PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (2)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (449.77 KB, 29 trang )
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
1
Chƣơng 6 PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
I. Khái niệm
Dạng tổng quát:
, ,
, ,
= 0
Với x là biến số, = () là hàm số phải tìm,
,
, ,
()
là các đạo hàm các
cấp của = ().
Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số thỏa mãn phương trình đó.
Ví dụ :
+ = 0
Là phương trình vi phân cấp 2 có nghiệm là = sin() hoặc = . sin()
Phương trình vi phân tuyến tính cấp n:
()
+
1
1
+ +
1
+
= ()
Trong đó
1
,
2
, ,
, () là những hàm cho trước.
II. Phƣơng trình vi phân cấp 1
1. Khái niệm
a. Dạng:
, ,
= 0 (1) hoặc
=
,
(2)
Nếu từ (1) ta tìm được hàm số = (, ) với là hằng số tùy ý thì = (, )
gọi là nghiệm tổng quát của (1).
Đôi khi ta không tìm được nghiệm tổng quát của (1) mà tìm được một hệ thức
dạng:
, ,
= 0 nó xác định nghiệm tổng quát dưới dạng ẩn thì hệ thức này
gọi là tích phân tổng quát của (1).
Nếu cho trong nghiệm tổng quát của (1) một giá trị xác định
0
thì ta được
nghiệm riêng của (1), tức là = (,
0
) là nghiệm riêng của (1).
Tương tự nếu cho trong tích phân tổng quát của (1) một giá trị xác định
0
thì
ta được tích phân riêng của (1), tức là
, ,
0
= 0 là tích phân riêng của (1).
Nếu khi giải (1) có những nghiệm không nằm trong họ nghiệm tổng quát thì giọ là
nghiệm kỳ dị (hay nghiệm ngoại lai)
Ví dụ : Xét phương trình
= 0
=
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
2
Ta thấy =
2
2
là nghiệm tổng quát của phương trình, =
2
2
là nghiệm
riêng.
Nếu ta biểu diễn nghiệm tổng quát dưới dạng hệ thức
2
2
= 0 thì ta được
tích phân tổng quát, cho = 1 thì ta có +
2
2
= 0 là tích phân riêng.
b. Bài toán Cauchy
Tìm nghiệm = () của phương trình
= (, ) thỏa mãn điều kiện ban đầu:
0
=
0
với
0
,
0
cho trước (
=
0
=
0
)
Định lý 1.1
Nếu hàm (, ) liên tục tại lân cận điển (
0
,
0
) thì bài toán Cauchy luôn có
nghiệm. Hơn nữa nếu
(, ) liên tục tại lân cận điển (
0
,
0
) thì bài toán
Cauchy tồn tại duy nhất nghiệm.
2. Phƣơng trình vi phân cấp một biến số phân ly
Là phương trình có thể tách rời mỗi biến một vế
a. Dạng 1:
=
.
(2.1)
Phƣơng pháp giải
Nếu
0 thì ta có
()
=
Suy ra tích phân tổng quát :
()
=
+
Nếu
= 0 có nghiệm = thì = là nghiệm của phương trình
Ví dụ : Giải phương trình
= (1 +
2
)
Giải:
Chia 2 vế cho 1 +
2
ta có
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
3
1 +
2
=
Suy ra tích phân tổng quát
1 +
2
= +
=
2
2
+
b. Dạng 2 :
+
= 0 (2.2)
Phƣơng pháp giải
Ta có tích phân tổng quát :
+
=
Ví dụ : Giải phương trình
cos
.
=
Giải.
cos
=
Ta có tích phân tổng quát :
cos
= +
=
2
2
+
c. Dạng 3 :
1
1
()+
2
2
()= 0 (2.3)
Phƣơng pháp giải
Nếu
2
1
0 chia 2 vế cho
2
1
0 thì ta có :
1
2
+
2
1
()
= 0
Suy ra tích phân tổng quát :
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
4
1
2
+
2
1
()
=
Nếu từ
1
= 0 ta có nghiệm = thì đây là nghiệm riêng của phương trình
Nếu từ
2
= 0 ta có nghiệm = thì đây là nghiệm riêng của phương trình
Ví dụ : Giải phương trình vi phân
1 +
2
+
1 +
2
= 0
Giái
Chia 2 vế cho
1 +
2
(1 +
2
) phương trình đã cho tương đương với :
1 +
2
+
1 +
2
= 0
Tích phân tổng quát :
1 +
2
+
1 +
2
=
1
2
1 +
2
+
1
2
1 +
2
=
d. Dạng 4 :
=
+ +
(2.4)
Phƣơng pháp giải
Nếu = 0 hoặc = 0 ta có dạng (2.1)
Nếu 0, đặt = + + ta có :
=
+
Đây là dạng (2.1)
Ví dụ : Giải phương trình
=
2
+ 2+
2
1
Giải
Phương trình đã cho viết lại thành
= (+ )
2
1
Đặt = +
= 1 +
= 1 +
2
1
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
5
=
2
Nếu 0 chia 2 vế cho
2
ta có :
2
=
1
= +
=
1
Nghiệm tổng quát
=
1
Nếu = 0 = , đây là nghiệm kỳ di của phương trình.
3. Phƣơng trình vi phân đẳng cấp cấp 1
Dạng :
=
,
=
(3.1)
Phƣơng pháp giải
Đặt =
suy ra = nên
= + , thay vao ta có:
=
Nếu
0, ta có :
=
Suy ra tích phân tổng quát :
=
+
Nếu
= 0 có nghiệm = thì = là nghiệm
Nếu Nếu
0 thì phương trình trở thành
=
Có nghiệm =
Chú ý 1: Muốn kiểm tra phương trình
=
,
có phải đẳng cấp cấp 1 không
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
6
ta có thể kiểm tra
,
=
,
, thì cho =
1
ta có
,
=
,
=
1,
= (
)
Ví dụ : Giải phương trình
=
+
Giải
Đặt =
ta có = và
=
+ = +
Suy ra :
=
hay
=
Tích phân 2 vế ta có :
=
=
+
Chú ý 2:
Phương trình
= (
1
+
1
+
1
2
+
2
+
2
)
Có thê đưa về dạng biến số phân ly
Trường hợp 1 :Nếu
1
1
2
2
0 thì đặt
= +
= +
Với , là nghiệm của hệ
1
+
1
+
1
= 0
2
+
2
+
2
= 0
, khi đó :
=
=
Thay vào ta có :
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
7
= (
1
+
1
12
+
2
)
Đây là phương trình đẳng cấp cấp 1.
Trường hợp 2 :Nếu
1
1
2
2
= 0 thì
1
2
=
1
2
= ta đặt :
=
2
+
2
Ta có :
=
2
+
2
(
+
1
+
2
)
Đây là phương trình biến số phân ly.
Ví dụ : Giải phương trình vi phân
+ 2
+ 4
= 0
Giải
Nếu + 4 0 phương trình đã cho tương đương với :
=
+ 2
+ 4
Do =
1 1
1 1
= 2 0 nên giải hệ :
+ 2 = 0
+ 4 = 0
= 1
= 3
Đặt:
= 1
= + 3
=
+
Đặt =
ta có = và
=
+ =
1 +
1
=
2
+ 1
1
1
1 +
2
=
Lấy tích phân 2 vế
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
8
1
1 +
2
=
+
1 +
2
= ()
= (
1 +
2
)
=
1 +
2
Thay =
ta có
=
2
+
2
Thay = 3 và = + 1 ta được tích phân tổng quát
3
+1
=
(3)
2
+ (+ 1)
2
4. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 1
a. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất
Dạng :
+
= 0 (4.1)
Với () là hàm cho trước.
Phƣơng pháp giải
Có nghiệm tổng quát là
=
b. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất
Dạng :
+
=
4.2
Với p
x
, q(x) là các hàm cho trước.
Phƣơng pháp giải
Có nghiệm tổng quát là
y =
(+
)
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
9
Chú ý : Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không
thuần nhất có thể viết
y =
+
=
1
+
2
Với
1
là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất
tương ứng và
2
là nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
không thuần nhất tìm được bằng phương pháp biến thiên hằng số đối vơi
1
.
Ví dụ :Giải phương trình
=
2
Giải
y =
1
(+
1
2
)
y = + = (+
2
)
5. Phƣơng trình Becnuly
Dạng
+
=
5.1
Phƣơng pháp giải
Nếu = 0 hoặc = 1 thì đây là phương trình tuyến tính
Nếu 0 và 1 bằng cách chia cả 2 vế cho
và đặt =
1
ta có :
+
1
=
1
()
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.
Ví dụ : Giải phương trình vi phân
+
=
2
4
Giải
Chia 2 vế cho
4
ta có
4
+
1
3
=
2
Đặt =
3
ta có
= 3
4
, thay vào phương trình ta có :
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
10
3
= 3
2
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 theo nên có nghiệm tổng quát :
=
3
(3
3
2
)
=
3
3
3
1
3
=
3
3
3
6. Phƣơng trình vi phân toàn phần
Dạng :
,
+
,
= 0 (6.1)
Với
,
, (, ) là các hàm liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong
miền D và thỏa mãn điều kiện :
(, )
=
(, )
(6.2)
Phƣơng pháp giải
Khi đó tích phân tổng quát có dạng :
,
0
+
0
,
0
=
Hoặc
,
0
0
+
,
0
=
Với (
0
,
0
)
Ví dụ: Giải phương trình:
4
2
+
+
4
2
+
= 0
Giải
= 4
2
+ , = 4
2
+
Do
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
11
(, )
=
(, )
= 8+ 1, (, )
Nên đây là phương trình vi phân toàn phần, chọn
0
=
0
= 0 ta có tích phân
tổng quát
(4
2
+ )
0
+
4. 0
2
+ 0
=
0
2
2
2
+ =
Chú ý :
Nếu điều kiện (6.2) không thỏa mãn thì
,
+
,
= 0 không phải là
vi phân toàn phần. Khi đó ta có thể tìm được hàm (, ) sao cho phương trình
,
,
+
,
,
= 0 (6.3)
Là phương trình vi phân toàn phần. Khi đó nghiệm tổng quát của (6.1) và (6.3) là
như nhau.
Hàm số (, ) gọi là thừa số tích phân được tìm dựa vào đẳng thức
()
=
()
Nói chung, không có phương pháp tổng quát nào để tìm thừa số tích phân, ta chỉ
xét hai trương hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu
(, )
(, )
(, )
= ()
Thì thừa số tích phân
,
=
=
Trường hợp 2: Nếu
(, )
(, )
(, )
= ()
Thì thừa số tích phân
,
=
=
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
12
Ví dụ: Giải phương trình:
4
2
+
= 0
Giải
= , =
4
2
+
(, )
= 1
(, )
= 81
Do
(, )
(, )
(, )
=
2
Nên ta tìm
,
=
=
2
=
1
2
Phương trình đã cho có cùng nghiệm tổng quát với phương trình
2
4+
1
= 0
Đây là phươg trình toàn phần, lấy x
0
= 1, y
0
= 0 ta có tích phân tổng quát:
0
2
1
4+
1
0
=
2
2
+
=
7. Phƣơng trình Clairaut
Dạng :
=
+
(7.1)
Trong đó là một hàm khả vi
Phƣơng pháp giải
Đặt
= ta có = + (). Lấy đạo hàm 2 vế đối với biến ta có :
= +
+
=
Hay
+
= 0
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
13
Suy ra :
Nếu
= 0 thì = nên nghiêm tổng quát là
= + ()
Nếu =
() thì =
+ () ta có nghiệm kỳ dị cho dưới dạng tham số:
=
()
=
+ ()
Ví dụ: Giải phương trình
=
1
4
()
2
Giải
Đây là phương trình Clairaut với
=
1
4
(
)
2
. Thực hiện như trên ta có nghiệm
tổng quát là
=
1
4
2
Và nghiệm kỳ dị là :
=
1
4
2
=
1
2
8. Phƣơng trình Lagrange
Dạng:
=
+
(8.1)
Trong đó , là các hàm khả vi.
Phƣơng pháp giải
Đặt = ta có=
+ (), lấy đạo hàm 2 vế theo ta có:
=
+
+
=
Suy ra:
+
=
()
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
14
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1theo hàm , giải phương trình trên
ta có
= (, )
Suy ra nghiệm tổng quát tìm được dưới dạng tham số:
= (, )
= (, )
+ ()
Ví dụ: Giải phương trình
=
2
+
2
Giải
Đặt = ta có =
2
+
2
, lấy đạo hàm 2 vế ta có :
=
2
+ 2
+ 2
=
Hay
2
+ 2= 2
Nếu
2
0, chia 2 vê cho
2
ta có :
+
2
1
=
2
1
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 nên có nghiệm tổng quát :
=
2
1
(+
2
1
2
1
)
=
(1)
2
Suy ra nghiệm tổng quát dưới dạng tham số :
=
(1)
2
=
(1)
2
2
+
2
9. Một số dạng khác
a. Dạng =
(9.1)
Phƣơng pháp giải
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
15
Đặt =
=
khi đó ta có = () nên =
Suy ra = =
Nên =
+
Vậy nghiệm tổng quát tìm được dưới dạng tham số
=
=
+
Ví dụ: Giải phương trình:
=
+
Giải
Đặt = ta có = + nên =
, suy ra
= =
=
=
1
+
+ 1
+
Vậy nghiệm tổng quát là
= +
=
1
+
+ 1
+
b. Dạng =
(9.2)
Phƣơng pháp giải
Đặt = ta có = () nên =
. Mặt khác
=
=
Suy ra
=
+
Vậy nghiêm tổng quát tìm được dưới dạng tham số
=
+
= ()
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
16
Ví dụ: Giải phương trình:
=
(
)
2
Giải
Đặt = ta có =
2
suy ra =
2
2
Nên =
=
2
Suy ra
=
2
+ =
1
+
Vậy nghiệm tổng quát là
=
1
+
=
2
III. Phƣơng trình vi phân cấp 2
1. Khái niệm
Dạng:
, ,
,
= 0 (3) hoặc =
, ,
(4)
Nếu từ (3) ta tìm được hàm số = (,
1
,
2
) với
1
,
2
là hằng số tùy ý thì
= (,
1
,
2
) gọi là nghiệm tổng quát của (3).
Đôi khi ta không tìm được nghiệm tổng quát của (3) mà tìm được một hệ thức
dạng:
, ,
1
,
2
= 0 nó xác định nghiệm tổng quát dưới dạng ẩn thì hệ thức
này gọi là tích phân tổng quát của (3).
Nếu cho
1
,
2
trong nghiệm tổng quát của (3) một giá trị xác định , thì ta được
nghiệm riêng của (3), tức là = (, , ) là nghiệm riêng của (3).
Tương tự nếu cho
1
,
2
trong tích phân tổng quát của (3) một giá trị xác định ,
thì ta được tích phân riêng của (3), tức là
, , ,
= 0 là tích phân riêng của
(3).
Nếu khi giải (3) có những nghiệm không nằm trong họ nghiệm tổng quát thì giọ là
nghiệm kỳ dị (hay nghiệm ngoại lai).
2. Các phƣơng trình vi phân cấp 2 giải đƣợc bằng phƣơng pháp hạ cấp
a. Dạng:
=
(2.1)
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
17
Phƣơng pháp giải
Lấy tích phân 2 lần liên tiếp ta có nghiệm tổng quát
=
+
1
+
Ví dụ: Giải phương trình:
=
2
+
+ 1
Giải
= (
2
+
+ 1)+
1
+
=
4
12
+
2
2
+
+
1
+
2
b. Dạng
=
,
(2.2)
Phƣơng pháp giải
Đặt = , phương trình đã cho được đưa về dạng:
= (, )
Đây là phương trình vi phân cấp 1, giải phương trình này ta tìm được rồi từ đó
tìm được .
Ví dụ: Giải phương trình:
=
Giải
Đặt = ta có:
=
+
=
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 nên có nghiệm tổng quát :
=
1
1
+
1
=
2
3
+
1
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
18
Do đó :
=
2
3
+
1
Nên :
= (
2
3
+
1
)+
2
=
3
9
+
1
+
2
c. Dạng
=
,
(2.3)
Phƣơng pháp giải
Đặt
= , coi là biến của hàm , tức là = ( ), ta có :
=
=
=
=
. = (, )
Suy ra :
=
,
Đây là phương trình vi phân cấp 1, giải đươc ra rồi từ đó tìm được
Ví dụ : Giải phương trình :
2
= 0
Giải
Đặt
= suy ra
=
, thay vào ta có:
2
= 0
=
2
Nếu = 0 =
1
Nếu 0
=
Lấy tích phân 2 vế ta có:
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
19
=
=
1
Ta có
=
1
=
1
Lấy tích phân ta có:
=
1
+
2
=
2
1
d. Phƣơng trình vi phân cấp 2 đẳng cấp đối với hàm phải tìm và các đạo
hàm của nó
Dạng :
, ,
,
= 0 (2.4)
Trong đó là hàm đẳng cấp cấp m đối với ,
,
, tức là
, ,
,
=
(,, )
Phƣơng pháp giải
Đặt
= với là hàm của , ta có :
=
+
=
2
+
= (
2
+
)
Thay vào ta có :
(,, ,
2
+
)
, 1, ,
2
+
= 0
, 1, ,
2
+
= 0
Đây là phương trình vi phân cấp 1.
Ví dụ : Giải phương trình
3
2
= 4
+
2
Giải
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
20
Đặt
= với là hàm của , ta có :
=
+
=
2
+
= (
2
+
)
Thay vào ta có :
3
2
2
= 4
2
(
2
+
+ 1)
Nếu 0 ta có :
=
2
+ 1
4
2
+ 1
=
4
Lấy tích phân 2 vế ta có :
= +
1
= (
1
)
= (
1
)
= (
1
)+
2
= 4
1
+
2
=
2
4
1
3. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2
a. Định nghĩa
Dạng :
+
1
+
0
=
(5)
Trong đó
0
(),
1
(), ()là các hàm liên tục
Nếu () 0 thì phương trình
+
1
+
0
= 0 (6)
Là phương trình vi phân cấp 2 thuần nhất, ngược lại gọi là phương trình vi phân
tuyến tính cấp 2 không thuần nhất.
Nếu
0
(),
1
() là các hằng số thì gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2
với hệ số hằng.
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
21
b. Các định lý về cấu trúc nghiệm
Định lý 1 :
Nếu
1
,
2
() là 2 nghiệm của (6) thì
1
1
+
2
2
cũng là nghiệm của
(6), hơn nữa nếu
1
,
2
() độc lập tuyến tính (
1
/
2
() ) thì
1
1
+
2
2
là nghiệm tổng quát của (6).
Định lý 2 :
Nếu đã biêt một nghiêm riêng
1
() 0 của (6) thì nghiệm riêng
2
() khác của
(6) tìm được bằng cách đặt
2
=
1
()
Chú ý : Sử dung công thức Liouville ta có :
2
=
1
()
1
1
2
Định lý 3
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất
(5) bằng nghiệm tổng quát của phương trình (6) cộng với nghiệm riêng của (5).
Định lý 4 (nguyên lý chồng chất nghiệm)
Nếu
là nghiệm riêng của phương trình
+
1
+
0
=
thì
=
1
+
2
+ +
là nghiệm riêng của phương trình :
+
1
+
0
=
1
+
2
+ +
Định lý 5 (Phƣơng pháp biến thiên hàng số Lagrange)
Nếu
1
,
2
() là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của (6) thì phương trình (4)
nghiệm riêng dạng =
1
1
+
2
2
(), trong đó
1
,
2
() là các hàm thỏa
mãn :
1
1
+
2
2
= 0
1
1
+
2
2
= ()
Ví dụ : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình
2
+ 1
2
+ 2= 0
Biết một nghiệm riêng
1
= .
Giải
Theo công thức Liouville, ta tìm nghiệm riêng
2
độc lập tuyến tính với
1
bằng
cách đặt
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
22
2
=
2
2
+1
2
=
2
+ 1
2
=
1
=
2
1
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
=
1
+
2
(
2
1)
Ví dụ : Giải phương trình :
2
1
+ = 0
Biết rằng nó có một nghiệm riêng dạng
1
=
.
Giải
Để tìm ta tính
1
=
1
,
1
= (1)
2
, thay vào phương trình đã cho
ta có :
2
1
(1)
2
1
+
= 0
1
+ 1
2
= 0,
1
= 0
1
2
= 0
= 1
Vậy nghiệm riêng của phương trình đã cho là
1
= . Theo công thức Liouville ta
có nghiệm riêng thứ 2 :
2
=
2
1
2
=
1
2
=
1
(
1
)
2
=
1
1
+
1
2
=
Vậy nghiệm tổng quát là
=
1
2
Ví dụ : Giải phương trình :
=
Giải
Xét phương trình thuần nhất tương ứng :
= 0
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
23
Ta thấy
1
= 1à một nghiệm riêng, theo công thức Liouville ta có nghiệm riêng
thứ 2 là :
2
=
1
=
2
Vậy phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát là :
1
+
2
2
Bây giờ ta tìm nghiệm riêng của phương trình
=
Bằng cách đặt =
1
() +
2
()
2
Trong đó
1
,
2
thỏa mãn hệ :
1
1 +
2
2
= 0
2
2=
1
=
1
2
2
2
=
1
2
1
=
1
6
3
2
=
1
2
Nên =
1
6
3
+
1
2
2
=
1
3
3
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho bằng tổng nghiệm tổng quát của
phương trình thuần nhất tương ứng cộng với nghiệm riêng của nó:
=
1
+
2
2
+
1
3
3
c. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng
Dạng tổng quát:
+
1
+
0
=
(3.1)
Với
1
,
0
là các hằng số.
Phƣơng pháp giải
Bƣớc 1: ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng
+
1
+
0
= 0 (3.2)
Bƣớc 2: ta tìm một nghiệm riêng của phương trình (3.1) đã cho.
Bƣớc 3: nghiệm tổng quát của phương trình đã cho bằng tổng của nghiệm tổng
quát của phương trình (3.2) với nghiệm riêng của nó.
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
24
Giải phƣơng trình tuyến tính thuần nhất (3.2)
Xét phƣơng trình đặc trƣng:
2
+
1
+
0
= 0 (3.3)
Nếu phƣơng trình có:
Hai nghiệm phân biệt
1
2
thì nghiệm tổng quát của (3.2) là:
=
1
1
+
2
2
Có nghiệm kép
0
thì nghiệm tổng quát của (3.2) là:
=
1
0
+
2
0
Có nghiệm phức: ± thì nghiệm tổng quát của (3.2) là:
=
(
1
+
2
)
Ví dụ: Giải phương trình:
3
+ 2= 0
Giải
Phương trình đã cho là phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất với hệ số hằng
nên có phương trình đặc trưng:
2
3+ 2 = 0
= 1
= 2
Vậy phương trình đặc trưng có nghiệm tổng quát là:
=
1
+
2
2
Ví dụ: Giải phương trình:
2
+ = 0
Giải
Phương trình đã cho là phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất với hệ số hằng
nên có phương trình đặc trưng:
2
2+ 1 = 0 = 1
Vậy phương trình đặc trưng có nghiệm tổng quát là:
=
1
+
2
Ví dụ: Giải phương trình:
Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti
2009
25
+ 2
+ 5= 0
Giải
Phương trình đã cho là phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất với hệ số hằng
nên có phương trình đặc trưng:
2
+ 2+ 5 = 0
= 1 2
= 1 + 2
Vậy phương trình đặc trưng có nghiệm tổng quát là:
=
(
1
2
+
2
2
)
Tìm nghiệm riêng của phƣơng trình tuyến tính không thuần nhất (3.1)
- Phương pháp chung là dựa vào nghiệm tổng quát của phương trình thuần
nhất tương ứng rồi sử dung phương pháp biến thiên hằng số Lagrange để tìm
nghiệm riêng, tuy nhiên trong vài trường hợp đặc biệt của hàm () (ở vế phải) ta có
thể tìm nghiệm riêng một cách đơn giản hơn
Trƣờng hợp
=
(), với () là đa thức bậc n.
Nếu không là nghiệm của đa thức đặc trưng (3.3) thì ta tìm nghiệm riêng
của (3.1) dưới dạng:
=
()
Với () là đa thức bậc n chưa biết, để tìm () ta thay vào phương trình (3.1) rồi
đồng nhất hệ số sẽ tìm được các hệ số của ().
Nếu là nghiệm đơn của đa thức đặc trưng (3.3) thì ta tìm nghiệm riêng
của (3.1) dưới dạng:
=
()
Nếu là nghiệm kép của đa thức đặc trưng (3.3) thì ta tìm nghiệm riêng
của (3.1) dưới dạng:
=
2
()
Ví dụ: Giải phương trình:
2
+ = 1 +
Giải
Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình trình thuần nhất
Xét phương trình đặc trưng:
