinh viên ngành Tiểu học

TR

NGă IăH CăPH MăV Nă NG
KHOA S PH M T NHIÊN

BÀI GI NG
NH P MỌN Lệ THUY T XÁC SU T
VÀ TH NG KÊ TOÁN

Gi ng viên: Võ Tu n Thanh
B môn : Giáo d c Ti u h c

Tháng 06/2015

1


L I NịI

U

Líăthuy tăxácăsu tăvàăth ngăkêătoánăhi nălàăm tămônăh căc ăb n,ăngàyăcàngăđ că
ngă d ngă r ngă rưiă trongă khoaă h că k ă thu t,ă giáoă d c… Vìă v yă tàiă li u,ă giáoă trìnhă đ ă
thamăkh oăvàăh căt păb ămônănàyăkháăphongăphú.ăM tădùăv yăđ iăv iăh căph nă“Nh pă
mônălíăthuy tăxácăsu tăvàăth ng kê toán”ăc aăch ngătrìnhăCaoăđ ngăS ăph măđàoăt oă
giáo viên Ti uăh c ch aăcóăgiáoătrìnhăchínhăth ng.
Soăv iăyêuăc uăchiăti tăn iădungămàăh căph nămôăt ,ăthìăh uăh tăcácătàiăli uăvàă
giáoătrìnhăhi năcó ch a đápă ngăđ căv năđ ăt ăh c,ăt ănghiênăc uăc aăsinh viênă ăb că
h că này.ă ă giúp sinhă viênă h că t pă h că ph nă nàyă theo ph ngă th că đàoă t oă theoă h ă
th ngătínăch ănh ăhi nănay,ăchúngătôiăbiênăso năbàiăgi ngă“Nh pămônălíăthuy tăxácăsu tă
vàăth ngăkêătoán”ătrênăc ăs ăđ ăc ngăchiăti t,ăthamăkh oănhi uătàiăli u,ănh mătíchăc că

hóa ho tăđ ng,ăkíchăthíchăs ăsángăt oăvàăkh ăn ngăgi iăquy tăv năđ choăng iăh c.
Bàiăgi ngănàyăt

ngă ngăv iăth iăl

ngă30ăti t.ă

N iădungăg măbaăch ng:
Ch ngă1:ăBi năc ăng uănhiênăvàăxácăsu t.
Ch ngă2:ăBi năng uănhiên.
Ch ngă3:ăTh ngăkê toán.
Vìăth iăl ngăch ăg măhaiătínăch , yêuăc uăng iăh căch ăti păc nă ăm căđ ănh pă
môn,ăh năn aăn iădungăđ căbiênăso năchoăsinhăviênăb căcaoăđ ngăngànhăgiáoăd căti uă
h c nênăchúngătôiăc ăg ngădi năđ tăcácăkháiăni măvàăcácăk tălu năd iăd ngăngônăng ă
gi nă d ,ă thíchă h pă v iă đ iă t ng.ă ă cóă th ă khaiă thácă sâuă h nă v ă ki nă th că mônă h că
này,ăng iăh căcóăth ăthamăkh oăthêmăcácătàiăli u [1], [2], [3] và [4].
âyă làă l nă đ uă tiênă biênă so nă bàiă gi ngă nàyă v iă ph ngă th că đàoă t oă theoă h ă
th ngăđàoăt oătínăch ,ăch căch năs ăkhôngătránhăkh iănh ngăsai sót, chúngătôiăr tămongă
nh năđ cănh ngăýăki năđóngăgópăc aăcácăth yăcôăgiáoăvàăsinhăviênătrongănhàătr ng.ă
Xinăchânăthànhăc mă n.
TÁCăGI

2


Ch

ng 1.

BI N C

NG U NHIÊN VÀ XÁC SU T

A. M C TIÊU
KI N TH C:
Cungăc păchoăng iăh cănh ngăki năth căv :
- Nh ngăkháiăni măc ăb năv ăxácăsu t.
- M tăs ăph ngăphápăđ nhăngh aăxácăsu tăth ngăs ăd ng.
- M tăs ătínhăch tăc ăb năc aăxácăsu t.
- Cácă côngă th că tínhă xácă su tă đ că l p,ă xácă su t đi uă ki n,ă dưyă phépă th ă
Bécnuli.
K ăN NG:
Hìnhăthànhăvàărènăluy năchoăng iăh căk ăn ng:
- Gi iăcácăbàiătoánăv ăxácăsu tăc ăđi n,ăxácăsu tăhìnhăh c,ăxácăsu tăđi uăki n…
- V nă d ngă đ ă x ă líă cácă bàiă toánă xácă su tă trongă th că t ă vàă nghiênă c uă khoaă
h c.
THÁIă :
Ch ăđ ngătìmătòi,ăphátăhi năvàăkhámăpháăcácă ngăd ngăc aăxácăsu tătrongăth căt .
B. N I DUNG
1.1. Khái ni m v bi n c
1.1.1. Phép th
nhăngh a:ăPhépăth ălàăs ăth căhi năm tănhómăcácăđi uăki năxácăđ nhă(cóăth ă
đ căl păl iăvôăs ăl n).
1.1.2. Bi n c
Trongăđ iăs ngăhàngăngày taăth ngăg păhaiălo iăs ăki n:ăs ăki năng uănhiênăvàă
s ăki năt tăy u.
S ăki năt tăy uălàăs ăki nămàătaăhoànătoànăbi tăđ călàănóăx yăraăhayăkhôngăx yăra.
S ăki năng uănhiênălàăs ăki nămàătaăkhôngăth ăxácăđ nhăm t cáchăch căch n là
nóăx yăraăhayăkhôngăx yăra, taăcònăg iălàăbi năc ăng uănhiên.ăNg iătaăth ngăkíăhi uă
cácăbi năc ăng uănhiênălàăA,ăBă,ă...

S ăki năt tăy uămàătaăbi tăch căch nălàănóăx yăraătaăcònăg iălàăbi năc ăch căch n,ă
kíă hi uă làă .ă S ă ki nă t tă y uă màă taă bi tă ch că làă nóă khôngă th ă x yă raă g iă làă bi nă c ă
khôngăth ăhayăbi năc ăr ng,ăkíăăhi uălàă  .
1.1.3. Ví d
- Gieoăm tăl năconăxúcăx căđ căxemănh ăti năhànhăm tăphépăth .ăK tăqu ăc aă
phépăth ănàyălàăm tătrênăconăxúcăx căcóăth làăm tăch mă(taăkíăhi uălàăB1),ăhaiăch mă
(B2),ă ho că baă ch mă (B3),ă ho că b nă ch mă (B4),ă ho că n mă ch mă (B5),ă ho că sáuă ch mă
(B6).
Cácăs ăki năB1 x yăraăhayăB2 x yăra...ălàăcácăbi năc ăng uănhiên.
Taă g iă Aă làă s ă ki nă s ă ch mă ă m tă trênă làă ch nă ho că l ă thìă Aă làă bi nă c ă ch că
ch n.

3


G iăCălàăs ăki nămàăm tătrênăc aăconăxúcăx căcóăs ăch mălàă7ăthìăCălàăbi năc ă
khôngăth .
- Gieoăm tăđ ngăxuăcânăđ iăvàăđ ngăch t,ătaăg iăăAălàăs ăki năm tăng aă(m tăs )ă
xu tăhi n,ăBălàăs ăki năm tăs pă(m tăqu căhuy)ăxu tăhi n,ăthìăA,ăBălàăhaiăbi năc ăng uă
nhiên.
Bi năc ăch căch n,ăbi năc ăkhôngăth ,ăbi năc ăng uănhiênăg iăchungălàăbi năc .
1.1.4. Phép toán và quan h gi a các bi n c
- Taăth căhi nă1ăphépăth .ăCácăk tăqu ăcóăth ăkhiăphépăth ăđ căth căhi năg iălàă
cácăbi năc ăs c pă(ho căcácăbi năc ăc ăb n).
- T ngăhaiăbi năc ăAăvàăBălàăm tăbi năc ,ăkíăhi uălàăA  Băsaoăchoăbi năc ăt ngă
A  Băx yăraăkhiăvàăch ăkhiăAăx yăraăho căBăx yăra.
- Tíchăhaiăbi năc ăAăvàăBălàăm tăbi năc ,ăkíăhi uălàăA  Băho căABăsaoăchoăbi nă
c ătíchăABăx yăraăkhiăvàăch ăch ăAăx yăraăvàăBăx yăra.
- Haiăbi năc ăAăvàăBăg iălàăxungăkh căn uăx yăraăbi năc ănàyăthìăkhôngăth ăx yă
raăbi năc ăkiaă(AăvàăBăxungăkh căv iănhauăthìăABă=ă  ).

- Hi uăc aăăbi năc ăAăătr ăbi năc ăBălàăm tăbi năc ,ăkíăhi uălàăA\Băăsaoăchoăbi nă
c ăA\Băx yăraăkhiăvàăch ăkhiăAăx yăraănh ngăBăkhôngăx yăra.
- Bi năc ăBăđ căg iălàăđ iăl păv iăbi năc ăAăn uăvàăch ăn uăAăvà B làăhaiăbi nă
c ăxungăkh căvàătrongăphépăth ăluônăxu tăhi năm tătrongătrongăhaiăbi năc ănày.ăBi năc ă
đ iăl păc aăbi năc ăAătaăkíăhi uălàă A , ta có A = \A.
- Bi năc ăAăđ căg iălàăkéoătheoăbi năc ăB,ăkíăhi uăAă  Băn uăbi năc ăAăx yăraă
thìăbi năc ăBăph iăx yăra.
Víăd :ăKhiăgieoăconăxúcăx c,ăg iă
Dă=ă{s ăch mă ăm tătrênăconăxúcăx călàăs ăl },ăkhiăđóătaăcó
B3  D
B1  D
- Haiăbi năc ăAăvàăBăđ căg iălàăt ngăđ ngăv iănhauăn uăAă  B và B  A.
Vi tăAă=ăB
Nh năxét:
a.ăTaăcóăth ăm ăr ngăcácăquanăh ăbi năc ăchoă3,ă4ăbi năho cănhi uăh năn a.
b.ăKhiă xétăquanăh ăgi aăcácăbi năc taăkhôngănênădùngă minhăh a hìnhăh că đ ă
thayăth ăchoăđ nhăngh aămàăph iăbámăch tăđ nhăngh aăđ ăxét,ăbi uădi năhìnhăh căkhôngă
th ăph năánhăchínhăxácătrongăm iătr ngăh p.
Víăd : Haiăng iăcùngăb năvàoăm tăm cătiêu.
G i Aă=ă“Anhăth ănh tăb nătrúngăbia”
Bă=ă“Anhăth ăhaiăb nătrúngăbia”
Haiăbi năc ănàyăkhôngăxungăkh căv iănhau,ănh ngăkhóămôăt ăhìnhăh căchoăbi năc ă
tíchăABă(tr ngăh păhaiăanhăcùngăb nătrúngăbia).
- H ănăbi năc ăA1, A2 , ..., An g iălàăm tănhómăđ yăđ ăcácăbi năc ăn u:
. Chúngăxungăkh căv iănhauăt ngăđôiăm tăAiAj =  ,ăiă≠ăjă
.ăT ngăc aănăbi năc ănàyăt ngăđ ngăv iăbi năc ăch căch n.
A1  A2  ...  An =ă ă.

4

Nh ăv yăm iăl năthíănghi măph iăx yăraăm tăvàăch ăm tăbi năc ăthu cănhómăđ yă
đ ăcácăbi năc .
Víăd : A , A làăm tănhómăđ yăđ ăcácăbi năc . Khiăgieoăconăxúcăx căthìăB1, B2,ă…,ăB6
làăm tăh ăđ yăđ ăcácăbi năc
- Quyăt căđ iăng uăDeăMorgan: A  B  C  A.B.C ; ABC  A  B  C
Quyăt cănàyăcóăth ăm ăr ngăchoănăbi năc ănh ăsau:
A1  A2  ...  An  A1.A2 ...An

;

A1A2 ...An  A1  A2  ...  An

- Phépăl yăt ngăvàătíchăcóătínhăch tăgiaoăhoán,ăk tăh păvàăphânăph i:
AB = BA ; AB = BA
A( BC ) = AB  AC ; A  (B C) = (A B)(AC
Víăd :ăHaiăng iăcùngăb n,ăm iăng iăb năăm tăviênăvàoăbia.ă
G iăAi = {ng iăth ăiăb nătrúngăbia},ăiă=ă1,ă2ă
Taăcóăth ăxâyăd ngăcácăbi năc ăt ăhaiăbi năc ăA1, A2 nh ăsau:
a.ăCh ăcóăng iăth ă1ăb nătrúngăđíchă
: A1 A2
b.ăCóăm tăng iăb nătrúngă
c.ăCóăítănh tăm tăng iăb nătrúngă
d.ăC ăhaiăcùngăb nătrúng

: A1 A2  A1 A2
: A1  A2
: A1 A2

e.ăKhôngăaiăb nătrúng

: A1. A2

ho căăăă A1  A2

f.ăNhómăđ yăđ ăcácăbi năc ă
: A1 , A1 ho că A1. A2 , A1 A2 , A1 A2 , A1 A2 .
1.2. nh ngh a xác su t
1.2.1. nh ngh a xác su t c đi n
Xácăsu tăc aăbi năc ng uănhiênăAălàăt ăs ăc aăs ătr ngăh păbi năc Aăth căt ă
cóă th ă x yă raă v iă t ngă s ă nă tr ngă h pă cóă đ ngă kh n ng xu tă hi nă hayă khôngă xu tă
hi n.ăTaăkýăhi uăxácăsu tăc aăs ăki nă(bi năc )ăAănàoăđóălàăP(A).
P(A) =

S ătr ngăh păthu năl iăc aăA
S ătr ngăh păcóăth ăx yăra

Nh ăv yăP( ) = 1 ; P(  ) = 0 .
Víăd 1:ăM tăt ăh căsinhăcóă12ăng iăđ căphână7ăvéăxemăbóngăđáăqu căt ă(m iăng iăă
nhi uănh tălàăm tăvé),ătrongăđóăcóă2ăvéălo iăI,ă2ăvéălo iăII,ă3ăvéălo iăIII.ăVi căphânăph iă
ti năhànhătheoăki uărútăth m.
- Xácăsu tăđ ăm tăh căsinhăđ
- Xác su tăăđ ăm tăh căsinhăđ
- Xácăsu tăđ ăm tăh căsinhăđ
p=

7
 0,58.
12
2 1

căm tăvéălo iăIălàăpă=ăă 
12 6

că1ăvéălàăăpă=ăă

căm tăvéălo iăIăho căm tăvéălo iăIIălàă

2 2 1
 
12 12 3

- Xácăsu tăđ ăm tăh căsinhăkhôngăđ

căvéănàoălà:

5


7
5

12 12

p=1-

Víăd ă2:ăRútăng uănhiênăt ăc ăbàiăg mă52ăconăbàiăraăt ă8ăconăbài.ăTìm xác su tăsaoă
cho trong 8 con bài có:
a. 3 con At, 2 con 10, 1 con 2, 1 con K, 1 con J.
b.ă2ăconăc ,ă1ăconăRô,ă2ăconăPic,ă3ăconăchu n.
c.ă5ăconămàuăđ ,ă3ăconămàuăđen.

Gi i:
Phépăth ăc aătaălàărútăng uănhiênăraă8ăconăbài,ăs ătr ngăh păcóăth ălà
8
=
C52

52!
45.46.47.48.49.50.51.52

8!(52  8)!
1.2.3.4.5.6.7.8

G iăăăAă=ă“trong 8 con bài rút ra có 3 At, 2 con 10, 1 con 2, 1 con K, 1 con J”.
T ngăt ăB,ăC,ăDălàăcácăbi năc ăt ngă ngăv iăcácăcâuăb/ă;ăc/ă;ăd/.
a. S ătr ngăh păthu năl iăchoăAătheoălu tătíchălà:
C43  C42  C41  C41  C41 = 4.6.4.4.4
Doăđóă
b. S ătr
Doăđóă
c. S ătr
Doăđóăă
1.2.2.
s ăă

44.6
P(A) = 8
C52

ngăh păthu năl iăc ho B là C132 .C131 .C132 .C133
P(B) =

1
C132 .C13
.C132 .C133
8
C52

ngăh păthu năl iăchoăCălàă C265 .C263
P(C) =

5
3
C26
.C26
8
C52

nh ngh a xác su t theo ph ng pháp th ng kê
Khiătaăth căhi năm tăphépăth ănàoăđóănăl nămàăbi năc ăAăxu tăhi nămăl năthìăt ă

m
g iălàăt năsu tăc aăbi năc ăA.
n

Khiănăthayăđ i,ăt năsu tăm/năc ngăthayăđ iănh ngănóăluônădaoăđ ngăquanhăm tă
s ăc ăđ nhănàoăđó,ănăcàngăl năthìăt ăs ăm/năcàngăg năs ăc ăđ nhăđó.ăS ăc ăđ nhă yăg iălàă
xácăsu tăc aăbi năc ăAătheoăngh aăth ngăkê.ăTrênăth căt ăkhiănăđ ăl nătaăx păx ăP(A)ă
b iăm/n
P(A) 

m
n

Víăd :
- Buffonăđưăgieoăm tăđ ngăti năcânăđ i,ăđ ngăch tă4040ăl năth yăcóă2048ăl nă
xu tăhi năm tăs p.
m
= 0,5080
n

-

Pearsonăđưăgieoă12000ăl n th yă6019ăl năs p

6


m
= 0,5016
n

-

Pearsonăđưăgieo 24000 l năth yă12012ăl năs p
m
= 0,5005
n

S ăc ăđ nhăc nătìmătrongătr ngăh pănàyălàă0,5.ăT călàăxácăsu tăxu tăhi năm tă
s păkhiăgieoăđ ngăti năcânăđ iăvàăđ ngăch tălàăb ngă0,5.

Nh năxét:ă nhăngh aăxácăsu tăd ngăth ngăkêăhay đ nhăngh aăxácăsu tătheoăt năsu tăch ă
choătaăgiáătr ăs păx ăvàăm căđ ăchínhăxácăc aăvi căx păx ătùyăthu căvàoăs ăl năth căhi nă
phépăth .
1.2.3. Xác su t hình h c
Gi ăs ăXălàăm tăhìnhăn mătrongăhìnhă ă,ăl yăng uănhiênăm tăđi măMătrênăhìnhă
ăthìăcóăm tătrongăhaiăkh ăn ngăsauăcóăth ăx yăra:ăho căMăn mătrênăhìnhăX,ăho căMă
khôngăn mătrênăhìnhăX.ăTaăg iăt ăs :
“đ đo”ăhìnhăX

P(M) = “đ đo”ăhìnhă
làăxácăsu tăđ ăkhiă yăđi măMăr iăvàoăhìnhăX.
Chú ý:ăKháiăni mă“đ ăđo”ăhìnhăXă ăđâyăđ căhi uănh ăsau:
- Làăđ ădàiăn uăcácăhìnhăXăđ căt o b iănh ngăđo năth ng,ăđ ngăcong.
- Làădi nătíchătheoăngh aăthôngăth ng,ăn uăXălàăhìnhăph ngătrongăm tăph ng.ă
Trongătr ngăh pănàyătaăquiă c:ădi nătíchăc aăđ ngăcongătrongăm tăph ngă
b ngă0.
- Làă th ă tíchă theoă ngh aă thôngă th ng,ăn uă Xă làă kh iă đaă di nă ho că kh iă trònă
xoayă trongă khôngă gian.ă Trongă tr ngăh pănàyă taă quiă c:ăth ă tíchă c aă m tă
congătrongăkhôngăgianăb ngă0.
Víăd :
1) Choă m tă khuă đ tă hìnhă trònă vàă m tă v nă hoaă hìnhă tamă giácă đ uă n iă ti pă trongă
hìnhătrònăđó.ăTr ăemăđáăb ngăm tăqu ăbóngăr iăvàoăkhuăđ t.ăTìmăxácăsu tăđ ăqu ă
r iăvàoătrongăv năhoa.
Gi i:ăTheoăđ nhăngh aătaăcóăxácăsu tăđ ăqu ăbóngăr iăvàoăv năhoaălà:
A
P(M) 

Stam giac
Shinh tron

1
BC. AH
2
 R2

R
o

1
3
R 3. R
2  3 3  0, 41.
2
2
4
R

2) Haiăng iăh năg pănhauăt iăm tăđ aăđi mătrongăkho ngăt ă1ăđ nă2ăgi chi u.ăH ă
th aăthu năv iănhauănh ăsau:ăM tăng iăđ năđi măh nămàăng iăkiaăch aăđ nă
thìăs ăch ăkhôngăquáă15ăphút.ăN uăng iăkiaăkhôngăđ năthìăng iăđóăraăđiătr că
2ăgi ăchi u.ăTìmăxácăsu tăđ ăhaiăng iăg pănhau.

7


Gi i:ă15ăphútă=ă0,25ăgi .ăG iăxăvàăyătheoăth ăt ălàăth iăđi măng iăth ănh tăvàă
ng iăth ăhaiăđ năđi măh n.ăV yăđi uăki năđ ăhaiăng iăg pănhauălà:

1  x, y  2
1  x, y  2




 x  y  0, 25  x  0, 25  y  x  0, 25

T păh pănh ngăđi măM(x,y)ăv iăă1ă≤ăx,ăyă≤ă2ăn mătrongăhìnhăvuôngăABCD.ăT pă
h pănh ngăđi măM(x,y)ăv iăăxă– 0,25ă≤ăyă≤ăxă+ă0,25ăn mătrongăph năg chăchéoătrongă
hìnhăv .ă
T ă phână tíchă trên,ă taă phátă bi uă l iă bàiă toánă d iă d ngă hìnhă h că nh ă sau:ă L yă
ng uănhiênăm tăđi măM(x,y)ătrongăhìnhăvuôngăABCD.ăTìmăxácăsu tăđ ăđi măđóă
r iăvàoăph năg chăchéoătrongăhìnhăv .
Ápăd ngăcôngăth căxácăhìnhăh c,ătaăcóăxácăsu tăđ ăhaiăng iăg pănhauăt iăđi mă
h nălà:
“đ đo”ăhìnhăX

P(M) = “đ đo”ăhìnhă



1  0, 752
 0,44
1

3) Thamăs ămăc aăph ngătrình
x2 – (m-1)x + m2 – 1 = 0
l yăng uănhiênătrongăđo nă[-2;ă2].ăTìmăxácăsu tăđ ăph
Gi i:ă i uăki năđ ăph ngătrìnhăđưăchoăcóănghi măth călà:
∆ă=ă(mă– 1)2 – 4(m2 – 1) = -3m2 – 2m +ă5ă≥ă0
Suy ra

5
  m 1
3

8

ngătrênăcóănghi măth c.


Bàiătoánăcóăth ăphátăbi uăd

iăd ngăhìnhăh cănh ăsau:ăL yăng uănhiênăm tăđi mă
5
3

Mătrongăđo nă[-2;ă2].ăTìmăxácăsu tăđ ăđi măđóăr iăvàoăđo nă[  ; 1 ].ăV yăxácăsu tăđ ă
ph

ngătrìnhăcóănghi măth călà:
5
3
P(M) =
22
1

0,67

1.2.4. Các quy t c tính xác su t
Quyă t c I:ă Xácă su tă c aă t ngă haiă s ă ki nă (bi nă c )ă xungă kh că b ngă t ngă cácă xácă
su tăc aănh ngăs ăki nă y.

N uăA,ăBălàăhaiăbi năc xungăkh căthì:ăP(A  B) = P(A) + P(B).
T ngăquát:ăN uăA1, A2, ..., An là n bi n c xungăkh căv iănhauăt ngăđôiăm tăthìăăăăă
n

P(

Ai ) =

i 1

n

 P( A )
i 1

i

H ăqu ă1:ăN uăcácăs ăki năxungăkh căA1, A2, ..., An l păthành m tănhómăs ăki nă
đ yăđ ăthìăt ngăcácăxácăsu tăc aăchúngăb ngă1ă
n

 P( A ) = 1
i 1

i

H ăqu ă2:ăT ngăxácăsu tăc aă2ăs ăki năđ iăl păb ngă1
P(A) + P( A ) = 1
Víăd :ăTrongăm tăcu căx ăs ăti tăki m,ăt ngăs ăphi uălàă10.000ă;ăcóă1ăgi iănh t,ă10ă
gi iănhì,ă100ăgi iăba.ăM tăng iăcóăm tăphi uăti tăki m.ăTính:

- Xácăsu tăđ ăng iăđóătrúngăgi iănhì.
- Xácăsu tăđ ăng iăđóătrúngăth ng.
- Xácăsu tăđ ăng iăđóăkhôngătrúngăth ng.
Gi i:
G i A1 là bi năc ng iăđóătrúngăgi iănh t,ăA2 là bi năc ng iăđóătrúngăgi iănhì,ă
A3 làăbi năc trúngăgi iăba,ăvàăAălàăbi năc ng iăđóătrúngăm tăgi iănàoăđóăthì:
P(A2) =

10
1

10.000 1000

A = A 1  A2  A3
Vì A1 , A2 , A3 làă3ăbi năc xungăkh cănênăxácăsu tăđ ăng
P(A) = P(A1) + P(A2) + P(A3) =
Xácăsu tăđ ăng

iăđó khôngătrúngăgi iăth

iăđóătrúngăth

ngălà

1
10
100
111
+
+


10.000
10.000
10.000 10.000

ngănàoălà:

111
9889
P( A ) = 1 - P(A) = 1 =
10.000 10.000

Quyă t că II:ă Xácă su tă c aă t ngă haiă ă bi nă c ng uă nhiênă A,ă Bă b tă k ă b ngă t ngă xácă
su tăc aă2ăbi năc AăvàăBătr ăđiăxácăsu tăc aătíchă2ăs ăki nă y.
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(AB)
Tr ngăh păt ngăc aă3ăs ăki năA,ăB,ăCăătaăcó:

9


P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)
Chú ý:
P(A  B  C) = 1 - P( A  B  C ) =1 - P( A.B.C )
Víăd :ăHàngăn mănhàătr ngăt ăch cătuy năsinhăvàoă iăh căth ăd căth ăthao.ăH căsinhă
cóăth ăkhôngăđ tăv ăv năhoáăv iăxácăsu tă50%,ăv ăn ngăkhi uăv iăxácăsu tă40%. Xác
su tăđ ăm tăh căsinhăkhôngăđ tăv ăv năhoáăho căn ngăkhi uălà:
P = 0,5 + 0,4 - 0,5.0,4 = 0,7 = 70%
1.3. Bi n c ng u nhiên đ c l p
Hai bi năc đ căl p: Bi năc ăBăđ căg iălàăđ căl păv iăbi năc ăA n uăxácăsu tăx yă
raăAăkhôngăthayăđ iădùăBăcóăx yăraăhayăkhôngăx yăra.

N uăBăđ căl păv iăAăthìăăBăc ngăđ căl păv iă A vàăAăc ngăđ căl păv iăBăvàă B .
Quyă t căIII:ă Xácă su tăc aătíchăhaiă s ăki năđ căl păb ngătíchăxácăsu tăc aăcácăs ă
ki nă y.
P(AB) = P(A).P(B)
Tr ngăh păt ngăquátă:ăN uăA1, A2, ..., An làăcácăbi năc đ căl păv iănhauăthì
P(A1. A2 ... An) = P(A1).P(A2)...P(An)
Víăd 1:ăCóă12ăvéăxemăbóngăđáăqu căt ,ătrongăđóă3ăvéălo iăI,ă4ăvéălo iăII,ă5ăvéălo iă
III.ăTaăghiăvàoăcácăphi uăr iă"rútăth m"ăhaiăl n,ăm iăl năm tăphi u.ăSauăkhiă"rútăth m"ă
l năth ănh t,ătaăb ăphi uăvàoăl iăđ ăchoăs ăphi uăv nălàă12.ăTínhăxácăsu tăđ ărútăđ că2ă
phi uălàă2ăvéălo iăI.
G iăCălàăbi năc ă“Trúngă2ăphi uălo iăIăliênăti p”
Aălàăbi năc ă“Trúngăphi uălo iăIă ăl năth ănh t”
Bălàăbi năc ă“Trúngăphi uălo iăIă ăl năth ăhai”
Rõ ràng A, B là hai bi năc ăđ căl păv iănhau.
C = AB ; P(C) = P(A).P(B)
Mà P(A) = P(B) =

3 1
1 1 1
 nên P(C) = . 
12 4
4 4 16

Víăd ă2:ăHaiăng iăcùngăb năvàoăm cătiêuăm tăcáchăđ căl păv i nhau. Xácăxu tăb nă
trúngăđíchăc aăchi năs ăAălàă0,8ăcònăc aăchi năs ăBălàă0,7.ăTìmăxácăsu t
a.ăChi năs ăAăb nătrúngăđíchăngayătrongă3ăphátăđ u
b.ăChi năs ăBăb nătrúngăđíchăngayăt ăphátăth ă3
c.ăHaiăng iăcùngăb nătrúngăđíchăkhiăm iăng iăb năm tăphát
d.ăÍtănh tăcóăm tăng iăb nătrúngăđíchăkhiăm iăng iăb năm tăphát.
Gi i: G iăAi làăbi năc ă"chi năs ăAăb nătrúngăđíchă ăphát th ăi"ă;ăiă=ă1,ă2,ă3.

G iăBi làăbi năc ă"chi năs ăBăb nătrúngăđíchă ăphátăth ăi"ă;ăiă=ă1,ă2,ă3.
D1, D2, D3, D4 làă4ăbi năc ăt ngă ngăc nătìmăxácăsu tătrongă4ăcâuăa,ăb,ăc,ădă ă
D2 = B1 B2 B3
trên. Ta có:
D1 = A 1  A2  A3 ;
D3 = A1B1
;
D4 = A1  B1.
Ai, Bi đ căl păv iănhau;ăA1, A2, A3 đ căl p;ăB1, B2, B3 đ căl p.ăNh ngăAi , Bi
khôngăxungăkh c.ăV y:
P(D1) = P(A1) + P(A2) +P(A3) - P(A1A2) - P(A1A3) - P(A2A3) + P(A1A2A3)
P(D1) = 0,8.3 - 3.0,8.0,8 + 0,8.0,8.0,8 = 0,992

10


P(D2) = P( B1 ).P( B2 ).P( B3 ) = (1 - 0,7).(1 - 0,7).0,7 = 0,063
P(D3) = P(A1).P(B1) = 0,8.0,7 = 0,56
P(D4) = P(A1) + P(B1) - P(A1B1) = 0,8 + 0,7 - 0,56 = 0,94
1.4. Xác su t có đi u ki n
1.4.1. nh ngh a. Taăkýăhi uăP(A/B)ălàăxácăsu tăc aăbi năc Aăv iăđi uăki năbi năc B
đưăx yăra.ăTaăg iălàăxácăsu tăcóăđi uăki n.ă
T ăđ nhăngh aătaăth yăn uăAăvàăBălàă2ăs ăki năđ căl păthì:
P(A/B) = P(A)
Taăxétăvíăd ătrongăquy t căII.ăN uăg iăAălàăbi năc ă"đ tăyêuăc uăv ăn ngăkhi u",ă
g iăBălàăbi năc "trúngătuy n",ărõăràngăAăvàăBăkhôngăđ căl păv iănhau.ăP(B/A)ălàăxácă
su tăđ ăm tăh căsinhăthiătrúngătuy năv iăđi uăki năđưăđ tăyêuăc uăv ăthiăn ngăkhi u.
Quyăt căIV:ăXácăsu tăc aătíchă2ăs ăki năAăvàăBăb tăk ăb ngătíchăgi aăxácăsu tăc aăs ă
ki năAăv iăxácăsu tăc aăs ăki năBăv iăđi uăki năAăđưăx yăraăho căb ngătíchăgi aăxácă
su tăc aăs ăki năBăv iăxácăsu tăc aăs ăki năAăv iăđi uăki năBăđưăx yăra.

P(AB) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)
Víăd ă1:ăXétăvíăd ă ăquyăt căIIIăv iătr ngăh pă"rútăth m"ăkhôngăhoànăl i,ăkhiăđóăăă
P(A) =

1
2
; P(B/A) =
; P(AB) = P(A).P(B/A)
4
11

Víăd ă2:ăCóă3ăb căth ăvàă3ăbìăth ăcóăghiăđ aăch ăs n.ăChoăl n l tăng uănhiênă3ăb că
th ăvàoă3ăbìăth ăđó.ăTìmăxácăsu tăđ ăcóăítănh tăm tăb căth ăg iăđúngăđ aăch .
Gi i: G iăAălàăs ăki nă“trongă3ăb căth ăcóăítănh tăm tăb căth ăg iăđúngăđ aăch ”.
Ai làăbi năc ă“b căth ăth ăiăg iăđúngăđ aăch ”,ăv iăiă=ă1,ă2, 3. Ta có
A = A 1  A2  A3
P(A) = P(A1) + P(A2) + P(A3) - P(A1A2) - P(A1A3) - P(A2A3) + P(A1A2A3).
Mà

P(A1) = P(A2) = P(A3) =

1
3

P(A1A2) = P(A1A3) = P(A2A3) = P(A1).P(A2/A1) =
1
1
.1 =
6
6

1
1
1 1 1 1
1
2
=
P(A) = + + - - - +
3
3
3 6 6 6
6
3

1 1
1
. =
3 2
6

P(A1A2A3) = P(A1A2).P(A3/A1A2) =
V y:

Víăd ă3:ăB năliênăti păvàoăm cătiêuăchoăđ năkhiăcóăm tăviênătrúngăm cătiêuăthìăng ngă
b n.ăTìmăxácăxu tăsaoăchoăph iăb năđ năviênăth ă4,ăbi tăr ngăxácăsu tătrúngăm cătiêuă
c aăm iăl năb nălàănh ănhauăvàăb ngă0,3.
G iăă
Ai làăs ăki nă“viên th ăiătrúngăm cătiêu”, i = 1, 2, ...
Aălàăs ăki nă“b năđ năviênăth ă4ăm iăng ng”
A = A1 A2 A3 A4

11


Cácă bi nă c ă ă A1, A2, A3, A4 khôngă đ că l pă vìă vi că x yă raă bi nă c ă Aiă s ă nhă
h ngăx yăraăbi năc ăAi+1:
P(Ai+1/Ai)= 0 (vì Ai+1/Ai = ) ; P( Ai 1 / Ai ) = 0,3
Doăđó:
P(A) = P( A1 ) .P( A2 / A1 ).P( A3 / A1 A2 ).P( A4 / A1 A2 A3 )
= (1 - P( A1 )).(1 - P( A2 / A1 )).(1 - P( A3 / A1 A2 )).P( A4 / A1 A2 A3 ).
H năn a
A2  A1 , A3  A2  A1
Nên
P(A) = (1 -0,3)(1 - 0,3)(1 - 0,3).0,3 = 0,1029
1.4.2. Công th c xác su t đ y đ (toàn ph n), công th c Bayes (Bây-ét)
Gi ăs ăB1, B2, ..., Bn làăm tăh ăđ yăđ ăcácăbi năc ăc aăm tăphépăth ăvàăAălàăm tă
bi năc ătrongăphépăth ăđó,ăkhiăđó:
P  A  P  B / A1  .P  A1   P  B / A2  .P  A2   ...  P  B / An  .P  An 
(1)
B
P  k  
 A

P  Bk  .P  A 
 Bk 
P( A)

(2)

Côngăth că(1)ăg iălàăcôngăth căxácăsu tăđ yăđ ,ăcôngăth că(2)ăg iălàăcôngăth că

Bayes.
Víăd ă1:ăM tăthùngăr uăcóă20ăchai,ătrongăđóăcóă3ăchaiăr uăgi .ăTrongăquáătrìnhăv nă
chuy năb ăm tăm tăchaiăkhôngărõăch tăl ng.ăL yăng uănhiênă1ăchaiătrongă19ăchaiăcònă
l i.ăTìmăxácăsu tăđ ăchaiăl yăraălàăchaiăth t.
Gi i.ăG iă
B1 = "Chaiăr uăb ăm tălàăchaiăgi "
B2 = "Chaiăr uăb ăm tălàăchaiăth t"
A = "Chaiăr uăl yăraăsauăcùngălàăchaiăth t"
Ta có B1, B2 làăm tăh ăđ yăđ ăcácăbi năc ,ătheoăcôngăth căxácăsu tăđ yăđ ătaăcó
P(A) = P(B1).P(A/B1) + P(B2).P(A/B2)
=

3 17 17 16
323
.
+
.
=
= 0,85
20 19
20 19 380

Víăd ă2:ăT ăl ăxeăôătôăt iăvàăăôătôăconăđiăquaăđ

ngăph ăcóătr măb măd uălàă

3
2

Xácăsu tăđ ăm tăxeăôătôăt iăquaăđ ngănh năd uălàă0,3.ăXácăsu tăđ ăm tăôătôăconă

quaăđ ngănh năd uălàă0,2.ăM tăxeăôătôăđ nătr măđ ănh năd u.ăTìmăxácăsu tăđ ăxeăđóălàă
ôătôăt i.
Gi i: G iă
B1 = "Ọătôăch y ngangăquaătr măd uălàăôătôăt i"
B2 = "Ọătôăch y ngangăquaătr măd uălàăôătôăcon"
B1, B2 làăm tăh ăđ yăđ ăcácăbi năc
A = "Ô tôăđiăngangăquaăđ ngăghéăvàoătr mănh năd u"
P(B1) =

3
;
5

P(B2) =

2
5

Theoăcôngăth căxácăsu tăđ yăđ ătaăcó:

12


P(A) = P(B1).P(A/B1) + P(B2).P(A/B2) =

3
2
.0,3 + . 0,2 = 0,26
5
5

Ọătôăđ nănh năd u,ătínhăxácăsu tăđ ăôătôănàyălàăôătôăt i,ătheoăcôngăth căBayesătaăcó:
3
.0,3
P(B1 )P(A/B1 )
5
=
= 0,6923
P(B1/A) =
P(A)
0,26

Víăd ă3:ăCóăhaiăh p,ăh păIăcóă8ăbiăđen,ă5ăbiăđ ,ăh păIIăcóă7ăbiăđen,ă5ăb ăđ .ăL yăng uă
nhiênă1ăbiăt ăh păIăb ăvàoăh păII,ăt ăh păIIăl yăng uănhiênă2ăb
a.ăTínhăxácăsu tăđ ă2ăbiăl yăt ăh păhaiălàă2ăbiăđ .
b.ăGi ăs ă2ăbiăl yăt ăh păIIălàăhaiăbiăđ ,ătínhăxácăsu tăđ ăbiăl yăt ăh păIăb ăvàoăh păIIă
là biăđ .
Gi i:
a.
B1 =ăă“L yătrúngăbiăđenăt ăh păIăb ăvàoăh păII”
B2 =ăă“L yătrúngăbiăđ ăt ăh păIăb ăvàoăh păII”
Aăă=ăă“L yăđ că2ăbiăđ ăt ăh păII”
Ta có B1, B2 làăh ăđ yăđ ăcácăbi năc ăvà
P(B1) =

8
5
, P(B2) =
13
13

Theoăcôngăth căăxácăsu tăđ yăđ ătaăcó
p(A) = p(B1) . p(A/B1) + p(B2) . p(A/B2)
=

8 C52
5 C2
155
. 2 + . 62 =
13 C13
13 C13
1014

b.ăTheoăcôngăth căBayesătaăcó
P(B2/A) =

p  B2  . p  A / B2 
p(A)

5 15
.
75 15
 13 78 

155
155 31
1014

1.5. Công th c Bernoulli
1.5.1. nh ngh a dưy phép th Bernoulli

Ti năhànhăn phépăth ăđ căl pă(t călàăcác k tăqu ăc aăphépăth ăn ăkhôngă nh đ n
h ngăk tăqu ăc aăphépăth ăkia)ăđ căg iălàăm tăphépăth ăBernoulliă(ho căm tăl căđ ă
Bernoulli)ăn uănóătho ăm năhaiăđi uăki năsau:
1.ăM iăphépăth ăch ăcóăm tătrongăhaiăk tăqu :ăAăho căă
2.ăP(A)ă=ăpă;ăăP(A)ănh ănhauăđ iăv iăm iăphépăth .ă
Víăd :
+ăGieoăm tăđ ngăti nă10ăl n,ăđóălàă10ăphépăth ăBernoulli.
+ăM tăng iăb nă5ăviênăđ n,ăb năt ngăviênăm tăvàoăm cătiêu.ă óălàă5ăphépăth ă
Bernoulli.(Nh ngăn uă5ăng iăb n,ăm iăng iăb năm tăviênăthìănóiăchungăđóăl iăkhông
ph iălàă5ăphépăth ăBernoulli).
+ăGieoăm tăconăxúcăs că100ăl n,ăAă=ă{xu tăhi năăm tăl c}.ă óălàă100ăphépăth ă
Bernoulli.

13


1.5.2. Công th c Bernoulli
Xácă su tă đ ă bi nă c ă Aă xu tă hi nă mă l nă trongă nă phépă th ă Bernoulli kýă hi uă làă
Pn(m,p)ăvàăđ căxácăđ nhătheo côngăth căsau:
Pn(m,p) = Cnm . pm .(1  p)nm
Trongăđóăămă=ă0,ă1,...,ăn.
1.5.3. S có kh n ng nh t
Taăgieoăm tăđ ngăti năcânăđ iăvàăđ ngăch tăă5ăl nă;ăAă=ă{xu tăhi năm tăs p}
P(A) =

1
.ăS ăăm tăs păxu tăhi năcóăth ăt ă0ăđ nă5ăt ngă ngăv iăxácăsu t.
2
m
5 m

1
 1
m 1
, m = 0, 1, 2, ..., 5
P5(m, ) = C5 .   . 1  
2
2  2
1
1
1
1
Trongă6ăconăs ăăP5(0, ); P5(1, ); P5(2, ); ...; P5(5, )ăs ăt năt iăs ăl nănh t,ă
2
2
2
2

trongătr ngăh pănàyămă=ă2ăvàăm=ă3,ăt călàă5ăl năgieoăđ ngăti n,ăm tăs păcóăth ăxu tă
hi nă0ăl n,ă1ăl n,ă...,ă5ăl n,ănh ngăxu tăhi nă2ăl n,ă3ăl nălàăcóăkh ăn ngănh t.
S ăm0 màă ngăv iănóăPn(m0 ,p)ăl nănh t,ăđ căg iălàăs ăcóăkh ăn ngănh t
Pn(m0,p) = max Pn(m,p)
0 m  n

* Quyăt cătìmăs ăcóăkh ăn ngănh t:
- N uăănpă+ăpă- 1ălàăm tăs ănguyênăthìăăm0 chính là np + p - 1 và np + p
- N uăănpă+ăpă- 1ăălàăm tăs ăth păphânăthìăm0 chínhălàăs ănguyênăbéănh tăl nă
h năănpă+ăpă-1
m0 =[np + p - 1]ă+ă1ă;ă([x]ălàăph nănguyênăc aăăx)
Víăd 1:ăM tăc uăth ăbóngăđáăsútăluânăl uă11ăm.ăXác su tăđáăthànhăcôngăm iăqu ălàă
0,5.ăN uăc uăth ănàyăđáă5ăqu ,ăthìăkh ăn ngăđáăthànhăcôngăănh tăc aăc uăth ălà:

m0 =[np + p - 1] + 1 = [5.

4
4
+ - 1] + 1 =[4 + 0,8 - 1] + 1
5
5

=[3,8] + 1 = 4
Víăd ă2: Khiăgieoăđ ngăti n cânăđ iăvàăđ ngăch t 10ăl n.ăG iăAă={m tăs păxu tăhi n},ă
ta có:
P(A) =

1
1
1
; np + p - 1 = 10. +
- 1 = 4,5
2
2
2

V yăs ăl năm tăs păxu tăhi năcóăkh ăn ngănh tălà: [4,5] + 1 = 4 + 1 = 5

14


BÀI T P CH

NG 1

1. Gieoăđ ngăth iăhaiăđ ngăti năcânăđ iăvà đ ngăch t.ăTìmăxácăsu tăđ :
a. C ăhaiăđ ngăti năđ uăxu tăhi năm tăs p
b. Ch ăcóăm tăđ ngăti năxu tăhi năm tăs p
c. Ítănh tăm tăđ ngăti năxu tăhi năm tăs p.
2. Trongăphépăth ăhaiăconăxúcăx căcânăđ iăvàăđ ngăch t,ătìmăxácăsu tăc aăcácăbi nă
c ăsau:
a. Ak =ă“T ngăs ăch măxu tăhi n ăm tătrênăc aăhaiăconăb ngăk”,ăv iăkă=ă1,ă
2,ă3,ă…,ă12;
b. Bi =ă“Hi uăs ăch măxu tăhi nă ăm tătrênăhaiăconăb ngăI”,ăv iăăiă=ă0,ă1,ă2,ă
…,ă5;
c. Cn =ă“Tíchăs ăch măxu tăhi nă ăm tătrênăc aăhaiăconăb ngăn”ăv iănă=ă2,ă4,ă
6, 8, 12.
3. Trênăbànăcóăhaiătúiăđ ngăbàiăthi:ătúiăth ănh tăđ ngă10ăbàiăthiămônăToán,ătúiăth ă
haiăđ ngă10ăbàiăthiămônăTi ngăVi t.ăK tăqu ă(ch măđi mă20)ăc aăcácăbàiăthiănh ă
sau:
Môn Toán:
8; 9; 12; 15; 15; 17; 18; 19; 19; 19.
Môn Ti ngăVi t:ă 7; 10; 15; 16; 18; 18; 18; 19; 19; 20.
Rútăm iătúiăm tăbàiăthi.ăTìmăxácăsu tăđ :
a. C ăhaiăbàiăđ ăđ tă19ăđi m
b. Ítănh tăm tăbàiăđ tă19ăđi m
c. T ngăs ăđi măc aăhaiăbàiăb ngă35.
4. M tăkh iăg ăcóăhìnhăh păch ănh tăcóăkíchăth că5cm×10cm×15cm.ăHaiăm tăđáy
đ căs nămàuăxanhăvàăcácăm tăxungăquanhăđ căs nămàuăvàng.ăNg iătaăc aă
kh iăđóăraăthànhă750ăkh iăl păph ngănh ănh ănhau.ăL yăng uănhiênăhaiăkh iă
nh .ăTìmăxácăsu tăđ :
a. M tăkh iăkhôngăcóăm tănàoăđ căs năvàăkh iăkiaăcóăhaiăm tăđ căs n.
b. C ăhaiăkh iăch ăcó m tăm tăđ căs nămàuăvàngăcònăn măm tăkiaăkhôngă
s n.

5. Gieoăbaăđ ngăti năcânăđ iăvàăđ ngăch t.ăTìmăxácăsu tăđ :
a. C ăbaăđ ngăti năxu tăhi năm tăng a
b. Ítănh tăm tătrongăbaăđ ngăxu tăhi năm tăng a.
6. M tăh păcóă9ăviênăbiămàuăxanhăvàă6ăviênăbiămàuătr ngăkíchăth cănh ănhau.ăL yă
ng uănhiênăhaiăviênăt ăh păđó.ăTìmăxácăsu tăđ :
a. Hai viên khác màu
b. Haiăviênăđ uămàuătr ng
c. Ítănh tăm tăviênămàuăxanh.
7. Nhómă“Chimăs năca”ăc aăm tătr ngăti uăh căcóă15ăem,ătrongăđóă5ăemăkh iăBa,ă
5ăemăkh iăB năvà 5ăemăkh iăN m.ăG păng uănhiênă3ăem trong nhóm. Tìm xác
su tăđ :
a. Ba emălàăh căsinhăbaăkh iăkhácănhau

15


b. Trongăđóăcóăđúngă2ăemăkh iăN m
c. Cóăítănh tăm tăemăkh iăBa
8. M tăb ăbàiăcóă52ăcon.ăRútăng uănhiênă4ăconăt ăc ăbàiăđó.ăTìmăxácăsu tăđ ătrongă
4 con rút ra có:
a. Haiăconă“Át”ăvàăm tăconă“K”
b. M tăconămàuăđ ăvàăbaăconămàuăđen
c. M tăconăC ,ăm tăconăRô,ăm tăconăPíchăvàăm tăcon Nhépă(Chu n).
9. Trongăt păhôăs ăđ ngăkíăgiáoăviênăd yăgi iăc aăt nhăXăcóă25ăgiáoăviênăd yăkh iă
Ba,ă25ăgiáoăviênăd yăkh iăB năvàă22ăgiáoăviênăd yăkh iăN m.ăRútăng uănhiênă2ă
h ăs ătrongăt păh ăs ăđó.ăTìmăxácăsu tăđ :
a. Haiăh ăs ăđóălàăc aăhaiăgiáoăviênăd yăcùngăkh i;
b. Trongă haiă h ă s ă đóă cóă ítă nh tă m tă h ă s ă c aă giáoă viênă d yă kh iă N m.
Trongăm tăkìăthi,ăcácăthíăsinhăđ căđánhăs ăbáoădanhăt ă1ăđ nă500.ăG pă
ng uănhiênăbaăth ăsinhăv ăd ăthi.ăTìmăxácăsu tăđ :

c. S ăbáoădanhăc aăbaăthíăsinhăđ uălàăs ăch n;
d. S ăbáoădanhăc aăbaăthíăsinhăđóăđ uălàănh ngăs ăcóăbaăch ăs ăchiaăh tăchoă
3.
10. Trongăđ iăh iăthiăđ uăth ăthao,ăcácăv năđ ngăviênăc aăt nhăAăđ căđánhăs ăbáoă
danhăt ă1ăđ nă350,ăt nhăBăt ă351ăđ nă750ăvaăt nhăCăt ă751ăđ nă1000.ăG păng uă
nhiênăbaăthíăsinhăv ăd ăthi.ăTìmăxácăsu tăđ :
a. Baăv năđ ngăviênălàăng iăbaăt nhăkhácănhau.
b. S ăbáoădanhăc aăbaăv năđ ngăviênăđóăđ uălàănh ngăs ăcóăbaăch ăs ăkhácă
nhau.
c. S ăbáoădanhăc aăbaăv năđ ngăviênăđóăđ uălàănh ngăs ăcóăba ch ăs ăchiaă
choă4ăd ă3.
11. Trênăbànăcóă7ăt măbìa,ăm tăd iăc aăm iăt măđ căghiăm tătrongă7ăch :ăC,ăE,ăH,ă
I,ăO,ăT,ăU.ăTìmăxácăsu tăđ ăkhiăl tă7ăt măbìaălênătaăđ căhàngăch ăTIEUăHOC.
12. Trongăh păđ ăch iăcóă10ăch ăs :ă0,ă1,ă2,ă3,ă4,ă5,ă6,ă7,ă8,ă8.ăM tăcháuăm uăgiáo
l yăng uănhiênă5ăs ăt ătrongăh păr iăx păthànhăhàng.ăTìmăxácăsu tăđ ăs ăx păraă
là:
a. S ăcóă5ăch ăs
b. S ăcóă5ăch ăs ăchiaăh tăchoă5
c. S ăch năcóă5ăch ăs .
13. Cu nă sáchă giáomă khoaă Toánă 4ă dàyă 220ă trang.ă Baă b nă Hung,ă Lană vàă vinhă l nă
l tăm ăng uănhiên,ăm iăng iăm tătrangă(r iăg păl iăđ aăchoănmg iăsauăm ă
ti p).ăTìmăxácăsu tăđ :
a. s ăth ăt ăc aăbaătrangăđ uălàănh ngăs ăcóăhaiăch ăs ăkhácănhau
b. S ăth ăt ăc ăbaătrangăđ uălàănh ngăs ăchiaăchoă5ăd ă3
c. S ăth ăt ăc aăc ăbaătrangăđ uălàănh ngăs ăch năch c.
14. S đi nătho iă ăt nhăn ăg mă7ăch ăs ,ătrongăđóăhaiăch ăs ăđ uălàă38.ăCh năng uă
nhiênăm tăs ăđi nătho iăc aăt nhăđó.ăTìmăxácăsu tăđ :

16

a. S ăđi nătho iăđóălàăs ăcóă7ăch ăs ăkhácănhauăv iăhaiăch ăs ăt năcùngălàă
01.
b. S ăđóăchiaăh tăchoă25.
15. T ngăk tăn măh căl pă4Aăc aăm tătr ngăti uăh cănàoăđóăcóă15ăemălo i gi i,ă20ă
emălo iăkhá,ă4ăemălo iătrungăbìnhăvàă1ăemăy u.ăNhàătr ngăch năng uănhiênăbaă
emăl pă4Aăd ăkìăthiăki mătraăch tăl ngăc aătoànăkh i.ăTìmăxácăsu tăđ :
a. C ă3ăemăđ uălàăh căsinhăgi i
b. Baăemăx păh căl căkhácănhau.
16. Trongăh păkínăcóă7ăqu ăc u màuăxanhăvàă5ăqu ăc uămàuăđ .ăL yăng uănhiênăt ă
trongăh păm iăl nă1ăqu ăc uă(khôngăhoànăl i)ăchoăđ năkhiăđ căqu ămàuăxanhă
thìăd ngăl i.ăTìmăxácăsu tăđ ăng iăđóăd ngăl iăsauăl năl yăth ăt .
17. M tăx ăth ăb năliênăti păvàoăm tăm cătiêuăchoăđ năkhiătrúngăđíchăthìăd ngăl i.ă
Tìmăxácăsu tăđ ăb năđ năviênăth ăbaăm iătrúngăđích,ăbi tăr ngăxácăsu tăb nătrúngă
đíchăm iăl năb nălàă0,85.
18. Trongăm tăphânăx ngăcóă3ămáyălàmăvi căđ căl păv iănhau.ăTrongăm tăcaăs nă
xu tăđ ămáyăIăph iăs aălàă0,12,ămáyăIIăph iăs aălàă0,18ăvàămáyăIIIăph iăs aălàă
0,1.ăGi ăs ăc ă3ămáyăkhôngăđ ngăth iăph i s a.ăTìmăxácăsu tăđ ătrongăcaăphân
x ngăđóăph iăs aămáy.
19. Baăx ăth ăb năvàoăm cătiêuăđ căl păv iănhau.ăXácăsu tăb nătrúngăđíchăc aăx ă
th ăth ănh tălàă0,9,ăx ăth ăth ăhaiălàă0,85,ăx ăth ăth ăbaălàă0,75.ăTìmăxácăsu tăđ :
a. M tăng iăb nătrúngăđích
b. Ítănh tăm tăng iăb nătrúngăđích
c. Ítănh tăhaiăng iăb nătrúngăđích.
20. Trongăm tătr măc păc uăb ngăcóă68%ăb nhănhânăb ăb ngădoănóngăvàă32%ăb ngă
doăhóaăch t.ăLo iăb ăb ngădoănóngăcóă25%ăb ăbi năch ng,ăb ngădoăhóaăch tăcóă
40%ăb ăbi năch ng.ăL yăng uănhiênăm tăb nhăánăc aăc aăb nhănhânăc aătr m.
a. Tìmăxácăsu tăđ ăb nhăánăđóălàăb nhăán c aăb nhănhânăb ăbi năch ng
b. Gi ăs ăb nhăánăl yăraălàăb nhăánăc aăb nhănhânăb ăbi năch ng.ăH iăb nhă
ánăđóăc aăb nhănhânăb ăb ngădoănguyênănhânănàoănhi uăh n?

21. M tăxíănghi păs năxu tăbóngăđènăcóă4ăphânăx ng.ăKhiăxu tăx ng,ăt ăl ăchínhă
ph măc aăm iăphânăx ngănh ăsau:ăPhânăx ngăIăđ tă99,7%,ăphânăx ngăIIăđ tă
99,85%,ăphânăx ngăIIIăđ tă97,65%ăvàăphânăx ngăIVăđ tă99,9%.ăCánăb ăOTKă
l yăng uănhiênăm iăphânăx ngăm tăs năph m.ăTìmăxácăsu tăđ ătrongăs ăl yăr:
a. C ă2ăs năph măđ uălàăph ăph m
b. Cóăđúngă2ăchínhăph m.
22. T ăl ăthí sinhătrúngătuy nătrongăkìăthiătuy năsinhăvàoăm tătr ngăđ iăh călàă20%.ă
Rútăng uănhiênăm tăh ăs ătrongăs ăcácăăhôăs ăc aăthíăsinhăvêăd ăthiătuy năvàoă
tr ngăchoăđ năkhiăđ căhô s ătrúngătuy năthìăd ngăl i.ăTìmăxácăsu tăđ ăph iărútă
đ năl năth ăt .
23. Haiăx ăth ăb năvàoăm tăm cătiêuăđ căl păv iănhau.ăXácăsu tăb nătrúngăđíchăc aă
x ăth ăth ănh tălàă0,85,ăx ăth ăth ăhaiălàă0,75.ăTìmăxácăsu tăđ :
a. Ng iăth ănh tăb nă3ăphátăđ uăcóă1ăphátătrúngăđích

17


b. Ng iăth ăhaiăb nă3ăphátăđ uăcóă2ăphátătrúngăđích
c. C ăhaiăng iăb nătrúngăngayăt ăphátăđ uătiên.
24. K tăqu ăki mătraăh căkìăIăc aăkh iăB nătr ngăTi uăh cănàoăđó,ăt ăl ăkháăgi iă
đ tăđ c nh ăsau:ăL pă4Aăđ tăd că92%%,ăl pă4Băăđ tă80%,ă4Căđ tă85%,ă4Dă
đ tă78%ăvàă4Eăđ tă65%.ăCôăhi uătr ngărútăng uănhiênămm iăl păm tăbàiăki mă
tra.ăTìmăxácăsu tăđ ătrongă5ăbàiăđó:
a.
uăđ tăđi măkháătr ălên
b. Cóăbaăbàiăđ tăđi măkháătr ălên
c. Khôngăcóăbàiănàoăđ uăđi măkháăgi i.
25. T ngă k tă n mă h c,ă t ă l ă h că sinhă gi iă c aă kh iă N mă tr ngă ti uă h că Nguy nă
Nghiêmănh ăsau:ăl pă5A đ tă35%,ă5Băđ tă18%,ă5Căđ tă25%,ă5Dăđ tă12%.ăCh nă
ng uănhiênăm iăl păm tăh căsinh.ăTìmăxácăsu tăđ :

a. C ă4ăemăđ uăđ tăh căsinhăgi i
b. Ch ăcóă2ăemăđ tăđ tăh căsinhăgi i.
26. T ăl ăh căsinhăgi iăl pă5Aăđ tă80%.ăTimăxácăsu tăđ ăkhiăg păng uănhiên 8 em có
5ăemălàăh căsinhăgi i.
27. Gieoă6ăl năm tăconăxúcăx c.ăTìmăxácăsu tăđ :
a. M tă6ăch măxu tăhi nă4ăl n
b. M tăcóăs ăch mălàăs ănguyênăt ăxu tăhi nă3ăl n
c. M tăcóăs ăch mălà b iăc aă3ăxu tăhi năv i xácăsu tăl nănh tălàăbaoănhiêu?
28. T ă l ă n yă m mă c aă thócă gi ngă đ tă 90%.ă Tìmă xácă su tă đ ă khiă gieoă 10ă h tă n yă
m măc ă10ăh t.
29. Sinhăviênăn măth ănh tăc aă m tătr ngăđ iăh căcóă800ăemă ng iăkinhăvaă200ă
emănhg iădânăt c.ăTrongăs ăsinhăviênăng iădânăt căcóă25%ăn .ăTìmăxácăsu tă
đ ăkhiăg păng uănhiênă10ăsinhăviênăc aătr ngăđó:
a. Khôngăcóăemănàoăng iăkinh
b. Cóă5ăemăng iăng iădânăt c
c. C ă10ăemăđ uălàăn ădânăt c.

18


Ch

BI N NG U NHIÊN

ng 2.

A. M C TIÊU
KI N TH C:
Cungăc păchoăng iăh cănh ngăki năth căv :
- Kháiăni măv ăđ iăl ngăng uănhiên.

- Phânăph iăvàăhàmăphânăph i c aăbi năng uănhiênăr iăr c,ăbi năng uănhiênăliênăt c.
- Cácăs ăđ cătr ngăc aăbiênăng uănhiêu:ăkìăv ng,ăph ngăsai,...
K ăN NG:
Hìnhăthànhăvàărènăluy năchoăng iăh căcácăk ăn ng:
- Thi tăl păphânăph iăxácăsu t,ăhàmăphânăph iăc aăcácăbi năng uănhiênăth
- Tínhăcácăs ăli uăđ cătr ngăc aăbi năng uănhiên.

ngăg p.

THÁIă :
Ch ăđ ngătìmătòiăphátăhi năvàăkhámăpháăcácă ngăd ngăc aăbi năng uănhiên.
B. N I DUNG
2.1. Khái ni m bi n ng u nhiên
nhăngh a 1: iăl ngăng uănhiênălàăm tăđ iăl ngămàăgiáătr ăc aănóăbi năthiênă
bi năthiênăm tăcáchăng uănhiênăvàăm iăgiáătr ăng uănhiênă yă ngăv iăm tăxácăsu tănh tă
đ nh.
Víăd :ăChi uăcao,ăcânăn ng,ăhuy tăápăc aăm tăh căsinhăđ uălàăcácăđ iăl ngăng uă
nhiên.
iăl ngăng uănhiênăcóăhaiălo iăbi uăth ăb iăhaiăđ cătínhăđóălàăđ cătínhăđ nhătínhăvàă
đ cătínhăđ nhăl ng.ă iăl ngăng uănhiênăcóăđ cătínhăđ nhătínhăph năánhănh ngătr ngă
tháiăkhácănhauăc aăđ cătính,ăvíăd ăn uăAălàăđ iăl ngăng uănhiênăbi uăth ăk tăqu ăh că
t păc aăh căsinhăthìănh ngăgiáătr ăng uănhiênăc aănóăcóăth ălàăa1 -gi i, a2 -khá, a3 -trung
bình, a4 -y uăkém.
nhăngh aă2: iăl ngăng uănhiênăcóăđ cătínhăđ nhăl ngăg iălàăbi năng uănhiên,
taăth ngăkíăhi uălàăX,ăY,...ăho că, ,...ăvàăkíăhi uăxi làănh ngăgiáătr ăng uănhiênăc aă
nó.
2.2. Phơn ph i c a bi n ng u nhiên r i r c
N uăt păcácăăgiáătr ămàăbi năng uănhiênăănh nălàă1ăt păs ăh uăh năho căvôăh nă
nh ngăđ măđ c,ăkhiăđóăbi năng uănhiênănàyăg iălàăbi năng uănhiênăr iăr c.
Gi ăs ăbi năng uănhiênăX nh năgiáătr ăăx1 , x2 ,..., xn ,... và P({X = xi}) = pi ;

iă=ă1,ă2,ă...ă ămôăt ă(ho căxác đ nh)ăbi năng uănhiênăr iăr că taădùngăb ngăsau.
X
x1
x2
x3
. . .
P({X=xi})
p1
p2
p3
. . .
Trongăđóăă  Pi = 1 , pi > 0 ; i = 1, 2, ...
i

B ngăv iăcácăthôngătinătrênăg iălàăphânăph iăxácăsu t.

19

xn
pn

.
.

.
.

.
.

Víăd ă1:ăGieoăđ ngăth iă2ăđ ngăti năcânăđ iăvàăđ ngăch t.ăG iăY làăbi năng uănhiênă
ch ăs ăl năxu tăhi năm tăs p.ăTaăcóăb ngăphânăph iăxácăsu tăsau
Y
P({Y=xi})

0
¼

1
2/4

2
1/4

G iăăăAi = “ăđ ngăth ăiăxu tăhi năm tăs p” , i = 1, 2 . A1, A2 đ căl p

1 1
1
 =
2 2
4
{Y = 1} = A1 A2  A1 A2 suy ra P({Y= 1}) = P(A1)P( A2 ) + P( A1 )P(A2)
1 1
1 1
2
=  +  =
2 2
2 2
4

1 1
1
{Y = 2} = A1A2 suy ra P({Y = 2}) = P(A1)P(A2) =  =
2 2
4

Bi năc ăăăă{Y = 0} = A1 A2 nên P({Y = 0}) = P( A1 )P( A2 ) =

Víăd ă2:ăGieoăm tăconăxúcăx căcânăđ iăđ ngăch tă100ăl n.ăG iăXălàăbi năng uănhiênă
ch ăs ăl năxu tăhi năm tăl cătrongă100ăl năgieoătrên.ăKhiăđóătaă cóăphânăph iăxácăsu tă
c aăXălà:
100  m

m

1 5
P({X = m}) = C      
6 6
1
pă=ăP({ăxu tăhi năm tăl c})ă=ă
6
m
100

Trongăđó

; m = 0, 1, 2, ..., 100

Víăd ă3:ăM tăx ăth ăđemătheoă5ăviênăđ năđ nătr ngăb năđ ăch nhăsúngătr căngàyă
thiă đ u.ă Anhă taă b nă t ngă viênă m tă vàoă biaă v iă xácă su tă trúngă tâmă làă 0,9.ă Anhă taă th ă

súngătheoăquyăt căsau:
a)ăN uăcóă3ăviênăliênăti pătrúngătâmăthìăthôiăkhôngăb năn a.
b)ăN uăcóă3ăviênătrúngătâmăthìăthôiăkhôngăb năn a.
G iăX,ăYălàăs ăđ nămàăanhătaăđưădùngăđ ăth ăsúngăt ngă ngătheoăhaiănguyênă
t cătrên.ăB ngăphânăph iăxácăsu tăc aăXăvàăYănh ăsau:
X
P({X = k})

3
0,9 = 0,729

Y
P({Y = k})

3
0,9 = 0,729

4
0,9 0,1=0,0729

3

3

5
1-(0,729+0,0729) = 0,1981

4
C 0,9 0,1=0,2187

3

1
3

5
1-0,9 -0,30,93=0,0523
3

3

Víăd ă4:ăChoă2ăbi năng uănhiênăX,ăYăđ căl p v iăb ngăphânăph iăxácăsu tănh ăsau:
X

0

1

2

Y

20

-1

1


P({X =i })

0,3 0,4

0,3

P({Y=j})

0,4

0,6

Taăl păb ngăphânăph iăc aăcácăbi năX2 , X + Y , XY.
XăvàăYăg iălàăđ căl păv iănhauăn uăm iăbi năc ăliênăquanăđ năXăđ căl păv i bi năc ă
b tăk ăliênăquanăđ năY.
Ta có P(X2 = k2)ă=ăP(Xă=k),ăvìăkh ăn ngăXănh năgiáătr ăkăc ngăchínhălàăkh ăn ngăX2
nh năgiáătr ăk2.
X2
P({X2 =i2 })

0
0,3

1
0,4

4
0,3

Ta xétăcácăătr ngăh păc aă{Xă+ăY}:
{X + Y = -1} = {X = 0}  {Y = -1}, do X và Y đ căl pănên

P({X + Y = -1}) = P({X = 0})  P({Y = -1}) = 0,12
{X + Y = 0} = {X = 1}  {Y = -1} doăđó
P({X + Y = 0}) = P({X = 1})  P({Y = -1}) = 0,40,4 = 0,16
{X + Y = 1} = ({X = 0}  {Y = 1})  ({X = 2}  {Y = -1}) doăđó
P({X + Y = 1}) = P({X = 0})  P({Y = 1}) + P({X = 2})  P({Y = -1})
= 0,3.0,6 + 0,3.0,4 = 0,3
{X + Y = 2}=({X = 1}{Y = 1}) doăđó
P({X + Y = 2}) = P({X = 1}) . P({Y = 1})=
0,4.0,6 = 0,24
{X + Y = 3} = ({X = 2}  {Y = 1}) doăđó
P({X + Y = 3}) = P({X = 2}) . P({Y = 1})
= 0,3 . 0,6 = 0,18.
Nh ăv y taăcóăb ngăsauă
X+Y
P({X+Y=k})
T

-1
0,12

0
0,16

1
0,30

2
0,24

3

0,18

ngăt ătaăcóăb ngăphânăph iăc aăXYănh ăsau
XY
P({XY = k})

-2
0,12

-1
0,16

0
0,3

1
0,24

2
0,18

2.3. HƠm phơn ph i c a bi n ng u nhiên
2.3.1. nh ngh a G iăăăF(x)ăă=ăP({Xă<ăx}),ăxă R là hàm phân ph iă(phân b ) c aăđ iă
l ngăng uănhiênăX.
Víăd ă1: Hàm phânăph iăăF(x)ăc aăđ iăl ngăng uănhiênăch ăs ăl năxu tăhi năm tăs pă
trongăm tăl năgieoăđ ngăti năcânăđ iăvàăđ ngăch tălà:

21

 P( )  0 , x  0

1

F(x) = P({X < x}) =  P( S )  , 0  x  1
2

 P()  1 , x  1

Víăd ă2:ăTrongăvíăd ă1ăc aăm că2.2ătaăcóăhàmăphânăb ăc aăbi năng uănhiênăXăch ăs ă
l năxu tăhi năm tăs pănh ăsau:
0
1

 4
F(x) =  1 2 3
4  4  4

1  2  1  1
 4 4 4

, x0
, 0  x 1
, 1 x  2
, 2 x

Víăd ă3:ăGi ăs ăXălàăbi năng uănhiênăch ăs ăl năxu tăhi năm tăs păkhiătaăgieoăliênăti pă5ă
l năm tăđ ngăti năcânăđ iăvàăđ ngăch t.ăTìmăhàmăphânăph iăc aăc aăX.
Gi i:
Xem vi căgieoăđ ngăti nănàyănh ăm tădưyăphépăth ăBenoulli

p = P(S) =

1
:ăăxácăsu tăxu tăhi năm tăs p,ăTheoăcôngăth cănh ăth cătaăcó
2
m

1
1  1
, P({X=m}) = C5m   1  
2
2  2
1
P({X=m}) = C5m 5 , m = 0, 1, 2, 3, 4, 5
2

5 m

, m = 0, 1, 2, 3, 4, 5

n=5,p=

.ăV iăăxă 0 , ta có F(x) = P({X.ăV iăăxă>ă5,ătaăcóă
F(x) = P({X < x}) =

5

5

 P x  m   C5m

m 0

m 0

1
1
 5
5
2
2

5

C

m 0

m
5



1 5
.2  1
25

V yăv iăăxă R thì
F(x) = P({X < x}) =

1

 2 .C

m x

5

m
5

2.3.2. Các tính ch t c a hƠm phơn ph i
TC1. Hàmăphânăph iăxácăđ nhăv iăm iăăxă R
TC2. 0  F(x)  1 , x và F(-) = 0 , F(+) = 1
TC3. Hàmăphânăph i là hàm khôngăgi m,ăn uăx1 < x2 thì F(x1)  F(x2)
TC4. P({a   < b}) = F(b) - F(a)

22


2.4. Bi n ng u nhiên nh th c
nhăngh a: Xétădưyănăphépăt ăăBernoulleăv iăxácăsu tăthànhăcôngăc aăbi năc ăAă
làăP(A)ă=ăp.ăG iăXălàăs ăl năxu tăhi năbi năc ăAătrongănăphép th ătrên,ăphânăph iăc aăXă
đ căg iăphânăph iănh ăth căvàăkýăhi uăăXă B(n,p), ta có:
P{(X = m)} = cnm pm(1 - p)n-m , (m = 0, 1, 2, ..., n)
Hàmăphânăph iăc aăXălà:
F(X) =  Cmk pk(1 - p)n-k , x  R
kx

Víăd : M tăx ăth ăb nă3ăviênăđ năđ căl păvàoăm tăm cătiêuătrongăcùngăm tăđi uă
ki năxácăđ nh.ăXácăsu tăđ ăm iăviênăđ nătrúngăăm cătiêuălàă0,4.ăG iăXălàăs ăviênăđ nă
trúngăm cătiêu.ăL pădưyăphânăph iăc aăđ iăl ngăng uănhiênăX.
Gi i:
iăl ngăng uănhiênăXăcóăth ănh năm tăvàăch ăm tătrongăcácăgiáătr ă0,ă1,ă2,ă3ă
v iăxácăsu t
P{(X = k)} = c3k (0,4)k(1 - 0,4)3-k , k = 0, 1 , 2 , 3.
C ăth ălà: P({X=0}) = 0,216 ;
P({X=1}) = 0,432
P({X=2}) = 0,288
P({X=3}) = 0,064
Doăđóăb ngăphânăph iăc aăXălà:
X
P

0
0.216

1
0,432

2
0,288

3
0,064

* Chú ý: Cácăbi năng uănhiênăđ căxácăđ nhătrongăđ nhăngh aăvàă cácăvíăd ănêuătrênă
luônănh năcácăgiáătr ăr iăr c.ăTrongănhi uătr ngăh pătaăs ăg păbi năng uănhiênănh nă
cácăgiáătr ăliênăt cătrongăm tăkho ngănàoăđó,ăcácăbi năng uănhiênănàyăg iălàăbi năng uă

nhiênăliênăt c.
ămôăt ă(ho căxácăđ nh)ăbi năng uănhiênăliênăt cătaădùngăkháiăni măhàmăm tăđ .
Hàm p(x)ăđ căg iălàăhàmăm tăđ ăc aăbi năng uănhiênănàoăđóăn uănóătho ămưnă
haiăki năki năsau:
1. p(x)  0 , x  (- , +)


2.

 p( x)dx

=1



Trongătr

ngăh pănày,ăxácăsu tăđ ăăX (x0 , x1)ăđ

cătínhănh ăsau:

x1

P(x0 < X < x1) =
Hàmăphânăph iăc aăbi năng uănhiên X là

 p( x)dx

x0

x1

F(x) = P(X < x) =

 p( x)dx



23


ăđâyătíchăphânăv iăcácăc nă-, + đ




căxácăđ nhănh ăsau:


a

p( x)dx =



 p( x)dx

p( x)dx +



a





b  b

a

 p( x)dx = lim p( x)dx

Víăd ă1:

p(x) =



a

,
0

 1
,

b  a

, aR
b

 p( x)dx = lim p( x)dx

,

b  a

a

x  a, x  b
a xb

p(x)ălàăhàmăm tăđ ăc aăbi năng uănhiênănh năm iăgiáătr ătrênă[a,ăb]ăv iăkh ăn ngă
đ uănh ănhau,ăg iăt tălàăm tăđ ăđ uătrênă[a,ăb].
1

Víăd ă2:


( x   )2
1
2 2
e
2

p(x) =

p(x)ălàăhàmăm tăđ ăc aăbi năng uănhiênănh năgiáătr ătrênătoànătr căs .ăHàmăm tă
đ ănàyăg iălàăhàmăm tăđ ăc aăbi năng uănhiênăcóăphânăph iăchu n d ngăN(,2).
Víăd ă3:ăăChoăhàmăăp(x)ă=ăaăsin2xă.ăXácăđ nhăh ngăs ăaăđ ăăp(x)ătr ăthànhăhàmăm tă

đ ăc aăbi năng uănhiênănh năgiáătr ăt pătrungătrongăđo nă[0,ă/2] .


, 0 x x 
0
2
Ta có p(x) = 
asin2 x , 0  x  

2

Trong [0, ] thì sin2x  0 nên a  0
2



Ta có :





0

p( x)dx 



2



0



 0dx   a sin(2 x)dx 



 0dx = a

2

 sin(2 x)dx
0

2

=-

a
cos 2 x
2


2
0



a
(-2) = a = 1
2

V yăăa =ă1ăăvàăp(x)ă=ăsin(2x)ălàăhàmăm tăđ ăc aăbi năng uănhiênănh năgiáătr ăt pătrungă

trong [0, ].
2

*ăTínhăch tăc aăbi năng uănhiênăliênăt c:ă
Ngoàiănh ngătínhăch tăđưăđ cănêuă ăm că2.3.2,ăbi năng uănhiênăliênăt căcònăcóă
nh ngătínhăch tăsau
- N uăhàmăm tăđ ăliênăt căt iăxăthìăt iăđóătaăcóăF'(x)ă=ăp(x).
- N uăhàmăphânăph iăc aăbi năng uănhiênă liênăt căt iăăx0 thì
P({= x0}) = 0

24


2.5. Phơn ph i ti m c n chu n
Trong ví d ă2ăc aăm că2.1.3ătaăđưăbi tăbi năng uănhiênăXăcóăphânăph iăchu nă
1

2

d ngăN(, )ăthìăhàmăm tăđ ăcóăd ngă

p(x) =

( x   )2

1
2
 e 2
2

Khi  = 0,  =ă1ăphânăph iăc aăXăcóăd ngăN(0;ă1)ăv iăhàmă m tăđ ăkíăhi uălàă
(x),ăxácăđ nhănh ăsau:
1
 x2
1
e 2
2

(x) =

Trongătr ngăh pănàyătaănóiăXăcóăphânăph iăti măc năchu năhayăphânăph iăd ngă
chu năt c,ăhàmăphânăph iăc aăXăkíăhi uălàă(x),ăđ căcácăđ nhănh ăsau:
x



(x) =



Khiăđó

1  12 t 2

e dt
2

P(X < x) = (x) =

x





1  12 t 2
e dt .ă Giáătr ăc aăhàmă(x)ăđ
2

cătraă

trongăb ngăph căl căc aăcácăgiáoătrìnhăxácăsu tăth ngăkê.
2.6. Kì v ng vƠ ph ng sai
2.6.1. K v ng (giá tr trung bình)
2.6.1.1. nhăngh a:ăK ăv ngăc aăbi năng uănhiênă làăm tăconăs ăđ
vàăđ căxácăđ nhănh ăsau:
- N uă làăbi năng uănhiênăr iăr căthì
E =  xi pi

căkýăhi uălàăăE

i

- N uă làăbi năng uănhiênăliênăt căthì



E =

 xp( x)dx



Víăd : 1. V iăb ngăphânăb ă
X
-1
1
P
¼
¾
Khiăđóă
EX = (-1).1/4 + 1.3/4 = 1/2
2. Bi năng uănhiênăXăcóăphânăph iăchu năd ngăN(,2) kìăv ngăđ
đ nhănh ăsau:ă


căxácă

1

 2 ( x   )2
1
EX =  x
dx = 
 e 2

2



Ýăngh a:ăK ăv ngăc aăbi năng uănhiênălàăgiáătr ătrungăbìnhămàăbi năng uănhiênă
nh n,ăho căk ăv ngăc aăbi năng uănhiênălàătr ngătâmăc aăphânăph iăxácăsu tăv iăkh iă
l ngă1.ăChínhăvìăv yămàăng iătaăluônădùngăk ăv ngăđ ăxácăđ nhăv ătríăc aăphânăb .

25