Tài liệu Đề Thi Thử Đại Học Khối A Toán 2013 Trường Bỉm Sơn - Lần 1 docx

1
SỞ GD VÀ ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT BỈ M SƠN
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT I NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán - Khối A
(Thời gian làm bài: 180 phút)
P h ần I: Phần chung cho tất cả các thí sinh (7,0 điểm)
Câu I. (2 điểm) Cho hàm số
(
)
Cxxy 43
23
+−=
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Viết phương trình đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt M(2; 0), N, P sao cho
tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau.
Câu II. (2 điểm)
1. Giải phương trình:
(
)
2 cos sin
1
tan cot 2 co t 1
x x
x x x
−
=
+ −
.
2. Giải hệ phương trình:
2 2

2 2
21 1
21 1
x y y
y x x

+ = − +


+ = − +


Câu III.
(1
đ
i
ể
m) Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
3 2
3
3 5 8 36 53 25
x x x x
− = − + −
Câu IV.
(1
đ

i
ể
m) Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình vuông c
ạ
nh b
ằ
ng a, SA vuông góc
v
ớ
i
đ
áy. Góc t
ạ
o b
ở
i SC và m
ặ
t ph
ẳ
ng (SAB) b
ằ
ng 30
0
. G
ọ
i E là trung
đ
i

ể
m c
ủ
a BC. Tính th
ể
tích
kh
ố
i chóp S.ABCD và kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng DE, SC theo a.
Câu V.
(1
đ
i
ể
m) Cho các s
ố
d
ươ
ng x, y, z th
ỏ
a mãn
3

xy yz zx
+ + =
. Chứng minh rằng:
( )( )( )
1 4
3
2xyz x y y z z x
+ ≥
+ + +

P h ần II: Phần riêng (3 điểm): thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần.
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VIa.(2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD tâm I(2; 1) và AC = 2BD.
Điểm
1
0 ;
3
M
 
 
 
thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng AB,
đ

i
ể
m N(0; 7) thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng CD. Tìm t
ọ
a
độ

đỉ
nh B
bi
ế
t B có hoành
độ
d
ươ
ng.
2. Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ

t
ọ
a
độ
Oxy, cho Elip có ph
ươ
ng trình chính t
ắ
c
( )
2 2
: 1
25 9
x y
E
+ =
.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng song song v
ớ
i Oy và c
ắ
t (E) t

ạ
i hai
đ
i
ể
m A, B sao cho AB = 4.
CâuVIIa.
(1
đ
i
ể
m) Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a x
5
trong khai tri
ể
n bi
ể
u th
ứ
c
( ) ( )
2
2
1 2 1 3

n n
P x x x x
= − + + , biết
rằng
2 1
1
5
n
n n
A C
−
+
− =
.
B. Theo chương trình nâng cao.
Câu VIb.(2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 22, biết rằng
các đường thẳng AB, BD lần lượt có phương trình là
3 4 1 0
x y
+ + =
và
2 3 0
x y
− − =
. Tìm tọa độ
các đỉnh A, B, C, D.
2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình chính tắc của Elip (E) biết rằng có một
đỉnh và hai tiêu điểm của (E) tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) là
(

)
12 2 3
+
Câu VIIb. (1 điểm) Tìm số nguyên dương n sao cho:
2
(
)
1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2. 3.2 . 4.2 . 2 1 2 . 2013
n n
n n n n n
C C C C n C
+
+ + + + +
− + − + + + =

………………… Hết………………….
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI H ỌC LẦN I KHỐI A
Câu Nội dung Điểm
(
)
Cxxy 43
23
+−=
+ Tập xác định: D =
ℝ
+ Giới hạn: l i m , l i m
x x
y y

→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
0.25
+ Đaọ hàm
2
0
' 3 6 ; ' 0
2
x
y x x y
x
=

= − = ⇔

=


BBT:
x -
∞
0 2 +
∞
y ’ + - +
y
-
∞
4
0
+

∞
0.25
Hàm số đồng biến trên các khoảng
(
)
(
)
;0, 2 ;
−∞ +∞
, nghịch biến trên khoảng
(
)
0 ; 2
Hàm số đạt cực đại tại x = 0,
4
CD
y
=
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2,
0
CT
y
=
0.25
I.1
+ Đồ thị: Đồ thị hàm số đi qua điểm (-1; 0) và nhận điểm I(1; 2) làm tâm đối xứng
8
6
4
2

2
4
6
15 10 5 5 10 15
-1
1 2

0.25
Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(2; 0) và có hệ số góc k là:
(
)
2−= xky
+ Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:
(
)
432
23
+−=− xxxk
( )
( )
( )



=−−−=
==
⇔=−−−−⇔
02
2
022

2
2
kxxxg
xx
kxxx
A
0.25 I.2
+ (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P
(
)
0
=
⇔
xgpt
có hai nghiệm phân biệt
0.25
3
khác 2
( )
(*)0
4
9
02
0
≠<−⇔



≠
>∆

⇔ k
g
+ Theo định lí viet ta có:



−−=
=+
2.
1
kxx
xx
NM
NM
+ Các tiếp tuyến tại M, N vuông góc với nhau
(
)
(
)
1'.' −=⇔
NM
xyxy
( ) ( )
3
223
0118916363
222
±−
=⇔=++⇔−=−−⇔ kkkxxxx
NNMM

(th
ỏ
a(*))
0.5
(
)
(
)
2 cos sin 2 cos sin
1 1
sin cos 2 cos cos cos sin
1
cos sin 2 sin cos .sin2 sin
x x x x
pt
x x x x x x
x x x x x x
− −
⇔ = ⇔ =
−
+ −
0.25
Điều kiện:
sin 2 0
2
cos sin 0
4
k
x
x

x x
x k
π
π
π

≠

≠


⇔
 
− ≠


≠ +


0.25
Khi đó pt
( )
2
sin2 2 sin c o s 2
2 4
x x x x k k
π
π
⇔ = ⇔ = ⇔ = ± + ∈
ℤ

0.25
II.1
Đối chiếu với điều kiện, pt đã cho có nghiệm là
( )
2
4
x k k
π
π
= − + ∈
ℤ
0.25
( )
( )
2 2
2 2
21 1 1
21 1 2
x y y
y x x

+ = − +


+ = − +


Đ
i
ề

u ki
ệ
n:
1
1
x
y
≥


≥


Tr
ừ
hai v
ế
c
ủ
a pt (1) và (2) cho nhau ta
đượ
c:
( )( )
( )( )
( )
( )
2 2 2 2
2 2
2 2
21 21 1 1

0
1 1
21 21
1
0
1 1
21 21
x y y x y x
x y x y
x y
x y x y
x y
x y
x y
x y x y
x y
x y
x y
+ − + = − − − + −
− +
−
⇔ + + − + =
− + −
+ + +
 
+
 
⇔ −+ + + =
 
− + −

+ + +
 
⇔ =
0.5
II.2
Thay x = y vào pt (1) ta
đượ
c:
( )( )
( ) ( )
2 2 2 2
2
2
2
21 1 21 5 1 1 4
4 2
2 2
1 1
21 5
1 1
2 2 1 0 2
1 1
21 5
x x x x x x
x x
x x
x
x
x x x
x

x
+ = − + ⇔ + − = − − + −
− −
⇔ = + + −
− +
+ +
 
 
⇔ − + + − = ⇔ =
 
 
− +
+ +
 
 
 
V
ậ
y pt có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t x = 2
0.5
III
( ) ( )
3
3
3 5 2 3 2 *
pt x x x⇔ − = − − +

Đặt
( )
3
3
2 3 3 5 2 3 3 5
y x y x
− = − ⇔ − = −
0.5
4
Ta có hệ phương trình:
( ) ( )
( )
3
3
2 3 2 5 **
2 3 3 5
x y x
y x

− = + −


− = −


Tr
ừ
v
ế
v

ớ
i v
ế
hai ph
ươ
ng trình c
ủ
a hê ta
đươ
c:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2
2 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 2
2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 0
x y x x y y x y
x y x x y y
x y
 
− − + − − + − = − −
 
 
⇔ − − + − − + − + =
 
⇔ =
0.5
Thay x=y vào (**) ta
đượ
c:

(
)
3
3 2
1 2 3
2 3 3 5 8 36 51 22 0
5 3 5 3
2 , ,
4 4
x x x x x
x x x
− = − ⇔ − + − =
+ −
⇔ = = =
M
H
I
E
C
A
D
B
S
K
T
Vì
( )
CB AB
CB SAB
CB SA

⊥

⇒ ⊥ ⇒

⊥

SB là hình chi
ế
u c
ủ
a SC lên mp(SAB)
( )

(
)

(
)

0
, , 30
SC SAB SC SB CSB⇒ = = =
0
.cot30 3 2
SB BC a SA a
⇒ = = ⇒ =
0.25
Vậy t h ể tích khối chóp S.ABCD là:
3
2

.
1 1 2
. 2. ( )
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V SAS a a dvtt
= = =
0.25
+ T
ừ
C d
ự
ng CI // DE
2
a
CE DI
⇒ = =
và
(
)
/ /
DE SCI
(
)
(
)
(
)
, ,

d DE SC d DE CSI
⇒ =
Từ A kẻ AK CI⊥ cắt ED tại H, cắt CI tại K
Ta có:
( ) ( ) ( )
SA CI
CI SAK SCI SAK
AK CI
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

theo giao tuyến SK
Trong mặt phẳng (SAK) kẻ
(
)
HT AK HT SCI
⊥ ⇒ ⊥

(
)
(
)
(
)
, ,
d DE SC d H SCI HT
⇒ = =

0.25
IV
+ Ta có:
2
2
3
.
1 1 . 3
2
. .
2 2
5
2
ACI
a a
CD AI a
S AK CI CD AI AK
CI
a
a
= = ⇒ = = =
 
+
 
 
0.25
5
Kẻ KM//AD
1 1
( )

2 3
5
HK KM a
M ED HK AK
HA AD
∈ ⇒ = = ⇒ = =
L ại c ó:

2
2
2.
. 38
5
sin
19
9
2
5
a
a
SA HT SA HK
SKA H T
SK HK SK
a
a
= = ⇒ = = =
+
Vậy
( )
38

,
19
d ED SC =
Áp d
ụ
ng b
đ
t Cosi cho 3 s
ố
d
ươ
ng
( )( )( )
1 1 4
, ,
2 2
xy z x y z x y y z z x
+ + +
ta
đượ
c:
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
2 2 2
3
1 4 1 1 4
2 2
3
xyz x y y z z x xy z xyz x y y z z x
x y z x y y z z x

+ = + +
+ + + + + +
≥
+ + +
0.25
Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2
x y z x y y z z x xyz zx yz xy zx yz xy
+ + + = + + +

Áp d
ụ
ng b
đ
t Cosi cho 3 s
ố
d
ươ

ng xy, yz, zx:
( )
3
2 2 2
. . 1 1 1 1
3
xy yz zx
xy yz zx x y z xyz
+ +
 
≤ = ⇒ ≤ ⇒ ≤
 
 
Áp dụng bđt Cosi cho 3 số dương
, ,
zx yz xy zx yz xy
+ + +
:
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )
3
8 2
3
zx yz x y zx yz xy
zx yz xy zx y z xy
 
+ + + + +
+ + + ≤ =
 

 
0.5
V
Từ (1) và (2) suy ra:
(
)
(
)
(
)
2 2 2
8
x y z x y y z z x
+ + + ≤
Vậy
( )( )( )
3
1 4 3
3
2
8
xyz x y y z z x
+ ≥ =
+ + +
.
0.25
I
A
C
B

D
M
N
L
Gọi N’ là điểm đối xứng với N qua I
(
)
' 4 ; 5
N
⇒
−
0.25
Phương trình đường thẳng AB: 4x + 3y – 1 = 0
Khoảng cách từ I đến AB là:
2 2
4.2 3.1 1
2
4 3
d
+ −
= =
+
0.25
VIa
1
Vì AC = 2BD nên AI = 2 BI, đặt BI = x, AI = 2x, trong tam giác vuông ABI có:
0.25
6
2 2 2
1 1 1

5 5
4
x BI
d x x
= + ⇒ = ⇒ =

Điểm B là giao điểm của đường thẳng 4x+3y-1=0 với đường tròn tâm I bán kính
5
Tọa độ B là nghiệm của hệ:
( ) ( )
( )
( )
2 2
2
1 4
1 4
3
4 3 1 0
1
13
1
2 1 5
25 20 5 0
1
5
1 ; 1
x
y
x
x y

y
x
x
y
x y
x x
x loai
B
−

=

−

+ − =


=
=

 
⇔ ⇔ ⇔
=

   
= −
− + − =




 

− − =



= −


⇒ −
0.25
Gọi pt đường thẳng song song với Oy là (d): x = a (với
0
a
≠
). Tung độ giao điểm
của (d) và (E) là:
( )
2 2 2
2 2
25 3
1 9. 25 5
25 9 25 5
a y a
y y a a
−
+ = ⇔ = ⇔ = ± − ≤
0.25
Vậy
2 2 2

3 3 6
; 25 , ; 25 25
5 5 5
A a a B a a AB a
   
− − − ⇒ = −
   
   
0.25
Do
đ
ó
2 2
6 100 5 5
4 25 4 25
5 9 3
AB a a a= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ± (th
ỏ
a mãn
đ
k)
0.25
VIa.
2
V
ậ
y p h
ươ
ng trình
đườ

ng th
ẳ
ng c
ầ
n tìm là
5 5 5 5
,
3 3
x x= = −
0.25
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
2,n n
≥ ∈
ℕ
Ta có:
( )
(
)
2 1
1
2
1
5 1 5
2
2( )

3 10 0
5
n
n n
n n
A C n n
n loai
n n
n
−
+
+
− = ⇔ − − =
= −

⇔ − − = ⇔

=

0.5
VII
a
Với n = 5 ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
5 10
5 10
2 2
5 10
0 0
1 2 1 32 3

k l
k l
k l
P x x x x x C x x C x
= =
= − + + = − +
∑ ∑

⇒
số hạng chứa x
5
là
( ) ( ) ( )
4 3
1 2 7 5 5
5 10
. . 2 . 3 16.5 27.120 3320
x C x x C x x x
− + = + =
Vậy h ệ số của x
5
trong biểu thức P đã cho là 3320
0.5
+ Tọa độ B AB BD= ∩ là nghiệm của
hệ phương trình:
( )
3 4 1 0 1
1 ; 1
2 3 0 1
x y x

B
x y y
+ + = =
 
⇔ ⇒ −
 
− − = = −
 
+
(
)
. 22 1
ABCD
S AB AD= =
C
A
D
B
+ Ta có:

( )

( )
2
2 2 2
3.2 4.1
211
cos tan 2
2
5 5

3 4 2 1
AD
ABD ABD
AB
−
= = ⇒ = =
+ + −
Từ (1) và (2) ta có: AD =11; AB = 2 (3)
0.25
VIb
1
+ Vì
(
)
; 2 3
D BD D x x
∈ ⇒ − +
. Ta có:
( ) ( )
11 11
; 4
5
x
AD d D AB
−
= =
0.25
7
Từ (3) và (4) suy ra
6

11 11 55
4
x
x
x
=

− = ⇔

= −


+ Với x = 6
(
)
6 ; 9D
⇒ ⇒
phương trình đường thẳng AD đi qua A và vuông góc với
AB là
: 4 3 3 0
x y
− + =
3 1 38 39
; ;
5 5 5 5
A AD AB C
   
⇒ = ∩ = − ⇒
   
   

0.25
+ V
ớ
i x = -4
(
)
4 ; 11D
⇒ − − ⇒
ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng AD
đ
i qua A và vuông
góc v
ớ
i AB là
: 4 3 17 0
x y
− −
=
13 11 28 49
; ;
5 5 5 5
A AD AB C
   
⇒ = ∩ = − ⇒ − −

   
   
0.25
G
ọ
i pt Elip c
ầ
n tìm là:
( )
2 2
2 2
1 0
x y
a b
a
b
+ = > > v
ớ
i hai tiêu
đ
i
ể
m là
(
)
1
;0,
F c−

(

)
2
;0
F c
(
)
2 2 2
, 0
c a b c
= − >
và hai đinh trên trục nhỏ là:
( ) ( )
1 2
0 ; , 0 ;
B b B b
−
0.25
Theo giả thiết ta có hệ:
( )
( )
( )
2 2 2
2 2
2 2
3
6
4
3
2 3 3 3
2

3
3 2 3
4 12 2 3
c a b
b a
a
b c b c b
c
a b
a b


= −
=

=





= ⇔ = ⇔ =
  
  
=
+ = +

 
+ = +




0.5
VIb
2
Vậy (E):
2 2
1
36 27
x y
+ =
0.25
(
)
1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2. 3.2 . 4.2 . 2 1 2 . 2013
n n
n n n n n
C C C C n C
+
+ + + + +
− + − + + + = (*)
Xét khai triên:
( )
2 1
1
n
x
+

+ =
0 1 2 2 3 3 4 42 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

n n
n n n n n n
C xC x C x C x C x C
+ +
+ + + + + +
+ + + + + +
Đạo hàm cả hai vế của khai triển ta được:
( )( )
2
2 1 1
n
n x
+ + =
(
)
1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 3 4 2 1
n n
n n n n n
C xC x C x C n x C
+
+ + + + +
+ + + + + +
0.5
VII

Thay x=-2 vào ta được:
(
)
1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2.2. 3.2 . 4.2 . 2 1 2 .
n n
n n n n n
n C C C C n C
+
+ + + + +
+ = − + − + + +
Do đó (2)
2 1 2013 1006
n n
⇔ + = ⇔ =
0.5
………………… Hết………………….