Đề phát triển theo cấu trúc ma trận minh họa BGD năm 2022 môn toán đề 20 tiêu chuẩn (bản word có lời giải)

ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

Đề phát triển theo cấu trúc ma trận minh họa BGD năm 2022 Mơn Tốn - Đề 20 - Tiêu chuẩn (Bản word có lời giải)
Câu 1:

Môđun của số phức z = 2 + 3i bằng
A. 2.

Câu 2:

Câu 4:

Câu 5:

B. 1 .

D.

C. 2 .

D. 3 .

z − 2 z2
Cho hai số phức z1 = 2 − 3i , z2 = 1 + i . Điểm biểu diễn số phức 1
trên mặt phẳng tọa độ
là
M ( 0; − 1)
N ( 4; − 1)
P ( 0; − 5 )
Q ( −1;0 )
A.

.
B.
.
C.
.
D.
.

( Oyz ) ?
Trong không gian Oxyz , điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng tọa độ
M ( 3; 4;0 )
P ( −2;0;3)
Q ( 2;0;0 )
N ( 0; 4; −1)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
2
2
Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu có phương trình x + y + z + 2 x − 6 y − 6 = 0. Tìm tọa

độ tâm I của mặt cầu đó.
I ( 1; − 3; 0 ) .
I ( 1; − 3; − 3) .

A.
B.
Câu 6:

5.

C. 5.

Số phức z = (1 − i )(1 + 2i ) có phần thực là
A. −1 .

Câu 3:

B. 13.

C.

I ( −1; 3; 3) .

Tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 2 .
A. 6.
B. 8.
C. 4.

D.

I ( −1; 3; 0 ) .

D. 2.

Câu 7:

Cho khối chóp có diện tích đáy bằng 6 và chiều cao bằng 7 . Thể tích của khối chóp đã cho
bằng
A. 7 .
B. 21 .
C. 42 .
D. 14 .

Câu 8:

Tính diện tích của mặt cầu có bán kính bằng 2a .
4π a 3
A. 3 .

Câu 9:

32π a 3
B. 3 .

C. 16π a .
2

2
D. 4π a .

Cho khối nón có chiều cao bằng 3 và đường kính đáy bằng 8 . Thể tích của khối nón đã cho
bằng
A. 16π .
B. 48π .

C. 36π .
D. 64π .

Câu 10: Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là
7!
3
3
A. 3! .
B. C7 .
C. A7 .

D. 21 .

1

Câu 11:

u1 = −9, u4 =
(u )
3 . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
Cho cấp số nhân n , với
1
.
A. 3

B. −3.

C. 3.

1

− .
D. 3

Page 1


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Câu 12: Cho hàm số
dưới đây?

y = f ( x)

y = f ( x)

có đồ thị như hình vẽ. Hàm số

đồng biến trên khoảng nào

y
2

−1

O

x

−4
A.

( 1; 2 ) .

Câu 13: Cho hàm số

B.

y = f ( x)

( −1; 2 ) .

C.

D.

( −1;1) .

có bảng biến thiên như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 5 .
C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 .
Câu 14: Cho hàm số bậc bốn

( −4; 2 ) .

y = f ( x)

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 .
D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 .

có đồ thị như hình vẽ. Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại?

y

O

x

B. 2 .

A. 3 .
Câu 15: Cho hàm số

y = f ( x)

có bảng xét dấu của

C. 0 .

f ′( x)

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 0 .
B. 1 .

D. 1 .

như sau:

C. 2 .

D. 3 .

Câu 16: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
y
−2
O 2
x
−1

−5

Page 2


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

A.

y=

x4
− 2 x2 −1
4
.

B.

y=

x4

− 4 x2 −1
2
.
y=

Câu 17: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
1
y=−
y
=
1
2.
A.
.
B.

4
2
C. y = x − 2 x − 1 .

4
2
D. y = − x + 2 x − 1 .

2− x
2 x + 1 là

C. x = 2 .

D.

x=−

1
2.

Câu 18: Hàm số nào sau đây có tập xác định là ¡ ?
1

3
A. y = x .

B.

y = ln x

1

.

x+1
Câu 19: Nghiệm của phương trình 4 = 8 là
1
1
x=
x=−
2.
2.
A.
B.

B. (0;1) .

1
ex .

D.

C. x = 2 .

D. x = 1 .

Câu 20: Tập nghiệm của bẩt phương trình log 2 x < 1 là
A. (2; +∞ ) .

y=

x
C. y = 2 .

C.

( 0; 2 ) .

D.

( −∞; 2 ) .

log 3 ( a.b 2 )
ab

Câu 21: Với
là các số thực dương tùy ý,
bằng
1
log 3 a + log 3 b
2 ( log 3 a + log 3 b )
2.log
a
.log
b
3
3 .
2
A.
B.
. C.
. D. log 3 a + 2 log 3 b .
f ( x ) dx = F ( x ) + C
Câu 22: Cho a, b ∈ ¡ , a ≠ 0. Nếu ∫
thì

A.

∫ f ( ax + b ) dx = F (ax + b) + C .

B.

1

∫ f ( ax + b ) dx = a F (ax + b) + C .

C.
5

∫

Câu 23: Cho
A. 16 .

f ( x ) dx = 6

1

5

và

∫ g ( x ) dx = 8
1

∫ f ( ax + b ) dx = aF (ax + b) + C .
1

∫ f ( ax + b ) dx = a F (ax + b).
D.
5

. Giá trị của

B. 14 .

∫ 4 f ( x ) − g ( x ) dx
1

C. 12 .

bằng
D. 10 .

Câu 24: Cho a, b là các số dương thỏa mãn 4 log3 a + 7 log3 b = 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
4 7
A. a b = 2 .

B. 4a + 7b = 9 .

4 7
C. a b = 9 .

D. 4a + 7b = 2 .

3
2
Câu 25: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − 3 x + 3 trên đoạn

[ 1;3] . Tổng M + m bằng
A. 6 .
Câu 26: Cho hàm số bậc bốn

B. 4 .

y = f ( x)

C. 8 .

D. 2 .

có đồ thị trong hình bên.

Page 3


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

y
2
−2 −1

O

1

2

x

−2
f ( x) = 2
Số nghiệm phân biệt của phương trình
là
A. 3 .
B. 2 .

C. 4 .
x2 −2 x

< 27 là

Câu 27: Tập nghiệm của bất phương trình 3
( −∞; −1) .
( 3; +∞ ) .
A.
B.

C.

D. 5 .

( −1;3) .

D.

( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ ) .

Câu 28: Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 7% / năm theo thể thức lãi kép. Hỏi
sau 5 năm người đó có tổng số tiền cả vốn và lãi là bao nhiêu? Biết rằng trong q trình gửi
người đó khơng rút tiền lãi và lãi suất ngân hàng không thay đổi.
A. 142.255.173 đ.
B. 139.255.173 đ.
C. 141.255.173 đ.
D. 140.255.173 đ.
2
Câu 29: Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3π a và độ dài đường sinh bằng 3a . Diện tích

tồn phần của hình nón đã cho bằng
2
B. 4π a .

2
A. 8π a .

2
C. 2π a .

2
D. π a .

2
Câu 30: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x − 3 x + 1 và đường thẳng y = x + 1 được tính
theo cơng thức nào dưới đây?

4

A.

∫( x
0

2

)

4

− 4 x dx
.

B.

∫ ( −x

2

)

+ 4 x dx

0

7
3

( x + 1)dx
3
3
Câu 31: Xét 0 3x + 1 , nếu đặt t = 3x + 1 thì

∫

2

4

7

3

∫
0

.

C.

0

)

4

+ 4 x dx
.

D.

∫ ( −x

2

)

− 2 x dx

0

.

( x + 1)dx
3
3x + 1 bằng

4

1 4
∫1 (t + 2t )dt.
3
A.

∫( x

2

1 4
∫1 (t − 2t )dt.
3
B.

2

2

3∫ (t + 2t )dt.
4

C.

D.

1

1 4
(t + 4t )dt.
3 ∫0

Câu 32: Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn | z − 3 + i |= 2 là
x + 3)
A. đường tròn (

2

+ ( y − 1) = 4

.

x − 3)
B. đường tròn (

( x − 3)

2

+ ( y + 1) = 2

.

D. đường thẳng 3 x − y + 2 = 0.

C. đường tròn

2

2

2

+ ( y + 1) = 4
2

.

2
Câu 33: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z − 4 z + 13 = 0 và A , B lần lượt là hai điểm biểu
diễn cho hai số phức z1 , z2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Diện tích tam giác OAB bằng

A. 13 .

B. 12 .

13
C. 2 .

D. 6 .

Page 4

ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT
Câu 34: Trong
d:

khơng

( P) :

Oxyz , cho mặt phẳng

gian

x + y + z + 2 = 0 và đường thẳng

x −1 y z
= =
2
1 1 . Goi ∆ là đường thẳng song song với ( P) đồng thời ∆ vng góc với d .

Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là
ur
uu
r
u1 = ( 0;1; − 1)
u2 = ( 1; − 1;0 )
A.
.
B.
.

Câu 35: Trong

không

Oxyz ,

gian

( β ) : 2 x − y + mz − m + 1 = 0 , với

(β)

cho

C.
hai

uu
r
u3 = ( 1;0; − 1)
mặt

phẳng

.

D.

uu
r

u4 = ( 0;1;1)

.

( α ) : x + y + z −1 = 0

và

m là tham số thực. Giá trị của m để hai mặt phẳng ( α ) và

vng góc với nhau là

A. −1 .

D. −4 .

C. 1 .

B. 0 .

d:

x −1

2
Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
( P) : x + 2 y − 2 z + 1 = 0 . Khoảng cách giữa (d ) và ( P ) bằng
7
.
A. 3

8
.
B. 3

z = x + yi,( x, y ∈ ¡

Câu 37: Cho số phức
S = 3x − 2 y
A. S = −10 .
Câu 38: Cho hàm số

=

y z+3
=
1
2

5
.
C. 3

),

thỏa mãn

B. S = −12 .

D. 0.

( 1 + 2i ) z + z = 3 − 4i .
C. S = −13 .

y = − x3 − mx 2 + ( 4m + 9 ) x + 5

và mặt phẳng

Tính giá trị biểu thức
D. S = −11 .

với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) ?
A. 4 .
B. 6 .
C. 7 .

D. 5 .

Câu 39: Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Gọi M , N lần lượt trung điểm của cạnh AC và B′C ′ ,

α là góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ( A′B′C ′D′ ) . Tính giá trị của sin α .
A.

sin α =

5
5 .

Câu 40: Cho hàm số
hàm số

y = f ( x)

(

B.

sin α =

2 5
5 .

liên tục trên đoạn

)

y = f 3sin 2 x − 1

bằng

C.

[ −1;3]

sin α =

2
2 .

D.

sin α =

1
2.

và có đồ thị như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của

y
3
2

1
−1

O

2

x
3

−2
Page 5


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
A. 3 .

C. 0 .

B. 2 .

D. 1

x − 2020 2022 x
.3
> 3x
Câu 41: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình 2
A. 2020
B. 2017 .
C. 2018 .

2

+ 4040

.
D. 2019 .

y = f ( x)
y = f ′ ( 3 − 2x )
y = f ( x)
Câu 42: Cho hàm số bậc bốn
và đồ thị hàm số
như hình vẽ. Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

y

−1

A.

( 0; +∞ ) .

B.

( 3; +∞ ) .

x

O

2

C.

( −∞; −1) .

D.

( 0; 2 ) .

Câu 43: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có góc giữa mặt phẳng chứa mặt bên và mặt phẳng đáy
bằng 60° . Biết rằng mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD có bán kính R = 3. Tính thể tích
của khối chóp S . ABC .
576 3

A. 125 .

72 3
B. 125 .

288 3
C. 125 .

144 3
D. 125 .

Câu 44: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có AB = a, AA′ = 2a. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng AB′ và A′C.
a 3
.
A. 2

2a 5
.
B. 5

2a 21
.
C. 21

π 
f  ÷= 0
Câu 45: Cho f ′( x) = sin 2 x − 5sin x cos x, ∀x ∈ ¡ ,  2 
và
4

T=

A.

1
+ b.
a
Mệnh đề nào sau đây đúng?

T ∈ ( 1; 2 ) .

B.

T ∈ ( 0;1) .

C.

2a 17
.
D. 17

π
2

∫ f ( x)dx = a + b
0

T ( 2;3) .

D.

vi a, b Ô . Đặt

T ∈ ( −2;0 ) .

b Ỵ ( - 10;10)
Câu 46: Có bao nhiêu số nguyên a sao cho ứng với mỗi a , tồn tại ít nhất 8 số nguyên
2

a - 2a- 3+b
£ 3b+a + 598 ?
thỏa mãn 5
A. 4 .
B. 6.

Câu 47: Cho hàm số bậc ba

y = f ( x)

C. 5.

D. 7 .

có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị ngun dương

y = f ( x + m − 2020 )
của tham số m để hàm số
có 5 điểm cực trị?

Page 6


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

y

x

5
3

O

A. 2024 .

B. 2022 .

C. 2020 .

D. 2018 .

Câu 48: Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vng tại A . Khoảng cách từ đường

( BCC ′B′) bằng khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( ABC ′) và
thẳng AA′ đến mặt phẳng
cùng bằng 1 . Góc giữa hai mặt phẳng
lăng trụ ABC. A′B′C ′ nhỏ nhất.
A. tan ϕ = 2 .

B.

tan ϕ =

( ABC ′)

1
3.

và

( ABC )

bằng ϕ . Tính tan ϕ khi thể tích khối

C. tan ϕ = 3 .
log a( b+ 2 c )

bc ( a − 3)

ab + 2ca
Câu 49: Cho các số thực a > 3, b > 1, c > 1 thỏa mãn
Giá trị nhỏ nhất của T = a + b + c thuộc khoảng nào dưới đây?
A.

( 16;17 ) .

B.

( 17;18) .

C.

( 18;19 ) .

D.

tan ϕ =

1
2.

+ log bc ( a −3) ( ab + 2ac ) = 1

D.

.

( 19; 20 ) .

Page 7


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

y = f ′( x)
Câu 50: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ¡ và có đồ thị hàm số
như hình vẽ dưới đây:

Tìm số điểm cực đại của hàm số y = e

A. 2 .
B. 3 .

f ( x)

.π

f 3 ( x)

.
C. 0 .

D. 1 .

---------- HẾT ----------

Page 8


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

Môđun của số phức z = 2 + 3i bằng
B. 13.

A. 2.

z = 22 + 32 = 13

Câu 2:

5.

C. 5.
Lời giải

D.

C. 2 .
Lời giải

D. 3 .

.

Số phức z = (1 − i )(1 + 2i ) có phần thực là
A. −1 .

B. 1 .

z = (1 − i )(1 + 2i) = 3 + i ⇒ Phần thực là 3.
Câu 3:

z − 2 z2 trên mặt phẳng tọa độ
Cho hai số phức z1 = 2 − 3i , z2 = 1 + i . Điểm biểu diễn số phức 1
là
M ( 0; − 1)
N ( 4; − 1)
P ( 0; − 5 )

Q ( −1;0 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Ta có:
là

Câu 4:

Câu 5:

z1 − 2z 2 = 2 − 3i − 2 ( 1 − i ) = −i ⇒
Tọa độ điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ

( 0; − 1) .

( Oyz ) ?
Trong không gian Oxyz , điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng tọa độ
M ( 3; 4;0 )
P ( −2;0;3)
Q ( 2;0;0 )
N ( 0; 4; −1)
A.
.

B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
2
2
2
Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu có phương trình x + y + z + 2 x − 6 y − 6 = 0. Tìm tọa

độ tâm I của mặt cầu đó.
I ( 1; − 3; 0 ) .
I ( 1; − 3; − 3) .
A.
B.

Câu 6:

C.
Lời giải

I ( −1; 3; 3) .

I ( −1; 3; 0 ) .
Mặt cầu đã cho có tâm là
Tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 2 .
A. 6.
B. 8.

C. 4.
Lời giải

D.

I ( −1; 3; 0 ) .

D. 2.

3
Ta có V = 2 = 8 .

Câu 7:

Cho khối chóp có diện tích đáy bằng 6 và chiều cao bằng 7 . Thể tích của khối chóp đã cho
bằng
A. 7 .
B. 21 .
C. 42 .
D. 14 .
Lời giải
1
1
V = .B.h = .6.7 = 14
3
3
Thể tích khối chóp đã cho là
.

Câu 8:

Tính diện tích của mặt cầu có bán kính bằng 2a .
4π a 3
A. 3 .

32π a 3
B. 3 .

C. 16π a .
2

2
D. 4π a .

Page 9


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Lời giải
S = 4π R = 4π ( 2a ) = 16π a
2

2

Câu 9:

2

.

Cho khối nón có chiều cao bằng 3 và đường kính đáy bằng 8 . Thể tích của khối nón đã cho
bằng
A. 16π .
B. 48π .
C. 36π .
D. 64π .
Lời giải
8
r= =4
2
Khối nón có bán kính đáy
.
1
1
V = π r 2 h = π 423 = 16π
3
3
Do đó thể tích khối nón là
.

Câu 10: Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là
7!
3
3
A. 3! .
B. C7 .
C. A7 .
Lời giải

D. 21 .

3
Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là C7 .

1

Câu 11:

u1 = −9, u4 =
(u )
3 . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
Cho cấp số nhân n , với
1
.
A. 3

1
− .
D. 3

B. −3.

C. 3.
Lời giải
1
1
1
1
1
u4 = u1.q 3 = ⇔ q 3 =

=
⇔q=−
q
=
−
u
3
3.u1 −27
3 . Vậy cấp số nhân ( n ) có cơng bội
3
Ta có:
.
Câu 12: Cho hàm số
dưới đây?

y = f ( x)

y = f ( x)

có đồ thị như hình vẽ. Hàm số

đồng biến trên khoảng nào

y
−1

2
O

x

−4

( −4; 2 ) .
( −1;1) .
C.
D.
Lời giải
x ∈ ( 0; 2 )
Dựa vào hình vẽ ta thấy trên khoảng
thì đồ thị hàm số đi lên nên hàm số cũng đồng
A.

( 1; 2 ) .

B.

biến trên khoảng
Câu 13: Cho hàm số

( −1; 2 ) .

( 1; 2) .

y = f ( x)

có bảng biến thiên như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Page 10

ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 5 .
C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 .

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 .
D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 .
Lời giải

Qua bảng biến thiên ta thấy hàm số có y′ đổi dấu từ dương sang âm qua x = 0 nên hàm số đạt
cực đại tại x = 0 .
Câu 14: Cho hàm số bậc bốn

y = f ( x)

có đồ thị như hình vẽ. Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại?

y

O

x

A. 3 .

C. 0 .
Lời giải

B. 2 .

D. 1 .

Hàm số có 2 điểm cực đại.
Câu 15: Cho hàm số

y = f ( x)

có bảng xét dấu của

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 0 .
B. 1 .
Nhìn vào bảng xét dấu ta thấy
hai cực trị.

f ′( x)

f ′( x)

như sau:

C. 2 .
Lời giải

D. 3 .

đổi dấu khi đi qua x = −3 và x = 1 nên hàm số đã cho có

Câu 16: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

y
−2
O 2
x
−1

−5
A.

y=

x4
− 2 x2 −1
4
.

B.

y=

x4
− 4 x2 −1
2
.

4
2
C. y = x − 2 x − 1 .
Lời giải

4
2
D. y = − x + 2 x − 1 .

Page 11


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

Ta thấy

y ( 2 ) = −5

y=

nên trong số các hàm số đã cho thì chỉ có hàm số
y=

Câu 17: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
1
y=−
y
=
1
2.
A.
.
B.

x4

− 2x2 −1
4
thỏa mãn.

2− x
2 x + 1 là

C. x = 2 .
Lời giải

D.

x=−

1
2.

2− x
1
1
=−
y=−
2 . Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là
2.
Ta có x →±∞ 2 x + 1
lim

Câu 18: Hàm số nào sau đây có tập xác định là ¡ ?
1
3

A. y = x .

Hàm số

y=

B.

y = ln x

1
x

C. y = 2 .
Lời giải

.

Ta có 2

1
ex .

1
e x có tập xác định là ¡ .

x+1
Câu 19: Nghiệm của phương trình 4 = 8 là
1

1
x=
x=−
2.
2.
A.
B.

2( x+1)

D.

y=

=2

3

⇔ 2 ( x + 1) = 3 ⇔ x =

C. x = 2 .
Lời giải
1
2.

Câu 20: Tập nghiệm của bẩt phương trình log 2 x < 1 là
A. (2; +∞ ) .

D. x = 1 .

B. (0;1) .

( 0; 2 ) .

C.
Lời giải

D.

( −∞; 2 ) .

log 2 x < 1 ⇔ 0 < x < 2 .
log 3 ( a.b )
Câu 21: Với ab là các số thực dương tùy ý,
bằng
1
log 3 a + log 3 b
2 ( log 3 a + log 3 b )
2.log
a
.log
b
3
3 .
2
A.
B.
. C.
. D. log 3 a + 2 log 3 b .
Lời giải

log 3 ( a.b 2 ) = log 3 a + 2 log 3 b
Ta có
.
2

f ( x ) dx = F ( x ) + C
Câu 22: Cho a, b ∈ ¡ , a ≠ 0. Nếu ∫
thì

A.

∫ f ( ax + b ) dx = F (ax + b) + C .

B.

1

∫ f ( ax + b ) dx = aF (ax + b) + C .
1

∫ f ( ax + b ) dx = a F (ax + b) + C .
C.

∫ f ( ax + b ) dx = a F (ax + b).
D.
Lời giải

1

1

∫ f ( ax + b ) dx = a ∫ f ( ax + b ) d ( ax + b ) = a F (ax + b) + C .
Page 12


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
5

∫ f ( x ) dx = 6

Câu 23: Cho 1
A. 16 .

5

và

∫ g ( x ) dx = 8
1

5

. Giá trị của

B. 14 .

∫ 4 f ( x ) − g ( x ) dx
1

C. 12 .

Lời giải

bằng
D. 10 .

5

∫ 4 f ( x ) − g ( x ) dx = 4.6 − 8 = 16

.
a
,
b
Câu 24: Cho
là các số dương thỏa mãn 4 log3 a + 7 log3 b = 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
4 7
4 7
A. a b = 2 .
B. 4a + 7b = 9 .
C. a b = 9 .
D. 4a + 7b = 2 .
1

Lời giải

Ta có:

4 log 3 a + 7 log 3 b = 2 ⇔ log 3 a 4 + log3 b 7 = 2 ⇔ log 3 ( a 4b 7 ) = 2 ⇔ a 4b 7 = 32

⇔ a 4b 7 = 9 .

3
2
Câu 25: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − 3 x + 3 trên đoạn

[ 1;3] . Tổng M + m bằng
A. 6 .

B. 4 .

3
2
Hàm số y = x − 3 x + 3 liên tục trên đoạn

C. 8 .
Lời giải
[ 1;3]

D. 2 .

 x = 0 ∉ [ 1;3]
y ' = 3 x 2 − 6 x, y ' = 0 ⇔ 
 x = 2 ∈ [ 1;3]
Ta có
y ( 1) = 1, y ( 2 ) = −1 y ( 3) = 3
M = y ( 3) = 3, m = y ( 2 ) = −1
Ta có
,
. Do đó
.
Vậy M + m = 3 − 1 = 2 .

Câu 26: Cho hàm số bậc bốn

y = f ( x)

có đồ thị trong hình bên.
y
2

−2 −1

O

1

−2
f ( x) = 2
Số nghiệm phân biệt của phương trình
là
3
A. .
B. 2 .
C. 4 .
Lời giải

2

x

D. 5 .

Page 13


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
 f ( x) = 2
f ( x) = 2 ⇔ 
 f ( x ) = −2 .
Ta có
f ( x) = 2
y = f ( x)
Số nghiệm của phương trình
là số giao điểm của đồ thị hàm số
và đường

y = f ( x)
thẳng y = 2 . Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số
giao với đường thẳng y = 2 tại ba
điểm phân biệt.
f ( x ) = −2
y = f ( x)
Số nghiệm của phương trình
là số giao điểm của đồ thị hàm số
và đường
y = f ( x)

thẳng y = −2 . Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số
hai điểm phân biệt.
f ( x) = 2

Số nghiệm phân biệt của phương trình

x2 −2 x

Câu 27: Tập nghiệm của bất phương trình 3
( −∞; −1) .
( 3; +∞ ) .
A.
B.
3x

2

−2 x

< 27 ⇔ 3x

2

−2 x

giao với đường thẳng y = −2 tại

là 5 .

< 27 là

( −1;3) .

C.
Lời giải

D.

( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ ) .

< 33 ⇔ x 2 − 2 x < 3 ⇔ −1 < x < 3 .

Câu 28: Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 7% / năm theo thể thức lãi kép. Hỏi
sau 5 năm người đó có tổng số tiền cả vốn và lãi là bao nhiêu? Biết rằng trong quá trình gửi
người đó khơng rút tiền lãi và lãi suất ngân hàng không thay đổi.
A. 142.255.173 đ.
B. 139.255.173 đ.
C. 141.255.173 đ.
D. 140.255.173 đ.
Lời giải
108. ( 1 + 0, 07 ) = 140.255.173
Số tiền người gửi có được sau 5 năm là
đ.
5

2
Câu 29: Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3π a và độ dài đường sinh bằng 3a . Diện tích
tồn phần của hình nón đã cho bằng
2
B. 4π a .

2
A. 8π a .

C. 2π a .
Lời giải

2
D. π a .

2

S = π rl ⇔ 3π a 2 = π r.3a ⇔ r = a
Ta có xq
Stp = π rl + π r 2 = π a.3a 2 + π .a 2 = 4π a 2
.
2
Vậy diện tích tồn phần của hình nón bằng 4π a .
2
Câu 30: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x − 3 x + 1 và đường thẳng y = x + 1 được tính
theo cơng thức nào dưới đây?

4

A.

∫( x

2

)

4

− 4 x dx
B.

)

+ 4 x dx

4

∫( x

2

)

+ 4 x dx

4

∫ ( −x

2

)

− 2 x dx

.
C.
.
D.
.

Lời giải
2
Phương trình hồnh độ giao điểm của parabol y = x − 3 x + 1 và đường thẳng y = x + 1 là:
x = 0
x 2 − 3x + 1 = x + 1 ⇔ x 2 − 4 x = 0 ⇔ 
x = 4
0

.

∫ ( −x

2

0

0

0

2
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x − 3x + 1 và đường thẳng y = x + 1 là:

Page 14


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
4

4

(

)

S = ∫ x − 4 x dx = ∫ − x 2 + 4 x dx
2

0

0

2
x ∈ [ 0;4]
(do x − 4 x ≤ 0 với mọi
).

7
3

( x + 1)dx
3
3
Câu 31: Xét 0 3x + 1 , nếu đặt t = 3x + 1 thì

∫

2

∫

0

( x + 1)dx
3
3x + 1 bằng

4

1 4
∫1 (t + 2t )dt.
3
A.

Đặt

7
3

1 4
∫1 (t − 2t )dt.
3
B.

t = 3 3x + 1 ⇒ x =

2

2

3∫ (t + 2t )dt.

4

C.
Lời giải

D.

1

1 4
(t + 4t )dt.
3 ∫0

t3 −1
⇒ dx = t 2 dt
3
.

 t3 −1  2
+ 1÷t dt
2 
2
3
( x + 1) dx
1 4


= ∫ (t + 2t ) dt
∫0 3 3x + 1 = ∫1
t

31
Khi đó
.
7
3

Câu 32: Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn | z − 3 + i |= 2 là

( x + 3)

2

A. đường tròn
C. đường tròn

( x − 3)

2

+ ( y − 1) = 4

.

+ ( y + 1) = 2

.

2

( x − 3)

( x − 3)

2

+ ( y + 1) = 4
2

.

2

D. đường thẳng 3 x − y + 2 = 0.
Lời giải
z = x + yi  ( x, y ∈ R )
.
Ta

Đặt

z −3+ i = 2 ⇔

B. đường trịn

2

có

+ ( y + 1) = 2 ⇔ ( x − 3) + ( y + 1) = 4.
2

2

2

2
Câu 33: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z − 4 z + 13 = 0 và A , B lần lượt là hai điểm biểu
diễn cho hai số phức z1 , z2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Diện tích tam giác OAB bằng

13
C. 2 .
Lời giải

B. 12 .

A. 13 .

D. 6 .
 z = 2 + 3i
⇔
 z = 2 − 3i .

⇔ ( z − 2 ) = −9 ⇔ ( z − 2 ) = ( 3i )
Ta có z − 4 z + 13 = 0
⇒ A ( 2;3) , B ( 2; − 3) OA = OB = 13 ⇒ ∆OAB
,
cân tại O .
⇒ H ( 2;0 )
Gọi H là trung điểm của AB
và OH ⊥ AB , OH = 2 , AB = 6 .

1
1
S ∆OAB = OH . AB = .2.6 = 6
2
2
Vậy
.
2

2

Câu 34: Trong
d:

không

gian

2

Oxyz , cho mặt phẳng

2

( P) :

x + y + z + 2 = 0 và đường thẳng

x −1 y z
= =

2
1 1 . Goi ∆ là đường thẳng song song với ( P) đồng thời ∆ vng góc với d .

Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là
ur
uu
r
u1 = ( 0;1; − 1)
u2 = ( 1; − 1;0 )
A.
.
B.
.

C.

uu
r
u3 = ( 1;0; − 1)

.

D.

uu
r
u4 = ( 0;1;1)

.
Page 15

ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
r
n( P ) = ( 1;1;1)

Ta
có
và
r
r
r
r
r
u ∆ ⊥ u d
r ⇒ u ∆ =  n( P ) ; u d  = ( 0;1; − 1)
r
u ∆ ⊥ n( P )
Câu 35: Trong

không

Oxyz ,

gian

( β ) : 2 x − y + mz − m + 1 = 0 , với

(β)

Lời giải
r
u d = ( 2;1;1)

cho

hai

.

mặt

Theo

giả

thiết

suy

ra

phẳng

( α ) : x + y + z −1 = 0

và

m là tham số thực. Giá trị của m để hai mặt phẳng ( α ) và

vng góc với nhau là

A. −1 .

B. 0 .

(α)

C. 1 .
D. −4 .
Lời giải
ur
n = ( 1;1;1)
là: 1
, một vectơ pháp tuyến của

Một vectơ pháp tuyến của
uu
r
n2 = ( 2; − 1; m )
.
ur uu
r
( α ) ⊥ ( β ) ⇔ n1.n2 = 0 ⇔ 2 − 1 + m = 0 ⇔ m = −1

(β)

là:

.

d:

Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
( P) : x + 2 y − 2 z + 1 = 0 . Khoảng cách giữa (d ) và ( P ) bằng
7
8
5
.
.
.
A. 3
B. 3
C. 3

x −1 y z + 3
= =
2
1
2

và mặt phẳng

D. 0.

Lời giải
uu
r
ud = ( 2;1; 2 )
uu
r uur

⇒ ud .nP = 2.1 + 1.2 + 2. ( −2 ) = 0
 uur
n = ( 1; 2; −2 )
Ta có:  P
.
M ( 1;0; − 3 )
( P ) nên ta có
Do đó đường thẳng d đi qua điểm
và song song với mặt phẳng

( P ) là
khoảng cách giữa d và
Câu 37: Cho số phức
S = 3x − 2 y
A. S = −10 .

d ( d ;( P) ) = d ( M ;( P) ) =

z = x + yi,( x, y ∈ ¡

),

B. S = −12 .

thỏa mãn

1 + 2.0 − 2. ( − 3) + 1
12 + 22 + ( − 2 )

( 1 + 2i ) z + z = 3 − 4i .

C. S = −13 .
Lời giải

2

8
= .
3

Tính giá trị biểu thức
D. S = −11 .

( 1 + 2i ) z + z = 3 − 4i ⇔ ( 1 + 2i ) ( x − yi ) + x + yi = 3 − 4i .
⇔ x + 2 y + 2 xi − yi + x + yi = 3 − 4i ⇔ 2 x + 2 y + 2 xi = 3 − 4i .
 x = −2
2 x + 2 y = 3

⇔
⇔
7
 2 x = −4
 y = 2
.

⇒ S = 3x − 2 y = −13 .

Page 16

ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Câu 38: Cho hàm số

y = − x3 − mx 2 + ( 4m + 9 ) x + 5

với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) ?
A. 4 .
B. 6 .
C. 7 .
Lời giải
2
Ta có y ′ = −3 x − 2mx + 4m + 9 .

D. 5 .

( −∞; +∞ ) ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈ ¡ .
Hàm số nghịch biến trên
 a < 0
⇔
⇔ −9 ≤ m ≤ −3
2
 ∆y′′ = m + 12m + 27 ≤ 0
.
Vậy có 7 giá trị nguyên của m .

Câu 39: Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Gọi M , N lần lượt trung điểm của cạnh AC và B′C ′ ,

α là góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ( A′B′C ′D′ ) . Tính giá trị của sin α .

A.

sin α =

5
5 .

B.

sin α =

2 5
5 .

sin α =

C.
Lời giải

2
2 .

D.

sin α =

1
2.

⇒ MP ⊥ ( A′B′C ′D′ )

Đặt AB = a > 0 . Gọi P là trung điểm của cạnh A′C ′
.
·
α = ( MN , ( A′B′C ′D′ ) ) = MNP
Suy ra
.
Xét

tam

giác

vng

MNP

ta

có

MN = MP 2 + PN 2 =

a 5
2

MP
a
2 5
·
⇒ sin α = sin MNP

=
=
=
MN a 5
5
2
Câu 40: Cho hàm số
hàm số

y = f ( x)

(

liên tục trên đoạn

)

y = f 3sin 2 x − 1

[ −1;3]

và có đồ thị như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của

bằng

Page 17


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

y
3
2

1
−1

2

O

x
3

−2
B. 2 .

A. 3 .
Đặt

t = 3sin 2 x − 1 ⇒ t ∈ [ −1;2 ]

D. 1

C. 0 .
Lời giải

(

, giá trị lớn nhất của hàm số

[ −1; 2] .
trên đoạn
max y = max f ( t ) = 2

)

y = f 3sin 2 x − 1

là giá trị lớn

y = f ( t)

nhất của hàm số

Dựa vào đồ thị ta có:

[ −1;2]

¡

.

x − 2020 2022 x
.3
> 3x
Câu 41: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình 2
A. 2020
B. 2017 .
C. 2018 .

Lời giải

2 x − 2020.32022 x > 3x

2

+ 4040

⇔ 2 x − 2020 > 3x

2

− 2022 x + 4040

2

+ 4040

.
D. 2019 .

⇔ log 3 2 x − 2020 > log 3 3x

2

− 2022 x + 4040

⇔ ( x − 2020 ) log 3 2 > x 2 − 2022 x + 4040
⇔ ( x − 2020 ) log 3 2 > ( x − 2020 ) ( x − 2 ) ⇔ ( x − 2020 ) ( x − 2 − log 3 2 ) < 0
⇔ 2 + log 3 2 < x < 2020 .

Vậy bất phương trình có tập nghiệm
phương trình là

S = ( 2 + log 3 2; 2020 )

, suy ra tập nghiệm nguyên bất

{ 3; 4;...; 2019} . Do đó bất phương trình có 2017

nghiệm nguyên.

y = f ( x)
y = f ′ ( 3 − 2x )
y = f ( x)
Câu 42: Cho hàm số bậc bốn
và đồ thị hàm số
như hình vẽ. Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

y

−1

B.

( 3; +∞ ) .

2

( −∞; −1) .

C.
Lời giải
3− x 

f ′ ( x ) < 0 ⇔ f ′  3 − 2.
÷< 0
2


Cách 1: Quan sát đồ thị ta có
A.

( 0; +∞ ) .

x

O

D.

( 0; 2 ) .

Page 18


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
3 − x
 2 >2
 x < −1
⇔

⇔
3 < x < 5
 −1 < 3 − x < 0

2
. Suy ra hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên ( −∞; −1) và (3;5) .
Cách 2:
3−t
t = 3 − 2x ⇒ x =
2 .
Đặt
3−t

−1 <
<0

−
1
<
x
<
0

3 < t < 5
2
′
f (3 − 2 x) < 0 ⇔ 
⇒
⇔
x > 2

t < −1
3 − t > 2
f '( t ) < 0 ⇔
 2
Quan sát đồ thị ta có
.
Suy ra hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên ( −∞; −1) và (3;5) .
Câu 43: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có góc giữa mặt phẳng chứa mặt bên và mặt phẳng đáy
bằng 60° . Biết rằng mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD có bán kính R = 3. Tính thể tích
của khối chóp S . ABC .
576 3
A. 125 .

72 3
B. 125 .

Gọi N là trung điểm cạnh BC suy ra

288 3
C. 125 .
Lời giải

144 3
D. 125 .

·
= 60°
( ( SBC ) , ( ABCD ) ) = SNO
.

Gọi M là trung điểm cạnh SB , dựng MI ⊥ SB
khối chóp.

( I ∈ SO )

suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp

Đặt DC = 2 x . Khi đó, SO = x 3 , SB = x 5 .
SM .SB SB 2 5 x 3
6
SI =
=
=
= 3⇒x=
SO
2 SO
6
5
Tam giác SMI đồng dạng với tam giác SOB suy ra
⇒ DC =

12
6 3
, SO =
5
5 .
2

1
1 6 3 1  12  144 3

V = SO.S ABC = .
.  ÷ =
3
3 5 2 5 
125 .
Thể tích của khối chóp S . ABC là

Câu 44: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có AB = a, AA′ = 2a. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng AB′ và A′C.

Page 19


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
a 3
.
A. 2

2a 21
.
C. 21
Lời giải

2a 5
.
B. 5

2a 17
.
D. 17

A ' C / / MN ⇒ A ' C / / ( ANB ' )
Gọi M = AB ′ ∩ A′B; N là trung điểm BC . Ta có:
.
d ( AB′, A′C ) = d ( C , ( ANB′ ) ) = d ( B, ( ANB′ ) )
Khi đó:
.
 AN ⊥ BC
⇒ AN ⊥ ( BCC ′B′ ) ⇒ AN ⊥ BH .

′
AN
⊥
BB
′
BH
⊥
B
N

Kẻ
, mà
BH ⊥ ( ANB′ ) ⇒ d ( B, ( ANB′ ) ) = BH .
Do đó
Xét

∆ BNB′ :

1
1

1
2a 17
=
+
⇒ BH =
.
2
2
2
BH
BN
BB′
17

π 
f  ÷= 0
Câu 45: Cho f ′( x) = sin 2 x − 5sin x cos x, ∀x ∈ ¡ ,  2 
và
4

T=

A.

1
+ b.
a
Mệnh đề nào sau đây đúng?

T ∈ ( 1; 2 ) .

B.

T ∈ ( 0;1) .

π
2

∫ f ( x)dx = a + bπ
0

T ( 2;3) .
C.
Li gii

D.

vi a, b Ô . Đặt

T ∈ ( −2;0 ) .

1
f ( x ) = ∫ sin 2 x − 5sin x cos 4 x dx = − cos 2 x + cos5 x + C
2
1
π 
1
1
f  ÷= 0 ⇒ C = −
f ( x) = − cos 2 x + cos5 x − = cos 5 x − cos 2 x.

2 . Do đó
2
2
2

(

Suy ra
π
2

)

π
2

π
2

0

0

∫ f ( x)dx = ∫ cos

5

π
2

xdx − ∫ cos 2 xdx = I1 − I 2 .

π
2

0

π

2
2
1
8
I1 = ∫ cos xdx = ∫ (1 − sin x) d (sin x ) = (sin x − sin 3 x + sin 5 x) = .
3
5
15
0
0
0
5

2

π
2

π
I1 = ∫ cos 2 xdx = .
4

0

2

π
2

Vậy

8

π

8

1

∫ f ( x)dx = 15 − 4 ⇒ a = 15 , b = − 4 ⇒ T =
0

15 1 13
− = ∈ (1; 2).
8 4 8

Page 20


ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT
b Ỵ ( - 10;10)
Câu 46: Có bao nhiêu số nguyên a sao cho ứng với mỗi a , tồn tại ít nhất 8 số nguyên

2

a - 2a- 3+b
£ 3b+a + 598 ?
thỏa mãn 5
A. 4 .
B. 6.

D. 7 .

C. 5.
Lời giải

b

Chia cả hai vế cho 5 , ta được
b

b

2
3
1
3  ÷ + 598  ÷ − 5a −2 a−3 ≥ 0.
5
5

a

b

b

2
3
1
f ( b ) = 3a  ÷ + 598  ÷ − 5a −2 a−3
b ∈ [ −9;9]
5
5
Đặt
, với
. Ta có

b

b

3 3
1 1
f ′ ( b ) = 3a  ÷ ln + 598  ÷ ln < 0, ∀b ∈ [ −9;9 ] .
5 5
5 5

Do đó

f ( b)

nghịch biến trên

[ −9;9] . Điều này dẫn đến yêu cầu bài toán trở thành
f ( −1) ≥ 0 ⇔ 5a

2

−2 a − 4

≤ 3a −1 + 598.

2
Nếu a > 4 thì a − 2a − 4 > a − 1 + 1 . Suy ra

5

a 2 − 2 a −4

a −1

>5

a −1

625 a−1 a1 598 a 1
5
ì5 = 3 ữ ì5 > 3a−1 ×
=3 +3 ×
> 3 + 598.
27
27
3

a −1

a- 1
Nếu a ≤ 4 thì do thì 3 £ 27 và a ∈ ¢ nên

5a

2

−2 a− 4

≤ 625 ⇔ a 2 − 2a − 4 ≤ 4 ⇔ −2 ≤ a ≤ 4 ⇒ a ∈ { −2; −1;0;1; 2;3;4} .

Thử lại, ta thấy được 6 giá trị - 1;0;1;2;3;4 thỏa mãn yêu cầu.
Câu 47: Cho hàm số bậc ba

y = f ( x)

có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương

y = f ( x + m − 2020 )
của tham số m để hàm số
có 5 điểm cực trị?

y

5
O

A. 2024 .

B. 2022 .

Trước hết ta thấy hàm số

x

3

C. 2020 .
Lời giải

D. 2018 .

y = f ( x + m − 2020 )

không phải là hàm số hằng và có đồ thị đối
xứng trục tung nên hàm số luôn đạt cực trị tại điểm x = 0 .
Hàm số

y = f ( x)

có hai điểm cực trị là x = 3, x = 5 .

Page 21


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
 f ( x + m − 2020 ) khi x ≥ 0
y = f ( x + m − 2020 ) = 

 f ( − x + m − 2020 ) khi x < 0 .
Ta có
 x + m − 2020 = 3

y = f ( x + m − 2020 )
Hàm số
có hai điểm cực trị thỏa mãn  x + m − 2020 = 5
 x = 2023 − m
⇔
 x = 2025 − m .
 − x + m − 2020 = 3

y = f ( − x + m − 2020 )
Hàm số
có hai điểm cực trị thỏa mãn  − x + m − 2020 = 5
 x = m − 2023
⇔
 x = m − 2025 .
Do đó hàm số

y = f ( x + m − 2020 )

có tối đa 5 điểm cực trị, nên để hàm số có 5 điểm cực trị

 2023 − m > 0
 2025 − m > 0

⇔ m < 2023

 m − 2023 < 0


thì  m − 2025 < 0
. Suy ra có tất cả 2022 giá trị nguyên dương của tham số m
thoả mãn bài toán.
Câu 48: Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Khoảng cách từ đường

( BCC ′B′) bằng khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( ABC ′) và
thẳng AA′ đến mặt phẳng
cùng bằng 1 . Góc giữa hai mặt phẳng
lăng trụ ABC. A′B′C ′ nhỏ nhất.
A. tan ϕ = 2 .

B.

tan ϕ =

( ABC ′)

1
3.

và

( ABC )

bằng ϕ . Tính tan ϕ khi thể tích khối

C. tan ϕ = 3 .
Lời giải

D.

tan ϕ =

1
2.

Kẻ AH ⊥ BC ⇒ AH ⊥ ( BCC ' B ') ,
Vì

AA ' P( BCC ' B ') ⇒ d ( AA ', ( BCC ' B ') ) = d ( A, ( BCC ' B ') ) = AH = 1

Kẻ CK ⊥ AC ' , vì AB ⊥ AC và

.
AB ⊥ AA ' ⇒ AB ⊥ ( ACC ' A ' ) ⇒ AB ⊥ CK

⇒ CK ⊥ ( ABC ') ⇒ CK = d ( C , ( ABC ' ) ) = 1

.

.
Page 22


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

( ABC ') và ( ABC )
là góc giữa hai mặt phẳng
CK

1
CK
1
AC =
=
CC ' =
=
·CAC ' = ϕ
sin ϕ sin ϕ ,
cos ϕ cos ϕ .
Suy ra
. Do
1
1
1
1
=
−
= 1 − sin 2 ϕ = cos 2ϕ ⇒ AB =
2
2
2
cosϕ .
AB
AH
AC
Ta có

·
AB ⊥ ( ACC ' A ') ⇒ CAC

'

1
1
AB. AC =
2
2sin ϕ cos ϕ
(Bản word bạn đang sử dụng phát hành từ website Tailieuchuan.vn)
1
=
2
Thể tích lăng trụ ABC. A ' B ' C ' là V = CC '.S ∆ ABC 2sin ϕ cos ϕ .
S ∆ ABC =

( sin ϕ cos ϕ )
2

Do

⇒ sin ϕ cos 2 ϕ ≤

2

3

1
1  2sin 2 ϕ + cos2 ϕ + cos 2 ϕ 
4
2
2

2
= .2sin ϕ .cos ϕ .cos ϕ ≤ 
÷ =
2
2
3
 27 .

2 3
3 3
⇒V ≥
9
4 .

Suy ra thể tích lăng trụ nhỏ nhất là

V=

1
3 3
1
2sin 2 ϕ = cos 2 ϕ ⇔ tan 2 ϕ = ⇒ tan ϕ =
2.
4 khi
2
bc ( a − 3)

log a( b+ 2 c )

ab + 2ca

Câu 49: Cho các số thực a > 3, b > 1, c > 1 thỏa mãn
Giá trị nhỏ nhất của T = a + b + c thuộc khoảng nào dưới đây?
A.

( 16;17 ) .

B.

Ta

( 17;18) .

+ log bc ( a −3) ( ab + 2ac ) = 1

( 18;19 ) .

C.
Lời giải

log a ( b + 2 c )

có

⇔ log a ( b + 2 c ) ( bc(a − 3) ) + log bc ( a −3) ( ab + 2ac) = 2

D.

.

( 19; 20 ) .

bc(a − 3)
+ log bc ( a −3) ( ab + 2ac) = 1
ab + 2ca

(1)

Do a > 3, b > 1, c > 1 nên a (b + 2c) > 1 .
Nếu 0 < bc(a − 3) < 1 thì vế trái (1) âm, do đó bc(a − 3) > 1 .
Khi

đó

ta

có

log a ( b + 2 c ) ( bc(a − 3) ) + log bc ( a −3) (ab + 2ac) ≥ 2 log a ( b+ 2 c ) ( bc(a − 3) ) .log bc ( a −3) (ab + 2ac) = 2
a (b + 2c) = bc(a − 3) ⇔ ab + 2ac + 3bc = abc ⇔

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
 1 2 3   3b 2a   3c a   b 2c 
T = ( a + b + c)  + + ÷=  +
÷+  + ÷+  + ÷+ 6
b   a c c b 
c b a  a
Như vậy
≥2

(

)

(

6 + 3 + 2 + 6 = 1+ 2 + 3

)

.

1 2 3
+ + = 1.
c b a

2

.

Page 23


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT


a = 3 + 3 + 6
a = c 3


b

=
c
2
⇔

b = 2 + 2 + 6
 3

2
1

+
+ = 1 c = 1 + 2 + 3
c
Dấu “=” xảy ra khi  c 3 c 2
.
Vậy

(

min T = 1 + 2 + 3

)

2

≈ 17,19

.

y = f ′( x)
Câu 50: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ¡ và có đồ thị hàm số
như hình vẽ dưới đây:

Tìm số điểm cực đại của hàm số y = e
A. 2 .
B. 3 .
Xét hàm số
Ta có

y = g ( x ) = e f ( x ) .π f

g ′ ( x ) = f ′ ( x ) .e f ( x ) .π f

Do

3

( x)

( x)

.π f

3

( x)

x

Từ đồ thị hàm số

3

( x)

.
D. 1 .

C. 0 .
Lời giải

.

+ 3 f ′ ( x ) . f 2 ( x ) .e f ( x ) .π

( 1 + 3 f ( x ) .ln π )
( )
( 1 + 3 f ( x ) .ln π ) > 0, ∀x ∈ ¡

= f ′ ( x ) .e f ( x ) .π f
e f ( x ) .π f

3

3

f ( x)

f 3 ( x)

ln π

2

2

y = f ′( x)

nên

g′( x) > 0 ⇔ f ′( x) > 0

ta có bảng biến thiên như sau của hàm số

y = g ( x)

như sau:

( )
( )
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y = e .π
có hai điểm cực đại và hai điểm cực
tiểu.
---------- HẾT ---------f x

f3 x

Page 24