130 Câu Trắc Nghiệm Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng Có Đáp Án

www.thuvienhoclieu.com

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Định nghĩa
d ⊥ (P) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (P)
2. Điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng
a, b ⊂ (P ), a ∩ b = O
⇒ d ⊥ (P )

d ⊥ a, d ⊥ b
3. Tính chất
• Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vng góc với đoạn thẳng tại trung
điểm của nó.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng
đó.
a⁄⁄b
a ≠ b
⇒ (P ) ⊥ b
⇒ a⁄⁄b


• (P ) ⊥ a
• a ⊥ (P ), b ⊥ (P )
(P )⁄⁄ (Q)
⇒ a ⊥ (Q)

a
⊥
(

P
)

•
a⁄⁄ (P )
⇒ b⊥ a

b
⊥
(
P
)

•

(P ) ≠ (Q)
⇒ (P )⁄⁄(Q)

(
P
)
⊥
a
,(
Q
)
⊥
a

•

a ⊄ (P )
⇒ a⁄⁄( P )

a
⊥
b
,(
P
)
⊥
b

•

4. Định lí ba đường vng góc
Cho a ⊥ (P ), b ⊂ (P ) , a′ là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′
5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
· ,(P )
d
• Nếu d ⊥ (P) thì
= 900.
· ,(P )
(· )
d
• Nếu d ⊥ (P ) thì
= d, d' với d′ là hình chiếu của d trên (P).
· ,(P )
d
Chú ý: 00 ≤
≤ 900.

(

(

)

(
)

)

B – BÀI TẬP

( P ) , trong đó a ^ ( P ) . Mệnh đề nào sau
Câu 1: Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng
đây là sai?
b ^ (P )
b// ( P )
A. Nếu
thì b// a .
B. Nếu
thì b ^ a .
b^(P )
b// ( P )
C. Nếu b// a thì
.
D. Nếu b ^ a thì
.
Hướng dẫn giải:

Chọn D.
Câu 2: Trong không gian cho đường thẳng ∆ và điểm O . Qua O có mấy đường thẳng vng góc với

∆ cho trước?
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. Vô số.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Qua điểm O có thể dựng vơ số đường thẳng vng góc với ∆ , các đường thẳng đó cùng nằm trong
một mặt phẳng vng góc với ∆ .
Câu 3: Mệnh đề nào sau đây có thể sai?
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một mặt phẳng thì song song.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thì song song.
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 1


www.thuvienhoclieu.com
D. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vng góc với một
đường thẳng thì song song nhau.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thứ ba thì song song chỉ đúng khi ba
đường thẳng đó đồng phẳng.
Câu 4: Khẳng định nào sau đây sai?

d ⊥ (α)
(α) .
A. Nếu đường thẳng
thì d vng góc với hai đường thẳng trong
( α ) thì d ⊥ ( α ) .
B. Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng nằm trong

( α ) thì d vng góc
C. Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong
(α) .
với bất kì đường thẳng nào nằm trong
d ⊥ (α )
a // ( α )
D. Nếu
và đường thẳng
thì d ⊥ a .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
( α ) thì d ⊥ ( α ) chỉ đúng khi hai đường
Đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng nằm trong
thẳng đó cắt nhau.
Câu 5: Trong khơng gian tập hợp các điểm M cách đều hai điểm cố định A và B là
A. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB .
B. Đường trung trực của đoạn thẳng AB .
C. Mặt phẳng vng góc với AB tại A .
D. Đường thẳng qua A và vng góc với AB .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Theo định nghĩa mặt phẳng trung trực.
Câu 6: Trong không gian cho đường thẳng D và điểmO . Qua O có bao nhiêu đường thẳng vng góc

với D cho trước?
A. Vô số.
B. 2.
C. 3.
D. 1.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Câu 7: Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vng góc với đường thẳng ∆ cho trước?

A. 1
B. Vơ số
C. 3
D. 2
Hướng dẫn giải:
Theo tiên đề qua điểm O cho trước có duy nhất một mặt phẳng vng góc với đường thẳng ∆
Chọn đáp án A.
( P ) , đường thẳng ∆ được gọi là
Câu 8: Trong không gian cho đường thẳng ∆ không nằm trong mp
( P ) nếu:
vng góc với mp
( P) .
A. vng góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong mp
( P)
B. vng góc với đường thẳng a mà a song song với mp
( P) .
C. vng góc với đường thẳng a nằm trong mp
( P) .
D. vng góc với mọi đường thẳng nằm trong mp
Hướng dẫn giải:
( P ) nếu ∆ vng góc với mọi đường thẳng

Đường thẳng ∆ được gọi là vuông góc với mặt phẳng
( P ) .(ĐN đường thẳng vng góc với mặt phẳng). Vậy đáp án D đúng.
trong mặt phẳng
Câu 9: Cho a, b, c là các đường thẳng trong khơng gian. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
A. Nếu a ⊥ b và b ⊥ c thì a / / c.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 2


www.thuvienhoclieu.com

( α ) và b / / ( α ) thì a ⊥ b.
B. Nếu a vng góc với mặt phẳng
C. Nếu a / /b và b ⊥ c thì c ⊥ a.

( a, c ) .
D. Nếu a ⊥ b , b ⊥ c và a cắt c thì b vng góc với mặt phẳng
Hướng dẫn giải:
a ⊥ b

Nếu b ⊥ c thì a và c có thể trùng nhau nên đáp án A sai.
Câu 10: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho
trước.
B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vng góc với một mặt phẳng
cho trước.
C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vng góc với một đường thẳng cho
trước.

D. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vng góc với một mặt phẳng cho
trước.
Hướng dẫn giải:
Qua một điểm cho trước có thể kẻ được vơ số mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước.
Vậy chọn đáp án D .
Câu 11: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
a ⊥ ( P)
b P( P ) .
a P( P )
b P( P )
A. Nếu
và b ⊥ a thì
B. Nếu
và a Pb   thì
.
a P( P )
b ⊥ ( P)
a P( P )
b ⊥ ( P)
C. Nếu
và b ⊥ a thì
.
D. Nếu
và
thì b ⊥ a .
mp ( P )
Câu 12: Cho hai đường thẳng a, b và
. Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

b // ( P )

a // ( P )
b ⊥ ( P)
và b ⊥ a thì
.
B. Nếu
và
thì a ⊥ b .
a // ( P )
b ⊥ ( P)
a ⊥ ( P)
b // ( P )
C. Nếu
và b ⊥ a thì
.
D. Nếu
và b ⊥ a thì
.
Hướng dẫn giải:
Câu A sai vì b có thể vng góc với a .
a // ( P ) ⇒ ∃a′ ⊂ ( P )
b ⊥ ( P ) ⇒ b ⊥ a′
Câu B đúng bởi
sao cho a //a′ ,
. Khi đó ⇒ a ⊥ b .
( P) .
Câu C sai vì b có thể nằm trong
( P) .
Câu D sai vì b có thể nằm trong
Vậy chọn B.
Câu 13: Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Hai đường thẳng chéo nhau và vng góc với nhau. Khi đó có một và chỉ một mp chứa đường
thẳng này và vng góc với đường thẳng kia.
B. Qua một điểm O cho trước có một mặt phẳng duy nhất vng góc với một đường thẳng ∆ cho
trước.
C. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vng góc với một đường thẳng cho
trước.
D. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vng góc với một mặt phẳng cho
trước.
Câu 14: Tập hợp các điểm cách đều các đỉnh của một tam giác là đường thẳng vng góc với mặt
phẳng chứa tam giác đó và đi qua:
A. Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác đó.
B. Trọng tâm tam giác đó.
C. Tâm đường trịn nội tiếp tam giác đó.
D. Trực tâm tam giác đó.
A. Nếu

a // ( P )

mệnh đề đúng trong các mặt phẳng sau:
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thì song song.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vng góc với một mặt phẳng thì song song.

Câu 15:

www.thuvienhoclieu.com

Trang 3


www.thuvienhoclieu.com

C. Hai đường thẳng cùng vng góc với một mặt phẳng thì song song.
D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thì song song.
Hướng dẫn giải::
Đáp án A sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.
Đáp án B sai vì hai mặt phẳng đó có thể cắt nhau.
Đáp án C sai vì hai đường thẳng đó có thể trùng nhau.
Chọn đáp án D.
Câu 16: Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Cho hai đường thẳng vng góc với nhau, mặt phẳng nào vng góc với đường thẳng này thì
cũng vng góc với đường thẳng kia.
B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một mp thì song song với nhau.
C. Cho hai mp song song, đường thẳng nào vuông góc với mặt mp này thì cũng vng góc với mp
kia.
D. Cho hai đường thẳng song song, mặt phẳng nào vng góc với đường thẳng này thì cũng vng
góc với đường thẳng kia.
Hướng dẫn giải:
Vì qua một đường thẳng dựng được vô số mặt phẳng
Câu 17: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
( P ) và đường thẳng b vng góc với a thì b
A. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng
( P) .
vng góc với mặt phẳng
( P ) thì a
B. Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b và b song song với mặt phẳng
( P) .
song song hoặc nằm trên mặt phẳng
( P ) và đường thẳng b vng góc với mặt phẳng
C. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng
( P ) thì a vng góc với b.
D. Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng thì nó vng

góc với mặt phẳng đó.
Hướng dẫn giải:
Giả sử xét hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' như hình vẽ có
ìï A ' B '/ / ( ABCD )
ïí
ïï B ' C ' ^ A ' B '
B ' C '/ / ( ABCD ) .
ỵ
nhưng
Chọn đáp án A.

SH ⊥ ( ABC )
Câu 18: Cho hình chóp S . ABC có SA = SB = SC và tam giác ABC vuông tại B . Vẽ
,

H ∈ ( ABC )

. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. H trùng với trọng tâm tam giác ABC .
C. H trùng với trung điểm của AC .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

B. H trùng với trực tâm tam giác ABC .
D. H trùng với trung điểm của BC .

Do SA = SB = SC nên HA = HB = HC . Suy ra H là tâm đường trịn
ngoại tiếp ∆ABC .
Mà ∆ABC vng tại B nên H là trung điểm của AC .

www.thuvienhoclieu.com

Trang 4


www.thuvienhoclieu.com
Câu 19: Cho hình chóp S . ABC thỏa mãn SA = SB = SC . Tam giác ABC vuông tại A . Gọi H là

mp ( ABC )
hình chiếu vng góc của S lên
. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
( SBH ) ∩ ( SCH ) = SH .
( SAH ) ∩ ( SBH ) = SH .
A.
B.
( SAH ) ∩ ( SCH ) = SH .
C. AB ⊥ SH .
D.
Hướng dẫn giải:.
S
( SBH ) ∩ ( SCH ) = ( SBC )
Chọn A.

A

C

H

B

Câu 20: Cho hình chóp S . ABCD có các cạnh bên bằng nhau SA = SB = SC = SD . Gọi H là hình

chiếu của S lên mặt đáy ABCD . Khẳng định nào sau đây sai?
A. HA = HB = HC = HD .
B. Tứ giác ABCD là hình bình hành.
C. Tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn.
D. Các cạnh SA , SB , SC , SD hợp với đáy ABCD những góc bằng nhau.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Vì hình chóp S . ABCD có các cạnh bên bằng nhau
SA = SB = SC = SD và H là hình chiếu của S lên mặt đáy ABCD
Nên H tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD
Suy ra HA = HB = HC = HD . Nên đáp án B sai.
Câu 21: Cho hình chóp S . ABC có SA ⊥ ( ABC ) và tam giác ABC không vuông, gọi H , K lần lượt là
trực tâm các tam giác ABC và SBC . Các đường thẳng AH , SK , BC thỏa mãn:
A. Đồng quy.
B. Đôi một song song.
C. Đôi một chéo nhau.
D. Đáp án
khác.
Hướng dẫn giải:
Gọi AA′ là đường cao của tam giác ABC ⇒ AA ' ⊥ BC mà
BC ⊥ SA nên BC ⊥ SA '

Câu 22: Cho hình chóp S . ABC có các mặt bên tạo với đáy một góc

bằng nhau. Hình chiếu H của S trên ( ABC ). là:
A. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
B. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

C. Trọng tâm tam giác ABC.
D. Giao điểm hai đường thẳng AC và BD.
Hướng dẫn giải:
Gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu của S lên các cạnh AB, AC , BC.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 5


www.thuvienhoclieu.com
Theo định lý ba đường vng góc ta có M , N , P lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh
AB, AC , BC.
·
·
·
⇒ SMH
= SNH
= SPH
⇒ ∆SMH = ∆SNH = ∆SPH .

⇒ HM = HN = NP ⇒ H là tâm dường tròn nội tiếp của ∆ABC .
Câu 23: Cho hình chóp đều, chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đa giác đáy đó.
B. Tất cả những cạnh của hình chóp đều bằng nhau.
C. Đáy của hình chóp đều là miền đa giác đều.
D. Các mặt bên của hình chóp đều là những tam giác cân.
Hướng dẫn giải:
Hình chóp đều có thể có cạnh bên và cạnh đáy KHÔNG bằng nhau nên đáp án B sai.
Câu 24: Tính chất nào sau đây khơng phải là tính chất của hình lăng trụ đứng?

A. Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là những hình bình hành.
B. Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là những hình chữ nhật.
C. Các cạnh bên của hình lăng trụ đứng bằng nhau và song song với nhau.
D. Hai đáy của hình lăng trụ đứng có các cạnh đôi một song song và bằng nhau.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 6


www.thuvienhoclieu.com

DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG
VÀ ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC ĐƯỜNG THẲNG
Phương pháp:
* Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng
d ⊥ (α)
Muốn chứng minh đương thẳng
ta có thể dùng mơt trong hai cách sau.
(α) .
Cách 1. Chứng minh d vng góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau trong
d ⊥ a
d ⊥ b

⇒ a ⊥ (α)

a
⊂

α
,
b
⊂
α
(
)
(
)

 a ∩ b = I
(α) .
Cách 2. Chứng minh d vng góc với đường thẳng a mà a vng góc với
d Pa
⇒ d ⊥ (α)

( α ) ⊥ a
Cách 3. Chứng minh d vng góc với (Q) và (Q) // (P).
* Chứng minh hai đường thẳng vng góc
Để chứng minh d ⊥ a, ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
• Chứng minh d vng góc với (P) và (P) chứa a.
• Sử dụng định lí ba đường vng góc.
• Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.

SA ⊥ ( ABCD )
Câu : Cho hình chóp S . ABCD có
và ∆ABC vuông ở B , AH là đường cao của
∆SAB . Khẳng định nào sau đây sai?
A. SA ⊥ BC .
B. AH ⊥ BC .

C. AH ⊥ AC .
D. AH ⊥ SC .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
SA ⊥ ( ABC )
Do
nên câu A đúng.
BC ⊥ ( SAB )
Do
nên câu B và D đúng.
Vậy câu C sai.

SA ⊥ ( ABC )
Câu 1: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vng tại B và

BC ⊥ ( SAB )
a) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. Chứng minh
.
BC ⊥ ( SAB )
BC ⊥ ( SAC )
A.
B.
·AD, BC = 450
·AD, BC = 800
C.
D.
SAB
AH
b) Gọi
là đường cao của tam giác

, thì khẳng định nào sau đây đúng nhất. Chứng minh
AH ⊥ SC .
A. AH ⊥ AD
B. AH ⊥ SC
AH ⊥ ( SAC )
C.
D. AH ⊥ AC
Hướng dẫn giải:.

(

)

(

www.thuvienhoclieu.com

)

Trang 7


www.thuvienhoclieu.com
SA ⊥ ( ABC )
a) Ta có
nên SA ⊥ BC .
BC ⊥ SA 
 ⇒ BC ⊥ ( SAB )
BC
⊥

AB

Do đó
Chọn A
BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AH
b) Ta có
AH ⊥ BC 
 ⇒ AH ⊥ SC
Vậy AH ⊥ SB 
.Chọn B

Câu 2: Cho tứ diện ABCD có AB = AC và DB = DC . Khẳng định nào sau đây đúng?

AB ⊥ ( ABC )
A.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

B. AC ⊥ BD .

Gọi E là trung điểm của BC .
 AE ⊥ BC
⇒ BC ⊥ ( ADE ) ⇒ BC ⊥ AD

 DE ⊥ BC
.

C.

Khi

đó

ta

CD ⊥ ( ABD )

.

D. BC ⊥ AD .

có

Câu 3: Cho hình chóp S . ABC có SA ⊥ ( ABC ) và AB ⊥ BC . Số các mặt của tứ diện S . ABC là tam

giác vng là:
1.
B. 3.
C. 2.
A.
Hướng dẫn giải:
Có AB ⊥ BC ⇒ ∆ABC là tam giác vuông tại B.
 SA ⊥ AB
SA ⊥ ( ABC ) ⇒ 
⇒ ∆SAB, ∆SAC
 SA ⊥ AC
Ta có
là các tam giác vng tại A.
 AB ⊥ BC

⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC

SA
⊥
BC

Mặt khác
là tam giác vuông tại B.

D. 4.

Vậy bốn mặt của tứ diện đều là tam giác vuông. Nên đáp án D đúng.
Câu 4: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết SA = SC và SB = SD . Khẳng

định nào sau đây sai?
SO ⊥ ( ABCD )
CD ⊥ ( SBD )
AB ⊥ ( SAC )
A.
.
B.
.
C.
.
D. CD ⊥ AC .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Tam giác SAC cân tại S có SO là trung tuyến ⇒ SO cũng là đường cao ⇒ SO ⊥ AC .
Tam giác SBD cân tại S có SO là trung tuyến ⇒ SO cũng là đường cao ⇒ SO ⊥ BD .
SO ⊥ ( ABCD )

Từ đó suy ra
.
( SBD ) .
Do ABCD là hình thoi nên CD khơng vng góc với BD . Do đó CD khơng vng góc với

www.thuvienhoclieu.com

Trang 8


www.thuvienhoclieu.com

Câu 5: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,

SA ⊥ ( ABCD ). Gọi AE; AF lần lượt là các đường cao của tam
giác SAB và tam giác SAD. Chọn khẳng định đúng trong các
khẳng định sau ?
SC ⊥ ( AFB ) .
SC ⊥ ( AEC ) .
B.
C.
A.
SC ⊥ ( AED ) .
SC ⊥ ( AEF ) .
D.
Hướng dẫn giải:
 AB ⊥ BC
⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AE.

SA

⊥
BC

Ta có:
 AE ⊥ SB
⇒ AE ⊥ SC ( 1)

AE
⊥
BC
Vậy: 

AF ⊥ SC ( 2 )
Tương tự :
( 1) ; ( 2 ) ⇒ SC ⊥ ( AEF ) . vậy đáp án D đúng.
Từ
SA ⊥ ( ABC )
Câu 6: Cho hình chóp S . ABC có cạnh
và đáy ABC là tam giác cân ở C . Gọi H và K
lần lượt là trung điểm của AB và SB . Khẳng định nào sau đây sai?

A. CH ⊥ SA .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

B. CH ⊥ SB .

C. CH ⊥ AK .

D. AK ⊥ SB .

CH ⊥ ( SAB )
Do ∆ABC cân tại C nên CH ⊥ AB . Suy ra
. Vậy các câu A, B, C đúng nên D sai.
Câu 7: Cho tứ diện ABCD . Vẽ AH ⊥ ( BCD ) . Biết H là trực tâm tam giác BCD . Khẳng định nào sau
đây đúng?
A. CD ⊥ BD .
B. AC = BD .
C. AB = CD .
D. AB ⊥ CD .
Hướng dẫn giải::
CD ⊥ AH
⇒ CD ⊥ ( ABH ) ⇒ CD ⊥ AB

CD ⊥ BH
→ Chọn đáp án D.
Câu 8: Cho hình chóp S . ABC có cạnh SA ⊥ ( ABC ) và đáy ABC là tam giác cân ở C . Gọi H và K

lần lượt là trung điểm của AB và SB . Khẳng định nào sau đây có thể sai ?
A. CH ⊥ AK .
B. CH ⊥ SB .
C. CH ⊥ SA .
Hướng dẫn giải::

www.thuvienhoclieu.com

D. AK ⊥ SB .

Trang 9

www.thuvienhoclieu.com
CH ⊥ AB
⇒ CH ⊥ ( SAB)

Ta có CH ⊥ SA
.
Từ đó suy ra CH ⊥ AK , CH ⊥ SB, CH ⊥ SA nên A, B, C đúng.
Đáp án D sai trong trường hợp SA và AB không bằng nhau → Chọn đáp án D.

( ABC ) . Đối
Câu 9: Cho tứ diện SABC thoả mãn SA = SB = SC. Gọi H là hình chiếu của S lên mp
với D ABC ta có điểm H là:
A. Trực tâm.
C. Trọng tâm.
Hướng dẫn giải:
ìï SH ^ AH
ïï
SH ^ ( ABC ) ị ớ SH ^ BH
ùù
ùùợ SH ^ CH
Xột ba tam giác vng D SHA, D SHB, D SHC có
ïìï SA = SB = SC
Þ D SHA = D SHB = D SHC
í
ïïỵ SH chung

B. Tâm đường trịn nội tiếp.
D. Tâm đường trịn ngoại tiếp.

Þ HA = HB = HC m H ẻ ( ABC ) ị H
chớnh l tõm đường tròn ngoại tiếp D ABC .

Chọn đáp án D.
Câu 10: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một vng góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O

trên mp( ABC ) . Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau:
A. H là trực tâm ∆ABC .
B. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
1
1
1
1
=
+
+
2
2
2
OA OB OC 2 .
C. OH
D. CH là đường cao của ∆ABC .
Hướng dẫn giải::
Ta có OA ⊥ (OBC ) ⇒ OA ⊥ BC và OH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (OAH ) ⇒ BC ⊥ AH .

Tương tự, ta có AB ⊥ CH , suy ra đáp án A, D đúng.
1
1
1
1

1
1
=
+ 2 =
+
+
2
2
2
2
OA OI
OA OB OC 2 , với I = AH ∩ BC , suy ra đáp án C đúng.
Ta có OH
→ Chọn đáp án B.
Câu 11: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD và AC ⊥ BD . Gọi H là hình chiếu vng góc của A lên
mp( BCD) . Các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. H là trực tâm tam giác BCD .
B. CD ⊥ ( ABH ) .
C. AD ⊥ BC .
D. Các khẳng định trên đều sai.
Hướng dẫn giải::
CD ⊥ AB
⇒ CD ⊥ ( ABH ) ⇒ CD ⊥ BH

CD
⊥
AH

Ta có
. Tương tự BD ⊥ CH

Suy ra H là trực tâm ∆BCD . Suy ra đáp án A, B đúng.
 BC ⊥ AH
⇒ BC ⊥ AD

BC
⊥
DH

Ta có
, suy ra C đúng.
→ Chọn đáp án D.
Câu 12: Cho tứ diện ABCD có AB = AC và DB = DC . Khẳng định nào sau đây đúng?
AB ⊥ ( ABC ) .
CD ⊥ ( ABD ) .
A.
B. BC ⊥ AD.
C.
D. AC ⊥ BD.
www.thuvienhoclieu.com

Trang 10


www.thuvienhoclieu.com
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của BC .
ïìï AB = AC
ïì BC ^ AM
Þ ïí

Þ BC ^ ( ADM ) ị BC ^ AD.
ớ
ùợù DB = DC ùợù BC ^ DM
Chọn đáp án B.

SA ⊥ ( ABC ) .
Câu 13: Cho hình chóp SABC có
Gọi H , K lần lượt là trực tâm các tam giác SBC và

ABC . Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?

BC ⊥ ( SAH ) .
HK ⊥ ( SBC ) .
A.
B.
đồng quy.
Hướng dẫn giải:
Ta có BC ⊥ SA, BC ⊥ SH ⇒ BC ⊥ ( SAH )

C.

BC ⊥ ( SAB ) .

D. SH , AK và BC
S

Ta có CK ⊥ AB, CK ⊥ SA ⇒ CK ⊥ ( SAB ) hay CK ⊥ SB
Mặt khác có CH ⊥ SB nên suy ra SB ⊥ (CHK ) hay SB ⊥ HK ,
tương tự SC ⊥ HK nên HK ⊥ ( SBC )
Gọi M là giao điểm của SH và BC . Do

BC ⊥ ( SAH ) ⇒ BC ⊥ AM hay đường thẳng

H

C

A
K

M

B
AM trùng với đường thẳng AK . Hay SH , AK và BC đồng quy.
BC ⊥ ( SAB ) .
Do đó
sai
Chọn đáp án C.
Câu 14: Cho hai hình chữ nhật ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai
đường thẳng AC và BF vng góc với nhau. Gọi CH và FK lần lượt là đường cao của hai tam giác
BCE và ADF . Chứng minh rằng :
a) Khẳng định nào sau đây là đúng về 2 tam giác ∆ACH và ∆BFK ?
A. ∆ACH và ∆BFK là các tam giác vuông
B. ∆ACH và ∆BFK là các tam giác tù
C. ∆ACH và ∆BFK là các tam giác nhọn
D. ∆ACH và ∆BFK là các tam giác cân

b) Khẳng định nào sau đây là sai?
· , AH = 450
BF
BF

⊥
AH
A.
B.
Hướng dẫn giải:.
AB ⊥ BC 
 ⇒ AB ⊥ ( BCE )
AB
⊥
BE

a) Ta có

(

)

C. AC ⊥ BK

D.

AC ⊥ ( BKF )

..
CH ⊥ AB
⇒ CH ⊥ ( ABEF )

CH
⊥
BE


Vậy
⇒ CH ⊥ AH ,hay ∆ACH vuông tại H .
FK ⊥ AD 
 ⇒ FK ⊥ ( ABCD )
FK
⊥
AB

Tương tự
⇒ ∆BFK vuông tại K .

www.thuvienhoclieu.com

Trang 11


www.thuvienhoclieu.com
b) Ta có

CH ⊥ ( ABEF ) ⇒ CH ⊥ BF

, mặt khác

AC ⊥ BF ⇒ BF ⊥ ( ACH ) ⇒ BF ⊥ AH

.

AC ⊥ KF 
 ⇒ AC ⊥ ( BKF ) ⇒ AC ⊥ BK

AC
⊥
BF

Tương tự
.
S
.
ABCD
ABCD
Câu 15: Cho hình chóp
có đáy
là hình thoi tâm O . Biết SA = SC , SB = SD .
a)Khẳng định nào sau đây là sai?.
SO ⊥ ( ABCD )
A.
B. SO ⊥ AC
C. SO ⊥ BD
D. Cả A, B, C đều sai
b) Khẳng định nào sau đây là sai?.
AC ⊥ ( SBD )
A.
B. AC ⊥ SO
C. AC ⊥ SB
D. Cả A, B, C đều
sai
Hướng dẫn giải:.
a) Ta có O là trung điểm của AC và
SA = SC ⇒ SO ⊥ AC .
Tương tự SO ⊥ BD .

SO ⊥ AC 
 ⇒ SO ⊥ ( ABCD )
Vậy SO ⊥ BD 
.Chọn D
b) Ta có AC ⊥ BD ( do ABCD là hình thoi).
SO ⊥ ( ABCD )
Lại có AC ⊥ SO ( do
)
AC ⊥ ( SBD ) ⇒ AC ⊥ SD
Suy ra
.Chọn D

Câu 16: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA ⊥ ( ABCD ). Các khẳng định

sau, khẳng định nào sai?
A. SA ⊥ BD
B. SC ⊥ BD
Hướng dẫn giải:
Ta có SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BD

C. SO ⊥ BD

D. AD ⊥ SC
S

Do tứ giác ABCD là hình thoi nên BD ⊥ AC , mà SA ⊥ BD nên
BD ⊥ ( SAC ) hay BD ⊥ SC , BD ⊥ SO
AD không vng góc SC
Chọn đáp án D.

A

D

O
B

C

SA ⊥ ( ABCD )
Câu 17: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng và
. Gọi I , J , K lần
lượt là trung điểm của AB , BC và SB . Khẳng định nào sau đây sai?
BD ⊥ ( IJK )
( IJK ) // ( SAC ) .
A.
B.
.
C. Góc giữa SC và BD có số đo 60° .
D.
BD ⊥ ( SAC )
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

( IJK ) // ( SAC ) . Vậy A
Do IJ // AC và IK // SA nên
đúng.
BD ⊥ ( SAC )
Do BD ⊥ AC và BD ⊥ SA nên

nên D đúng.
www.thuvienhoclieu.com

Trang 12


www.thuvienhoclieu.com

BD ⊥ ( SAC )
( IJK ) // ( SAC ) nên BD ⊥ ( IJK ) nên B đúng.
Do
và
Vậy C sai.
Câu 18: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng, Gọi H là trung điểm của AB và
SH ⊥ ( ABCD )
. Gọi K là trung điểm của cạnh AD .
a) Khẳng định nào sau đây là sai?
AC ⊥ ( SHK )
A. AC ⊥ SH
B. AC ⊥ KH
C.
D. Cả A, B, C đều
sai
b) Khẳng định nào sau đây là sai?.
A. CK ⊥ SD
0
·
·
C. DKC + ADH = 90
Hướng dẫn giải:.

SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ AC
a) Ta có
 HK P BD
⇒ AC ⊥ HK

AC
⊥
BD

lại có

B. DH ⊥ CK
D. Cả A, B, C đều sai

⇒ AC ⊥ ( SHK )

.
·
·
b) Dễ thấy ∆AHD = ∆DKC ⇒ AHD = DKC
0
·
·
mà AHD + ADH = 90
·
⇒ DKC
+ ·ADH = 900 hay DH ⊥ CK , mặt khác ta có
SH ⊥ CK ⇒ CK ⊥ ( SDH ) ⇒ CK ⊥ SD
.

Câu 19: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi một

( ABC ) . Khẳng định nào sau đây sai?
vng góC. Gọi H là hình chiếu của O lên
1
1
1
1
=
+
+
.
2
2
2
OA OB
OC 2
A. OA ^ BC.
B. OH
2
2
2
2
C. H là trực tâm D ABC .
D. 3OH = AB + AC + BC .
Hướng dẫn giải:
ìïï OA ^ OB
Þ OA ^ ( OBC ) Þ OA ^ BC ị
ớ
ùùợ OA ^ OC

ỏp ỏn A
ỳng.
Tng t chng minh được OC ^ AB.
ìïï OI ^ BC
.
í
ïïỵ OH ^ AI
Hạ
Ta có:
ìïï OI ^ BC
Þ BC ^ ( OAI ) Þ BC ^ OH ị OH ^ ( ABC ) .
ớ
ùùợ BC ^ OA
1
1
1
1
1
1
=
+ 2=
+
+
Þ
2
2
2
2
OH
OA

OI
OA
OB
OC 2
Đáp án B đúng.
ïìï AB ^ OC
Þ AB ^ ( OCH ) Þ AB ^ HC ( 1) .
í
BC ^ OH ( 2) .
ïïỵ AB ^ OH
Ta có:
Tương tự

( 1) và ( 2) Þ H là trực tâm D ABC Þ Đáp án C đúng.
Từ
Chọn đáp án D.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 13


www.thuvienhoclieu.com
SA ⊥ ( ABC )
Câu 20: Cho hình chóp S . ABC có
. Gọi H , K lần lượt là trực tâm các tam giác ABC và
SBC . Khẳng định nào sau đây là đúng
a) AH , SK và BC đồng qui.
A. AH và BC chéo nhau
C. AH , SK và BC đồng qui.

B. AH và SK chéo nhau
D. AH , SK và BC không đồng qui.

b) Khẳng định nào sau đây là sai?.
SB ⊥ ( CHK )
A.
B. SB ⊥ HK
sai
c)

C.

CH ⊥ ( SAB )

D. Cả A, B, C đều

HK ⊥ ( SBC )

.Khẳng định nào sau đây là sai?
HK ⊥ ( SBC )
BC ⊥ ( SAI )
A.
B.

C. BC ⊥ HK

D. Cả A, B, C đều

sai

Hướng dẫn giải:.
a) Gọi I = AH ∩ BC , để chứng minh AH , SK và BC đồng qui.
Ta cần chứng minh SI là đường cao của tam giác SBC , nhưng điều
này đúng do BC ⊥ SA và BC ⊥ AI .
b) Ta có SB ⊥ CK
CH ⊥ AB
⇒ CH ⊥ ( SAB ) ⇒ CH ⊥ SB

CH
⊥
SA

thêm nữa ta có
SB ⊥ ( CHK )
Vậy
.
b) Theo các chứng minh trên ta có
SB ⊥ ( CHK ) ⇒ SB ⊥ HK
BC ⊥ ( SAI ) ⇒ BC ⊥ HK
và
do đó
HK ⊥ ( SBC )
.

Câu 21: Cho hình tứ diện ABCD có AB , BC , CD đơi một vng góc nhau. Hãy chỉ ra điểm O cách

đều bốn điểm A , B , C , D .
A. O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
B. O là trọng tâm tam giác ACD .
C. O là trung điểm cạnh BD .

D. O là trung điểm cạnh AD .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Gọi O là trung điểm của AD .
 AB ⊥ CD
⇒ CD ⊥ ( ABC ) ⇒ CD ⊥ AC

BC
⊥
CD

Từ giả thiết ta có
.
Vậy ∆ACD vng tại C .
Do đó OA = OC = OA (1)
 AB ⊥ CD
⇒ AB ⊥ ( BCD ) ⇒ AB ⊥ BD ⇒ ∆ABD

AB
⊥
BC

Mặt khác
vuông tại B .
Do đó OA = OB = OD (2)
Từ (1) và (2) ta có OA = OB = OC = OD .

www.thuvienhoclieu.com

Trang 14

www.thuvienhoclieu.com
Câu 22: Cho tứ diện ABCD có AB = AC và DB = DC . Khẳng định nào sau đây đúng?

AB ⊥ ( ABC )
A.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

B. AC ⊥ BD .

Gọi E là trung điểm của BC .
 AE ⊥ BC
⇒ BC ⊥ ( ADE ) ⇒ BC ⊥ AD

 DE ⊥ BC
.

C.

Khi

đó

CD ⊥ ( ABD )

ta

.

D. BC ⊥ AD .

có

AH ⊥ ( BCD )
Câu 23: Cho tứ diện ABCD . Vẽ
. Biết H là trực
tâm tam giác BCD . Khẳng định nào sau đây không sai?
A. AB = CD .
B. AC = BD .
C.
AB ⊥ CD .
CD
⊥
BD
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

AH ⊥ ( BCD ) ⇒ AH ⊥ CD
Do
.
∆
ABC
H
Mặt khác,
là trực tâm

nên BH ⊥ CD .
CD ⊥ ( ABH )
Suy ra
nên CD ⊥ AB .

Câu 24: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều

và SC = a 2 . Gọi H , K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD .
a) Khẳng định nào sau đây là sai?.
SH ⊥ ( ABCD )
A.
B. SH ⊥ HC
C. A, B đều đúng
b) Khẳng định nào sau đây là sai?
A. CK ⊥ HD
B. CK ⊥ SD
C. AC ⊥ SK
D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:.
a) Vì H là trung điểm của AB và tam giác SAB đều nên
SH ⊥ AB
a 3
a 5
SH =
, SC = a 2, HC = DH 2 + DC 2 =
2
2
Lại có

D. A, B là sai

3a 2 5a 2
+
= 2a 2 = SC 2
4
4
Do đó
⇒ ∆HSC vng tại H ⇒ SH ⊥ HC
 SH ⊥ HC
⇒ SH ⊥ ( ABCD )

SH
⊥
AB

Vậy
.
AC ⊥ SH ⇒ AC ⊥ ( SHK )
b) Ta có AC ⊥ HK và
⇒ AC ⊥ SK .
CK ⊥ SH ⇒ CK ⊥ ( SDH ) ⇒ CK ⊥ SD
Tương tự CK ⊥ HD ( như bài 32) và
.
HC 2 + HS 2 =

www.thuvienhoclieu.com

Trang 15

www.thuvienhoclieu.com
Câu 25: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Đường thẳng AC ' vng góc với mặt phẳng nào sau

đây?

( A ' BD ) .
( A ' DC ') .
A.
B.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
 A ' D ⊥ AD '
( t / c HV )

 A ' D ⊥ C ' D ' ( C ' D ' ⊥ ( A ' D ' DA ) )
⇒ A ' D ⊥ ( AC ' D ') ⇒ A ' D ⊥ AC '

C.

( A ' CD ') .

D.

( A ' B ' CD ) .

( 1)

 A ' B ⊥ AB '
( t / c HV )


 A ' B ⊥ B ' C ' ( B ' C ' ⊥ ( A ' D ' DA ) )
⇒ A ' B ⊥ ( AB ' C ' ) ⇒ A ' B ⊥ AC ' ( 2 )

( 1) , ( 2 ) ⇒ AC ' ⊥ ( A ' BD )
Từ
Vậy chọn đáp án A .
Câu 26: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình
thoi, O là giao điểm của 2 đường chéo và SA = SC . Các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
SA ⊥ ( ABCD )
BD ⊥ ( SAC )
AC ⊥ ( SBD )
AB ⊥ ( SAC )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Ta có: SA = SC ⇒ SAC là tam giác cân
Mặt khác: O là trung điểm của AC (tính chất hình thoi)
Khi đó ta có: AC ⊥ SO
 AC ⊥ BD ( t / c hinh thoi )
⇒
⇒ AC ⊥ ( SBD )
 AC ⊥ SO
Vậy chọn đáp án C .

SA ⊥ ( ABCD )
Câu 27: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng,
. Mặt phẳng qua A và
vng góc với SC cắt SB, SC , SD theo thứ tự tại H , M , K . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định
sau?
A. AK ⊥ HK .
B. HK ⊥ AM .
C. BD ⊥ HK .
D. AH ⊥ SB .
Hướng dẫn giải:
Ta có:
 BD ⊥ AC
( t / c HV )
⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ AM

( gt )
 BD ⊥ SA
Gọi O = AC ∩ BD, I = SO ∩ HK
( P ) là mặt phẳng A và vng góc với SC
∆ PBD ⇒ ∆ ⊥ AM ⇒ ∆ ⊂ ( P )
Qua I kẻ
Khi đó: K = ∆ ∩ SD, H = ∆ ∩ SB
Ta có:

AK ⊥ ( SDC )

, mà

HK ∩ ( SDC ) = K ⇒ AK

khơng vng góc với HK .

www.thuvienhoclieu.com

Trang 16


www.thuvienhoclieu.com
Vậy chọn đáp án A .

SA ⊥ ( ABCD )
Câu 28: Cho hình chóp S . ABCD trong đó ABCD là hình chữ nhật,
. Trong các tam
giác sau tam giác nào không phải là tam giác vuông.
A. ∆SBC .
B. ∆SCD .
C. ∆SAB .
Hướng dẫn giải:
Ta có :

( tc HV )
 AB ⊥ AD
⇒ AB ⊥ ( SAD ) ⇒ AB ⊥ SD

AB
⊥
SA
SA
⊥
ABCD

(
)
(
)



D. ∆SBD .

SB ⊥ SD ⇒ SD ⊥ ( SAB )
Giả sử
(vô lý)
∆
SBD
Hay
không thể là tam giác vuông
Vậy chọn đáp án D .

0 ·
0 ·
0
·
Câu 29: Cho hình chóp S . ABC có BSC = 120 , CSA = 60 , ASB = 90 , SA = SB = SC. Gọi  I là hình

mp ( ABC ) .
chiếu vng góc của S lên
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
A. I là trung điểm AB .
B. I là trọng tâm tam giác ABC .
C. I là trung điểm AC .

D. I là trung điểm BC .
Hướng dẫn giải:
Gọi SA = SB = SC = a
Ta có : VSAC đều ⇒ AC = SA = a

VSAB vuông cân tại S ⇒ AB = a 2
·
BC = SB 2 + SC 2 − 2 SB.SC.cos BSC
=a 3
2
2
2
⇒ AC + AB = BC ⇒VABC vuông tại A
Gọi I là trung điểm của AC thì  I là tâm đường trịn
ngoại tiếp tam giác ABC . Gọi d là trục của tam giác ABC thi d đi

d ⊥ ( ABC )
qua I và

SI ⊥ ( ABC )
Mặt khác : SA = SB = SC nên S ∈ d . Vậy
nên I là hình chiếu vng góc của S lên
( ABC )
mặt phẳng
Vì H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC nên H và K lần lượt thuộc AA′ và SA′
Vậy AH , SK , BC đồng quy tại  A′
Câu 30: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một vng góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O

( ABC ) . Xét các mệnh đề sau :
trên mặt phẳng

OC ⊥ ( OAB )
I. Vì OC ⊥ OA, OC ⊥ OB nên
.
II. Do
III. Có

AB ⊂ ( OAB )

AB ⊥ OC.

( 1)

OH ⊥ ( ABC )

( 2)
và
A. I , II , III , IV .
Hướng dẫn giải:
Ta có:
IV. Từ

nên

( 1)

AB ⊂ ( ABC )
AB ⊥ OH .
và
nên
AB ⊥ ( OCH ) .

B. I , II , III .

( 2)
C. II , III , IV .

www.thuvienhoclieu.com

D. I , IV .

Trang 17


www.thuvienhoclieu.com
OC ⊥ OA
OC ⊥ OB

⇒ OC ⊥ ( OAB )

OA ∩ OB = O
OA, OB ⊂ ( OAB )

. Vậy I đúng.
OC ⊥ ( OAB )
⇒ AB ⊥ OC

 AB ⊂ ( OAB )
. Vậy II đúng.
OH ⊥ ( ABC )
⇒ AB ⊥ OH


 AB ⊂ ( ABC )
. Vậy III đúng.


AB ⊥ OC


AB ⊥ OH
⇒ AB ⊥ ( OCH )

OC ∩ OH = O

OC , OH ⊂ ( OCH )
. Vậy IV đúng.

Vậy chọn đáp án A .

0
·
Câu 31: Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D '. Có đáy là hình thoi BAD = 60 và A ' A = A ' B = A ' D. Gọi

O = AC Ç BD. Hình chiếu của A ' trên ( ABCD ) là :
A. trung điểm của AO.
B. trọng tâm DABD.
C. giao của hai đoạn AC và BD.
D. trọng tâm DBCD.
Hướng dẫn giải:
( ABCD) trùng với
Vì A ' A = A ' B = A ' D Þ hình chiếu của A ' trên
H là tâm đường tròn ngoại tiếp DABD ( 1) .

0
·
Mà tứ giác ABCD là hình thoi và BAD = 60 nên DBAD là tam

( 2) .
giác đều
( 1) & ( 2) Þ H là trọng tâm DABD .
Từ
Chọn đáp án B.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 18


www.thuvienhoclieu.com

DẠNG 2: TÍNH GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Phương pháp:

( α ) ta thực hiện theo các bước sau:
Để xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng

- Tìm giao điểm

O = a∩ ( α )

( α)
- Dựng hình chiếu A ' của một điểm A ∈ a xuống

·
( α) .
- Góc AOA ' = ϕ chính là góc giữa đường thẳng a và
Lưu ý:

b⊥ ( α )
ta chọn một đường thẳng
khi đó AA ' Pb.
- Để tính góc ϕ ta sử dung hệ thức lượng trong tam giác vng ∆OAA ' . Ngồi ra nếu khơng xác
( α ) theo cơng thức
định góc ϕ thì ta có thể tính góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng
rr
un
.
sin ϕ = r r
r
r
un
( α) .
trong đó u là VTCP của a cịn n là vec tơ có giá vng góc với
- Để dựng hình chiếu A ' của điểm A trên

( α)

Câu 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB , BC , BD bằng nhau và vng góc với nhau từng đôi một.

Khẳng định nào sau đây đúng?
( BCD ) là góc ACB .
A. Góc giữa AC và
( ABD ) là góc CAB .

C. Góc giữa AC và
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

( ABC ) là góc ADB .
B. Góc giữa AD và
( ABD ) là góc CBD .
D. Góc giữa CD và

 AB ⊥ BC
⇒ AB ⊥ ( BCD )

AB
⊥
CD

Từ giả thiết ta có
.
·
AC , ( BCD ) ) = ACB
Do đó (
.

Câu 2: Cho tam giác ABC vng cân tại A và BC = a . Trên đường thẳng qua A vng góc với

a 6
( ABC ) lấy điểm S sao cho
2 . Tính số đo góc giữa đường thẳng SA và ( ABC ) .
A. 30° .
B. 45° .

C. 60° .
D. 90° .
SA =

www.thuvienhoclieu.com

Trang 19


www.thuvienhoclieu.com
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

SA ⊥ ( ABC ) ⇒ ( SA, ( ABC ) ) = 90°

.

Câu 3: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC , BD vng góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào

sau đây đúng ?

·
( ABD ) là góc CBD
( BCD ) là góc ·ACB .
A. Góc giữa CD và
.
B. Góc giữa AC và
·
( ABC ) là góc ·ADB .
( ABD ) là góc CBA

C. Góc giữa AD và
D. Góc giữa AC và
.
Hướng dẫn giải:
AB ⊥ ( BCD )
Do AB, BC , BD vuông góc với nhau từng đơi một nên
, suy ra BC là hình chiếu của

AC lên ( BCD ) .
Chọn B.
Câu 4: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a . Hình chiếu vng
( ABC ) trùng với trung điểm BC . Biết SB = a . Tính số đo của góc giữa SA và ( ABC ) .
góc của S lên
A. 30° .
B. 45° .
C. 60° .
D. 75° .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Gọi H là trung điểm của BC suy ra
1
a
AH = BH = CH = BC =
2
2.
SH ⊥ ( ABC ) ⇒ SH = SB 2 − BH 2 =

Ta có:
·SA, ABC

(

(

⇒ tan α =

a 3
2 .

·
=α
) ) = SAH
SH
= 3 ⇒ α = 60°
AH
.

SA ⊥ ( ABCD )
Câu 5: Cho hình chóp S . ABCD , đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a và
. Biết
a 6
3 . Tính góc giữa SC và ( ABCD ) .
A. 30° .
B. 45° .
C. 60° .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

SA =

D. 75° .

SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ AC
Ta có:
·
⇒ (·SC ; ( ABCD ) ) = SCA
=α

www.thuvienhoclieu.com

Trang 20


www.thuvienhoclieu.com

ABCD là hình vng cạnh a

⇒ AC = a 2, SA =

a 6
SA
3
⇒ tan α =
=
⇒ α = 30°
3
AC
3
.

Câu 6: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vng góc của S lên

( ABC )

trùng với trung điểm H của cạnh BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của
( ABC ) .
góc giữa  SA và
0
0
0
0
A. 60
B. 75
C. 45
D. 30
Hướng dẫn giải:
( ABC ) nên
Do  H là hình chiếu của S lên mặt phẳng

SH ⊥ ( ABC )

( ABC )
Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp

·
⇒ ( SA; ( ABC ) ) = ( SA; AH ) = SAH

SH ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ AH

Ta có:

Mà: VABC =VSBC ⇒ SH = AH . Vậy tam giác SAH vuông cân
0
·
tại H ⇒ SAH = 45

( ABCD ) sao
Câu 7: Cho hình thoi ABCD có tâm O , AC = 2a; BD = 2AC . Lấy điểm S không thuộc
SO ⊥ ( ABCD )

cho
. Biết
30°
A.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

1
2 . Tính số đo của góc giữa SC và ( ABCD ) .
B. 45° .
C. 60° .
D. 75° .

·
tan SBO
=

Ta có: AC = 2a; BD = 2AC = 4a ⇒ OB = 2a
SO 1
1

·
⇒ tan SBO
=
= ⇔ SO = OB = a
OB 2
2
.
SO a
·
;
= =1
(·SC , ( ABCD ) ) = SCO
OC a
Mặt khác
( ABCD ) bằng 45° .
Suy ra số đo của góc giữa SC và

Câu 8: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vng góc của S lên

( ABC )

trùng với trung điểm H của cạnh BC . Biết tam giác SBC
( ABC ) .
là tam giác đều.Tính số đo của góc giữa SA và
60° .
A. 30° .
B. 45° .
C.
D. 75° .
Hướng dẫn giải:

Chọn B.
Ta có:

www.thuvienhoclieu.com

Trang 21


www.thuvienhoclieu.com
·
SH ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ AH ⇒ (·SA; ( ABC ) ) = SAH
=α

.

⇒ AH = SH =

∆ABC và ∆SBC là hai tam giác đều cạnh a
a 3
⇒ AH = SH =
⇒ ∆SHA
2
vuông cân tại H ⇒ α = 45° .

a 3
2

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA ⊥ ( ABCD ), SA = a 6.
Gọi α là góc giữa SC và mp ( ABCD ). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?
3

cos α =
.
0
0
0
α = 30 .
3
B.
C. α = 45 .
D. α = 60 .
A.
Hướng dẫn giải:
Vì SA ⊥ ( ABCD ) nên AC là hình chiếu vng góc của SC lên
( ABCD ).
⇒ Góc giữa giữa SC và mp ( ABCD ) bằng góc SC & AC.
· .
⇒ α = SCA
Câu 9:

giác

SAC

vng

Xét

tam

tan α =

SA a 6
=
= 3 ⇒ α = 600.
AC a 2

tại

A

có:

SA ^ ( ABCD ) .
Câu 10: Cho hình chóp S . ABCD, đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a và
Biết
a 6
3 . Tính góc giữa SC và ( ABCD ) .
0
0
0
A. 30 .
B. 60 .
C. 75 .
Hướng dẫn giải:
Tứ giác ABCD là hình vng cạnh a nên AC = a 2.
SA =

0
D. 45 .

SA ^ ( ABCD) Þ AC

là hình chiếu vng góc của SC lên
·
( ABCD) .
( ABCD ) Þ SCA
là góc giữa SC và
Tam giác SAC vng tại A nên
SA a 6 1
1
·
·
tan SCA
=
=
.
=
Þ SCA
= 300.
AC
3 a 2
3
Chọn đáp án A.
Câu 11: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi a là góc giữa AC ' và mp

khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
2
tan α =
.
0

3
α
=
30
.
A.
B.
Hướng dẫn giải:

0
C. α = 45 .

www.thuvienhoclieu.com

( A ' BCD ') . Chọn

D. tan α = 2.

Trang 22


www.thuvienhoclieu.com
Gi
m

ỡùù A ' C ầ AC ' = I
ớ
ùùợ C ' D Ç CD ' = H
ïìï C ' D ^ CD '
Þ C ' D ^ ( A ' BCD ') ị IH

ớ
ùùợ C ' D ^ A ' D '

góc của AC ' lên

( A ' BCD ') Þ C· ' IH

là hình chiếu vng

là góc giữa AC ' và
· ' IH = C ' H = 1 .2 = 2.
tan C
A
'
BCD
'
.
(
) Mà
IH
2
Chọn đáp án D.

Câu 12: Cho hình chóp S . ABC có SA ⊥ ( ABC ) và tam giác ABC không vuông, gọi H , K lần lượt là

trực tâm các ∆ABC và ∆SBC . Số đo góc tạo bởi HK và mp ( SBC ) là?
A. 65° .
B. 90° .
C. 45° .
D. 120° .

Hướng dẫn giải::
 BC ⊥ SA
⇒ BC ⊥ ( SAI ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAI )

BC
⊥
AI
I
=
AH
∩
BC

Gọi
. Ta có
và K ∈ SI .
 SB ⊥ CK
⇒ SB ⊥ (CHK ) ⇒ ( SBC ) ⊥ (CHK )

SB
⊥
CH

Ta lại có
.

Mà HK = ( SAI ) ∩ ( SHK ) , suy ra HK ⊥ ( SBC )
→ Chọn đáp án B.
Câu 13: Cho hình chóp S . ABC thỏa mãn SA = SB = SC . Gọi H là hình chiếu vng góc của S lên
mp ( ABC )

. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. H là trực tâm tam giác ABC .
B. H là trọng tâm tam giác ABC .
C. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
D. H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
Hướng dẫn giải:

SH ⊥ ( ABC )
Do hình chóp S . ABC có SA = SB = SC và
nên SH là
trục của hình chóp S . ABC . ⇒ HA = HB = HC . Nên H là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Vậy chọn C.

Câu 14: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vng cạnh

( ABC ) trùng với
huyền BC = a . Hình chiếu vng góc của S lên
( ABC )
trung điểm BC . Biết SB = a . Tính số đo của góc giữa SA và
.
0
0
600.
A. 30 .
B. 45 .
C.
0

D. 75 .

Hướng dẫn giải:
www.thuvienhoclieu.com

Trang 23


www.thuvienhoclieu.com
a
, SB = a
2
SM ⊥ ( ABC )
mp ( ABC )
Có
nên AM là hình chiếu của SA lên
·
⇒ ( SA, ( ABC ) ) = ( SA, AM ) = SAM
.
Áp dụng định lý Pytago
a 3
SM = SB 2 − AM 2 =
2
Xét tam giác SAM có
SM
·
tan SAM
=
= 3
·
⇒ SAM
= 600 .

AM
Vậy chọn C.
SA ⊥ ( ABC )
Câu 15: Cho hình chóp S . ABC có
và ∆ABC vng ở B . AH là đường cao của ∆SAB .
Khẳng định nào sau đây sai ?
A. SA ⊥ BC.
B. AH ⊥ BC .
C. AH ⊥ AC .
D. AH ⊥ SC.
Hướng dẫn giải:
SA ⊥ ( ABC )
Do
nên SA ⊥ BC . Nên Phương án A đúng.
 AH ⊥ SB
⇒ AH ⊥ ( SBC )

AH
⊥
BC
BC
⊥
SAB
(
)
(
)
Có 
. Phương án D đúng.
AH

⊥
BC
AH
⊥
SC
Suy ra
,
. Phương án B, D đúng.
Phương án C sai. Thật vậy với AH ⊥ AC , ta có
 AH ⊥ AC
⇒ AC ⊥ AB

 SA ⊥ AC
(vô lý).
Vậy chọn C.
AM = BM =

Câu 16: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên
mặt phẳng đã cho.
( P ) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng ( P ) khi
B. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng
a và b song song (hoặc a trùng với b ).
( P ) bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( Q ) thì
C. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng
( P ) song song với mặt phẳng ( Q ) .
mặt phẳng
( P ) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng ( P ) thì
D. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng

a song song với b .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
0
0
¶
¶
0
¶
Câu 17: Cho góc tam diện Sxyz với xSy = 120 , ySz = 60 , zSx = 90 . Trên các tia Sx, Sy , Sz lần lượt
lấy các điểm A, B, C sao cho SA = SB = SC = a . Tam giác ABC có đặc điểm nào trong các số các đặc
điểm sau :
A. Vuông cân.
B. Đều.
C. Cân nhưng không vuông.
D. Vuông nhưng không cân.
Hướng dẫn giải:
2
2
2
2
·
Xét ∆SAB có AB = SA + SB − 2 SA.SB.cos ASB = 3a ⇒ AB = a 3 .
∆SBC đều ⇒ BC = a.
2
2
∆SAC có AB = SA + SC = a 2 .

www.thuvienhoclieu.com

Trang 24


www.thuvienhoclieu.com
Từ đó ∆ABC vng tại C.
Vậy chọn D.

SA ⊥ ( ABCD )
Câu 18: Cho hình chóp S . ABCD có
và đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi O là tâm của
ABCD và I là trung điểm của SC . Khẳng định nào sau đây sai ?
IO ⊥ ( ABCD ) .
A.
B. BC ⊥ SB.

( SAC ) là mặt phẳng trung trực của đoạn BD.
C.
D. Tam giác SCD vuông ở D.
Hướng dẫn giải:
Có IO là đường trung bình tam giác SAC nên IO //SA nên
IO ⊥ ( ABCD )
. Phương án A đúng.
BC
⊥
AB

⇒ BC ⊥ SB

Có  BC ⊥ SA
. Phương án B đúng

CD ⊥ AD
⇒ CD ⊥ SD

CD
⊥
SA

Và
nên phương án D đúng.
( SAC ) là mặt phẳng trung trực
Phương án C sai. Thật vậy nếu
của BD ⇒ BD ⊥ AC (vô lý).
Vậy chọn C.
Câu 19: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
A. Nếu hai mặt phẳng vng góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vng góc
với mặt phẳng kia.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vng góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
A∈( α )
B ∈( β )
C. Với mỗi điểm
và mỗi điểm
thì ta có đường thẳng AB vng góc với giao
( α ) và ( β ) .
tuyến d của

(β)
( β ) nếu có sẽ vng góc với ( γ ) .

D. Nếu hai mặt phẳng

(α)

và

đều vng góc với mặt phẳng

(γ )

( α ) và
thì giao tuyến d của

Hướng dẫn giải:
Phương án A sai vì nếu hai mặt phẳng vng góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này
vng góc với giao tuyến sẽ vng góc với mặt phẳng kia.
Phương án B sai vì cịn trường hợp hai mặt phẳng cắt nhau.
Phương án C sai.
Vậy chọn D.
SA ⊥ ( ABCD ) SA = a 6
Câu 20: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a ,
,
.
mp ( SAB )
Gọi α là góc giữa SC và
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
1
1
1
tan α =
.

tan α =
.
tan α =
.
0
8
7
6
A.
B.
C. α = 30 .
D.
Hướng dẫn giải:
BC ⊥ ( SAB )
( SAB )
Do
nên SB là hình chiếu của SC lên
·
⇒ ( SC , ( SAB ) ) = ( SC , SB ) = BSC
Xét tam giác SBC có
BC
a
1
·
tan BSC
=
=
=
.
SB a 7

7
Vậy chọn B.
www.thuvienhoclieu.com

Trang 25