LUẬN án tốt NGHIỆP: MÁY PHA sơn tự ĐỘNG

BỘ CƠNG THƠNG
TRUỜNG ĐẠI HỌC SAO ĐỎ
*******

GIÁO TRÌNH
TỐI ƯU HĨA
TRONG THIẾT KẾ CƠ KHÍ
Dùng cho sinh viên đại học chính quy
Ngành: Cơng nghệ kỹ thuật cơ khí

NĂM
1 2021


MỞ ĐẦU
Trong sản xuất tính hiệu quả về kinh tế và kỹ thuật luôn đặt lên hàng đầu, với
ngành cơ khí điều đó được thể hiện thơng qua việc thiết kế kết cấu cơ khí mang tính
tối ưu, hợp lý nhất để đảm bảo độ bền, bên cạnh đó đảm bảo giảm chi phí về vật liệu,
tạo điều kiện thuận lợi cho q trình gia cơng, chế tạo và đảm bảo tính thẩm mỹ.
Trước xu thế hội nhập trong kỷ ngun cách mạng cơng nghiệp lần thứ IV địi
hỏi người kỹ sư cơ khí trong q trình thiết kế cần ứng dụng kỹ thuật tối ưu hóa trong
q trình thiết kế, cụ thể là từ quá trình sử dụng các cơng cụ tối ưu hóa, đưa ra được
các mơ hình PolyNURBS đảm bảo các chỉ tiêu tối ưu hóa đề ra sau đó sử dụng cơng
cụ tái tạo bề mặt theo cơng nghệ Synchronous đưa ra mơ hình 3D tinh chỉnh của sản
phẩm kết hợp với mô phỏng số nhằm nâng cao tính trực quan của sản phẩm và kiểm
nghiệm điều kiện làm việc của sản phẩm
Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí là lĩnh vực khó địi hỏi cần tập hợp nhiều kiến
thức chun mơn sâu, do đó cần phải ứng dụng các công cụ là các phần mềm với sự
trợ giúp của máy tính để đạt được kết quả cao. Với các mục tiêu cụ thể trên trong giáo
trình này trình bày các nội dung như sau:
Chương 1: Cơ sở lý thuyết về tối ưu hóa

Chương 2: Tối ưu hóa hàm số
Chương 3: ứng dụng phần mềm Altair Inspire trong tối ưu hóa thiết kế cơ khí
Cuối mỗi chương đều có câu hỏi và bài tập nhằm giúp sinh viên nắm chắc kiến
thức lý thuyết để vận dụng giải quyết các bài tập bằng công cụ ứng dụng phần mềm
với sự trợ giúp của máy tính để nhanh chóng đưa ra kết quả chính xác, đáp ứng yêu
cầu đề ra.

2


Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ TỐI ƯU HÓA
TRONG THIẾT KẾ CƠ KHÍ
1.1 . Phân dạng các vấn đề tối ưu hóa
Tối ưu hóa là một trong những lĩnh vực kinh điển của tốn học có ảnh hưởng
đến hầu hết các lĩnh vực khoa học – công nghệ và kinh tế – xã hội. Trong thực tế, việc
tìm giải pháp tối ưu cho một vấn đề nào đó chiếm một vai trò hết sức quan trọng.
Phương án tối ưu là phương án hợp lý nhất, tốt nhất, tiết kiệm chi phí, tài
nguyên, nguồn lực mà lại cho hiệu quả cao. Cơng việc đầu tiên để giải bài tốn tối ưu
là phân dạng được bài toán tối ưu, bài toán tối ưu gồm có 2 dạng:
- Tối ưu hóa khơng có ràng buộc
Tối ưu hóa khơng có ràng buộc: là q trình tối đa hóa hoặc tối thiểu hóa hàm
mục tiêu, trong đó các biến lựa chọn khơng phụ thuộc vào một số ràng buộc nào đó
trong điều kiện quy hoạch.
- Tối ưu hóa có ràng buộc
Tối ưu hóa có ràng buộc: là q trình tối đa hóa hoặc tối thiểu hóa hàm mục
tiêu, trong đó các biến lựa chọn phụ thuộc vào một số ràng buộc nào đó. Chẳng hạn
khi tối tiểu hóa khối lượng chi tiết máy thì nó phụ thuộc vào vật liệu chế tạo chi tiết
máy đó, khi sử dụng vật liệu tốt thì kích thước chi tiết nhỏ đi và khối lượng nhỏ hơn và
ngược lại.
Trong tốn học, tối ưu hóa có điều kiện cũng là q trình tối ưu hóa một hàm

mục tiêu đối với một số biến với sự hiện diện của các ràng buộc lên các biến đó. Hàm
mục tiêu có thể là hàm chi phí hoặc hàm thơng số kỹ thuật nào đó, với mục tiêu cần
được giảm thiểu tối đa, hoặc tăng tối đa.
Các ràng buộc có thể là một "ràng buộc cứng", là những điều kiện đặt cho các
biến được yêu cầu phải được thỏa mãn, hoặc các "ràng buộc mềm", những ràng buộc
có một số giá trị biến không được chấp nhận trong hàm mục tiêu và dựa trên mức độ
nào đó, các điều kiện trên các biến không được thỏa mãn.

3


Hình 1.1. Mơ hình tính tốn tối ưu khoảng cách trục của bộ truyền bánh răng trụ
1.2. Tham biến, hàm mục tiêu và ràng buộc kỹ thuật
Trong mơ hình tính tốn (hình 1.1) khoảng cách trục phụ thuộc vào số vịng
quay (N), mơ men xoắn (T), chiều dày bánh răng (B), được biểu diễn bởi hàm tổng
quát sau:
X= { x1 , x 2 , x 3 } = { N, T, B}
T

T

(1-1)

Tham biến thiết kế (X) thường là: Kích thước của các kết cấu (dài, góc), các
thuộc tính vật liệu (khối lượng, nhiệt độ,…). Giá trị của các tham biến thường nằm
trong một khoảng giới hạn.
Hàm mục tiêu (x) thường là: Khối lượng của một vật hay chi tiết, cụm chi tiết,
ứng suất, độ bền, chuyển vị, độ cứng, vận tốc, gia tốc, độ nhám, giá thành, chí phí,
hiệu suất, công suất, năng suất, thẩm mỹ, công nghệ.
Ràng buộc kỹ thuật: Thường là các điều kiện kiên quan đến ngưỡng giới hạn

của một hiện tượng vật lý nào đó, ngưỡng giới hạn của yêu cầu kỹ thuật về kích thước,
khối lượng, ứng suất, biến dạng, tần số dao động, năng suất, độ nhám bề mặt, sai số.
1.3. Tính lồi lõm (Convexity)
Khái niệm lồi - lõm quan trọng để xác định hàm số chỉ có 1 giá trị cực tiểu. Một
hàm lồi sẽ có 1 cực tiểu tồn cục. Nếu hàm khơng lồi thì cực trị có thể chỉ là địa phương.

4


INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\phong\\Documents\\Zalo Received
Files\\media\\image12.jpeg" \* MERGEFORMATINET

Hình 2.1. Đồ thi xác định cực trị
Hàm số có nhiều hơn 1 cực đại và cực tiểu gọi là hàm đa phương
thức (Multimodal function).
Nếu f(x) là hàm lồi thì -f(x) sẽ là hàm lõm
INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\phong\\Documents\\Zalo Received
Files\\media\\image21.jpeg" \* MERGEFORMATINET

Hình 3.1. Tính đối nghịch của hàm số
1.4. Đạo hàm (độ dốc) của hàm số
1.4.1. Khái niệm
Phương của độ dốc thể hiện sự thay đổi giá trị cuả hàm số một cách lớn nhất,
Độ đốc cung cấp thông tin cần thiết về phương hướng tìm kiếm cực trị (cực đại hoặc
cực tiểu) địa phương của hàm số.
Trong hầu hết các bài toán tối ưu, khi mà hàm số f(x) là phi tuyến thì đạo hàm
(độ dốc) thường được tính bằng phương pháp số.

5

INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\phong\\Documents\\Zalo Received
Files\\media\\image22.jpeg" \* MERGEFORMATINET

f ′ ( x ) = tanθ
Hình 4.1. Đạo hàm bậc nhất của hàm số
Đối với hàm 1 biến số thì tiếp tuyến tại mọi điểm của đơ thị và độ dốc của nó là
như nhau.
1.4.2. Cơng thức tính gần đúng đạo hàm
- Cơng thức tính đạo hàm theo hiệu số trước
f ( x + ∆x ) − f ( x )
∆x
- Cơng thức tính đạo hàm theo hiệu số sau
f ′( x ) =

f ( x ) − f ( x + ∆x )
∆x
- Công thức tính đạo hàm theo hiệu số giữa
f ′( x ) =

f ( x + ∆x ) − f ( x − ∆x )
2∆x
- Cơng thức tính đạo hàm bậc 2
f ′( x ) =

f ( x + ∆x ) − 2f ( x ) + f ( x − ∆x )
∆x 2
- Phân định cực đại hay cực tiểu và điểm uốn.
f ′′ ( x ) =

(2-1)

(3-1)

(4-1)

(5-1)

Hàm số đạt cực trị tại vị trí có đạo hàm bậc nhất bằng không, đạo hàm bậc hai
lớn hơn không hàm số đạt giá trị cực tiểu, đạo hàm bậc hai nhỏ hơn không hàm số đạt
giá trị cực đại, đạo hàm bậc hai bàng khơng tại vị trí đó là điểm uốn.

6


Hình 5.1. Phân định cực đại, cực tiểu và điểm uốn
1.4.3. Độ dốc của hàm nhiều biến
Xét hàm số nhiều biến: f ( x ) ,  x = x1 , x 2 ,…, x n
Độ độ dốc (gradient) là một véc tơ:
 ∂f 
 ∂x 
 1
 ∂f 
 ∂x 
 2
∇f ( x ) =  . 


 . 
 . 



 ∂f 
 ∂x n 
Trong đó:

(5-1)

∂f
là đạo hàm riêng phần của hàm f(x) theo biến x n
∂x n

1.5. Ứng dụng bài toán tối ưu giải quyết các vấn đề thực tế trong sản xuất cơ khí
1.5.1. Phương pháp mơ hình hố tốn học
Nhiều vấn đề phát sinh trong thực tế có thể giải được bằng cách áp dụng các
phương pháp tối ưu toán học. Tuy nhiên, điểm mấu chốt ở đây là từ bài toán thực tế
7


cần xây dựng được một mơ hình tối ưu thích hợp dựa vào các dạng bài toán tối ưu đã
biết. Sau đó cần áp dụng phương pháp tối ưu tốn học và quy trình tính tốn thích hợp
để tìm ra lời giải cho mơ hình đã đặt ra.
Các bước cần thiết tiến hành khi áp dụng phương pháp mơ hình hố tốn học có
thể được phát biểu một cách khái quát như sau:
- Trước hết phải khảo sát bài toán thực tế và phát hiện vấn đề cần giải quyết.
- Phát biểu các điều kiện ràng buộc và mục tiêu của bài tốn dưới dạng định
tính. Sau đó lựa chọn các biến quyết định trong các ẩn số và xây dựng mơ hình định
lượng cịn gọi là mơ hình tốn học.
- Thu thập dữ liệu và lựa chọn phương pháp tốn học thích hợp để giải quyết
mơ hình trên.

- Trong trường hợp mơ hình tốn học là mơ hình tối ưu, cần lựa chọn phương
pháp tối ưu thích hợp để giải mơ hình.
- Xác định quy trình giải thuật tốn. Có thể giải mơ hình bằng cách tính tốn
thơng thường trên giấy. Đối với các mơ hình lớn, bao gồm nhiều biến và nhiều điều
kiện ràng buộc cần tiến hành lập trình và giải mơ hình trên máy tính để tìm ra phương
án thỏa mãn mơ hình.
- Đánh giá kết quả tính tốn. Trong trường hợp phát hiện thấy có kết quả bất
thường, cần xem xét nguyên nhân, kiểm tra và chỉnh sửa lại mơ hình hoặc dữ liệu đầu
vào hoặc quy trình giải, thuật tốn, chương trình máy tính.
- Kiểm chứng các kết quả tính tốn trên thực tế. Nếu các kết quả thu được được
coi là hợp lý, phù hợp với thực tế hay được các chuyên gia đánh giá là có hiệu quả hơn
so với các phương án trước đây thì cần tìm cách triển khai phương án tìm được trên
thực tế.
- Rõ ràng rằng để giải quyết các vấn đề phát sinh từ các bài toán thực tế cần có
được sự hợp tác chặt chẽ giữa các chun gia trong lĩnh vực chun mơn, chun gia
tốn ứng dụng và các chuyên gia tin học, kỹ sư lập trình. Điều này là đặc biệt cần thiết
khi giải quyết các bài toán cho các hệ thống lớn. Việc thiết lập được một mơ hình hợp
lý, phản ánh được bản chất của bài toán thực tế đồng thời khả thi về phương diện tính
tốn mang tính khoa học thuần túy, vừa có tính khoa học. Các thuật ngữ sau thường
gặp khi áp dụng phương pháp mơ hình hố tốn học:
- Toán ứng dụng (Applied Mathematics).
- Vận trù học (Operations Researchviết tắt là OR).
- Khoa học quản lý (Management Scienceviết tắt là MS).
- Ứng dụng máy tính (Computer Applications).
- Mơ hình tối ưu (Optimization Models)…

8


1.5.2. Một số ứng dụng của bài toán tối ưu

Những năm gần đây, nhiều bài toán thực tế được giải quyết bằng phương pháp
mơ hình hóa tốn học rất thành cơng. Trong số các mơ hình tốn học đã được áp dụng
có nhiều mơ hình tối ưu, được giải quyết thơng qua các bài tốn tối ưu kinh điển.
Trong trường hợp hàm mục tiêu cũng như tất cả các ràng buộc đều là các hàm
tuyến tính, thì bài tốn tối ưu là bài tốn quy hoạch tuyến tính. Bài tốn quy hoạch
tuyến tính có thể giải được bằng một số phương pháp tối ưu quen biết (như phương
pháp đơn hình, phương pháp đơn hình cải biên hay các phương pháp điểm trong). bài
tốn quy hoạch tuyến tính đã và đang được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực trong
đó có lĩnh vực cơ khí.
Trong trường hợp hoặc hàm mục tiêu hoặc một trong số các ràng buộc là phi
tuyến, chúng ta có bài tốn quy hoạch tuyến tính. Trong các mơ hình tối ưu dựa trên
BTQHPT nói chung, và trong các mơ hình tối ưu trong lĩnh vực nơng nghiệp nói riêng,
lời giải tối ưu tồn cục có một ý nghĩa quan trọng.
Chẳng hạn trong thiết kế máy nông nghiệp, sau khi dùng phương pháp phân tích
hồi quy nhiều chiều, ta thường thu được hàm mục tiêu có dạng phi tuyến. Các bài tốn tối
ưu tồn cục cũng có thể nảy sinh trong quy hoạch kinh tế - sinh thái vùng, hay xác định cơ
cấu đất canh tác – cây trồng. Bài tốn đặt ra là phải tìm được lời giải tối ưu tồn cục. Có
rất nhiều phương pháp giải các lớp bài toán tối ưu phi tuyến riêng biệt, nhưng chưa có
phương pháp nào tỏ ra hữu hiệu cho mọi bài toán tối ưu phi tuyến, đặc biệt là cho các bài
toán với một số hay tất cả các biến quyết định nhận các giá trị nguyên.

CÂU HỎI ƠN TẬP
Câu 1: Trình bày lợi ích và phân dạng của bài tốn tối ưu hóa?
Câu 2: Trình bày về tham biến, hàm mục tiêu và ràng buộc kỹ thuật trong bài tốn tối
ưu hóa?
Câu 3: Viết và giải thích cơng thức tính đạo hàm, độ dốc của hàm nhiều biến?
Câu 4: Trình bày phương pháp mơ hình hóa tốn học để giải các bài tốn tối ưu hóa?

9

Chương 2. TỐI ƯU HĨA HÀM SỐ
2.1. Tối ưu hóa hàm một biến
- Cho hàm số f(x) được biểu diễn như đồ thị (hình 2.1)

Hình 2.1. Đồ thị hàm số f(x)
10


Trong đó: Các điểm ( A1 , A 2 , A 3 ) là cực đại tương đối, A 2 là cực đại toàn cục,
các điểm ( B1 , B2 ) là cực tiểu tương đối, B2 là cực tiểu toàn cục
- Điều kiện cần của cực trị địa phương
Nếu hàm số f(x) được xác định trên đoạn [a,b] và có cực trị tương đối tại
x=x*(af’(x*) = 0.
Tại điểm đầu (x=a) và cuối đoạn (x=b) đạo hàm khơng xác định do đó khơng
tồn tại cực trị tương đối.
- Điều kiện đủ của cực trị địa phương
(1-2)
Trong đó n là bậc của đạo hàm
+ Nếu n là số chẵn
Hàm số đạt giá trị cực tiểu
Hàm số đạt giá trị cực đại
+ Nếu n là số lẻ thì tại vị trí trên là điểm uốn
+ Trường hợp đặc biệt: f'(x) = 0, vị trí này là điểm dừng

Hình 2.2. Vị trí điểm dừng
- Ví dụ áp dụng:
Cho hàm đa thức 1 biến số: f(x) = 12x 5 - 45x 4 + 40x 3 + 5
Yêu cầu:

1. Tìm tọa độ các điểm dừng (Stationary point).
2. Xác định trong số các điểm dừng, đâu là cực tiểu, đâu là cực đại và đâu là
điểm uốn
3. Vẽ đồ thị hàm số
11


Phương pháp giải:
- Tính đạo hàm bậc nhất f '(x) , giải phương trình f '(x) = 0 để tìm các điểm dừng.
 x *1 = 0

f '(x) = 60x 2 (x 2 -3x+2) = 60x 2 ( x − 1)( x − 2) = 0 ⇒  x *2 = 1
 x* = 2
 3
- Tính Đạo hàm bậc hai f”(x), xét giá trị và dấu của f”(x*) của các điểm
dừng vừa tìm được.
f ''(x) = 60x (4x 2 -9x+4), (n=2)
+ Khi x *2 =1 ⇒ f ''(x *2 )= - 60 < 0 (n=2): x *2 là cực đại địa phương f(x *2 ) = 12
+ Khi x *3 =2 ⇒ f ''(x *3 )= 240 > 0 (n=2): x *2 là cực tiểu địa phương f(x*3 ) = − 11
+ Khi x *1 = 0 ⇒ f ''(x *1 )= 0 , do đó phải tính tiếp f '''(x)
f '''(x * ) = 120(6x 2 - 9x + 2), (n=3)
Với x *1 = 0 ⇒ f '''(x *1 )= 240 ≠ 0 (n=3): x *1 là điểm uốn f(x *1 ) = 5

Hình 2.3. Đồ thị của hàm số được vẽ tren phần mềm GeoGebra

12


2.2. Tối ưu hóa hàm nhiều biến bằng phương pháp đồ thị
2.2.1. Mơ hình tối ưu hóa

Với mục đích tìm hiểu bước đầu, xét mơ hình tốn học sau đây, cịn gọi là mơ
hình quy hoạch tuyến tính hay bài tốn quy hoạch tuyến tính (BTQHTT), mà trong đó
chúng ta muốn tối ưu hoá, cực đại hoá hay cực tiểu hoá hàm mục tiêu:
f(x) = c1x1 + c 2 x 2 + .... + c n x n  → Max ( Min ) , với các điều kiện ràng buộc:
a11x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n  ≥ b1
a 21x1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n  ≥ b 2
...
a m1x1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n   ≥ b m
x1 , x 2 , ..., x n ≥ 0
Ví dụ: Xét bài tốn quy hoạch tuyến tính: Max f(x) = 8x1 + 6x 2 , với các ràng
buộc:
Max f(x) = 8x1 + 6x 2 ,
4x1 + 2x 2 ≤ 60 
2x1 + 4x 2 ≤ 48
x1 , x 2   ≥ 0
Cần tìm các giá trị của các biến quyết định x1 , x 2 để các ràng buộc được thoả
mãn và hàm mục tiêu đạt giá trị lớn nhất.
Bài tốn này có ý nghĩa kinh tế như sau: Giả sử một xí nghiệp sản xuất hai loại
sản phẩm I và II. Để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm I cần có 4 đơn vị nguyên liệu
loại A và 2 đơn vị nguyên liệu loại B, các chỉ tiêu đó cho một đơn vị sản phẩm loại II
là 2 và 4. Lượng nguyên liệu dự trữ loại A và B hiện có là 60 và 48 (đơn vị). Hãy xác
định phương án sản xuất đạt lợi nhuận lớn nhất, biết lợi nhuận đơn vị sản phẩm bán ra
là 8 và 6 (đơn vị tiền tệ) cho các sản phẩm loại I và II.
2.2.2. Giải bài toán bằng phương pháp đồ thị
Phương pháp đồ thị có ý nghĩa minh họa và giúp hiểu bản chất vấn đề.
- Bước 1: Vẽ miền các phương án khả thi (còn gọi là miền ràng buộc) là tập hợp
các phương án khả thi (các phương án, nếu nói một cách ngắn gọn). Mỗi phương án
được thể hiện qua bộ số ( x1 , x 2 ), thoả mãn tất cả các ràng buộc đã có kể cả điều kiện
khơng âm của các biến (hình 2.4)
+ Trước hết chúng ta vẽ đường thẳng có phương trình là 4x1 + 2x 2 = 60 bằng

cách xác định hai điểm thuộc đường thẳng: ( x1 = 0, x 2 = 30 ) và ( x1 = 15, x 2 = 0 ) .

13


Đường thẳng này chia mặt phẳng làm hai nửa mặt phẳng. Một phần gồm các
điểm ( x1 , x 2 ) thoả mãn: 4x1 + 2x 2 ≤ 60, phần còn lại thoả mãn: 4x1 + 2x 2 ≥ 60 . Ta
tìm được nửa mặt phẳng thoả mãn: 4x1 + 2x 2 ≤ 60.
+ Tương tự, có thể vẽ đường thẳng có phương trình là 2x1 + 4x 2 = 48 bằng cách
xác định hai điểm thuộc đường thẳng là ( x1 = 0, x 2 = 12 ) và ( x1 = 24, x 2 = 0 ) . Sau đó
tìm nửa mặt phẳng thoả mãn: 2x1 + 4x 2 ≤ 48.

Hình 2.4. Phương pháp đồ thị giải bài tốn quy hoạch tuyến tính
+ Lúc này, giao của hai nửa mặt phẳng tìm được trên đây cho ta tập hợp các
điểm ( x1 , x 2 ) thoả mãn các ràng buộc. Tuy nhiên, để thoả mãn điều kiện không âm của
các biến, ta chỉ xét các điểm nằm trong góc phần tư thứ nhất. Vậy miền các phương án
khả thi (nói vắn tắt hơn, miền phương án) là miền giới hạn bởi tứ giác OABC (còn gọi
là tập lồi đa diện vì là miền tạo nên bởi giao của các nửa mặt phẳng).
- Bước 2: Trong miền (OABC) ta tìm điểm ( x1 , x 2 ) sao cho z = 8x1 + 6x 2 đạt giá
trị lớn nhất.
+ Dùng đường đồng mức, tùy theo giá trị của x1 , x 2 mà z có những mức giá trị
khác nhau.
+ Vẽ đường đồng mức: 8x1 + 6x 2 = c ở mức c = 24, (ta có thể chọn giá trị bất kỳ,
nhưng chọn c = 24 là bội số chung của 6 và 8 để việc tìm tọa độ các điểm cắt hai trục
tọa độ thuận lợi hơn). Dễ dàng tìm được hai điểm nằm trên đường đồng mức này là

( x1 = 0, x 2 = 4 ) và ( x1 = 3, x 2 = 0 ) . Các điểm nằm trên đường đồng mức này đều cho giá
trị hàm mục tiêu z = 24.
+ Tương tự, có thể vẽ đường đồng mức thứ hai: 8x1 + 6x 2 = 48 đi qua hai điểm

( x1 = 0, x 2 = 8 ) và ( x 2 = 0, x1 = 6 ) . Chúng ta nhận thấy, nếu tịnh tiến song song đường

14


r
đồng mức lên trên theo hướng của véc tơ pháp tuyến n ( 8, 6 ) thì giá trịcủa hàm mục
tiêu z = 8x1 + 6x 2 tăng lên.
Vậy giá trị z lớn nhất đạt được khi đường đồng mức đi qua điểm B(12, 6) (tìm
được x1 = 12, x 2 = 6 bằng cách giải hệ phương trình 4x1 + 2x 2 = 60 và 2x1 + 4x 2 = 48).
Do đó, trong các phương án khả thi thì phương án tối ưu là ( x1 = 12, x 2 = 6 ) .
Tại phương án này, giá trị hàm mục tiêu là lớn nhất z max = 8 ×12 + 6 ×6 = 132.
Nhận xét: Phương án tối ưu (nếu có) của một BTQHTT với miền phương án D,
là một tập lồi đa diện có đỉnh, ln đạt được tại ít nhất một trong các đỉnh của D. Các
đỉnh này còn được gọi là các điểm cực biên của tập lồi đa diện D (chính xác hơn, điểm
cực biên là điểm thuộc tập lồi đa diện, mà không thể tìm được một đoạn thẳng nào
cũng thuộc tập lồi đa diện nhận điểm đó là điểm trong).
2.3. Xây dựng phương trình hồi quy
2.3.1. Khái niệm phân tích hồi quy
Phân tích hồi quy (regression analysis) là kỹ thuật thống kê dùng để ước lượng
phương trình phù hợp nhất với các tập hợp kết quả quan sát của biến phụ thuộc và biến
độc lập. Nó cho phép đạt được kết quả ước lượng tốt nhất về mối quan hệ chân thực
giữa các biến số. Từ phương trình ước lượng được này, người ta có thể dự báo về biến
phụ thuộc (chưa biết) dựa vào giá trị cho trước của biến độc lập (đã biết).
Phương trình hồi quy khơng đem lại dự báo chính xác về biến phụ thuộc khi
biết giá trị của biến độc lập. Lý do là các hệ số hồi quy ước lượng được từ kết quả
quan sát mẫu chỉ là con số ước lượng tốt nhất cho các tham số chân thực của tổng thể,
vì vậy chúng phụ thuộc vào những biến thiên ngẫu nhiên. Kết quả là có thể thiết lập
một phân phối có điều kiện để cho các giá trị có khả năng xuất hiện của biến phụ
thuộc, do phương trình hồi quy dự báo cho một giá trị cho trước của biến độc lập.

Khi các mối quan hệ cơ bản giữa những biến số độc lập và phụ thuộc khơng
phải tuyến tính (phi tuyến), phương pháp hồi quy tuyến tính khơng ứng dụng được.
Tuy nhiên, các mối quan hệ có dạng cong (phi tuyến) có thể chuyển thành quan hệ
tuyến tính bằng cách sử dụng logarit tự nhiên của các biến số, qua đó làm cho chúng
tuân theo phương pháp phân tích hồi quy tuyến tính.
2.3.2. Phương pháp phân tích phương sai
a. Bản chất của phương pháp phân tích phương sai
Phân tích phương sai (Analysis of variance- Anova) là phương pháp thống kê
để phân tích tổng quy mô biến thiên của biến số phụ thuộc (tổng đó tổng quy mơ biến
thiên được định nghũa là tổng các độ lệch bình phương so với số bình quân của nó)
thành nhiều phần và mỗi phần được quy cho sự biến thiên của một biến giải thích cá
biệt hay một nhóm các biến giải thích. Phần cịn lại không thể quy cho biến nào được
gọi là sự biến thiên khơng giải thích được hay phần dư. Phương pháp này được dùng
15


để kiểm định giả thuyết 0 nhằm xác định xem các mẫu thu được có được rút ra từ cùng
một tổng thể không. Kết quả kiểm định cho chúng ta biết các mẫu thu được có tương
quan với nhau hay khơng.
- Phân tích phương sai một yếu tố: Phân tích phương sai một yếu tố là một loại
thử nghiệm thống kê so sánh phương sai trong nhóm có nghĩa là trong một mẫu trong
khi chỉ xem xét một yếu tố hoặc một biến độc lập. Phương sai một yếu tố so sánh ba
hoặc nhiều hơn ba nhóm phân loại để xác định xem có sự khác biệt giữa chúng hay
khơng. Trong mỗi nhóm nên có ba hoặc nhiều quan sát và phương tiện của các mẫu
được so sánh.
- Phân tích phương sai hai yếu tố: Phân tích phương sai hai yếu tố hai yếu tố là
một phần mở rộng của phân tích phương sai một yếu tố. Với Phân tích phương sai một
yếu tố có một biến độc lập ảnh hưởng đến biến phụ thuộc. Cịn với Phân tích phương
sai hai yếu tố, sẽ có 2 biến độc lập. Các bước phân tích Anova:
- Thiết lập giả định khi phân tích Anova.

- Thực hiện các nhóm so sánh phải độc lập và được chọn một cách ngẫu nhiên.
- Các nhóm so sánh phải có phân phối chuẩn hoặc số mẫu phải đủ lớn để được
xem như tiệm cận phân phối chuẩn.
- Phương sai của các nhóm so sánh phải đồng nhất.
b. Ví dụ ứng dụng phương pháp phân tích phương sai
Xây dựng phương trình hồi quy để nghiên cứu ảnh hưởng của cường độ dịng
điện xung và thời gian phóng tia lửa điện đến năng suất và nhám bề mặt thép SKD11
nhiệt luyện bằng xung định hình với điện cực graphit
- Thực nghiệm được thực hiện với các điều kiện và giả thiết sau: Các yếu tố phi
công nghệ như chất lượng và dịng chảy dung mơi khơng thay đổi, tiết diện cực graphit
là khơng đổi trong suốt q trình thực nghiệm, vật liệu phơi có tính đồng nhất, nhiệt độ
mơi trường ổn định trong suốt q trình thực nghiệm, rung động và nhiễu coi như
không đáng kể và ổn đinh trong suốt quá trình thực nghiệm. Bỏ qua nhiễu hệ thống và
nhiễu ngẫu nhiên. Các thông số công nghệ khác: Các thơng sơ có mức ảnh hưởng tới
độ năng suất gia công và độ nhám thấp, chọn theo khuyến cáo của nhà sản xuất thiết
bị:
+ Điện áp xung: Chọn theo cặp vật liệu điện cực và phôi: HVI=80(V)
+ Thời gian ngắt xung : TOFF = 25 (μs)
+ Khe hở điện cực: Δ=0,05(mm)
+ Chiều dày vết xung: h=0,04(mm)
- Xây dựng mơ hình thực nghiệm

16


Hình 2.5. Mơ hình thực nghiệm
Thơng số cơng nghệ trong thực nghiệm
+ Cường độ dòng điện xung trong thực nghiệm: LVI= 31÷45(A)
+ Thời gian xung: TON = 50÷70μs
Đặt: X1 =LVI; X 2 = TON

X1max = 45(A)

X1min = 31(A)

X1tb = 38(A)

TONmax = 70(μs)

TONmin = 50(μs)

TONtb = 60(μs)

+ Mã hóa giá trị:
X1max = +1

X1min = -1

X1tb = 0

TONmax = +1

TONmin = -1

TONtb = 0

- Thực nghiệm
+ Số lần thực nghiệm tối thiểu [4]:
n= 2k = 4
Trong đó k số biến đầu vào: k=2 (Cường độ dịng điện xung; Thời gian phóng
tia lửa điện)

Để nâng cao độ chính xác, thêm 1 lần thực nghiệm, tổng số lần thực nghiệm n=5

Bảng 2.1. Quy hoạch thực nghiệm thơng số đầu vào
Vị trí thí
nghiệm
1
2
3
4

Biến
thức mã
hóa
X1

X2

+1
+1
-1
-1

+1
-1
+1
-1

LVI(A) TON (μs)

45

45
31
31

70
50
70
50

HVI(V) TOFF (μs)

80
80
80
80
17

25
25
25
25

∆(mm)

h(mm)

0,05
0,05
0,05
0,05

0,04
0,04
0,04
0,04


Vị trí thí
nghiệm

Biến
thức mã
hóa
X1

X2

0

0

5

LVI(A) TON (μs)

38

60

HVI(V) TOFF (μs)

80

∆(mm)

h(mm)

0,05

0,04

25

Kích thước tại 1 vị trí
1

1

R2
F
24

5

24

Hình 2.6. Chi tiết sau khi xung tại 5 vị trí
+ Năng suất gia cơng:
Năng suất gia cơng được tính tốn gián tiếp
Q=

V
(mm3 /ph)
T

V là thể tích kim loại được xung: V= 140,6(mm3 /ph)
T(ph) là tổng thời gian gia cơng xong 1 vị trí
+ Đo độ nhám: Tại một vị trí thực hiện 4 lần đo
Bảng 2.2: Kết quả đo độ nhám R a (μm)
Lần đo

Vị trí 1

Vị trí 2

Vị trí 3

Vị trí 4

Vị trí 5

1

0,64

0,51

0,42

0,35

0,46

2

0,57

0,53

0,43

0,36

0,49

3

0,60

0,48

0,47

0,35

0,45

4

0,63

0,52

0,48

0,38

0,52

T.Bình

0,61

0,51

0,45

0,36

0,48

Bảng 2.3. Kết quả thực nghiệm
Vị trí
TN

Biến
thức
mã hóa
X1

LVI(A)

TON (μs)

R a (μm) T(phút) V(mm 3 )

Q(mm 3 /ph)

X2

1

+1 +1

45

70

0,61

78

140,6

1,80

2

+1 -1

45

50

0,51

83

140,6

1,69

18


3

-1 +1

31

70

0,45

110

140,6

1,28

4

-1

-1

31

50

0,36

121

140,6

1,16

5

0

0

38

60

0,48

95

140,6

1,48

- Xây dựng phương trình hồi quy độ nhám bề mặt phụ thuộc cường độ dòng
điện xung và thời gian phóng tia lửa điện
+ Theo phân tích phương sai ANOVA:

∑

n

( yi - y ) 2 = ∑ i=1 ( yˆ - y ) 2 + ∑ i=1 ( y i - yˆ ) 2
n

i=1

n

(2-1)

Trong đó:
yi : giá trị đo trong thí nghiệm
y: giá trị trung bình sau n lần đo
yˆ : giá trị của hàm thực nghiệm
Số thực nghiệm: n=5
+ Nghiệm của (2-1) có dạng:

y = a + b.X1 + c.X 2

(2-2)

+ Sử dụng côn cụ Regression xác định các hệ số hồi quy: a=-0,2237, b=0.0111,
c=0.0048 và thay vào (2-2), được phương trình hồi quy:
y = -0,2237 + 0,0111.X1 + 0,0048.X 2

(2-3)

+ Đánh giá độ tin cậy của hàm hồi quy thực nghiệm:
Kiểm nghiệm độ chính xác của cơng thức thực nghiệm dùng chỉ tiêu:
σ yTN ≤ σ y

(2-4)

Trong đó:
σ yTN : Sai lệch bình phương trung bình của các giá trị thực nghiệm
σ y : Sai lệch bình phương trung bình khi đo

Bảng 2.4. Các thành phần khi tính sai lệch bình
phương trung bình của các giá trị thực nghiệm
Vị trí
thí
nghiệm

y

y TN

(y-y TN ) 2

1

0,61 0,6118

3,24.10-6

2

0,51 0,5158

3,36.10-6

19


Vị trí
thí
nghiệm

y TN

y

(y-y TN ) 2

3

0,45 0,4564

4,09.10-6

4

0,36 0,3604

1,6.10-7

5

0,48 0,4861

3,72.10-5

y TN : Được xác định bằng cách thay các biến số vào (2-3); k=2: Hằng số thực nghiệm
n

σ yTN =

∑ (y - yTN )2
i=1

n-k

(2-5)

n

=

∑ (y - yTN )2
i=1

2
Thay số vào (2-5) được: σ yTN = 0,0076
Bảng 2.5. Sai lệch bình phương trung bình khi đo
Vị trí
thí
nghiệm
1
2
3
4
5
Trong đó:
y dn =

σy =

y dn

y tb

y1i = y - y dn

(y1i - y dn ) 2

0,61
0,51

0,45
0,36
0,48

0,485
0,485
0,485
0,485
0,485

-0,003
-0,003
-0,003
-0,003
-0,003

0,125
0,025
-0,035
-0,125
-0,005

0,0164
0,0008
0,0010
0,0149
0,000004

y max + y min 0,61 + 0,36
=

= 0, 485
2
2
n

y tb =

y

∑ ( y-y
i=1

n
n

∑ (y

1i

dn

)
= -0,003

-y tb ) 2 = 0,182

i=1

σ yTN = 0,0076 ≤ σ y = 0,182
Vậy công thức thực nghiệm (2-3) đã xác định chấp nhận được

Đồ thị quan hệ độ nhám bề mặt phụ thuộc cường độ dịng điện xung và thời
gian phóng tia lửa điện

20


Hình 2.7. Đồ thi biểu diễn quan hệ giữa R a với LVI và TON
Nhận xét: Khi tăng cường độ dịng điện xung và thời gian phóng tia lửa điện thì
độ nhám tăng và ngược lại, trong đó ảnh hưởng của cường độ dịng điện xung có vai
trị lớn vì hệ số hồi quy lớn hơn xo với hệ số hồi quy của thời gian phóng tia lửa điện
khoảng 2,3 lần.
Kết luận: Nội dung bài toán đã nghiên cứu ảnh hưởng của cường độ dòng điện
xung (LVI) và thời gian phóng tia lửa điện ( TON ) khi sử dụng điện cực than chì trên
máy xung điện CNC-EDM P36+E50, đến năng suất (Q) và độ nhám bề mặt gia công (
R a ) đối với thép SKD11 nhiệt luyện, đã xây dựng được hai phương trình hồi quy
Phương trình hồi quy độ nhám bề mặt phụ thuộc cường độ dòng điện xung và
thời gian phóng tia lửa điện:
R a = − 0,2237 + 0,0111.LVI + 0,0048.TON
Phương trình hồi quy năng suất gia cơng phụ thuộc cường độ dịng điện xung
và thời gian phóng tia lửa điện:
Q = − 0, 288 + 0,0375.LVI + 0,00575.TON
Căn cứ vào hai phương trình hồi quy thực nghiệm trên có thể lựa chọn hợp lý
LVI và TON để đồng thời đảm bảo năng suất và độ nhám bề mặt chi tiết gia công trên
máy xung điện CNC-EDM P36+E50 với điện cực graphit.

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG
Bài 1: Cho hàm số f(x) sau:
f(x) = 12x 5 - 45x 4 + 40x 3 + 5
21

Tìm tọa độ các điểm dừng, trong số các điểm dừng đâu là cực đại, cực tiểu và
điểm uốn, vẽ đồ thị của hàm số.
Bài 2: Tối ưu hàm số Z sau:
Max Z = x 2 +y 2 − 81
Với điều kiện giàng buộc: x=y
Bài 3: Tối ưu hàm số Z sau:
Min z = (x-10) 2 +(y-10) 2 − 100
Với điều kiện giàng buộc: x=y
Bài 4: Tối ưu hàm số f(x) sau:
Max f(x) = 6x1 + 4x 2
Với điều kiện giàng buộc
2x1 + 3x 2 ≤ 100
4x1 + 2x 2 ≤ 120
x1 , x 2 ≥ 0.
Bài 5: Tối ưu hàm số f(x) sau:
Min f(x) = 3x1 - x 2 ; Với điều kiện giàng buộc:
x1 - 2x 2 ≥ 4
x1 + x 2 ≤ 8
- 4x1 + 2x 2 ≥ 20
4 ≤ x1 ≤ 8
x2 ≤ 4
x1 , x 2 ≥ 0
Bài 6: Tối ưu hàm số f(x) sau:
Min f(x) = 3x1 - x 2 ; Với điều kiện giàng buộc;
x1 - 2x 2 ≥ 4
x1 + x 2 ≤ 8
- 4x1 + 2x 2 ≥ 20
4 ≤ x1 ≤ 8
x2 ≤ 4

x1 , x 2 ≥ 0
Chương 3. ỨNG DỤNG PHẦN MỀM ALTAIR INSPIRE
TRONG TỐI ƯU HÓA THIẾT KẾ CƠ KHÍ

22


3.1. Giới thiệu về phần mềm Altair Inspire
3.1.1. Tính năng của phần mềm
Inspire là một công cụ thiết kế ý tưởng có thể sử dụng để chạy tối ưu hóa cấu
trúc, phân tích phần tử hữu hạn và phân tích chuyển động. Altair Inspire là giải pháp
mô phỏng và tối ưu hóa thiết kế mạnh mẽ. Inspire là sản phẩm giàu tính năng nhất
trong ngành dành cho các kỹ sư thiết kế. Inspire cho phép các kiến trúc sư, nhà thiết kế
sản phẩm và kỹ sư thiết kế phân tích và tạo ra các khái niệm thiết kế hiệu quả về mặt
cấu trúc một cách nhanh chóng và dễ dàng.
Altair Inspire cho phép các kỹ sư tạo ra các khái niệm thiết kế hiệu quả nhất.
Phần mềm hoạt động với các cơng cụ CAD hiện có và tăng cường q trình phát triển
khái niệm. Mơi trường rất trực quan và sẽ thu hút các nhà thiết kế và kỹ sư có ít hoặc
khơng có kinh nghiệm mơ phỏng. Ngồi ra, nó cũng cung cấp một cơng cụ để mơ
phỏng định hướng xây dựng và tối ưu hóa cấu trúc liên kết.
Tính năng chính:
- Thiết kế sáng tạo và tối ưu hóa cấu trúc liên kết
- Phân tích kỹ thuật và sản xuất
- Chuyển động năng động của các cơ chế phức tạp
- Tự động xác định danh bạ, khớp, v.v.
- Tự động phân tích cấu trúc & tối ưu hóa
- Xác định các yêu cầu cho động cơ và cơ cấu chấp hành
- Tùy chọn tối ưu hóa và vật liệu tùy biến
- Tạo cấu trúc và trực quan hóa mô phỏng 3D
- Xem và tương tác gán tải để thiết kế

- Sản xuất phụ gia với các điều khiển hình dạng
- Tạo và đơn giản hóa hình học nâng cao
- Tối ưu hóa CAD để kết quả thiết kế tổng qt và tính năng ưu việt khác
3.1.2. Khơng gian làm việc của phần mềm
Không gian làm việc Inspire được tổ chức thành các khu vực sau:
- Các menu và các tab ribbon với nhóm các biểu tượng
- Các cửa sổ mơ hình (modeling window) là nơi tương tác với mơ hình thiết kế,
và bao gồm các chức năng điều khiển góc nhìn (view controls) ở góc dưới bên trái.
- Các trình duyệt mơ hình (model browser shows) chương trình tất cả các đối
tượng trong mơ hình theo cấu trúc dạng cây.
- Đặc tính trạng thái (property editor) của mơ hình và cho phép chỉnh sửa

23


Hình 3.1. Giao diện phần mềm Altair Inspire
3.1.3. Quản lý tệp và dữ liệu
Inspire có nhiều định dạng để liên kết với các phần mềm khác trong quá trình
thiết kế và tính tốn tối ưu hóa.
- Định dạng tệp hình học để nhập dữ liệu thiết kế
+ ACIS (.sab, .sat)
+ CATIA V4 (.model)
+ CATIA V5 (.CATPart, .CATProduct)
+ IGES (.iges, .igs)
+ Inventor (.ipt, .iam)
+ JT (.jt)
+ Parasolid (.x_b, .x_t, .xmt_bin, .xmt_txt)
+ Pro/Engineer (.asm, .prt)
+ SolidWorks (.sldasm, .sldprt)
+ STEP (.step, .stp)

+ UG NX (Unigraphics) (.prt)
+ Evolve PolyNURBS (.pn)
- Định dạng tệp lưới để nhập
+ STL (ASCII .stl)
+ OptiStruct (.dat, .fem, .nas)
- Định dạng tệp hình học để xuất
+ ACIS (.sab, .sat)
+ IGES (.iges, .igs)
24


+ Parasolid (.x_b, .x_t, .xmt_bin, .xmt_txt)
+ STEP (.step, .stp)
3.1.4. Nhập và hợp nhất hình học
- Chọn file/Import hoặc nhấn tổ hợp phím Ctrl + I.
- Trong hộp thoại Nhập tệp, hãy chọn một tệp.
- Nhấp chọn Open .
- Nếu mô hình có lỗi.
- Kiểm tra lỗi hình học trong mơ hình, nếu có lỗi thì chọn Yes để sửa chữa.

Hình 3.1. Cơng cụ sửa lỗi mơ hình
3.2. Các cơng cụ thiết kế
3.2.1. Công cụ dữ liệu (File)
Công cụ này bao gồm các chức năng thường sử dụng:
- New: Tạo mới mơ hình
- Open mở mơ hình đã thiết kế trên phần mềm Inspire
- Import: Mở file có định dạng trung gian
- Save As: Lưu với tên khác

Hình 3.1. Các chức năng trong công cụ File

25