huyên đề góc trong HHKG

GĨC TRONG KHƠNG GIAN
Câu 1. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D . Gọi M là trung điểm của BB . Tính cosin của góc giữa
hai đường thẳng AM và AC 
4 15
A. 5 .

3
B. 5 .

3 5
C. 5 .

D.

10
5 .

Câu 2. Cho hình vng ABCD cạnh 4a , lấy H , K lần lượt trên các cạnh AB , AD sao cho BH  3HA

AK  3KD . Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng  ABCD  tại H lấy điểm S sao cho

·
SBH
 30 . Gọi E là giao điểm của CH và BK . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng
SE và BC .
28
A. 5 39 .
Câu 3.

18
B. 5 39 .

9
D. 5 39 .

Cho tứ diện đều ABCD có M là trung điểm của cạnh CD , gọi  là góc giữa hai đường thẳng

AM và BC . Giá trị cos  bằng

3
A. 6 .
Câu 4.

36
C. 5 39 .

3
B. 4 .

2
C. 3 .

2
D. 6 .

Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với đáy,

SA  a . Gọi M là trung điểm của SB . Góc giữa AM bằng BD bằng?
o
A. 45 .

Câu 5.

o
C. 90 .

o
D. 60 .

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a , AD  a 3 , SA vng
góc với mặt phẳng đáy và SA  2a . Góc giữa hai đường thẳng SC và BD nằm trong khoảng
nào?

 30 ; 60  .
o

A.
Câu 6.

o
B. 30 .

o

 40 ;50  .
o

B.

o

 50 ;60  .
o

C.

o

 60 ;70  .
o

D.

o

Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân ABC với cạnh huyền AB  4 2 , cạnh
SC   ABC 

và SC  2 . Gọi M là trung điểm AC , N là trung điểm AB . Tính góc giữa
hai đường thẳng SM và CN .
bên

o
A. 30 .

Câu 7.

o
B. 45 .

o

C. 90 .

o
D. 60 .

Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB  2a , BC  a . Hình chiếu vng góc

H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB , góc giữa đường thẳng SC và
mặt phẳng đáy bằng 60 . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC .
2
A. 7 .

Câu 8.

B.

2
35 .

2
C. 5 .

D.

2
7.

SA   ABCD 
Cho S . ABCD là hình chóp có đáy là hình chữ nhật.
. Gọi K nằm trên cạnh

BC sao cho KC  2KB , Q nằm trên cạnh CD sao cho QD  3QC và M là trung điểm của
cạnh SD . Biết AB  a, AD  2a và

KM 

a 67
6 . Tính cosin góc giữa KM và SQ


38
B. 11 67

3
2

Câu 9.

3
67

1
A.
C.
D. 2
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và B ; biết AB  BC  4a .

 ABCD  . Gọi H là
Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng
 SHD  bằng a 10 . Tính cosin góc

trung điểm của AB , biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng
giữa hai đường thẳng SC và HD .
1
2
A. 5 .
B. 5 .

5
C. 4 .

5
D. 3 .

Câu 10. Cho hình hộp ABCD. ABC D , ABC D là hình chữ nhật tâm H , AD  2a , AB  2 3a ,

H là hình chiếu vng góc của A trên mặt phẳng  AB C D  , AH  2 3a . Gọi  là góc giữa
hai đường thẳng AD và DB . Tính cos  .
A.

cos  

1
2.

B.

cos  

3
4 .

C.

cos  

3
2 .

D.

cos  

6
8 .

Câu 11. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a 2 và cạnh bên bằng 2a . Góc giữa

 SAC  bằng
đường thẳng SB với mặt phẳng
0
0
A. 60 .
B. 30 .

0
C. 90 .

0
D. 45 .

SA   ABCD 
Câu 12. Cho hình chóp S . ABCD có
và SA  a 3 . Đáy ABCD là hình chữ nhật có
AB  a, AD  a 3 . Gọi M là trung điểm của CD , góc giữa SA và mặt phẳng  SBM  bằng  .

tan  bằng:
A.

2
15 .

B.
S . ABCD

4
15 .

2
13 .

4
13 .

C.
D.
ABCD là hình thang vng tại

A và B ,
Câu 13. Cho hình chóp
có đáy

AD = 2AB  2 BC  2a , SA  2 a và SA vng góc với ABCD . Gọi M là trung điểm của SB

 SCD  . Khi đó sin  bằng:
và  là góc tạo bởi đường thẳng MD và mặt phẳng
10
A. 24

10
B. 12 .

15
C. 24 .

15
D. 12 .

SA   ABCD  SA  a 2 ABCD
Câu 14. Cho hình chóp S . ABCD có
,
,
là hình thang vuông tại A, B
và 2 AB  2 BC  AD  2a . Gọi O  AC  BD , M là trung điểm SB . Tính sin góc giữa OM
và

 SCD  .

2 35
A. 35 .

35

B. 35 .

3 35
C. 70 .

35
D. 70 .

Câu 15. Cho hình vng ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vng góc với
SAD 
nhau. Tính sin góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng 
.
3
2
6
A. 3 .
B. 2 .
C. 4 .

3
D. 4 .


Câu 16. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. AB C  có cạnh đáy bằng a , cạnh bên AA  a . Gọi M ,
a
PB 
N lần lượt là trung điểm của BB , BC  . Lấy điểm P thuộc AB sao cho
4 . Tính tan góc
MNP 
giữa đường thẳng AP và mặt phẳng 

1
A. 2 .
B. 2 .

1
C. 3 .
D. 3 .
Câu 17. Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình vng, SAB là tam giác đều và nằm trong mặt
phẳng vng góc với đáy. Gọi M là trung điểm BC . Gọi  góc hợp bởi đường thẳng SA và
mặt phẳng
A. 30 .

 SDM  . Tính  .

B. 60 .
C. 55 .
D. 45 .
Câu 18. Cho hình lăng trụ đều ABC. ABC  có tất cả các cạnh bằng 1 . Điểm M và N lần lượt là trung
BAC  
điểm các đoạn AC , BB . Cơsin góc giữa đường thẳng MN và 
bằng

21
A. 14 .

7
B. 14 .

Câu 19. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có

3
C. 21 .
AA ' 

21
D. 21 .

a 10
4 , AC  a 2 , BC  a , ·ACB  1350 . Hình

chiếu vng góc của C  lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm M của AB . Tính góc tạo

 ACC A 
bởi đường thẳng C M với mặt phẳng
0
A. 90 .

0
0
C. 45 .
D. 30 .
·
Câu 20. Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC cân đỉnh A, ABC   , BC ' tạo đáy góc  . Gọi I
2
2
0
·
là trung điểm của AA’ , biết BIC  90 . Tính tan   tan 
1
A. 2 . B. 2 .

C. 3 .
D. 1 .

Câu 21. Cho hình lăng trụ đứng

0
B. 60 .

 ABC. A ' B ' C ' 

có đáy là tam giác vuông cân tại A , AC = b , các cạnh

( AB ' C ') .
bên có độ dài bằng b . Tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng
3
A. 2 .

3
B. 3 .

1
C. . 2

6
D. 3 .

·
Câu 22. Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB  a, ACB  30 , M
là trung điểm cạnh AC . Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 60 . Hình chiếu
 ABC  là trung điểm H của BM . Gọi  là góc tạo

vng góc của đỉnh A lên mặt phẳng
 AACC   . Tính sin  ?
bởi AH với
1
A. 3 .

3
B. 4 .

2
C. 5 .

3
D. 6 .

Câu 23. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. AB C D  có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng 2 2 ,
AA  4 . Tính góc giữa đường thẳng AC với mặt phẳng  AAB B  .
A. 30 .

B. 90 .

C. 60 .

D. 45 .


Câu 24. Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Tính góc tạo bởi đường thẳng AB và mặt phẳng

 BDDB .
A. 60 .

B. 90 .

C. 45 .

D. 30 .

S
Câu 25. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' nội tiếp mặt cầu   có bán kình

R

17
2 Gọi

I , J là trung điểm BC , CD và  là góc giữa đường thẳng AC ' và mặt phẳng  C 'IJ  . Giá trị
lớn nhất của sin  là
3
3
4
4
A. 5 .
B. 5 .
C. 5 .
D. 5 .
Câu 26. Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh bằng a và I  AC  BD . Gọi M , N lần lượt là
 ACM  . Tính
trung điểm của C D , AA . Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng IN và mặt phẳng
sin  .

3
A. 9 .

2
B. 2 .

5 3
C. 9 .

3
D. 24 .

Câu 27. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vng tại A . BC  a .

 ABC  bằng
Góc giữa đường thẳng SA và
A. 30 .
B. 45 .

C. 60 .

SA  SB  SC 

a 3
3 .

D. 90 .

Câu 28. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a . Tam giác SAB đều và nằm

 ABCD  . Giá trị
trong mặt phẳng vng góc với đáy. Gọi  là góc giữa đường thẳng SC và
của tan  bằng:

15
5 .

15
3 .

5
A. 1 .
B.
C.
D. 2 .
Câu 29. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và B ; SAB là tam giác cân
tại S ; AD  3BC  3 AB  3a . Gọi M là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD  3MD . Biết rằng
SCM là tam giác đều. Gọi  là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng  SAD  . Khi đó
cos  nhận giá trị là
2 7
A. 7 .

21
B. 7 .

42
C. 14 .

154
D. 14 .

Câu 30. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD , cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a . Gọi M là trung điểm

 MBD  và  ABCD  .
của SC . Tính góc giữa hai mặt phẳng
A. 90 .
B. 30 .
C. 60 .

D. 45 .

Câu 31. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và B , SA vng góc với
mặt phẳng

 ABCD  ,

AB  BC  a, AD  2a . Biết góc giữa SC và mặt phẳng  ABCD  bằng

45 . Tính góc giữa mặt phẳng  SAD  và  SCD  .
A. 90 .
B. 30 .
C. 60 .

D. 45 .


Câu 32: Cho hình chóp đều S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , tâm O . Góc giữa SB và
0
mặt phẳng ( SAC ) bằng 60 . Gọi M là trung điểm của SB . Tính sin  của góc giữa mặt
phẳng ( AMO) và mặt phẳng ( SAB ) .

1
A. 5 .

1

2
C. 5

B. 2 5 .

3

D. 2 5 .
Câu 33. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và B với AB  BC  a ,

AD  2a , SA   ABCD  , SA  a 2 . Tính góc giữa hai mặt phẳng  SCD  và  SAB  .
A. 30 .
B. 45 .
C. 90 .
D. 60 .
Câu 34. Cho hai tam giác đều DAC và BAC lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vng góc với nhau.
DAB 
DBC 
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng 
và 
. Tính giá trị cos  .
3
1
1
3



A. 5 .
B. 5 .
C. 5 .
D. 5 .
SA ^ ( ABCD )
Câu 35. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a ,
. Góc giữa SB

( SAD) là 30° . Gọi các điểm E , F lần lượt đối xứng với
sin góc giữa hai mặt phẳng ( SCF ) và ( SEF ) .

và mặt phẳng

15
4 .

B, C qua A, D . Tính

21
B. 7 .

21
15
A.
C. 3 .
D. 5 .
Câu 36. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB  2a, AD  2a 3 . Mặt bên SAB là tam

 SAD 
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng
và

 SCD  . Tính sin  .

2
A. 5 .

5
B. 2 .

Câu 37. Trong mặt phẳng

 P  tại

B

2 5
C. 5 .

42
D. 7 .

 P  , cho tam giác đều ABC cạnh a . Trên các đường thẳng vuông góc với

P
và C , lấy về cùng phía với mp   các điểm

BD 

D , E sao cho

a 3
3 ,

CE  a 3 . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  P  và  ADE  . Tính cos  .
A.

cos  

37
37 .

2 259
37 .

C.

cos  

14 7
3 .

cos  

3 37
37 .

D.

3a
Câu 38. Cho hình lăng trụ đều ABC. ABC  có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2 . Góc giữa hai mặt
phẳng

B.

cos  

 ABC   và  ABC  bằng

A. 60 .

B. 90 .

C. 45 .

D. 30 .

Câu 39. Cho hình lăng trụ đứng ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình thoi, AB  a ,
·
BAD
 60 . Góc giữa hai mặt phẳng  ABCD  và  ADBC  bằng

AA 

3a
2 ,


A. 60 .

B. 90 .
C. 45 .
D. 30 .
Câu 40. Cho lăng trụ đều ABC.ABC  có cạnh đáy bằng 2a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của

AB, BC. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
hai mặt phẳng

 AAB 

1
.
A. 2

và

 AMN 

 AMN 

a 2
.
bằng 2 cơsin của góc giữa

bằng

6
.
B. 2

6
.
C. 6

6
.
D. 3

Câu 41. Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác cân với AB  AC  a và
·
BAC
 120 , cạnh bên BB  a . Gọi I là trung điểm CC . Tính cosin góc tọa bởi hai mặt
phẳng

 ABC 

và

 ABI  .

3
A. 21 .

30
B. 10 .

21
C. 10 .

3
D. 3 .

Câu 42. Cho hình hộp ABCD.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng 2a , cạnh bên bằng

a 5 . Hình chiếu vng góc của A trên mặt phẳng  ABCD  là trùng với giao điểm của hai
ABBA 
đường chéo AC và BD . Góc giữa mặt phẳng 
và mặt đáy của hình hộp bằng
0
A. 30 .

0
B. 60 .

0
C. 45 .

0
D. 75 .

Câu 43. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có AB  2a , AD  3a , AA  4a . Gọi  là góc
giữa hai mặt phẳng

29
A. 61 .

 ABD  và  ACD  . Giá trị của cos  bằng.
27
B. 34 .

2
C. 2 .

3
D. 2 .

Câu 44. Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có đáy là tam giác đều, cạnh bên AA  2a . Hình chiếu vuông

 ABC  trùng với trung điểm của đoạn BG (với G là trọng tâm tam
góc của A lên mặt phẳng
a 3
giác ABC ). Biết khoảng cách giữa AB và AI bằng 12 . Tính cosin của góc  giữa hai mặt
phẳng
A.

 ABC 

cos 

và

1
95 .

 ABBA .
B.

cos 

1
165 .

C.

cos 

1
134 .

D.

cos 

1
126 .

Câu 45. Cho hình lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' cạnh bên 2a và hình chiếu A ' lên mặt đáy là điểm I sao
uur uur
cho 3BI  ID ; đáy là hình chữ nhật ABCD có tâm O và AB  a, AD  a 3 . Tính cosin của
ABCD 
CDD ' C '
góc  giữa hai mặt phẳng 
và 
.
1
165
2 165
cos 
cos 

cos 
3.
55 .
55 .
A.
B.
C.

D.

cos 

1
6.

BAC 
Câu 46. Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh bằng a . Số đo góc giữa hai mặt phẳng 

và

 DAC  bằng?

A. 30 .

B. 45 .

C. 90 .

D. 60 .

SA   ABC 
Câu 47. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B , SA  a và
,

AB  BC  a . Góc giữa hai mặt phẳng  SAC  và  SBC  bằng?
A. 45 .
B. 30 .
C. 60 .
Câu 48.

D. 90 .

Cho hình lập phương ABCD. ABC D cạnh a . Tính sin  với  là góc giữa hai mặt phẳng

 ABD 
A.

và

sin  

 BAC   .

2 2
3 .

B.

sin  

3
2 .

C.

sin  

3
3 .

D.

sin  

2
3 .

Câu 49. Cho hình chóp S . ABC , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BA  BC  a , M là trung điểm

uuuur

uuuur

 ABC  sao cho BM  3MN và SB  a . Tính giá trị
của AC . Gọi N là hình chiếu của S trên
 SBN  và  SBC  ?
lượng giác sin của góc giữa hai mặt phẳng
5
3 5

10
3 10
A. 10
B. 10 .
C. 10 .
D. 10 .
Câu 50. Cho hình chóp S . ABCD với ABCD là hình thang vng tại A và D có AD  CD  2a , AB  4a
và SB  2 5a . Gọi M là trung điểm của CD . Biết hình chiếu H của đỉnh S xuống ( ABCD)
nằm trên AD và BC vng góc với SM , tính sin của góc giữa 2 mặt phẳng ( SHB) và ( SBC ) .
238
A 17 .

51
B. 17 .

85
C. 17 .

2 51
D. 17 .


1D

2B

3A

4D

5D

6D

16
A
31
C
46
D

17
D
32
C
47
C

18
B
33
D
48
A

19
D
34
B
49

D

20
D
35
A
50
D

21
D
36
C

BẢNG ĐÁP ÁN
7B 8B 9C 10
D
22
23
24
25
D
A
D
A
37
38
39
40
D

A
A
C

11B 12
C
26
27
A
A
41
42
B
B

13
A
28
B
43
A

14
D
29
D
44
B

15

C
30
D
45
B

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D . Gọi M là trung điểm của BB . Tính cosin của góc giữa
hai đường thẳng AM và AC 
4 15
A. 5 .

3
B. 5 .

3 5
C. 5 .

D.

10
5 .

Lời giải
Tác giả: Trần Xuân Tiến ; Fb: Trần Tiến

Chọn D
+ Ta có A ' C '/ / AC nên góc giữa AM và AC  là góc giữa AC và AM .
2

a 5
a
MA  MC  MB  AB     a 2 
2 ;
2
+ Xét tam giác AMC có:
2

2

AC  AB 2  BC 2  a 2
Áp dụng định lí cosin trong tam giác AMC , ta có:

cos  AM , AC  

AM 2  AC 2  MC 2
AC
a 2
10



2 MA. AC
2 MA
5
a 5
2.
2

Câu 2. Cho hình vng ABCD cạnh 4a , lấy H , K lần lượt trên các cạnh AB , AD sao cho BH  3HA

AK  3KD . Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng  ABCD  tại H lấy điểm S sao cho

·
SBH
 30 . Gọi E là giao điểm của CH và BK . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng
SE và BC .


28
A. 5 39 .

18
B. 5 39 .

36
C. 5 39 .

9
D. 5 39 .

Lời giải
Tác giả: Trần Xuân Tiến ; Fb: Trần Tiến
Chọn B
Gọi I là hình chiếu vng góc của E lên AB ta có ABK  BCH .
·
·
 ·ABK  BCH
 HEB
 90 .

Ta có:

·
cos  SE ; BC   cos  SE ; EI   cos SEI

,

SH  BH .tan 30  3a.

3
a 3
3
.

81a 2 2a 39
HB HE
HB
9a
SE  SH 2  HE 2  3a 2 


 HE 

25
5 .
HC HB
HC
5 ,
2

2

HE HI
HE 2 27a SI  SH 2  HI 2  3a 2   27a   2a 651

 HI 



25 .
 25 
HB HE
HB
25 ,
36a
EI  SE 2  SI 2 
25
Trong tam giác vng SEI có:
EI
18
·
cos SEI


SE 5 39 .
Vậy:
Câu 3.

Cho tứ diện đều ABCD có M là trung điểm của cạnh CD , gọi  là góc giữa hai đường thẳng

AM và BC . Giá trị cos  bằng

3
A. 6 .

3
B. 4 .

2
C. 3 .

2
D. 6 .

Lời giải
Tác giả: Lương Minh Hoàng ; Fb: Lương Minh Hoàng
Chọn A


Giả sử cạnh của tứ diện đều bằng a .
Vì M là trung điểm của CD . Nên AM là đường cao trong ACD đều. Do đó:

AM 

a 3
2 .

Ta có:
uuu

r uuuu
r uuu
r uuuu
r uuu
r uuu
r uuuu
r uuu
r uuu
r
CB. AM  CB. CM  CA  CB.CM  CB.CA





·
·
 CB.CM .cos BCM
 CB.CA.cos ACB
a
a2
o
o
 a. .cos 60  a.a.cos 60  
2
4

a 2
uuur uuuur
uuur uuuur

BC. AM
 3
cos BC , AM  uuur uuuur  4 
uuur uuuu
r
6
3
a 3
BC . AM
cos   cos BC , AM 
a.
6 .
2
Do đó,
. Suy ra
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với đáy,



Câu 4.







SA  a . Gọi M là trung điểm của SB . Góc giữa AM bằng BD bằng?
o
A. 45 .

o
B. 30 .

o
C. 90 .

o
D. 60 .

Lời giải
Tác giả: Lương Minh Hồng ; Fb: Lương Minh Hồng
Chọn D

Xét ABD vng cân tại A , ta có:
BD 

AB 2  AD 2  a 2  a 2  a 2 .

uuu
r uuur

 AB, BD   135 .
Góc giữa 2 đường thẳng BA và BD bằng 45 , suy ra
o

o


Xét SAB vng cân tại A , ta có:

SB 

SA2  AB 2  a 2  a 2  a 2 .

AM 

SA. AB a 2

SB
2 .

uuuur uuur uuur
SB
2AM
 AS  AB .
M
Vì
là trung điểm của
nên:
Ta có:

uuuu
r uuur uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r uuur
2 AM .BD  AS  AB .BD  AS .BD  AB.BD  AB.BD





uuu
r uuur
uuur uuur
AS

BD
(Do
, nên AS .BD  0 )

uuur uuur
uuur uuur
uuu
r uuur AB.BD AB.BD.cos AB, BD
a.a 2.cos  135o  a 2
AS .BD 



2
2
2
2 .
Suy ra:





a 2
uuuur uuur
uuuur uuur
uuuur uuur
AM .BD
1
2
cos AM , BD 

   AM , BD  120o
AM .BD a 2
2
.a 2
2
Do đó:
.









o
Vậy góc giữa AM và BD bằng 60 .

Câu 5.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a , AD  a 3 , SA vng
góc với mặt phẳng đáy và SA  2a . Góc giữa hai đường thẳng SC và BD nằm trong khoảng
nào?

 30 ; 60  .
o

A.

o

 40 ;50  .
o

B.

o

 50 ;60  .
o

C.

o

 60 ;70  .
o

D.

o

Lời giải
Tác giả: ; Fb:
Chọn D

Gọi O là giao điểm của AC và BD và M là trung điểm của SA .
BD
OB  OD 

2
Trong hình chữ nhật ABCD ta có

AD 2  AB 2

2

a 2  3a 2
a
2
.

2
2
2
2
Xét tam giác MAB vuông tại A , ta có: MB  AB  MA  a  a  a 2 .
2

2
2
2
Xét tam giác MAO vng tại O , ta có: MO  AO  MA  a  a  a 2 .

Do MO / / SC nên góc giữa hai đường thẳng SC và BD là góc giữa hai đường thẳng MO và
BD .


Áp dụng định lý cosin vào tam giác MOB ta có
OB 2  OM 2  BM 2 a 2  2a 2  2a 2
1
·
·
cos MOB 


 MOB
 69o
2.OB.OM
2.a.a 2
2 2
.

Câu 6.

o
·
Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và BD bằng góc MOB  69 .
Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vng cân ABC với cạnh huyền AB  4 2 , cạnh

SC   ABC 

và SC  2 . Gọi M là trung điểm AC , N là trung điểm AB . Tính góc giữa
hai đường thẳng SM và CN .
bên

o
A. 30 .

o
B. 45 .

o
C. 90 .

o
D. 60 .

Lời giải
Tác giả: ; Fb:
Chọn D

r u
r uuu
uuu
r r uuu
r r
CB


y
CA

x
CS
 z.
Đặt
,
,

Do tam giác vng cân ABC tại C có AB  4 2 suy ra:

CA  CB  4 ; CN  2 2 ; SM  2 2 .
uuur 1 uuu
r uuu
r 1 r u
r uuur uuu
r uuuu
r
r 1r
CN  CA  CB  x  y SM  SC  CM   z  x
2
2
2 .
Ta có:
;
uuur uuur 1 r u
r r r
CN .SM  x  y x  2 z
4

Vậy
.
r
u
r
 x 2  y 2  16
r
 2
z  4
r u
rr rr
uuur uuur 1 r 2
rr u
rr u
rr
r u
x
.
y

y
.z  z.x  0  CN .SM  x  2 x.z  y.x  2 y.z  4

4
Mặt khác:
.
uuur
uuur
Gọi  góc giữa hai véctơ SM và CN .



















Theo cơng thức tích vơ hướng của hai véctơ ta có:

uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
CN .SM
4 1
CN .SM  CN . SM .cos  cos  uuur uuur      60o
CN . SM 8 2
o

Vậy góc giữa hai đường thẳng SM và CN bằng 60 .

.


Câu 7.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB  2a , BC  a . Hình chiếu vng góc

H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB , góc giữa đường thẳng SC và
mặt phẳng đáy bằng 60 . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC .
2
A. 7 .

B.

2
35 .

2
C. 5 .

D.

2
7.

Lời giải
Sưu tầm: Nguyễn Văn Đắc; Fb: Dac V Nguyen
Chọn B
+) Ta có:

·
 SC ,  ABCD     SC , CH   SCH
 600 .

+)

uur uuur
uur uuur
SB. AC  AB. AB.cos SB, AC  cos  SB, AC  





uur uuur
SB. AC
SB. AC

+) Ta thấy
uur uuur
uuur uuur uuu
r uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
SB. AC  SH  HB AB  BC  SH . AB  SH .BC  HB. AB  HB.BC







uuur uuur uuur uuur  1 AB 2  2a 2
 HB. AB  HB.BC 2
+) Mặt khác
·
AC  a 5 , CH  a 2  a 2  a 2 , SH  CH .tan SCH
a 6.

SB  SH  HB 
2

+) Vậy:

2

 a 6

cos  SB, AC  

2

 a2  a 7

uur uuur
SB. AC
SB. AC



.

2
2a 2

a 7.a 5
35 .


Câu 8.

SA   ABCD 
Cho S . ABCD là hình chóp có đáy là hình chữ nhật.
. Gọi K nằm trên cạnh

BC sao cho KC  2KB , Q nằm trên cạnh CD sao cho QD  3QC và M là trung điểm của
cạnh SD . Biết AB  a, AD  2a và
A.

3
2

38
B. 11 67

KM 

a 67
6 . Tính cosin góc giữa KM và SQ
3
1

C. 67
D. 2

Lời giải
Tác giả: Phan Lê Thanh Quang ; Fb: Pike Man

Gọi N là trung điểm AD . Như vậy MN là đường trung bình của SAD nên MN / / SA .
MN   ABCD 
Vậy

uuur uuu
r uuu
r uuur
r 1 uuur uuu
r 1 uuur
1 uuur uuu
NK  NA  AB  BK   AD  AB  AD  AB  AD
2
3
6
Ta có:
r 1 uuur  2
1
1
10
 uuu
2
NK   AB  AD   AB 2 
AD 2  a 2  .4a 2  a 2
6

36
36
9


Suy ra
MN   ABCD 
Xét MKN vng tại N ( do
) ta có:

MN 2  MK 2  NK 2 
Lại có

67 2 10 2 3 
a 3
a  a  a  MN 
 SA  a 3
36
9
4
2

uuur uuur uuur uuur 3 uuu
r
AQ  AD  DQ  AD  AB
4
2
r
9
9

73
2
 uuur 3 uuu
 AQ 2   AD  AB   AD 2  AB 2   2a   a 2  a 2
4
16
16
16



73  121 2
11
a 
a  SQ  a
SAQ vuông tại A nên
16
16
4
uuuu
r uuuu
r uuur 1 uuu
r uuu
r 1 uuur
uuu
r uuur uuu
r uuur 3 uuu
r uuu
r
KM  NM  NK  AS  AB  AD

SQ  AQ  AS  AD  AB  AS
2
6
4
Ta có
và
uuuu
r uuu
r
3
1
1
3
1
1
19 2
KM .SQ   AB   AD 2  AS 2   a 2  .4a 2  .3a  
a
4
6
2
4
6
2
12
Khi đó
SQ 2  AS 2  AQ 2  3a 2 

Xét

19 2
uuuu
r uuu
r
a
KM .SQ
uuuu
r uuu
r
38
12
cos  KM , SQ   cos KM , SQ 


KM .SQ a 67 11a 11 67
.
6
4
Vậy





Cách khác:
r
u
r
r uuu

r u
r uuur r uuu
r
r u
r r
x

a
,
y
 2a
Đặt x  AB, y  AD, z  AS , khi đó x, y, z đơi một vng góc và
.
uuur uuur uuur  r 1 u
r 1 u
r r 1u
r
uuur r 1 u
r
10
NK  AK  AN   x  y  y  x  y  NK  x  y 
a
3  2
6
6
3

Do đó:

r

a 3
 SA  a 3  z
2

MN  MK 2  NK 2 

uuuur uuuu
r uuur 1 u
r r r 1u
r
r 1u
r 1r
KM  AM  AK  y  z   x  y    x  y  z
2
3 
6
2

Ta có:
uuu
r uuur uuu
r u
r 3 r r 3 r u
r r
SQ  AQ  AS   y  x  z  x  y  z
4 
4

Lại có:





Khi đó:
uuuur uuu
r  r 1u
r 1 r  3 r u
r r
KM .SQ    x  y  z  x  y  z 
6
2  4


r
u
r
r
3 2 1 2 1 2
3
1
1
19 2
  x  y  z   a 2  .4a 2  .3a 2 
a
4
6
2
4
6

2
12
2

uu
r
r r
uuuur
9 2
11
3r u
a 67 u
SQ   x  y  z  
a  4a 2  3a 2  a
KM  KM 
16
4
4

6 ,
Và:

19 2
uuuu
r uuu
r
a
KM .SQ
uuuu
r uuu

r
38
12
cos  KM , SQ   cos KM , SQ 


KM .SQ a 67 11a 11 67
.
6
4
Câu 9. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và B ; biết AB  BC  4a .





 ABCD  . Gọi H là
Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng
 SHD  bằng a 10 . Tính cosin góc
trung điểm của AB , biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng
giữa hai đường thẳng SC và HD .
1
2
A. 5 .
B. 5 .

5
C. 4 .

5

D. 3 .

Lời giải
Tác giả: Lê Phong; Fb: Lê Phong
Chọn C


Ta có:

 SAB    ABCD 

 SAB    ABCD   AB  SH  ( ABCD)
 SH  AB


.

CK  HD
 CK   SHD 

CK

SH
 d (C , ( SHD))  CK  a 10 .
CK

HD

K
Kẻ

tại , ta có:
Ta có: CH 

BC 2  BH 2  a 20  HK  CH 2  CK 2  a 10  CK  HK .



·
·
·
Do đó tam giác CHK vng cân tại K  KHC  45  DHC  45  tan DHC  1

Tam giác

BHC vuông tại B nên

·
tan BHC


BC
2
BH

·
·
tan BHC
 tan CHD
·
·

·
tan BHD
 tan BHC
 CHD

 3
·
·
1  tan BHC
.tan CHD
và





AD
·
·
·BHD  ·AHD  180  tan AHD   tan BHD  3  AH  3  AD  6a
Mà
Gọi M , E lần lượt là giao điểm của HD với AC và BC .
Khi đó AEBD là hình bình hành nên EB  AD  4a  EC  10a .

AD AM 6a 3
3
3
3
3a 2



  AM  MC  AC  .a 32 
5
8
8
2
Ta có: AD // EC  EC MC 10a 5
Trong mặt phẳng

 ABCD  , kẻ CN

song song HD , với N  AB . Khi đó góc giữa hai đường

thẳng SC và HD bằng góc giữa SC và CN .

3
10
4
AH  HN  HN  a  BN  a
5
3
3 và
Ta có:
208
4 10
SN  SH 2  HN 2 
a; CN  BN 2  BC 2 
a.
3
3

Áp dụng định lý côsin trong tam giác SCN , ta có:
Vậy

·
cos  SC , HD   cos  SC , CN   cos SCN


·
cos SCN


5
.
4

SC 2  CN 2  SN 2
5

.
2 SC.CN
4


Câu 10. Cho hình hộp ABCD. ABC D , ABC D là hình chữ nhật tâm H , AD  2a , AB  2 3a ,

H là hình chiếu vng góc của A trên mặt phẳng  ABC D  , AH  2 3a . Gọi  là góc giữa
hai đường thẳng AD và DB . Tính cos  .
A.

cos  

1
2.

B.

3
4 .

cos  

C.

3
2 .

cos  

D.

cos  

6
8 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Phùng ; Fb: Phùng Nguyễn
Chọn D

Bước 1: Xác định góc giữa hai đường thẳng AD và DB

Kẻ đường thẳng d qua D , song song với AD , cắt AD tại E.
Suy ra

  ·AD, DB   ·DE , DB 

.

Bước 2: Tính cos 
Kẻ đường thẳng  qua H , song song với AD , cắt AB tại F .
Lấy điểm I sao cho ADIH là hình bình hành.
AH   ABC D    DI   ABC D   DI  IB
Suy ra DI // AH , mà
.

Ta có

DE  AD 

AH  HD
2

2

 2 3a 







2

  2a   4 a
2

2

 42  2 3 .a  2 7a




EB  A E  A B
2

2

IB  IF  FB
2

2

DB  DI  IB
2

2

 32 


 3

2

.a  2 3a

 2 3   2 3
2

2

.a  2 6a
.

Trong tam giác EDB , có:
·

cos EDB

DE  DB  EB 
2.DE.DB
2

2

2

 4a 

2



 
2

 2 6a  2 7 a
2.4a.2 6a



2



6
0
8


Suy ra

cos  

6
8 .

Câu 11. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a 2 và cạnh bên bằng 2a . Góc giữa

 SAC  bằng
đường thẳng SB với mặt phẳng
0
A. 60 .

0
B. 30 .

0
C. 90 .

0
D. 45 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Thủy ; Fb: Camtu Lan
Chọn B

SO   ABCD 
Gọi O  AC  BD . Ta có S . ABCD là hình chóp tứ giác đều suy ra
.

 SO   ABCD 
 SO  BD

BD

ABCD



Vì 
.

 BD  SO

 BD  AC   ABCD là hình vng 
 BD   SAC 

SO
,
AC

SAC



 SO  AC   O
Có 
.

 SAC  là đường thẳng SO .
Suy ra hình chiếu vng góc của đường thẳng SB lên mặt phẳng

 SAC  bằng góc giữa hai đường thẳng SB và SO và bằng
Do đó góc giữa SB và mặt phẳng
·
góc BSO .
Có

BO 

BD a 2 . 2

a
2
2
.

 SO   ABCD 
 SO  OB

OB

ABCD



Vì 
.
Xét tam giác SOB có
Ta có

·
sin BSO


BO a 1


0

SB 2a 2 suy ra BSO  30 .


SA   ABCD 
Câu 12. Cho hình chóp S . ABCD có
và SA  a 3 . Đáy ABCD là hình chữ nhật có
AB  a, AD  a 3 . Gọi M là trung điểm của CD , góc giữa SA và mặt phẳng  SBM  bằng  .

tan  bằng:
A.

2
15 .

B.

4
15 .

C.

2
13 .

D.

4
13 .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Thủy ; Fb: Camtu Lan
Chọn C

Gọi K , I lần lượt là hình chiếu vng góc của A lên BM và SK .

 BM  AK

 BM  SA  Vì SA   ABCD  
 BM   SAK 

AK
,
SA

SAK



 AK  SA   A
AI   SAK 
Ta có 
. Mà
suy ra BM  AI .
 AI  BM
 AI  SK

 BM , SK  SBM  AI   SBM 




 BM  SK   K 
Ta có 
.

 SBM  là điểm I . Dó đó  bằng góc
Suy ra hình chiếu vng góc của điểm A lên mặt phẳng
·
giữa hai đường thẳng SA và SI và bằng góc ASK .
 SA   ABCD 
 SA  AK

AK

ABCD



Ta có 
.


Có

SABM  S ABCD  SAMD  SBMC  a 2 3  a 2

BM  BC 2  MC 2  3a 2 

S ABM 
Ta có

3
3
3
 a2
 a2
4
4
2 ;

a 2 a 13

4
2 .

1
2S
a2 3
2 3
AK .BM  AK  ABM 
a
2
BM
13
13
a
2
.

2 3
AK

13  2
tan ·ASK 

SA
a 3
13 .
Xét tam giác vng SAK có
Câu 13. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và B ,
AD = 2AB  2 BC  2a , SA  2 a và SA vng góc với ABCD . Gọi M là trung điểm của SB
a

 SCD  . Khi đó sin  bằng:
và  là góc tạo bởi đường thẳng MD và mặt phẳng
10
A. 24

10
B. 12 .

15
C. 24 .

15
D. 12 .

Lời giải
Tác giả: Vũ Xuân Hưng ; Fb: Vũ Hưng
Chọn A

Ta có tam giác SAB vuông tại A nên

AM 

2a
5

 AD  AB
 AD   SAB   AD  MA

Ta có:  AD  SA
. Xét tam giác MDA vuông tại A theo định


MD  AD 2  AM 2  4 a 2 

lí Pytago ta có:
d M ,  SCD  
Ta có

d B ,  SCD  



4 a 2 2 30a

5
5

SM 1


SB 2

Gọi N là giao của AB và CD . Gọi P là trung điểm AD nên ABCP là hình vng nên

CP  a  CP 

1
AD
2
. Ta có CP  AD và AC  BD (hai đường chéo hình vng), mặt

khác BP //CD . Do đó tam giác ACD vuông tại C nên tam giác ACN vuông

 SCD  tại N nên
tại C , mặt khác BC  AN nên B là trung điểm AN . Ta có AB giao
d B ,  CSD  
d A, SCA 



NB 1
1
  d M , SCD    d  A, SCA 
NA 2
4

.

CD  AC
 CD   SAC 


 SAC  kẻ
CD

SA

Ta có
. Trong

1
AH  SC  AH   SCD   d  A, SCD   AH  d  M , SCD    AH
4
.
2a
Xét tam giác SAC vuông tại A nên AH  3
Do đó

sin  

d M , SCD  
MD



10
1AH
4 MD = 24

SA   ABCD  SA  a 2 ABCD
Câu 14. Cho hình chóp S . ABCD có

,
,
là hình thang vng tại A, B
và 2 AB  2 BC  AD  2a . Gọi O  AC  BD , M là trung điểm SB . Tính sin góc giữa OM

và

 SCD  .

2 35
A. 35 .

35
B. 35 .

3 35
C. 70 .

35
D. 70 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Huyền ; Fb:Nguyễn Huyền.
Chọn D


Trong

 SBD  , gọi

I  OM  SD  OM   SCD   I

.

Ta có BC //AD , áp dụng định lý Ta – let ta được:

OB OC BC 1



OD OA AD 2
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SBD có cát tuyến OMI ta có:

BO DI SM
1 DI
DI
. .
 1  . .1  1 
2
OD IS MB
2 IS
IS
.

SAD vng tại A có SA  a 2, AD  2a  SD  a 6 .
Do đó

DI 

Mặt khác:

3
a 6
SD 
2
2 .

d  O,  SCD   1
CO 1
1
 
  d  O,  SCD    d  A,  SCD  
CA 3
3
d  A,  SCD   3

.

Lại có ABCD là hình thang vng tại A, B và 2 AB  2 BC  AD nên AC  CD  a 2 do đó
AC  CD mà CD  SA  CD   SAC  .
CD   SBC 
Kẻ AH  SC , có CD  AH ( do
).
 AH   SCD   d  A,  SCD    AH

.

Xét tam giác SAC vng tại A có SA  a 2, AC  a 2 , AH là đường cao:

1

1
1
1
1
1


 2 2  2
2
2
2
AH
AS
AC
2a 2a
a
 AH  a


 d  O,  SCD   

1
a
AH 
3
3.

Xét tam giác SBD có:
SD  SA2  AD 2  2a 2  4a 2  a 6, SB  SA2  AB 2  2a 2  a 2  a 3

BD 

AD 2  AB 2  4a 2  a 2  a 5 .


Xét tam giác DIO có:

DI  2 SD  2a 6, DO 

2
2
DB  a 5.
3
3

Do đó:
SD 2  BD 2  SB 2 ID 2  OD 2  OI 2

2.SD.BD
2.ID.OD
2
20a
24a 2 
 OI 2
2
2
2
6a  5a  3a
9



.
2
2.a 6.a 5
2.2a 6. a 5
3
236 2
a  OI 2
140a 2
2 a 35
8 9
 OI 2 
 OI 
4 2
9
3
a
3

cos SDB  cos IDO 

Mặt khác:
sin  OM ,  SCD    sin  OI ,  SCD   

d  O,  SCD  
OI



a

3
2a 35
3



35
70

.

Câu 15. Cho hình vng ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vng góc với
SAD 
nhau. Tính sin góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng 
.
3
2
6
A. 3 .
B. 2 .
C. 4 .

3
D. 4 .

Lời giải
Chọn C

SI   ABCD 
Gọi I là trung điểm của AB . Khi đó

.
 AD  AB

 AD   SAB 
AD   SAD 
SAD    SAB 
Ta có  AD  SI
mà
suy ra 
.
SH   SAD 
Dựng BH  SA tại H suy ra
.


 SAD  kẻ Hx / / AD . Trong mặt phẳng  BC , Hx  qua C kẻ đường thẳng
CK   SAD 
song song với BH cắt Hx tại K thì
. Suy ra SK là hình chiếu vng góc của
·
SC trên mặt phẳng  SAD  nên góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  SAD  là góc CSK
.
Trong mặt phẳng

3a 2 5a 2
a 3
2
2
SC


SI

IC


a 2
BH  CK 
4
4
SCI
2
Ta có
. Trong tam giác
có
.
a 3
CK
6
·
sin CSK

 2 
SC a 2
4
Suy ra
Câu 16. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có cạnh đáy bằng a , cạnh bên AA  a . Gọi M ,
a
PB 
N lần lượt là trung điểm của BB , BC  . Lấy điểm P thuộc AB sao cho
4 . Tính tan góc

MNP 
giữa đường thẳng AP và mặt phẳng 
1
A. 2 .
B. 2 .

1
C. 3 .

D. 3 .

Lời giải
Chọn A

Gọi H , K lần lượt là trung điểm của AB .
Khi đó ta có HB / / PM , HB  AM . Suy ra AM  MP (1)
AK   BCB 
Mặt khác ta có BC   MK , BC   AK (vì
)
 BC    AMK   MN  AM
(2)

AM   MNP 

Từ (1) và (2) suy ra
·
góc APM .

MNP 
. Vậy góc giữa đường thẳng AP và mặt phẳng 

là

2

5
a
AM  AB  MB  a    
a
2
2
Ta có
2

2

2

2

2

5
a a
MP  BM  BP       
a
4
2  4
2

2

AM
2
PM
Suy ra
.
Câu 17. Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình vng, SAB là tam giác đều và nằm trong mặt
phẳng vng góc với đáy. Gọi M là trung điểm BC . Gọi  góc hợp bởi đường thẳng SA và
tan ·APM 

mặt phẳng
A. 30 .

 SDM  . Tính  .
B. 60 .

C. 55 .

D. 45 .

Lời giải
Tác giả: Lê Hoàng Khâm; Fb: Lê Hoàng Khâm
Chọn D

+ Khơng mất tính tổng qt, đặt AB  2 .
SN  AB  SN   ABCD 
+ Gọi N là trung điểm AB suy ra
.

+ Gọi

h  d  A,  SDM    sin  

h
SA .

Gọi I  DM  CN , J  AB  DM .

d  A,  SDM  

+ Ta có

d  N,  SDM  



AJ 4

NJ 3

4
 h  d  A,  SDM    d  N,  SDM  
3
.

·
·
+ Ta có CNB  DMC  NCB  MDC
·

·
·
·
·
 NCB
 DMC
 MDC
 DMC
 180  MCD
 90
 DM  CN  DM   SNC  .
SNI  NH   SDM 
+ Gọi NH là đường cao

 d  N,  SDM    NH

.

+ NIJ đồng dạng MBJ

 NI 



NI
NJ

MB MJ

NJ

NJ
3
3
.MB 
.MB 
.1 
2
2
2
2
MJ
5
MB  BJ
1 2

+ SAB là tam giác đều cạnh bằng 2  SN  3