Đề Thi Olympic Toán 10 Sở GD&ĐT Quảng Nam 2019 Có Đáp Án

www.thuvienhoclieu.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM

KỲ THI OLYMPIC QUẢNG NAM NĂM 2019
Mơn thi : TỐN LỚP 10
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 21/03/2019

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1 (5,0 điểm).
1

a) Giải bất phương trình

2 x 2 + 3x − 5

<

1
.
2x − 1

x − y 2 − x + 2 y2 = 2

.

2
x

+
2
−
4
y
+
8
y
xy
+
2
y
=
34
−
15
x

b) Giải hệ phương trình 
Câu 2 (4,0 điểm).

(

)

y = f ( x) = x 2 − 2 x − 3

a) Vẽ đồ thị hàm số
. Từ đó suy ra tất cả các giá trị của tham số m
x 2 − 2 x − 3 = m 4 − 2m 2 + 4

để phương trình có
4 nghiệm phân biệt .
2
b) Cho Parabol (P) có phương trình y = − x + 7 x − 8 và đường thẳng (d) có phương trình
y = x + m (m là tham số). Xác định tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt
Parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 2 3 (đvdt),
trong đó O là gốc tọa độ.
Câu 3 (4,0 điểm).
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
y = x 2 + 1 + 4 x 2 − 4 x + 2 + 9 x 2 − 30 x + 29 .
b) Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng:
( a 2 + bc)(b + c)
(b 2 + ca )(c + a )
(c 2 + ab)(a + b)
+
+
≥3 2
a (b 2 + c 2 )
b( c 2 + a 2 )
c( a 2 + b 2 )
.
Câu 4 (4,0 điểm).
a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB nằm trên
 1 11 
M − ; ÷
đường thẳng có phương trình x + y − 2 = 0 và trung điểm của đoạn AD là điểm  2 2  . Biết
3
cos α =
5 và điểm B có tung độ là số ngun. Tìm tọa độ các
rằng BD tạo với AD một góc a có

điểm A, B, C, D.
b) Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 3, BC = 5. Gọi D là chân đường phân giác trong
¼
của góc ACB và G là trọng tâm của tam giác ABC. Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác
ADG .
Câu 5 (3,0 điểm).
uuur
uuur
ABC
3
BD
=
2
BC và I là trung điểm AD .
D
a) Cho tam giác
uuu.u
rGọi uuurlà điểm xác định bởi
AM = x AC với x ∈ ¡ .
Gọi M là điểm thỏa mãn u
uuur
ur
uuuu
r
uuu
r
BI
BM
AB
i) Biểu diễn

và
theo các vectơ
và AC .
ii) Tìm x để ba điểm B, I , M thẳng hàng.

1
www.thuvienhoclieu.com

Trang 1


www.thuvienhoclieu.com

cos A =

30
10 . Gọi M là trung điểm của

AC = 6 , AB= 5 và
b) Cho tam giác ABC cóuu
ur
uuu
v
2
NA
=3
NB
cạnh BC và điểm N thỏa mãn
. Tính độ dài đoạn MN.
–––––––––––– Hết ––––––––––––

Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: …..………………………….………. Số báo danh: ……….………
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI OLYMPIC QUẢNG NAM NĂM 2019
QUẢNG NAM
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Mơn thi: TỐN 10
(Đáp án – Thang điểm gồm 06 trang)
Câu
Đáp án
Điểm
1
1
Câu 1
<
(1)
2,0
2
(5,0
2
x
−
1
2
x
+
3
x
−
5

a) Giải bất phương trình
điểm)
5

x < − ∨ x >1
2

2 x + 3 x − 5 > 0
5

2
⇔
⇔ x < − ∨ x > 1.

0,5
2
2 x − 1 ≠ 0
x ≠ 1


2
Điều kiện:
5
x<−
0,5
2 thì 2 x − 1 < 0 : bất phương trình (1) vô nghiệm.
▪ Với điều kiện
▪ Với điều kiện x > 1 thì cả hai vế của bất phương trình (1) đều dương
Bất phương trình (1) tương đương
0,25

2 x 2 + 3x − 5 > 2 x − 1
⇔ 2 x 2 + 3 x − 5 > (2 x − 1) 2

⇔ 2 x2 − 7 x + 6 < 0
3
⇔ 2
: thỏa mãn x > 1.

0,5

3 
S =  ; 2 ÷.
2 
▪ Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là

x − y 2 − x + 2 y2 = 2


2 x + 2 − 4 y + 8 y xy + 2 y = 34 − 15 x
b) Giải hệ phương trình 
Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 2 và y ≥ 0.
2
Pt(1) ⇔ (2 − x) + y 2 − x − 2 y = 0

(

▪

)

(xem đây là phương trình bậc hai đối với

▪

0,25
(1)
(2)

2− x ≥ 0)

 2− x = y
⇔
 2 − x = −2 y
Với y = 2 − x thay vào phương trình (2) ta được:
2

(

)

2 + x − 4 2 − x + 8 4 − x 2 = 34 − 15 x

3,0
0,25

0,5

0,25

(3)
0,25

2
2
+ Đặt t = 2 + x − 4 2 − x ⇒ t = 34 − 15 x − 8 4 − x

2
www.thuvienhoclieu.com

Trang 2


www.thuvienhoclieu.com
t = 0
2t = t 2 ⇔ 
t = 2
phương trình (3) thành
 2+ x −4 2− x = 0
4 2 − x = 2 + x
⇔

+ Suy ra  2 + x − 4 2 − x = 2  4 2 − x + 2 = 2 + x

0,25

30

16(2 − x) = 2 + x
17 x = 30

x=

⇔
⇔
⇔
17

16(2 − x) + 4 + 16 2 − x = 2 + x
16 2 − x = 17( x − 2)
x = 2

+ Khi

x=

0,25

30
2 17
⇒y=
17
17 và khi x = 2 ⇒ y = 0 : thỏa điều kiện

Trang
1

1
2− x ≤ 0
2
▪ Với

suy ra y ≤ 0 mà điều kiện y ≥ 0 nên suy ra y = 0
Khi y = 0 ⇒ x = 2 : Thử lại ta có x = 2, y = 0 là nghiệm

0,5

30

 x = 17

x = 2
 y = 2 17


y=0
17 .
▪ Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 
và 

0,25

y=−

Câu 2
(4,0
điểm)

0,5

a) Vẽ đồ thị hàm số

y = f ( x) = x 2 − 2 x − 3

. Từ đó suy ra tất cả các giá trị
x − 2 x − 3 = m4 − 2m 2 + 4
m
của tham số để phương trình
có 4 nghiệm phân
biệt.
2

2,0

+
ìï x2 - 2x- 3
é
khi x Ỵ ( - ¥ ;- 1ù
ûÈ ë3;+¥
y = f (x) = x - 2x - 3 = ïí
ïï - x2 + 2x + 3 khi x ẻ ( - 1;3)
ùợ
Ta cú
ộ
x ẻ ( - Ơ ;- 1ự
y = x2 - 2x- 3
ûÈ ë3;+¥ )
▪ Vẽ đúng phần Parabol
ứng với
2

(phải đi qua các điểm B(-1;0), C(3;0), D(-2;5), E(4;5) hoặc tương tự)

2
xỴ ( - 1;3)
Vẽ đúng phần Parabol y =- x + 2x + 3 ứng với
(phải đi qua điểm A(1;4))
▪ Đồ thị cân đối

0,25
0,25
0,25

▪

0,25

3
www.thuvienhoclieu.com

)

Trang 3


www.thuvienhoclieu.com
4

2

Đặt g(m) = m - 2m + 4 .
Dựa vào đồ thị ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
y = f ( x) = x 2 − 2 x − 3

y = g( m)
đồ thị hàm số
và đường thẳng
cắt nhau tại 4
▪

ìï m4 - 2m2 + 4> 0 (1)
Û ïí 4
ï m - 2m2 < 0
4
2
(2)
điểm phân biệt Û 0 < m - 2m + 4 < 4 ïỵ

(*)

2

▪

▪

▪

(1) Û ( m2 - 1) + 3> 0

0,25

0,25

ln đúng với mọi m.

ìï m¹ 0
(2) Û m2 ( m2 - 2) < 0 Û ùớ
ùù - 2 < m< 2
ợ
ỡù mạ 0
(*) ùớ
ùù - 2 < m< 2
ợ
Do ú
ỡù mạ 0
ù
ớ
ù - 2 < m< 2
Vậy các giá trị cần tìm của m là ïỵ

0,25

0,25
Trang
2

2
b) Cho Parabol (P) có phương trình y = − x + 7 x − 8 và đường thẳng (d) có

phương trình y = x + m (m là tham số). Xác định tất cả các giá trị thực của

tham số m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho tam giác OAB có diện tích bằng 2 3 (đvdt), trong đó O là gốc tọa độ.

Xét phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d)
− x2 + 7 x − 8 = x + m ⇔ x2 − 6 x + m + 8 = 0
(*)
▪ Đk : (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B
⇔ Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
▪

2,0

0,25
0,5

⇔ ∆ ' = 1 − m > 0 ⇔ m < 1.
A( x1 , x1 + m), B( x2 ; x2 + m)
x ,x
▪ Khi đó :
; trong đó 1 2 là hai nghiệm của pt(*)

AB = ( x1 − x2 ) 2 + [ ( x1 + m) − ( x2 + m) ] = 2( x1 − x2 )2
2

Ta có :

0,5

= 2 ( x1 + x2 ) 2 − 4 x1 x2 
= 2 [ 36 − 4( m + 8) ] = 8(1 − m)
d (O, (d )) =
▪

m

0,25

2

Theo đề :
m
1
1
S ∆OAB = AB.d (O, (d )) = 2 3 ⇔
8(1 − m).
= 2 3 ⇔ m . 1− m = 2 3
2
2
2
⇔ m3 − m 2 + 12 = 0 ⇔ (m + 2).( m 2 − 3m + 6) = 0
2
⇔ m = −2 : thỏa m < 1 (vì m − 3m + 6 > 0, ∀m )
Vậy m = −2.

4
www.thuvienhoclieu.com

Trang 4

0,5


www.thuvienhoclieu.com

Câu 3
(4,0
điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
y = x 2 + 1 + 4 x 2 − 4 x + 2 + 9 x 2 − 30 x + 29

2,0

2
2
2
2
2
2
Hàm số viết lại y = x + 1 + (2 x − 1) + 1 + (3 x − 5) + 2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét ba vecto:

0,25

r
r
ur
u = ( x;1) , v = ( 2 x − 1;1) , w = ( −3 x + 5; 2 )
r
r
ur
2
u = x + 1, v = (2 x − 1) 2 + 1, w = (3 x − 5) 2 + 4,

Khi đó
r r ur
r r ur
u + v + w = ( 4; 4 ) ⇒ u + v + w = 4 2
Và
r r ur r r ur
y= u + v + w ≥ u+v+w =4 2
Ta có
r r
ur
u
,
v
Đẳng thức xảy ra khi ba vecto
và w cùng hướng

0,5

0,25
0,5

 2x −1 1
=

 x
1
⇔
⇔ x =1
−
3

x
+
5
2

=

1
 x
Vậy Miny = 4 2

0,25

0,25

khi x = 1

Trang
3

b) Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng:
( a 2 + bc)(b + c)
(b 2 + ca)(c + a)
( c 2 + ab)( a + b)
+
+
≥3 2
a (b 2 + c 2 )
b (c 2 + a 2 )
c(a 2 + b 2 )

2.0

2
2
2
2
2
2
Đặt x = a (b + c ), y = b(c + a ), z = c(a + b )
2
2
2
2
2
Ta có x, y, z > 0 và ( a + bc )(b + c ) = b(c + a ) + c ( a + b ) = y + z
2
Tương tự (b + ca )(c + a ) = z + x
(c 2 + ab)( a + b) = x + y

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
Áp dụng bất thức AM – GM, ta có :

y+z
+
x
≥ 33

0,5

y+z
z+x
+
+
x
y

x+ y
≥3 2
z

z+x
x+ y
+
y
z

0,5

y+z z+x x+ y
.
.
= 33
x
y
z

( x + y )( y + z )( z + x )
xyz

(1)

Lại áp dụng bất thức AM – GM, ta có :

0,5

( x + y )( y + z )( z + x) 2 xy .2 yz .2 zx
≥
=8
xyz
xyz

(2)

5
www.thuvienhoclieu.com

Trang 5


www.thuvienhoclieu.com

▪

▪

y+z
z+x
x+ y
+

+
≥ 33 8 = 3 2
x
y
z
Từ (1) và (2) suy ra
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z .
Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c .

0,25
0,25

Câu 4 a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB
(4,0 nằm trên đường thẳng có phương trình x + y − 2 = 0 và trung điểm của đoạn
điểm)
 1 11 
3
M − ; ÷
cos α =
5 và
AD là điểm  2 2  . Biết rằng BD tạo với AD một góc a có
điểm B có tung độ là số ngun. Tìm tọa độ các điểm A, B, C, D.
▪ AD vng góc với AB và đi qua điểm M,
suy ra AD có phương trình là x- y + 6 = 0 .
Khi đó
▪
▪

A = AB ầ AD = ( - 2;4)

0,25

.

ổ 1 11ử
Mỗ
- ; ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
D ( 1;7)
ố 2 2ứ
l trung im ca on AD nên tìm được
.
r
r
ur
n( a; b) ¹ 0
n'( 1;- 1)

Gọi

là VTPT của BD, AD có VTPT là

0,25

.

r ur

a- b
3
cosa = cos n;n' Û =
5
2. a2 + b2
Khi đó

(

2,0

)

Û 7a2 + 7b2 - 50ab= 0 . Chọn a= 1 ta được

éb= 7
ê
2
7b - 50b+ 7 = 0 Û ê 1
êb=
ê
ë 7

0,25

Trang
4
▪

TH1: Với a= 1,b= 7 .

Khi đó BD có VTPT

r
n= ( 1;7)

và đi qua

D ( 1;7)

Þ BD có phương trình x + 7y - 50 = 0 .
B = AB Ç BD = ( - 6;8)

Suy ra

0,5

(nhn).

1
7.
TH2: Vi
r ổ 1ử 1
n =ỗ
1; ữ
= ( 7;1)
ữ
ỗ
ữ
ỗ
D ( 1;7)

7
7
ố
ứ
Khi ú BD cú VTPT
v i qua
a= 1,b=

▪

0,5

Þ BD có phương trình 7x + y - 14 = 0.

Suy ra

▪

B = AB Ç BD = ( 2;0)

(nhận).

uuur uuur
BC
= AD .
Vì ABCD là hình chữ nhật nên
B( - 6;8) Þ C ( - 3;11)
B( 2;0) Þ C ( 5;3)

Với

Vậy

0,25

, Với

A ( - 2;4) B( - 6;8) C ( - 3;11) D ( 1;7)

,

,

,

hay

A ( - 2;4) B( 2;0) C ( 5;3) D ( 1;7)

,

,

,

.
6
www.thuvienhoclieu.com

Trang 6

www.thuvienhoclieu.com

b) Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 3, BC = 5. Gọi D là chân đường
¼
phân giác trong của góc ACB và G là trọng tâm của tam giác ABC. Tính bán
kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ADG .
2
2
2
▪ Từ giả thiết ta có AB + AC = BC suy ra ∆ABC vuông tại A.
A(0; 0), B (4; 0), C (0;3).
▪ Chọn hệ trục tọa Oxy nh hỡnh v, ta c

2,0
0,25

0,25




ổ4 ử
Gỗ
;1ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ

3
ố
ứ
G l trng tâm của tam giác ABC nên
.
¼
D ( x; y)
ACB

Gọi

là chân đường phân giác trong của

D ( x; y) Ỵ Ox

0,25
của D ABC

D ( x;0)

Vì
nên
.
Áp dụng tính chất đường phân giác trong ta có

0,5

ỉ3 ư
DA CA 3 uuur
3 uuur

3
=
= Þ DA =- DB ị x = đ D ỗ
;0ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
DB CB 5
5
2
ố2 ø

Gọi I (a; b) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giỏc ADG.
2
ỡù
ổ
3 ử
ùù 2
2
ữ
ỗ
- aữ
+ b2
ùù a + b = ỗ
ữ
ỗ2 ứ
ố
IA = ID = IG ị ùớ
2

ùù
ổ
2
4 ử
ữ
ùù a2 + b2 = ỗ
- aữ
+( 1- b)
ỗ
ữ
ỗ3 ứ
ùùợ
ố
Khi ú
ổ3 7 ử
I ỗỗ ; ữ
ữ
ỗố4 18ữ
ứ.
Gii c


R = IA =

0,5

0,25

5 37
36 .

Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ADG là
uuur
uuur
Câu 5 a) Cho ∆ABC . Gọi D là điểm xác định bởi 3BD = 2 BC và I là trung điểm
uuuu
r
uuur
(3,0
AM
=
x
AC với x ∈ ¡ .
mãn
điểm) AD . Gọi M là điểm thỏauu
uuur
r
uuuu
r
uuu
r
i) Biểu diễn BI và BM theo các vectơ AB và AC
ii) Tìm x để B, I , M thẳng hàng.
▪

7
www.thuvienhoclieu.com

Trang 7

Trang
5

1,5


www.thuvienhoclieu.com

uuu
r 1 uuur uuur
1  uuur 2 uuur 
BI = BA + BD =  BA + BC ÷
2
2
3

i) Ta có:
r uuur
r
1 uuur 1 uuuu
5 uuur 1 uuuu
= − AB + AC − AB = − AB + AC
2
3
6
3
uuuur
uuuu
r
uuur uuuu

r
uuuu
r
uuuu
r
uuur
uuuu
r
AM = xAC ⇔ AB + BM = xAC ⇔ BM = −AB + xAC
uuu
r
uuuu
r
B
,
I
,
M
⇔
∃
k
≠
0:
BI
=
kBM
ii)
thẳng hàng

)

(

)

(

r
uuur
uuuu
r
5 uuur 1 uuuu
⇔ ∃k ≠ 0: − AB + A C = k −AB + xAC
6
3

5
k =
6 ⇒x= 2

5
kx = 1

3
⇔ 
.

(

Vậy

x=

)

30
10 . Gọi M là

b) Cho tam giác ABC có AC = 6 , AB= u5uurvà
uuu
v
2
NA
=3
NB
trung điểm của cạnh BC và điểm N thỏa mãn
. Tính độ dài đoạn
MN.
▪ Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ABC, có
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos A = 5
AB 2 + BC 2 − AC 2 2
cos B =
=
2
AB
.
BC
5
▪ Ngoài ra :
▪ Lại áp dụng định lý Cosin trong tam giác BMN, ta được

MN 2 = BM 2 + BN 2 − 2 BM .BN .cos B
Suy ra

0,25
0,5

0,25

2
5 là giá trị cần tìm thỏa u cầu bài tốn.
cos A =

▪

0,5

MN 2 =

5
5
MN =
.
4 . Vậy
2

1,5

0,5
0,5
0,25

0,25

Ghi chú:
▪ Trong những ý chưa phân rã ra 0,25đ thì nếu cần Ban Giám khảo có thể thống nhất rã ra chi tiết
0,25đ, nhưng lưu ý tổng điểm cả ý đó vẫn khơng đổi ;
▪ Nếu học sinh có cách giải khác đúng, chính xác và logic thì Ban Giám khảo thảo luận và thống
nhất thang điểm cho điểm phù hợp với Hướng dẫn chấm.
Trang 6

8
www.thuvienhoclieu.com

Trang 8