Nâng cao hiệu quả của mã BCH sử dụng phương pháp giải mã dựa trên chuẩn syndrome

Hội Thảo Quốc Gia 2015 về Điện Tử, Truyền Thông và Công Nghệ Thông Tin (ECIT 2015)

Hội Thảo Quốc Gia 2015 về Điện Tử, Truyền Thông và Công Nghệ Thông Tin (ECIT 2015)

Nâng cao hiệu quả của mã BCH sử dụng
phương pháp giải mã dựa trên chuẩn syndrome
Phạm Khắc Hoan

Lê Văn Thái

Khoa Vô tuyến điện tử, Học viện kỹ thuật Quân sự.
236, Hoàng Quốc Việt, Cầu Giấy, Hà Nội, Việt Nam
Email:

Khoa Điện tử, Đại học Công nghiệp Hà Nội.
Km 13, Minh Khai, Bắc Từ Liêm, Hà Nội, Việt Nam
Email:

Tóm tắt - Bài báo trình bày phương pháp thế giải mã
BCH dựa trên chuẩn syndrome cho phép đồng thời sửa lỗi
ngẫu nhiên và lỗi chùm. Khi kết hợp với phép thế
cyclotomic có thể rút gọn đáng kể độ phức tạp của bộ giải
mã. Phương pháp đề xuất đạt độ lợi mã hóa đến 5dB tại
BER = 10-4 trên kênh pha đing Rayleigh phẳng so với
phương pháp đại số thông thường.

syndrome cần xử lý nên có thể nâng cao chất lượng giải
mã khi sửa lỗi bội cao [3,4].

Từ khóa - Permuted decoding, BCH codes, norm of
syndrome, random error, burst error, error correcting,

capability, cyclotomic permutation.

I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Các phương pháp đại số giải mã BCH u cầu phải
giải phương trình khóa bậc cao trên trường Galoa như
thuật toán Berlekamp-Massey (BMA), thuật toán Euclid
(EA). Các thuật toán lặp BMA, EA và thủ tục tìm kiếm
Chien có độ trễ xử lý lớn khi n và t tăng, điều đó hạn chế
việc ứng dụng mã BCH vào các hệ thống thông tin thời
gian thực. Mặt khác, trong các hệ thống truyền tin, lưu
trữ và xử lý thông tin thường xảy ra lỗi ở cả dạng lỗi
ngẫu nhiên và lỗi chùm. Một số mã khối tuyến tính có
khả năng đồng thời sửa được cả lỗi ngẫu nhiên và lỗi
chùm như mã tầng, mã Fire, mã có xáo trộn… tuy nhiên
việc giải mã chúng thường khá phức tạp, tốc độ mã hóa
thấp hoặc khả năng sửa lỗi không lớn [1,2].
Trên cơ sở nghiên cứu cấu trúc của mã BCH và các
biến thể của nó, xây dựng một tham số mới là chuẩn
syndrome. Chuẩn syndrome là bất biến với tác động của
nhóm các dịch vịng và syndrome của các nhóm khác
nhau thì khác nhau. Khi sử dụng chuẩn syndrome, các
lỗi ngẫu nhiên và lỗi chùm có thể được sửa đồng thời do
chuẩn syndrome của các vector lỗi ngẫu nhiên và một số
cấu hình lỗi chùm độ dài nhỏ, lỗi chùm đồng pha không
trùng nhau khi chọn đa thức sinh của trường một cách
thích hợp.
Đặc biệt khi kết hợp phương pháp chuẩn syndrome
với phép thế cyctotomic cho phép giảm số lượng chuẩn

ISBN: 978-604-67-0635-9

322

322

Phần còn lại của bài báo được tổ chức như sau.
Trong phần 2 trình bày phương pháp thế giải mã BCH
dựa trên chuẩn syndrome cho phép đồng thời sửa lỗi
ngẫu nhiên và lỗi chùm, phần 3 xem xét vấn đề kết hợp
phương pháp chuẩn syndrome với phép thế cyclotomic,
trong phần 4 trình bày các kết quả mơ phỏng và thảo
luận, các phân tích, đánh giá được xem xét trong phần
kết luận.
II. ĐỒNG THỜI SỬA LỖI NGẪU NHIÊN VÀ LỖI
CHÙM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP CHUẨN
SYNDROME CHO MÃ BCH
Ma trận kiểm tra của mã BCH tổng quát với khoảng
cách cấu trúc δ  2t + 1 có dạng:
T

H    bi ,  (b 1)i , ....  ( b  2 t 1)i  , 0  i  n  1. (1)

Khi đó syndrome của vector lỗi tùy ý gồm δ-1 thành
phần thuộc trường GF(2m) là s(e)  (s1, s2, …, sδ-1).
Ký hiệu σ là phép thế dịch vịng, dưới tác động của
nó vector lỗi e = (e1, e2, …, en) dịch vòng phải đi một vị
trí σ(e) = (en, e1, e2, e3, …, en-1). Tập hợp tất cả các
vector khác nhau đôi một σλ(e) với 0 ≤ λ ≤ n – 1 của
vector lỗi e tùy ý gọi là σ-orbit của nó. Các phần tử của
σ-orbit chuyển hóa lẫn nhau dưới tác động của phép

dịch vịng. Mỗi σ-orbit có một vector sinh, toạ độ đầu
tiên của vector này ln có giá trị khác khơng.
Cho e là vector lỗi tùy ý, với mã BCH có ma trận
kiểm tra (1) ta có:

s ( (e))  (  b s1 ,  b 1s2 ,...,  b  2 s 1 ).

(2)

Định nghĩa norm syndrome (chuẩn syndrome) là
2

vector N(S) có C 1 tọa độ Nij ,1≤ i < j ≤ δ -1 được xác
định theo công thức:


Hội Thảo Quốc Gia 2015 về Điện Tử, Truyền Thông và Công Nghệ Thông Tin (ECIT 2015)

Hội Thảo Quốc Gia 2015 về Điện Tử, Truyền Thông và Công Nghệ Thông Tin (ECIT 2015)

N

( b  i 1) / hij

ij

 sj

+ Sửa tín hiệu nhận được bằng cách tính tổng tín
hiệu nhận được với vector lỗi tìm được.

( b  j 1) / hij

/ si

khi s i  0, hij 
USCLN (b  i  1, b  j  1);
N

ij

(3)

khi s j  0; s i 
sj 
0; N ij 
 khi s i 
0.

Đối với mã BCH nhị phân ta có:

S ( ( e ))  (  s1 ,  3 s 2 ,..., 

2 t 1

s t ).

(4)

Gọi chuẩn (norm) của syndrome S(e)  (s1, s2, …, st)

với mã nguyên thủy theo nghĩa hẹp là vector N(S) có

C t2 tọa độ Nij, 1≤ i < j ≤ t được xác định theo công
thức:
( 2i 1) / hij

N ij  s j

( 2 j 1) / hij

/ si

,

hij  USCLN(2i  1,2 j  1)

(5)

Nij = ∞ nếu sj ≠ 0, si = 0;
Nij = - (không xác định) khi sj = si = 0.
Ví dụ với mã BCH nhị phân gốc có d = 5 (ký hiệu
C5), norm syndrome có dạng:
(6)

N  s 2 / s13 .

Tính chất cơ bản của chuẩn syndrome là tính bất
biến của nó với phép thế dịch vịng. Từ cơng thức (2),
(4) suy ra đối với mọi mã vector lỗi e của mã BCH thỏa
mãn đẳng thức sau:

N ( s( (e)))  N ( s(e)) .

(7)

Thuật toán giải cho giải mã theo phương pháp chuẩn
syndrome thực hiện tính tốn qua các bước như sau:
+ Tính syndrome S(e)  (s1, s2, …, st) với si là phần
tử của trường Galoa GF(2m).
+ Tính bậc của chuẩn syndrome N.
Tính degsj, degsi là bậc thành phần sj , si của
syndrome S(e)  (s1, s2, …, si, ..., sj, ..., st) với 1 ≤ i < j
≤ t.
Chuẩn syndrome của syndrome S(e) tính theo cơng
thức (5), xác định bậc của nó degNij.
+ Theo degNij xác định vector sinh và bậc i0 của
0

thành phần syndrome đầu tiên s1 ứng với vector sinh.
+ Tính số thứ tự bit lỗi đầu tiên bằng Li  (degsi –
0

deg s1 ) mod n.
+ Tìm vector lỗi e bằng cách dịch vịng vector sinh đi
Li nhịp.

323

323

Một điểm đặc biệt của phương pháp chuẩn

syndrome là khi phân hoạch các vector lỗi thành các lớp
không giao nhau có chuẩn syndrome phân biệt có thể
nâng cao khả năng sửa lỗi của mã BCH [5].
Chú ý rằng với mã BCH có d = 5 (ký hiệu C5) chuẩn
syndrome có n + 2 giá trị phân biệt, tương ứng với
n(n+2) vetor lỗi khác 0, trong khi đó với mã BCH
nguyên thuỷ C5 có 22m = (n+1)2 giá trị syndrome khác
nhau. Khi lựa chọn đa thức sinh của trường một cách
hợp lý, mã BCH nguyên thủy C5 sửa được đồng thời lỗi
bội 2 và mọi lỗi chùm dài 4.
Xét mã C7 (15,5) trên GF(24) với đa thức sinh x4 + x
+ 1. Ký hiệu K – tập hợp các lỗi bội 1, bội 2, bội 3, chứa
39 σ-orbit (3 σ-orbit lỗi bội 3, 8 σ-orbit lỗi bội 2, 1 σorbit lỗi đơn). Tập K chứa 38.15 + 5 = 576 vector lỗi. Bổ
sung vào tập K các σ-orbit của các lỗi chùm có vector
sinh dạng < ei > = < 1, 2, 3, ..., i > với i = 4, 5, 6, 7 và
cho phép tăng khả năng sửa lỗi của mã lên hơn 10%. Khi
lựa chọn đa thức sinh của trường một cách hợp lý, mã
BCH C7 sửa được đồng thời các lỗi bội 1, 2, 3 và hầu hết
các lỗi chùm độ dài 5, 6. Mã BCH C7 có chiều dài n =
2m – 1, m ≥ 4 với các đa thức sinh của trường là x5 + x3
+ x2 + x +1, x5 + x4 + x3 + x2 +1, sửa được đồng thời
các lỗi bội 1, 2, 3 và tất cả các lỗi chùm độ dài đến 6.
Cho mã thuận nghịch C5 có ma trận kiểm tra
T
 z ,  z  , syndrome S = (s1, s2) =
H H  
H


1

2





(  i ,  j ), chuẩn syndrome có dạng:
N = s1.s2.

(8)

Trong [5] khảo sát khả năng sửa lỗi của mã thuận
nghịch mở rộng. Giả sử sắp xếp các cột của H1 theo một
thứ tự khác và thay thế đồng bộ với các cột của H2. Cột
thứ i của H1 là biểu diễn m bit của số nguyên i - 1, 1 ≤ i
≤ n = 2m với m lẻ nhận được mã C~ có ma trận kiểm tra
~
~ ~
H  ( H 1 , H 2 , I ) T , khoảng cách mã d = 6. Mã thuận

nghịch C~ cho phép sửa đồng thời lỗi ngẫu nhiên bội 1,
bội 2, các lỗi modul dài 4 bội 3, và cả các modul dài 4
bội 4 nếu chọn đa thức sinh phù hợp.
Mã BCH C7 có chiều dài n = 2m – 1, m ≥ 4 sẽ có C1n,
C3n vector lỗi tương ứng trọng lượng 1, 2, 3, chiếm
một nửa tập hợp tất cả các giá trị syndrome, giải mã
được (n+2)2 + (n+2) J- σ-orbit, tương ứng với n.(
(n+2)2 + (n+2)) = (n+1)3 – 1 vector lỗi khác 0, vì vậy
có thể mở rộng khả năng sửa lỗi của mã C7.

C2n,

Bổ sung thêm bit kiểm tra chẵn lẻ, nhận được mã
BCH mở rộng Cˆ có ma trận kiểm tra Hˆ nhận được từ


Hội Thảo Quốc Gia 2015 về Điện Tử, Truyền Thông và Công Nghệ Thông Tin (ECIT 2015)

Hội Thảo Quốc Gia 2015 về Điện Tử, Truyền Thông và Công Nghệ Thông Tin (ECIT 2015)

H bằng cách bổ sung thêm một hàng toàn các bit 1. Mở

rộng thêm một bit kiểm tra chẵn lẻ cho mã C5 nhận
được mã Cˆ có khoảng cách Hamming lúc này d = 6,
bit kiểm tra chẵn (parity) của lỗi bội 2 bằng 0, của các
lỗi đặc bội lẻ bằng 1, nhờ đó phân biệt được 2 cấu
hình lỗi trên. Mã BCH có khoảng cách d = 6 cho phép
sửa đồng thời lỗi bội 2 cùng với các lỗi chùm đặc bội lẻ
và phần lớn các lỗi chùm đặc độ dài chẵn, vì vậy có thể
mở rộng miền ứng dụng của nó.
Với mã thuận nghịch C  có ma trận kiểm tra
H  ( i ,   i , I ) T , với 0  i  2 m  2 , đây là biến thể
của mã thuận nghịch C5 có loại bỏ tất cả các từ mã trọng
lượng lẻ. Vì vậy mã C  cùng với lỗi bội 2 sửa được tất
cả các lỗi chùm đặc độ dài lẻ và các lỗi đặc độ dài l chẵn
(l ≥ 4) nếu Trc =
1, với c  l 1 (1   2 )(1   2 l ) .
Trường hợp trên trong phần thứ nhất H1 ma trận
kiểm tra của mã thuận nghịch mở rộng tham số i được

sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Giả sử sắp xếp các cột của
H1 theo một thứ tự khác và thay thế đồng bộ với các cột
của H2 . Cột thứ i của H1 là biểu diễn m bit của số
~
nguyên i - 1, 1 ≤ i ≤ n = 2m với m lẻ nhận được mã C
có ma trận kiểm tra H~  ( H~ 1 , H~ 2 , I ) T , khoảng

cách mã d = 6. Khảo sát khả năng sửa đồng thời lỗi bội
~
1, bội 2 và các lỗi modul dài 4 của mã C . Các cột của
nó được chia thành các modul dài 4 ký hiệu là Mj với 0 ≤
~
j ≤ n/4 -1. Mã C với m lẻ cho phép đồng thời sửa lỗi
ngẫu nhiên bội 1,2 và các lỗi modul dài 4 nếu vết của
phần tử sau bằng 1.


c (1     2 ) 1 .

(9)
Tương tự như mã C5, với mã C7, mở rộng 1 bit kiểm
tra chẵn lẻ, mã BCH C8 đồng thời sửa lỗi bội 3 trở xuống
và các lỗi chùm độ dài đến 5 và phần lớn các lỗi chùm độ
dài 6.
III. KẾT HỢP PHÉP THẾ CYCLOTOMIC VÀ
PHƯƠNG PHÁP CHUẨN SYNDROME GIẢI MÃ BCH
Phép thế cyclotomic theo modul n với trường GF(q)
là tập hợp:



C s  s , sq , sq 2 , ..., sq
sq

m

s

 s mod n

m

s

1

,

(10)

Định nghĩa trên tập T = {1, 2, ..., n} biến đổi φ thỏa
mãn φ(i) = 2i - 1 mod n khi đánh số tọa độ vector lỗi từ
1 đến n. Với n lẻ, φ là song ánh trên tập T. Khi đánh số
tọa độ của vector lỗi từ 0 đến (n - 1), ta có φ(i) = 2i mod
n. Tương tự khi áp dụng biến đổi này k lần ta có:
φk(i)= i2k mod n. Khi đó các số i, 2i, 22i, ...2m-1i tạo thành

324

324

một lớp cyclotomic theo modul n. Các phép thế φ, φ2, .. φm
=1 gọi là nhóm cyclotomic Φ.
1

2

3

4

5

6

7

e: 0

1

1

1

0

0

0

φ(e): 0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

e =φ3(e): 0

1

1

1

0

0

0

φ2(e):

Hình 1. Tác động của phép thế cyclotomic với vector
e = 0111000.

Với n = 31 trong trường GF(2) tồn tại 6 lớp
cyclotomic như sau: {1, 2, 4, 6, 8, 16}; {3, 6, 12, 24, 17};
{5, 10, 20, 9, 18}; {7, 14, 28, 25, 19}; {11, 22, 13, 26,
21}; {15, 30, 29, 27, 23}. Trên bảng 1 biểu diễn giá trị
norm của các lỗi bội 2 (15 lớp vector) với mã có chiều
dài 31, với đa thức sinh của trường x5 + x3 + x2 + x + 1.
BẢNG 1. VECTOR SINH LỖI BỘI 2 CỦA CÁC LỚP DỊCH
VÒNG VÀ NORM

STT N
1
2

3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

3
6
14
12
30
28
19
24
23
29
27
25
15
7
17

Vector sinh e0
1100000000000000000000000000000
1010000000000000000000000000000
1001000000000000000000000000000
1000100000000000000000000000000
1000010000000000000000000000000
1000001000000000000000000000000
1000000100000000000000000000000
1000000010000000000000000000000
1000000001000000000000000000000
1000000000100000000000000000000
1000000000010000000000000000000
1000000000001000000000000000000
1000000000000100000000000000000
1000000000000010000000000000000
1000000000000001000000000000000

Chuẩn syndrome của các vector lỗi bội 2 thuộc 3 lớp
cyclotomic ({3, 6, 12, 24, 17}; {7, 14, 28, 25, 19}; {15,
30, 29, 27, 23}). Với các mã C5 có đa thức sinh khác
cũng phân phối norm của các lỗi bội 2 thành 3 lớp
cyclotomic. Số lượng các tổ hợp chọn lọc có thể rút gọn
5 lần so với mã C5.


Hội Thảo Quốc Gia 2015 về Điện Tử, Truyền Thông và Công Nghệ Thông Tin (ECIT 2015)

Hội Thảo Quốc Gia 2015 về Điện Tử, Truyền Thông và Công Nghệ Thông Tin (ECIT 2015)

Ký hiệu norm của vector sinh của phần tử đầu tiên

trong các lớp cyclotomic là N ao , N b0 , N c 0 (trong trường

ngoài các lỗi ngẫu nhiên bội 1, 2, 3 còn sửa được hầu hết
lỗi chùm độ dài đến 6.

hợp trên N a  3, N b  7 , N c  15 ). Phương pháp giải
o

0

0

mã dựa trên phép thế cyclotomic với mã C5 như sau:
+ Tính syndrome S và chuẩn syndrome N của tổ hợp
nhận được.
+ So sánh giá trị N với mỗi giá trị N ao , N b0 , N c0 , nếu
N trùng với một trong các giá trị này sẽ xác định lớp
cyclotomic mà N thuộc về lớp đó.
+ Nếu N khơng trùng với cả ba giá trị
N a o , N b0 , N c0 , thực hiện phép dịch cyclotomic và lặp
lại bước 2.
+ Xác định lớp cyclotomic mà N thuộc về lớp đó,
theo số lượng phép dịch cyclotomic, xác định giá trị N =
Ndịch, vector sinh tương ứng e0.
+ Theo giá trị S, N, e0 tính giá trị vector lỗi tức thời.
Để tiếp tục giảm độ phức tạp giải mã có thể sử dụng
phương pháp xử lý từng bước các lớp cyclotomic. Xét
mã
C5,
n

=
31,
biểu
thức
N co 
( N b0  ) mod n 
( N a0  2) mod n , xác định
quy tắc chuyển từ một lớp cyclotomic này sang lớp khác.
Vì vậy có thể chọn 1 trong 3 phần tử của một lớp
cyclotomic và ký hiệu là N0. Quy tắc giải mã theo các
bước sau:

Hình 2. Hiệu quả của mã BCH trên kênh Gauss.

Trên hình 2 trình bày kết quả mơ phỏng hiệu quả của
mã BCH trên kênh Gauss. Trên hình này cũng thể hiện
kết quả mô phỏng hiệu quả của phương pháp giải mã
Berlekamp – Massey và giới hạn trên của các phương
pháp đại số giải mã trong giới hạn khoảng cách mã. Khi
sử dụng mã BCH C7 (31,16) với đa thức sinh 067, so với
phương pháp giải mã Berlekamp – Massey, phương
pháp chuẩn syndrome đạt độ cải thiện Eb/No khoảng
2,8dB tại BER = 10-4, là do phương pháp đề xuất cho
phép sửa lỗi ngồi giới hạn khoảng cách mã.

+ Tính syndrome S và chuẩn syndrome N.
+ Chọn N 0  N a 0 .
+ So sánh N và N0 (N trùng N0 chỉ ra lớp cyclotomic
chứa giá trị N tính được).
+ Nếu N không trùng với bất kỳ phần tử nào của lớp

cyclotomic thì giá trị phần tử sinh của lớp cyclotomic N0
tăng lên ∆ và so sánh N với N0.
+ Xác định lớp cyclotomic chứa giá trị norm N,
theo số lượng phép dịch đã thực hiện xác định giá
trị N0 = Ndịch theo bảng giá trị tìm vector sinh e 0
tương ứng với norm.
+ Theo giá trị S, N và e0 xác định vector lỗi hiện thời,
giá trị ∆ được chọn phụ thuộc vào lớp cyclotomic được
sử dụng.
IV. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG VÀ THẢO LUẬN
Tiến hành mô phỏng Monte Carlo trên MATLAB,
mã được khảo sát BCH C7(31,16) với đa thức sinh của
trường tương ứng là x5 + x4 + x2 + x + 1 (067), số lượng
bit đầu vào mã hóa 16.106. Với phương pháp đề xuất

Hình 3 Hiệu quả của mã BCH trên kênh Rayleigh phẳng

Trên hình 3 trình bày kết quả mô phỏng hiệu quả
của mã BCH trên kênh pha đinh Rayleigh phẳng. Trong

325

325


Hội Thảo Quốc Gia 2015 về Điện Tử, Truyền Thông và Công Nghệ Thông Tin (ECIT 2015)

Hội Thảo Quốc Gia 2015 về Điện Tử, Truyền Thông và Công Nghệ Thông Tin (ECIT 2015)

mơ hình mơ phỏng sử dụng thêm khối ghép xen với độ

sâu L = 5. Độ lợi mã hóa khi sử dụng mã BCH C7 (31,16)
so với phương pháp Berlekamp – Massey với đa thức sinh
067 là 5,1dB tại BER = 10-4. Như vậy khi sử dụng phương
pháp giải mã dựa trên chuẩn syndrome kết hợp với ghép
xen cho kênh pha đinh, độ sâu ghép xen có thể giảm đi
đáng kể và cho phép giảm độ trễ xử lý. So sánh với hình 2
độ lợi mã hóa trên kênh pha đinh Rayleigh phẳng lớn hơn
trên kênh Gauss do trên kênh pha đinh Rayleigh phẳng
xảy ra lỗi chùm với xác suất lớn. Khi kết hợp với ghép
xen độ sâu không lớn, các lỗi này chuyển thành các lỗi
ngẫu nhiên và các lỗi chùm độ dài ngắn, phương pháp
chuẩn syndrome cho phép sửa được chúng, trong khi các
phương pháp thông thường khơng sửa được.
V. KẾT LUẬN
Phương pháp thế dịch vịng giải mã mã BCH dựa
trên chuẩn syndrome không yêu cầu giải phương trình
trong trường Galoa. Để giải mã theo phương pháp này
cần tính tốn, lưu trữ giá trị chuẩn syndrome cho tập các
vector lỗi có thể sửa được. Khi độ dài và khoảng cách
mã, cần không gian lưu trữ lớn, nhờ kết hợp sử dụng
phép thế cyclotomic có thể giảm đáng kể không gian bộ
nhớ. Phương pháp giải mã dựa trên phép thế cyclotomic
cho phép rút gọn số tổ hợp cần chọn lọc đến 5, 7, 11 lần
với mã C5 có độ dài n = 31, 127, 1047 tương ứng. Đặc
biệt phương pháp giải mã dựa trên chuẩn syndrome chỉ
sử dụng các phép toán logic đơn giản, dễ thực hiện trên
thiết bị logic khả trình. Ngồi ra khi sử dụng phương
pháp đề xuất mã BCH có khả năng đồng thời sửa được
lỗi ngẫu nhiên và các lỗi chùm độ dài ngắn, trong khi các
phương pháp truyền thống chỉ cho phép sửa lỗi ngẫu

nhiên, vì vậy có thể giảm đáng kể độ trễ xử lý do giảm
độ sâu ghép xen, mở rộng phạm vi ứng dụng của mã
BCH trong các hệ thống thông tin thực tế.

Phạm Khắc Hoan, sinh năm 1976 tại
Hải Dương, Việt Nam, nhận bằng kỹ sư
thông tin năm 2001 tại Đại học kỹ thuật Lê
Quý Đôn, nhận bằng tiến sĩ chuyên ngành
mạng và hệ thống viễn thông tại Đại học
tổng hợp tin học và vô tuyến điện tử quốc
gia Belarus năm 2008, hiện công tác tại
Khoa Vô tuyến điện tử, Đại học kỹ thuật
Lê Quý Đôn. Các hướng nghiên cứu: Lý thuyết thơng tin và
mã hóa; Các biện pháp trinh sát, gây nhiễu các mạng và hệ
thống thông tin; An tồn thơng tin.
Lê Văn Thái, sinh năm 1973 tại Nam
Định, Việt Nam, tốt nghiệp đại học
chuyên ngành Điện tử viễn thông Đại học
Bách khoa Hà Nội năm 1999. Nhận bằng
thạc sĩ xử lý thông tin và truyển thông tại
Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2004. Từ
năm 1999 đến 2015 giảng viên Khoa Điện
tử trường Đại học Công nghiệp Hà Nội.
Hiện đang là giảng viên, Trưởng khoa
Điện tử, trường Đại học Công nghiệp Hà Nội, Nghiên cứu sinh
tại Học viên kỹ thuật Quân sự Việt Nam. Lĩnh vực nghiên cứu
chính: Xử lý thơng tin và truyền thơng; lý thuyết thơng tin và
mã hóa; xử lý tín hiệu và lọc số.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]
[2]
[3]
[4]
[5]

R.H. Morelos-Zararoga. The art of error correcting coding, John
Wiley & Sons Ltd, 2002.
Tood K. Moon. Error correction coding mathematical methods
and algorithms, John Wiley & Sons Ltd, 2005.
Phạm Khắc Hoan, Vũ Sơn Hà, Phạm Việt Trung: Phương pháp
thế giải mã hiệu quả mã BCH, Tạp chí Nghiên cứu khoa học và
công nghệ quân sự, 05-2012 (1859-1043).
В.А.
Липницкий,
В.К.
Конопелько,
Норменное
декодирование помехоустойчивых кодов и алгебраические
уравнения, Минск : Изд. центр БГУ, 2007.
Pham Khac Hoan, Le Van Thai, Vu Son Ha: Simultaneous
correction of random and burst errors using norm syndrome for
BCH codes, National conference on Electronics and
Communications, REV – KC01 2013.

326

326