Bài tập chương 4 quách hồng tâm anh

Họ và tên: Quách Hồng Tâm Anh
MSSV: 31201024533
Lớp: LM001
STT: 03
Mã lớp học phần: 21C1FIN50503912 (lớp Quản trị tài chính chiều thứ 3)
Mơn: Quản trị tài chính
Giảng viên: Ths. Hồ Thu Hồi

BÀI TẬP
CHƯƠNG 4: PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH GIÁ
DỊNG TIỀN CHIẾT KHẤU

Câu Hỏi Lý Thyết

Câu 1: Ghép Lãi Và Kỳ Hạn
 Khi gia tăng chiều dài thời gian:
 Giá trị tương lai (FV):
Ta có:
FV = PV(1 + 𝑟)𝑇
Khi gia tăng chiều dài thời gian T, (1 + 𝑟)𝑇 tăng theo sẽ làm giá trị tương lai
FV tăng.
Vậy khi gia tăng chiều dài thời gian thì giá trị tương lai sẽ tăng.


 Giá trị hiện tại (PV):
Ta có:
PV =

𝐹𝑉
(1+𝑟)𝑇

Khi gia tăng chiều dài thời gian T, (1 + 𝑟)𝑇 tăng theo sẽ làm giá trị hiện tại PV
giảm.
Vậy khi gia tăng chiều dài thời gian thì giá trị hiện tại sẽ giảm.

Câu 2: Lãi Suất
 Nếu tăng lãi suất r của một dịng tiền đều:
Ta có:
PV =

𝐹𝑉
(1+𝑟)𝑇

FV = PV(1 + 𝑟)𝑇
Khi tăng lãi suất r, (1 + 𝑟)𝑇 tăng theo, làm giá trị hiện tại PV giảm, ngược lại
khiến giá trị tương lai FV tăng.
Vậy khi tăng lãi suất r, giá trị hiện tại sẽ giảm còn giá trị tương lai sẽ tăng.

Câu 3: Giá Trị Hiện Tại
 Trường hợp 1: Các khoản tiền sẽ được trả 10 lần bằng nhau.
 Trường hợp 2: Mỗi lần thanh toán về sau sẽ lớn hơn lần đầu 5% theo 10 lần
đến khi đủ 80 triệu USD.
Để biết ai là người có thỏa thuận tốt hơn ta sẽ dựa vào giá trị hiện tại của số
tiền sẽ nhận được trong tương lai.
 Vì khi tăng thời gian thanh toán , giá trị hiện tại PV sẽ càng giảm nên trường
hợp chi trả $80 triệu thành 10 lần bằng nhau có thỏa thuận tốt hơn.
Vậy người được chi trả $80 triệu thành 10 lần bằng nhau có thỏa thuận tốt hơn.


Câu 4: APR Và EAR
 Luật cho vay có nên thay đổi để yêu cầu người cho vay công bố EARs thay vì

APRs? Tại sao?
 APR là tỷ lệ % hằng năm , là một biện pháp để tính tốn tỷ lệ % của khoản tiền
gốc mà bạn sẽ trả cho mỗi kỳ (năm). Nên cơng bố EARs thay vì APR vì APRs
khơng cung cấp lãi suất chính xác (thật sự) của khoản vay. Trong khi đó, EARs
sẽ thể hiện chính xác mức lãi suất mà người đi vay phải trả. Điều này sẽ giúp
người đi vay hiểu rõ chi phí vốn vay để có hoạch định chi phí cho hợp lí với
hoạt động của mình. Thêm vào đó việc cơng bố EARs sẽ giúp người đi vay có
sự so sánh trực quan giũa các ngân hàng để cải thiện hiệu quả của việc vay vốn.
Ưu điểm duy nhất của APRs so với EAR là chúng dễ tính tốn hơn, nhưng, với
thiết bị máy tính hiện đại, ưu điểm này là không quan trọng lắm

Câu 5: Giá Trị Theo Thời Gian
 Sinh viên năm nhất hay năm cuối nhận được ưu đãi lớn hơn? Giải thích.
 Sinh viên năm nhất nhận được ưu đãi hơn vì được sử dụng khoản vay lâu hơn
trước khi tính lãi. Tức là thời gian từ lúc họ vay cho đến trước lúc họ thanh tốn
sẽ khơng tính lãi, và khoản thời gian đó được coi như họ được vay với lãi suất
0%.

Sử dụng thông tin về Toyota Motor Credit Corporation
(TMCC), một công ty con của Toyota Motor Corporation để
trả lời câu hỏi 6 đến câu hỏi 10


Câu 6: Giá Trị Tiền Tệ Thời Gian
 TMCC sẵn lịng chấp nhận một giá trị nhỏ ngày hơm nay để đổi lại lời hứa sẽ
hoàn trả gấp 4 lần số tiền đó trong tương lai. Vì:
 TMCC sẵn lịng chấp nhận một giá trị nhỏ ngày hôm nay $24.099 để đổi lại lời
hứa sẽ hoàn trả gấp 4 lần số tiền đó là $100.000 trong tương lai vì với số tiền
$24.000 nếu TMCC đầu tư hiệu quả và khôn ngoan thì sẽ nhận được số tiền lớn
hơn $100.000 đã hứa sẽ trả sau 30 năm nữa.

Câu 7: Điều Khoản Mua Lại
 Việc TMCC có quyền mau lại những chứng khoán này vào ngày kỷ niệm ngày
phát hành với mức giá được xác lập khi chứng khoán được phát hành có ảnh
hưởng đến nhu cầu mua chứng khốn này để đầu tư:
 Điều này có thể làm cho nhu cầu mua lại chứng khoán này để đầu tư giảm đi
bởi vì TMCC chỉ mua lại những chứng khốn này trước khi chúng đáo hạn, tức
là khi chúng cịn có khả năng tạo ra lợi ích ,lãi suất của nó khơng được xác định
một cách chắc chắn. Mà lãi suất ảnh hưởng khá nhiều đến quyết định của
TMCC nên không chắc là TMCC sẽ mua lại những chứng khoán này để đầu
tư.

Câu 8: Giá Trị Tiền Tệ Theo Thời Gian
 Các yếu tố cần xem xét về việc có sẵn lịng trả $24.099 hôm nay để được nhận
$100.000 sau 30 năm nữa? Câu trả lời có phụ thuộc vào việc ai hứa trả khơng?
 Các cân nhắc chính sẽ là:
(1) Tỷ suất sinh lợi tiềm ẩn trong lời đề nghị có hấp dẫn so với các khoản đầu tư
rủi ro tương tự khác không?
(2) Mức độ rủi ro của khoản đầu tư; tức là chúng ta chắc chắn rằng chúng ta sẽ
thực sự nhận được 100.000 đô la như thế nào?
 Do đó, câu trả lời cũng sẽ phụ thuộc vào việc ai sẽ thực hiện lời hứa trả nợ.


Câu 9: So Sánh Đầu Tư
 Giá của loại chứng khoán (về cơ bản giống loại chứng khoán của TMCC) của
Kho Bạc Mỹ sẽ cao hay thấp hơn TMCC? Tại sao?
 Thị giá chứng khốn của Kho bạc Mĩ có thể cao hơn vì rủi ro của việc mua
chứng khốn của Kho bạc Mỹ thấp hơn rủi ro khi mua chứng khoán của TMCC
do Kho bạc là cơ quan mạnh nhất trong số tất cả những người đi vay.
Câu 10: Thời Gian Đầu Tư
 Nhìn vào giá ngày hơm nay, giá sẽ cao hơn mức ban đầu $24.099 không? Tại

sao?
 Giá có thể cao hơn bởi vì khi thời gian trơi qua thì giá của chứng khốn sẽ có
xu hướng tăng lên. Sự gia tăng này chỉ phán ánh giá trị thời gian của tiền. Khi
thời gian đáo hạn đến gần, đồng nghĩa giá trị hiện tại của chứng khoán tăng lên.
 Nhìn vào năm 2019, giá sẽ cao hơn hay thấp hơn giá hôm nay? Tại sao?
 Năm 2019, giá có thể sẽ cao hơn với lý do tương tự. Tuy nhiên, chúng ta khơng
thể chắc chắn vì lãi suất có thể cao hơn nhiều, hoặc tình hình tài chính của
TMCC có thể xấu đi. Một trong hai sự kiện xảy ra đều sẽ có xu hướng làm giàm
giá trị chứng khoán.


Câu Hỏi Và Bài Tập
BÀI TẬP CƠ BẢN

Câu 1: Lãi Đơn So Với Lãi Kép
 Số tiền kiếm được thêm từ tài khoản tiết kiệm ở Second City Bank sau 10 năm
nữa:
Ta có:
First City Bank: FV = PV(1+ r x T) = $5.000(1+8%x10) = $9.000
Second City Bank: FV = PV(1 + 𝑟)𝑇 = $5.000(1 + 8%) 𝑇 = $10.794,6
 $10.794,62 – $9.000 = $1.794,62
Vậy sé kiếm thêm được $1.794,62 từ tài khoản tiết kiệm ở Second City Bank
sau 10 năm nữa.
Câu 2: Tính Giá Trị Tương Lai
Giá trị tương lai của $1.000 ghép lãi hàng năm
Ta có:
PV = $1.000
Áp dụng công thức: FV = PV x (1 + 𝑟)𝑇
a) T = 10 và r = 5%
FV = $1.000 x (1 + 5%)10 = $1.628,89

Vậy giá trị tương lai của $1.000 ghép lãi hàng năm cho 20 năm với lãi suất 5%
là $1.628,89.
b) T = 10 và r = 10%
FV = $1.000 x (1 + 10%)10 = $2.593,74
Vậy giá trị tương lai của $1.000 ghép lãi hàng năm cho 10 năm với lãi suất 10%
là $2.593,74.


c) T = 20 và r = 5%
FV = $1.000 x (1 + 5%)20 = $2.653,30
Vậy giá trị tương lai của $1.000 ghép lãi hàng năm cho 20 năm với lãi suất 5%
là $2.593,74
d) Tiền lãi kiếm được trong câu (c) không gấp đôi số tiền kiếm được trong câu (a)
vì khoản lãi trên lãi. Tiền lãi kiếm được trong câu (c) lớn hơn 2 lần tiền lãi ở
câu (a). Với lãi kép, giá trị tương lai tăng lên theo hàm mũ.

Câu 3: Tính Giá Trị Hiện Tại
 Áp dụng cơng thức PV =

𝐹𝑉
(1+𝑟)𝑇

để tính giá trị hiện tại cho các giá trị trong bảng:

Giá trị hiện tại (PV)

Năm (T)

Lãi suất(r)

Giá trị tương lai (FV)

$9.213,51

6

7%

$13.827

$12.465,48

9

15%

$43.852

$110.854,15

18

11%

$725.380

$13.124,66

23

18%

$590.710

Câu 4: Tính Lãi Suất
Ta có:
PV =


𝐹𝑉
(1+𝑟)𝑇
𝑇

r= √

𝐹𝑉
𝑃𝑉

−1
𝑇

 Áp dụng cơng thức tính lãi suất r = √
bảng:

𝐹𝑉
𝑃𝑉

− 1 để tính lãi suất chưa biết trong

Giá trị hiện tại

Năm

(PV)

(T)

$242

4

r= √

$410

8

r= √

$51.700

16

r= √

$18.750

27

r= √

Giá trị tương lai

Lãi suất(r)
4

8

307
242

896
410

16

27

(FV)

− 1 = 0,0613 = 6,13%

$307

− 1 = 0,1027 = 10,27%

$896

162.181

51.700

483.500
18.750

− 1 = 0,0741 = 7,41%

$162.181

− 1 = 0,1279 = 12,79%

$483.500

Câu 5: Tính Số Kỳ Hạn
Ta có:
FV = PV x (1 + 𝑟)  T =
𝑇

ln(

𝐹𝑉
)
𝑃𝑉

ln(1+𝑟)

 Áp dụng công thức tính kỳ hạn T =

𝐹𝑉
)

𝑃𝑉

ln(

ln(1+𝑟)

để tìm số kỳ hạn chưa biết trong

bảng:

Giá trị hiện tại

Năm (T)

(PV)
$625
$810
$18.400
$21.500

T=

𝑙𝑛(

1.284
)
625

𝑙𝑛(1+9%)

T=
T=
T=

𝑙𝑛(

(r)

(FV)

9%

$1.284

= 16,09 năm

11%

$4.341

= 19,65 năm

17%

$402.662

= 27,13 năm

8%

$173.439

= 8,35 năm

4.341
)
810

𝑙𝑛(1+11%)
402.662
)
18.400

𝑙𝑛(

𝑙𝑛(1+17%)
173.439
)
21.500

𝑙𝑛(

𝑙𝑛(1+8%)

Lãi suất Giá trị tương lai


Câu 6: Tính Số Kỳ Hạn
 Mức lãi suất 8%
Ta có:

FV = PV x (1 + 𝑟)𝑇
T=

ln(

𝐹𝑉
)
𝑃𝑉

ln(1+𝑟)

Đạt số tiền ban đầu là a
 Thời gian để gấp đôi số tiền :
Ta có:
a x (1 + 𝑟)𝑇 = 2a
T=

2𝑎
)
𝑎

ln(

ln(1+8%)

= 9,01 năm

Vậy với mức lãi suất 8%, thời gian để gấp đôi số tiền ban đầu là 9,01 năm.
 Thời gian để gấp 4 lần số tiền:
a x (1 + 𝑟)𝑇 = 4a

T=

4𝑎
)
𝑎

ln(

ln(1+8%)

= 18,01 năm

Vậy với mức lãi suất 8%, thời gian để gấp 4 lần số tiền ban đầu là 18,01 năm.

Câu 7: Tính Giá Trị Hiện Tại
 Giá trị hiện tại của khoản nợ nếu lãi suất chiết khấu là 7,1%
Ta có:
PV =
 PV =

𝐹𝑉
(1+𝑟)𝑇
630.000.000
(1+7,1%)20

= $159.790.565,17
Vậy giá trị hiện tại của khoản nợ tiền hưu trí chưa trả của Imprudential Inc. nếu
lãi suất chiết khấu là 7,1% là $159.790.565,17.

Câu 8: Tính Tỷ Suất Sinh Lợi
 Tỷ suất sinh lợi hàng năm bức tranh này mang lại:
Ta có:
PV =

𝐹𝑉
(1+𝑟)𝑇
𝑇



r= √



r= √

3

𝐹𝑉
𝑃𝑉

−1

1.100.000
1.680.000

− 1 = –0.1317 hay –13,17%

Vì FV nhỏ hơn PV nên lãi suất âm.

Vậy tỷ suất sinh lợi hàng năm bức tranh này mang lại cho ông là –13,17%.
Câu 9: Dịng Tiền Đều Vơ Hạn
 Giá của trái phiếu consol mà chi trả $150 mỗi năm nếu kỳ hạn thanh toán kế
tiếp sẽ là 1 năm sau kể từ ngày hôm nay và lãi suất thị trường là 4,6%:
Ta có:
𝑐

150

𝑟

4,6%

PV = =

= $3.260,87

Vậy giá của trái phiếu consol mà chi trả $150 mỗi năm nếu kỳ hạn thanh toán
kế tiếp sẽ là 1 năm sau kể từ ngày hôm nay và lãi suất thị trường là 4,6% là
$3.260,87.

Câu 10: Ghép Lãi Liên Tục
Ta có Cơng thức tính giá trị tương lai được ghép lãi liên tục: FV = PV × 𝑒 𝑟T
 Giá trị tương lai của $1.900 ghép lãi liên tục cho:
a) 7 năm với lãi suất công bố theo năm 12%
FV = $1.900× 𝑒 12%×7 = $4.401,10
Vậy giá trị tương lai của $1.900 ghép lãi liên tục cho 7 năm với lãi suất công
bố theo năm 12% là $4.401,10

b) 5 năm với lãi suất công bố theo năm 10%
FV = $1.900× 𝑒 10%×5 = $3.132,57
Vậy giá trị tương lai của $1.900 ghép lãi liên tục cho 5 năm với lãi suất công
bố theo năm 10% là $3.132,57.
c) 12 năm với lãi suất công bố theo năm 5%
FV = $1.900× 𝑒 5%×12 = $3.462,03
Vậy giá trị tương lai của $1.900 ghép lãi liên tục cho 12 năm với lãi suất công
bố theo năm 5% là $3.462,03
d) 10 năm với lãi suất cơng bố theo năm 7%
FV = $1.900× 𝑒 7%×10 = $3.826,13
Vậy giá trị tương lai của $1.900 ghép lãi liên tục cho 10 năm với lãi suất công
bố theo năm 7% là $3.826,13.

Câu 11: Giá Trị Hiện Tại và Dịng Tiền Nhiều Kỳ
Ta có: PV =

𝐹𝑉
(1+𝑟)𝑇

Giá trị hiện tại của những dòng tiền khi
 Lãi suất chiết khấu là 10%:
PV =

960
(1+10%)

+

840
(1+10%)2

+

935
(1+10%)3

+

1.350
(1+10%)4

= $3.191,49

Vậy giá trị hiện tại của dòng tiền khi lãi suất chiết khấu là 10% là $3.191,49.
 Lãi suất chiết khấu là 18%:
PV =

960
(1+18%)

+

840
(1+18%)2

+

935
(1+18%)3

+

1.350
(1+18%)4

= $2.682,22

Vậy giá trị hiện tại của dòng tiền khi lãi suất chiết khấu là 18% là $2.682,22.
 Lãi suất chiết khấu là 24%:
PV =

960
(1+24%)

+

840
(1+24%)2

+

935
(1+24%)3

+

1.350
(1+24%)4

= $2.381,91

Vậy giá trị hiện tại của dòng tiền khi lãi suất chiết khấu là 24% là $2.381,91.


Câu 12: Giá Trị Hiện Tại và Dòng Tiền Nhiều Kỳ
 Với lãi suất chiết khấu là 5%:
Giá trị hiện tại dịng tiền của dự án X:
PV = 𝐶𝐹 ×

1−

1
(1+𝑟)𝑇

𝑟

= 4.500 ×

1−

1
(1+5%)9

5%

= $31.985,20

Giá trị hiện tại dịng tiền của dự án Y:
PV = 𝐶𝐹 ×

1−

1
(1+𝑟)𝑇

𝑟

= 7.000 ×

1−

1
(1+5%)5

5%

= $30.306,34

Vậy với lãi suất chiết khấu là 5%, giá trị hiện tại của dòng tiền X cao hơn giá
trị hiện tại của dòng tiền Y.
 Với lãi suất chiết khấu là 12%:
Giá trị hiện tại dòng tiền của dự án X:
PV = 𝐶𝐹 ×

1−

1
(1+𝑟)𝑇

𝑟

= 4.500 ×

1−

1
(1+12%)9

12%

= $23.977,12

Giá trị hiện tại dòng tiền của dự án Y:
PV = 𝐶𝐹 ×

1−

1
(1+𝑟)𝑇

𝑟

= 7.000 ×

1−

1
(1+12%)5

12%

= $27.035,82

Vậy với lãi suất chiết khấu là 12%, giá trị hiện tại của dòng tiền Y cao hơn giá
trị hiện tại của dòng tiền X.
 Ta thấy rằng PV của dòng tiền X có PV lớn hơn Y với lãi suất 5%, nhưng PV
dòng tiền sẽ thấp hơn Y với lãi suất 12%. Lý do là X có tổng dịng tiền lớn hơn
tổng dòng tiền Y. Ở mức lãi suất thấp hơn, tổng dòng tiền quan trọng hơn. Với
lãi suất cao hơn, Y có giá trị hơn vì nhận được tiền sớm hơn.
Câu 13: Tính Giá Trị Hiện Tại Của Dịng Tiền Đều
Ta có các cơng thức tính:
Dịng tiền đều hữu hạn: PV = 𝐶𝐹 ×
Dịng tiền đều vơ hạn: PV =

𝐶𝐹
𝑟

1−

1
(1+𝑟)𝑇

𝑟


 Với T = 15 năm:
PV = 4.900 ×

1−

1
(1+8%)15

8%

= $41.941,45

Vậy với tỷ suất sinh lợi 8% và kỳ thanh toán kéo dài 15 năm thì giá trị của dự
án đầu tư này là $41.941,45.
 Với T = 40 năm:
PV = 4.900 ×

1−

1
(1+8%)40

8%

= $58.430,61

Vậy với tỷ suất sinh lợi 8% và kỳ thanh tốn kéo dài 40 năm thì giá trị của dự
án đầu tư này là $58.430,61.
 Với T = 75 năm:
PV = 4.900 ×

1−

1
(1+8%)75

8%

= $61.059,31

Vậy với tỷ suất sinh lợi 8% và kỳ thanh toán kéo dài 40 năm thì giá trị của dự
án đầu tư này là $61.059,31.
 Với T = ∞
PV =

𝐶𝐹
𝑟

=

4.900
8%

= $61. 250

Vậy với tỷ suất sinh lợi 8% và kỳ thanh toán kéo dài mãi mãi thì giá trị của dự
án đầu tư này là $61. 250.
Câu 14: Tính Giá Trị Của Dịng Tiền Đều Vơ Hạn
 Giá của chính sách đầu tư mà em sẽ trả:
Dịng tiền đều vơ hạn: PV =

𝐶𝐹
𝑟

=

15.000
5,2%

= $288.461,54

Vậy giá của chính sách đầu tư mà em sẽ trả cho dự án này là $288.461,54.
 Công ty đưa ra giá $320.000. Để chính sách đầu tư là một thương vụ hợp lý:
PV =

𝐶𝐹
𝑟

 320.000 =

15.000
𝑟

 r = 0,0469 hay 4,69%

Vậy khi công ty đưa ra giá $320.000, để dự án đầu tư này là một thương vụ hợp
lý thì lãi suất phải ở mức 4,69%.


Câu 15: Tính EAR
EAR = (1 +

𝐴𝑃𝑅 𝑚
)
𝑚

− 1 (m là số lần ghép lãi)

Ghép lãi liên tục:
EAR = 𝑒 𝑟 − 1
Lãi suất công bố
(APR)

Số lần ghép lãi

Lãi suất hiệu dụng (EAR)

Hàng quý
7%

(1 +

(m=4)
Hàng tháng

16%

Hàng ngày
11%

(m=365)

12%

Liên tục

(1 +

− 1 = 0,0719 hay 7,19%

16% 12
)
12

− 1= 0.1723 hay 17.23%

11% 365
)
365

− 1 = 0,1163 hay 11,63%

(1 +

(m=12)

7% 4
)
4

𝑒 12% − 1 = 0,1275 hay 12,75%

Câu 16: Tính APR
Ta có:
EAR = (1 +

𝐴𝑃𝑅 𝑚
)
𝑚

− 1 APR = 𝑚 × ( √𝐸𝐴𝑅 + 1 − 1) (m là số lần ghép lãi)
𝑚

Ghép lãi liên tục: APR = ln(1+EAR)
Lãi suất hiệu dụng

Lãi suất công bố (APR)

Số lần ghép lãi

2 × ( 2√9,8% + 1 − 1) = 9,57%

Bán niên (m=2)

9,8%

12 × ( 12√19,6% + 1 − 1) = 18,03%

Hàng tháng (m=12)

19,6%

52 × ( 52√8,3% + 1 − 1) = 7,98%

Hàng tuần (m=52)

8,3%

ln(1+14,2%) = 13,28%

Liên tục

14,2%

(EAR)


Câu 17: Tính EAR
Ta có:
EAR = (1 +

𝐴𝑃𝑅 𝑚
)
𝑚

−1

 First National Bank tính 11,2% ghép lãi hàng tháng:
First National Bank: EAR = (1 +

𝐴𝑃𝑅 𝑚
)
𝑚

− 1 = (1 +

11,2% 12
)
12

− 1 = 11,79%

 First United Bank tính 11,4% ghép lãi bán niên:
First United Bank: EAR = (1 +

𝐴𝑃𝑅 𝑚
)
𝑚

− 1 = (1 +

11,4% 2
)
2

− 1 = 11,72%

Vậy là người có khả năng đi vay em sẽ đến ngân hàng First United Bank để
vay tiền.

Câu 18: Lãi Suất
 Có đồng ý với phân tích của ơng ấy khơng? Có vấn đề gì với các con số của
ơng ấy khơng?
Khi mua rượu vang theo thùng sẽ được hưởng chiết khấu 10% so với mua lẻ
mỗi chai trong 12 tuần.

 Giá của một thùng rượu là: 12x10x(1−10%) = $108
Dòng tiền đều hữu hạn:
PV = 𝐶𝐹 ×

1−

1
(1+𝑟)𝑇

𝑟

 108 = 10 + 10 ×

1−

1
(1+𝑟)11

𝑟

 r = 1,98%/tuần

APR của đầu tư là:
APR = 1.98%x52 = 1,0277 hay 102,77%
EAR của đầu tư là:
EAR = (1 +

102,77% 52
)
52

− 1 = 1,7668 hay 176,68%

 Các phân tích này dường như là chính xác, ơng ấy có thể kiếm được một khoảng
177% khi mua rượu bằng cách này. Tuy nhiên vấn đề ở đây là rất khó để có thể
tìm thấy một chai rượu hảo hạng với giá $10.


Câu 19: Tính Số Kỳ
Dịng tiền đều hữu hạn:
PV = 𝐶𝐹 ×

1−

1
(1+𝑟)𝑇

𝑟

 Thời gian để trả dứt khoản nợ:
21.500 = 700 ×

1−

1
(1+1,3%)𝑇

1,3%

1

 1 − (1+1,3%)𝑇 =

1

 1 – 0,399 = (1+1,3%)𝑇  (1 + 1,3%)𝑇 =
T=

ln(1,664)
ln(1+1,3%)

21.500
700
1

0,601

× 1,3%

= 1,664

= 39,46 tháng

Vậy thời gian để trả dứt khoản nợ là 39,46 tháng.

Câu 20: Tính EAR
 Tỷ suất sinh lợi hiệu dụng Friendly kiếm được:
PV =

𝐶𝐹

1+𝑟



3=

4



1+𝑟

r = 33,33%/tuần

Vậy tỷ suất sinh lợi hiệu dụng mà Friendly kiếm được trong hoạt động cho vay
này là 33,33%/tuần.
 APR mà Friendly nói ta phải trả:
Để tính APR, chúng ta nhân lãi suất này với số tuần trong năm:
APR = 33,33%x52 = 1.733,33%
EAR = (1 +

𝐴𝑃𝑅 𝑚
)
𝑚

− 1 = (1 +

1.733,33% 52
)
52

− 1 = 3.139.165,157%

Nếu dũng cảm đặt câu hỏi, APR mà Friendly nói ta phải trả là 3.139.165,157%.

-----------------------------------------------------


BÀI TẬP TRUNG BÌNH

Câu 21: Giá Trị Tương Lai
 Giá trị tương lai trong 6 năm nữa của $1.000 đầu tư vào một tài khoản với lãi
suất công bố theo năm 9%
 𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 +

𝐴𝑃𝑅 𝑚𝑇
)
𝑚

a) Ghép lãi hàng năm
𝐹𝑉 = 1.000 × (1 + 9%)6 = $1.677,10
Vậy giá trị tương lai trong 6 năm nữa của $1.000 đầu tư vào một tài khoản với
lãi suất công bố theo năm 9% và ghép lãi hàng năm là $1.677,10.
b) Ghép lãi bán niên
𝐹𝑉 = 1.000 × (1 +

9% 2×6
2

)

= $1.695,88

Vậy giá trị tương lai trong 6 năm nữa của $1.000 đầu tư vào một tài khoản với
lãi suất công bố theo năm 9% và ghép lãi bán niên là $1.695,88.
c) Ghép lãi hàng tháng
𝐹𝑉 = 1.000 × (1 +

9% 12×6
12

)

= $1.712,55

Vậy giá trị tương lai trong 6 năm nữa của $1.000 đầu tư vào một tài khoản với
lãi suất công bố theo năm 9% và ghép lãi hàng tháng là $1.712,55.
d) Ghép lãi liên tục
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × 𝑒 𝑟𝑇 = 1.000 × 𝑒 9%×6 = $1.716,01
Vậy giá trị tương lai trong 6 năm nữa của $1.000 đầu tư vào một tài khoản với
lãi suất công bố theo năm 9% và ghép lãi liên tục là $1.716,01.
e) Tại sao giá trị tương lai lại tăng khi mà kỳ ghép lãi ngắn hơn?
 Giá trị tương lai tăng khi mà kỳ ghép lãi ngắn hơn vì tiền lãi thu được từ tiền
lãi tích lũy trước đó. Thời gian gộp càng ngắn, tiền lãi thu được càng thường
xuyên hơn và giá trị tương lai sẽ càng lớn (với cùng mức lãi suất đã cho).


Câu 22: Lãi Đơn So Với Lãi Kép
 First Simple Bank trả lãi đơn 5% trên tài khoản đầu tư vào ngân hàng này. First
Complex Bank trả lãi cho cho tài khoản ở ngân hàng của mình ghép lãi hàng

năm. Lãi suất mà First Complex Bank sẽ tính nếu họ muốn bằng với First
Simple Bank cho khoảng thời gian đầu tư 10 năm:
Ta có:
1 + 5%x10 = (1 + 𝑟)10


1,5 = (1 + 𝑟)10

 r = √1,5 − 1 = 0,0414 hay 4,14%
10

Vậy lãi suất ngân hàng First Complex Bank sẽ tính là 4.14% nếu họ muốn bằng
với First Simple Bank cho khoảng thời gian đầu tư là 10 năm.
Câu 23: Tính Dịng Tiền Đều
 Số tiền có thể rút mỗi tháng từ tài khoản giả sửa cho một kỳ rút tiền dài 25 năm:
Tài khoản cổ phiếu:
𝐹𝑉 = 𝐶𝐹 ×

𝑟
𝑚

(1+ )𝑚×𝑇 −1
𝑟
𝑚

= 800 ×

(1+

11% 12×30

)
−1
12
11%
12

= $2.243.615,79

Tài khoản trái phiếu:
𝐹𝑉 = 𝐶𝐹 ×

𝑟
𝑚

(1+ )𝑚×𝑇 −1
𝑟
𝑚

= 350 ×

(1+

6% 12×30
)
−1
12
6%
12

= $351.580,26

Tổng tiền tiết kiệm được khi nghỉ hưu (30 năm sau):
$2.243.615,79 + $351.580,26 = $2.595.196,05
Ta có:
1
𝑟
(1+ )𝑚×𝑇
𝑚
𝑟
𝑚

𝑃𝑉 = 𝐶𝐹 ×

1
8%
(1+ )12×25
12
8%
12

1−

1−

 $2.595.196,05 = CF ×

 CF = $20.030,14
Vậy bạn có thể rút $20.030,14 mỗi tháng từ tài khoản của mình giả sửa cho một
kỳ rút tiền dài 25 năm

Câu 24: Tính Tỷ Suất Sinh Lợi
 Khi dự án đầu tư đề nghị trả gấp 4 lần số tiền bạn đầu tư trong vòng 12 tháng.
Lãi suất một quý bạn được đề nghị là bao nhiêu?
Ta có:
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 +
 4 = 1 × (1 +

𝐴𝑃𝑅 𝑚𝑇
)
𝑚

𝐴𝑃𝑅 4
4

)  APR = 1,6569

Lãi suất một quý:
𝐴𝑃𝑅
4

=

1,6569

= 0,4142 hay 41,42%

4

Vậy lãi suất một quý bạn được đề nghị là 41,42%.

Câu 25: Tính Tỷ Suất Sinh Lợi
 Dự án có tỷ suất sinh lợi cao hơn:
Dự án đầu tư G:
𝐹𝑉

𝑃𝑉 =

 65.000 =

(1+𝑟)𝑇

125.000
(1+𝑟)6

 r = 0,1151 hay 11,51%

Dự án đầu tư H:
𝐹𝑉

𝑃𝑉 =

 65.000 =

(1+𝑟)𝑇

185.000
(1+𝑟)10

 r = 0,1103 hay 11,03%

Vậy dự án đầu tư G có tỷ suất sinh lợi cao hơn dự án đầu tư H.
Câu 26: Dòng Tiền Đều Tăng Trưởng Ổn Định Vô Hạn
 Giá trị hiện tại của cơng nghệ này:
Giá trị dịng tiền ở năm thứ nhất:
PV1 =

𝐶𝐹
𝑟−𝑔

=

175.000
10%−3,5%

= $2.692.307,69

Giá trị hiện tại của dòng tiền:
PV =

PV1
(1+𝑟)𝑇

=

2.692.307,69
(1+10%)1

= $2.447.552,45

Vậy giá trị hiện tại của công nghệ này là $2.447.552,45.


Câu 27: Dịng Tiền Đều Vơ Hạn
 Giá chứng khốn nếu lãi suất công bố hàng năm là 6,5%, ghép lãi hàng quý:
Lãi suất mỗi quý =
PV =

𝐶𝐹
𝑟

=

4,5
0,01625

6,5%
4

= 0,01625

= $276,92

Vậy giá chứng khốn là $276,92 nếu lãi suất cơng bố hàng năm là 6,5%, ghép
lãi hàng quý.
Câu 28: Giá Trị Hiện Tại Của Dòng Tiền Đều
 Giá trị hiện tại của dòng tiền đều $6.500 một năm với dòng tiền đầu tiên được
nhận 3 năm nữa kể từ hôm nay
Giá trị dịng tiền ở năm thứ hai:
PV2 = 𝐶𝐹 ×

1
(1+𝑟)𝑇

1−

𝑟

= 6.500 ×

1−

1
(1+7%)23

7%

= $73.269,22

Giá trị hiện tại của dịng tiền:
PV =

PV2
(1+𝑟)

=
𝑇

73.269,22
(1+7%)2

= $63.996,17

Vậy giá trị hiện tại của dòng tiền đều $6.500 một năm với dòng tiền đầu tiên
được nhận 3 năm nữa kể từ hôm nay là $63.996,17.
Câu 29: Giá Trị Hiện Tại Của Dịng Tiền Đều
 Giá trị ngày hơm nay của dòng tiền đầu kỳ hạn 15 năm chi trả $650 một năm :
Giá trị dòng tiền ở năm thứ năm:
PV5 = 𝐶𝐹 ×

1
(1+𝑟)𝑇

1−

𝑟

= 650 ×

1−

1
(1+13%)15

13%

= $4.200,55

Giá trị hiện tại của dịng tiền:
PV =

PV5
(1+𝑟)𝑇

=

4.200,55
(1+11%)5

= $2.492,82

Vậy giá trị ngày hơm nay của dòng tiền đầu kỳ hạn 15 năm chi trả $650 một
năm là $2.492,82.


Câu 30: Thanh Toán Dồn Một Lần (Balloon Payment)
 Khoản thanh tốn dồn của Audrey vào năm thứ 8:
Vì đã trả trước 20% nên:
Số tiền cịn lại cần thanh tốn = $550.000 – 20%x($550.000) = $440.000
Lãi suất công bố theo năm r = 6,1%
Khoản thanh toán dựa trên kế hoạch 30 năm là:
PV = 𝐶 × [

1−

1
(1+𝑟)𝑇

𝑟

1
6,1% 360
(1+
)
12
6,1%
12

1−

]  440.000 = 𝐶 × [

]

 C = $2.666,38
Theo khoản nợ dồn 8 năm, các khoản chưa được thực hiện:
T = 30 – 8 = 22 (năm)
PV = 𝐶 × [

1−

1
(1+𝑟)𝑇

𝑟

1
6,1% 12×22
(1+
)

12
6,1%
12

1−

] = 2.666,38 × [

] = $386.994,11

Vậy khoản thanh tốn dồn của Audrey vào năm thứ 8 là $386.994,11.

Câu 31: Tính Chi Phí Lãi Vay
 Tiền lãi mà bạn sẽ nợ vào cuối năm thứ nhất:
6 tháng đầu tiên:
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 +

𝐴𝑃𝑅 𝑚𝑇
)
𝑚

= 7.500 × (1 +

2,4% 6
12

) = $7.590,45

6 tháng cuối năm:
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 +

𝐴𝑃𝑅 𝑚𝑇
)
𝑚

= 7.590,45 × (1 +

18% 6
12

) = $8.299,73

Tiền lãi cịn nợ = $8.299,73 – $7.590,45 = $799,73
Vậy tiền lãi mà bạn sẽ nợ vào cuối năm thứ nhất là $799,73.


Câu 32: Dịng Tiền Đều Vơ Hạn
 Mức lãi suất chiết khấu mà Barrett sẽ bàng quang với việc chấp nhận hoặc từ
chối dự án:
PV =

𝐶𝐹
𝑟

r=

𝐶𝐹
𝑃𝑉

=

227.000
2.500.000

= 0,0908 hay 9,08%

Vậy với lãi suất chiết khấu là 9,08% Barrett sẽ bàng quang với việc chấp nhận
hoặc từ chối dự án. Nếu lãi suất chiết khấu lớn hơn 9,08%, Barrett nên từ chối
dự án, nếu lãi suất chiết khấu nhỏ hơn 9,08%, Barrett nên chấp nhận dự án.
Câu 33: Dòng Tiền Đều Tăng Trưởng Ổn Định
 Nếu cơng ty địi hỏi tỷ suất sinh lợi 10% trên một dự án đầu tư như vậy, cơng
ty có nên thực hiện chỉnh sửa quyển sách này khơng?
Dịng tiền đều tăng trưởng ổn định :
PV =

𝐶𝐹
𝑟−𝑔

× (1 − (

1+𝑔 𝑇
) )
1+𝑟

=

21.000
10%−4%

× (1 − (

1+4% 5
) )
1+10%

= $85.593,99

Dịng tiền thu được sau 5 năm có giá trị hiện tại là $85.593,99 > $75.000 (chi
phí chỉnh sửa sách)
Vậy nếu cơng ty địi hỏi tỷ suất sinh lợi 10% trên một dự án đầu tư như vậy, thì
cơng ty nên thực hiện chỉnh sửa quyển sách giáo khoa này.
Câu 34: Dòng Tiền Đều Tăng Trưởng Ổn Định
 Số tiền bạn sẽ có vào ngày bạn nghỉ hưu 40 năm nữa kể từ bây giờ:
Tiền lương nhận được vào năm sau là : $65.000x(1+4%) = $67.600
Tiền dùng để tiết kiệm là : $67.600x5% = $3.380
Giá trị hiện tại của số tiền tiết kiệm trong 40 năm là:
PV =

𝐶𝐹
𝑟−𝑔

× (1 − (

1+𝑔 𝑇
) )
1+𝑟

=

3.380

10%−4%

× (1 − (

1+4% 40
) )
1+10%

= $50.357,59

FV = 𝑃𝑉 × (1 + 𝑟)𝑇 = 50.357,59 × (1 + 10%)40 = $2.279.147,23
Vậy số tiền bạn sẽ có vào ngày bạn nghỉ hưu 40 năm nữa kể từ bây giờ là
$2.279.147,23.


Câu 35: Giá Trị Hiện Tại Và Lãi Suất
 Mối quan hệ giữa giá trị của một dòng tiền đều và lãi suất là:
Ta có cơng thức:
PV = 𝐹𝑉 ×

1
(1+𝑟)𝑇

1−

𝑟

 Giá trị hiện tại (PV) giảm khi lãi suất tăng và giá tăng trị hiện tại (PV) khi lãi
suất giảm, nên giá trị hiện tại (PV) và lãi suất có mối quan hệ nghịch biến. Trong
khi đó, giá trị tương lai (FV) tăng khi lãi suất tăng và giá trị tương lai (FV) giảm

khi lãi suất giảm, nên giá trị tương lai (FV) và lãi suất có mối quan hệ đồng
biến.
 Khi lãi suất ở mức 10%:
PV = 𝐹𝑉 ×

1
(1+𝑟)𝑇

1−

𝑟

= 6.800 ×

1
(1+10%)15

1−

10%

= $51.721,34

 Giá trị của khoản đầu tư nếu lãi suất bất ngờ giảm xuống còn 5%:
PV = 𝐹𝑉 ×

1
(1+𝑟)𝑇

1−

𝑟

= 6.800 ×

1
(1+5%)15

1−

5%

= $70.581,67

Vậy giá trị khoản đầu tư sẽ là $70.581,67 nếu lãi suất bất ngờ giảm xuống còn
5%.
 Giá trị của khoản đầu tư nếu lãi suất bất ngờ tăng lên đến 15%:
PV = 𝐹𝑉 ×

1
(1+𝑟)𝑇

1−

= 6.800 ×

𝑟
1
(1+15%)15

1−

15%

= $39.762,12

Vậy giá trị khoản đầu tư sẽ là $39.762,12 nếu lãi suất bất ngờ tăng lên đến 15%.
 Giá trị của khoản đầu tư (PV) tăng khi lãi suất giảm và ngược lại.


Câu 36: Tính Số Kỳ Thanh Tốn
 Số lần phải gửi để số dư tài khoản đạt được mức $35.000:
Dòng tiền đều hữu hạn:
FV = 𝐶𝐹 ×


35.000
350

×

(1+𝑟)𝑇 −1

10%
12

𝑟

+1=

 35.000 = 350 ×

121
( )𝑇
120



11
6

=

10% 𝑇
) −1
12
10%
12

(1+

121
( )𝑇
120

T=

11
6
121

ln( )
120

ln( )

= 73,04 (lần gửi)

Vậy bạn phải gửi 73,04 lần để số dư tài khoản đạt được mức $35.000.
Câu 37: Tính Giá Trị Hiện Tại Của Dòng Tiền Đều
 Ghép lãi hàng tháng, APR cao nhất mà bạn có thể chi trả đối với một khoản vay
60 tháng:
Dịng tiền đều hữu hạn:
1
𝑟
(1+ )𝑚×𝑇
𝑚
𝑟
𝑚

1−

1−

𝑃𝑉 = 𝐶𝐹 ×

 65.000 = 1.320 ×

1
𝐴𝑃𝑅 60
(1+

)
12
𝐴𝑃𝑅
12

 APR = 8,07%

Vậy ghép lãi hàng tháng, APR cao nhất mà bạn có thể chi trả đối với một khoản
vay 60 tháng là 8,07%.

Câu 38: Tính Các Kỳ Trả Nợ Vay
 Các khoản thanh toán dồn này sẽ phải là bao nhiêu để giữ cho các khoản chi trả
hàng tháng của bạn ở mức $950?
APR=5,3%
r=

0,0044
12

= 0,44% / tháng

Giá trị hiện tại nếu trả $950 mỗi tháng
PV = 𝐶 × [

1−

1
(1+𝑟)𝑇

𝑟

] = 950 × [

1−

1
(1+0,0044)360

0,0044

] = $171.077,26

Số tiền gốc còn nợ = $250.000 – $171.077,26 = $78.922,74
Các khoản thanh toán dồn:


𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1 +

𝐴𝑃𝑅 𝑚𝑇
)
𝑚

= 78.922,74 × (1 +

5,3% 360
12

)

= $385.664,73

Vậy các khoản thanh toán dồn này sẽ phải là $385.664,73 để giữ cho các khoản
chi trả hàng tháng của bạn ở mức $950.
Câu 39: Giá Trị Hiện Tại Và Tương Lai
 Giá trị của dòng tiền bị bỏ trống (FV2):
Giá trị của dòng tiền vào năm 1:
PV1 =

𝐶F1
(1+𝑟)𝑇

=

1.500
(1+8%)1

= $1.388,89

Giá trị của dòng tiền vào năm 3:
PV3 =

𝐶𝐹3
(1+𝑟)𝑇

=

2.700
(1+8%)3

= $2.143,35

Giá trị của dòng tiền vào năm 4:
PV4 =

𝐶𝐹4
(1+𝑟)𝑇

=

2.900
(1+8%)4

= $2.131,59

Giá trị của dòng tiền vào năm 2:
PV2 = PV0 – PV1 – PV3 – PV4
= $7.300 – 1.388,89 – 2.143,35 – 2.131,59
= $1.636,18
FV2 = PV2× (1 + 𝑟)𝑇 = 1.636,18× (1 + 8%)2 = $1.908,44
Vậy giá trị của dòng tiền bị bỏ trống (FV2) là $1.908,44.

Câu 40: Tính Giá Trị Hiện Tại
 Giá trị hiện tại của giải thưởng:
PV = 1.000.000 +

1.275.000
1+9%

+

1.550.000
(1+9%)2

+

1.825.000
(1+9%)3

+ ⋯+

= $15.885.026,33
Vậy giá hiện tại của giải thưởng là $15.885.026,33.

Câu 41: EAR So Với APR

3.750.000
(1+9%)10