Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Môn Toán 2022

thuvienhoclieu.com

TÀI LIỆU ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT
NĂM 2022
MƠN TỐN
Chủ đề 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11
I. Cấp số cộng, cấp số nhân
1. Cấp số cộng
a. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng ⇔ un+1 = un + d, ∀n ∈ N* (d: công sai)
u = u1 + ( n − 1) d
b. Số hạng tổng quát: n
với n ≥ 2
uk −1 + uk +1
uk =
2
c. Tính chất của các số hạng:
với k ≥ 2
S n = u1 + u2 + ... + un =

n(u1 + un ) n [ 2u1 + ( n − 1) d ]
2
2
=

4. Tổng n số hạng đầu tiên:
2. Cấp số nhân
1. Định nghĩa: (un) là cấp số nhân ⇔ un+1 = un.q với n ∈ N*
n −1
2. Số hạng tổng quát: un = u1.q , với n ≥ 2

(q: cơng bội)

2
3. Tính chất các số hạng: uk = uk −1.uk +1 , với k ≥ 2
,q =1
 S n = nu1

n
 S = u1 (1 − q )
,q ≠1
 n
1− q
4. Tổng n số hạng đầu tiên:

Ví dụ 1. Tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng, biết:
u1 − u3 + u5 = 10
⇔

u1 + u6 = 17

u1 − u3 + u5 = 10

u1 + u6 = 17

u1 + 2d = 10
u = 16
⇔ 1

2u1 + 5d = 17 d = −3

Hướng dẫn giải. Ta có:

Ví dụ 2. Một CSC có số hạng thứ 54 và thứ 4 lần lượt là - 61 và 64. Tìm số hạng thứ 23.
u = u1 + 53d
⇔  54
u = u1 + ( n − 1) d
u4 = u1 + 3d
Hướng dẫn giải. Ta có: n
.
143
5
33
u1 =
, d = − ⇒ u23 = u1 + 22d =
2
2
2
Giải hệ phương trình, ta được:
(u )
u = 3, u5 = 27
Ví dụ 3. Tìm các số hạng của cấp số nhân n có 5 số hạng, biết: 3
u1q2 = 3
u3 = 3
1
⇔ 4

u1 = , q = ±3
u
=
27
u
q

=
27
 1
3
Hướng dẫn giải. Ta có:  5
⇔
1
1
,1,3,9,27
, −1,3, −9,27
Vậy có hai dãy số: 3
và 3
II. Tổ hợp, xác suất và công thức Nhị thức Niutơn
1. Quy tắc đếm
1.1 Quy tắc cộng: Sử dụng khi cơng việc được hồn thành bởi một trong các hành động riêng lẻ.
Ví dụ 1. Lớp 11A8 được chia thành 4 tổ. Tổ 1 có 9 học sinh, tổ 2 có 7 học sinh, tổ 3 có 8 học sinh và tổ 4
có 9 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách để chọn 1 học sinh của lớp 11 A8 tham gia vào đội Cờ đỏ của nhà
trường. Giải: Tổ 1 có 9 cách chọn +…+ Tổ 4 có 9 = 33 cách chọn.
Ví dụ 2. Giả sử đi từ Bồng Sơn đến Quy Nhơn có thể đi bằng 4 loại phương tiện: Ơ tơ, tàu hỏa, tàu thủy và
máy bay. Biết mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 2 chuyến tàu thủy và 1 chuyến máy bay đi từ
Phù Mỹ đến Quy Nhơn. Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn đi từ Phù Mỹ đến Quy Nhơn trong một ngày.
thuvienhoclieu.com

Trang 1


thuvienhoclieu.com
Giải: Đi bằng ơ tơ có 10 cách+…+1 cách đi bằng máy bay = 18 cách lựa chọn.
1.2 Quy tắc nhân: Sử dụng khi cơng việc được hồn thành bởi các hành động liên tiếp nhau.
Ví dụ 1. Nam có 3 áo màu và hai quần kiểu khác nhau. Hỏi Nam có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo.

Giải: Dùng quy tắc nhân, ta được 3.2 = 6 bộ quần áo.
Ví dụ 2. An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Biết rằng từ nhà An đến nhà Bình có 4
con đường, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến
nhà Cường. Giải: Dùng quy tắc nhân, ta được 4.6 = 24 con đường.
Ví dụ 3. Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số được tạo thành từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 sao cho
a) Các chữ số có thể giống nhau.
b) Các chữ số khác nhau.
Giải:
a) Đặt chữ số cần tìm có dạng abcd .

d ∈ { 0, 2, 4,6}
Vì abcd chẵn nên
và a là số đầu tiên nên không thể bằng 0.
Trường hợp 1. Nếu d = 0 thì d có 1 cách chọn, a có 6 cách chọn, b có 7 cách chọn, c có 7 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có 1.6.7.7 = 294 cách.
Trường hợp 2. Nếu d ≠ 0 thì d có 3 cách chọn, a có 6 cách chọn, b có 7 cách chọn, c có 7 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có 3.6.7.7=882 cách. Vậy có 294+882=1176 cách.
b) Đặt chữ số cần tìm có dạng abcd .

d ∈ { 0, 2, 4,6}
Vì abcd chẵn nên
và a là số đầu tiên nên không thể bằng 0.
Trường hợp 1. Nếu d = 0 thì d có 1 cách chọn, a có 6 cách chọn, b có 5 cách chọn, c có 4 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có 1.6.5.4 = 120 cách.
Trường hợp 2. Nếu d ≠ 0 thì d có 3 cách chọn, a có 5 cách chọn, b có 5 cách chọn, c có 4 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có 3.5.5.4 = 300 cách. Vậy có 120+300=420 cách.
2. Hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp
2.1 Hoán vị: Sự sắp xếp thứ tự của n phần tử trong một tập hợp gồm n phần tử.

(

)(
)(
)
Công thức: n
.
Ví dụ 1. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho ba bạn An, Bình, Cường vào một bàn học sinh gồm ba chỗ.
P = 3! = 3.2.1 = 6
Giải: 3
(Có thể dùng quy tắc nhân).
Ví dụ 2. Trong một cuộc thi thể thao có 4 đội tham gia A, B, C, D và có bốn giải nhất, nhì, ba và khuyến
khích. Có bao nhiêu khả năng để 4 đội đoạt giải.
P = 4! = 4.3.2.1 = 24
Giải: 4
(Có thể dùng quy tắc nhân).
n!
Ank =
( n − k)! .
2.2. Chỉnh hợp: Chọn k phần tử khác nhau (có thứ tự) từ n phần tử của tập hợp ( k ≤ n ):
n!
Cnk =
k !( n − k ) !
2.3. Tổ hợp: Chọn k phần tử (không thứ tự) từ n phần tử của tập hợp ( k ≤ n ):
.
Ví dụ 1. Tổ một lớp 11A8 có 5 học sinh. Giáo viên chủ nhiệm chọn ra ba học sinh từ tổ 1 để quét lớp, lau
3
bảng và xếp bàn ghế. Hỏi GVCN có bao nhiêu cách chọn (HDG. A5 = 60 ).
P = n ! = n n − 1 n − 2 n − 3 ...3.2.1

Ví dụ 2. Trong một trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng loạt đá luân lưu 11m. HLV của
mỗi đội cần phải trình với trọng tài một danh sách (sắp thứ tự) năm cầu thủ trong số 11 cầu thủ để đá luân

5
lưu 5 quả 11m. Hỏi HLV mỗi đội có bao nhiêu cách chọn (HDG. A11 = 55.440 ).
Ví dụ 3. Trong một cuộc thi Maraton có 50 người tham gia nhưng chỉ có ba giải nhất, nhì, ba. Có bao nhiêu
3
cách để chọn người đoạt giải nhất, giải nhì, giải ba (HDG. A50 = 117.600 ).
Ví dụ 4. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số1,2,3,4,5,6,7,8,9(HDG.
A95 = 15.120 )
Ví dụ 5. Có bao cách chọn 3 học sinh trong đội tuyển gồm 8 học sinh giỏi môn văn lớp 12 của trường để đi
3
dự thi cấp tỉnh. Biết rằng cả 8 em này đều có năng lực như nhau (HDG. C8 = 56 ).
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng cho một tập hợp P gồm 7 điểm, trong đó khơng có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi
3
có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh đều thuộc P (HDG. C7 = 35 ).
thuvienhoclieu.com

Trang 2


thuvienhoclieu.com
Ví dụ 7. Trong một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Thầy giáo chủ nhiệm cần chọn ra 4 học
sinh nam và 3 học sinh nữ đi tham gia chiếu dịch “mùa hè xanh” của đồn TNCS Hồ Chí Minh. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn (HDG. C20C15 = 4845.455 = 2204475 ).
3. Xác suất của biến cố
4

3

P ( A) =

n ( A)

( ).
Xác suất của biến cố A được tính theo cơng thức
n ( A)
n ( Ω)
Trong đó:
là số phần tử của biến cố A;
là số phần tử của khơng gian mẫu.
Ví dụ 1. Một hộp đựng 12 viên bi trong đó có 7 viên bi đỏ, 5 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi lần 3 viên bi.
Tính xác suất để:
a) Lấy được cả 3 viên bi đều đỏ.
b) Lấy được ít nhất hai viên bi màu đỏ.
n ( Ω ) = C123 = 220.
Giải: Số phần tử của không gian mẫu là
a) XS của bc A là

n ( A)

P ( A) =

n ( Ω)

P ( B) =

n( B)

=
=

35

7
=
220 44

n Ω

.

140 7
=
220 11

n ( Ω)
b) XS của bc B là
.
Ví dụ 2. Một khách sạn có 6 phịng đơn. Vào một buổi sáng có 10 khách đến th phịng cùng một lúc
trong đó có 6 nam và 4 nữ. Người quản lý khách sạn chọn ngẫu nhiên 6 người. Tính XS để:
a) Có 4 khách nam và 2 khách nữ.
b) Có ít nhất 2 khách nữ.
n ( Ω ) = C106 = 210.
Giải: Số phần tử của không gian mẫu là

P ( A) =

n ( A)
90 3
=
=
n ( Ω ) 220 7

a) XS của bc A là
.
b) Gọi B là biến cố có ít nhất 2 khách nữ. Có các khả năng xảy ra như sau:
2
4
3
3
4
2
+ Hai nữ, 4 nam: C4 .C6 .
+ Ba nữ, 3 nam: C4 .C6 .
+ Bốn nữ, 2 nam: C4 .C6 .
2
4
3
3
4
2
Suy ra số phần tử của biến cố B là C4 .C6 + C4 .C6 + C4 .C6 =185.

P ( B) =

n ( B)

n ( Ω)

=

185 37
=

210 42

Vậy XS của bc B là
.
Ví dụ 3. Trong 100 vé xổ số kiến thiết có 1 vé trúng 100 nghìn đồng, 5 vé trúng 50 nghìn đồng và 10 vé
trúng 10 nghìn đồng. Một người mua ngẫu nhiên 3 vé. Tính xác suất để:
a) Người mua trúng thưởng đúng 30 nghìn đồng.
b) Người mua trúng thưởng 200 nghìn đồng.
3
n ( Ω ) = C100
.
Giải: Số phần tử của không gian mẫu là
a) P ( A) =

n ( A)

n ( Ω)

=

C103
2
=
3
C100 2695

b) P ( B ) =

n( B)

n ( Ω)

=

C11.C52
1
=
3
C100
156200

.
Ví dụ 4. Trong một hộp đựng 3 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 5 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên ra 3 viên bi.
Tính xác suất để 3 viên bi được chọn có cả 3 màu.
P ( A) =

n ( A)

=

3.4.5 60
3
=
=
3
C12
220 11

n ( Ω)
Giải: Số phần tử của khơng gian mẫu là ( )

.
Ví dụ 5. Có 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để có đúng
5 tấm thẻ mang số chia hết cho 3.

n Ω = C = 220.
3
12

Giải: Số phần tử của không gian mẫu là

n ( Ω) = C

10
30

và

P ( A) =

thuvienhoclieu.com

n ( A)

n ( Ω)

=

5
C105 .C20
C123

.

Trang 3


Ví dụ 6. Cho tập

F = { 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9}

thuvienhoclieu.com

. Lấy ngẫu nhiên ra 2 phần tử của F. Tính xác suất để 2 số lấy ra
n ( A)
4
P ( A) =
=
n ( Ω ) 45
là chẵn và tổng của chúng nhỏ hơn 7 (HDG :
)
Gọi A là biến cố 2 số lấy ra là chẵn và tổng của chúng nhỏ hơn 7.
Tập A bao gồm các pần tử:
4. Nhị thức Newton

{ 0, 2} , { 0, 4} , { 0, 6} , { 2, 4} . Khi đó.

n

( a + b) = Cn0 a n + Cn1a n- 1b +... + Cnn- 1ab n- 1 + Cnnb n = å Cnk a n- k b k .
n

+ Với hai số thực a và b, ta có

k =0

k
n

n−k

k

+ Một số hạng tổng quát ở vị trí thứ k + 1 là C a b .
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
(u )
Câu 1. Cho cấp số cộng n với u1 = 3 và u2 = 9 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. −6 .
B. 3 .
C. 12 .
D. 6 .
Câu 2. Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là
A. .
B.
.
C.
.
D. .
27
A72

C72
72
Câu 3. Chọn ngẫu nhiên 2 số tự nhiên khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được
hai số có tổng là một số chẵn bằng
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
1
13
12
313
2
25
25
625
Câu 4. Số cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là
2
2
2
5
A. 5 .
B. 2 .
C. C5 .
D. A5 .

u

Câu 5. Cho cấp số cộng ( n ) với u1 = 2 và u2 = 8 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A. 4 .
B. −6 .
C. 10 .
D. 6 .
Câu 6. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 27 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số
có tổng là một số chẵn là
13
14
1
365
A. 27 .
B. 27 .
C. 2 .
D. 729 .
Câu 7. Số cách chọn 2 học sinh từ 6 học sinh là
2
6
C2
B. 6 .
C. 2 .
D. 6 .
(u )
u =2
u =6
Câu 8. Cho cấp số cộng n với 1
và 2
. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A. 3 .
B. −4 .

C. 8 .
D. 4 .
Câu 9. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 21 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số
có tổng là một số chẵn bằng
11
221
10
1
A. 21 .
B. 441 .
C. 21 .
D. 2 .
Câu 10. Số cách chọn 2 học sinh từ 8 học sinh là
A.
.
B. .
C.
.
D. .
C82
A82
28
82
Câu 11. Cho cấp số cộng
với
và
. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
u
=
1

u
=
4
( un )
1
2

A.

A62

.

A.

.
B. .
C.
.
D. .
4
5
−3
3
Câu 12. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số
có tổng là một số chẵn bằng

thuvienhoclieu.com

Trang 4

thuvienhoclieu.com
A.
.
B. .
C.
.
D.
.
11
1
265
12
23
2
529
23
Câu 13. Với k và n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k ≤ n . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
n!
n!
k !( n − k ) !
n!
k
Cnk =
Cnk =
C
=
Cnk =
n

k !( n − k ) !
n
−
k
!
(
)
n!
k!.
A.
.
B.
C.
.
D.
.
(u )
Câu 14. Cho cấp số cộng n có số hạng đầu u1 = 2 và công sai d = 5 . Giá trị u4 bằng
A. 22.
B. 17.
C. 12.
D. 250.
Câu 15. Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có ba ghế. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 nam và 3 nữ,
ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học sinh
nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng
2
1
3
1
A. 5 .

B. 20 .
C. 5 .
D. 10 .
Câu 16. Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 34 học sinh?
2
2
2
34
A. 2 .
B. A34 .
C. 34 .
D. C34 .
Câu 17. Từ một hộp chứa 11 quả cầu đỏ và 4 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Xác
suất
để lấy được 3 quả cầu màu xanh bằng
4
4
24
33
A. 455 .
B. 455 .
C. 165 .
D. 91 .
6
8
5
x 2 x − 1) + ( 3 x − 1)
Câu 18. Hệ số của x trong khai triển nhị thức (
bằng
−

13368
13368
−
13848
A.
.
B.
.
C.
.
D. 13848 .
[ 1;17] . Xác suất
Câu 19. Ba bạn A , B , C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn
để ba
số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng
1728
1079
23
1637
A. 4913 .
B. 4913 .
C. 68 .
D. 4913 .
(Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2018 – Câu 43 Mã đề 101)
3
Giải: Không gian mẫu có số phần tử là 17 = 4913 . Lấy một số tự nhiên từ 1 đến 17 ta có các nhóm số
sau:
{ 3;6;9;12;15} .
+ Số chia hết cho 3 : có 5 số thuộc tập
{ 1;4;7;10;13;16} .

+ Số chia cho 3 dư 1 : có 6 số thuộc tập
{ 2;5;8;11;14;17} .
+ Số chia cho 3 dư 2 : có 6 số thuộc tập
[ 1;17] thỏa mãn ba số
Ba bạn A , B , C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn
đó có tổng chia hết cho 3 thì các khả năng xảy ra như sau:
3
3
TH1: Ba số đều chia hết cho 3 có 5 = 125 cách;
TH2: Ba số đều chia cho 3 dư 1 có 6 = 216 cách.
3
TH3: Ba số đều chia cho 3 dư 2 có 6 = 216 cách.
TH4: Một số chia hết cho 3 , một số chia cho 3 dư 1 , chia cho 3 dư 2 có 5.6.6.3! = 1080 cách.

125 + 216 + 216 + 1080 1637
=
4913 . Chọn D.
4913
Vậy xác suất cần tìm là

Câu 20. Với n là số nguyên dương thỏa mãn Cn + Cn = 55 , số hạng không chứa x trong khai triển của
n
 3 2 
x
+

÷
x 2  bằng
thức 
A. 322560 .

B. 3360 .
C. 80640 .
D. 13440 .
thuvienhoclieu.com
Trang 5
1

2


thuvienhoclieu.com

Giải: Điều kiện n ≥ 2 và n ∈ Z .

10

2 
 3
x + 2÷
1
2

x  .
Ta có Cn + Cn = 55 ⇔ n = 10 . Với n = 10 ta có khai triển 
C10k x

3( 10 − k )

k

 2 
.  2 ÷ = C10k 2 k x 30−5 k
x 
, với 0 ≤ k ≤ 10 .

Số hạng tổng quát của khai triển
Số hạng không chứa x ứng với k thỏa 30 − 5k = 0 ⇔ k = 6 .
6 6
Vậy số hạng không chứa x là C10 2 = 13440 . Chọn D.

Chủ đề 2. HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
I. Khối đa diện
1. Thể tích của khối hộp chữ nhật: V = abc (a, b, c là 3 kích thước)
2. Thể tích của khối lập phương cạnh a :
V = a3
3. Thể tích của khối lăng trụ: V = B.h (B là diện tích của đáy, h là chiều cao)
4. Thể tích của khối chóp: V = B.h (B là diện tích của đáy, h là chiều cao)

1
3

Chú ý: Tỉ số thể tích

VS.A'B'C '
VS.ABC

=

SA' SB ' SC '
.

.
SA SB SC

5. Kiến thức liên quan
* Tỉ số lượng giác của góc nhọn:

• sin α =

MH
OM

• cos α =

OH
MH
• tan α =
OM
OH

* Hệ thức lượng trong tam giác vng:
• Định lý Pitago:
•
•
•

Cho

BC 2 = AB 2 + AC 2

BA2 = BH .BC ; CA2 = CH .CB

AB. AC = BC. AH
1
1
1
=
+
2
2
AH
AB
AC 2

hay
hay

∆ABC

hay

hay

• cot α =

OH
MH

vng ở A

a 2 = b2 + c 2

b 2 = a.b ', c 2 = a.c '

bc = ah

1
1 1
= 2+ 2
2
h
b c

* Hệ thức lượng trong tam giác thường
• Định lý cơsin:
• Định lý sin:

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc.cos A

a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C

* Các cơng thức tính diện tích
a. Cơng thức tính diện tích tam giác.
•

S=

1
1
1
a.ha = bhb = chc
2
2
2

S=

1
1
1
ab sin C = bc sin A = ca sin B
2
2
2

•

thuvienhoclieu.com

Trang 6


thuvienhoclieu.com

•

•

abc
S=
4R
S=

• Đặc biệt:

, S = pr

với

p ( p − a )( p − b)( p − c )

∆ABC

vuông ở A:

1
S = AB. AC
2

b. Diện tích hình vng cạnh a:
d. Diện tích hình thoi:

a+b+c
p=
2
,

∆ABC

(Cơng thức Hê-rơng)

đều cạnh a:

a2 3
S=
4

c. Diện tích hình chữ nhật:

S = a2

S = a.b

e. Diện tích hình thang:

1
S = m.n
2

S=

1
h ( a + b)
2

* Một số tính chất đặc biệt thường sử dụng

• Đường chéo hình vng cạnh a là

d =a 2

• Đường cao tam giác đều cạnh a là

h=

a 3
2

II. Góc và khoảng cách
1. Góc:
+ Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau: Là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua 1 điểm và lần
lượt song song với hai đường thẳng đó.
+ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Là góc giữa đường thẳng đó với hình chiếu của nó trên
mặt phẳng.
+ Góc giữa hai mặt phẳng

(α)

và

(β) :

( α ) và ( β )
▪ Bước 1: Xác định giao tuyến ∆ của hai mặt phẳng

( α ) và vẽ tia Oy
▪ Bước 2: Trên ∆ lấy điểm O bất kỳ. Qua O vẽ tia Ox vuông góc với ∆ trong

(β) .
vng góc với ∆ trong

·
( α ) và ( β ) chính là góc giữa tia Ox và tia Oy hay xOy
Khi đó: Góc giữa hai mặt phẳng
.
2. Khoảng cách:
+ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Là khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó trên
mặt phẳng.
+ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Là khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc
đường thẳng đến mặt phẳng.
+ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Là khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng này
đến mặt phẳng kia.
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
▪ Cách 1: Xác định đoạn vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. Khi đó, khoảng cách cần
tìm chính là độ dài đoạn vng góc chung đó.
▪ Cách 2: Dựng một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng cịn lại. Khi
đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau quy về khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
song song.
▪ Cách 3: Dựng hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. Khi đó, khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau quy về khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
III. Khối nón, Khối trụ, Khối cầu
2
2
2
1. Khối nón: Cho khối nón có bán kính đáy r, độ dài đường sinh l và chiều cao h. Khi đó: l = r + h .
S = π rl
+ Diện tích xung quanh: xq

;
thuvienhoclieu.com

Trang 7


+ Diện tích tồn phần:
1
V = π r 2h
3
+ Thể tích:

thuvienhoclieu.com
Stp = π rl + π r 2

2. Khối trụ: Cho khối trụ có bán kính đáy r, độ dài đường sinh l và chiều cao h. Khi đó: l = h.
S = 2π rl
+ Diện tích xung quanh: xq
;
S = 2π rl + 2π r 2
+ Diện tích tồn phần: tp
2
+ Thể tích: V = π r h
3. Khối cầu: Cho khối cầu có bán kính R.
2
+ Diện tích mặt cầu: S MC = 4π R
3
4
VKC = π R .
3

+ Thể tích khối cầu:
Ví dụ 1. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a.
Giải

SH ⊥ ( ABCD )
Gọi H là tâm của hình vng. Vì S . ABCD là hình chóp đều nên

Vì ABCD là hình vng nên

S ABCD = AB 2 = a 2 (đvdt)

2
2
2
2
2
2
Ta có SA + SC = AB + BC = AC = 2a

∆SAC vuông tại S, mà H là trung điểm của AC nên

SH =

AC a 2
=
2
2

1
1 a 2 2

2 3
⇒ VS . ABCD = SH .S ABCD = .
.a =
a
3
3 2
6
(đvtt)
0
Ví dụ 2. Tính thể tích khối chóp tam giác đều biết cạnh đáy bằng a và các cạnh bên hợp đáy góc 60 .
Giải
Gọi H là tâm của tam giác ABC , M là trung điểm của BC

S . ABC là hình chóp đều nên SH ⊥ ( ABC )
∆ABC là tam giác đều nên AM ⊥ BC

Trong tam giác vuông ACM

⇒ S ABC =

⇒ AM =

3
a
2

1
3 2
AM .BC =
a

2
4
(đvdt)

·
⇒ (·
( SBC ),(ABC) ) = (·SM , AM ) = SMA
= 600
Ta lại có AM ⊥ BC , SH ⊥ BC nên SM ⊥ BC
.

1
3
AM =
a
3
6
Do H là trọng tâm tam giác ABC nên
SH
a
·
tan SMH
=
⇒ SH = HM .tan 600 =
HM
2
Trong tam giác vuông SHM ,
HM =

1

1 a 3 2
3 3
⇒ VS . ABC = SH .S ABC = . .
a =
a
3
3 2 4
24 (đvtt)
Ví dụ 3. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a. Hai mặt bên (SAB) và
(SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Giải
thuvienhoclieu.com

Trang 8


thuvienhoclieu.com

( SAB) ⊥ ( ABCD )

( SAD ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ ( ABCD )

( SAB ) ∩ ( SAD ) = SA
Ta có: 
1
VS . ABCD = SA.S ABCD
3
Do đó,

S

= AB.BC = 2a 2
Diện tích đáy ABCD là: ABCD
AC là hình chiếu của SC lên mp
Ta có: AC =

( ABCD )

nên

·
= 600
(·( SC ),( ABCD ) = (·SC , AC ) = SCA

·
AB 2 + BC 2 = a 5 ⇒ SA = AC.tan SCA
= a 5.tan 600 = a 15

2a 3 15
3
Vậy thể tích khối chóp là:
(đvtt)
Ví dụ 4. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vng tại A, AB = a, BC = 2a . Các cạnh bên
SA = SB = SC = 2a . Tính thể tích khối chóp S . ABC .
VS . ABCD =

( ABC )

Giải

Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng

Ta có: SA = SB = SC nên HA = HB = HC
Do đó, H là tâm đường trịn ngoại tiếp ∆ABC
Mà ∆ABC vuông tại A nên H là trung điểm của BC.

∆SBC đều cạnh 2a
AC = a 3 ⇒ S ABC

⇒ SH = 2a.

3
=a 3
2

1
a2 3
= AB. AC =
2
2 (đvdt).

Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) và SH
= a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM theo a.
Giải

SH ⊥ ( ABCD )

Vì
nên
1
VS .CDMN = SH .SCDMN

3
1
= SH . ( S ABCD − S BCM − S AMN )
3
1
5
5 3 3
= a 3 a2 =
a
3
8
24
0
·
Ví dụ 6. Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC = a, ACB = 60 ,

biết BC' hợp với

( AA ' C ' C )

một góc 300. Tính AC' và thể tích khối lăng trụ.
Giải

o
0
·
Ta có ABC là tam giác vng tại A với AC = a, ACB = 60 ⇒ AB = AC.tan 60 = a 3 .

Ta có:

AB ⊥ AC ; AB ⊥ AA′ ⇒ AB ⊥ ( AA′C ′C ) nên AC' là hình chiếu của BC' trên ( AA ' C ' C ) . Vậy góc

giữa BC’ và mặt phẳng

( AA ' C ' C )

AB
′
·AC ' B = 300 ⇒ AC = tan 30o = 3a
là góc
thuvienhoclieu.com

Trang 9


thuvienhoclieu.com
2
2
2
∆AC ' A ' vuông tại A’ ⇒ AA ' = AC ' − A ' C ' = 8a = 2 2a
AB
tan ·ACB =
= 3 ⇒ AB = a 3
∆ABC vuông tại A,
AC

⇒ S ABC =

1
a2 3

AB. AC =
2
2 (đvdt)

3
Vậy VABC . A ' B ' C ' = AA '.S ABC = a 6 (đvtt)

0
·
Ví dụ 7. Cho hình hộp đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BAD = 60 , biết

AB' hợp với đáy

( ABCD )

Vì ∆ABD đều cạnh a nên:

0
một góc 30 .Tính thể tích của khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' .
Giải

a2 3
a2 3
S ABD =
⇒ S ABCD = 2 S ABD =
4
2
o
∆ABB′ vuông tại B ⇒ BB′ = AB tan 30 = a 3
3a3

VABCD. A ' B ' C ' D ' = S ABCD .BB′ =
2 (đvtt)
Vậy
Ví dụ 8. Cho lăng trụ tam giác ABC . A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên là a 3
0
và hợp với đáy ABC một góc 60 . Tính thể tích khối lăng trụ.
Giải

Ta có

C ′H ⊥ ( ABC ) ⇒ CH là hình chiếu của CC' trên (ABC)
( ABC )
600

Nên góc giữa CC’ và mp

⇒ C ′H = CC ′.sin 60 0 =

S ABC

bằng

3a
2

a2 3
3a 3 3
′
=
.

V = S ABC .C H =
4
8
Vậy

Ví dụ 6. Trong khơng gian cho tam giác vng OIM vng tại I,góc IOM bằng 30 độ cạnh IM=a.Khi quay
tam giác OIM quanh cạnh góc vng OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành hình nón trịn xoay.
a)Tính diện tích xung quanh hình nón trịn xoay đó?
b)Tính thể tích khối nón trịn xoay được tạo bởi hình nón trịn xoay nói trên?
Giải
S xq = π rl
a)Ta có
* Bán kính hình nón : r=IM=a
* Xét tam giác OIM vng tại I ta có
V=

sin 300 =

IM
IM
a
⇒ OM =
=
= 2a
0
S = π .a.2a = 2π a 2
OM
sin 30 1/ 2
.Vậy xq
.

1
1
Bh = π r 2 h
2
3

b) Tacó
* Bán kính hình nón : r = IM = a
1
π a3 3
V = π .a 2 .a 3 =
3
3 .
* h=OM= a 3. Vậy

Ví dụ 7. Trong khơng gian cho h ình vuông ABCD cạnh a,gọi I,H lần lượt là trung điểm các cạnh AB và
CD.Khi quay hình vng đó quanh trục IH tạo thành hình trụ trịn xoay.
a)Tính diện tích xung quanh hình trụ trịn xoay đó?
b)Tính thể tích khối trụ trịn xoay nói trên?
Hướng dẫn giải.
thuvienhoclieu.com

Trang 10


a) Ta có

S xq = 2π rl

thuvienhoclieu.com
: * Bán kính đáy : r = a/2;

* Đường sinh : l = a.

a
S xq = 2π . .a = π a 2
2
Vậy
.

a
π a3
V = π r 2 h = π .( ) 2 .a =
2
4
b) Thể tích
(đvtt)
Ví dụ 8. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính diện tích mặt cầu
và thể tích khối cầu đó?
Hướng dẫn giải. Gọi O,O’ lần lượt là tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’.Ta có OO’ là trục của hai tam
giác đáy.Suy ra tâm I của mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của OO’ với bán kính
2

 a 3   a  2 a 21
R = IA = AO + OI = 
÷
÷ + ÷ = 6
 3  2
.

2

2

 7a 2  7π a 2
4
7π a 3 21
3
S = 4π R 2 = 4π 
÷=
V
=
π
R
=
3
 12 
3
54
Diện tích mặt cầu
; Thể tích khối cầu
.

Ví dụ 9. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B , AB = a , SA vng góc với mặt phẳng
( SBC ) .
đáy và SA = a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng
Hướng dẫn giải. Trong tam giác SAB, kẻ AH vng góc với SB tại H: AH ⊥ SB (1). Ta có
BC ⊥ AB, BC ⊥ SA nên suy ra được BC ⊥ ( SAB) ⇒ BC ⊥ AH hay AH ⊥ BC (2). Từ (1) và (2), ta có:
AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( AH , ( SBC )) = AH . Tam giác SAB vuông tại A, có AH là đường cao nên
1

1
1
1 1
2
a2
a a 2
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇒ AH 2 = ⇒ AH =
=
2
2
2
AH
AS
AB
a a
a
2
2 .
2

Ví dụ 10. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy và
SA = 2a . Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng.
Hướng dẫn giải. Nhận thấy AC là hình chiếu của SC lên ( ABCD ) nên góc giữa đường thẳng SC và mặt
·
phẳng đáy ( ABCD) là SCA . Vì ABCD là hình vng cạnh a nên độ dài đường chéo AC = a 2 .
·
= 450 .
Tam giác SAC vuông cân tại A nên SCA

IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính r là
A.
B.
C.
D.
2
1 2
4
πr h.
2πr 2 h.
πr h.
πr 2 h.
3
3
Câu 2. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy
và chiều cao là
B
h
A.
B.
C.
D.
3Bh.
Bh.
4
1
Bh.
Bh.
3

3
Câu 3. Cho hình chóp
có
vng góc với mặt phẳng
, SA = 2a , tam giác
vuông tại
S . ABC
SA
ABC
ABC
(
)
B,

và

BC = a

. Góc giữa đường thẳng

AB = a 3
A.
.
90o
Câu 4. Cho khối lăng trụ đứng

B.

45o

.

SC

và mặt phẳng

( ABC )

C.

ABC. A ' B ' C '

.
30o
có đáy là tam giác đều cạnh

bằng
D.

a

và

60o

.

AA ' = 3a

. Thể tích của

lăng trụ đã cho bằng

thuvienhoclieu.com

Trang 11


thuvienhoclieu.com
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3a 3
3a 3
a3
a3
4
2
4
2
Câu 5. Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng
và

1m
. Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích

1, 2m
bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự dịnh làm gần nhất với kết
quả nào dưới đây?
A.
B.
C.
D.
1,8m.
1, 4m.
2, 2m.
1, 6m.
Câu 6. Cho hình trụ có chiều cao bằng
. Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách
5 3
trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 30. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
10 3π
5 39π
20 3π
10 39π
Câu 7. Cho hình chóp
có đáy là hình vng cạnh , mặt bên

là tam giác đều và nằm trong
a
S . ABCD
SAB
mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ
đến
bằng
A
( SBD )
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

21a
21a
2a
21a
14

7
2
28
h
Câu 8. Thể tích của khối nón có chiều cao và bán kính đáy r là
1 2
4 2
πr h
πr h
2
2
A. π r h .
B. 2π r h .
C. 3
.
D. 3
.
h
B
Câu 9. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy
và chiều cao là
4
1
Bh
Bh
A. 3Bh .
B. Bh .
C. 3
.
D. 3 .

Câu 10. Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng
1 m và 1, 4 m . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới hình trụ có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng
thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?
A. 1, 7 m .
B. 1,5 m .
C. 1,9 m .
D. 2, 4 m .
Câu 11. Cho khối chóp đứng ABC . A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a và AA′ = 2a .
Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A.

3a 3
3 .

a3 3
B. 6 .

C.

3a 3 .

D.

3a 3
2 .

( ABC ) , SA = 2a , tam giác ABC vng
Câu 12. Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng
( ABC ) bằng
tại B , AB = a và BC = 3a . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng

o
o
o
o
A. 90 .
B. 30 .
C. 60 .
D. 45 .
Câu 13. Cho hình trụ có chiều cao bằng 4 2 . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và
cách trục một khoảng bằng 2 , thiết diện thu được có diện tích bằng 16 . Diện tích xung quanh của hình
trụ đã cho bằng
A. 24 2π .
B. 8 2π .
C. 12 2π .
D. 16 2π .
Câu 14. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm
SBD )
trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ C đến (
bằng

thuvienhoclieu.com

Trang 12


thuvienhoclieu.com
21a
21a
2a
A. 28 .

B. 14 .
C. 2 .
Câu 15. Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là
4 2
πr h
2
2
A. π r h .
B. 3
.
C. 2π r h .
Câu 16. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là
4
1
Bh
Bh
A. 3
.
B. 3Bh .
C. 3 .

D.

21a
7 .

1 2
πr h
D. 3
.

D. Bh .

( ABC ) . SA = 2a , tam giác ABC vng
Câu 17. Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng
( ABC ) bằng
cân tại B và AB = a . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
A. 45° .
B. 60° .
C. 30° .
D. 90°
Câu 18. Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng 1m
và 1,8m . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể
tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự dịnh làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?
A. 2,8m .
B. 2, 6m .
C. 2,1m .
D. 2,3m .
Câu 19. Cho khối lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh 2a và AA′ = 3a.
Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
3
3
3
3
A. 2 3a .
B. 3a .
C. 6 3a .
D. 3 3a .
Câu 20. Cho hình trụ có chiều cao bằng 3 2 . Cắt hình trụ bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục
một khoảng bằng 1 , thiết diện thu được có diện tích bằng 12 2 . Diện tích xung quanh của hình trụ bằng

A. 6 10π .
B. 6 34π .
C. 3 10π .
D. 3 34π .
Câu 21. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm
( SAC ) bằng
trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ D đến mặt phẳng
a 21
a 21
a 2
a 21
A. 14 .
B. 28 .
C. 2 .
D. 7 .
Câu 22. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao là
B
h
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3Bh
Bh
4
1

Bh
Bh
3
3
Câu 23. Thể tích khối nón có chiều cao và bán kính đáy là
r
h
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
1 2
4 2
2π r 2 h
π r 2h
πr h
πr h
3
3
Câu 24. Cho hình chóp
có
vng góc với mặt phẳng
,
, tam giác
vuông
S . ABC

SA
ABC
( ABC ) SA = 2a
cân tại

B

và

AB = 2a

. Góc giữa đường thẳng

SC

và mặt phẳng

( ABC )

bằng

A.

.
B.
.
C.
.
D.
.

60°
45°
30°
90°
Câu 25. Một cơ sở sản xuất cố hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng
và
. Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng
1,5m
1m
thể tích của hai bể trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
1, 6m
2, 5m
1,8m
2,1m
thuvienhoclieu.com

Trang 13


thuvienhoclieu.com
Câu 26. Cho khối lăng trụ đứng
có đáy là tam giác đều cạnh và

. Thể tích của
a
ABC. A′B′C ′
′
AA = 2a
khối lăng trụ đã cho bằng
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
6a3
6a 3
6a 3
6a 3
4
6
12
2
Câu 27. Cho hình trụ có chiều cao bằng
. Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách
3 3
trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 18. Diện tích xung quanh của hình
trụ đã cho bằng
A.
.
B.

.
C.
.
D.
.
6π 3
6π 39
3π 39
12π 3
Câu 28. Cho hình chóp
có đáy là hình vng cạnh , mặt bên
là tam giác đều và nằm trong
a
S . ABCD
SAB
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ
đến mặt phẳng
bằng
B
SAC
(
)
A.

.
a 2
2

B.

.
a 21
28

C.

.

D.

a 21
7

.
a 21
14

H , H
Câu 29. Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ ( 1 ) ( 2 ) xếp chồng lên nhau, lần lượt có bán kính đáy và

chiều cao tương ứng là

r1 , h1 , r2 , h2

1
r2 = r1 , h2 = 2h1
2
thỏa mãn
. Biết rằng thể tích của tồn bộ khối

3
( H1 ) bằng
đồ chơi bằng 30 cm , thể tích khối trụ
3
3
3
3
A. 24 cm .
B. 15cm .
C. 20 cm .
D. 10 cm .
Câu 30. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a , BC = 2a , SA vng góc với
mặt phẳng đáy và SA = a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng
2a
a
a
6a
A. 2 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 3 .

Chủ đề 3. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM (GIẢI TÍCH 12)
I. Sự đồng biến, nghịch biến:
Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a;b).
+ f’(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a;b)  f(x) đồng biến trên (a:b).
+ f’(x) ≤ 0, ∀x ∈ (a;b)  f(x) nghịch biến trên (a:b).
Ví dụ 1: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau
x2 − x + 1
3

4
2
a) y = x − 3x + 2
b) y = x − 2 x − 1
c) y = x − 1

x −3
d) y = x + 2

3
2
Ví dụ 2: Xác định m để hàm số y = x − 3 x + (m − 1) x + 1 đồng biến trên R.

II. Cực đại, cực tiểu:
1. Các quy tắc tìm các điểm cực trị của hàm số:
QUY TẮC I
Bước 1: Tìm TXĐ

f / ( x)

Bước 2: Tính
. Tìm các điểm tới hạn.
Bước 3: Lập bảng biến thiên. Kết luận.

QUY TẮC II
Bước 1: Tìm TXĐ
Bước 2: Tính
các nghiệm

. Cho

f / ( x) = 0

và tìm

xi ( i = 1, 2,... ) của nó.
f // ( x)
f / / ( xi )

Bước 3: Tính
thuvienhoclieu.com

f / ( x)

và

. Kết luận.
Trang 14


thuvienhoclieu.com
2. Sự tồn tại cực trị
a/ Điều kiện để hàm số có cực trị tại x = x0:
b/ Điều kiện để hàm số có cực đại tại x0:

 f '( x0 ) = 0

 f "( x0 ) ≠ 0

 f '( x0 ) = 0


 f "( x0 ) < 0

 f '( x0 ) = 0

f "( x0 ) > 0
c/ Điều kiện để hàm số có cực tịểu tại x0: 
d/ Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại, cực tiểu):
a ≠ 0

y’= 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0

e/ Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị: y/ = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 1: Tìm cực trị của các hàm số sau
2x +1
2x2 + x + 1
3
2
4
2
x +1
a) y = x − 3 x − 1
b) y = − x + 4 x − 3 c) y =
d) y = x − 2

1
y = x 3 − mx 2 + (m 2 − m + 1) x + 1
3
Ví dụ 2: Định m để hàm số
đạt cực tiểu tại x = 1.

Ví dụ 3: Cho hàm số y = x − 2m x + 1 (1). Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực
trị A, B, C và diện tích tam giác ABC bằng 32 (đơn vị diện tích).
III. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất:
Quy tắc tìm GTLN,GTNN trên một đoạn.
- Tính y’. Tìm các điểm x1, x2,… trên khoảng (a;b) mà tại đó y’= 0 hoặc khơng xác định
- Tính f(a), f(b), tính f(x1), f(x2),….
max f ( x) = M ; min f ( x) = m
[ a ;b ]
- Tìm số lớn nhất M và nhỏ nhất m trong các số trên. [ a ;b]
Ví dụ 1:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
4

2 2

3
2
a) y = 2 x + 3 x − 1 trên [-2;-1/2], [1;3).

2
b) y = x + 4 − x .

c) y = 2cos2x + 4sinx, x∈[0;π/2]

d) f(x) = x2 – ln(1–2x) trên [– 2; 0]

e) f(x) =

x 2 + 3 − x ln x trên [1; 2]

Ví dụ 2: Tìm m để GTNN của hàm số

IV. Đường tiệm cận

f ( x) =

x − m2 + m
x +1
trên đoạn [0; 1] bằng – 2.

+ Đường tiệm cận ngang: Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang (TCN) của đồ thị
lim y ( x ) = y0
lim y ( x ) = y0
hàm số y =f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn: i) x →+∞
, ii) x →−∞
.
x = x0
+ Đường tiệm cận đứng: Đường thẳng
được gọi là đường tiệm cận đứng (TCĐ) của đồ thị
hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn:
lim y ( x) = +∞
lim y ( x ) = −∞
lim y ( x) = −∞
lim y ( x ) = +∞
i) x → x
, ii) x → x
, iii) x→ x
, iv) x → x
.
V. Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số:
* Sự tương giao của hai hai đồ thị:
Cho 2 hàm số: y = f(x) có đồ thị (C1) và y = g(x) có đồ thị (C2).

Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (*)
=> Số giao điểm của (C1) và (C2) là số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (*)
* Điều kiện tiếp xúc:
+
0

+
0

−
0

thuvienhoclieu.com

−
0

Trang 15


thuvienhoclieu.com
 f ( x ) = g ( x)

+ Dấu hiệu: (C1) và (C2) tiếp xúc  Hệ phương trình  f '( x) = g '( x) có nghiệm
* Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận phương trình
- Biến đổi phương trình cần biện luận về dạng: f(x) = g(m) (1)
- Số nghiệm của pt(1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát và đường
thẳng d: y = g(m) là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox.
* Dạng 2: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)
Số giao điểm của hai đường cong (C 1) y= f(x) và (C2) y=g(x) là số nghiệm của phương trình hồnh

độ giao điểm f(x) = g(x) (1)
4
2
Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x − x − 1 và đường thẳng d: y = -1.
2
Ví dụ 2: Tìm m để đồ thị hàm số y = ( x − 1)( x + x − m) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5.
3
2
Ví dụ 3: Tìm m để đồ thị (Cm): y = x − 3 x − m + 2021 cắt trục ox tại ba điểm phân biệt.
Ví dụ 4: Tìm m để đường thẳng
cắt đồ thị hàm số
tại ba điểm
( d ) : y = mx − 2m − 4
y = x3 − 6 x 2 + 9 x − 6
phân biệt.

* Dạng 3: Viết PTTT của đồ thị hàm số
1- PTTT của hàm số (C): y = f(x) tại
điểm có hồnh độ x0
Bước 1: Tìm y0= f(x0).
Bước 2: Tính f ′ (x) => f ′ (x0)
Bước 3: PTTT cần tìm có dạng:
y – y0 = f ′ (x0)(x – x0)

b) PTTT của (C): y = f(x) biết hệ số góc k
Bước 1: Tính f ′ (x)
Bước 2: Giải phương trình f ′ (x0) = k ⇒ nghiệm x0
Bước 3: Tính y0 = f(x0)
Bước 4: Thay x0, y0 và k = f ′ (x0) vào PT:
y – y0 = f ′ (x0)(x – x0)

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm A(3;1).
y = − x3 + 3x 2 + 1
Cho hàm số
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến
Ví dụ 2:
1 3
2
y = x − 2 x + 3x + 1
3
đó song song với đường thẳng
y = 3x − 1
Cho hàm số
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi
Ví dụ 3:
y = x 3 − 3x + 2
qua
A( −1; −2)
Ví dụ 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
biết tiếp tuyến đó có hệ số góc
3
2
y = x − 3x + 2
nhỏ nhất.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
f ( x)
Câu 1. Cho Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

( −2; 0 ) .
( 2; + ∞ ) .
( 0; 2 ) .
A.
B.
C.
Câu 2. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình vẽ sau
thuvienhoclieu.com

D.

( 0; + ∞ ) .
Trang 16


thuvienhoclieu.com

3
2
3
2
4
2
A. y = x − 3x + 3 .
B. y = − x + 3x + 3 . C. y = x − 2 x + 3 .
Câu 3. Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:
f ( x)

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

A.
.
B.
.
x=2
x =1
Câu 4. Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:
f ( x)

Số nghiệm thực của phương trình

2 f ( x) − 3 = 0

C.

x = −1

.

4
2
D. y = − x + 2 x + 3 .

D.

x = −3

.

là

A. 2.
B. 1.
C. 4.
D. 3.
Câu 5. Giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
bằng
[ − 3;3]
f ( x ) = x3 − 3x + 2
A.
.
B.
.
C. .
D. .
−16
20
0
4
Câu 6. Cho hàm số
có đạo hàm
,
. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
2
∀
x
∈
¡

f ( x)
f '( x ) = x ( x + 2)
A. .
B. 3 .
C. .
D. .
2
1
0
Câu 7. Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:
y = f ( x)

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A.
B.
C.
4.
1.
3.
Câu 8. Cho hàm số
, bảng xét dấu của
như sau:
f ( x)
f ′( x)
x −∞
+∞
−3
−1
1

−
−
f ′( x)
0 + 0
0 +
Hàm số

y = f ( 3 − 2x)

D.

2.

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

thuvienhoclieu.com

Trang 17


A.

thuvienhoclieu.com
B.
.
C.
.
−
2;1
2;

4
( )
( )

.
D.
.
4;
+
∞
1;
2
(
)
( )
Câu 9. Cho hàm số
, hàm số
liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ bên.
¡
f ( x)
y = f ′( x)

Bất phương trình

( là tham số thực) nghiệm đúng với mọi
khi và chỉ khi
f ( x) < x + m m
x ∈ ( 0; 2 )
A.

.
B.
.
C.
.
D.
.
m ≥ f ( 2) − 2
m ≥ f ( 0)
m > f ( 2) − 2
m > f ( 0)
Câu 10. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình

4
2
3
A. y = − x + 2 x + 1 . B. y = − x + 3x + 1 .
f ( x)
Câu 11. Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

3
2
C. y = x − 3x + 1 .

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
( 0; +∞ ) .
( 0; 2 ) .
( −2;0 ) .
A.

B.
C.
y = f ( x)
Câu 12. Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

4
2
D. y = x − 2 x + 1 .

D.

( −∞; −2 ) .

Hàm số đã cho đạt cực đại tại
A. x = 2 .

B. x = −2 .
C. x = 3 .
D. x = 1 .
f x = x3 − 3x + 2
−3;3]
Câu 13. Giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )
trên đoạn [
bằng
20
0
4
A.
.

B. .
C. .
D. −16 .
2
f ′ ( x ) = x ( x − 2 ) , ∀x ∈ ¡
f ( x)
Câu 14. Cho hàm số
có đạo hàm
. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 2 .
B. 1 .
C. 0 .
D. 3 .
Câu 15. Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình 3 f ( x ) − 5 = 0 là:
A. 2
B. 3
C. 4
thuvienhoclieu.com

D. 0
Trang 18


thuvienhoclieu.com

Câu 16. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là:

A. 3
B. 1
C. 2
f x
f′ x
Câu 17. Cho hàm số ( ) , bảng xét dấu của ( ) như sau:

Hàm số

D. 4

y = f ( 5 − 2x)

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
2;3)
0; 2 )
3;5 )
5; +∞ )
A. (
.
B. (
.
C. (
.
D. (
.
f ( x)
y = f ′( x)
Câu 18. Cho hàm số
, hàm số

liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương
f ( x) > x + m m
x ∈ ( 0; 2 )
trình
( là tham số thực) nghiệm đúng với mọi
khi và chỉ khi
y

y = f ′( x)

1
x
O

A.

m ≤ f ( 2) − 2

.

B.

m < f ( 2) − 2

2

.

C.

m ≤ f ( 0)

.

D.

m < f ( 0)

.

Câu 19. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?

3
2
4
2
A. y = x − 3x − 2 .
B. y = x − 2 x − 2 .
f ( x)
Câu 20. Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

3
2
4
2
C. y = − x + 3x − 2 . D. y = − x + 2 x − 2 .

Hàm số đã cho đạt cực đại tại
A. x = 2 .

B. x = −2 .
f ( x)
Câu 21. Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

C. x = 3 .

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
( −1;0 ) .
( −1; + ∞ ) .
A.
B.
f ( x)
Câu 22. Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

C.

( −∞; − 1) .

thuvienhoclieu.com

D. x = 1 .

D.

( 0;1) .
Trang 19

thuvienhoclieu.com

2 f ( x) − 3 = 0
Số nghiệm thực của phương trình
là
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 0 .
f ( x ) = x3 − 3 x
[ −3;3] bằng
Câu 23. Giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
A. 18 .
B. 2 .
C. −18 .
D. −2 .
2
f ( x)
f ′ ( x ) = x ( x − 1) ∀x ∈ ¡
Câu 24. Cho hàm số
có đạo hàm
,
. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 2 .
B. 0 .
C. 1 .
D. 3 .
f ( x)
Câu 25. Cho hàm số

có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
f ( x)
f ′( x)
Câu 26. Cho hàm số
, bảng xét dấu của
như sau:

Hàm số

D. 4 .

y = f ( 3 − 2x)

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
( 2;3) .
( −∞ ; − 3) .
( 0; 2 ) .
( 3; 4 ) .
A.
B.
C.
D.
f ( x)
y = f ′( x)
Câu 27. Cho hàm số

, hàm số
liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ bên.

x ∈ ( 0; 2 )
f x < 2x + m m
Bất phương trình ( )
( là tham số thực) nghiệm đúng với mọi
khi và chỉ khi
m > f ( 2) − 4
m ≥ f ( 0)
m > f ( 0)
m ≥ f ( 2) − 4
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 28. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?

A.

.
B.
. C.
.
y = 2 x 3 − 3x + 1
y = −2 x 4 + 4 x 2 + 1

y = 2x4 − 4 x2 +1
Câu 29. Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:
f ( x)

thuvienhoclieu.com

D.

y = −2 x 3 + 3x + 1

.

Trang 20


thuvienhoclieu.com

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
.
B.
.
0;1
1;
+∞
( )
(
)
Câu 30. Cho hàm số

có bảng biến thiên như sau:
f ( x)

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A.
.
x = −2

B.

x =1

C.

.

C.

( −1;0 )

x=3

.

D.

.

D.

( 0; +∞ )

x=2

.

.

Chủ đề 4. HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ VÀ LƠGARÍT (GIẢI TÍCH 12)
1. Công thức lũy thừa: Cho a > 0, b > 0 và m, n ∈ ¡ . Khi đó:

am
= a m−n
n
a

a m .a n = a m + n
m
am
a
=
 ÷
bm
b

n

am = a

( a m ) n = a m. n

m
n

a

−n

(ab) n = a n .b n

1
= n
a

1
a = −n
a
n

n

−n

a b
 ÷ = ÷
b a

2. Công thức lôgarit: Với các điều kiện thích hợp ta có:
+ Định nghĩa:
+ Tính chất:

+ Quy tắc:

loga b = α ⇔ aα = b
loga b

loga 1 = 0; loga a = 1; a

= b; loga(aα ) = α

• loga(b1...bn) = loga b1 + ... + loga bn

b
1
= loga b − loga c loga = − loga b
c
b
,
1
n
log
b
=
log b
α
a
• loga b = α loga b
n a
,
logc b
loga b =

logc a
logc a.loga b = logc b
• loga

+ Đổi cơ số:

hay

• Tổng qt:
• Đặc biệt:

+ Lơgarit thập phân:

.

loga a2.loga a3...loga an = loga an
1

loga b =

n−1

2

1
logb a

lga = loga = log10 a

,

logaα b =

1

1
loga b
α

+ Lôgarit tự nhiên:

lna = loge a

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức:
3
6
a) A = a . a . a

3+ 2 1− 2 −4 − 2
b) B = 9 .3 .3
 a2 .3 a .5 a4
1
1
D
=
log
C=
+
a
4


a
log
ab
log
ab

a
b
c)
d)
Ví dụ 2: a) Cho a = log5, b = log3 . Tính log450 theo a, b.

thuvienhoclieu.com


÷
÷


Trang 21


thuvienhoclieu.com
a = log2 5, b = log3 5.
b) Cho
Hãy biểu diễn log75 theo a, b.
3. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit
′
→ ( eu ) = eu.u′

′

x
x
• (e ) =e ;

′

x ′
x
( u) u . ′
• ( a ) = a lna → a = a lnau

u′
→ ( lnu) ′ =
u

( ln x) ′ = 1

′

x
•
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
−

a) y = (1 − x)

1

3

•

1
u
→ ( loga u) ′ =
( loga x) ′ = xln
a
ulna

3

2
−2
c) y = (x − 1)

2 5
b) y = (2 − x )

y = log3(x2 − 3x + 2)

y = log2(2x + 1)

e)
f)
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
x
e
a) y = 2xe + 3x

d)

y=

g)

2
x
b) y = 5x − 2 cos x

x+1
3

−x− 1
x−1

2

2
h) y = lg( x + x + 1)

2
c) y = 3x − ln x + 4sin x

2
e) y = log(x + x + 1)

x

y = ln

2
d) y = (x − x − 2)

f)

y=

log3 x
x

4. Phương trình mũ:
+ Phương pháp giải: Đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, lơgarit hóa.
5. Phương trình lơgarít:
+ Phương pháp giải: Đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, mũ hóa.
6. Bất phương trình mũ:
a.

a

f ( x)

>b⇔

f ( x)
b. a

b ≤ 0



b > 0
b ≤ 0


b > 0

Phương trình vơ số nghiệm
f ( x)

 f ( x) > log a b

> b ⇔  f ( x) < log a b

khi a > 1
khi 0 < a < 1

 f ( x) < log a b

< b ⇔  f ( x) > log a b

khi a > 1
khi 0 < a < 1

Phương trình : a
Phương trình vơ nghiệm
Phương trình : a

f ( x)

6. Bất phương trình lơgarít:

a.

 f ( x) > a b khi a > 1
log a f ( x) > b ⇔ 
b
 f ( x) < a khi 0 < a < 1

,

b.

 f ( x ) < a b khi a > 1
log a f ( x ) < b ⇔ 
b
 f ( x ) > a khi 0 < a < 1

, Điều kiện f ( x) > 0

Ví dụ 1: Giải các phương trình, bất phương trình mũ:
2 x +8
x2 − x +8
− 4.3x +5 + 27 = 0
= 41−3 x
1. 2
2. 3
x
x

4. ( 2 − 3 ) + ( 2 + 3 ) = 4

x
5. 2

2x
x
2x
7. 2.2 − 9.14 + 7.7 = 0
x
1− x
10. 7 + 2.7 − 9 ≥ 0

x
x
x+1
8. 12.3 + 3.15 − 5 = 20
2 x+6
+ 2 x +7 − 17 = 0
11. 2

x
x
13. (2 + 3) + (2 − 3) − 4 = 0

2

−x

2

− 22+ x − x = 3

1
x

1
x

1
x

14. 4. 2.4 + 6 = 9
thuvienhoclieu.com

Điều kiện f ( x) > 0

x
x
x
3. 6.9 − 13.6 + 6.4 = 0
x
x
x
x
6. 3.8 + 4.12 − 18 − 2.27 = 0
log x log 9 ( 3x − 9 )  = 1
9.
x
x

12. 2.16 − 15.4 − 8 < 0

9
15.

x2 −2 x

2 x− x2

1
− 2 ÷
 3

≤3
Trang 22


thuvienhoclieu.com
Ví dụ 2: Giải các phương trình, bất phương trình lơgarít:
log 5 x + log 25 x = log 0,2 3
log 5 x = log 5 ( x + 6 ) − log 5 ( x + 2 )
1)
2)
.

log 4 ( x – 1) + log 2 ( x – 1) = 25
2

3)

3

4)

 x
log 2 x  ÷+ log 2 x 2 ≥ 1
8
6)

log 1 x + 2log 1 ( x − 1) + log 2 6 ≤ 0
5)

2

4

log 2 ( 5 − 1) .log 2 ( 2.5 x − 2 ) = 2
x

7)

(

8)

) ) ≤1

(

log x log 3 9 x – 72

log 32 x = 3 3 2 + 3log 2 x + 2

9)
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

2log 5 x − log x 125 < 1

10)

log 2 ( 5 x − 1) .log 2 ( 2.5 x − 2 ) = 2

log 5 a 2 bằng
Câu 1. Với a là số thực dương tùy,
1
+ log 5 a
C. 2
.

1
log 5 a
D. 2
.

B. 2 + log 5 a .
2 x−1
= 27 là
Câu 2. Nghiệm phương trình 3
A. x = 5 .
B. x = 1 .

C. x = 2 .
Câu 3. Cho hàm số
có đạo hàm là
2
y = 2 x −3 x
A.
. B.
.
C.
.
x 2 −3 x
x 2 −3 x
x 2 −3 x
2
.ln 2
(2 x − 3).2
.ln 2
(2 x − 3).2
Câu 4. Cho và là hai số thực dương thỏa mãn
. Giá trị của
4
a
b
a b = 16
bằng
A. 2 log 5 a .

D. x = 4 .

D.

( x − 3x).2
2

x 2 − 3 x −1

.

4 log 2 a + log 2 b

.
B. .
C. .
D. 8 .
4
2
16
Câu 5. Nghiệm của phương trình
là
log 3 ( x + 1) + 1 = log 3 ( 4 x + 1)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
x=3
x = −3

x=4
x=2
Câu 6. Cho phương trình
( là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị
log 9 x 2 − log 3 ( 3 x − 1) = − log 3 m m
A.

nguyên của
A.

2

m

để phương trình đã cho có nghiệm

.

B.

4

.

C.

3
Câu 7. Với a là số thực dương tùy ý, log 5 a bằng
1
1

log 5 a
+ log 5 a
A. 3
.
B. 3
.
2 x+1
= 27 là.
Câu 8. (Nghiệm của phương trình 3
A. x = 2 .
B. x = 1 .

3

.

D. Vô số.

C. 3 + log 5 a .

D. 3log 5 a .

C. x = 5 .
D. x = 4 .
log 2 ( x + 1) = 1 + log 2 ( x − 1)
Câu 9. Nghiệm của phương trình
là:
x
=
1

x
=
−
2
x
A.
.
B.
.
C. = 3 .
D. x = 2 .
3 2
Câu 10. Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn a b = 32 . Giá trị của 3log 2 a + 2 log 2 b bằng
A. 5 .
B. 2 .
C. 32 .
D. 4 .
x
Câu 11. Hàm số y = 3

2

( 2 x − 3) .3
A.

−3 x

x2 −3 x

có đạo hàm là

.

x
B. 3

2

−3 x

.ln 3 .

(x
C.

2

thuvienhoclieu.com

− 3x ) .3x

2

−3 x −1

( 2 x − 3) .3x −3x.ln 3 .
D.
2

.

Trang 23


thuvienhoclieu.com
log 9 x − log 3 ( 6 x − 1) = − log 3 m m
Câu 12. Cho phương trình
( là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị
ngun của m để phương trình đã cho có nghiệm?
A. 6 .
B. 5 .
C. Vô số.
D. 7 .
2 x−1
= 8 là
Câu 13. Nghiệm của phương trình 2
3
5
x=
x=
2.
2.
A.
B. x = 2 .
C.
D. x = 1 .
3
log 2 a
Câu 14. Với a là số thực dương tùy ý,
bằng
1

1
log 2 a
+ log 2 a
3log 2 a
A.
.
B. 3
.
C. 3
.
D. 3 + log 2 a .
2

2

x −x
Câu 15. Hàm số y = 2
có đạo hàm là
2
2
2
x 2 − x −1
x2 − x
x − x) 2
2 x − 1) .2 x − x
2 x − 1) .2 x − x.ln 2
(
(
(
2

.ln
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2 3
2log
a
+
3log
b
2
2
Câu 16. Cho a ; b là hai số thực dương thỏa mãn a b = 16 . Giá trị của
bằng
8
16
4
2
A. .
B. .
C. .
D.
log 2 ( x + 1) + 1 = log 2 ( 3x − 1)
Câu 17. Nghiệm của phương trình

là
x
=
3
x
=
2
x
=
−1 .
A.
.
B.
.
C.
D. x = 1 .
2
log 9 x − log 3 ( 5 x − 1) = − log 3 m m
Câu 18. Cho phương trình
( là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị
m
nguyên của
để phương trình đã cho có nghiệm
A. Vơ số.
B. 5 .
C. 4 .
D. 6 .
Câu 19. Nghiệm của phương trình
là
2 x −1

2
= 32
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
x=3
x=2
17
5
x=
x=
2
2
Câu 20. Với là số thực dương tùy ý,
bằng?
a
log 3 a 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

1
1
2 log 3 a
2 + log 3 a
+ log3 a
log 3 a
2
2
Câu 21. Hàm số
có đạo hàm là
x2 − x
y=3
A.
.
B.
.
C.
. D.
.
x2 − x
2
x 2 − x −1
x2 − x
x2 − x
x − x .3
3
.ln 3
( 2 x − 1) 3
( 2 x − 1) 3 .ln 3

(

)

Câu 22. Nghiệm của phương trình

là
log 3 ( 2 x + 1) = 1 + log 3 ( x − 1)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
x=4
x = −2
x =1
x=2
Câu 23. Cho
là hai số thực dương thỏa mãn
. Giá trị của
bằng
3
a, b
log
a
+
3log

b
ab = 8
2
2
A. .
B. .
C. .
D. .
8
6
3
2
m
Câu 24. Cho phương trình
( là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị
log 9 x 2 − log 3 ( 4 x − 1) = − log 3 m

nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm?
A. .
B. .
C. Vơ số.
5
3
Chủ đề 5. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG (GIẢI TÍCH 12)
I. Kiến thức cơ bản
thuvienhoclieu.com

D.

4

.

Trang 24


thuvienhoclieu.com
1. Công thức nguyên hàm cơ bản
Nguyên hàm của hàm số cơ bản

∫ dx = x + C

xα +1
∫ x dx = α + 1 + C , α ≠ −1
dx
∫ x = ln x + C , x ≠ 0
x
x
∫ e dx = e + C
α

ax
+C
ln a
∫ cos xdx = sin x + C
x
∫ a dx =

∫ sin xdx = − cos x + C
1

∫ cos

2

x

1

∫ sin

2

x

dx = tan x + C
dx = −cotx + C

Nguyên hàm mở rộng

∫ a.dx = ax + C , a ∈ ¡

1 (ax + b)α +1
∫ (ax + b) dx = a . α + 1 + C
dx
1
∫ ax + b = a .ln ax + b + C
1 ax +b
ax + b
∫ e dx = a .e + C

1 aα x + β
α x+ β
a
dx
=
.
+C
∫
α ln a
1
∫ cos(ax + b)dx = a .sin(ax + b) + C
1
sin(
ax
+
b
)
dx
=
−
.cos(ax + b) + C
∫
a
1
1
∫ cos2 (ax + b) dx = a tan(ax + b) + C
1
1
∫ sin 2 (ax + b) dx = − a cot (ax + b) + C
α

2. Cơng thức tính tích phân
b

F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì
II. Phương pháp tính tích phân
1. Phương pháp đổi biến số

∫

b

f ( x) dx = F ( x) a = F (b) − F (a)

a

b

∫ f [ ϕ ( x)]ϕ ( x)dx
'

* Dạng 1: Tính I =

a

'
+ Đặt t = ϕ ( x ) ⇒ dt = ϕ ( x).dx

ϕ (b )

+ Đổi cận : x = a ⇒ t = ϕ ( a) , x = b ⇒ t = ϕ (b) ,

⇒ I=

∫

ϕ (a)

f (t ).dt = F (t )

ϕ (b)
ϕ (a)

b

*

Dạng 2: Tính I =

∫ f ( x)dx
a

bằng cách đặt x = ϕ (t )

 π π
∈
2
2
 − 2 ; 2 
a

−
x
Dạng chứa
: Đặt x = asint, t
(a > 0)
 π π
1
∈
− ; ÷
2
2
a
+
x
Dạng chứa
: Đặt x = atant, t  2 2  (a > 0)
2. Phương pháp tích phân từng phần
* Cơng thức tính :

b

b

a

a

b

∫ f ( x)dx = ∫ udv = uv −∫ vdu

b

a

 u = ...
du = ... dx
⇒

dv = ...
 v = ...
 Đặt 

a

(lay
dao
(lay
nguyen

ham)
ham)

Ta thường gặp hai loại tích phân từng phần như sau:
thuvienhoclieu.com

Trang 25