Áp dụng phương pháp hàm sinh giải toán trung học phổ thông.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG


LÊ THANH THẢO

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH
GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG

Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2015


Cơng trình được hồn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trịnh Đào Chiến

Phản biện 1: TS. Cao Văn Nuôi

Phản biện 2: TS. Phạm Hữu Khánh

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp
thạc sĩ Khoa học họp tại Phân hiệu Đại học Đà Nẵng tại Kon Tum
vào ngày 19 tháng 12 năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

 Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng
 Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương pháp hàm sinh là một phương pháp hiện đại, sử dụng
các kiến thức về chuỗi, chuỗi hàm (đặc biệt là công thức Taylor) để
giải khá nhiều lớp các bài toán sơ cấp, chẳng hạn: giải bài tốn phân
hoạch tập số ngun để tìm số nghiệm của phương trình nghiệm
ngun, giải bài tốn về phân hoạch tập hợp, tìm số hạng tổng quát
của dãy số, các bài tốn nổi tiếng về dãy Catalan, tính tổng tổ hợp, giải
bài toán đếm tổ hợp và một số dạng toán tổng hợp khác.
Cho dãy số an  . Chuỗi hình thức
A x   a 0  a1x  a 2x 2  ...  an x n  ...

được gọi là hàm sinh của dãy an  .
Ý tưởng của phương pháp hàm sinh như sau:
Giả sử ta cần tìm cơng thức tổng qt của một dãy số an  nào
đó. Từ cơng thức truy hồi hoặc những lý luận tổ hợp trực tiếp, ta tìm
được hàm sinh
A x   a 0  a1x  a 2x 2  ...  an x n  ...

Trong trường hợp thuận lợi, từ biểu diễn trên, có thể tìm được
một cơng thức giải tích cho hàm A x  . Khai triển A x  thành chuỗi
và tìm hệ số của x n trong khai triển đó ta tìm được an .
Cho đến nay, trong nước đã có một số luận văn thạc sĩ tốn học
liên quan đến hàm sinh và phương pháp hàm sinh bảo vệ thành công.

2
Luận văn này tiếp nối hướng nghiên cứu nêu trên, nhưng để
tránh trùng lặp nội dung nghiên cứu, sẽ không quá đi sâu vào lý thuyết
hiện đại của hàm sinh, mà chỉ tập trung áp dụng phương pháp hàm
sinh giải một số dạng toán về phân hoạch tập số nguyên để tìm số
nghiệm của phương trình nghiệm nguyên, giải một số dạng toán phân
hoạch tập hợp và một số dạng tốn tổng hợp. Trong các bài tốn trên
có các bài toán là đề thi trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các nước,
khu vực và quốc tế. Đây là những nội dung mà các luận văn trước đó
chưa hoặc ít đề cập.
Đồng thời, luận văn cũng sẽ áp dụng phương pháp trên đề xuất
các bài toán tương tự, phù hợp với tốn phổ thơng, đặc biệt đối với hệ
Chun Tốn. Do đó, việc nghiên cứu của luận văn là cần thiết, có ý
nghĩa khoa học, mang tính thực tiễn và phù hợp với chuyên ngành
Phương pháp Toán sơ cấp.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Luận văn sẽ đề cập đến hàm sinh và áp dụng phương pháp hàm
sinh để giải một số dạng toán về phân hoạch tập số nguyên để tìm số
nghiệm của phương trình nghiệm nguyên, một số dạng toán phân
hoạch tập hợp tổng hợp và một số dạng toán tổng hợp là đề thi trong
các kỳ thi chọn học sinh giỏi các nước, khu vực, Olympic toán quốc
tế.
Luận văn cũng sẽ đề xuất một số bài toán tương tự, nhằm phục
vụ cho cho công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi ở phổ thông,
đặc biệt đối với hệ Chuyên Toán.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu
Hàm sinh và phương pháp hàm sinh.

3.2. Phạm vi nghiên cứu


3
Thuộc chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp. Luận văn không
quá đi sâu vào lý thuyết hiện đại của hàm sinh mà sơ cấp hóa nó, áp
dụng phương pháp hàm sinh để giải một số bài tốn khó của tốn phổ
thông.
4. Phương pháp nghiên cứu
Từ các tài liệu sưu tầm được, luận văn sẽ đề cập ngắn gọn về
hàm sinh và áp dụng phương pháp hàm sinh để tìm tịi lời giải, cùng
với việc đề xuất một số bài toán tương tự, phù hợp với tốn phổ thơng,
đặc biệt đối với hệ Chuyên Toán.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Với mục đích nêu trên, việc nghiên cứu của luận văn là có ý
nghĩa khoa học, mang tính thực tiễn và phù hợp với chuyên ngành
Phương pháp Tốn sơ cấp.
Có thể sử dụng luận văn như là tài liệu tham khảo cho giáo viên,
học sinh và bạn đọc quan tâm đến vấn đề này.
6. Cấu trúc luận văn
Nội dung của luận văn gồm có ba chương.
Chương 1. Kiến thức cơ sở
Chương này đề cập đến những kiến thức cơ bản nhất, sử dụng
cho những chương tiếp theo.
Chương 2. Áp dụng phương pháp hàm sinh giải bài toán về
phân hoạch tập hợp
Chương này trình bày việc áp dụng phương pháp hàm sinh để
tìm số nghiệm của phương trình nghiệm nguyên và giải một số dạng
toán tổng hợp, thực chất là việc áp dụng phương pháp hàm sinh để giải
bài tốn về phân hoạch tập hợp.

Để tìm số nghiệm của một phương trình nghiệm ngun nào đó,
ta thực hiện các bước như sau:


4
- Xét một hàm sinh F x  phù hợp;
- Khai triển F x  dưới dạng một chuỗi lũy thừa;
- Số nghiệm của phương trình nghiệm nguyên đã cho chính là hệ
n
số của số hạng x phù hợp trong chuỗi lũy thừa nêu trên.

Tiếp theo là các bài toán, thực chất là dạng tốn về phân hoạch
tập hợp, có thể giải bằng phương pháp hàm sinh.
Chương 3. Áp dụng phương pháp hàm sinh giải một số bài
toán tổng hợp
Chương này trình bày việc áp dụng phương pháp hàm sinh để
giải một số dạng toán về dãy số (đặc biệt, giới thiệu các bài toán nổi
tiếng liên quan đến dãy số Catalan), bài tốn tính tổng tổ hợp, bài tốn
đếm tổ hợp và một số bài toán tổng hợp khác.
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ
Chương này trình bày một số khái niệm về hàm sinh và phân
hoạch tập hợp. Nêu ra một số tính chất, kết quả liên quan đến việc áp
dụng hàm sinh vào giải các bài toán.
1.1. HÀM SINH
1.1.1. Khái niệm
Định nghĩa 1.1. Một chuỗi lũy thừa hình thức là biểu thức có
dạng
a 0  a1x  a2x 2  ... 



a x
n 0

n

n

,

(1.1)


5
dãy các số nguyên a n 

n 0

được gọi là dãy các hệ số.

Định nghĩa 1.2. Cho dãy số a 0 , a1, a 2 ,..., an ,... các số thực, và
x là một biến số. Hàm sinh của dãy a n 

n 0

là


F (x )  a 0  a1x  a2x 2  ...  ak x k  ...   an x n ,

n 0

(1.2)

với a 0 , a1, a 2 ,..., an ,... gọi là các hệ số của hàm sinh.
Nhận xét 1.1.


a) Nếu F ( x)   an x n là hàm sinh của dãy số an n 0 thì ta cịn
n0

kí hiệu an   F ( x) hay an   F .
b) Việc xây dựng hàm sinh không chỉ dựa trên một biến (vì một
biến chỉ cho ta một thơng tin duy nhất!). Đối với những bài tốn địi
hỏi nhiều thông tin ta cần xét hàm sinh với nhiều biến hơn (xem Bài
tốn 2.2.10).
Hàm sinh có thể tổng qt cho nhiều chỉ số, cụ thể


Cho dãy số am,n m,n 0 . Khi đó F (x , y )   amn x m y n

(1.3)

n 0

Định nghĩa 1.3.
1.1.2. Tính chất
Cho an   F ( x), bn   G ( x) . Khi đó ta có các tính chất sau

an  bn   F ( x)  G ( x) .

(1.6)

ka   kF (x ), k   .

(1.7)

n


6

(n  1)a   F '(x ) .

(1.8)

a

(1.9)

n 1

 an 1   (1  x )F (x ) .

n

na   xF '(x ) .

(1.10)

n

a  

F (x )  a 0  a1x  a 2x 2  a 3x 3  ...  ah 1x h 1

n h

k.a

n

xh

,h  

 h.bn   k .F (x )  h.G (x ) .

a0  a1  a2  ...  an  


 

i  j  n

  k 0

(1.12)

F ( x)

.
1 x

n

(1.11)

(1.13)



cn     ai b j    ak bn k   F ( x).G ( x) .

(1.14)



1.1.3. Một số kết quả liên quan
a. Kết quả về hàm sinh
n

Mệnh đề 1.1. Cho hàm sinh F ( x)  1  x  x 2  ... .
Khi đó ta có
a) Nếu ar là hệ số của x r trong khai triển của F (x ) , thì

ar  C rrn 1 .

(1.15)

b) 1  x m   1  C n1 x m  C n2x 2m  ...  (1)n x mn .

n

(1.16)

c) 1  x  x 2  ...  x m 1   1  x m  1  x  x 2  ... .
n

n

n

(1.17)

Mệnh đề 1.2. (Công thức xác định hệ số tích của hai hàm sinh)
Cho hai hàm sinh của hai dãy an , bn  lần lượt là

A(x )  a 0  a1x  a2x 2  ....


7

B(x )  b0  b1x  b2x 2  ....
Đặt
 A(x )B(x )

F (x )







 a 0  a1x  a2x 2  .... b0  b1x  b2x 2  ....

 a 0b0  a 0b1  a1b0  x  a 0b2  a1b1  a2b0  x 2
 a 0b3  a1b2  a2b1  a 3b0  x 3  ...

Khi đó hệ số của x r trong khai triển của F (x ) là
a0 br  a1br 1  a2 br  2  ...  ar  2 b2  ar 1b1  ar b0 .

(1.18)

Nhận xét 1.2.
Định lý 1.1. (Công thức khai triển Taylor)
Giả sử f ( x) là hàm số liên tục, có đạo hàm mọi cấp trên
khoảng  a, b  ; x0   a, b  .
Khi đó ta có cơng thức khai triển Taylor
f  n   x0  n
f ( x)  
x .
n!
n0

(1.19)

Nhận xét 1.3.
Định lí 1.2.
Định lí 1.3.
Định lí 1.4. (Quy tắc xoắn)

Gọi A(x ) là hàm sinh cho cách chọn các phần tử từ tập hợp A
và B(x ) là hàm sinh cho cách chọn các phần tử từ tập hợp B . Nếu
A và B là rời nhau thì hàm sinh cho cách chọn các phần tử của
A  B là A(x ).B(x ) .

b. Khai triển đại số
Sau đây là một số kết quả khai triển đại số thường dùng trong
việc áp dụng giải bài toán về hàm sinh


8


1  x 

 1  x     1

x2
 ...
2!

(1.23)

xn
 x     1 ...   n  1
 ...
n!

(1  x )n  1  C n1x  C n2x 2  ...  C nn x n  ... 

1  ax 

n





C a x
n 0

k
n

k

k



C
k 0

k
n

xk .

.

(1.24)

(1.25)


1
 1  x  x 2  x 3  ...   x n .
1x
n 0

(1.26)


1
 1  x  x 2  x 3  ...   (1)i x i .
1x
i 0

(1.27)


1
 1  ax  a 2 x 2  a 3 x3  ...  a n x n  ...   a n x n .
1  ax
n 0

(1.28)



1

1  ax 

(1.29)

n0



1

1  x 
1

1  x 

2

 1  2ax  3a 2 x 2  4a 3 x3  ...   (n  1)a n x n .

n

2

 1  2 x  3 x 2  4 x 3  ...  (n  1) x n   (i  1) xi .

(1.30)

n( n  1) 2 n( n  1)(n  2) 3

x 
x  ... .
2!
3!

(1.31)

i 0

 1  nx 


1
2
4
6

1

x

x

x

...

 x 2i .
1  x2
i 0

(1.32)


1
r
2r
3r

1

x

x

x

...

 x ir .
1  xr
i 0

(1.33)


9
1



n 1

1  x 



C
k 0

k
n k

xk .

(1.34)

xk
 x k 1  x  x 2  ...  x k  x k 1  x k 2  ...
1x

(1.35)

k
1  x k 1
 1  x  x 2  x 3  ...  x k   x i .
1x
i 0

(1.36)



x
1x2





 x 1  x 2  x 4  x 6  ...  x  x 3  x 5  x 7  ...

2

 1  3 x  5 x 2  ...   (2n  1) x n .

sin x 

(1.38)

n 0


1
  C2kk x k .
1  4 x k 0


 (1)k
k 0



cos x   ( 1) k
k 0

ex  1  x 

ln

(1.37)



1 x

1  x 



x 2k 1

2k  1 !

(1.39)
.

x2k
.
 2 k !


x 2 x3
xn
xk
  ... 
 ...   .
2! 3!
n!
k 0 k !


1
xk
 .
1  x k 0 k

(1.40)

(1.41)

(1.42)

(1.43)


10
1.2. PHÂN HOẠCH
1.2.1. Phân hoạch của số tự nhiên
Định nghĩa 1.4. Một phân hoạch của số tự nhiên r là một cách

viết r thành tổng của các số nguyên dương hay một bộ số không thứ
tự (a i ) thỏa mãn

a

i

r.

Ví dụ 1.1. Ví dụ về phân hoạch
2  11
3  2 1  111
4  3 1  2 2  2 11  1111

5  4 1  3 2  3 11  2 2 1
= 2 111  11111

1.2.2. Phân hoạch của tập hợp
Định nghĩa 1.5. Một phân hoạch của một tập hữu hạn X
thành k phần là một họ các tập con khác rỗng X 1, X 2 ,..., X k của X
thỏa các tính chất sau:
i) Hợp tất cả các tập hợp X i , i  1, k tạo thành tập hợp X , tức
là
X 1  X 2  ...  X k  X .

ii) Các tập hợp này đôi một giao nhau bằng tập hợp rỗng, tức
là

Xi  X j  , i  j .
Định nghĩa 1.6.

Nhận xét 1.4.


11
Ví dụ 1.2. Phân hoạch của tập hợp a, b, c, d  thành 3 phần có
thể biểu thị như tập hợp

a , b, c, d ; a , b, d , c ; a, d , b, c
a , b, c, d ; a, c, b, d  ; a,b, c, d 
Định nghĩa 1.7.
Định lí 1.5.
Ví dụ 1.3.
Định nghĩa 1.8.
Định lí 1.6.
Ví dụ 1.4.

CHƯƠNG 2
ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH
GIẢI BÀI TOÁN VỀ PHÂN HOẠCH TẬP HỢP
Chương này trình bày việc áp dụng phương pháp hàm sinh để
tìm số nghiệm của phương trình nghiệm nguyên và giải một số dạng
toán tổng hợp. Thực chất là việc áp dụng phương pháp hàm sinh để
giải bài toán về phân hoạch tập hợp.
2.1. DẠNG TỐN TÌM SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
Để tìm số nghiệm của một phương trình nghiệm nguyên nào đó,
ta thực hiện các bước như sau:
- Xét một hàm sinh F x  phù hợp;

12
- Khai triển F x  dưới dạng một chuỗi lũy thừa;
- Số nghiệm của phương trình nghiệm nguyên đã cho chính là
hệ số của số hạng x n phù hợp trong chuỗi lũy thừa nêu trên.
2.1.1. Bài toán áp dụng
Bài tốn 2.1.1. Tìm số nghiệm ngun khơng âm của phương
trình x 1  x 2  ...  x n  m , với m, n là các số ngun dương cho
trước.
Bài tốn 2.1.2. Tìm số nghiệm ngun dương của phương trình:
u  v  w  z  27 với 3  u, v, w, z  8 .

Bài toán 2.1.3.
2.1.2. Các bài toán tương tự
Bài toán 2.1.4.
Bài tốn 2.1.5. Phương trình: x 1  x 2  x 3  x 4  x 5  30 có
bao nhiêu nghiệm nguyên dương thỏa mãn:
0  x 1, x 2  10; 3  x 3 , x 4 , x 5  5 và x 1, x 2 chẵn.

Bài tốn 2.1.4.
Bài tốn 2.1.6.
Bài tốn 2.1.7. Hỏi có bao nhiêu cách đổi tờ 500 nghìn đồng
thành các tờ 1 nghìn, 2 nghìn, 5 nghìn, 10 nghìn, 20 nghìn.
Bài toán 2.1.8.


13
2.2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN PHÂN HOẠCH TẬP HỢP
TỔNG HỢP
Các bài toán sau đây, thực chất là dạng toán về phân hoạch tập
hợp, có thể giải bằng phương pháp hàm sinh.

2.2.1. Bài toán áp dụng
Bài toán 2.2.1. Chứng minh rằng số phân hoạch một số nguyên
dương n thành các phần mà các phần chẵn đôi một phân biệt bằng
số cách phân hoạch n thành các phần mà mỗi giá trị xuất hiện khơng
q 3 lần.
Bài tốn 2.2.2. Xét một phân hoạch  của số nguyên dương n
. Gọi () là số các số 1 trong phân hoạch  , () là số phần phân
biệt trong phân hoạch  .
Chứng minh rằng

 ()   () .

(tổng lấy theo tất cả các phân hoạch  của n )
Bài toán 2.2.3. (USA MO 1989)
Cho một phân hoạch  của n  1 là một số nguyên, nghĩa là
n có thể biểu diễn thành tổng của một hoặc nhiều số nguyên dương

nhưng biểu diễn tổng phải theo một thứ tự khơng giảm (ví dụ n  4
khi đó phân hoạch  là 1  1  1  1,1  1  2,1  3, 2  2, 4 ).
Với mỗi phân hoạch  xác định A() là số các số 1 xuất hiện
trong  và B() xác định là số các số nguyên dương phân biệt xuất
hiện trong  (ví dụ n  13 và  là phân hoạch .., khi đó A()  2
và B ( )  3 ).
Chứng minh rằng với mỗi n cố định, ta có
A( ) 


 là phân hoạch của n

là phân hoạch của n

B ( ) .


14
Bài toán 2.2.4.
Bài toán 2.2.5.
Bài toán 2.2.6.
Bài toán 2.2.7.
Bài toán 2.2.8.
Bài toán 2.2.9. (Việt Nam TST 2008)
Cho tập E  1, 2,..., 2008 , mỗi số thuộc E được tô bởi đúng
1 trong 3 màu đỏ, vàng, xanh. Gọi A là bội số x , y, z   E 3 mà
x, y, z cùng màu và x  y  z chia hết cho 2008 , B là bộ số

x, y, z   E

3

mà x, y, z đôi một khác màu và x  y  z chia hết cho

2008 . Chứng minh rằng 2A  B .

Bài toán 2.2.10. (IMO 1995)
Cho tập hợp A  1, 2, ... , 2p  , p là số nguyên tố. Tìm số
các tập con của A thỏa mãn:
i) Mỗi tập có đúng p phần tử;
ii) Tổng các phần tử của tập con đó chia hết cho p .
Nhận xét 2.2.1.
Bài toán 2.2.11.

Bài toán 2.2.12.
Bài toán 2.2.13.
2.2.2. Các bài toán tương tự
Bài toán 2.2.14.


15
Bài toán 2.2.15. Cho số tự nhiên r . Đếm số phân hoạch r gồm
các thành phần xuất hiện các số 1, 2, 3, 5, 7 .
Bài toán 2.2.16.

CHƯƠNG 3
ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP
Chương này trình bày áp dụng phương pháp hàm sinh để giải
một số dạng toán về dãy số (đặc biệt giới thiệu các bài toán nổi tiếng
về dãy số Catalan), bài tốn tính tổng tổ hợp, bài tốn đếm tổ hợp và
một số bài toán tổng hợp khác.
3.1. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH GIẢI MỘT
SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ
3.1.1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số
a. Phương pháp
Để tìm số hạng tổng quát của dãy số an  . Ta xét hàm sinh sinh
bởi dãy an  là F (x )   an x n . Dựa vào đặc điểm của dãy an 
n 0

và hệ thức truy hồi ta tìm hàm F (x ) . Khai triển F (x ) theo lũy thừa
của x (khai triển Taylor), ta tìm được a n , n .
b. Bài tốn áp dụng
Bài tốn 3.1.1. Tìm cơng thức tổng quát của dãy Fibonacci xác

định bởi:
i) f0  1, f1  1 ; ii) fn 2  fn 1  fn với mọi n   .


16
Bài tốn 3.1.2. Tìm cơng thức tổng qt của dãy số an  , với


a 0  1
,n  1 .


an  2an 1  2n




(3.1)

Bài toán 3.1.3.
Bài toán 3.1.4..
3.1.2. Dãy số Catalan
Trong phần này chúng tơi trình bày những bài toán đặc trưng về
dãy số Catalan, chỉ ra mối quan hệ mật thiết của các bài toán, đưa ra
một các nhìn mới thơng qua Bài tốn 3.1.10 có tên gọi Kiến hành quân.
Với cách nhìn mới này, việc phát biểu bài tốn Catalan tổng qt (cho
nhiều chiều) được trình bày một cách đơn giản. Chúng tơi hy vọng
đóng góp một các tiếp cận mới cho các nghiên cứu mở rộng đề tài này.
a. Dãy Catalan
Các số Catalan (hay còn gọi là dãy Catalan) lần đầu tiên được

Leonard Euler (1707-1783) quan tâm đến khi ơng nghiên cứu vấn đề:
có bao nhiêu cách có thể chia một đa giác thành các tam giác. Nhưng
tên tên của dãy này lại thuộc về Eugene Charless Catalan (1814-1894)
– một nhà toán học người Bỉ khi ơng giải quyết thành cơng bài tốn:
có bao nhiêu cách để đóng ngoặc và mở ngoặc một dãy số khi thực
hiện phép tính. Năm 1838, Catalan đã phát hiện ra rằng các số này là
lời giải chung của rất nhiều bài tốn tưởng chừng xa lạ. Có những bài
để ở dạng này thì vơ cùng phức tạp, nhưng nếu chuyển sang một sang
ngơn ngữ hàm sinh, thì bài tốn trở thành đơn giản.


17
Định nghĩa 3.1.1. Ta gọi dãy Catalan là dãy C n được định
nghĩa bởi công thức truy hồi


C 0  1,C 1  1;


C  C 0C n 1  C 1C n 2  ...  C n 1C 0 .

 n

Định lý 3.1.1. Hàm sinh của dãy Catalan được xác định như
sau
F (x )  C 0  C 1x  C 2x 2  ...  C k x k  ... 

Hệ quả 3.1.1. Đẳng thức sau đúng: C n 

1  1  4x

.
2x

1
C 2nn .
n 1

b. Các bài toán liên quan đến dãy Catalan
Bài tốn 3.1.5. (Bài tốn bàn cờ)
Có bao nhiêu cách bước trên bàn cờ n n từ ơ phía dưới cùng
bên trái đến ô trên cùng bên phải sao cho không bao giờ bước qua
hẳn đường chéo chính, mỗi lần bước chỉ có thể lên 1 đơn vị, khơng
bước lùi hay sang trái?
Bài tốn 3.1.6. (Bài tốn Euler)
Có bao nhiêu cách chia một đa giác lồi thành các tam giác mà
không có cạnh nào cắt nhau?
c. Các bài tốn Catalan nổi tiếng khác
Bài toán 3.1.7. (Bài toán dấu ngoặc)
Với n dấu ngoặc mở và n dấu ngoặc đóng ( n bộ dấu ngoặc
mở - đóng), có bao nhiêu cách sắp xếp các dấu ngoặc hợp lệ? (Hợp lệ
ở đây được hiểu là kể từ trái sang phải, tại bất kì vị trí nào, thì số dấu
ngoặc đóng đã sử dụng khơng vượt quá số ngoặc mở đã dùng và khi
kết thúc thì đúng bằng nhau).


18
Bài tốn 3.1.8. (Bài tốn hành trình Dick)
Xét hệ trục tọa độ xOy . Xuất phát từ điểm 0, 0 đến điểm

2n, 0 có bao nhiêu khả năng để bước sao cho mỗi bước chỉ có thể

là các vectơ y 1,1 hoặc x 1, 1 và không đi xuống dưới trục hoành
( y là lên và sang phải, x là xuống và sang phải)?
Bài tốn 3.1.9. (Bài tốn phân vùng)
Có bao nhiêu bộ số x i 1  i  2n  , mỗi số x i có giá trị là 1
hoặc 1 sao cho x 1  x 2  ...  x 2n  0 và tất cả các giá trị
x 1, x 1  x 2 , x 1  x 2  x 3 ,..., x 1  x 2  ...  x 2n đều khơng âm?

Bài tốn 3.1.10. (Bài tốn đồn qn kiến)
Có một đoàn quân kiến đang hành quân qua một con đường
hầm chật hẹp. Khơng con nào có thể đổi chổ cho nhau. Có một ngách
nhỏ cũng chật hẹp như vậy, nếu con kiến nào muốn nghỉ thì có thể rẽ
vào đó và các con khác lại tiếp tục đi. Nếu có nhiều con muốn nghỉ thì
các con nghỉ trước lùi sâu vào ngách nhường chỗ cho con mới, theo
thứ tự không được đổi chỗ. Khi ra thì trật tự ngược lại, con nào nghỉ
sau thì ra trước. Hỏi có bao nhiêu cách ra khỏi đường hầm chật hẹp
này?
Bài toán 3.1.11. (Bài tốn mua vé xem phim)
Một lớp học có 2n học sinh đang đứng xếp hàng mua vé xem
phim, giá vé là 10000 đồng/chiếc. Mỗi em học sinh chỉ có một trong
hai tờ tiền 10000 đồng và 20000 đồng. Ban đầu quầy vé khơng có
tiền. Có bao nhiêu cách mua vé để người bán vé luôn luôn trả lại được
tiền thừa và công việc không bị gián đoạn?


19
Ta chứng minh các bài toán trên là tương đương:
- Bài tốn Dấu ngoặc và bài tốn Hành trình Dick: với phép
song ánh dấu ngoặc mở ứng với bước đi lên y 1,1 và dấu ngoặc đóng
ứng với bước đi xuống x 1, 1 .

- Bài tốn Hành trình Dick và bài tốn Bàn cờ hồn tồn là một
khi ta xoay bàn cờ 450 .
- Bài tốn Phân vùng chính là bài toán Dấu ngoặc phát biểu dưới
dạng đại số, thay ngoặc mở bằng  1 và ngoặc đóng bằng 1 .
- Bài tốn Đồn qn kiến là bài tốn Dấu ngoặc nếu với mỗi
con kiến trước khi đến hẻm được phát một giấy kiểm tra (dấu ngoặc
mở), sau khi nghỉ ngơi (hoặc tiếp tục đi ln) qua hẻm thì thu hồi lại
giấy thơng hành (dấu ngoặc đóng).
- Tương tự như thế, bài toán Mua vé xem phim và bài toán Bàn
cờ là tương đương khi trả tiền 10000 đồng tương ứng với bước sang
phải 1 đơn vị và trả 20000 đồng tương ứng với bước lên trên 1 đơn
vị.
Bài tốn 3.1.12. (Bài tốn kiến hành qn)
Hai đồn qn kiến vàng ( m chiến sĩ) và kiến đen ( n chiến sĩ)
đang hành quân về điểm tập trung. Đến ngã ba thì hai đường hợp
nhau thành một. Đèn đỏ dẫn đường khơng hoạt động. Có bao nhiêu
cách hành qn qua ngã ba mà không chen lấn xô đẩy nhau?
Nếu thêm điều kiện số kiến đen được qua cửa luôn luôn không
bé hơn số kiến vàng được qua cửa, ta cũng nhận được bài toán Catalan
dưới đây đơn giản và thú vị.
Bài tốn 3.1.13. (Bài tốn Catalan tổng qt)
Có n đồn quân kiến nhập làm một theo quy tắc số kiến của
đồn i ln ln khơng nhỏ hơn số kiến của đồn k khi nhập hàng

k  i  . Có bao nhiêu cách thực hiện?


20
d. Các bài toán tương tự
Bài toán 3.1.14.

Bài toán 3.1.15.
Bài toán 3.1.16.
Bài toán 3.1.17.
3.2. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH TÍNH TỔNG
TỔ HỢP
Trong phần này chúng tơi trình bày thêm một ứng dụng khác
của hàm sinh là tính tổng tổ hợp qua các bài tốn dưới đây.
3.2.1. Phương pháp
Để tính tổng S (n )   hm (n ) .
m

Ta xét hàm sinh



F (x )   S (n ).x n    hm (n ) .x n


n
n  m

(3.3)

Sau đó sử dụng phương pháp đổi tổng để tính vế phải của (3.3)
rồi đồng nhất thức hai vế ta thu được S (n ) .
3.2.2. Bài toán áp dụng
Bài tốn 3.2.1. Tính tổng sau:

C

n k
k

.

k

m

Bài tốn 3.2.2. Tính tổng sau:

C C
k n

Bài toán 3.2.3.
Bài toán 3.2.4.
Bài toán 3.2.5.

k
n

m
k

.


21
3.3. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH GIẢI BÀI
TOÁN ĐẾM TỔ HỢP

Trong phần này chúng ta sẽ biết thêm một ứng dụng độc đáo
của hàm sinh nữa, đó là hàm sinh có thể sử dụng cho các bài tốn đếm
tổ hợp.
3.3.1. Phương pháp
Các bài toán về chọn các phần tử từ một tập hợp thông thường
sẽ dẫn tới hàm sinh. Khi hàm sinh được áp dụng theo cách này thì hệ
số của x n chính là số cách chọn n phần tử, tức là với an là hệ số của
x n , n  2 thì hàm sinh của số cách chọn sẽ là F (x )   an x n .
n 0

3.3.2. Bài toán áp dụng
Bài toán 3.3.1. Huấn luyện viên bóng đá đã có n cầu thủ tập
luyện hằng ngày. Đầu tiên huấn luyện viên chia các cầu thủ thành 2
nhóm và yêu cầu các cầu thủ mỗi nhóm xếp thành hàng. Nhóm thứ
nhất có thể chọn áo da cam, áo trắng hoặc áo xanh, nhóm thứ hai có
thể chọn áo đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách thực hiện cơng việc chọn áo
như thế.
Bài tốn 3.3.2. Có bao nhiêu cách chọn 25 quyển sách từ 7
loại quyển sách khác nhau sao cho mỗi loại quyển sách có từ 2 đến
6 quyển sách được chọn.

Bài toán 3.3.3. Trong một chiếc hộp có chứa bao gồm 10 huy
chương vàng, 20 huy chương bạc và 30 huy chương đồng. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn ra 30 huy chương để trao giải, biết rằng mỗi
loại huy chương có ít nhất một huy chương được lấy ra.


22
Bài tốn 3.3.4. Có bao nhiêu cách phân phối 25 quả bóng
giống hệt nhau vào bảy hộp riêng biệt sao cho hộp đầu tiên có khơng

q 10 bóng và số bóng là tùy ý ở mỗi hộp trong sáu hộp cịn lại.
Bài tốn 3.3.5.
Bài tốn 3.3.6.
Bài tốn 3.3.7.
Bài tốn 3.3.8.
Bài tốn 3.3.9.
3.4. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH GIẢI BÀI
TỐN TỔNG HỢP
Trong phần này chúng ta sẽ biết thêm một số ứng dụng độc đáo
khác của hàm sinh thông qua các bài tốn áp dụng được trình bày dưới
đây.
3.4.1. Bài tốn áp dụng
Bài tốn 3.4.1. Tìm số tất cả các số có n chữ số lập từ các chữ
số 3, 4, 5, 6 và chia hết cho 3 .
Bài toán 3.4.2. Cho số nguyên dương n . Gọi  n là số cách
phân tích n thành tổng các số tự nhiên lẻ,  n là số cách phân tích n
thành tổng các số tự nhiên đôi một khác nhau. Hãy chứng tỏ rằng

n  n .
Bài toán 3.4.5. Trên mặt phẳng kẻ n đường thẳng sao cho
khơng có 3 đường nào đồng qui và khơng có 2 đường nào song song.
Hỏi mặt phẳng được chia làm mấy phần?
3.4.2. Các bài tốn tương tự
Bài tốn 3.4.6. Có bao nhiêu cách phân phối 10 quả bóng
giống nhau cho 2 cậu bé và 2 cơ bé sao cho mỗi cậu bé được ít nhất
một quả bóng và mỗi cơ bé được ít nhất hai quả bóng.


23
Bài tốn 3.4.7. Cơ Lan có 25 bơng hoa và 4 lọ hoa. Hỏi cơ

Lan có bao nhiêu cách phân phối 25 bông hoa vào 4 lọ hoa sao cho
mỗi lọ có ít nhất là 3 bơng hoa và nhiều nhất là 7 bơng hoa.
Bài tốn 3.4.8. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 25 quả bóng gồm
3 loại bóng, xanh, đỏ, trắng sao cho số bóng đỏ chọn nhiều nhất là

2 , số bóng xanh chọn nhiều nhất là 3 và số bóng trắng chọn nhiều
nhất là 4 .
Bài tốn 3.4.9. Một cậu bé được cha tặng 30 viên bi làm đồ
chơi. Hỏi cậu bé có bao nhiêu cách phân phối 30 viên bi đó vào 5
cái hộp sao cho hai hộp đầu có chứa số chẵn viên bi và số bi trong
mỗi hộp đó khơng vượt q 10 viên, số bi trong mỗi hộp cịn lại có ít
nhất 3 viên và nhiều nhất là 5 viên.
Bài tốn 3.4.10. Có bao nhiêu cách sưu tầm 24 con tem từ 4
bạn nam và 6 bạn nữ. Biết rằng mỗi người có ít nhất một con tem
nhưng mỗi bạn nam có nhiều nhất 4 con tem cịn mỗi bạn nữ có nhiều
nhất 7 con tem.
Bài toán 3.4.11. Một đơn vị bộ đội có n người lính xếp thẳng
thành 1 hàng. Người sĩ quan phân chia các người lính thành các nhóm
nhỏ để giao nhiệm vụ. Hỏi sĩ quan có bao nhiêu cách chọn 1 nhóm để
phân cơng trực đêm.