Rèn luyện kỹ năng vận dụng phương pháp tọa độ giải toán hình học không gian lớp 12 trung học phổ thông

đại học quốc gia hà nội
Khoa s- phạm















Hoàng thị ph-ơng thảo

rèn luyện kỹ năng vận dụng ph-ơng pháp
toạ độ giảI toán hình học không gian
lớp 12 trung học phổ thông






Chuyên ngành: Lý luận và ph-ơng pháp dạy học
(Bộ môn Toán học)
Mã số : 60 14 10




Luận văn thạc sĩ s- phạm toán học

Hà Nội - 2009


1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong các môn học ở trường phổ thông, môn Toán có một vị trí đặc biệt
quan trọng vì toán học là công cụ của nhiều môn học khác. Không những thế,
toán học còn “chỉ cho ta những phương pháp hoặc những con đường dẫn tới
chân lý. Toán học làm cho những chân lý ẩn khuất trở thành minh bạch và phơi
bày chúng ra trước ánh sáng. Một mặt toán học làm giàu sự hiểu biết của
chúng ta thêm sâu sắc” [tr 418]. Môn Toán có khả năng to lớn giúp học sinh
phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh óc tư duy
trừu tượng, tư duy chính xác, hợp logic, phương pháp khác trong suy nghĩ,
trong suy luận, trong học tập,… Qua đó có tác dụng lớn rèn luyện cho học sinh
trí thông minh sáng tạo.
Việc truyền thụ những tri thức cũng như cung cấp cho học sinh phương
pháp nghiên cứu toán học ở trường phổ thông được thực hiện chủ yếu thông
qua quá trình rèn luyện phương pháp để giải các bài toán. Trong chương trình
phổ thông hiện nay, việc đưa phương pháp véc tơ và phương pháp tọa độ vào
trong chương trình vừa nhằm hiện đại hóa vừa đáp ứng mục tiêu đào tạo của
nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành những cơ sở ban đầu và trọng
yếu của con người phát triển toàn diện. Nghị quyết hội nghị lần thứ hai, Ban

chấp hành Trung ương Đảng cộng sản Việt Nam khóa VIII về sự nghiệp giáo
dục và đào tạo đã nhận định: “Nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là
nhằm xây dựng những con người và thế hệ thiết tha gắn bó với lý tưởng độc
lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội, có đạo đức trong sáng, có ý chí kiên cường
xây dựng và bảo vệ tổ quốc, có ý thức giữ gìn và phát huy các giá trị văn hóa
của dân tộc, có năng lực tiếp thu tinh hoa văn hóa của nhân loại, phát huy tiềm
năng của dân tộc và con người Việt Nam, có ý thức cộng đồng và phát huy tính
tích cực của cá nhân, làm chủ tri thức khoa học và công nghệ hiện đại, có tư
duy sáng tạo, có kỹ năng thực hành giỏi, có tác phong công nghiệp, có tính tổ


2
chức là kỷ luật, có sức khỏe, là những người thừa kế xây dựng chủ nghĩa xã
hội vừa “ hồng “ vừa “ chuyên “ như lời căn dặn của Bác Hồ “.
Nghị quyết trên cũng đã chỉ rõ: Cùng với những thay đổi về nội dung
cần có những đổi mới về phương pháp dạy học ở tất cả các cấp học, bậc học,
khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn thành nếp tư duy sáng tạo của người
học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào
quá trình dạy và học, để không ngừng nâng cao hiệu quả của giáo dục và đào
tạo.
Nhận thấy các kiến thức và các phương pháp chứng minh suy luận dùng
trong hình học mà học sinh đang học hiện nay tuy đã có từ thời Euclid ( thế kỷ
thứ 3 trước công nguyên ) nhưng vẫn được dạy cho học sinh vì đó là những
kiến thức cơ bản, nền tảng cho việc rèn luyện tư duy, suy luận và gắn toán học
với thực tiễn. Cùng với phương pháp véctơ việc đưa phương pháp tọa độ trong
chương trình học cũng là cơ hội để học sinh làm quen với các ngôn ngữ của
toán học cao cấp, học sinh được trang bị thêm một công cụ mới để làm toán và
suy nghĩ thêm về các vấn đề toán học khác. Theo mục tiêu đào tạo, sau khi học
xong chương trình phổ thông, học sinh phải nắm được những kiến thức cơ bản
nhất ở hình học phẳng và hình học không gian đồng thời phải nắm vững hai

phương pháp chủ yếu để nghiên cứu hình học là phương pháp tổng hợp và
phương pháp tọa độ.
Trên thực tế tình hình dạy và học nay vẫn còn nhiều hạn chế trong việc
vận dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình học của học sinh. Ngay
cả một số giáo viên dạy toán ở trường THPT cũng chưa nhận thức đúng đắn
trong việc tăng cường rèn luyện phương pháp tọa độ để giải bài tập hình học
cho học sinh. Mà giải bài tập là một tình huống dạy học điển hình. Thông qua
quá trình giải bài tập, học sinh sẽ nắm chắc, củng cố được kiến thức, rèn luyện
được kỹ năng vận dụng tri thức vào thực tiễn và phát triển tư duy. Hệ thống bài
tập hợp lý sẽ tạo điều kiện cho học sinh vận dụng linh hoạt những kiến thức đã
học để củng cố và đào sâu kiến thức.


3
Đã có nhiều công trình khoa học giáo dục nghiên cứu theo một số góc
độ khác nhau liên quan đến phương pháp tọa độ, song chưa nêu bật được một
cách đầy đủ các kỹ năng giải các bài toán trong không gian bằng phương pháp
tọa độ dựa trên sự tương hỗ giữa phương pháp tổng hợp và phương pháp tọa
độ. Vì vậy, để khắc phục thực trạng này và tìm ra phương pháp dạy học thích
hợp với học sinh THPT tôi chọn đề tài:
“Rèn luyện kỹ năng vận dụng phƣơng pháp tọa độ giải toán hình
học không gian lớp 12 trung học phổ thông “
2. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng được một hệ thống các bài toán nhằm rèn luyện kỹ năng
vận dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình học không gian lớp 12
theo định hướng kết hợp giữa hình học và đại số thì học sinh sẽ giải toán hình
học không gian tốt hơn, giúp khắc phục được những khó khăn và sai lầm của
học sinh, nâng cao chất lượng dạy và học chủ đề phương pháp tọa độ trong
hình không gian ở trường THPT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Cở sở lý luận của phương pháp tọa độ
- Ứng dụng của phương pháp tọa độ vào giải các bài toán hình học không
gian.
- Rèn luyện kỹ năng vận dụng phương pháp tọa độ vào giải các bài toán
hình học không gian.
- Đề xuất phương pháp dạy học thích hợp để sử dụng có hiệu quả các kết
quả nghiên cứu.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Trong luận văn chúng tôi đã phối hợp sử dụng các phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận:
Nghiên cứu các sách về giáo dục học môn Toán, Tâm lý học, các sách về
khoa học toán học, sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí giáo dục, tạp chí


4
toán học và tuổi trẻ, các công trình nghiên cứu… liên quan trực tiếp và phục vụ
cho đề tài.
- Phương pháp điều tra, quan sát:
Lên lớp, dự giờ, trao đổi với các giáo viên khác, làm thực nghiệm sư phạm
để nắm được việc dạy của giáo viên, việc học của học sinh trong việc sử dụng
phương pháp tọa độ vào giải toán hình học không gian.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm:
Tổng kết những kinh nghiệm có được qua thực tế giảng dạy và trao đổi
kinh nghiệm với giáo viên dạy giỏi bộ môn Toán.
5. Bố cục của luận văn
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục, luận văn
gồm 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận của phương pháp tọa độ
Chương 2: Rèn luyện những kỹ năng cơ bản giải toán bằng phương
pháp tọa độ.

Chương 3: Thử nghiệm sư phạm








5
Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
1.1 . Sơ lƣợc về lịch sử ra đời phƣơng pháp tọa độ
Như chúng ta đã biết, hình học là một mảng kiến thức của ngành toán học
ra đời từ giai đoạn toán học cổ đại cách đây hơn vài nghìn năm với một khối
lượng kiến thức khổng lồ. Do đó không thể đưa toàn bộ kiến thức đó vào dạy
học cho các thế hệ học sinh mà cần phải có sự lựa chọn, sàng lọc hợp lý những
kiến thức hữu ích đáp ứng được yêu cầu cảu từng thời kỳ. Vì vậy, trong
chương trình phổ thông trước đây đến nay đã được thu gọn và cắt bớt để
nhường chỗ cho phương pháp tọa độ.
Đại số và hình học là hai mảng kiến thức khác nhau trong toán học, nhưng
với phương pháp tọa độ thì hai mảng kiến thức này lại dung hòa với nhau,
cùng nhau phát triển. Sự ra đời của phương pháp tọa độ đã thiết lập được mối
quan hệ mật thiết giữa hình học và đại số. Tất cả các định lý hình học đều có
thể chuyển thành những quan hệ đại số giữa các con số, các chữ và các phép
toán đại số. Và đây là phát minh mang tính chất cách mạng lớn trong toán học
vì nó giúp cho toán học nói chung và hình học nói riêng thoát khỏi tư duy cụ
thể để đạt tới đỉnh cao của sự trừu tượng và khái quát. Engels đã viết: “ Đại
lượng biến thiên của Descartes là một bước ngoặt trong toán học. Nhờ nó mà
vận động và biện chứng đã đi vào toán học”.

Môn hình học ra đời từ thời Euclid ( Thế kỷ thứ III trước công nguyên )
nhưng đến năm 1619, Rene Descartes – Một nhà triết học kiêm vật lý và toán
học người Pháp ( 1596 – 1650 ) đã khám phá ra những nguyên lý của môn
hình học giải tích. Ông đã dùng đại số để đơn giản hóa hình học cổ điển. Công
trình toán học chủ yếu của ông là quyển “ La géometrie “ (Hình học, xuất bản
năm 1637) của nhà toán học thiên tài này đã đặt nền tảng cho hình học giải
tích, ông đã trình bày về phương pháp tọa độ: với một hệ trục tọa độ xác định,
ví dụ trong không gian với hệ trục tọa độ Đềcac vuông góc ta cho điểm (x, y,
z); cho mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 (A
2
+ B
2
+ C
2


0 và D là 1


6
số),…Nói cách khác trong phương pháp tọa độ, người ta dịch chuyển những
đối tượng, tính chất hình học sang khung đại số và dẫn đến những phép toán
trong khung đó. Ở đây, phép toán đại số là hạt nhân của phép giải toán và về
nguyên tắc nó tách khỏi trực giác hình học.
Hình học được trình bày theo phương pháp tọa độ mà ngày nay gọi là hình
học giải tích. Môn hình học giải tích ra đời đã cung cấp cho chúng ta những
phương pháp nghiên cứu hình học bằng công cụ đại số. Trên cơ sở của sự phát
triển và hoàn chỉnh môn hình học giải tích, những tư tưởng của phương pháp
tọa độ đã khai sinh ra các chuyên ngành toán học mới.
Nhân loại đã tôn Rene Descartes lên hàng bất tử vì ông đã phát minh ra

một phương pháp nghiên cứu hình học mới bằng ngôn ngữ và phương pháp đại
số. Đánh giá phương pháp tọa độ của Descartes trong hình học, nhiều nhà Bác
học đã nhận xét: “ Nhờ có Descartes mà chúng ta biết sử dụng đại số và giải
tích làm hoa tiêu trên biển cả không bản đồ” hay “Descartes không xem xét lại
hình học mà sáng tạo ra nó”.
Ngày nay, trong chương trình hình học của trường phổ thông từ năm 1991,
học sinh đã được học về véctơ, các phép toán về véctơ đồng thời dùng véctơ
làm phương tiện trung gian để chuyển các khái niệm hình học và các mối quan
hệ giữa các đối tượng hình học sang khái niệm đại số và quan hệ đại số. Ví dụ
trong không gian muốn xác định vị trí tương đối của đường thẳng và mặt
phẳng nào đó, ta sẽ viết phương trình của đường thẳng và phương trình của
mặt phẳng, rồi tìm nghiệm của hệ hai phương trình ấy, tùy theo hệ phương
trình này có nghiệm như thế nào ta sẽ kết luận rằng đường thẳng cắt mặt phẳng
hoặc đường thẳng song song với mặt phẳng hoặc đường thẳng thuộc mặt
phẳng.
Đáp ứng yêu cầu của chương trình cải cách giáo dục, phương pháp tọa độ
trong không gian được đưa vào chương trình hình học cuối cấp THPT với
những yêu cầu cơ bản sau:


7
- Về kiến thức: Học sinh cần nhận thức được thực chất của nghiên cứu
phương pháp tọa độ ở trường phổ thông là nghiên cứu một cách thể hiện khác
của hệ các tiên đề hình học không gian. Việc đưa hệ tọa độ Đề các vuông góc
cho phép đặt tương ứng mỗi véctơ trong không gian với bộ 3 số thực sắp thứ tự
(x, y, z). Khi đó mặt phẳng là bộ 3 số (x, y, z) thỏa mãn: Ax + By + Cz + D = 0
(A
2
+ B
2

+ C
2


0 và D là 1 số),… Từ các kiến thức dẫn xuất suy từ các tiên đề
được trình bày bằng tọa độ, bằng cách đại số hóa. Học sinh nắm được những
kiến thức về hệ trục tọa độ, tọa độ của điểm, tọa độ của véctơ , biểu thức tọa độ
của các phép toán véctơ, phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng,
phương trình mặt cầu, các công thức tính góc và tính khoảng cách.
- Về kỹ năng: Kỹ năng xác định tọa độ véctơ, tọa độ của điểm bằng cách
sử dụng tọa độ véctơ hoặc hình chiếu vuông góc lên các hệ trục tọa độ; kỹ
năng lập các dạng phương trình đường thẳng trong không gian, lập phương
trình mặt phẳng; các kỹ năng về xác định khoảng cách, xác định góc giữa các
yếu tố trong không gian; kỹ năng lập phương trình đường tròn theo các yếu tố:
tâm, bán kính, điều kiện tiếp xúc với đường thẳng và đương tròn, tính phương
tích của một điểm với đường tròn; kỹ năng lập phương trình mặt cầu, xác định
tâm và bán kính, xác định giao của mặt phẳng và mặt cầu, lập phương trình
tiếp diện của mặt cầu.
- Về phương pháp: Đảm bảo sự cân đối cho học sinh nắm vững các mặt
cú pháp và ngữ nghĩa trong việc dạy học các nội dung. Chú trọng khai thác các
ứng dụng khác nhau của từng khái niệm, định lý, quy tắc, các tính chất, Chú
trọng các yếu tố trực quan ảo nhờ sự hỗ trợ của máy tính điện tử.
1.2 .Các loại hệ tọa độ
1.2.1 Hệ tọa độ afin – Hệ tọa độ xiên
* Hệ tọa độ afin: Hệ tọa độ afin gồm một điểm gốc O và 3 véctơ cơ sở
1
e

,
2

e

,
3
e

. Các véctơ này đều khác véctơ
0

và tạo thành 3 véctơ không đồng phẳng.


8
* Tọa độ afin của một điểm trong không gian: Trong không gian, giả sử điểm
M ta có:
0 1 0 2 0 3
OM x e y e z e  
   
. Bộ 3 số (x
0
, y
0
, z
0
) được gọi là tọa độ của điểm
M đối với hệ tọa độ afin
 
1 2 3
0; , ,e e e
  

* Phương trình đường thẳng trong hệ tọa độ afin của không gian:
Trong không gian cho hệ tọa độ afin
 
1 2 3
0; , ,e e e
  
và cho đường thẳng
đi qua điểm M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) có véctơ chỉ phương
 
,,u
  


.
( , , )M x y z d

Phương trình tham số của đường thẳng d :
0
00
0
x x t

M M tu y y t
z z t






   




 

Phương trình tổng quát của đường thẳng d:

2 2 2
' ' ' ' '2 '2 '2
Ax 0, 0
0, 0
By Cz D A B C
A x B y C z D A B C

      


      



* Phương trình mặt phẳng trong hệ tọa độ afin của không gian:
Giả sử trong không gian cho hệ tọa độ afin
 
1 2 3
0; , ,e e e
  
. Gọi (P) là mặt
phẳng đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và có cặp véctơ chỉ phương là
1 2 3
( , , )a a a a


và
1 2 3
( , , )b b b b

độc lập tuyến tính:

0 1 1 2 1 0 1 1 2 1
0 1 2 0 1 2 2 2 0 1 2 2 2
0 1 3 2 3 0 1 3 2 3

( , , ) ( )
x x t a t b x x t a t b
M x y z P MM t a t b y y t a t b y y t a t b
z z t a t b z z t a t b
     


           


     



Hệ phương trình trên được gọi là phương trình tham số của mặt
phẳng (P) trong đó t
1
, t
2
là các tham số.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
2 2 2
Ax 0, 0By Cz D A B C      

1.2.2 Hệ tọa độ Đề các vuông góc – Hệ tọa độ trực chuẩn
Chú ý: Hệ tọa độ Đề các là một hệ tọa độ afin đặc biệt tức là trong không
gian hệ tọa độ afin
 
1 2 3
0; , ,e e e

  
trở thành hệ tọa độ Đề các vuông góc nếu ta có:
|
1
e

|=|
2
e

|=|
3
e

|=1 và
1 2 2 3 3 1
,,e e e e e e  
     
. Do đó các vấn đề có liên quan đến hệ



9
tọa độ afin ở trên vẫn được xét tương tự như đối với hệ tọa độ Đề các vuông
góc.
Tọa độ của véc tơ và của điểm trong hệ tọa độ Đề các vuông góc:
Đối với hệ tọa độ trực chuẩn
 
1 2 3
0; , ,e e e

  
ta có:
1 1 1 2 2 2
( ; ; ); ( ; ; )u x y z v x y z


+ Hai véctơ bằng nhau khi và chỉ khi các tọa độ của chúng bằng nhau
+ Tích của một véctơ với 1 số:
1 1 1
( ; ; );ku kx ky kz k R


+ Tổng hai véctơ:
1 2 1 2 1 2
( ; ; )u v x x y y z z    


+ Điểm M gọi là chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k nếu
MA kMB
 
. Khi đó điểm
M có tọa độ:
1
1
1
AB
M
AB
M
AB

M
x kx
x
k
y ky
y
k
z kz
z
k



















+ Tích vô hướng của 2 véctơ:

1 2 1 2 1 2
.u v x x y y z z  


+ Bình phương vô hướng:
2
2 2 2
1 1 1
u x y z  


+ Độ dài của véctơ:
2 2 2
1 1 1
u x y z  


+

là góc tạo bởi 2 véctơ thì:
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
.
os
| |.| |
.
x x y y z z
uv
c

uv
x y z x y z



   

 

+ Tích có hướng của 2 véctơ:

1 1 1 1 1 1
3 3 3
2 2 2 2 2 2
w [ , ]= ; ; ( ; ; )
y z z x x y
u v x y z
y z z x x y





  

Phương trình đường thẳng và mặt phẳng trong hệ tọa độ Đề các vuông góc
được thành lập như đối với hệ tọa độ afin.
Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng:
2 2 2
Ax 0, 0By Cz D A B C      

và
' ' ' ' '2 '2 '2
0, 0Ax B y C z D A B C      

+ 2 mặt phẳng trùng nhau
' ' ' '
A B C D
A B C D
   






10
+ 2 mặt phẳng song song
' ' ' '
A B C D
A B C D
   

+ 2 mặt phẳng cắt nhau
' ' '
: : : :A B C A B C

+ 2 mặt phẳng vuông góc với nhau
' ' '
AA 0BB CC   

Vị trí tương đối của 2 đường thẳng: Cho đường thẳng (d) đi qua điểm M
0

(x
0
, y
0
, z
0
) có véctơ chỉ phương
( , , )u a b c

và đường thẳng (d
’
) đi qua điểm
M
’
0
(x
’
0
, y
’
0
, z
’
0
) có véctơ chỉ phương
' ' ' '
( , , )u a b c


. Ta có:
+ d và d
’
đồng phẳng
''
0
, . 0
o
u u M M



 


+ d và d
’
cắt nhau
' ' ' ' '
0
, . 0, : : : :
o
u u M M a b c a b c

  

 


+ d và d
’
chéo nhau
''
0
, . 0
o
u u M M



 


+ d trùng với d
’

' ' ' ' ' '
0 0 0 0 0 0
: : : : ( ):( ):( )a b c a b c x x y y z z     

+ d song song với d
’

' ' ' ' ' '
0 0 0 0 0 0
: : : : ( ):( ):( )a b c a b c x x y y z z     

+ d vuông góc với d
’

'
.0uu



Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (

) lần lượt có phương trình là:
(d):
0 0 0
x x y y z z
a b c
  

; (

): Ax + By + Cz + D = 0
+ (d) thuộc mặt phẳng (

)
0 0 0
Aa 0
Ax 0
Bb Cc
By Cz D
  




   


+ (d) song song với mặt phẳng (

)
0 0 0
Aa 0
Ax 0
Bb Cc
By Cz D
  



   


+ (d) cắt mặt phẳng (

)
Aa 0Bb Cc   

+ (d) vuông góc với mặt phẳng (

)
: : : :A B C a b c

Tính góc trong hệ tọa độ Đề các vuông góc:

11
+ Cho đường thẳng (d) có véctơ chỉ phương
( , , )u a b c

và đường thẳng (d
’
) có
véctơ chỉ phương
' ' ' '
( , , )u a b c

.

là góc giữa hai đường thẳng (d) và (d
’
)
được tính theo công thức:
' ' '
'
2 2 2 '2 '2 '2
aa
os | os( , ) |
.
bb cc
c c u u

a b c a b c



   



+ Cho đường thẳng (d) có véctơ chỉ phương
( , , )u a b c

và mặt phẳng (P) có
véctơ pháp tuyến
( ; ; )n A B C

.

là góc nhọn giữa đường thẳng (d) và mặt
phẳng (P) được tính theo công thức:
2 2 2 2 2 2
Aa
sin
.
Bb Cc
A B C a b c



   

+ Cho 2 mặt phẳng (P) và (P
’
) lần lượt có véctơ pháp tuyến là:
( ; ; )n A B C


và
' ' ' '
( ; ; )n A B C

.

là góc nhọn giữa 2 mặt phẳng được tính theo công thức:
' ' '
2 2 2 '2 '2 '2
AA
os
.
BB CC
c
A B C A B C



   

Tính khoảng cách trong hệ tọa độ Đề các vuông góc
+ Khoảng cách giữa 2 điểm: Cho 2 điểm A(a
1
; b

1
; c
1
); B(a
2
;b
2
; c
2
). Ta có:
222
2 1 2 1 2 1
( , ) | | ( ) ( ) ( )d A B AB a a b b c c      


+ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian:
Khoảng cách từ điểm M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) đến mặt phẳng (

) có phương trình: Ax +
By + Cz + D = 0 được tính theo công thức:

0 0 0

0
2 2 2
Ax
( ,( ))
By Cz D
dM
A B C

  



+ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian:
Khoảng cách từ điểm M
1
(x
1;
y
1
; z
1
) đến đường thẳng (d) có phương trình
0 0 0
x x y y z z
a b c
  

được tính theo công thức:

12
01
1
,
( , )
M M u
d M d
u



 

trong đó M
0
(x
0
, y
0
, z
0
)

d,
( , , )u a b c

là véctơ chỉ
phương của (d) và
01

,M M u


 
là diện tích hình chữ nhật có cạnh là
01
MM

và
u

.
Do đó công thức trên được tính:
2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
1
2 2 2
( , )
y y z z z z x x x x y y
b c c a a b
d M d
abc
     




Lưu ý: Muốn tính khoảng cách từ M
1
đến đường thẳng (d) ta có thể thực hiện

các bước sau đây:
Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng (P)
đi qua M
1
và vuông góc với (d)
Bước 2: Tìm giao điểm H =
()Pd

Bước 3: Tính
 
11
,M H d M d

+ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:
0 0 0
1
' ' '
0 0 0
2
' ' '
( ):
( ):
x x y y z z
d
a b c
x x y y z z
d
a b c
  


  


Ta có:
' ' ' ' ' ' ' ' '
0 0 0 0 0 0
' ' 2 ' ' 2 ' ' 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
bc bc x x ca c a y y ab ab z z
d
bc bc ca c a ab ab
       

    

Phương trình các mặt bậc hai đơn giản trong không gian:
 Mặt cầu
+ Định nghĩa: Cho điểm I (a; b; c) cố định và khoảng cách R cho trước không
đổi. M thuộc mặt cầu (S) 
IM
Tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm I bán
kính R.
+ Phương trình mặt cầu tâm I bán kính R:

P
d
M
1
H

M
0




13
Dạng 1: (x-a)
2
+ (y – b)
2
+ (z – c)
2
= R
2
.
Đặc điểm phương trình mặt cầu:
+ Các hệ số của x
2
, y
2
, z
2
bằng nhau.
+ Không có các số hạng chứa cách tích xy, yz, zx. Do đó ta có:
Dạng 2: x
2
+ y
2
+ z

2
– 2ax – 2by – 2cz + d = 0 là phương trình mặt cầu tâm I (a;
b; c) và bán kính R =
dcba 
222
với điều kiện: a
2
+ b
2
+ c
2
- d ≥ 0.
Chú ý:
- Ta có thể chuyển dạng 2 về dạng 1 để tìm tâm và bán kính của mặt cầu,
khi cần tìm tập hợp điểm trong không gian thoả mãn một số tính chất nào đó
của bài toán mà ta tìm được phương trình dạng 2 thì ta có thể căn cứ vào đó để
kết luận khi nào tập hợp cần tìm đó là một mặt cầu.
- Từ phương trình của mặt cầu ta dễ dàng viết được phương trình đường
tròn trong không gian là một hệ gồm hai phương trình trong đó:
Mỗi phương trình là phương trình của một mặt cầu với điều kiện 2 mặt
cầu này cắt nhau.
Có một phương trình mặt cầu và một phương trình mặt phẳng với điều
kiện mặt phẳng cắt mặt cầu.
* Cho mặt cầu (S): (x-a)
2
+ (y – b)
2
+ (z – c)
2
= R

2
và mặt phẳng
(α): Ax + By + Cz + D = 0
- Khoảng cách d từ tâm I (a; b; c) của (S) tới (α) là: d =
222
CBA
DcCbBaA



+ Nếu d < R thì (α)  (S) = đường tròn (C) có phương trình:
(x – a)
2
+ (y – b)
2
+ (z-c)
2
= R
2

Ax + By + Cz + D = 0
+ Nếu d = R thì (α) tiếp xúc với (S).
+ Nếu d > R thì (α)  (S) = Ф.
- Giao của 2 mặt cầu: Cho 2 mặt cầu (S): (x-a)
2
+ (y-b)
2
+ (z-c)
2
= R

2
.
(S’): (x – a’)
2
+ (y – b’)
2
+ (z-c’)
2
= R
2
.



14
d là khoảng cách 2 tâm của (S) và (S’) khi đó:
+ d > R + R’  2 mặt cầu ngoài nhau.
+ d = R + R’  2 mặt cầu tiếp xúc ngoài.
+  R - R’ < d < R + R’  2 mặt cầu cắt nhau và khi đó giao tuyến là
đường tròn (C) có phương trình:

+ d = R - R’ 2 mặt cầu tiếp xúc trong.
+ 0 < d < R-R’ 2 mặt cầu lồng nhau.
+ d = 0  2 mặt cầu đồng tâm.
- Mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu: Trong trường hợp mặt phẳng tiếp xúc với
mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z

2
+ 2ax + 2by + 2cz + d = 0 với a
2
+ b
2
+ c
2
– d ≥ 0 tại
điểm M (x
o
, y
o
, z
o
) thì mặt phẳng tiếp xúc được gọi là mặt phẳng tiếp diện của
mặt cầu tại điểm M và có phương trình là:
xx
o
+ yy
o
+ zz
o
+ a(x + x
o
) + b ( y – y
o
) + c (z + z
o
) + d = 0
- Phương tích của điểm P(x

1
, y
1
, z
1
) đối với mặt cầu (S):
P
P/(S)
= x
2
1
+ y
2
1
+ z
2
1
+ 2ax
1
+ 2by
1
+ 2cz
1
+ d
- Mặt phẳng đẳng phương của 2 mặt cầu (S) và (S’) không đồng tâm:
(S): x
2
+ y
2
+ z

2
+ 2ax + 2by + 2cz + d = 0 với a
2
+ b
2
+ c
2
–d ≥ 0
(S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2a’x + 2b’y + 2c’z + d’ = 0 với a’
2
+ b’
2
+ c’
2
- d ≥ 0
Mặt phẳng đẳng phương có phương trình:
(): (a – a’)x + (b – b’)y + (c – c’)z +
2
'dd 
= 0
với (a – a’)
2
+ (b – b’) + (c – c’)
2

≠ 0.
 Mặt trụ:
Chú ý: Khi thành lập phương trình mặt trụ trong không gian, chúng ta cần
chú ý rằng nếu đường chuẩn (C) được cho bởi phương trình F(x, y) = 0 trong
(x - a)
2
+ (y - b)
2
+ (z - c)
2
= R
2

(x - a’)
2
+ (y - b’)
2
+ (z - c’)
2
= R
2




15
mặt phẳng.Trong không gian đường cong phẳng này được biểu thị bằng hệ
phương trình: (C):
( , ) 0
0

F x y
z






Nếu xét phương trình F(x, y) = 0 trong hệ toạ độ Oxyz của không gian thì
phương trình đó biểu thị cho ta một mặt trụ có đường sinh song song với trục
Oz và nhận đường cong (C) nói trên làm đường chuẩn.
- Phương trình mặt trụ tròn xoay có đường sinh song song với trục Oz và
có bán kính R: (x – a)
2
+ (y – b)
2
= R
2
(phương trình không chứa z).
- Phương trình mặt trụ tròn xoay có đường sinh song song với trục Oy và
có bán kính R: (x – a)
2
+ (z – c)
2
= R
2
(phương trình không chứa y).
- Phương trình mặt trụ tròn xoay có đường sinh song song với trục Ox và
có bán kính R: (y– b)
2

+ (z – c)
2
= R
2
(phương trình không chứa x).
* Mặt tròn:
- Phương trình mặt nón tròn xoay đỉnh O (gốc toạ độ) trục Oz, góc ở đỉnh
2α là: x
2
+ y
2
- z
2
tg
2
α = 0
- Phương trình mặt nón tròn xoay đỉnh O (gốc toạ độ) trục Oy, góc ở đỉnh
2α là: x
2
+ z
2
- y
2
tg
2
α = 0
- Phương trình mặt nón tròn xoay đỉnh O (gốc toạ độ) trục Ox, góc ở đỉnh
2α là: y
2
+ z

2
– x
2
tg
2
α = 0.
1.2.3 Tọa độ cực
Trong không gian 0xyz, tọa độ cực của một điểm P được xác định bởi
một bộ bốn số có thứ tự
 
, , ,
   
, trong đó:

= OP;
 
, ; ( ; ); ( ; )Ox OP Oy OP Oz OP
  
  
     

Giữa tọa độ Đề các (x, y, z) của điểm P và tọa độ cực của điểm đó có
các hệ thức sau đây:


16
2
22
os
os

os
xc
yc
zc
x y z













  


1.2.4 Tọa độ trụ
Trong không gian Oxyz tọa độ trụ của một điểm P được xác định bởi
một bộ ba số có thứ tự
 
,,z

, trong đó:
,


là tọa độ cực của điểm P
’
–
hình chiếu vuông góc của điểm P trên mặt phẳng Oxy và z là khoảng cách đại
số từ P đến mặt phẳng Oxy.
Giữa tọa độ Đề các (x, y, z) của điểm P và tọa độ trụ của điểm đó có hệ
thức sau đây:

22
os
sin
xc
y
zz
xy















Trong mặt phẳng ta lấy một trục Ot gọi là trục cực, điểm O gọi là điểm
cực với mỗi điểm M trong mặt phẳng ta có bán kính cực

là khoảng cách OM
và góc cực

là góc quay từ trục Ot đến tia OM theo chiều quay ngược chiều
kim đồng hồ.
Ta nói bộ hai số (
,

) là tọa độ cực của điểm M





1.2.5 Tọa độ cầu
O


t
e


( , )M


17
Trong không gian Oxyz tọa độ trụ của một điểm P được xác định bởi
một bộ ba số có thứ tự
 
,,
  
, trong đó:

là khoảng cách OP,
'
(Ox, )OP




với P
’
là hình chiếu của P trên mặt phẳng Oxy và
 
0
, ,0 180Oz OP

  
 
.
Giữa tọa độ Đề các (x, y, z) của điểm P và tọa độ cầu của điểm đó có
các hệ thức sau:
2 2 2
sin os
sin sin

os
xc
y
zc
x y z
  
  











  


1.2.6 Các tri thức khoa học khác có liên quan đến phương pháp tọa độ
a. Phép đổi hệ toạ độ Đêcác vuông góc trong không gian.
Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc O; e
1
, e
2
, e
3
 và

O; e’
1
, e’
2
, e’
3
, giả sử:
e’
1
= a
1
e
1
+ a
2
e
2
+ a
3
e
3


e’
2
= b
1
e
1

+ b
2
e
2
+ b
3
e
3

e’
3
= c
1
e
1
+ c
2
e
2
+ c
3
e
3
OO’ = d
1
e
1
+ d
2
e

2
+ d
3
e
3

Gọi u là một vectơ bất kỳ, giả sử u có toạ độ (x; y; z) đối với hệ
O; e
1
, e
2
, e
3
còn (x’, y’, z’) là toạ độ của u đối với hệ O’; e’
1
, e’
2
, e’
3
.
Ta có công thức liên hệ giữa các tọa độ của cùng một véctơ đối với hai hệ
tọa độ đã cho:
' ' '
1 1 1
' ' '
2 2 2
' ' '
3 3 3
x a x b y c z
y a x b y c z

z a x b y c z

  

  


  
































18
Giả sử M là một điểm tùy ý, có tọa độ (x; y; z) đối với hệ
 
1 2 3
0; , ,e e e
  
còn
(x
’
; y
’
; z
’
) là tọa độ
u

đối với hệ
 
' ' ' '
1 2 3
0 ; , ,e e e

  
. Ta có công thức liên hệ giữa các
tọa độ của cùng một điểm đối với hai hệ tọa độ đã cho:
' ' '
1 1 1 1
' ' '
2 2 2 2
' ' '
3 3 3 3
x a x b y c z d
y a x b y c z d
z a x b y c z d

   

   


   

gọi là công thức đổi tọa độ.
b) Định hướng trong không gian
Ta xét tập hợp các bộ ba véctơ độc lập tuyến tính trong không gian thì
tập hợp đó được phân thành 2 lớp: hai bộ ba véctơ trong cùng một lớp thì cùng
hướng với nhau và ngược lại.
Nếu trong không gian ta chọn một bộ ba véc tơ nào đó và gọi nó là có
hướng dương thì ta có thể định nghĩa hướng của các bộ ba khác là dương hay
âm tùy theo nó cùng hướng hay khác hướng với bộ 3 đã chọn, làm như vậy ta
đã định hướng cho không gian.
Định nghĩa:

Nếu trong không gian ta đã chọn một bộ ba véctơ độc lập tuyến tính
 
,,abc
  

thì ta nói rằng không gian đã được định hướng. Khi đó một bộ ba véctơ độc lập
tuyến tính
 
,,abc
  
gọi là bộ ba thuận nếu nó cùng hướng với
 
,,abc
  
và gọi là
bộ ba nghịch nếu nó ngược hướng với
 
,,abc
  
.
Qua việc nghiên cứu các loại hệ tọa độ trong không gian ta nhận thấy hệ
tọa độ afin chỉ giải quyết được các bài toán afin tức là những dạng toán sử
dụng quan hệ liên thuộc, quan hệ song song,… còn hệ tọa độ Đềcác có thể giải
quyết được các bài toán về metric. Kiến thức về hệ tọa độ afin trong chương
trình phổ thông được sử dụng dưới dạng phương pháp véctơ, kiến thức về hệ
tọa độ Đềcác được sử dụng xuyên suốt chương trình phổ thông. Tuy nhiên, do


19
yêu cầu giảm tải kiến thức nên mọi kiến thức không thể đưa vào trường phổ

thông được, nhưng nếu giáo viên có ý thức khai thác thì cũng có thể lựa chọn
được một số bài toán hay để minh họa cho tính ưu việt của các hệ đó.

1.3 Các khái niệm
1.3.1 Kỹ năng
Theo [6], “Kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được
vào thực tế”. Một cách hiểu cụ thể là khả năng vận dụng những kiến thức, tri thức
khoa học vào thực tiễn, trong đó khả năng được hiểu là sức đã có (về mặt nào đó)
để có thể làm tốt được công việc.
Theo [7], “Kĩ năng là giai đoạn trung gian giữa tri thức và kĩ xảo trong quá
trình nắm vững một phương thức hành động. Đặc điểm đòi hỏi sự tập trung chú ý
cao, sự kiểm soát chặt chẽ của thị giác, hành động chưa bao quát, còn có động tác
thừa. Được hình thành do tập luyện hay do bắt chước”. Ở đây, vẫn theo [7],
“Kĩ xảo là mức độ lĩnh hội hoạt động của cá nhân được tự động hoá một cách có ý
thức. Kĩ xảo có đặc điểm: 1) mang tính chất kĩ thuật thuần tuý; 2) được hình thành
chủ yếu bằng sự luyện tập có mục đích và hệ thống; 3) không gắn với một tình
huống nhất định nào cả; 4) được đánh giá về mặt kĩ thuật, thao tác; 5) mức độ tự
động hoá khá cao, do đó không sửa được khi cần; 6) động tác mang tính khái quát,
không có động tác thừa, kết quả cao, ít tốn năng lượng thần kinh và cơ bắp.”
Theo tâm lí học, kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động
nào đó theo một mục đích trong những điều kiện nhất định. Nếu ta tạm thời tách tri
thức và kĩ năng để xem xét riêng biệt thì tri thức thuộc phạm vi nhận thức, thuộc về
khả năng “biết” còn kĩ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc về khả năng “biết
làm”. Cũng theo tâm lý học, bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý
thuyết – đó là kiến thức. Bởi vì, xuất phát từ cấu trúc của kỹ năng ( phải hiểu mục
đích, biết cách thức đi đến kết quả và hiểu được những điều kiện cần thiết để triển
khai các cách thức đó ). Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn khi


20

vận dụng kiến thức vào việc giải quyết các bài tập cụ thể chính là do kiến thức
không chắc chắn, khái niệm trở nên chết cứng và không biến thành cơ sở của kỹ
năng.
Các nhà giáo dục học cho rằng: “ Mọi kiến thức bao gồm một phần là thông
tin “ kiến thức thuần túy “ và một phần là kỹ năng. Kỹ năng là một nghệ thuật, là
khả năng vận dụng những hiểu biết có được ở bạn để đạt được mục đích của mình;
kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ các thói quen nhất định; cuối cùng, kỹ
năng là khả năng làm việc có phương pháp. Trong toán học, kỹ năng là khả năng
giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời
giải và chứng minh nhận được. Kỹ năng trong toán học quan trọng hơn nhiều so
với kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn” [7;tr 99,100]
1.3.2 Kỹ năng toán học – Kỹ năng giải toán
a) Kĩ năng toán học
Một yêu cầu quan trọng cần đạt được trong dạy học toán là học sinh phải
nắm vững kiến thức, có kĩ năng, kĩ xảo vận dụng trong thức hành giải toán. Tuỳ
theo từng nội dung kiến thức truyền thụ cho học sinh mà ta có những yêu cầu rèn
luyện kĩ năng tương ứng. Trong chương trình Toán phổ thông, ta có thể chỉ ra một
số kĩ năng cần thiết khi giải toán.

Kĩ năng tính toán: Bên cạnh việc rèn luyện tư duy, khả năng suy luận độc
lập, sáng tạo, không xem nhẹ việc rèn luyện kĩ năng tính toán vì nó có vai trò quan
trọng đối với học sinh trong việc học tập hiện tại và cuộc sống sau này. Trong hoạt
động thực tế ở bất kỳ các lĩnh vực nào cũng đòi hỏi kĩ năng tính toán : Tính đúng,
tính nhanh, tính hợp lý.

Kĩ năng vận dụng thành thạo các quy tắc:

Về mặt kĩ năng này thì cần yêu
cầu học sinh vận dụng một cách linh hoạt, tránh máy móc.


Kĩ năng vận dụng tri thức vào giải toán:

Học sinh được rèn luyện kĩ năng
này trong quá trình họ tìm tòi lời giải bài toán. Nên hướng dẫn học sinh thực hiện


21
giải toán theo quy trình giải toán của Polya: Tìm hiểu nội dung bài toán; Xây dựng
chương trình giải; Thực hiện chương trình giải; Kiểm tra, nghiên cứu lời giải.


Kĩ năng chứng minh toán học:

Theo Hoàng Chúng, để có kĩ năng chứng
minh toán học, học sinh cần phải đạt được: Hình thành động cơ chứng minh; Rèn
luyện những hoạt động thành phần trong chứng minh; Truyền thụ những tri thức
phương pháp về chứng minh, các phép suy luận.

Kĩ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch, kĩ năng biến đổi xuôi
chiều và ngược chiều:

là một điều kiện quan trọng để học sinh nắm vững và vận
dụng kiến thức, đồng thời nó cũng là một thành phần tư duy quan trọng của toán
học. Bên cạnh đó cần rèn luyện cho học sinh kĩ năng biến đổi xuôi chiều và ngược
chiều song song với nhau giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược diễn ra
đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận.

Kĩ năng đọc và vẽ hình, đo đạc:

Đây là kĩ năng cần thiết và phải rèn luyện

cho học sinh một cách cẩn thận. Đặc biệt, với kĩ năng vẽ hình, học sinh phải hình
thành và rèn luyện thói quen vẽ hình chính xác theo quy ước và phù hợp với lý
thuyết biểu diễn hình, vẽ cẩn thận, đẹp.

Kĩ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn:

Kĩ năng toán học hoá các
tình huống thực tiễn được cho trong bài toán hoặc nảy sinh từ thực tế đời sống
nhằm tạo điều kiện cho học sinh biết và vận dụng những kiến thức toán học trong
nhà trường gây hứng thú trong học tập giúp học sinh nắm được thực chất nội dung
vấn đề và tránh hiểu các sự kiện toán học một cách hình thức .

Kĩ năng hoạt động tư duy hàm:

Tư duy hàm là quá trình nhận thức liên
quan đến sự tương ứng, những mối liên hệ phụ thuộc giữa các phần tử của một hay
nhiều tập hợp trong sự vận động của chúng. Tư duy hàm đóng vai trò quan trọng và
xuyên suốt trong chương trình toán phổ thông. Những hoạt động tư duy hàm là:
hoạt động phát hiện và thiết lập sự tương ứng; hoạt động nghiên cứu sự tương ứng;
hoạt động nghiên cứu sự tương ứng.


22

Kĩ năng tự kiển tra, tự đánh giá trình bày lời giải và tránh sai lầm khi giải
toán:

“Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình”
(Polya). Trong học tập giải toán việc phát hiện sai lầm và sửa sai lầm của lời giải là
một thành công của người học toán. Trên thực tế, có nhiều học sinh, kể cả học sinh

khá giỏi vẫn mắc sai lầm khi giải toán. Do vậy mà giáo viên cần giúp học sinh có
khả năng và thói quen phát hiện những sai lầm (nếu có) sau mỗi bài tập, mỗi bài
kiểm tra, phân tích được những nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó. Qua đó học sinh
cũng cần được rèn luyện kĩ năng trình bày lời giải chẳng hạn như: câu chữ, các ký
hiệu, vẽ hình chính xác, hình thức… Việc hình thành và rèn luyện kĩ năng tự kiểm
tra, đánh giá và biết tự điều chỉnh góp phần nâng cao thành tích, chất lượng dạy và
học.
b) Kĩ năng giải toán
Trong toán học, “kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng
minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được”. Kĩ
năng giải toán được hiểu là kĩ năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài
tập toán học (bằng suy luận, chứng minh, ).
Theo Polya: Trong toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện
các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận
được.
Như vậy, kĩ năng giải toán có cơ sở là các tri thức toán học (bao gồm kiến thức,
kĩ năng, phương pháp). Sau khi nắm vững lí thuyết, trong quá trình luyện tập, củng cố
kiến thức toán học thì kĩ năng được hình thành, phát triển đồng thời nó cũng góp phần
củng cố, cụ thể hoá kiến thức toán học. Kĩ năng toán học được hình thành và phát triển
thông qua việc thực hiện các hoạt động toán học, hoạt động học tập trong môn toán.
Kĩ năng cũng có thể được rút ngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động.
1.3.3 Sự hình thành kỹ năng


23
Theo tâm lý học, thực chất của sự hình thành kỹ năng là hình thành cho
học sinh nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và
sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu
chúng với những hành động cụ thể.
Muốn vậy, khi hình thành kỹ năng chủ yếu là kỹ năng học tập và kỹ năng

giải toán cho học sinh chúng ta cần phải:
+ Giúp học sinh biết cách tìm tòi và nhận ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm
và mối quan hệ giữa chúng.
+ Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải quyết các bài
tập, các đối tượng cùng loại.
+ Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình và các kiến thức
tương ứng.
1.3.4 Vai trò của bài tập toán học
Người thầy giáo muốn rèn luyện được phương pháp tọa độ cho học sinh
cần phải hiểu rõ được vị trí, chức năng của bài tập toán học.
Bài tập là một tình huống kích thích đòi hỏi một lời giải đáp không có
sẵn ở người giải tại thời điểm bài tập được đưa ra.
Khái niệm này gồm ba ý chính:
- Chỉ ra bài tập đối với đối tượng nào đó hay với trạng thái phát triển
nào đó của người giải.
- Lời giải bài tập phải tương thích với tình huống của bài tập
- Lời giải gắn liền với tình huống như một đặc trưng của tình huống mà
người giải đã quen thuộc.
Vị trí, chức năng của bài tập toán học:
Trong trường phổ thông việc dạy toán là dạng hoạt động toán học. Đối với
học sinh có thể coi việc giải toán là hoạt động chủ yếu của hoạt động toán học.
Hệ thống các bài toán ở trường phổ thông có vai trò rất hữu hiệu và không thể
thay thế trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình
thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Do đó việc giải bài


24
tập toán học là điều kiện tốt để thực hiện các mục đích dạy học toán ở trường
phổ thông và việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất
lượng dạy học toán.

Trong thực tiễn dạy học, bài tâp toán học được sử dụng với nhiều dụng ý
khác nhau. Một bài tập có thể tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm
việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra,… Với mỗi bài tập cụ thể
được đặt ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một
cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau. Và những chức
năng này đều hướng tới mục đích dạy học môn toán:
Với chức năng dạy học, bài tập nhằm hình thành, củng cố cho học sinh những
tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
Với chức năng giáo dục, bài tập nhằm hình thành cho học sinh thế giới
quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức con
người trong thời đại mới.
Với chức năng phát triển, bài tập phát triển năng lực tư duy cho học sinh,
đặc biệt là việc rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất
tư duy khoa học.
Với chức năng kiểm tra, bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và
học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh.
Trên thực tế, các chức năng không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời
nhau. Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể
tức là hàm ý nói việc thực hiện chức năng ấy được tiến hành một cách tường
minh và công khai. Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần lớn
phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có
thể có của một bài tập mà người viết sách giáo khoa đã có dụng ý chuẩn bị.
Người giáo viên chỉ có thể khám phá và thực hiện được những dụng ý đó bằng
năng lực sư phạm và trình độ nghệ thuật của mình.
1.3.5 Vai trò của phương pháp tọa độ
a. Tính tối ưu của phương pháp tọa độ