Tổng ôn toán cuối kì 12 có đán án chi tiết

ĐỀ ƠN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ II
MƠN: TỐN 12 – ĐỀ SỐ: 7

Câu 1:

()

Cho hàm số y = f x liên tục trên đoạn a; b . Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

()

(

)

hàm số y = f x , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b a  b là
A. S =  f ( x ) dx .

B. S =   f ( x ) dx . C. S =  f ( x ) dx .

D. S =   f 2 ( x ) dx .

A. n4 = ( 2; 3; −1) .

B. n3 = ( 2; −1; −1) .

C. n1 = ( 2;1; 3) .

D. n2 = ( 2; −1; 3) .

C. 8 .

D. 10 .

b

a

Câu 2:
Câu 3:
Câu 4:

Câu 6.
Câu 7.

b

a

a

b

0

Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có phương trình 2x − y + 3z −1 = 0?
Mơđun của số phức z = 3 − i bằng
A. 2 2 .
B. 10 .
Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ex là

e x+1
+C .
C. xex−1 + C .
D. xe x + C .
x +1
Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( −1;2;3) , B ( 3;4; −3) . Trung điểm của đoạn thẳng AB
có tọa độ là
A. (1;3;0) .
B. ( 2;1; −3) .
C. ( 2;6;0) .
D. ( −2; −1;3) .
A. ex + C .

Câu 5.

b

B.

Trong không gian Oxyz , mặt cầu ( S ) : x2 + y2 + z 2 − 4x + 6 y − 3 = 0 có bán kính bằng

A. 55 .
B. 10 .
C. 4 .
D. 16 .
Trong không gian Oxyz , vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
x +1 y − 2 z − 2
?
:
=

=
3
−3
5
A. b = ( 3;3;5) .
B. v = (1; −2; 2) .
C. u = ( −1;2;2 ) .
D. a = ( 3; −3;5) .

Cho hai số phức z1 = 1 − 2i và z2 = 3 − 4i . Tìm số phức z = z1 − 2 z2 .
A. z = −5 −10i .
B. z = −2 + 2i .
C. z = 4 − 6i .
D. z = −5 + 6i .
Câu 9. Cho hai số phức z1 = 5 − 4i và z2 = −3 + i . Phần thực của số phức w = z1 + z2 bằng
A. −3 .
B. 2 .
C. −2 .
D. 8 .
Câu 10. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên
và a là một số dương. Trong các khẳng định sau, khẳng
Câu 8.

định nào đúng?
a

A.



a

f ( x ) dx = a2 .

B.

a



a

f ( x ) dx = 0 .

C.



a

f ( x ) dx = 1 .

D.

a

a

 f ( x ) dx = 2a .
a

Câu 11. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình 3z − 4z + 7 = 0 .Tính P = z1 + z2 .
7
4
−7
A. P = .
B. P = .
C. P =
.
3
3
3
Câu 12. Cho hàm số f ( x) = x 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
2

4
D. P = − .
3

x3
x2
2
+C .
B.  x dx = + C .
C.  x2dx = 2x + C .
D.  x2dx = x3 + C .
3
2
Câu 13. Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = x3 − x, y = 2x và các đường x = −1,
x = 1 được xác định bởi công thức nào sau đây?

A.

2
 x dx =

A. S =

1

1

 (3x − x ) dx .

−1
0

(

)

1

(

)

C. S =  x3 − 3x dx +  3x − x3 dx.
−1

(

)

B. S =  3x − x3 dx.

3

0

−1
0

(

1

)

(

)

D. S =  3x − x3 dx +  x3 − 3x dx.
−1

0

Câu 14. Trong không gian Oxyz , tâm của mặt cầu ( S ) : ( x − 3) + ( y +1) + ( z − 5) = 5 có toạ độ là
2

A. ( 3; −1;5) .

B. ( −3;1; −5) .

C. ( 3;1;5) .

2

2

D. ( −3; −1; −5) .

Câu 15. Trong không gian Oxyz , cho các điểm A(3;2;0) , B (1;4;3) . Tọa độ vectơ AB là


A. ( 2;2;3) .

B. ( −2;2;3) .

C. ( 2; −2; −3) .

D. ( 2; −2;3) .

Câu 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm M ( −2;5) biểu diễn số phức nào sau đây?
A. 5 + 2i .

B. 2 + 5i .

C. 5 − 2i .

D. −2 + 5i .

C. −1 .

D.


2

Câu 17. Giá trị của  sin xdx bằng
0

B. 1 .

A. 0 .

Câu 18. Cho số phức z = −3 + 4i . Môđun của số phức z bằng
A. 0 .
B. 5. .
C. 3 .


2

.

D. 2 .

2

 ( x + 3)

Câu 19. Tích phân

2

dx bằng

1

A.

61
.
3

B. 4 .

C.

Câu 20. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) =

D. 61 .

2
ln x
1
 ln 2 x + 1 ; F (1) =  Giá trị của  F ( e ) bằng
x
3

1
8
2 2
C. 
D. 

9
9
3
Câu 21. Cho số phức z = 3 + 2i . Phần ảo của số phức z bằng
A. 2 .
B. −2i .
C. −2 .
D. 2i .
Câu 22. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2x ( 3 + 2ln x ) và F (1) = 3 . Khẳng định nào
sau đây đúng?
A. F ( x ) = 2x2 + 2x2 ln x + 1.
B. F ( x ) = 2x2 + 2x2 ln x −1 .
A.

1

3

61
.
9

B.

C. F ( x ) = 4x2 + 2x2 ln x .

D. F ( x ) = 4x2 + 2x2 ln x −1 .

Câu 23. Cho mặt phẳng ( P ) : 2x + y − z + 3 = 0 và đường thẳng d :

( P)

thì tổng 2m + n bằng
A. −1.

x − 2 y − n z −1
=
=
. Khi d nằm trong
m
3
−2

C. −11.

B. 1.

D. 11.

Câu 24. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z2 − z +1 = 0 và M , N lần lượt là hai điểm biểu
diễn của z1 , z2 trên mặt phẳng tọa độ Oxy . Tính T = OM + ON .

3

14
2 3
2
.
B. T = .
C. T =
.
D. T =
3
3
3
3
Câu 25. Cho số phức z = a + bi ( a, b  ) thỏa mãn z +1 + 3i = zi. Tính S = a + 3b.
A. S = −5 .
B. S = 3 .
C. S = −3 .
D. S = 3 .
Câu 26. Cơng thức tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = ln 4, bị cắt bởi mặt
phẳng vng góc với trục hồnh tại điểm có hồnh độ x ( 0  x  ln 4) có thiết diện là một hình
A. T =

vng có độ dài cạnh là
A. V = 

ln 4

 xe dx.
x

xe x là

B. V =

0

ln 4



x

xe dx.

0

Câu 27. Tính mơ-đun của số phức z biết z (1 + i ) + 3i = 1
A. z = 5 .
c

Câu 28. Cho


a

f ( x )dx = 17 và

A. I = 28 .
C. I = −6 .

B. z = − 5 .
c


b

C. V =

ln 4

 xe dx.

D. V = 

x

D. z = 5 .
b

f ( x )dx = −11 với a  c  b . Tính I =  f ( x )dx
B. I = 6 .
D. I = −28 .

a

 ( xe )
0

0

C. z = −5 .

ln 4

x 2

dx.


Câu 29. Tìm số phức z biết z = ( 5 − 2i )( i + 1) .
A. z = 7 − 3i .

B. z = −7 − 3i .

2

C. z = 7 + 3i .

D. z = −7 + 3i .

2

Câu 30. Cho I = f ( x ) dx = 3 . Khi đó J = 4 f ( x ) − 3 dx bằng





0

0

A. J = 9 .
B. J = 18 .
C. J = 6 .
D. J = 4 .
2
Câu 31. Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x , trục hoành và hai đường thẳng x = 1 ,

x = 2 . Quay ( H ) quanh trục hồnh ta được khối trịn xoay có thể tích bằng (đvtt)
5
9
31
7
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
31
2
3
5


Câu 32. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên

2

và thỏa mãn

 f ' ( x ) cos

2

xdx = 10 ; f ( 0) = 3.

0


2

Tích phân

 f ( x ) sin 2xdx bằng
0

A. −13.

B. −7.

C. 7.

D. 13.

Câu 33. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 2 x là
1
1
A. cos 2 x + C .

B. − cos2x + C .
C. 2cos2x + C .
D. − cos 2 x + C .
2
2
Câu 34. Cho 3 điểm M (1;0;2) , N ( 2;1;0) , P ( 0;1;3) . Mặt phẳng ( MNP ) có phương trình là
A. 3x + y + 2z − 7 = 0 .

B. 3x + y + 2z + 7 = 0 . C. −2x + 4 y + z = 0 .

A. P = −1 .

B. P = 2 .

Câu 35. Cho số phức z = a + bi ( a, b 

Câu 36. Có bao nhiêu số phức

z

D. 5x − 3y + z − 7 = 0 .

) thỏa mãn (1 + i ) z + 2z = 3 + 2i . Tính P = a − b .
C. P = −

1
.
2

(

)

1
D. P = .
2

thỏa mãn z − 2 − 3i = 2 2 và ( z − 1) z + i là số thực?

A. 1 .
B. 0 .
C. 2 .
D. 3 .
Câu 37. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = 8 + 6i và z1 − z2 = 2. Giá trị lớn nhất của T = z1 + z2 bằng
A. 2 26.

B. 4 6.

Câu 38. Gọi d  là hình chiếu của d :
dưới đây?
A. M ( 0;0;3).
1

Câu 39. Biết

x
0

Câu 40.

2

C. 5 + 3 5.

D. 34 + 3 2.

x −1 y + 1 z − 3
trên mặt phẳng ( Oxy ) , khi đó d  đi qua điểm nào
=
=
2
−1
1

B. N ( −1;1;0).

C. P ( −3;1;0).

D. Q (3;0;0)

dx
=a ln 5 + b ln 4 + c ln 3 với a, b, c . Mệnh đề nào sau đây đúng?
+ 7 x + 12

A. a + 3b + 5c = 0.
B. a − 3b + 5c = −1.
C. a − b + c = 2.
D. a + b + c = −2.
Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z2 − 4z +13 = 0 , với z1 có phần ảo dương. Biết
số phức z thỏa mãn 2 z − z1  z − z2 , phần thực nhỏ nhất của z là

A.

B. 1

2
2

C. 9

D.

6

15
, m  . Khẳng định nào sau đây đúng?
4
1
A. m ( −2;0).
B. m ( 0;2) .
C. m ( 2;5) .
D. m ( 5;7 ) .
x +1 y − 2 z + 3
Câu 42. Cho mặt phẳng (P) : x + 2 y − 3z +1 = 0 và đường thẳng d :
=
=
 Gọi (Q) là mặt
1
1
−1
phẳng chứa d và vng góc với ( P ) . Biết rằng n = (2; b ; c) là một vectơ pháp tuyến của (Q) .

Khẳng định nào sau đây đúng?
A. b + c = −6 .
B. b + c = −24 .
C. b + c = 2 .
D. b + c = 12 .
Câu 41. Cho biết kết quả  ( x + m)ln xdx = 8ln 2 −


Câu 43. Cho đường thẳng d :

x −1 y z − 2
. Phương trình của mặt phẳng đi qua M ( 2;1;0) và chứa
= =
2
1
2

đường thẳng d là
A. 4x − 6 y − z + 2 = 0 .
Câu 44. Cho đường thẳng d :

B. 4x − 6 y − z − 2 = 0 . C. x − 2 y = 0 .

D. 2x + y + 2z − 5 = 0 .

x −1 y − 2 z
=
= và điểm A( 2;1;1). Gọi  là đường thẳng có một véc tơ
1
2

1

chỉ phương là u = ( 2; b; c ) và đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ O đến  và khoảng cách từ d đến

 lớn nhất. Tổng b + c bằng
A. −3.

B. 3.

D. −4.

C. 4.

Câu 45. Cho mặt cầu ( S ) : x2 + y 2 + z 2 = 3 . Một mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) và cắt các tia

Ox, Oy, Oz tương ứng tại A, B, C . Giá trị của biểu thức
A.

1
.
3

1
.
3

B.

C.

1
1
1
bằng
+ 2+
2
OA OB OC 2

1
.
9

D.

3.

Câu 46. Cho số phức z thỏa mãn z −1 + 2i = z + 5i và w = iz +10 . Giá trị nhỏ nhất của w đạt được khi

w = a + bi . Giá trị của P = a2 − b2 bằng
A. −18 .
B. 12 .

C. 128 .

D. 160 .

Câu 47. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên 0;2 thỏa mãn

2

  f  ( x ) + x e

x2

dx = 3 ;

0

2

f ( 2) = 4 ; f ( 0) = 0 . Biết  xf ( x ) e x dx =
2

0

bằng
A. 104 .

aeb + c
với a , b , c là các số nguyên. Khi đó a2 + b2 − c
b

B. 146 .

C. 90 .

D. 48 .



Câu 48. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên
4

quả tích phân


1
2

A. 1.

e2

 tan x. f ( cos x ) dx = 1, 
4

và thỏa mãn

0

f ( x)
dx bằng
x
B. 2.

2

e

f ( ln 2 x )

x ln x

dx = 1. Kết

C. 3.

D. 4.
x −1 y z + 1
x −1 y − 3 z + 1
Câu 49. Cho mp ( P ) : x − 2 y + 3z − 4 = 0 và hai đt d1 :
= =
, d2 :
=
=
. Mặt phẳng
1
−1
2
2
1
1
( ) song song với ( P) và cắt d1 , d2 theo thứ tự tại M , N sao cho MN = 3. Điểm nào sau đây thuộc

( ) ?

A. A(1;2;3) .

B. B ( 0;1; −3).

Câu 50. Cho hai đường thẳng d1 :

C. C ( 0; −1;3).

D. D ( 0;1;3).

x y +1 z + 3
x + 2 y −3 z
=
=
, d2 :
=
= . Gọi d là đường thẳng có véc tơ
2
1
−2
1
−3 2

→

chỉ phương u = (1;2;3) đồng thời cắt hai đường thẳng d1, d2 . Đường thẳng d đi qua điểm nào sau
đây?
A. K (1; −6;6)
B. M ( 4;1; −7 )
C. H ( −2;3;0)
D. P ( 4;10;17 )

---------- HẾT ----------

BẢNG ĐÁP ÁN
1C
11B
21C
31C
41C

2D
12A
22A
32D
42A

3B
13C
23C
33D
43B

4A
14A
24D
34A
44D

5A
15B
25A
35B
45B

6C
16D
26C
36A
46C

7D
17B
27A
37A
47A

8D
18B
28A
38C
48D

9B
19A
29A
39A
49B

10B
20D
30C
40A
50D

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 20. Biết rằng hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

ln x
 ln 2 x + 1 và thỏa mãn
x

2
1
F (1) =  Giá trị của  F ( e ) bằng
3

1

3

A.

Lời giải. Ta có

B.



2 2

3

C.

(



D.

8

9

ln x
 ln 2 x + 1dx.
x

)

Đặt t = ln 2 x + 1  t 2 = ln 2 x + 1 ⎯⎯
→tdt =

Khi đó

1

9

3

ln x
t

 ln 2 x + 1dx =  t 2dt =
x
3

ln x
dx.
x

(
+C =

ln 2 x + 1
3

) + C.
3

1
1
1
Theo giả thiết F (1) = ⎯⎯
→ + C =  C = 0.
3
3
3
Suy ra F ( x ) =

(

ln 2 x + 1

) ⎯⎯→ F (e)
3

2
8
 = 9  Chọn D.



3

5

ud ⊥ nP
m = −
⎯⎯
→
Câu 23. Lời giải. Yêu cầu bài toán  
2 . Chọn C.
M  ( P )
n = −6


2

Câu 32. Lời giải. Xét


0

u = cos2 x
du = − sin 2 xdx

.
f ' ( x ) cos xdx = 10 , đặt 

2
dv = f ' ( x ) cos xdx v = f ( x )
2


2

Khi đó 10 =  f ' ( x ) cos2 xdx = cos2 xf ( x )
0





2

2

0

0



2
0


2

+  f ( x ) sin 2 xdx
0

 10 = − f ( 0) +  f ( x ) sin 2 xdx ⎯⎯
→  f ( x ) sin 2 xdx = 10 + f ( 0 ) = 13. Chọn D.

(

)

Câu 36. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z − 2 − 3i = 2 2 và ( z − 1) z + i là số thực?
A. 1 .

B. 0 .

Giả sử z = a + bi ( a, b 

) . Ta có:

C. 2 .
Lời giải

D. 3 .

z − 2 − 3i = 2 2  ( a − 2) + (b − 3) i = 2 2  ( a − 2) + (b − 3) = 8 (*)
2

2

( z −1) ( z + i ) = zz + iz − z − i = a2 + b2 + ai − b − a + bi − i

là số thực khi a + b −1 = 0

 b = 1− a thay vào (*) ta được ( a − 2) + ( −a − 2) = 8  2a2 = 0  a = 0
Suy ra b = 1  z = i . Vậy có một số phức z thỏa đề bài.
2

Câu 37. Đáp án A.

(

Áp dụng BĐT z1 + z2  2 z1 + z2
2

2

) và kết quả

2

(

z1 − z2 + z1 + z2 = 2 z1 + z2

2

2

2

2

)

 x = 1 + 2t

Câu 38. d ' :  y = −1 − t . Chọn C
z = 0

1

dx
=a ln5 + b ln 4 + c ln3 = − ln5 + 2ln 4 − ln3
+
7
x
+
12
0
A. a + 3b + 5c = 0.
Câu 40. Chọn A
Ta có z2 − 4z +13 = 0  z1 = 2 + 3i hoặc z2 = 2 − 3i .
Gọi z = x + yi , với x, y  .

x

Câu 39.

2

( x − 2)2 + ( y − 3)2  ( x − 2)2 + ( y + 3)2
2
2
2
2
2
2
 4 ( x − 2) + ( y − 3)   ( x − 2) + ( y + 3)  ( x − 2) + ( y − 5)  16 .


Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là miền trong của hình trịn ( C ) có tâm I ( 2;5) , bán
Theo giả thiết, 2 z − z1  z − z2  2

kính R = 4 , kể cả hình trịn đó.

Do đó, phần thực nhỏ nhất của z là xmin = −2 .
2

Câu 41.

3

15

 ( x + m)ln xdx = ( 2 + 2m) ln 2 − m − 4 = 8ln 2 − 4 , m 

.

1

 m = 3 . Chọn C

x +1 y − 2 z + 3
=
=
 Gọi (Q) là mặt
1
1
−1
phẳng chứa d và vuông góc với ( P ) . Biết rằng n = (2; b ; c) là một vectơ pháp tuyến của (Q) .
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. b + c = −6 .
B. b + c = −24 .
C. b + c = 2 .
D. b + c = 12 .
Lời giải
Mặt phẳng ( P ) có một vectơ pháp tuyến là n( P) = (1;2; − 3) ,

Câu 42. Cho mặt phẳng (P) : x + 2 y − 3z +1 = 0 và đường thẳng d :

Đường thẳng d một vectơ chỉ phương của là ud = (1;1; − 1) .
Vì d  ( Q )  ud .n = 0  1.2 +1.b −1.c = 0  c = b + 2 .

 n = (2; b; b + 2) . Ta lại có nP .nQ = 0  b = −4  c = −2. Vậy b + c = −6. .

x −1 y − 2 z
=
= và điểm A( 2;1;1). Gọi  là đường thẳng có một véc tơ chỉ
1
2
1
phương là u = ( 2; b; c ) và đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ O đến  và khoảng cách từ d đến  lớn
nhất. Tổng b + c bằng
Câu 44. Cho đường thẳng d :

A. −3.

B. 3.

D. −4.

C. 4.

Lời giải. Do O, A, d cố định, gọi H là hình chiếu của A lên d , khi đó:

d(O;)  OA
 d(O;) + d(d;)  OA + AH .

 d( d;)  HA
OA ⊥ u 
OA ⊥ 

. Vậy ta có thể chọn u  = OA; HA .

Dấu " = " xảy ra  
 HA ⊥   HA ⊥ u 
Khi đó ta tìm được H (1;2;0)  HA = (1; −1;1) , OA = ( 2;1;1).

b = −1
⎯⎯
→ b + c = −4. Chọn D.
Vậy u  = OA; HA = ( 2; −1; −3)  
c = −3
( )  Ox = A ( a;0;0 )

x y z
x y z
→ ( ) : + + = 1 hay ( ) : + + −1 = 0.
Câu 45. Lời giải. Gọi ( )  Oy = B ( 0; b;0 ) ⎯⎯
a b c
a b c

( )  Oz = C ( 0;0; c )
Mặt cầu ( S ) có tâm I = ( 0;0;0) , bán kính R = 3 .
Do ( ) tiếp xúc với ( S ) nên d  I , ( ) = R 

Suy ra T =

Câu 46.

−1
1 1 1
1
= 3 2 + 2+ 2 =

.
a b c
1 1 1
3
+ +
a 2 b2 c 2

1
1
1
1 1 1 1
+
+
= 2 + 2 + 2 = . Chọn B.
2
2
2
OA OB OC
a b c 3

Cho số phức z thỏa mãn z −1 + 2i = z + 5i và w = iz +10 . Giá trị nhỏ nhất của w đạt được khi

w = a + bi . Tính P = a2 − b2
A. −18 .
B. 12 .

C. 128 .
D. 160 .
Lời giải
2

2
2
Đặt z = x + iy . Ta có z −1+ 2i = z + 5i  ( x −1) + ( y + 2) = x2 + ( y + 5)  x = −3y −10 .
Mặt

w=

w = iz + 10 = i ( x + yi ) + 10 = 10 − y − (3 y + 10) i .

khác:

(10 − y )2 + ( 3 y + 10)2 =

Ta

có

10 ( y 2 + 4 y + 20 ) = 10 ( y + 2 ) + 160  4 10 , dấu " = " xảy ra
2

khi y = −2  x = −4 . Khi đó w = 12 − 4i . Khi đó P = a2 − b2 = 128 .
Câu 47. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên 0;2 thỏa mãn

2

  f  ( x ) + x e

x2

dx = 3 ;

0

2

f ( 2) = 4 ; f ( 0) = 0 . Biết  xf ( x ) e x dx =
2

0

bằng
A. 104 .

B. 146 .
2

Xét I =  xf ( x ) e x dx
2

0

aeb + c
với a , b , c là các số nguyên. Khi đó a2 + b2 − c
b
C. 90 .
Lời giải

D. 48 .

1
2

Đặt u = f ( x )  du = f  ( x ) dx ; dv = xe x dx  chọn v = e x
2

2

2

2
2
2
1
12
1
1
12
12 2
Ta có I = f ( x ) e x −  f  ( x ) e x dx = f ( 2) e4 − f ( 0) −   f  ( x ) + x  e x dx +  xe x dx
2
20
2
2
20
20
0

3 1 2
3 1

1 9e4 − 7
3 12 2
= 2e − +  e x d ( x2 ) = 2e4 − + e x = 2e4 − + e4 − =
2 4 0
2 4
4
4
2 40
2

4

Vậy a = 9 ; b = 4 ; c = −7 suy ra a2 + b2 − c = 81+16 + 7 = 104 .


(

4

)

Câu 48. Lời giải. ● Xét A =  tan x. f cos2 x dx = 1 . Đặt t = cos2 x.
0

Suy ra dt = −2sin x cos xdx = −2cos2 x tan xdx = −2t.tan xdx ⎯⎯
→ tan xdx = −

dt
.
2t

1
2

1
f ( x)
1 f (t )
1 1 f (t )
1 1 f ( x)
Khi đó 1 = A = − 
dt = 
dt = 
dx ⎯⎯
→
dx = 2.
21 t
21 t
21 x
x
1

e2

● Xét B = 
e

f ( ln x )

2

2

2

2

x ln x

dx = 1. Đặt u = ln2 x.

2ln x
2ln 2 x
2u
dx
du
dx =
dx =
dx ⎯⎯
→
= .
x
x ln x
x ln x
x ln x 2u
4
4
4
f ( x)
1 f (u )
1 f ( x)

du = 
dx ⎯⎯
→
dx = 2.
Khi đó 1 = B = 
21 u
21 x
x
1
Suy ra du =

4

Khi đó I = 
1
2

1
4
f ( x)
f ( x)
f ( x)
dx = 
dx + 
dx = 2 + 2 = 4. Chọn D.
x
x
x
1
1

2

Câu 49. Cho mặt phẳng

( P) : x − 2 y + 3z − 4 = 0

và hai đường thẳng

d1 :

x −1 y z + 1
,
= =
1
−1
2

x −1 y − 3 z + 1
. Mặt phẳng ( ) song song với ( P ) và cắt d1 , d 2 theo thứ tự tại M , N sao cho
=
=
2
1
1
MN = 3. Điểm nào sau đây thuộc ( ) ?

d2 :

A. A(1;2;3) .

B. B ( 0;1; −3).

C. C ( 0; −1;3).

D. D ( 0;1;3).

Lời giải. Mặt phẳng ( P ) có VTPT nP = (1; −2;3) .

M  d1 → M (1 + m; −m; −1 + 2m )
⎯⎯
→ MN = ( 2n − m; n + m + 3; n − 2m ) là VTCP của
Điểm 
 N  d2 → N (1 + 2n;3 + n; −1 + n )
( ).
●

( ) ( P )  nP ⊥ MN  nP .MN = 0  ( 2n − m)1 + ( n + m + 3)( −2) + ( n − 2m) 3 = 0  n = 2 + 3m.

n=2+3m
● Ta có MN = 3  ( 2n − m) + ( n + m + 3) + ( n − 2m) = 3 ⎯⎯⎯→
m = −1  M ( 0;1; −3).
2

2

2

qua M ( 0;1; −3)
⎯⎯
→ ( ) : x − 2 y + 3z + 11 = 0. Chọn B.

Khi đó ( ) : 
VTPT
n
=
1;
−
2;3
(
)




Câu 50. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :

x y +1 z + 3
x + 2 y −3 z
=
=
, d2 :
=
= . Gọi d
2
1
−2
1
−3 2

→

là đường thẳng có véc tơ chỉ phương u = (1;2;3) đồng thời cắt hai đường thẳng d1, d2 . Đường
thẳng d đi qua điểm nào sau đây?
A. K (1; −6;6)
B. M ( 4;1; −7 )
C. H ( −2;3;0)
D. P ( 4;10;17 )
Giải
+ Gọi d  a = A ( 2t; −1 + t; −3 − 2t ) ; d  b = B ( −2 + s;3 − 3s;2s )
+ Ta có AB = ( s − 2t − 2; −3s − t + 4;2s + 2t + 3) ; uc = (1;2;3)

s − 2t − 2 −3s − t + 4 2s + 2t + 3
=
=
1
2
3
2
s
−
4
t
−
4
=
−
3
s
−
t
+

4
5
s
−
3
t
=
8
t
=
−
1






 A ( −2; −2; −1)
3s − 6t − 6 = 2s + 2t + 3
s − 8t = 9
s = 1

+Vì d / / c  AB; uc cùng phương 

 x = −2 + t

+ Ta có d :  y = −2 + 2t
 z = −1 + 3t


+ Thay bốn đáp án ta có điểm P thuộc d