Đề phát triển theo cấu trúc ma trận minh họa BGD năm 2022 môn toán đề 25 tiêu chuẩn (bản word có lời giải)

ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

Đề phát triển theo cấu trúc ma trận minh họa BGD năm 2022 - Môn Tốn
- Đề 25 - Tiêu chuẩn (Bản word có lời giải)
Câu 1:

Câu 2:

Cho số phức z thỏa mãn z − 3 + i = 0 . Môđun của z bằng
A. 4 .
B. 10 .
C. 3 .

D. 10 .

Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu có tâm I ( 1; − 4;3) và đi qua điểm

A ( 5; − 3; 2 ) .
A. ( x − 1) + ( y − 4 ) + ( z − 3) = 18 .

B. ( x − 1) + ( y − 4 ) + ( z − 3) = 16 .

C. ( x − 1) + ( y + 4 ) + ( z − 3 ) = 16 .

D. ( x − 1) + ( y + 4 ) + ( z − 3) = 18 .

2

2

2

Câu 3:

2

2

2

Câu 7:
Câu 8:

Câu 9:

2

2

C. Điểm M (1; −1) .

1
D. Điểm Q (2; − ) .
3

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng x . Cạnh bên SA = x 6
vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Tính theo x diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

2

( 2 x − 3)

C. 2π x 2 .

B. x 2 2 .

Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. −

Câu 6:

2

x −1
?
x +1

B. Điểm N (1;0) .

S . ABCD .
A. 8π x 2 .
Câu 5:

2

2

Điểm nào dưới đây thuộc đồ thị hàm số y =
A. Điểm P (−2; −3) .

Câu 4:

2

2

.

B.

1
là F ( x ) bằng:
2x − 3

1
2 ( 2 x − 3)

D. 2x 2 .

2

.

Hàm số y = x 3 − 3 x + 2 đạt cực đại tại điểm
A. x = −1 .
B. x = 0 .

1
ln 2 x − 3 .
2

C. 2 ln 2 x − 3 .

D.

C. x = 1 .

D. x = −2 .

Tính tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình 5 x
A. 3 .
B. −3 .
C. −5 .

2

−5

< 0, 2 là
D. 0 .

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và B với AB = BC = a ,
AD = 2a và đường cao SA = a . Thể tích khối chóp S . ABCD bằng:
1 3
2a 3
A. 2a 3 .
B.
.
C. a .
D. a 3 2 .
2

3
2
Hàm số y = ln ( x + mx + 1) xác định với mọi giá trị của x khi

 m < −2
A. 
.
m > 2

B. m > 2 .

C. − 2 < m < 2 .

D. m < 2 .

C. x = 21 .

D. x = 11 .

Câu 10: Phương trình log 2 ( x − 5 ) = 4 có nghiệm là
A. x = 3 .
2

Câu 11: Cho

∫
1

1
f ( x ) dx = ,

2

B. x = 13 .
4

∫
3

f ( x ) dx =

3
. Khi đó
4

4

3

1

2

∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx bằng?
Page 1


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
A.

3

.
8

B.

5
.
4

C.

5
.
8

D.

1
4

Câu 12: Cho 2 số phức z1 = 2 + 3i và z2 = 3 + 2i . Tìm modun của số phức w = z1.z2 ?
A. 2 13

B. 13 2 .

C. 2 3 .
D. 2 5 .
ur
uu
r

Câu 13: Mặt phẳng ( P) song song với giá của hai véc tơ u1 = ( −1; −3; −3) , u2 = ( 3; −1;1) có một vectơ
pháp tuyến là
r
A. n = ( −6;8;10 ) .

r
r
r
B. n = ( −6; −8;10 ) .
C. n = ( 6; −8;10 ) .
D. n = ( 6;8;10 ) .
r
r
r r
Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u = ( 2; −3;1) và v = ( 4;3; −2 ) . Toạ độ vectơ u − v là:
A. ( −2; −6;3) .

B. ( −2; −6; −1) .

C. ( 2;6; −3) .

D. ( 6; 0; −1) .

Câu 15: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , biết M ( 5; −3) là điểm biểu diễn số phức z . Phần thực của z
bằng
A. 5 .
B. −5 .
C. −3 .
D. 1 .
f ( x ) = +∞ và lim− f ( x ) = 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 16: Cho hàm số y = f ( x ) có xlim
→1+
x →1

A. Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận.
C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận.
a2
Câu 17: Với mọi số thực a dương, log
bằng
100
A. 2log a − 2 .
B. 2 ln a − ln10 .

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1 .
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 2 .

2
C. log100 a .

D. 2log a + 10 .

4
2
Câu 18: Cho hàm số y = ax + bx + c ( a ≠ 0 ) có đồ thị như hình dưới đây. Xác định dấu của a , b , c .

A. a > 0, b < 0, c < 0 .

B. a > 0, b < 0, c > 0 . C. a < 0, b < 0, c < 0 . D. a > 0, b > 0, c < 0 .

x = t


Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y = 1 − t . Đường thẳng d đi qua điểm nào sau
z = 2 + t


đây?
A. F ( 0;1; 2 ) .

B. H ( 1; 2; 0 ) .

C. E ( 1;1; 2 ) .

Câu 20: Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số tập con gồm 3 phần tử của M là
3
A. 310 .
B. C10 .
C. 103 .

D. K ( 1; −1;1) .
3
D. A10 .

Câu 21: Cho khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác vuông cân tại A , BC = 2a và hình chiếu
vng góc của A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm cạnh BC , góc giữa AA′ và mặt
đáy bằng 60° . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

Page 2


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

A.

3a 3
.
3

B.

a3
.
2

C.

3a 3
.
2

D.

3a 3 .

2x
Câu 22: Tính đạo hàm của hàm số y = 7 − log 2 ( 5 x ) .

2.7 2 x
ln 2
.
7−
ln 5

5x
1
2x
C. y′ = 2.7 .ln 7 −
.
x ln 2

2x
B. y′ = 2.7 .ln 7 −

A. y′ =

D. y ′ =

1
.
x ln 5

2.7 2 x ln 2
.
−
ln 7
5x

Câu 23: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −2;3)
B. ( 3; + ∞ )
C. ( −∞; − 2 )

D. ( −2; + ∞ )

Câu 24: Cho hình trụ có diện tích đáy là 4π và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình vng.
Tính thể tích khối trụ?
π 6
A.
B. 4π
C. 8π
D. 16π
12
3

Câu 25: Cho hàm f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 2;3] đồng thời f ( 2 ) = 2 , f ( 3) = 5 . Tính ∫ f ′ ( x ) dx
2

bằng
A. −3

B. 7

C. 10

D. 3

Câu 26: Cho 5, x,3 x + 9 theo thứ tự này là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. giá trị của x là
A. 10 .
B. 8 .
C. 14 .
D. 16 .

Câu 27:

∫ sin axdx ( a ∈ ¡ )
*

1
A. − cos ax + C .
a

bằng
B.

1
cos ax + C .
a

C. − a cos ax + C .

D. − cos ax + C .

Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) là hàm số bậc 3 và có đồ thị như hình vẽ

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là

Page 3


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
A. 0 .

C. −1 .

B. 2 .

D. 4 .

1
Câu 29: Cho hàm số y = x + . Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên ( 0; +∞ ) là m tại x = a . Giá trị của
x
2
a + m là
A. 1 + 2 .
B. 1 − 2 .
C. 1 .
D. 3 .

Câu 30: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ¡ ?
B. y = log3 x .

A. y = 2− x .

2x

1
C. y =  ÷ .
2

D. y =

( 2)

x

.

Câu 31: Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn log 3 a = log 9 ( ab ) . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a = b 2 .

C. a = b .

B. a 3 = b .

D. a 2 = b .

Câu 32: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D '. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và A ' B.
A. 45° .
B. 60° .
C. 30° .
D. 90° .

Câu 33: Cho

2

2

−1

−1

∫ f ( x ) dx = 2, ∫ g ( x ) dx = −1

A. I = 17.

B. I =

2

. Khi đó

17
.
2

I = ∫  x + 2 f ( x ) − 3 g ( x ) dx
−1

C. I =

15
.
2

bằng

1
D. I = .
2

Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 2; −1;3) , B ( 2; 0;5 ) , C ( 0; −3; −1) .

Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua A và vng góc với BC ?
A. x − y + 2 z + 9 = 0.
B. x − y + 2 z − 9 = 0.
C. 2 x + 3 y − 6 z − 19 = 0. D. 2 x + 3 y + 6 z − 19 = 0.

z1 + z2
là
i
D. ( −7 ; 2 ) .

Câu 35: Cho hai số phức z1 = 2 + i và z2 = 3 + 2i . Toạ độ điểm biểu diễn số phức z = z1 z2 +
A. ( 7 ; 2 ) .

B. ( 2; − 7 ) .

C. ( 2; 7 ) .

Câu 36: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với
đáy và SA = a 3 . Khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( SBC ) bằng
A.

2a 5
.
5

B. a 3 .

C.

a

.
2

D.

a 3
.
2

Câu 37: Một hộp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả cầu màu xanh và 6 quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên
đồng thời 2 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để 2 quả cầu chọn ra cùng màu bằng
5
6
5
8
A.
.
B.
.
C. .
D. .
22
11
11
11
Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( −1; 2; 2 ) . Đường thẳng đi qua M và song song với trục
Oy có phương trình là
 x = −1 + t

A.  y = 2

.
z = 2


 x = −1 + t

B.  y = 2
.
z = 2 + t


 x = −1

C.  y = 2 + t .
z = 2


 x = −1

D.  y = 2 .
z = 2 + t


x
x
Câu 39: Tập nghiệm của bất phương trình ( 4 − 65.2 + 64 ) 2 − log 3 ( x + 3) ≤ 0 có tất cả bao nhiêu số

nguyên dương?
Page 4

ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
A. 6 .

B. 7 .

C. 10 .

D. Vô số.

Câu 40: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Số nghiệm thực của phương trình f ′ ( 1 − f ( x ) ) = 0 là
A. 6 .

B. 8 .

C. 9.

D. 7 .

f ′ ( x ) = 4e 2 x + 6, ∀x ∈ ¡
f ( 0) = 2
F ( x)
có đạo hàm là
và
. Biết
là
2
f ( x)

F ( 1) = e + 3
F ( −1)
nguyên hàm của
thoả mãn
, khi đó
bằng
1
1
A. −e 2 − 3 .
B. −e 2 + 3 .
C. 2 + 3 .
D. 2 − 3 .
e
e

Câu 41: Cho hàm số

y = f ( x)

Câu 42: Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ với các cạnh đáy là AB = 2, AC = 4, BC = 2 2 . Diện tích hình bình
hành ABB′A′ bằng 2 3 và mặt bên ( ABB′A′ ) vng góc với mặt đáy. Thể tích lăng trụ đã cho
bằng

21
.
3

B. V =

A. V = 21 .

C. V = 2 21 .

D. V =

2 21
.
3

Câu 43: Cho phương trình az 2 + bz + c = 0 , với a, b, c ∈ ¡ , a ≠ 0 có các nghiệm z1 , z2 đều khơng là số
2

thực. Tính P = z1 + z2 + z1 − z2
A. P =

b 2 − 2ac
a2

.

B. P =

2

theo a, b, c.

4c
.
a

2c
.
a

C. P =

(

D. P =

2b 2 − 4ac
a2

.

)

Câu 44: Giả sử z1 , z2 là hai trong các số phức thỏa mãn ( z − 6 ) 8 − zi là số thực. Biết rằng z1 − z2 = 6
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1 + 3z2 bằng
A. 20 − 4 21 .

B. −5 + 73 .

C. 20 − 2 73 .

D. 5 − 21 .

Câu 45: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị ( C ) như hình vẽ bên. Biết hàm số y = f ( x ) đạt cực
2
f ( x2 ) = 0 và ( C ) nhận

3
đường thẳng d : x = x2 làm trục đối xứng. Gọi S1 , S2 , S3 , S4 là diện tích của các miền hình

trị tại các điểm x1 , x2 , x3 thỏa mãn x3 = x1 + 2 , f ( x1 ) + f ( x3 ) +

phẳng được đánh dấu như hình bên. Tỉ số

S1 + S2
gần kết quả nào nhất?
S3 + S 4

Page 5


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

A. 0, 60 .

B. 0,55 .

C. 0, 65 .

D. 0,70 .

Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 1;3; 2 ) , mặt phẳng ( P ) có phương trình
2 x − y + z −10 = 0 và đường thẳng

∆ có phương trình

x + 2 y −1 z −1

=
=
. Đường thẳng d
2
1
−1

cắt ( P ) và ∆ lần lượt tại điểm A và B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB , d có
phương trình là
x − 6 y −1 z + 3
=
=
.
7
4
−1
x − 6 y −1 z + 3
=
=
C.
.
7
−4
−1

x − 8 y − 7 z −1
=
=
.
7

4
−1
x − 6 y +1 z − 3
=
=
D.
.
7
−4
−1

A.

B.

Câu 47: Cho hình nón có chiều cao bằng 2 5 . Một mặt phẳng đi qua đỉnh O của hình nón và cắt hình
nón theo một thiết diện là tam giác OAB có diện tích bằng 9 2 và góc ·AOB = 45° . Thể tích
của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
A.

32 5π
.
3

B. 32π .

C. 32 5π .

D. 96π .

Câu 48: Có bao nhiêu số ngun x sao cho ứng với mỗi x có khơng quá 728 số nguyên y thỏa mãn

log 4 ( x 2 + y ) ≥ log 3 ( x + y ) ?

A. 115 .

B. 58 .

C. 59 .

D. 116 .

Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 6 z − 13 = 0 và
x +1 y + 2 z −1
=
=
. Điểm M ( a; b; c ) ( a > 0 ) nằm trên đường thẳng d sao cho
1
1
1
từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu ( S ) ( A, B, C là các tiếp điểm) và

đường thẳng d :

3
3
3
·AMB = 60°, BMC
·
·

= 90°, CMA
= 120° . Tính a + b + c .
173
112
3
3
3
3
3
3
A. a + b + c =
.
B. a + b + c =
.
9
9
23
3
3
3
C. a 3 + b3 + c 3 = −8 .
D. a + b + c =
.
9

Page 6


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Câu 50: Cho hàm số y = f ( 1 − x ) có bảng biến thiên như hình vẽ.

Số điểm cực trị của hàm số y = f ( 2 x + 1 + 3 ) là
A. 1 .

B. 5 .

C. 0 .

D. 3 .

---------- HẾT ----------

Page 7


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

Cho số phức z thỏa mãn z − 3 + i = 0 . Môđun của z bằng
B. 10 .

A. 4 .

C. 3 .
Lời giải

D. 10 .

Chọn D
Ta có: z − 3 + i = 0 ⇔ z = 3 − i ⇔ z = 3 + i ⇒ z = 32 + 1 = 10 .
Câu 2:

Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu có tâm I ( 1; − 4;3) và đi qua điểm

A ( 5; − 3; 2 ) .
A. ( x − 1) + ( y − 4 ) + ( z − 3) = 18 .

B. ( x − 1) + ( y − 4 ) + ( z − 3) = 16 .

C. ( x − 1) + ( y + 4 ) + ( z − 3 ) = 16 .

D. ( x − 1) + ( y + 4 ) + ( z − 3) = 18 .

2
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Lời giải
Chọn D
2
2
2
Mặt cầu ( S ) tâm I ( a; b; c ) bán kính R có dạng ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 .

Theo đề mặt cầu có tâm I ( 1; − 4;3) và đi qua điểm A ( 5; − 3; 2 ) nên có bán kính R = IA = 3 2
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: ( x − 1) + ( y + 4 ) + ( z − 3 ) = 18 .
x −1
Điểm nào dưới đây thuộc đồ thị hàm số y =
?
x +1
2

Câu 3:

A. Điểm P (−2; −3) .

B. Điểm N (1;0) .

2

2

C. Điểm M (1; −1) .

1
D. Điểm Q (2; − ) .
3

Lời giải
Chọn B
Thay x = 1 ta được y = 0 , nên N (1;0) thuộc đồ thị hàm số và điểm M (1; −1) không thuộc đồ
thị hàm số.
Thay x = −2 ta được y = 3 , nên P (−2; −3) không thuộc đồ thị hàm số.
Thay x = 2 ta được y =
Câu 4:

1
1
, nên Q (2; − ) không thuộc đồ thị hàm số.
3
3

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng x . Cạnh bên SA = x 6
vng góc với mặt phẳng

S . ABCD .
A. 8π x 2 .

( ABCD ) .

Tính theo x diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
C. 2π x 2 .

B. x 2 2 .

D. 2x 2 .

Lời giải
Chọn A

Page 8


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ AC (1)

BC ⊥ AB 
 ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB (2)
BC ⊥ SA 
CD ⊥ AD 
 ⇒ CD ⊥ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ SD (3)
CD ⊥ SA 
(1), (2), (3) ⇒ ∆SAC , ∆SBC , ∆SCD là các tam giác vng có chung cạnh huyền SC . Do đó
mặt cầu ngoại tiếp S . ABCD là mặt cầu đường kính SC .
Bán kính R =

SC
SA2 + AC 2

6x2 + 2 x2
=
=
=x 2.
2
2
2

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD bằng S = 4π R 2 = 4π .2 x 2 = 8π x 2
Câu 5:

Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. −

2

( 2 x − 3)

2

.

B.

1
là F ( x ) bằng:
2x − 3

1
2 ( 2 x − 3)

2

.

C. 2 ln 2 x − 3 .

D.

1
ln 2 x − 3 .
2

Lời giải
Chọn D
Ta có:
Câu 6:

1

1

∫ 2 x − 3dx = 2 ln 2 x − 3 + C

Hàm số y = x 3 − 3 x + 2 đạt cực đại tại điểm
A. x = −1 .
B. x = 0 .

C. x = 1 .
Lời giải

D. x = −2 .

Chọn A

x = 1
Ta có y′ = 3x 2 − 3 ; y′ = 0 ⇔ 3x 2 − 3 = 0 ⇔ 
.
 x = −1
Ta có bảng biến thiên

Page 9


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

Câu 7:

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại x = −1 .
2
Tính tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình 5 x −5 < 0, 2 là
B. −3 .

A. 3 .

C. −5 .

D. 0 .

Lời giải

Ta có: 5 x

2

−5

< 0, 2 ⇔ 5

x 2 −5

<

2
1
⇔ 5 x −5 < 5−1 ⇔ x 2 − 5 < −1 ⇔ x 2 < 4 ⇔ −2 < x < 2 .
5

Vậy tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho bằng 0 .
Câu 8:

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và B với AB = BC = a ,
AD = 2a và đường cao SA = a . Thể tích khối chóp S . ABCD bằng:
A. 2a 3 .

B.

2a 3
.
3

C.

1 3
a .
2

D. a 3 2 .

Lời giải

S ABCD =

1
1
3
AB ( BC + AD ) = a ( a + 2a ) = a 2 ( dvdt ) .
2
2
2

1
1 3
1
VS . ABCD = SA.S ABCD = .a. a 2 = a 3 ( dvtt )
3
3 2
2

Câu 9:

2
Hàm số y = ln ( x + mx + 1) xác định với mọi giá trị của x khi

 m < −2
A. 
.
m > 2

B. m > 2 .

C. − 2 < m < 2 .

D. m < 2 .

Lời giải
Chọn C
1 > 0
2
⇔ m 2 − 4 < 0 ⇔ −2 < m < 2 .
Yêu cầu bài toán ⇔ x + mx + 1 > 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 
∆ < 0

Câu 10: Phương trình log 2 ( x − 5 ) = 4 có nghiệm là
A. x = 3 .

B. x = 13 .

C. x = 21 .
Lời giải

D. x = 11 .

Chọn C
Page 10


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Điều kiện xác định: x > 5 .
4
Phương trình log 2 ( x − 5 ) = 4 ⇒ x − 5 = 2 ⇒ x = 21 (thỏa điều kiện).

Vậy phương trình có nghiệm x = 21 .
2

Câu 11: Cho
A.

∫

f ( x ) dx =

1

1
2,

4

∫
3

4

3
f ( x ) dx =
4 . Khi đó

3
.
8

B.

∫
1

3

f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx

5
.
4

2

C.

bằng?

5
.
8

D.

1
4

Lời giải
Chọn B
Ta có
4

∫
1

3

2

4

2

1

3

f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =

1 3 5
+ = .
2 4 4

Câu 12: Cho 2 số phức z1 = 2 + 3i và z2 = 3 + 2i . Tìm modun của số phức w = z1.z2 ?
A. 2 13
B. 13 2 .
C. 2 3 .
D. 2 5 .
Lời giải
Chọn A
Ta có: z2 = 3 − 2i
 w = z1.z2 = ( 2 + 3i ) ( 3 − 2i ) = 6 − 4i
 w = 62 + ( −4 ) = 2 13
2

ur
uu
r
Câu 13: Mặt phẳng ( P) song song với giá của hai véc tơ u1 = ( −1; −3; −3) , u2 = ( 3; −1;1) có một vectơ
pháp tuyến là
r
A. n = ( −6;8;10 ) .

r
B. n = ( −6; −8;10 ) .

r
C. n = ( 6; −8;10 ) .

r
D. n = ( 6;8;10 ) .

Lời giải
Chọn B
ur
u1 = ( −1; −3; −3)
uu
r
u2 = ( 3; −1;1)
r
ur uu
r
Suy ra ( P) có một véc tơ pháp tuyến là n = u1 , u2  = ( −6; −8;10 ) .
r
r
r r
Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u = ( 2; −3;1) và v = ( 4;3; −2 ) . Toạ độ vectơ u − v là:
A. ( −2; −6;3) .

B. ( −2; −6; −1) .

C. ( 2;6; −3) .

D. ( 6; 0; −1) .

Lời giải
Chọn A

Page 11


ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT
r r
Ta có: u − v = ( −2; −6;3) .

Câu 15: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , biết M ( 5; −3) là điểm biểu diễn số phức z . Phần thực của z
bằng
A. 5 .

B. −5 .

C. −3 .
Lời giải

D. 1 .

Ta có M ( 5; −3) là điểm biểu diễn số phức z nên z = 5 − 3i . Do đó phần thực của z bằng 5 .

f ( x ) = +∞ và lim− f ( x ) = 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Câu 16: Cho hàm số y = f ( x ) có xlim
→1+
x →1
A. Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận.
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1 .
C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận.
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 2 .
Lời giải
Chọn B

f ( x ) = +∞ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1 .
Vì xlim
→1+

a2
Câu 17: Với mọi số thực a dương, log
bằng
100
A. 2 log a − 2 .
B. 2 ln a − ln10 .

2
C. log100 a .

D. 2log a + 10 .

Lời giải
Chọn A
Ta có log

a2
= log a 2 − log100 = 2 log a − 2
100

4
2
Câu 18: Cho hàm số y = ax + bx + c ( a ≠ 0 ) có đồ thị như hình dưới đây. Xác định dấu của a , b , c .

A. a > 0, b < 0, c < 0 .

B. a > 0, b < 0, c > 0 . C. a < 0, b < 0, c < 0 . D. a > 0, b > 0, c < 0 .
Lời giải

Chọn A
Đồ thị có phần ngồi phía phải đi lên nên a > 0 .
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên c < 0 .
Hàm số có ba cực trị nên a.b < 0 ⇒ b < 0 .
x = t

Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y = 1 − t . Đường thẳng d đi qua điểm nào sau
z = 2 + t

đây?
A. F ( 0;1; 2 ) .
B. H ( 1; 2; 0 ) .
C. E ( 1;1; 2 ) .
D. K ( 1; −1;1) .

Lời giải
Page 12


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Chọn A
Đường thẳng d đi qua điểm F ( 0;1; 2 ) .
Câu 20: Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số tập con gồm 3 phần tử của M là
3
A. 310 .
B. C10 .
C. 103 .

Lời giải

3
D. A10 .

Chọn B
Kết quả của việc chọn số tập con gồm 3 phần tử từ M là một tổ hợp chập 3 của 10 phần tử,
3

tức là có C10 .
Câu 21: Cho khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác vng cân tại A , BC = 2a và hình chiếu
vng góc của A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm cạnh BC , góc giữa AA′ và mặt
đáy bằng 60° . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A.

3a 3
.
3

a3
B.
.
2

C.

3a 3
.
2

D.

3a 3 .

Lời giải
Chọn D

Gọi M là trung điểm của BC ⇒ AM =

BC
1
2
và S ABC = AM .BC = a .
2
2

Ta có A′M ⊥ ( ABC ) nên ( AA′, ( ABC ) ) = ·A′AM = 60° .
⇒ A′M = AM .tan 60° = a 3 .
Vậy thể tích cần tìm là V = S ABC . A′M = 3a 3 .
2x
Câu 22: Tính đạo hàm của hàm số y = 7 − log 2 ( 5 x ) .

1
2.7 2 x
ln 2
2x
A. y′ =
. B. y′ = 2.7 .ln 7 −
.
7−

x ln 5
ln 5
5x
1
2.7 2 x ln 2
2x
C. y′ = 2.7 .ln 7 −
.
D. y ′ =
.
−
x ln 2
ln 7
5x

Page 13


ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT
Lời giải
Chọn C
2x
2x
Ta có y = 7 − log 2 5 − log 2 x ⇒ y′ = 2.7 .ln 7 −

1
.
x ln 2

Câu 23: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −2;3)
B. ( 3; + ∞ )
C. ( −∞; − 2 )

D. ( −2; + ∞ )

Lời giải
Chọn A
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( −2;3) .
Câu 24: Cho hình trụ có diện tích đáy là 4π và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình vng.
Tính thể tích khối trụ?
A.

π 6
12

C. 8π

B. 4π

D. 16π

Lời giải
Chọn D
Hình trụ có thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình vng suy ra: l = h = 2r
Hình trụ có diện tích đáy là 4π suy ra π r 2 = 4π .
Nên r = 2, l = h = 4
Thể tích khối trụ: V = π r 2 .h = 16π .

3

Câu 25: Cho hàm f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 2;3] đồng thời f ( 2 ) = 2 , f ( 3) = 5 . Tính ∫ f ′ ( x ) dx
2

bằng
A. −3

B. 7

C. 10
Lời giải

D. 3

Chọn D
3

Ta có

∫ f ′ ( x ) dx = f ( x )
2

3
2

= f ( 3) − f ( 2 ) = 3 .

Câu 26: Cho 5, x,3 x + 9 theo thứ tự này là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. giá trị của x là
A. 10 .

B. 8 .
C. 14 .
D. 16 .
Lời giải
Chọn C
Page 14


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

5, x,3x + 9 theo thứ tự là cấp số cộng 2 x =
Câu 27:

∫ sin axdx ( a ∈ ¡ )
*

5 + 3x + 9
⇒ 4 x = 3 x + 14 ⇒ x = 14 .
2

bằng

1
A. − cos ax + C .
a
C. − a cos ax + C .

1
cos ax + C .
a

D. − cos ax + C .

B.

Lời giải
1
Ta có ∫ sin axdx = − cos ax + C .
a

Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) là hàm số bậc 3 và có đồ thị như hình vẽ

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là
A. 0 .

B. 2 .

C. −1 .
Lời giải

D. 4 .

Từ đồ thị, ta thấy giá trị cực tiểu của hàm số là 0 .
1
Câu 29: Cho hàm số y = x + . Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên ( 0; +∞ ) là m tại x = a . Giá trị của
x
a 2 + m là
A. 1 + 2 .

B. 1 − 2 .

C. 1 .
Lời giải

D. 3 .

Chọn A

+ Ta có: y′ =

1−

1
x2

2 x+

1
x

⇒ y ' = 0 ⇔ 1−

 x = 1∈ ( 0; +∞ )
1
=0⇔ 
2
x
 x = −1 ∉ ( 0; +∞ )

+ Bảng biến thiên trên ( 0; +∞ )

Page 15


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

y = 2 tại x = 1 .
+ Dựa vào BBT ta có: m = (min
0; +∞ )
Khi đó a 2 + m = 1 + 2.
Câu 30: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ¡ ?
B. y = log3 x .

−x

A. y = 2 .

2x

1
C. y =  ÷ .
2
Lời giải

D. y =

( )

x

2 .

Chọn D
Dựa vào lý thuyết : Hàm số y = a x đồng biến trên ¡ nếu a > 1 và nghịch biến trên ¡ nếu
0 < a < 1.
Câu 31: Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn log 3 a = log 9 ( ab ) . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a = b 2 .

C. a = b .
Lời giải

B. a 3 = b .

D. a 2 = b .

Chọn C
Ta có: log 3 a = log 9 ( ab ) ⇔ log 3 a = log 3 ab ⇔ a = ab ⇔ a = b
Câu 32: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D '. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và A ' B.
A. 45° .
B. 60° .
C. 30° .
D. 90° .
Lời giải

Do A′BCD′ là hình bình hành nên A′B //D′C .
Suy ra góc giữa hai đường thẳng AC và A′B bằng góc giữa hai đường thẳng AC và D′C và
đó chính là góc ·ACD′ = 60° (do ∆ ACD ' đều).
Câu 33: Cho

2

2

−1

−1

∫ f ( x ) dx = 2, ∫ g ( x ) dx = −1

2

. Khi đó

I = ∫  x + 2 f ( x ) − 3 g ( x ) dx
−1

bằng
Page 16


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
B. I =

A. I = 17.

17
.
2

C. I =

15
.
2

1
D. I = .
2

Lời giải
2

x2
Ta có I = ∫  x + 2 f ( x ) − 3g ( x ) dx =
2
−1

2
−1

2

2

−1

−1

+ 2 ∫ f ( x ) dx − 3 ∫ g ( x ) dx

3

17
+ 2.2 − 3 ( −1) = .
2
2
Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 2; −1;3) , B ( 2; 0;5 ) , C ( 0; −3; −1) .
=

Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua A và vng góc với BC ?
A. x − y + 2 z + 9 = 0.
B. x − y + 2 z − 9 = 0.
C. 2 x + 3 y − 6 z − 19 = 0. D. 2 x + 3 y + 6 z − 19 = 0.
Lời giải
Chọn D
Mặt phẳng ( P ) đi qua điểm A ( 2; −1;3 ) và vng góc với đường thẳng BC nên nhận véctơ
uuu
r
CB = ( 2;3;6 ) làm véctơ pháp tuyến. Khi đó phương trình tổng qt của mặt phẳng ( P ) là:
2 ( x − 2 ) + 3 ( y + 1) + 6 ( z − 3 ) = 0 ⇔ 2 x + 3 y + 6 z − 19 = 0 .

Câu 35: Cho hai số phức z1 = 2 + i và z2 = 3 + 2i . Toạ độ điểm biểu diễn số phức z = z1 z2 +
A. ( 7 ; 2 ) .

B. ( 2; − 7 ) .

C. ( 2; 7 ) .

z1 + z2
là
i

D. ( −7 ; 2 ) .

Lời giải
Chọn A
Ta có: z1 z2 = ( 2 + i ) ( 3 + 2i ) = 6 + 4i + 3i + 2i 2 = 6 + 7i − 2 = 4 + 7i .

z1 + z2 2 + i + 3 + 2i 5 + 3i 5
−5i
=
=
= +3 =
+ 3 = 3 − 5i .
i
i
i
i
1
Suy ra z = 4 + 7i + 3 − 5i = 7 + 2i .
Điểm biểu diễn số phức z là ( 7 ; 2 ) .
Câu 36: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với
đáy và SA = a 3 . Khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( SBC ) bằng
A.

2a 5
.
5

B. a 3 .

C.

a
.
2

D.

a 3
.
2

Lời giải
Chọn D

Page 17


ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT

Ta có BC ⊥ SA; BC ⊥ AB nên BC ⊥ ( SAB ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAB ) , vẽ AH ⊥ SB tại H

⇒ AH ⊥ ( SBC ) .
Ta có AD // BC ⇒ d ( D, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) = AH =

SA. AB
SA + AB
2

2

=

a 3.a
3a + a
2

2

=

a 3
.
2

Câu 37: Một hộp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả cầu màu xanh và 6 quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên
đồng thời 2 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để 2 quả cầu chọn ra cùng màu bằng
5
6
5
8
A.
.
B.
.
C.
.
D. .
22
11
11

11
Lời giải
Chọn C
2
Số cách chọn ngẫu nhiên 2 quả cầu: n(Ω) = C11 = 55 .
2
2
Số cách chọn để được hai quả cầu cùng màu: n( A) = C5 + C6 = 25 .

n( A) 25 5
=
= .
n(Ω) 55 11
Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( −1; 2; 2 ) . Đường thẳng đi qua M và song song với trục
Xác suất chọn được 2 quả cùng màu: P( A) =

Oy có phương trình là
 x = −1 + t

A.  y = 2
.
z = 2


 x = −1 + t

B.  y = 2
.
z = 2 + t


 x = −1

C.  y = 2 + t .
z = 2

Lời giải

 x = −1

D.  y = 2 .
z = 2 + t


Chọn C

r
Đường thẳng đi qua M ( −1; 2; 2 ) và song song với trục Oy nên nhận j = ( 0;1;0 ) làm vectơ chỉ
 x = −1

phương nên có phương trình:  y = 2 + t .
z = 2

x
x
Câu 39: Tập nghiệm của bất phương trình ( 4 − 65.2 + 64 ) 2 − log 3 ( x + 3 ) ≤ 0 có tất cả bao nhiêu số

nguyên dương?
Page 18

ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
A. 6 .

B. 7 .

C. 10 .
Lời giải

D. Vô số.

Chọn A
2 − log3 ( x + 3) ≥ 0
⇔ −3 < x ≤ 6
Điều kiện xác định 
x + 3 > 0

Bất phương trình tương đương:
 4 x − 65.2 x + 64 ≤ 0
1 ≤ 2 x ≤ 64
0 ≤ x ≤ 6
⇔
⇔
.


x = 6
x = 6
 2 − log 3 ( x + 3) = 0

Kết hợp với điều kiện xác định ta được: 0 ≤ x ≤ 6 .
Vậy có 6 số nguyên dương thoả mãn yêu cầu bài toán.
Câu 40: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Số nghiệm thực của phương trình f ′ ( 1 − f ( x ) ) = 0 là
A. 6 .

B. 8 .

C. 9.
Lời giải

D. 7 .

Chọn D
 x = −3

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) . Ta có: f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 0   .
 x = 5   

1 − f ( x ) = −3
 f ( x ) = 4       


Khi đó: f ′ ( 1 − f ( x ) ) = 0 ⇒ 1 − f ( x ) = 0    ⇔  f ( x ) = 1        .
1 − f ( x ) = 5   
 f ( x ) = −4   



Page 19


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Từ bảng biến thiên ta thấy:
Phương trình: f ( x ) = 4 có 2 nghiệm phân biệt
Phương trình: f ( x ) = 1 có 4 nghiệm phân biệt
Phương trình: f ( x ) = −4 có 1 nghiệm
Vậy phương trình f ′ ( 1 − f ( x ) ) = 0 có 7 nghiệm phân biệt.
Câu 41: Cho hàm số

y = f ( x)

nguyên hàm của

f ( x)

A. −e 2 − 3 .

có đạo hàm là

f ′ ( x ) = 4e 2 x + 6, ∀x ∈ ¡

B. −e 2 + 3 .

F ( −1)
, khi đó
bằng
1
C. 2 + 3 .

e
Lời giải

f ( 0) = 2

. Biết

F ( x)

là

F ( 1) = e + 3
2

thoả mãn

và

D.

1
−3.
e2

Chọn C
2x
2x
Ta có: f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ ( 4e + 6 ) dx = 2e + 6 x + C .

Mà: f ( 0 ) = 2 ⇒ 2 + C = 2 ⇒ C = 0 .

2x
Do đó: f ( x ) = 2e + 6 x .
2x
2x
2
Ta có: F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ ( 2e + 6 x ) dx = e + 3x + K .

2
2
2
Mà: F ( 1) = e + 3 ⇒ e + 3 + K = e + 3 ⇒ K = 0 .
2x
2
Do đó: F ( x ) = e + 3x .

Vậy F ( −1) =

1
+3.
e2

Câu 42: Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ với các cạnh đáy là AB = 2, AC = 4, BC = 2 2 . Diện tích hình bình
hành ABB′A′ bằng 2 3 và mặt bên ( ABB′A′ ) vng góc với mặt đáy. Thể tích lăng trụ đã cho
bằng
A. V = 21 .

B. V =

21
.

3

C. V = 2 21 .

D. V =

2 21
.
3

Lời giải
Chọn A

Page 20


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

Vẽ đường cao AH của hình bình hành ABB′A′ , vì mặt bên ABB′A′ vng góc với mặt đáy nên
AH cũng là đường cao của lăng trụ đã cho.
S
2 3
Ta có S ABB′A′ = AH . AB ⇒ AH = ABB′A′ =
= 3.
AB
2
AB + AC + BC
= 3+ 2 .
Đặt p =
2

Theo công thức Hê-rông: S ∆ABC = p ( p − AB ) ( p − AC ) ( p − BC ) = 7.
Thể tích khối lăng trụ: V = AH .S∆ABC = 3. 7 = 21 .
Câu 43: Cho phương trình az 2 + bz + c = 0 , với a, b, c ∈ ¡ , a ≠ 0 có các nghiệm z1 , z2 đều khơng là số
2

thực. Tính P = z1 + z2 + z1 − z2
A. P =

b 2 − 2ac
a2

B. P =

.

2

theo a, b, c.

4c
.
a

C. P =

2c
.
a

D. P =

2b 2 − 4ac
a2

.

Lời giải
Chọn B
Cách 1: Tự luận.
Ta có phương trình az 2 + bz + c = 0 có các nghiệm z1 , z2 đều khơng là số thực, do đó

(

)

2
2
∆ = b 2 − 4ac < 0 . Ta có ∆ = i 4ac − b .


−b + i
 z1 =

*

−b − i
 z2 =


4ac − b 2

2a
4ac − b 2
2a


b2
2
 z1 + z2 = 2
4c
4c

2
2
a
⇒ P = z1 + z2 + z1 − z2 =
P= .
Khi đó: 
.
Vậy
a
a
4ac − b 2
2

z
−
z
=
1
2


a2


Cách 2: Trắc nghệm.
Cho a = 1, b = 0, c = 1 , ta có phương trình z 2 + 1 = 0 có 2 nghệm phức là z1 = i, z2 = −i . Khi đó
2

2

P = z1 + z2 + z1 − z2 = 4 .
Page 21


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Thế a = 1, b = 0, c = 1 lên các đáp án, ta thấy chỉ có đáp án C cho kết quả giống.

(

)

Câu 44: Giả sử z1 , z2 là hai trong các số phức thỏa mãn ( z − 6 ) 8 − zi là số thực. Biết rằng z1 − z2 = 6
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1 + 3z2 bằng
B. −5 + 73 .

A. 20 − 4 21 .

C. 20 − 2 73 .
Lời giải

D. 5 − 21 .

Chọn C

Giả sử z = x + yi với x, y ∈ ¡ .
Gọi A , B lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z1 , z2 . Suy ra AB = z1 − z2 = 6 .

(

)

2
2
Ta có ( z − 6 ) 8 − z i = ( x − 6 ) + yi  ( 8 − y ) − xi  = ( 8 x + 6 y − 48 ) − ( x + y − 6 x − 8 y ) i .

(

)

Theo giả thiết ( z − 6 ) 8 − z i là số thực nên ta suy ra x 2 + y 2 − 6 x − 8 y = 0 . Tức là các điểm A ,
B thuộc đường tròn ( C ) tâm I ( 3; 4 ) , bán kính R = 5 .

uuur uuur r
uuu
r uuur
uuuu
r
Xét điểm M thuộc đoạn AB thỏa mãn: MA + 3MB = 0 ⇔ OA + 3OB = 4OM .
Gọi H là trung điểm AB . Ta tính được HI 2 = R 2 − HB 2 = 21 ; IM = HI 2 + HM 2 = 22 .
Suy ra điểm M thuộc đường tròn ( C ′ ) tâm I ( 3; 4 ) , bán kính r = 22 .

uuu
r uuur
uuuur
Ta có z1 + 3 z2 = OA + 3OB = 4OM = 4OM , do đó z1 + 3z2 nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất.
Ta có Min OM = OM 0 = OI − r = 5 − 22 .
Vậy Min P = 4OM 0 = 20 − 4 22 . Khi đó a = 20, b = 22 ⇒ T = 42 .
Câu 45: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị ( C ) như hình vẽ bên. Biết hàm số y = f ( x ) đạt cực
trị tại các điểm x1 , x2 , x3 thỏa mãn x3 = x1 + 2 , f ( x1 ) + f ( x3 ) +

2
f ( x2 ) = 0 và ( C ) nhận
3

Page 22


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
đường thẳng d : x = x2 làm trục đối xứng. Gọi S1 , S2 , S3 , S4 là diện tích của các miền hình
phẳng được đánh dấu như hình bên. Tỉ số

A. 0, 60 .

B. 0,55 .

S1 + S2
gần kết quả nào nhất?
S3 + S 4

C. 0, 65 .

Lời giải

D. 0,70 .

Nhận thấy kết quả bài tốn khơng đổi khi ta tịnh tiến đồ thị ( C ) sang bên trái sao cho đường
thẳng d : x = x2 trùng với trục tung khi đó ( C ) là đồ thị của hàm trùng phương y = g ( x ) có ba
4
2
điểm cực trị x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1 . Suy ra y = g ( x ) = k ( x − 2 x ) + c ( k > 0 )

Lại có f ( x1 ) + f ( x3 ) +

2
2
3
f ( x2 ) = 0 ⇒ −2k + 2c + c = 0 ⇔ c = k
3
3
4

3
4
2
Suy ra: y = g ( x ) = k ( x − 2 x ) + k
4
1
3
28 2 − 17
4
2

k.
Khi đó: S1 + S 2 = k ∫ x − 2 x + dx =
4
60
0

Ta lại có: g ( 0 ) − g ( 1) = k ⇒ S1 + S 2 + S3 + S4 = k .1 = k .
Suy ra S3 + S 4 = k −

28 2 − 17
77 − 28 2
S + S 2 28 2 − 17
k=
k⇒ 1
=
≈ 0, 604
60
60
S3 + S 4 77 − 28 2

Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 1;3; 2 ) , mặt phẳng ( P ) có phương trình
2 x − y + z −10 = 0 và đường thẳng

∆ có phương trình

x + 2 y −1 z −1
=
=
. Đường thẳng d
2

1
−1

cắt ( P ) và ∆ lần lượt tại điểm A và B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB , d có
phương trình là
x − 6 y −1 z + 3
x − 8 y − 7 z −1
=
=
=
=
. B.
.
7
4
−1
7
4
−1
x − 6 y −1 z + 3
x − 6 y +1 z − 3
=
=
=
=
C.
. D.
.
7
−4

−1
7
−4
−1

A.

Lời giải

Page 23


ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT
Chọn B

 x = − 2 + 2t

Đường thẳng ∆ có phương trình tham số  y = 1 + t
( t ∈ ¡ ).
 z = 1− t

Có B ( − 2 + 2t ;1 + t ;1 − t ) ∈ ∆ .
 x A = 2.1 − ( −2 + 2t ) = 4 − 2t

⇒ A ( 4 − 2t ;5 − t ;3 + t ) .
M là trung điểm của AB nên  y A = 2.3 − ( 1 + t ) = 5 − t

 z A = 2.2 − ( 1 − t ) = 3 + t
Lại có A ∈ ( P ) ⇔ 2 ( 4 − 2t ) − ( 5 − t ) + ( 3 + t ) − 10 = 0 ⇔ t = − 2 ⇒ A ( 8;7;1) .
uuu

r
Vậy đường thẳng d đi qua điểm A ( 8;7;1) và có vectơ chỉ phương là MA = ( 7; 4; −1) có

phương trình là

x − 8 y − 7 z −1
=
=
.
7
4
−1

Câu 47: Cho hình nón có chiều cao bằng 2 5 . Một mặt phẳng đi qua đỉnh O của hình nón và cắt hình
nón theo một thiết diện là tam giác OAB có diện tích bằng 9 2 và góc ·AOB = 45° . Thể tích
của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
A.

32 5π
.
3

B. 32π .

C. 32 5π .

D. 96π .

Lời giải
Chọn A

Gọi I là tâm đường trịn đáy hình nón, thiết diện là tam giác cân OAB .

1
1
2
S∆OAB = OA.OB.sin 45° ⇔ 9 2 = OA2 .
⇔ OA2 = 36 .
2
2
2

(

Do đó IA = OA2 − OI 2 = 36 − 2 5

)

2

= 4.

Page 24


ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT
Khối nón cần tìm có bán kính đáy IA = 4 , chiều cao OI = 2 5 nên có thể tích là:

1
1

1
32π 5
.
V = .S d .h = π .IA2 .OI = π .16.2 5 =
3
3
3
3
Câu 48: Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có khơng q 728 số nguyên y thỏa mãn

log 4 ( x 2 + y ) ≥ log 3 ( x + y ) ?

A. 115 .

B. 58 .

C. 59 .
Lời giải

D. 116 .

Chọn D

x + y > 0
 2
Điều kiện  x + y > 0 .
 x, y ∈ ¢


(

)

2
Khi đó log 4 x + y ≥ log 3 ( x + y ) ⇔ x 2 + y ≥ 4log3 ( x + y ) ⇔ x 2 + y ≥ ( x + y )

⇔ x2 − x ≥ ( x + y )

log3 4

log 3 4

− ( x + y ) . ( 1)

Đặt t = x + y ⇒ t ≥ 1 thì ( 1) được viết lại là x 2 − x ≥ t log3 4 − t ( 2 )
Với mỗi x ngun cho trước có khơng quá 728 số nguyên y thỏa mãn bất phương trình ( 1)
Tương đương với bất phương trình ( 2 ) có khơng q 728 nghiệm t .
log 4
Nhận thấy f ( t ) = t 3 − t đồng biến trên [ 1; + ∞ ) nên nếu x 2 − x ≥ 729log3 4 − 729 = 3367 thì sẽ
có ít nhất 729 nghiệm ngun t ≥ 1 .
Do đó u cầu bài tốn tương đương với x 2 − x ≤ 3367 ⇔ −57 ≤ x ≤ 58 .
Mà x nguyên nên x nhận các giá trị −57, −56,...,57, 58 .

Vậy có tất cả 116 số nguyên x thỏa u cầu bài tốn.
Câu 49: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 6 z − 13 = 0 và
đường thẳng d :

x +1 y + 2 z −1
=
=

. Điểm M ( a; b; c ) ( a > 0 ) nằm trên đường thẳng d sao cho
1
1
1

từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu ( S ) ( A, B, C là các tiếp điểm) và
3
3
3
·AMB = 60°, BMC
·
·
= 90°, CMA
= 120° . Tính a + b + c .

3
3
3
A. a + b + c =

173
.
9

C. a 3 + b3 + c 3 = −8 .

112
.
9
23

3
3
3
D. a + b + c =
.
9
Lời giải
3
3
3
B. a + b + c =

Chọn B

Page 25