SKKN Một số kinh nghiệm giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ trong không gian

I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài:
Trong chương trình tốn THPT, thời lượng dành cho phần hình học khơng
gian chiếm khá nhiều (chương 2 và chương 3 hình học 11,chương 1 và chương 2
hình học 12).Chúng ta đều biết muốn dạy và học tốt được nội dung này địi hỏi
sự cơng phu của cả thầy và trị. Nhưng đối với đa số học sinh thì hình học ln
là một bộ mơn khó học,các em ngại học hình đặc biệt là hình học khơng
gian.Các em gặp khó khăn từ khâu vẽ hình,cách nhìn hình đến việc vận dụng
linh hoạt các tính chất của hình học khơng gian vào giải tốn.Chúng ta có ba
phương pháp giải bài tốn hình khơng gian:
1) Phương pháp véc tơ
2) Phương pháp hình học tổng hợp
3) Phương pháp tọa độ trong khơng gian
Ta có thể thấy phương pháp véc tơ không được sử dụng phổ biến, phương pháp
hình học tổng hợp gặp rất nhiều khó khăn nhất là đối với những bài toán định
lượng.Trong khi đó phương pháp tọa độ lại có những ưu điểm vượt trội.Sử dụng
phương pháp tọa độ sau khi xác định được tọa độ của một số điểm cần thiết học
sinh có thể “thốt li” khỏi hình vẽ. Bài tốn hình học khi đó được “đại số hóa ”
vì thế trở nên dễ dàng hơn đối với học sinh.
Trong thực tế giảng dạy tơi nhận thấy rằng nếu một bài tốn giải được bằng
hai cách: phương pháp hình học tổng hợp và phương pháp tọa độ khơng gian thì
học sinh thường lựa chọn phương pháp tọa độ để giải toán nhưng việc sử dụng
phương pháp tọa độ vào giải tốn hình khơng gian lại khơng được giới thiệu một
cách chính thức trong chương trình phổ thơng.
Mặt khác chúng ta đều biết trong cấu trúc đề thi đại học ln có một điểm
dành cho phần hình học khơng gian.
Xuất phát từ những lí do đó mà tơi chọn đề tài: “ Một số kinh nghiệm giải
bài tốn hình học khơng gian bằng phương pháp tọa độ trong khơng gian ”.
Thơng qua đó hy vọng rằng phương pháp tọa độ trong không gian sẽ đem lại
cho các bạn sự thoải mái, sáng tạo và lí thú.
2. Mục đích viết đề tài:

*) Với người dạy: Thông qua đề tài này tôi muốn giúp các em học sinh có thể
thay đổi cách nhìn về bài tốn hình học khơng gian, để nó khơng cịn là “nỗi sợ
hãi” của các em nữa mà thậm chí cịn là lựa chọn thích thú của các em trong các
kỳ thi.
1

SangKienKinhNghiem.net


*) Với người học : Khơi dậy và tạo nên niềm u thích cho các em đối với
bộ mơn Tốn nói chung và phần hình học khơng gian nói riêng.Từ đó nâng cao
chất lượng học và đặc biệt hơn là nâng cao kết quả thi đại học của các em.
II. NỘI DUNG
A. Cơ sở lí luận của vấn đề:
Thực tế giảng dạy hình học khơng gian tại lớp 11B6 trường THPT Lam Kinh
tơi đã gặp rất nhiều khó khăn, ở đây đối tượng học sinh chủ yếu là trung
bình,các em gần như bất lực trước “ hình khơng gian”.
Bên cạnh đó cũng là hình khơng gian nhưng là “hình học tọa độ trong không
gian” tại lớp 12A2 và 12A4 mà tơi giảng dạy thì học sinh khơng chỉ hứng thú
mà cịn học rất nhanh, rất tốt.
Vậy lí do là gì? Làm sao để khắc phục?
Chúng ta biết rằng, phương pháp tọa độ chiếm một vị trí quan trọng. Cùng
với những phương pháp khác,phương pháp tọa độ là một trong những phương
pháp hiệu quả để giải bài tốn hình học.Vậy giải pháp tối ưu ở đây là: “đưa
phương pháp tọa độ vào giải tốn hình học khơng gian”.
Các bước để giải bài tốn bằng phương pháp toạ độ trong khơng gian:
Bước1: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp từ đó suy ra tọa độ các điểm cần thiết.
Bước 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho các giá trị cần xác định, thông thường
bao gồm:
1) Độ dài đoạn thẳng: AB= x A  x B 2  y A  y B 2  z A  z B 2

2) Khoảng cách từ điểm A(x0;y0;z0) đến (P) : ax+ by +cz +d = 0 là:
d(A,(P))=

ax0  by 0  cz 0  d
a2  b2  c2

3) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD: d(AB,CD)=

4) Góc giữa hai đường thẳng AB và CD: cos(AB,CD)=

AB, CD.AC
AB, CD

AB.CD
AB CD

5) Góc giữa đường thẳng AB và (P) có véctơ pháp tuyến n

2

SangKienKinhNghiem.net


uuur r
AB.n
sin(AB,(P))= uuur r
AB n

6) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có véctơ pháp tuyến là n1 , n2
cos((P),(Q))=

cos( n1 , n2 ) =

7) Thể tích khối tứ diện ABCD: V=

n1 n2
n1 n2





1
AB, AC AD
6

[3], [4]

B. Thực trạng của đề tài:
1. Về kiến thức : Nhiều tính chất, định lí của hình học khơng gian chỉ dừng lại
ở việc nêu mà không chứng minh khiến học sinh nhớ cịn khó chưa nói đến
vận dụng vào giải tốn.
2. Về kĩ năng : Khả năng vẽ hình, nhìn hình khơng gian của nhiều học sinh
cịn yếu, nhất là đối với các bài tốn về góc, khoảng cách,các bài toán định
lượng.
3. Về tư duy : Các em phải tư duy, nghiên cứu và xử lí các yếu tố của một
hình khơng gian ngay trên hình biểu diễn của nó.
4. Về thái độ: Một bộ phận không nhỏ học sinh ngại học hình khơng gian,
thậm chí các em cịn xác định bỏ đi phần hình khơng gian khi ơn thi đại học.
C. Nội dung, giải pháp thực hiện:

Đề tài chỉ xin giới thiệu ba dạng hình tận dụng được đầy đủ thế mạnh của
phương pháp tọa độ trong không gian vào việc giải các bài tốn hình học khơng
gian.
Ở mỗi dạng tơi trình bày được:
- Một số cách chọn hệ trục tọa độ
- Các ví dụ cơ bản dễ chọn hệ trục tọa độ ,không trùng lặp câu hỏi giúp học
sinh củng cố được nhiều kiến thức
- Bài tập tương tự cho học sinh tự giải
- Những nhận xét quan trọng giúp học sinh trở nên linh hoạt trong việc lựa
chọn phương pháp giải.
Dạng 1: Hình chóp
Ta chỉ xét 2 trường hợp dễ chọn hệ trục tọa độ:
3

SangKienKinhNghiem.net


1, Hình chóp đều.
Cách chọn: - Gốc tọa độ O trùng với tâm của đáy
z

- Trục Oz trùng với đường cao của hình chóp

S

A x

B

C

D

z

x
y

A
O

2, Hình chóp có SA vng góc với đáy .

B

C

y

Cách chọn : +) Gốc tọa độ O  A
+) S  Oz.
VD1: Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vng cạch a, tâm O. SO 
(ABCD). M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Biết rằng góc giữa MN và
(ABCD) bằng 60°
1, Tính MN và SO.
2, Tính góc giữa MN và (SBD).
Lời giải:
C1. Phương pháp hình học tổng hợp

S

1) Tính MN và SO:
Gọi H là trung điểm của AO  MH// SO

M

 MH  (ABCD)
 HN là hình chiếu của MN trên (ABCD)

H

Xét tam giác ANO có HN l à trung tuyến
a 2
a
a 5
và AO=
, NO= ,AN=
2
2
2

D

K

A

 (MN,(ABCD))=(MN,HN)= 600

J

E I
B

O

C

N
4

SangKienKinhNghiem.net


 HN2 =

5a 2
8

*) Tính MN:

MN =

HN
a 5

0
Cos 60
2

*) Tính SO: HM = HN tan600 =

a 30
a 30
 SO= 2HM =
4
2

2) Tính góc giữa MN và (SBD).
*) Xác định góc (MN,(SBD))
Gọi I= BD  HN. Do HN// SO nên (SBD)  (MHN)= IJ ( J  SB)
MN  JI= K, gọi E là trung điểm của BO  EN  BD và EN  SO
 EN  (SBD)  EK là hình chiếu của MN trên (SBD)
·
 (MN,(SBD)) =(MN,EK)= NKE
(do tam giác NKE vng tại E)

*) Tính góc (MN,(SBD))
Ta c ó : HONE là hình bình hành ( do NO//HE v à NO=HE)
 I là trung điểm của HN  K là trung điểm của MN  KN=
1
4

Mà EN= AC 

1
a 5
MN 
2
2 2

a 2
EN
1
·
 sin NKE
=

4
KN
5

Vậy (MN,(SBD))=  thỏa mãn sin  

1
5

C2. Phương pháp tọa độ.
z

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz S  Oz, A  Ox, B  Oy
Khi đó: A(
D(0;-

a 2
a 2
a 2
0;0) , B(0;
;0) ,C(0;0) ,
2

2
2

a 2
0),
2

N( 

a 2 a 2
;
;0).
4
4

Giả sử S(0,0,m)  M(
 MN =(-

S

D

M

a 2
m
;0; )
4
2

C

a 2 a 2 m
;
; )
2
4
2

A

O
N
5

B
SangKienKinhNghiem.net

y

x


1, Gọi n là vectơ pháp tuyến của (ABCD)
 n = (0;0;1)

Theo giả thiết ta có: (MN,(ABCD))= 600
 sin60° =

 S(0;0;

n.MN



MN n

a 30
)
2



a 10
2

và

Vậy MN =

3
=
2

4

10a 2  4m 2

SO = |m| =
SO =

m
2

 m=

a 30
2

MN =

a 10
2

a 30
và
2

a 30
2

2, Ta có: (SBD) có vectơ pháp tuyến n1 = (1;0;0),
n1 .MN



1

Vậy  =(MN,(SBD)) thỏa mãn sin  =

1

 Sin(MN,(SBD)) =

=

MN n1

a 2
a 10

MN = ( 

a 2 a 2 a 30
;
;
)
2
4
4

5

5

Nhận xét : thông qua hai cách giải trên chúng ta thấy rằng:
- Theo phương pháp hình học thơng thường thì để tính MN phải lấy thêm
rất nhiều điểm phụ và việc xác định góc giữa MN và mf(SBD) cũng rất
khó mà chỉ một bộ phận học sinh khá giỏi mới có thể làm được.
- Theo phương pháp toạ độ thì học sinh chỉ cần chọn hệ trục tọa độ hợp lí

và xác định toạ độ của các điểm liên quan thì việc tính độ dài đoạn thẳng
và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trở nên đơn giản hơn nhiều.
VD2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a ,SA 
(ABCD). Số đo góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SBD) bằng 1200.
1, Tính độ dài đoạn SA
2, Tính diện tích tam giác SBD
3, Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. [2]
Lời giải:

6

SangKienKinhNghiem.net


C1, Phương pháp hình học tổng hợp.
Phân tích: Việc xác định góc

z

S

giữa 2 mặt phẳng (BSC) và
(DSB) trên phương diện định
hình là rất khó khăn.Vì thế
cách giải này khơng khả thi.
Ta nên định hướng cho học

A

D

sinh giải theo phương pháp
toạ độ.

y

B

C2, Phương pháp tọa độ :

C

x

_ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O  A, B  Ox, D  Oy, S  Oz
Khi đó :

A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), C(a;a;0).

1, Giả sử S(0,0,m);
Gọi n1 , n2 lần lượt là vectơ pháp tuyến của (SBC) và (SDC).
n  SB  a;0;m 
n  SB  a;0;m 
 n1  m;0; a  ;  2
 n2  0;m; a 
Ta có:  1
n1  SC  a; a;m 

n2  SD  0; a;m 

m  a
1
a2
Gỉa thiết  cos120 
  2

m   a
2 m  a2

n1 n2
0

n1 n2

 m=a hay S(0;0;a)

Vậy SA = a.
2,Ta có: SB  a;0;a , SD  0; a;a   S SBD =

1 

 SB, SD 
2 


=

a2 3
(đvdt)
2

3, Ta có: SA  0;0;a  , SC  a; a;a 


VSABC=





1
a3
SA, SB .SC 
(đvtt)
6
6

7

SangKienKinhNghiem.net


Nhận xét: Một lần nữa ta thấy được ý nghĩa thực tiễn của việc “Đại số hố
hình học”. Trước một bài tốn tưởng chừng như khơng thể giải được bằng
phương pháp hình học thơng thường thì lại rất dễ dàng giải được bằng phương
pháp toạ độ.Các em học sinh hãy n tâm và đừng sợ hình khơng gian nữa nhé.
Bài tập tương tự: < Bạn đọc tự giải>:
Cho hình vng ABCD cạnh a. Từ trung điểm H của AB dựng SH  (ABCD)
sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAD)và (ABCD) có số đo bằng 600.
1, Tính SH và khoảng cách từ H đến mp(SCD).

2, Gọi K là trung điểm của AD. Chứng minh CK  SD.
3, Tính số đo góc giữa hai măt phẳng (ASD) và (CSD)
Hướng dẫn:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong đó:
O  H, S  Oz, A  Ox. Oy là trung trực của AB.
a
2

a
2

a
2

a
2

Khi đó : A( ;0;0), B(- ;0;0), C(- ;a;0) , D( ;a;0).

Dạng 2 : Tam diện vuông
_Chọn hệ trục tọa độ ngay trên góc tam diện.
z

O

y

x
VD1: Trong khơng gian các điểm A,B,C theo thứ tự thuộc các tia Ox,Oy,Oz
vng góc với nhau từng đôi một sao cho OA=a , OB= a 2 , OC= c. Gọi D là

đỉnh thứ 4 của hình chử nhật AOBD và M là trung điểm của BC. (P) qua A và
M và cắt mp(OCD) theo đường thẳng vng góc với AM. (P)  OC =E.
1, Chứng minh OC= 3OE.
2, Tính khoảng cách từ C đến (P).

8

SangKienKinhNghiem.net


Lời giải

z

C
E

M

A
F

O

x

B
y

D

C1, Phương pháp hình học tổng hợp
Phân tích:
-

Giả thiết cho độ dài các cạnh khơng có mối quan hệ đặc biệt

- Vị trí của điểm E trên OC khơng có tính đặc biệt
- Gọi EF là giao tuyến của (P) và (OCD) thì vị trí tương đối giữa EF và OD
khó xác định dẫn đến việc tính độ dài OE khó khăn
Với những phân tích trên tơi định hướng học sinh giải bằng phương pháp toạ độ.
C2. Sử dụng phương pháp tọa độ:
_ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz gắn liền với góc tam diện khi đó:
O(0;0;0) , A(a;0;0) , B(0; a 2 ;0) , C(0;0;c) , D(a; a 2 ; 0) , M(0;

a 2
;0).
2

1. Chứng minh OC= 3OE
Giả sử (P)  (OCD) = EF
Ta có:

AM = (-a;

 AM . OD = -a2+a2 = 0

(E  OC)
a 2 c
; )

2 2




;

EF  AM

(1)

OD = (a; a 2 ;0)

AM  OD

(2)

* Vì EF và AM đồng phẳng nên từ (1) và (2) ta có EF//OD.
 (P) : Qua A và song song với giá của các vectơ OD và AM

9

SangKienKinhNghiem.net






 (P): Qua A và có vectơ pháp tuyến n  OD, AM  2c,c 2 ,6a



 Phương trình (P): 2cx  cy 2  6az  2ac  0

* (P)  OC=E  toạ độ điểm E là nghiệm của hệ:
x  0

y  0

2cx  cy 2  6az  2ac  0


x  0

 y  0

c
z 
3




c
3

E (0;0; )  OE =

c

3

Vậy OC=3OE (đpcm)
2, Tính khoảng cách từ C đến (P).
Ta có phương trình (P): 2cx  cy 2  6az  2ac  0
 khoảng cách từ C đến (P) bằng : d(C,(P))=

6ac  2ac
4c  2c  36a
2

2

2

4ac



6c  36a 2
2

Nhận xét :
Sau khi xác định được tọa độ các điểm thì việc tính độ dài đoạn OE và khoảng
cách từ C đến mp(P) trở nên dễ dàng hơn nhiều.
Bài tập tương tự :

< bạn đọc tự giải >

Cho tam giác ABC có AB=b , AC=c , BC chức trong mp(P) . Gọi O là hình

chiếu của A trên (P). Khi  OBC vng tại O và OA=a.
1, Tính khoảng cách từ O tới mp(ABC).
2, Tính góc giữa (P) và (ABC).
Hướng dẫn:

z

_ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz

A

A  Oz, B  Ox, C  Oy

b
c

Ta có :
A(0;0;a) ; B( b 2  a 2 0;0) ; C( 0; c 2  a 2 ; 0).

a

O

B

C
y
10

SangKienKinhNghiem.net

x


Dạng 3: Hình hộp chữ nhật
Với hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 thì việc chọn hệ trục tọa độ khá đơn
giản, ta có thể chọn :
Hướng 1: Chọn đỉnh A làm gốc tọa độ.
Hướng 2: Chọn tâm của đáy làm gốc tọa độ.
VD1: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a.
1, Tính góc và khoảng cách giữa A1B và AC1
2, Tính thể tích khối tứ diện AB1D1C
Lời giải:
C1: Phương pháp hình học tổng hợp:
Phân tích: Việc xác định góc,xác định khoảng
cách giữa A1B và AC1 trên phương diện
định hình là rất khó, chưa nói đến việc tính
tốn.Vậy nên với bài tốn này phương án tối

�1

�1

z

�1

A

y

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz

C
D

A  O, A1  Oz, B  Ox, D  Oy
Khi đó :
A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), B1(a;0;a), C1(a;a;a), D1(0;a;a)
1, Ta có :

A1 B = ( ‒ a;0;a),

AC1 = (a;a;a)

*) Tính góc: Gọi  là góc giữa 2 đường thẳng A1B và AC1 ta được:
cos  

A1 B. AC1
A1 B AC1

0 


2

*) Tính khoảng cách: ta lại có AA1  0;0; a 

11

SangKienKinhNghiem.net

B

x

ưu là phương pháp toạ độ.
C2: Phương pháp toạ độ

�1


uuur uuuuur uuur
 A1 B, AC1  . AA1
a3
a


 d(A1B,AC1)=


uuur uuuur
6
 A1 B, AC1 
a 4  4a 4  a 4



2, Tính thể tích tứ diện AB1D1C
Ta có: AB1  a;0; a  ; AD1  0; a; a  ; AC  a; a;0





 a 3  a 3 2a 3
1
 thể tích tứ diện AB1D1C là: V= AB1 , AD1 . AC 

6
6
6

Bài tập tương tự:<Học sinh tự làm>
Cho hình hộp đứng ABCD.A1B1C1D1 có AB=AD=a, AA1=

a 3
,góc BAD bằng
2

600.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của cạnh A1D1 và A1B1.Chứng minh AC1
vng góc với mặt phẳng (BDMN) và tính thể tích khối đa diện AA1BDMN.
Nhận xét chung:

Khách quan mà đánh giá ưu điểm và nhược điểm của mỗi phương pháp để ta có
lựa chọn hợp lí khi giải tốn:
Phương pháp hình học tổng hợp
*) Ưu điểm:
Giải nhanh,ngắn gọn hơn,và giúp phát triển tư duy rất tốt cho học sinh.
*) Nhược điểm:

Khó hơn đặc biệt đối với những bài tốn tính góc và khoảng cách.
Phương pháp tọa độ:
*) Ưu điểm:
Chủ yếu là các thao tác đại số phù hợp với nhiều đối tượng học sinh
*) Nhược điểm:
Không phải bài nào cũng giải được bằng phương pháp toạ độ.
CÁC BÀI TẬP CỦNG CỐ:những kỹ năng,kinh nghiệm của bản thân>
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a,SA=2a và
vng góc với đáy.
a) Tính khoảng cách từ A đến (SBC)
12

SangKienKinhNghiem.net


b) Tính khoảng cách giữa SC và BD
c) Tính thể tích khối chóp SABCD
Bài 2:Cho tứ diện ABCD có AD vng góc với (ABC),AC=AD=4,AB=3,BC=5.
Tính khoảng cách từ A đến (BCD).
Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a, AD=2a, AA1=a
a) Tính khoảng cách giữa AD1 và B1C
b) Gọi M chia AD theo tỉ số bằng 3.Tính khoảng cách từ M đến (AB1C).
c) Tính thể tích tứ diện AB1D1C
D. Hiệu quả :
Thông qua đề tài này tôi đã đạt được những kết quả sau:
- Giúp học sinh biết phân tích và lựa chọn phương pháp hợp lí khi giải bài
tốn hình học khơng gian.
- Dẫn dắt được nhiều học sinh từ việc khơng giải được bài tốn hình khơng
gian ở lớp 11 đến việc giải thành thạo bài tốn hình không gian bằng

phương pháp tọa độ ở lớp 12,cụ thể:
Trước khi học phương pháp tọa độ trong không gian:
Lớp

Sĩ số

Giải tốt(%)

Giải được(%)

Bỏ qua(%)

11B6

47

5 hs(10,6%)

17 hs( 36,2%)

25hs(53,2%)

12A2

45

1 hs( 2,4%)

18hs( 42,8%)

23 hs(54,8%)

12A8

45

4 hs( 8,9%)

21 hs(46,7%)

20 hs(44,4%)

Sau khi học phương pháp toạ độ trong khơng gian:
Lớp

Sĩ số

Giải tốt(%)

Giải được(%)

Bỏ qua(%)

12A2

45

30,5

61,4

8,1

12A4

45

20,5

62,5

17,0

Do tính hiệu quả,tính thiết thực cao của đề tài nên trong năm học 2017-2018 tôi
tiếp tục áp dụng cho lớp 11B6 mà tôi đang giảng dạy.

13

SangKienKinhNghiem.net


III. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT:
I.

Kết luận:

Trong đề tài này tôi nhận thấy đã đạt được những kết quả sau:
1) Nêu và phân tích được ưu điểm,nhược điểm của phương pháp hình học
tổng hợp và phương pháp toạ độ trong khơng gian.
2) Trình bày được các bước giải bài tốn hình học khơng gian bằng phương

pháp toạ độ.
3) Đưa ra được những ví dụ phù hợp với nhiều đối tượng học sinh với hệ
thống câu hỏi đa dạng giúp học sinh vừa củng cố được kiến thức về
phương pháp tọa độ,vừa có thêm một cơng cụ mới để giải bài tốn hìng
khơng gian mà trong chương trình học khơng được giới thiệu một cách
chính thức.
II.

Đề xuất:

- Về phía nhà trường: Mua thêm sách tham khảo về bộ mơn hình khơng
gian và phương pháp toạ độ trong khơng gian.
- Về phía tổ chuyên môn: Tăng cường nhiều hơn các buổi thảo luận về
phương pháp dạy và học hình học khơng gian.
Dĩ nhiên trong q trình nghiên cứu khơng tránh khỏi những thiếu sót
mong các bạn đồng nghiệp góp ý và bổ sung.
Tôi xin chân thành cám ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm
2017
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung
của người khác.

Nguyễn Thị Thuý

14

SangKienKinhNghiem.net


IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Tài liệu bồi dưỡng giáo viên mơn Tốn- Nhà xuất bản giáo dục.
2. Phương pháp giải tốn hình học,Lê Hồng Đức – Đào Thiện Khải – Lê Bích
Ngọc,Nhà xuất bản đại học sư phạm.
3. Sách Hình học 12, Nhà xuất bản giáo dục- Năm 2008
4. Sách Hình học 12 Nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục- Năm 2008
5. Sách Hình học 11, Nhà xuất bản giáo dục- Năm 2007
6. Sách Hình học 11 Nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục- Năm 2007
7. Sách Giáo viên Hình học 12, Nhà xuất bản giáo dục- Năm 2008
8. Sách Giáo viên Hình học 12 Nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục- Năm 2008
9. Sách Giáo viên Hình học 11, Nhà xuất bản giáo dục- Năm 2007
10.Sách Giáo viên Hình học 11 Nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục- Năm 2007

15

SangKienKinhNghiem.net


16

SangKienKinhNghiem.net